Magnetizam-2

5/27/2018 Magnetizam-2

1/30

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE - MAGNETIZAM

A. Rezi 1

4.5. Biot - Savartov zakonBiot-Savartov zakon odreuje iznos indukcije B u prostoru oko

vodia kroz koji protjee elektrina struja. Zamislimo vodiduljine l i izdvojimo element duljine, dl. Neka vodiemprotjee

struja konstantnog iznosa I. Ta struja u svakoj tokiprostora stvara

indukciju Bkoje smjer (slika 78) znamo odrediti od ranije.

Slika 78. Izraunavanje

gustoe toka oko vodia

kroz koji protjee struja

Indukcija dBu tokiPuslijed struje Iuelementu dlodreujese po izrazu:

2

sin'

r

dlIkdB

gdje je:

r- udaljenost elementa dlod tokeP, - kut izmeur i osi elementa vodia

dl.


2/30


A. Rezi 2

Faktor k' predstavlja konstantu proporcionalnosti ija vrijednost,

kao i konstanta ku Coulombovom zakonu, ovisi o izboru jedinica.

U SI k'=10-7vebera po amper metru. Da bi se odstranio faktor 4*

iz drugihjednadbiizvedenih iz Biot-Savartovog zakona, uvedena

je nova konstanta proporcionalnosti o (indeks 0 oznaava da

konstanta vrijedi za vakuum i zrak) kao:

'4'4 0

0 kilik

mA

Wb

70 104

Sada Biot-Savartov zakon glasi:2

0 sin

4 r

dlIdB

Rezultirajua indukcija u promatranoj toki P, koja potjee od

cjelokupnog strujnog kruga, iznosi:

2

0 sin

4 r

dlIdBB

Ovdje se oito radi o vektorskom zbroju diferencijalnih vektora

koje stvaraju struje svih elemenata promatranog strujnog kruga.

Bd

ld


3/30


A. Rezi 3

4.6. Polje ravnog vodiaVratimo se na sliku 78, ali zamislimo ravni vodi vrlo velike

duljine l(slika 79). Struje svih elemenata dlproizvodit eu tokiPindukcije istog smjera. Na taj nain ukupna indukcija u toki P

dobit e se aritmetikomsumom diferencijalnih indukcija uslijed

struja u svim elementima dl. Da bi se pojednostavnio integral, kao

nezavisnu varijablu uzet emo , a ne l. Budui da je vodi

postavljen u os X, pisat emoxumjesto l.

Slika 79. Odreivanje polja

ravnog vodia

Prema slici 79. moe se pisati:

,ctgax ,sin

2

dadx

,

sin2

2

2

ar

,sin4

0 daIB

coscos4

0

aIB

Ako je vodi vrlo dug,

180, 0tada za

indukciju vrijedi izraz: T

a

IB

2

0


4/30


A. Rezi 4

4.7. Sila izmeudva paralelna vodiakroz kojeprotjeestrujaKroz dva paralelna i vrlo dugaka vodia 1 i 2, meusobnog

razmaka a, teku struje I1 i I2 (slika 80). Oito se svaki od vodianalazi u magnetskom polju koje stvara struja onog drugog vodia.

Slika 80. Sila izmeu dva paralelna

vodia kroz koje protjee struja

Ve je pokazano da evodi

1 u svakoj toki drugog

vodiastvoriti indukciju:

Zbog toga ena drugi vodi,

po jedinici duljine, djelovatisila (smjer prema slici 80):

a

IB

2

10

a

IIF 210

2'


5/30


A. Rezi 5

Ako su smjerovi struja isti, sila meuvodiimaprivlanaje, a ako

se pak promijeni samo jedan smjer struje, sila e biti odbojna

(slika 81).

Slika 81. Smjerovi sila izmeu dva vodia: a) ako su struje istog smjera

sila je privlana; b) ako su struje suprotnog smjera, sila je odbojna


6/30


A. Rezi 6

4.7.1. Utvrivanjeiznosa struje jakosti 1ANa osnovu sile kojom se privlaedva paralelna vodiakroz koje

protjeestruja odreujese struja koja ima jakost lA. Naime, ako nadva vrlo tanka i vrlo dugaka vodia, postavljena u vakuumu i

meusobno razmaknuta 1 metar, djeluje sila F=2*10-7 N po

jednom dunommetru, kroz vodieteestruja jakosti 1 Amper:

7

7

1021

11

2

104

F

Nilim

sAVF

7102


7/30


A. Rezi 7

4.8. Linijski integral magnetske indukcije. Zakon protjecanja

Magnetinost prirodnih magneta objanjava se postojanjem

elementarnih struja u magnetu. Te se struje zamiljajukao kretanjeelektrona po ljuskama u atomima i kao okretanje elektrona oko

svoje osi (spin elektrona). Nadalje, znamo da elektrina struja,

prolazei vodiem, stvara magnetsko polje koje je uvijek vezano

za elektrinustruju. Nije mogueimati elektrinustruju, a da se nejavi i magnetsko polje. Elektrinastruja i magnetsko polje dvije su

manifestacije iste pojave. Sada nas zanima povezanost jakosti

struje i magnetskog toka koji stvara ta struja.

Ako se promatra prirodni magnet ili elektromagnet svaka silnicamagnetskog polja u magnetu i izvan njega, cijelom svojom

duljinom inineprekinutu zatvorenu liniju.


8/30


A. Rezi 8

Neprekinutost magnetskih linija izraavase relacijom: S

SdB 0

to znai da je ukupni magnetski tok koji prolazi zatvorenom

povrinom u pravcu i smjeru normale jednak nuli (slika 82).Nijedna linija se ne moe zavriti niti zapoeti u prostoru

ogranienomovompovrinom.

Slika 82. Magnetni tok koji prolazi

zatvorenom povrinom upravcu i

smjeru normale jednak je nuli

To se moenapisati i u obliku:

S

dSB 0cos

gdje je kut izmeuvektora indukcije i

normale napovrinuu tokiindukcije.


9/30


A. Rezi 9

U elektrotehnici je posebno vaanlinijski integral

indukcije uzduzatvorene linije (slika 83):

Slika 83. Uz linijski integral magnetske

indukcije uzdu zatvorene linije

gdje je kut izmeu

nekog elementa i

vektora upripadajuoj

toki.

Kao pozitivan smjer

obilaska zatvorene

konture uzima se smjer

kazaljke na satu.

l

dlB cos

ld

B


10/30


A. Rezi 10

Promatrajmo kao poseban sluajpolje ravnog vodia(slika 84) iz

kojega ese izvesti opizakljuak.

Slika 84. Polje ravnog vodia

Na osnovu izraza za indukcijuravnog vodiaizlazi da je vrijednost

indukcije Bu svakoj tokiodabrane

krunicepolumjera r:

rIB

2

0

Za promatrani sluaj= 0, pa izlazi:

Idl

rIdlB 0

0

2cos


11/30


A. Rezi 11

Iz toga se moeizvesti opizakljuak: Linijski integral magnetske

indukcije uzdu proizvoljno odabrane zatvorene linije jednak je

umnoku o

i struje kroz povrinu koju zatvara promatrana

kontura. Ako kroz tupovrinunema struje, integral je jednak nuli.

Openito,dakle, vrijedi:

IdlB 0cos

ili vektorski: IldB 0

gdje je Iukupna struja koja je obuhvaenazatvorenom linijom.Ovaj izraz naziva se Amperov zakonili zakon protjecanja. Ovdje

je prikazan u obliku koji vrijedi za vakuum ili zrak, gdje je =o.

Kasnije emo vidjeti da ovaj zakon ima univerzalni karakter tj.

vrijedi za svaku sredinu.


12/30


A. Rezi 12

Promatrajmo sada proizvoljnu konturu na istom primjeru, ali koja

ne obuhvaastruju (slika 85).

Slika 85. Linijski integralkonture koja ne obuhvaa struju

Stranice ab i cd ne doprinose

integralu jer je kut =90, odnosno

cos=0. Razmotrimo sada preostale

dvije stranice. Za duljine elemenata

vrijedi: drdlidrdl 21

Doprinos stranice

da (prema smjeru

obilaenja)iznosi:

a doprinos

stranicebc:

Dakle, linijski integral po cijeloj konturi abcd takoer je jednak

nuli, toje u skladu sa Amperovim zakonom, jer je I=0.

Zbroj ovih dvaju doprinosa jednak je nuli.

,22

0

1

1

0

Idr

r

I

IdrrI

22

0

2

2

0


13/30


A. Rezi 13

4.9. Magnetski krugOd veliina koje karakteriziraju magnetsko polje, do sada smo

upoznali magnetski tok i magnetsku indukciju B. Pri tome smovidjeli da se silnice indukcije Bzatvaraju same u sebe (slika 70).

Zamislimo jedan izdvojeni dio silnica s tokom u obliku cijevi,

tzv. silocijev.

Slika 86. Dio magnetskog

kruga zavojnice kojom

protjee struja

Ta cijev (slika 86), koja ima srednju

liniju duljine l i promjenljivi presjek S,za promatrani tok predstavlja

magnetski krug. Lako zakljuujemo da

iznos ukupnog toka , kao i iznos ,

zavisi o iznosu struje i broju zavoja N.

Ali zavisi i o duljini silnice l, presjeku

promatrane cijevi S i sredini, odnosno

vrsti materije u kojoj se ostvaruje

magnetsko polje.


14/30


A. Rezi 14

Na promatranom primjeru teko je postaviti odnose meu tim

veliinama, pa emo se posluiti najjednostavnijim primjerom

magnetskog kruga, torusom (slika 87) koji osigurava homogenu

gustoutoka. Presjek Sje konstantan uzducijele srednje duljine l

magnetskog kruga. Na torusu je gusto, jedan do drugog, namotano

N zavoja pri emu je duljina srednje linije l znatno vea od

dijametrapoprenogpresjeka S. Za indukciju u torusu vrijedi:

Slika 87. Magnetski krug u obliku torusa

l

NIB

0

Budui da je unutar torusa polje

homogeno a presjek S konstantan,

smije sepomnoitigornji izraz sa S:

Sl

NISB

0


15/30


A. Rezi 15

todaje izraz kojim se raunatok u zadanom magnetskom krugu:

0

l

SNI

U opisanom primjeru torus je bio ispunjen zrakom zbog egase u

izrazu za magnetski tok nalazi o. Meutim, taj izraz vrijedi za

bilo koju sredinu unutar torusa, tose izraavarazliitimfaktorom

proporcionalnosti (openito). Sredina, materijal, koji ima vee

, uz istu struju i broj zavoja, imat eveimagnetski tok. Stoga se naziva magnetska propustljivostili magnetska permeabilnost.Izjednadbeza dobiva se jedinica za mjerenje permeabilnosti:

mAsV


16/30


A. Rezi 16

Da bi se magnetski krug mogao promatrati analogno strujnom

krugu, jednadbuza tok koja, dakle, vrijedi za bilo koju sredinu,

napisat emonetodrugaije:

Nazivnik ove jednadbepodsjea na izraz za otpor metalnog

vodia. Analogno, dakle, moemo ga nazvati otporom

magnetskog kruga ili jednostavno magnetskim otporom:

S

l

NI

1

S

lRm

1

gdje je: l- duljina srednje linije magnetskog kruga

S-poprenipresjek torusa.


17/30


A. Rezi 17

Sada se moenapisati:

Slinost izraza za magnetski otpor s izrazom za elektrini otporvodia oita je, ali je priroda ovog otpora drugaija to se dade

zakljuitiusporeenjemjedinica. Za elektriniotpor znamo da je

jedinica , a za magnetski otpor nalazimo:

mR

NI

ssV

ARm

1

Umnoak struje i broja zavoja =I*N je magnetomotorna sila

MMS, koja se esto naziva broj amperzavoja ili protjecanje

svitka, i za jedinicu ima amper. Tu treba skrenuti panju da se

odreeniamperzavoji, npr. 100 A, mogupostiistrujom 1 A, ako

svitak ima 100 zavoja, ili samo jednim zavojem ali strujom od 100

A.


18/30


A. Rezi 18

Pogledajmo ponovno izraz za tok, ali za bilo koju sredinu.

Diobom obje stranejednadbesa S dobije se:

Veliina I*N/l koja je mjerodavna za postojanje magnetske

indukcije u odreenoj sredini, predstavlja magnetsku uzbudu,

naziva se jakost magnetskog polja i oznaavase slovom H:

l

NIB

l

NIH

Jedinica za mjerenjejakosti poljaje amper po metru (A/m).

Bi Himaju vektorski karakter, pa vrijedi: HB

Sada se Amperov zakon ili zakon protjecanja moenapisati kao:

l

IldH


19/30


A. Rezi 19

Kod torusa magnetski je tok jednak u svimpoprenimpresjecima.

Zbog toga toje iznospoprenogpresjeka konstantan, konstantna

je i indukcija B. Za stvaranje te indukcije potrebna je uzbuda,

magnetsko polje jakosti H=I*N/l. Pri tome, nije bitno tosu zavojikontinuirano rasporeeni. Ako je vrlo veliko, oni mogu biti

koncentrirani na jednom mjestu (slika 88), a da i dalje vrijede

prethodno napisanejednadbeza Bi H.Ukupni iznos MMS ili amperzavoja=I*N "troi" se na stvaranje toka u

cijelom torusu. Torus moe biti izraen

od segmenata razliitihpresjeka i duljine

pa i od razliitogmaterijala toznaiod

elemenata razliitogmagnetskog otpora.

U izrazu za tok takvog torusa, magnetski

je otpor zbroj magnetskih otpora svih

segmenata od kojih je izraentorus.Slika 88. Magnetski krug u

obliku torusa koji je samo

dijelom namotan zavojima


20/30


A. Rezi 20

Zamislimo kao primjer da se torus konstantnog presjeka sastoji od

dva dijela - jedan je zrak, duljine lo, kod kojega je, znamo,

a drugi neka bude eljezokod kojega je permeabilnost vrlo velika,

pa emoradipraktinostistaviti da . Kada je lolFe,uzducijelog torusa postoji jedinstveni magnetski tok, a na onom

dijelu gdje , nema magnetskog otpora. Tu, dakle, nisu

potrebni amperzavoji, nije potrebna magnetska uzbuda da bi se

uspostavio tok. Na toj duljini, u torusu, jakost magnetskog polja jenula. Openito, tamo gdje tei prema beskonanom iznosu,

jakost polja tei prema nuli, pri emu indukcija ima konaan

iznos.

7

0 104


21/30


A. Rezi 21

Vidimo da se amperzavoji "troe" na svladavanje magnetskog

otpora cijelog magnetskog kruga, s tim da je tamo, gdje je

magnetski otpor vei, potreban vei broj amperzavoja. Dio

amperzavoja potrebnih da se svlada magnetski otpor dijelamagnetskog kruga naziva se magnetski napon. Namee se

analogija sa strujnim krugom. Uzdu magnetskog kruga

raspodjeljuje se magnetski napon ili amperzavoji.


22/30


A. Rezi 22

4.10. SamoindukcijaPrilikom objanjenja zakona elektromagnetske indukcije saznali

smo da je neophodna promjena magnetskog toka unutarpromatrane petlje, da bi se u njoj inducirao napon i da je taj napon

jednak brzini promjene toka:dt

dNe

Oito,ovaj zakon vrijedi i kada se petlja pomakne izpoloaja1u

poloaj 2, za vrijeme t, uzdu polja kojeg se iznos ne mijenjavremenski nego prostorno (slika 89a). Pri tome e petlja u

poloaju2obuhvaatimanji iznos toka od onoga koji obuhvati u

poloaju1.

Slika 89 a) Induciranje napona promjenom obuhvaenog toka pomakom petlje u mirnom polju,

b) Induciranje napona u zavojnici u kojoj se tok mijenja uslijed promjene struje u toj zavojnici


23/30


A. Rezi 23

Nije bitno kako se postie razlika obuhvaenog toka. To moe

nastati i na taj nain da postoje dvije zavojnice (slika 89b)

postavljene tako da im se osi poklapaju. Ako se jednaprikljuina

izvor promjenljive struje, u ritmu struje varirat ei tok koji stvarazavojnica 1. Jedan dio tog toka obuhvatit e i drugu zavojnicu.

Buduida je tok promjenljiv, u drugoj zavojnici e se inducirati

napon. To je ustanovljeno zakonom indukcije.

A tose dogaau svitku 1? Unutar tog svitka nastaje tok koji se

vremenski mijenja i time je ispunjen uvjet da se i u tom svitku

inducira napon u skladu sa zakonom indukcije. Taj napon nastaje

uslijed promjene toka koji izazove struja u samom tom svitku.

Zbog toga se taj napon naziva naponom samoindukcije.


24/30


A. Rezi 24

Za tok vrijedi:m

R

Ni

pa je diferencijal toka:mR

Ndid

Ako se ovo uvrsti u izraz za inducirani napon, izlazi:

dt

di

R

N

dt

dNe

m

2

Nadalje, napiimo:mR

NL

2

pa ese dobiti izraz za napon samoindukcije: dt

diLe

Na ovaj nain napon samoindukcije prikazuje se kao izravnaposljedica promjenljivosti struje svitka. Njegov iznos razmjeran je

brzini promjene struje i koeficijentu L, kojega vrijednost zavisi o

konstrukciji, geometrijskim dimenzijama svitka i sredstvu

magnetskog kruga.


25/30


A. Rezi 25

Koeficijent L se naziva koeficijent samoindukcije ili

samoinduktivitet(ili kraeinduktivitet) svitka.

Jedinica za mjerenje induktiviteta upoastfiziaruHenryu naziva

se henrii oznaavaslovom H:

HA

sV

di

dteL

Svitak ima induktivitet 1H ako se pri linearnoj promjeni jakosti

struje za iznos jednog ampera tokom jedne sekunde inducira usvitku napon od jednog volta.Induktivitet Lse moe i drugaije izraunati. Ako se obje strane

jednadbeN/Rm

=/IpomnoesN, dobije se:

I

N

R

N

m

2

to daje:I

L

Prema toj jednadbi, vlastiti induktivitet svitka je numeriki

jednak omjeru ulanenogtoka i struje promatranog svitka.


26/30


A. Rezi 26

4.11. MeusobnaindukcijaPod nazivom meusobnaindukcija podrazumijeva se pojava da se

zbog promjene jakosti struje u jednom svitku stvara napon udrugom svitku.

Slika 90.

Induciranje

napona u

zavojnici 2

uslijed

promjene struje

u zavojnici 1

Ako su sve silnice koje stvara prvi

svitak obuhvaene i drugim

svitkom (slika 90), napon koji se

inducira u drugom svitku uslijedpromjene toka iznosi:

dt

dNe

22

Budui da je tok koji obuhvaa oba svitka promje-

nljiv uslijed promjene struje u prvom svitku, vrijedi: 11

diR

N

dm

pa moemo pisati: dtdi

R

NN

dt

di

R

NNe

mm

12111

22


27/30


A. Rezi 27

Izraz N1

*N2/R

m naziva se koeficijent meusobne indukcije ili

meuinduktivitetobaju svitaka i oznaavase s M12:

Slika 91

Induciranje

napona u

zavojnici 1

uslijed

promjene struje

u zavojnici 2

Sada zamijenimo uloge svitaka. Neka promjenljiva struja u svitku

2inducira napon u svitku 1(slika 91). Tada vrijedi:

mR

NNM 21

12

pa je najzad: dt

di

Me 1

122

dt

di

R

N

Nem

22

11 dt

di

Me 2

211

Pokazuje se da su meuindukti-

viteti u oba sluaja jednakog

iznosa pa se moepisati:

mR

NNMMM 21

1221


28/30


A. Rezi 28

Umnoak vlastitih induktiviteta obaju svitaka daje kvadrat

meuinduktiviteta:

2

2

21

2

2

2

2

1

21 MR

NN

R

NNLL

mm

ili:

21 LLM

Jedinica za mjerenje meduinduktiviteta takoerje henri.


29/30


A. Rezi 29

4.11.1. Rasipni magnetski tok

Sve silnice magnetskog polja koje uzbuujejedan svitak ili namot

ne zatvaraju se kroz oba magnetski vezana svitka. Nastaje tzv.rasipanje magnetskog toka. Onaj dio toka koji se zatvara samo s

jednim namotom i to onim koji ga je stvorio naziva se rasipni tok

(slika 92, 10).

Slika 92. Glavni i rasipnimagnetski tok

Dio toka, koji se zatvara kroz oba

namota, naziva se glavnimagnetski tok(12).

Njihov zbroj daje ukupni

magnetski tok:

12101


30/30


A. Rezi 30

Smanjenjem dijela toka, koji je ulanens oba namota, smanjuje se

i meuinduktivitettoizlazi iz:

1

122

i

NM

Zbog ovoga, relaciju izmeu vlastitih induktiviteta i

meuinduktivitetamoemopisati ovako:

21 LLkM gdje je kfaktor ulanenja.Ako nema rasipnog toka (10=0), tada je k=1.

Ako, pak, tok 1nije u cijelosti obuhvaens namotom 2, vrijedi

k

Documents

Magnetizam-2