makalah mtk trigonometri.docx

MAKALAH“Trigonometri” Matematika

Ditulis Untuk Memenuhi Tugas Matematika

Oleh

Fadhlan Al-Aqmar

Richie Bachtiar Rismawan 11121031

Siti Aviani Nur Azizah 11121033

Susmita Afiati 11121074

Widyana Murti 11121037

SMA NEGERI 6 KABUPATEN TANGERANG

Jalan Aria Jaya Sentika No. 52, Tigaraksa, Tangerang, 15720, telepon (021) 5990276

PRAKATA

Assalamu’alaikum Wr.Wb,

Puji dan syukur kita panjatkan kepada Allah swt atas tersusunnya makalah ini.

Kami sebagai penulis mengucapkan banyak terima kasih pada semua pihak

yang telah mendukung atas tersusunnya makalah ini.

Kami menyadari atas banyaknya kekurangan yang didapati pada makalah ini,

oleh karena itu Kami memohon maaf sebesar-besarnya bila sekiranya ada suatu hal

yang tidak sesuai pada penulisan makalah ini.

Demikian prakata yang dapat Kami sampaikan. Kami harap makalah ini bisa

bermanfaat bagi pembaca.

Wassalamu’alaikumWr.Wb.

Tigaraksa, 11 Januari 2013

Penulis

BAB 1

Teori Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro =

mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan

sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen.

Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada

ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang,

trigonometri adalah bagian dari geometri.

Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari

astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201-1274), lewat

bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk

pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat

sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut

O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan

Aturan Sinus (di bidang datar).

Di Arab dan kebanyakan daerah muslim, trigonometri berkembang

dengan pesat tidak saja karena alasan astronomi tetapi juga untuk kebutuhan

ibadah. Seperti diketahui, orang muslim jika melakukan ibadah sholat, harus

menghadap ke arah Qiblat, suatu bangunan di kota Mekkah. Para

matematikawan muslim lalu membuat tabel trigonometri untuk kebutuhan

tersebut.

A

B

C

ca

bGb. 2.2. perbandingan trigonometri

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Gambar di samping adalah segitiga

siku-siku dengan titik sudut sikunya di

C. Panjang sisi di hadapan sudut A

adalah a, panjang sisi di hadapan

sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.

Terhadap sudut :

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan

trigonometri terhadap sudut sebagai berikut:

1.sin α=panjang sisi siku-siku di depan sudut A

panjang hipotenusa=a

c

2.c os α=

panjang sisi siku-siku di dekat ( berimpit ) sudut Apanjang hipotenusa

=bc

3.tan α=panjang sisi siku-siku di depan sudut A

panjang sisi siku-siku di dekat sudut A=a

b

4.csc α=panjang hipotenusa

panjang sisi siku-siku di depan sudut A= c

a

5.sec α=panjang hipotenusa

panjang sisi siku-siku di dekat sudut A= c

b

A

B

C

ca

b

Gb. 2.3. perbandingan trigonometri

6.cot α=panjang sisi siku-siku di dekat sudut A

panjang sisi siku-siku di depan sudut A= c

a

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

tan α=sin α

cos α dancot α=cos α

sin α

sec α= 1cos α dan

csc α= 1sin α

Contoh:

Pada gambar di samping segitiga sikusiku ABC

dengan panjang a 24 dan c 25.

Tentukan keenam perbandingan

trigonometri untuk .

Penyelesaian:

Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras

b=√252−242

=√625−576

=√49=7

sin α=ac=24

25csc α= c

a=25

24

c os α=bc= 7

25sec α= c

b=25

7

tan α=ab=24

7cot α= c

a= 7

24

Gb. 2.4.a. sudut istimewa

2

45

1

1Gb. 2.4.b. sudut istimewa

3

60

30

1 2

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat

dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30,

45,60, dan 90.

Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 60.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan

segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Dari gambar 2.4.a dapat ditentukan

sin 45 °=1

√2=1

2√2 csc 45°= √2

1=√2

cos 45°=1

√2=1

2√2 sec 45 °= √2

1=√2

tan 45°=11=1 cot 45 °=

11=1

Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan

sin 30 °=12

sin 60 °= √32=1

2√3

cos 30 °= √32=1

2√3 cos 60 °=

12

tan 30°=1

√3=1

3√3 tan 60°= √3

1=√3

csc 30°=21=2 csc 60°=

2

√3=2

3√3

sec 30°=2

√3=2

3√3 sec 60°=

21=2

cot 30 °= √31=√3 cot 60 °=

1

√3=1

3√3

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

0 30 45 60 90

sin 012

12√2

12√3 1

cos 112√3

12√2

12

0

tan 013√3 1 √3

tak

terdefinisi

cot tak

terdefinisi√3 1

13√3 0

y

x X

YP(x,y)

r

1

Gb. 2.5

O

contoh:

1.sin 30 °+cos 45°=

12+ 1

2√2=1+√2

2

2.sin 45 ° tan 60°+cos 45 ° cot 60°=

12√2⋅√3+ 1

2√2⋅1

3√3

¿ 1

2√6+ 1

6√6=4

6√6=2

3√6

C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah

garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius,

sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan 90. Perlu

diketahui bahwa

OP=√ x2+ y2=r dan r 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat

didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

1.sin α=ordinat P

panjang OP= y

r 4. csc α=panjang OP

ordinat P= r

y

2.cos α=absis P

panjang OP= x

r 5. sec α=panjang OP

absis P= r

x

3.tan α=ordinat P

absis P= y

x 6. cot α=absis P

ordinat P= x

y

Gb. 2.6. titik di berbagai kuadran

y

x X

YP(x,y)

r

1

O

y

x X

YP(x,y)

r

2

O

y

x

X

Y

r

P(x,y)

3

O

y

x

X

Y

r

P(x,y)

4

O

Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I,

kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

csc + + - -

sec + - - +

cot + - + -

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gb. 2.7. sudut yang berelasi

O

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180

), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi

nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut

dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 -

). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )

Dari gambar 2.7 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan garis y x, sehingga

diperoleh:

a. XOP = dan XOP1 = 90 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

a.sin (90 °−α )=

y1

r1

= xr=cosα

b.cos (90 °−α )=

x1

r1

= yr=sin α

c.tan (90 °−α )=

y1

x1

= xy=cot α

y

x X

Y

P(x,y)r

(180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O


Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri

sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.sin (180 °−α )=

y1

r 1

= yr=sin α

b.

cos180 cos

1

1

r

x

r

x

c.tan (180 °−α )=

y1

x1

= y−x

=−tan α

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

a. sin (90 °−α )=cosα d. csc (90 °−α )=sec α

b. cos (90 °−α )=sin α e. sec (90 °−α )=cosec α

c. tan (90 °−α )=cot α f. cot ( 90°−α )=tan α

a. sin (180−α )°=sin α ° d. csc (180 °−α )=cscα

b. cos (180 °−α )=−cosα e. sec (180 °−α )=−sec α

c. tan (180 °−α )=−tan α f. cot (180 °−α )=−cot α

3.

y

x X

Y

P(x,y)

r

(180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O


Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah

bayangan dari titik P(x,y) akibat

pencerminan terhadap garis y x,

sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 +

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.sin (180 °+α )=

y1

r1

=− yr

=−sin α

b.cos (180 °+α )=

x1

r1

=−xr=−cosα

c.tan (180°+α )=

y1

x1

=− y−x

= yx=tan α


4.

a. sin (180 °+α )=−sin α d. csc (180 °+α )=−csc α

b. cos (180 °+α )=−cos α e. sec (180 °+α )=−sec α

c. tan (180 °+α )=tan α f. cot (180°+ α )=cot α

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O -


Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) Dari gambar 2.10 diketahui titik

P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan terhadap sumbu

x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a.sin (−α )=

y1

r1

=− yr

=−sin α

b.cos (−α )=

x1

r1

= xr=cosα

c.tan (−α )=

y1

x1

=− yx

=−tan α


Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360

, misalnya sin (360 ) sin .

a. sin (−α )=−sin α d. csc (−α )=−csc α

b. cos (−α )=cosα e. sec (−α )=sec α

c. tan (−α )=− tan α f. cot (−α )=−cot α

y

x X

Y P(r, )

r

O

Gb. 2.12. koordinat kutub

y

x X

YP(x,y)

O

Gb. 2.11. koordinat kartesius

E. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub

Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy

selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub.

Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan

dalam koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar 2.12.

Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari

dengan hubungan:

cos α= xr x=r cos α

sin α= yr y=rsin α

jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r,

) dapat dicari dengan hubungan:

r=√x2+ y2

tan α= yx arc tan

yx , arc tan adalah invers dari tan

Contoh:

1. Ubahlah menjadi koordinat kutub

a. B(5,5) b. C (−4,4√3)

2. Ubahlah P (12,60) menjadi koordinat kartesius

Penyelesaian:

1. a. B (5,5) b. C (−4,4√3)

x 5, y 5 (kuadran I) x 4, y 4 √3 (kuadran II)

r=√52+52 r=√ (−4 )2+( 4√3 )2

=√25+25=5√2 =√16+48=√64=8

tan α=55=1

45 tan α=4√3

−4=−√3

120

jadi B (5√2 ,45 ° ) jadi C (8, 120)

2. P (12,60) diubah ke koordinat kartesius

x r cos y r sin

12 cos 60 12 sin 60

12(1/2) 12( 1

2√3)

x 6 y 6√3

Jadi koordinat kartesiusnya P(6,6√3 )

y

x X

Y P(x, y)

r

O

Gb. 2.13. rumus identitas

F. Identitas Trigonometri

D a r i g a m b a r d i s a m p i n g d i p e r o l e h

cos α= xr ,

sin α= yr dan r=√x2+ y2

. Sehingga

sin2 α+cos2 α= y2

r2+ x2

r2

= x2+ y2

r2=r2

r2=1

G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan

trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau

radian.

Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang

memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan

menjadi benar.

1. Menyelesaikan persamaan sin x sin

Dengan mengingat rumus

sin2 +cos2 1Jadi

sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh:

Jika sin x sin maka

x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B

2. Menyelesaikan persamaan cos x cos


cos (−α )=cosα dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh

3. Menyelesaikan persamaan tan x tan


tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka diperoleh:

contoh:

Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0 x 360.

a)sin x=1

2 c) tan x=−√3

b)cos x=1

2√3

Penyelesaian:

a)sin x=1

2 sin x sin 30

x + k. 360 untuk k = 0 x 30

x (180 ) + k.360 untuk k = 0 x 180 30 150

Jika cos x cos maka

x + k. 360 atau x + k. 360, k B

Jika tan x tan maka

x + k. 180 , k B

rr

O A

B

b)cos x=1

2√3

cos x cos 30

x + k. 360 untuk k = 0 x 30

x + k. 360 untuk k = 1 x 30 + 360 330

c) tan x=−√3 tan x tan 120

x + k. 180 untuk k = 0 x 120

untuk k = 1 x 120 + 180 300

Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu

radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang

panjangnya sama dengan jari-jari.

AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

360 =

2 πrr rad

= 2 rad

180 = rad

pendekatan 1 rad = 57,3.

Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk

penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula menggunakan

A D E B

C

G F

satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x sin A maka

penyelesaiannya adalah:

x A + k. 2 atau x ( A) + k. 2 , k B

di mana x dan A masing-masing satuannya radian.

H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus cos ( + ) dan cos ( )

Pada gambar di samping diketahui

garis CD dan AF keduanya adalah

garis tinggi dari segitiga ABC. Akan

dicari rumus cos ( + ).

cos (α+β )=ADAC AD=AC cos (α+β )

Pada segitiga sikusiku CGF

sin α=GFCF GF=CF sin α …………..(1)

Pada segitiga sikusiku AFC,

sin β=CFAC CF=AC sin β …………..(2)

cos β=AFAC AF=AC cos β …………..(3)

Pada segitiga sikusiku AEF,

Gb. 2.14

cos α=AEAF AE=AF cos α …………..(4)

Dari (1) dan (2) diperoleh

GF AC sin sin

Karena DE GF maka DE AC sin sin

Dari (3) dan (4) diperoleh

AE AC cos cos

Sehingga AD AE DE

AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin

Jadi

Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu

disubstitusikan ke rumus cos ( + ).

cos ( ) cos ( + ())

cos cos () sin sin ()

cos cos sin (sin )

cos cos + sin sin

Jadi

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

2. Rumus sin ( + ) dan sin ( )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat

rumus sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan

cos (90 ) sin

sin ( + ) cos (90 ( + ))

cos ((90 ) )

cos (90 ) cos + sin (90 ) sin

sin cos + cos sin

Jadi

Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua

sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).

sin ( ) sin ( + ( ))

sin cos () + cos sin ()

sin cos + cos (sin )

sin cos cos sin

Jadi

sin ( + ) sin cos + cos sin

sin ( ) sin cos cos sin

3. Rumus tan ( + ) dan tan ( )

Dengan mengingat tan α=sin α

cos α , maka

tan (α+β )=sin ( α+β )cos (α+β )

=sin α cos β+cos α sin βcos α cos β−sin α sin β

tan (α+β )=

sin α cos β+cosα sin βcosα cos βcos α cos β−sin α sin βcos α cos β

=

sin αcos α

+sin βcos β

1−sin αcos α

⋅sin βcos β

=tan α+ tan β

1−tan α tan β

Jadi

Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu

disubstitusikan ke tan ( + ).

tan ( ) tan ( + ( ))

=tan α+ tan (−β )1−tan α tan (−β )

=tan α− tan ( β )1−tan α (−tan β )

=tan α− tan β1+ tan α tan β

Jadi

tan (α+β )=tan α+ tan β1− tan α tan β

tan (α−β )=tan α− tan β1+ tan α tan β

I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat

dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos

Jadi

2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2

Jadi

Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat

diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.

cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2

cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2

2cos2 1 1 2 sin2

Sehingga

3.tan 2α= tan ( α+α )=tan α+ tan α

1−tan α tan α= 2 tan α

1−tan2 α

Jadi

sin 2 2 sin cos

cos 2 cos2 sin2

1) cos 2 cos2 sin2

2) cos 2 2cos2 1

3) cos 2 1 2 sin2

tan 2α= 2 tan α

1−tan2 α

+

+

J. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan

1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:



cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

Jadi



cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

Jadi

2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:



sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

Jadi




Jadi

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin


sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin

K. Rangkuman

a) Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

b) Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri tiap kuadran

0 30 45 60 90

sin 012

12√2

12√3 1

cos 112√3

12√2

12

0

tan 013√3 1 √3

tak

terdefinisi

cot tak

terdefinisi√3 1

13√3 0

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

csc + + - -

sec + - - +

cot + - + -

1) sin (180−α )°=sin α ° 4) csc (180 °−α )=csc α

2) cos (180 °−α )=−cosα 5) sec (180 °−α )=−sec α

3) tan (180 °−α )=−tan α 6) cot (180 °−α )=−cot α

c) Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

a. perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - )

b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

c. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )

d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

d) Menyelesaikan persamaan trigonometri

a. Jika sin x sin maka

x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B

1) sin (90 °−α )=cosα 4) csc (90 °−α )=sec α

2) cos (90 °−α )=sin α 5) sec (90 °−α )=csc α

3) tan (90 °−α )=cot α 6) cot ( 90°−α )=tan α

1) sin (180 °+α )=−sin α 4) csc (180 °+α )=−csc α

2) cos (180°+α )=−cos α 5) sec (180 °+α )=−sec α

3) tan (180 °+α )=tan α 6) cot (180°+ α )=cot α

1) sin (−α )=−sin α 4) cosec (−α )=−cosec α

2) cos (−α )=cosα 5) sec (−α )=sec α

3) tan (−α )=− tan α 6) cot (−α )=−cot α

b. Jika cos x cos maka

x + k. 360 atau x + k. 360, k B

c. Jika tan x tan maka x + k. 180 k B

e) Rumus-rumus trigonometri

a. Jumlah dan selisih dua sudut

1) cos ( + ) cos cos sin sin

2) cos ( ) cos cos + sin sin

3) sin ( + ) sin cos + cos sin

4) sin ( ) sin cos cos sin

5)tan (α+β )=tan α+ tan β

1− tan α tan β

6)tan (α−β )=tan α− tan β

1+ tan α tan β

b. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap

1) sin 2 2 sin cos

2) cos 2 cos2 sin2

cos 2 2cos2 1

cos 2 1 2 sin2

c. Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan

1) cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

2) cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

3) sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

4) sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin

3) tan 2α= 2 tan α

1−tan2 α

Daftar Pustaka

Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM.

Yogyakarta: PPPG Matematika.

Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach.

Canada: John Wiley and Sons, Inc.

id.wikipedia.com

Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced

Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher.

matematikanet.com

Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California:

Houghton Mifflin Company.

Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar

Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU

Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Documents

makalah mtk trigonometri.docx