0

MAKALAH PSIKOLOGI PEMBELAJARAN

MATEMATIKA

“ PROBLEM POSING,SOLVING, DAN OPEN-ENDED“

DISUSUN OLEH :

KELOMPOK 12

1. NOVITA SIDABUTAR (113174020)

2. HENNY RETNOSARI (113174021)

3. SULALAH (113174022)

2011A

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

2013

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan YME karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan makalah dengan judul “Problem Solving” ini. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Psikologi Pembelajaran Matematika. Terselesaikannya penulisan makalah ini merupakan berkat dukungan dari semua pihak, untuk itu kami menyampaikan terima kasih kepada :1. Prof. Dr. Mega Teguh Budiarto, M.Pd. selaku dosen mata kuliah Psikologi

Pembelajaran Matematika yang membimbing dan memberikan arahan kepada kami.

2. Orang tua kami yang senantiasa memberikan dukungan serta doanya.3. Segenap pihak yang telah ikut andil dalam proses penulisan tugas makalah ini.

Makalah ini berisikan informasi tentang biografi George Polya, pemecahan masalah (problem solving), problem posing (pengajuan masalah) dan open ended dalam pembelajaran matematika.

Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih terdapat

kekurangan.Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun.Kami juga berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat

bagi para pembaca.

Surabaya, 27 Oktober 2013

Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..............................................................................................iDAFTAR ISI............................................................................................................iiDAFTAR GAMBAR..............................................................................................ivDAFTAR TABEL...................................................................................................ivBAB I PENDAHULUAN........................................................................................1

1.1. Biografi George Polya.............................................................................1

1.2. Pengertian Masalah..................................................................................2

BAB II ISI................................................................................................................42.1 Problem Posing (Pengajuan Masalah).....................................................4

2.1.1 Pengertian Problem Posing................................................................4

2.1.2 Teori Belajar Pendukung Pendekatan Pengajuan Masalah (Problem Posing) 4

2.1.3 Klasifikasi Aktivitas Kognitif dalam Pembuatan Soal......................7

2.1.4 Macam-macam Problem Posing........................................................8

2.1.5 Kelebihan dan kelemahan problem posing........................................9

2.2 Problem Solving.....................................................................................10

2.2.1 Pemecahan Masalah (Problem Solving) Menurut Polya.................10

2.2.2 Perencanaan Mengajarkan Pemecahan Masalah..............................12

2.2.3 Karakteristik Bagi Orang Yang Mampu Melakukan Problem Solving 14

2.2.4 Kelebihan dan Kelemahan Problem Solving...................................14

2.2.5 Aplikasi Pemecahan Masalah Polya Dalam Pembelajaran Matematika.....................................................................................................15

2.2.6 Keterkaitan Problem Posing dengan Problem Solving....................21

2.3 Pendekatan Open Ended........................................................................21

2.3.1 Pengertian Pendekatan Open Ended................................................21

2.3.2 Masalah Open Ended.......................................................................23

2.3.3 Tipe Masalah Open Ended...............................................................23

2.3.4 Hal-Hal yang Harus Diperhatikan dalam Mengembangkan Rencana Pembelajaran...................................................................................................24

2.3.5 Kelebihan dan Kelemahan Open Ended..........................................26

BAB III PENUTUP...............................................................................................27

iii

3.1 Kesimpulan............................................................................................27

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................28

iv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. George Polya..........................................................................................1Gambar 2. Contoh Soal Untuk Srategi Tebak dan Periksa....................................17Gambar 3. Penyelesaian Masalah dengan Strategi Tebak dan Periksa..................17

v

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Tabel untuk Penyelesaian Masalah..........................................................20

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Biografi George Polya

Gambar 1. George Polya

George Polya merupakan anak keempat dari lima bersaudara yang lahir pada tanggal 13 Desember 1887 di Budapest, Hungaria. Ibunya bernama Anna Deutsch dan ayahnya bernama Jakab Polya. Orang tua Polya lahir sebagai seorang Yahudi, namun pada tahun 1886, berpindah agama ke Roman Catholicims. Ibunya menginginkan Polya untuk meneruskan profesi ayahnya sebagai seorang pengacara dengan kuliah di bidang hukum.

Polya masuk Universitas Budapest pada tahun 1905. Pada awalnya Polya mengambil jurusan hukum, namun hal tersebut hanya bertahan satu semester karena dianggap membosankan dengan semua teknis hukum yang mengharuskan Polya untuk menghafal. Lalu Polya mencoba untuk belajar Biologi, kemudian beralih untuk mempelajari bahasa Latin dan sastra hingga memperoleh gelar di bidang sastra. Namun karena bosan Polya memutuskan untuk belajar mengenai matematika dan fisika. Polya akhirnya menyadari bahwa dirinya mencintai matematika.

Pekerjaan pertama Polya adalah menjadi pengajar bagi seorang anak muda yang bernama Gregor. Gregor harus berjuang sangat keras dalam memahami pelajaran karena kurangnya keterampilan Gregor dalam pemecahan masalah. Polya menghabiskan berjam-jam waktunya dan mengembangkan metode pemecahan masalah yang akan diterapkannya untuk Gregor serta yang lainnya yang memiliki situasi yang sama. Polya menyatakan bahwa masalah keahlian bukan merupakan bawaan kualitas, tetapi merupakan sesuatu yang dapat diajarkan. Dengan berdasar pada hal itulah Polya dapat mengembangkan teori mengenai pemecahan masalah.

Polya memperoleh gelar PhD dalam matematika dari Budapest. Polya merupakan seorang guru besar matematika. Pada tahun 1914-1940 Polya

2

mengajar di ETH Zürich di Swiss.. Kemudian, pada tahun 1940-1953 di Stanford University, Polya diangkat sebagai “Stanford Professor Emeritus the rest of his life and career“.  Polya adalah penerima berbagai penghargaan di bidang matematika. Polya layak disebut matematikawan paling berpengaruh pada abad 20. Polya merupakan tokoh besar yang mendorong penggunaan teknik pemecahan masalah dalam belajar matematika. Polya bekerja pada berbagai macam topik matematika antara lain teori bilangan, analisis matematis, geometri, aljabar dan probabilitas dan kombinatorik. Polya juga mampu membuat hasil mengesankan pada fungsi-fungsi integral.

Polya menerbitkan sebuah buku yang luar biasa berjudul How to Solve It pada tahun 1945. Buku ini ternyata menjadi buku best seller yang terjual lebih dari 1 juta eksemplar yang kemudian dialihbahasakan ke dalam 17 nahasa. Dalam buku How to Solve It, Polya memberikan metode sistematis umum untuk memecahkan masalah dari segala bidang, yang tidak hanya matematika. Selain itu, Polya juga menulis buku lainnya tentang topik:

1. Mathematical Discovery: On Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving;

2. Mathematics and Plausible Reasoning Volume I: Induction and Analogy in Mathematics;

3. Mathematics and Plausible Reasoning Volume II: Patterns of Plausible Reasoning George Polya kemudian dikenal sebagai “The Father of Problem Solving”

(Bapak Problem Solving) dan meninggal di Palo Alto, California pada 7 September 1985.

1.2. Pengertian MasalahSuatu pertanyaan akan menjadi suatu masalah hanya jika pertanyaan

tersebut memuat situasi yang mendorong seseorang untuk menyelesaikannya akan tetapi tidak mengetahui secara langsung apa yang harus dikerjakan untuk menyelesaikannya dan tidak mempunyai aturan tertentu yang segera dapat dipergunakan untuk menemukan jawaban dari pertanyaan tersebut. Apabila suatu pertanyaan diberikan kepada seseorang dan secara langsung dia mengetahui cara menyelesaikannya dengan benar, maka pertanyaan tersebut menjadi tidak bermakna dan tidak dapat dikatakan sebagai masalah.

Pertanyaan yang dihadapkan kepada siswa haruslah dapat diterima oleh siswa tersebut. Jadi pertanyaan itu harus sesuai dengan struktur kognitif siswa. Demikian juga pertanyaan merupakan suatu masalah bagi seorang siswa pada suatu saat, tetapi bukan merupakan suatu masalah lagi bagi siswa tersebut pada saat berikutnya, bila siswa tersebut sudah mengetahui cara atau proses mendapatkan penyelesaian masalah tersebut.

Dalam pengajaran matematika, pertanyaan yang dihadapkan kepada siswa

3

biasanya disebut soal. Soal matematika akan menjadi masalah bagi siswa, jika siswa tersebut:

1. Memiliki pengetahuan/ materi prasyarat untuk menyelesaikan soal yang diajukan;

2. Diperkirakan memiliki kemampuan untuk menyelesaikan soal tersebut;

3. Belum mempunyai algoritma atau prosedur untuk menyelesaikannya;4. Punya keinginan untuk menyelesaikannya.Dengan demikian keterampilan memecahkan masalah harus dimiliki

siswa. Keterampilan tersebut akan dimiliki para siswa bila guru mengajarkan bagaimana memecahkan masalah yang efektif kepada siswa.

BAB II ISI

2.1 Problem Posing (Pengajuan Masalah)2.1.1 Pengertian Problem PosingMenurut Silver (Abu-Elwan.2000) problem posing meliputi beberapa

pengertian, yaitu:1. Problem posing adalah perumusan soal sederhana atau perumusan ulang

soal yang ada dengan beberapa perubahan agar lebih sederhana dan dapat dipahami dalam rangka memecahkan soal yang rumit (problem posing sebagai salah satu langkah problem solving)

2. Problem posing adalah perumusan soal yang berkaitan dengan syarat-syarat pada soal yang telah dipecahkan dalam rangka mencari alternatif pemecahan lain atau mengkaji kembali langkah problem solving yang telah dilakukan

3. Problem posing adalah merumuskan atau membuat soal dari situasi yang diberikan dengan pengetahuan yang diperoleh dengan cara lain, Menurut Ellerton (Christou et al,1999) problem posing adalah pembuatan

soal oleh siswa yang dapat mereka pikirkan tanpa pembatasan apapun baik terkait isi maupun konteksnya

Silver et al. (1996) dalam penelitiannya menemukan bahwa pendekatan pengajuan masalah matematika (mathematical problem posing) merupakan suatu aktivitas dengan 2 pengertian yang berbeda, yaitu: 1. proses mengembangkan masalah matematika yang baru oleh siswa

berdasarkan situasi yang ada, dan 2. proses menformulasikan kembali masalah matematika dengan kata-kata

siswa sendiri berdasarkan situasi yang biderikan. Dengan demikian, masalah matematika yang diajukan oleh siswa mengacu kepada situasi yang telah disiapkan oleh guru. Menurut (Brown, dan Walter, 1990) terdiri dari 2 aspek penting, yaitu

accepti dan challenging. Accepting berkaitan dengan kemampuan siswa memahami situasi yang sudah ditentukan. Sementara challenging, berkaitan dengan sejauhmana siswa merasa tertantang dari situasi yang diberikan sehingga melahirkan kemampuan untuk mengajukan masalah atau soal matematika. Hal ini berarti bahwa pengajuan masalah matematika (mathematical problem posing) dapat membantu siswa untuk mengembangkan proses nalar mereka.

2.1.2 Teori Belajar Pendukung Pendekatan Pengajuan Masalah (Problem Posing)Terdapat tiga teori belajar yang mendasari pendekatan pengajuan masalah

(mathematical problem posing) Ketiga teori belajar itu adalah:a. Teori Belajar Piaget Dan Pandangan Konstruktivisme

5

Teori belajar atau teori perkembangan mental piaget biasa juga disebut teori perkembangan intelektual atau teori perkembangan kognitif. Teori belajar yang dikemukakan oleh piaget tersebut berkenaan dengan kesiapan anak untuk belajar, yang dikemas dalam tiap tahap perkembangan intelektual dari lahir hingga dewasa. Setiap tahap perkembangan intelektual tersebut dilengkapi dengan ciri-ciri tertentu dalam mengkonstruksi pengetahuan. Misalnya pada tahap sensori anak berpikir melalui gerak atau perbuatan. Dalam kaitannya dengan teori belajar konstruktivisme, piaget yang dikenal sebagai konstruktivis pertama menegaskan bahwa pengetahuan dibangun dalam pikiran anak. Selanjutnya, timbul pertanyaan bagaimanakah cara anak membangun pengetahuan tersebut? Lebih jauh piaget mengemukakan bahwa pengetahuan tidak diperoleh secara pasif oleh seseoarng, akan tetapi melalui tindakan. Perkembangan kognitif anak bahkan tergantung kepada seberapa jauh mereka aktif memanipulasi dan berinteraksi dengan lingkungannya. Adaptasi terhadap lingkungan dilakukan melalui proses asimilasi dan akomodasi. Asimilasi adalah penyerapan informasi baru dalam pikiran.Sementara akomodasi adalah menyusun kembali struktur pikiran karena adanya informasi baru, sehingga dengan demikian informasi tersebut mempunyai tempat. Akomodasi dapat juga diartikan sebagai proses mental yang meliputi pembentukan skema baru yang cocok dengan rangsangan baru atau memodifikasi skema yang sudah ada sehingga cocok dengan rangsangan tersebut. Pandangan dari kalangan konstruktivistik yang lebih mutakhir, yang dikembangkang dari teori belajar kognitif piaget menyatakan bahwa pengetahuan dibangun dalam pikiran seseorang dengan kegiatan asimilasi dan akomodasi sesuai dengan skemata yang dimilikinya. Dalam hal ini, belajar merupakan proses aktif untuk mengembangkan skemata sehingga pengetahuan terkait bagaikan jarring laba-laba dan buka sekedar tersusun secara hirarkis. Belajar merupakan proses membangun atau mengkonstruksi pemahaman sesuai dengan kemampuan yang dimiliki seseorang. Dari pengertian di atas, dapat dipahami bahwa belajar adalah suatu aktivitas yang berlangsung secara interkatif antara faktor intern pada diri individu belajar dengan faktor ekstern atau lingkungan sehingga melahirkan suatu perubahan tingkah laku. Berbeda dengan konstruktivisme ala piaget, konstruktivisme sosial yang dikembangkan oleh Vigotsky menekankan bahwa, belajar dilakukan dengan interaksi terhadap lingkungan sosial maupun fisik seseorang.

b. Teori belajar Jerome S. BrunerSeperti kita ketahui bahwa Bruner yang terkenal dengan

pendekatan penemuannya, membagi perkembangan intelektual anak

6

dalam tiga kategori, yaitu enaktif, ikonik, and simbolik. Penjelasan lain, mengemukakan bahwa belajar melibatkan tiga proses yang berlangsung hampir bersamaan,yaitu memperoleh informasi baru,transformasi informasi, dan menguji relevansi dan ketepatan pengetahuan. Bruner mengemukakan 4 dalil yang penting dalam pembelajaranmatematika. Keempat dalil tersebut adalah:

1. dalil penyusunan (construction theorem), 2. dalil notasi (notation theorem), 3. dalil pengkontrasan dan keaneka ragaman (contrast and

variation theorem), 4. dalil pengaitan (connectivity theorem).

Namun demikian, di antara dalil-dalil yang paling erat kaitannya dengan pembelajaran matematika dengan pendekatan pengajuan masalah adalah dalil penyusunan dan dalil pengaitan

Kaitan antara teori belajar Bruner dengan pendekatan pengajuan masalah matematika (mathematical problem posing) dapat dilakukan dengan cara melibatkan siswa secara aktif untuk mengkonstruksi dan mengajukan masalah, soal, atau pertanyaan matematika sesuai dengan situasi yang diberikan. Misalnya, siswa menyusun dan mengaitkan ide-ide yang disediakan dengan skemata yang dimiliki oleh siswa. Pengajuan masalah dapat dilakukan oleh siswa secara individu, berpasangan atau berkelompok. Ketiga cara tersebut dapat menjadi penghubung antara topik yang diajarkan oleh guru dengan skemata.yang dimiliki oleh siswa. Selain itu, menurut Silver dan Cai (1996) hubungan tersebut penting artinya dalam meningkatkan kemampuan siswa mengajukan dan memecahkan masalah.

c. Teori belajar Robert M. GagnePandangan Gagne tentang belajar dikelompokkan menjadi 8 tipe.

Kedelapan tipe tersebut adalah belajar dengan:1. isyarat (signal),2. stimulus respon, 3. rangkaian gerak (motor chaining), 4. rangkaian verbal (verbal chaining), 5. memperbedakan (discrimination learning), 6. pembentukan konsep (concept formation), 7. pembentukan aturan (principle formation), dan8. pemecahan macalah (problem solving) (Russefendi, 1988). Terdapat 2 diantara 8 tipe belajar yang dikemukakan oleh Gagne yang

erat kaitannya dengan pengajuan masalah, yaitu:1. Rangkaian verbal (verbal chaining)

7

Rangkaian verbal dalam pembelajaran matematika dapat berarti mengemukakan pendapat yang berkaitan dengan konsep, symbol, definisi, aksioma, lemma atau teorema, dalil atau rumus. Sedangkan pengertian rangkaian verbal itu sendiri menurut Russefendi (1988) adalah perbuatan lisan terurut dari dua rangkaian kegiatan atau lebih stimulus respons. Dengan memperhatikan pengertian di atas, maka dapat dikatakan bahwa tipe belajar rangkaian verbal dapat mengantarkan siswa dalam mengaitkan skemata yang telah dimiliki siswa dengan unsure-unsur dalam matematika yang akan dipelajarinya.

2. Pemecahan masalah (problem solving)Pengajuan masalah merupakan langkah ke-5 setelah 4 langkah

Polya dalam pemecahan masalah matematika (Gonzales, 1996). Berkaitan dengan ini, Brown dan Walter (1993) menjelaskan bahwa dengan melihat tahap-tahap kegiatan antara pengajuan dan pemecahan masalah, maka pada dasarnya pembelajaran dengan pengajuan masalah matematika merupakan pengembangan dari pembelajaran dengan pemecahan masalah.

Dari beberapa pendapat tersebut dapat disimpulkan bahwa siswa yang mempunyai kemampuan yang baik dalam pemecahan masalah matematika,besar kemungkinan akan mampu mengajukan masalah, soal atau pertanyaan matematika yang lebih berkualitas. Sebaliknya, bagi mereka yang mempunyai kemampuan pemecahan masalah matematika yang kurang, kemungkinannya akan lebih banyak mengajukan masalah, soal, atau pertanyaan matematika yang tidak dapat diselesaikan atau respons mereka hanya berupa pernyataan.

2.1.3 Klasifikasi Aktivitas Kognitif dalam Pembuatan Soal Tiga aktivitas kognitif dalam pembuatan soal yaitu sebagai berikut menurut Silver dan Cai (Macdonald (2007))1. Pre-solution posing yaitu pembuatan soal berdasarkan situasi atau

informasi yang diberikan.ContohBuatlah soal berdasarkan informasi berikut iniNina bermaksud membeli sebuah buku seharga Rp.10.000,00, tetapi ia hanya mempunyai uang Rp.6000,00Soal-soal yang mungkin disusun siswa adalah sebagai berikut

Apakah Nina mempunyai cukup uang untuk membeli buku itu? Berapa rupiah lagi yang dibutuhkan nina agar ia dapat membeli

buku itu?

8

2. Within-Solution posing, yaitu pembuatan atau formulasi soal yang sedang diselesaikan.Pembuatan soal demikian dimaksudkan sebagai penyederhanaan dari soal yang sedang diselesaikan.dengan demikian, pembuatan soal demikian akan mendukung penyelesaian soal semula.ContohDiketahui soal sebagai berikutSebanyak 20.000 galon air diisikan ke kolam ruang dengan kecepatan

tetap setelah 4 jam pengisian.isi kolam renang tersebut menjadi 58−nya .

jika sebelum pengisian kolam tersebut telah berisi seperempatnya.berapakah kecepatan aliran air tersebut?Soal-soal yang mungkin disusun siswa yang dapat mendukung penyelesaian soal tersebut adalah sebagai berikut

a) Berapakah galon air di kolam renang ketika kolam itu berisi seperempatnya?

b) Berapakah perubahan banyaknya air dalam kolam renang setelah 5 jam pengisian?

3. Post Solution Posing strategi ini juga disebut sebagai strategi “Find a more challenging problem’’. Siswa memodifikasi atau merevisi tujuan atau kondisi soal yang telah diselesaikan untuk menghasilkan soal-soal baru yang lebih menantang. Pembuatan soal demikian merujuk pada strategi “what-if-not...?” atau “what happen if...”. beberapa teknik yang dapat digunakan untuk membuat soal dengan strategi itu adalah sebagai berikut:

a) Mengubah informasi atau data pada soal semulab) Menambah informasi atau data pada soal semulac) Mengubah nilai data yang diberikan, tetapi tetap mempertahankan

kondisi atau situasi soal semula.d) Mengubah situasi atau kondisi soal semula, tetapi tetap

mempertahankan data atau informasi yan ada pada soal semula.ContohLuas persegi panjang dengan panjang 2 m dan lebar 4 m adalah 8 m2

Soal-soal yang dapat disusun adalah sebagai berikuta) Bagaimana jika lebarnya buan 2 m tetapi 3 m? Bagaimana

luasnya?b) Apa yang terjadi jika mengubah panjang dan lebarnya

masing-masing menjadi dua kali? Apakah luasnya juga akan menjadi dua kali luas semua?

2.1.4 Macam-macam Problem Posing Problem posing di klasifikasikan menjadi 3 macam (Abu-

Elwan(2000)),yaitu:

9

1. Free problem posing (problem posing bebas). Menurut tipe ini siswa diminta untuk membuat soal secara bebas berdasarkan situasi kehidupan sehari-hari.Tugas yang diberikan kepada siswa dapat bebentuk “buatlah soal yang sederhana atau kompleks”, Buatlah soal untuk temanmu”, atau “buatlah soal sebagai hiburan (for fun)”.

2. Semi-structured problem posing (problem posing semi struktur). Dalam hal ini siwa diberikan suatu situasi bebas atau terbuka dan diminta untuk mengeksplorasi dengan menggunakan pengetahuan, keterampilan, atu konsep yang telah mereka miliki. Bentuk soal yang dapat diberikan adalah soal terbuka (open –ended problem) yang melibatkan aktivitas investigasi matematika, membuat soal berdasarkan soal yang diberikan, membuat soal dengan konteks yang sama dengan soal yang diberikan, membuat soal yang terkait dengan teorema tertentu, atau membuat soal berdasarkan gambar yang diberikan.

3. Structured problem posing (problem posing terstruktur). Dalam hal ini siswa diminta untuk membuat soal berdasarkan soal yang diketahui dengan mengubah data atau informasi yang diketahui.

2.1.5 Kelebihan dan kelemahan problem posinga. Kelebihan:

Kegiatan pembelajaran tidak terpusat pada guru, tetapi dituntut keaktifan siswa

Minat siswa dalam pembelajaran lebih besar dan siswa lebih mudah memahami soal karena dibuat sendiri

Semua siswa terpacu untuk terlibat secara aktif dalam membuat soal

Dengan membuat soal dapat menimbulkan dampak terhadap kemampuan sisswa dalam menyelesaikan masalah

Dapat membantu siswa dalam untuk melihat permasalahn yang ada dan yang baru diterima

Memberi penguatan pada konsep yang diterima/ memperkaya konsep dasar

Memberi keleluasaan kepada siswa untuk menggali pengetahuan dalam mencari dan menyusun soal sesuai denga pengetahuannya

Mampu melatih siswa meningkatkan kemandirian dalam belajar

b. Kelemahan: Persiapan guru harus lebih maksimal karena menyiapkan informasi

apa yang dapat disampaikan

10

Wakt yang digunakan lebih banyak untuk membuat soal dan penyelesaiannya sehingga materi yang disampaikan lebih sedikit waktu.

2.2 Problem Solving2.2.1 Pemecahan Masalah (Problem Solving) Menurut PolyaPolya (1985) mengartikan pemecahan masalah sebagai satu usaha mencari

jalan keluar dari satu kesulitan guna mencapai satu tujuan yang tidak begitu mudah segera untuk dicapai, sedangkan menurut utari (1994) dalam (Hamsah 2003) mengatakan bahwa pemecahan masalah dapat berupa menciptakan ide baru, menemukan teknik atau produk baru. Bahkan didalam pembelajaran matematika, selain pemecahan masalah mempunyai arti khusus, istilah tersebut mempunyai interpretasi yang berbeda, misalnya menyelesaikan soal cerita yang tidak rutin dan mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam bukunya How to Solve It, Polya (1985) mengajukan empat langkah fase penyelesaian masalah yaitu :a. Fase memahami masalah (understanding the problem)

Tanpa adanya pemahaman terhadap masalah yang diberikan, siswa tidak mungkin menyelesaikan masalah tersebut dengan benar. Langkah awal dalam tahapan yang diajukan oleh Polya ini adalah membaca masalah dan memastikan bahwa siswa memahami dengan jelas masalah yang diajukan oleh guru. Ditahap awal ini, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, antara lain : Apakah kata-kata yang digunakan dapat dipahami dengan jelas? Apakah siswa dapat mengemukakan kembali masalah yang diajukan

tersebut dengan menggunakan kata-kata mereka sendiri? Apakah informasi yang dimiliki oleh siswa telah cukup sehingga

memungkinkan untuk ditemukannya solusi yang tepat? Dapatkah dibuat gambar atau menemukan notasi yang cocok untuk

membantu dalam memahami masalah?Untuk beberapa masalah dalam matematika akan sangat berguna

untuk membuat diagramnya dan mengidentifikasi kuantitas-kuantitas yang diketahui dan dibutuhkan pada diagram tersebut. Biasanya dibutuhkan membuat beberapa notasi ( x, a, b, c, V=volume, m=massa dsb ).

b. Fase merencanakan penyelesaian (devising a plan)Selanjutnya para siswa harus mampu menyusun rencana atau

strategi. Penyelesaian masalah, dalam fase ini sangat tergantung pada pengalaman siswa lebih kreatif dalam menyusun penyelesaian suatu masalah, jika rencana penyelesaian satu masalah telah dibuat baik tertulis

11

maupun tidak. Polya menyebutkan bahwa banyak cara untuk memecahkan masalah. Keterampilan dalam memilih strategi yang tepat paling baik dipelajari dengan menyelesaikan banyak masalah. Siswa akan menemukan strategi yang tepat dengan mudah apabila telah banyak memecahkan masalah-masalah. Adapun hal-hal yang perlu diperhatikan dalam tahap ini antara lain: Menemukan hubungan antara informasi yang diberikan dan yang tidak

diketahui. Menghubungkan masalah tersebut dengan hal yang sebelumnya sudah

dikenali. Lihatlah pada hal yang tidak diketahui dan cobalah untuk mengingat masalah yang mirip atau memiliki prinsip yang sama.

Mencoba untuk mengenali polanya. Kadang-kadang perlu untuk memecah sebuah masalah kedalam

beberapa kasus dan pecahkan setiap kasus tersebut.c. Fase menyelesaikan masalah (carrying out the plan)

Langkah selanjutnya adalah siswa mampu menyelesaikan masalah, sesuai dengan rencana yang telah disusun dan dianggap tepat. Langkah yang ketiga ini biasanya lebih mudah dibandingkan dengan langkah merencanakan. Secara umum, yang dibutuhkan adalah perhatian dan kesabaran, mengingat siswa telah memiliki keterampilan yang diberikan.

Dalam menyelesaikan masalah harus dilakukan dengan tepat sesuai dengan rencana yang telah disusun. Apabila ternyata rencana tersebut kurang tepat karena belum dapat ditemukan solusi yang tepat, maka dapat memilih rencana yang lain. Hal yang harus diperhatikan dalam tahap ini adalah dapatkah siswa melihat dengan jelas bahwa langkah yang dijalankannya telah benar.

d. Fase melakukan pengecekan kembali semua langkah yang telah dikerjakan (looking back)

Dan langkah terakhir dari proses penyelesaian masalah menurut Polya adalah melakukan pengecekan atas apa yang dilakukan. Mulai dari fase pertama hingga fase ketiga. Dengan model seperti ini maka kesalahan yang tidak perlu terjadi dapat dikoreksi kembali sehingga siswa dapat menemukan jawaban yang benar-benar sesuai dengan masalah yang diberikan.

Polya menyebutkan bahwa banyak yang bisa diperoleh dengan merenungkan dan melihat kembali pada apa yang telah siswa lakukan. Hal-hal penting yang bisa dikembangkan dalam langkah terakhir ini antara lain : mencari kemungkinan adanya generalisasi, melakukan pengecekan terhadap hasil yang diperoleh, mencari cara lain untuk menyelesaikan masalah yang sama, mencari kemungkinan adanya penyelesaian lain, dan

12

menelaah kembali proses penyelesaian masalah yang telah dibuat. Siswa diharapkan agar bisa menggunakan kalimat yang

lengkap dan tepat untuk menyimpulkannya setelah mengetahui bahwa jawabannya telah tepat. Hal ini akan memungkinkan siswa untuk memprediksi strategi apa yang digunakan untuk memecahkan masalah pada permasalahan nantinya. Memikirkan atau menelaah kembali langkah-langkah yang telah dilakukan dalam pemecahan masalah merupakan kegiatan yang sangat penting untuk meningkatkan kemampuan anak dalam pemecahan masalah. 

Tingkat kesulitan soal pemecahan masalah harus di sesuaikan dengan tingkat kemampuan siswa. Hasil penelitian Driscol (1982). Pada anak usia sekolah dasar kemampuan pemecahan masalah erat sekali hubungannya dengan pemecahan masalah. Disadari atau tidak setiap hari kita dihadapkan dengan berbagai masalah yang dalam penyelesaiannya, tidak bisa diselesaikan dengan segera. Dengan demikian, tugas guru adalah membantu siswa dalam menyelesaikan masalah dengan spektrum yang luas yakni membantu siswa dalam memahami masalah, sehingga kemampuan dalam memahami konteks masalah bisa terus berkembang.

Dalam matematika hal seperti itu biasanya berupa pemecahan masalah yang didalamnya termuat soal cerita untuk mengembangkan kemampuan siswa dalam pemecahan masalah hal yang perlu ditingkatkan adalah kemampuan menyangkut berbagai hal teknik dan strategi pemecah masalah,pengetahuan, keterampilan dan pemahaman merupakan elemen–elemen penting dalam belajar matematika terkadang guru menghadapi kesulitan dalam mengajarkan cara menyelesaikan masalah dengan baik. Sementara dipihak lain siswa mengalami kesulitan bagaimana menyelesaikan masalah yang diberikan guru, kesulitan ini muncul, karena mencari jawaban dipandang sebagai satu-satunya tujuan yang ingin dicapai, karena hanya terfokus pada jawaban.

2.2.2 Perencanaan Mengajarkan Pemecahan MasalahMengajar siswa untuk memecahkan masalah perlu perencanaan.

Secaragaris besar, perencanaan itu sebagai berikut.a. Merumuskan tujuan.

Tujuan itu hendaknya menyatakan bahwa siswa akan mampu menyelesaikan masalah-masalah yang tidak rutin. Soal-soal yang serupa hendaknya dihindarkan sebab soal-soal yang demikian itu menjadi bukan masalah lagi bagi siswa tertentu.

b. Memerlukan pra-syarat.Untuk menyelesaikan setiap masalah matematika, seorang siswa

memerlukan pra-syarat pengetahuan, keterampilan dan pemahaman. Guru

13

harus mengindentifikasi apa yang telah dipelajari siswa sehingga masalah-masalah yang disajikan merupakan masalah yang sesuai. Sebagai contoh, masalah di bawah ini.Buktikan jumlah dua bilangan prima kembar yang bukan 3 dan 5 habis dibagi 6.Prasyarat yang perlu dimiliki seorang siswa untuk menyelesaikan masalah itu adalah bahwa siswa itu sudah mengerti arti habis dibagi 6, bilangan prima dan bilangan prima kembar. la sudah terampil menggunakan operasi membagi.

c. Mengajarkan Pemecahan Masalah.Untuk belajar memecahkan masalah, para siswa harus mempunyai

kesempatan untuk menyelesaikan masalah. Apabila mereka berhasil menyelesaikan masalah, mereka perlu mendapatkan penghargaan. Jadi mereka perlu mendapatkan pendekatan pedagogik untuk menyelesaikan masalah. Yang menjadi pertanyaan ialah bagaimana seorang guru menyiapkan masalahmasalah untuk para siswa dan bagaimana guru itu membuat para siswa tertarik dan suka menyelesaikan masalah yang dihadapi.

Guru harus mempunyai bermacam-macam masalah yang cocok sehingga bermakna bagi para siswanya. Sumber-sumber boleh diambil dari buku-buku, majalah-majalah yang berhubungan dengan matematika sekolah. Berikan masalah-masalah itu sebagai pekerjaan rumah. Pada suatu saat boleh juga para siswa memilih sendiri masalah-masalah itu, mengerjakan masalah-masalah tersebut, membicarakannya dan kemudian menyajikan penyelesaianya di depan kelas. Masalah-masalah tersebut dapat dikerjakan secara individu atau kelompok.

Agar supaya para siswa tertarik dan suka menyelesaikan masalah yang dihadapi perlu diberikan penghargaan. penghargaan itu dapat berupa nilai atau penghargaan khusus lainnya. Pujian juga jangan dilupakan. Hal itu semuanya merupakan cara yang efektif untuk mendorong keberhasilan, walaupun banyak juga para siswa yang dengan senang hati menyelesaikan masalah masalah yang dihadapi mereka memberikan penghargaan kepada diri mereka sendiri dengan kcberhasilan mereka itu.

Pertanyaan berikutnya yang timbul adalah "Bagaimana seorang siswa memulai menyelesaikan suatu masalah?" "Bagaimana strategi yang dapat dilakukan?" "Kemampuan apa yang akan bermanfaat baginya untuk menyelesaikan masalah itu?" Ketiga hal ini, secara bersama-sama merupakan usaha untuk menemukan.Untuk dapat mengajarkan pemecahan masalah dengan baik ada beberapa hal yang perlu diperhatikan :1. Waktu yang diperlukan, untuk menyelesikan masalah sangat relatif

artinya jika seseorang diperhadapkan dengan satu masalah dengan

14

waktu yang diberikan untuk menyelesaikannya tidak dibatasi, maka kecenderungannya seseorang tersebut tidak akan mengkonsentrasikan fikirannya secara penuh pada proses penyelesaian masalah yang diberikan.

2. Perencanaan, aktivitas pembelajaran dan waktu yang diperlukan harus direncanakan serta dikoordinasikan, sehingga siswa memiliki kesempatan yang cukup untuk menyelesaikan berbagai masalah dan menganalisis serta mendiskusikan pendekatan yang mereka pilih.

3. Sumber, buku matematika biasanya banyak memuat masalah yang sifatnya rutin, maka guru dituntut untuk menemukan masalah-masalah lain sehingga dapat menambah soal pemecahan masalah.

4. Teknologi, sekalipun banyak kalangan yang tidak setuju dengan penggunaan kalkulator disekolah akan tetapi pada hal tertentu dapat digunakan, karena alat tersebut perlu dipertimbangkan penggunaannya.

2.2.3 Karakteristik Bagi Orang Yang Mampu Melakukan Problem SolvingPemecahan masalah telah dilakukan beberapa puluh tahun yang lalu

diantaranya di lakukan oleh Dodson (1971); Hollander (1974) dalam Wono Setya Budi (2005:3). Menurut mereka kemampuan pemecahhan masalah yang harus ditumbuhkan adalah :

a. Kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika.b. Kemampuan untuk mencatat kesamaan, perbedaan dan analog.c. Kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih

prosedur yang benar.d. Kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan.e. Kemampuan menaksir dan menganalisa.f. Kemampuan mengvisualisasi dan menginterpretasi kuantitas.g. Kemampuan untuk memperumum berdasarkan beberapa contoh.h. Kemampuan untuk berganti metoda yang di ketahui.Selain kemampuan di atas, siswa mempunyai keadaan yang tentu untuk

masa yang akan datang sehingga dengan percaya diri dapat mengembangkan kemampuan tersebut.

2.2.4 Kelebihan dan Kelemahan Problem Solving Dalam menerapkan problem solving menurut Polya dalam pembelajaran

matematika, terdapat kelebihan dan kekurangan, antara lain sebagai berikut:a. Kelebihan:

Mendidik siswa berpikir secara sistematis dengan memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan hal-hal dengan dirinya sendiri.

15

Siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang telah dimiliki untuk diterapkan pada pemecahan masalah yang tidak rutin.

Merangsang perkembangan kemajuan berfikir siswa untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi dengan tepat.

Memecahkan masalah yang dihadapi secara realistis. Mendidik siswa untuk lebih percaya diri dalam memecahkan masalah Mengidentifikasi dan melakukan penyelidikan, menafsirkan dan

mengevaluasi hasil pengamatan. Mendidik anak agar tidak mudah putus asa dalam menghadapi

kesulitan Belajar menganalisa suatu kesalahan. Mampu mencari berbagai jalan keluar dari suatu kesulitan yang

dihadapi.b. Kelemahan

Beberapa pokok bahasan akan sangat sulit untuk menerapkannya. Memerlukan waktu yang lebih lama untuk menerapkannya dalam

pembelajaran Hanya bisa digunakan di kelas yang siswanya memiliki kemampuan

berpikir yang tinggi. Bagi guru, apabila tidak berhati-hati didalam memilih soal, pemecahan

masalah diajarkan sebagai latihan untuk keterampilan belaka yang sebenarnya hanya mengulang proses dan tidak bermakna bagi siswa.

2.2.5 Aplikasi Pemecahan Masalah Polya Dalam Pembelajaran MatematikaBerikut ini merupakan beberapa strategi pemecahan masalah matematika:

a. Membuat gambar atau diagram.Penekanan ini perlu dilakukan bahwa gambar atau diagram yang

dibuat tidak perlu sempurna, terlalu bagus atau terlalu aktual, yang penting bagian-bagian terpenting dari gambar itu dapat memperjelas masalah.

b. Menemukan polaKegiatan matematika yang berkaitan dengan proses menemukan

suatu pola dari sejumlah data yang diberikan, dapat mulai dilakukan melalui sekumpulan gambar atau bilangan. Kegiatan yang mungkin dilakukan antara lain dengan mengobservasi sifat-sifat yang dimiliki bersama oleh kumpulan gambar atau bilangan yang tersedia.

Sebagai suatu strategi untuk pemecahan masalah, pencarian pola yang pada awalnya hanya dilakukan secara pasif melalui permasalahan yang dikeluarkan oleh guru, pada suatu saat keterampilan itu akan terbentuk dengan sendirinya sehingga pada saat menghadapi permasalahan tertentu, salah satu pertanyaan yang mungkin muncul pada benak

16

seseorang antara lain adalah ”Adakah pola atau keteraturan tertentu yang mengaitkan tiap data yang diberikan?”. Tanpa melalui latihan sangat sulit bagi seseorang untuk menyadari bahwa dalam permasalahan yang dihadapinya terdapat pola yang bisa diungkap.

c. Membuat tabelMengorganisasi data ke dalam sebuah tabel dapat membantu kita

dalam mengungkapkan suatu pola tertentu serta dalam mengidentifikasi informasi yang tidak lengkap. Penggunaan tabel merupakan langkah yang sangat efisien untuk melakukan klasifikasi serta menyusun sejumlah besar data sehingga apabila muncul pertanyaan baru berkenaan dengan data tersebut, maka kita akan dengan mudah menggunakan data tersebut, sehingga jawaban pertanyaan tadi dapat diselesaikan dengan baik.

d. Memperhatikan semua kemungkinan secara sistematikStrategi ini biasanya digunakan bersamaan dengan strategi mencari

pola dan menggambar tabel. Dalam menggunakan strategi ini, kita tidak perlu memperhatikan keseluruhan kemungkinan yang bisa terjadi.Yang kita perhatikan adalah semua kemungkinan yang diperoleh dengan cara sistematik. Yang dimaksud sistematik disini misalnya dengan mengorganisasikan data berdasarkan kategori tertentu. Namun demikian untuk masalah-masalah tertentu, mungkin kita harus memperhatikan semua kemungkinan yang bisa terjadi.

e. Tebak dan periksa ( Guess and Check )Strategi menebak yang dimaksudkan disini adalah menebak yang

didasarkan pada alasan tertentu serta kehati-hatian. Selain itu, untuk dapat melakukan tebakan dengan baik seseorang perlu memiliki pengalaman cukup yang berkaitan dengan permasalahan yang dihadapiContoh:Letakkan bilangan-bilangan ke dalam kotak di bawah ini pada persegipersegi, sehingga bilangan yang terletak pada masing-masing lingkaran berjumlah sama.(-1, -2, -3, -4, -5, -6)

17

Gambar 2. Contoh Soal Untuk Srategi Tebak dan Periksa

Penyelesaian :1. Memahami masalah

Diketahui:a. Meletakkan Bilangan-bilangan dalam kotak yang satu lingkaranb. Bilangan –bilangan itu: -1, -2, -3, -4, -5, -6

2. Membuat Rencana Pemecahan MasalahLakukan percobaan dengan cara mengambil satu persatu bilangan yang diketahui kemudian jumlahkan yang terletak pada satu lingkaran.

3. Melaksanakan RencanaDengan berbagai percobaan didapatlah sebagai berikut.

Gambar 3. Penyelesaian Masalah dengan Strategi Tebak dan Periksa

4. Lihatlah kembaliDengan memeriksa setelah memasukkan digit tadi, sehingga lebih yakinlah peserta didik.

f. Strategi kerja mundurSuatu masalah kadang-kadang disajikan dalam suatu cara sehingga

yang diketahui itu sebenarnya merupakan hasil dari proses tertentu, sedangkan komponen yang ditanyakan merupakan komponen yang

18

seharusnya muncul lebih awal. Penyelesaian masalah seperti ini biasanya dapat dilakukan dengan menggunakan strategi mundur.Contoh:Bagas dan Soni berencana untuk makan di warung Pak Bimo dan pergi latihan basket bersama. Latihan basket dimulai pukul 10.00. Bagas memerlukan waktu ¾ jam untuk menjemput Soni dan pergi ke warung Pak Bimo dekat lokasi latihan basket. Untuk makan dan berjalan ke lokasi latihan diperlukan waktu 1¼ jam. Mereka ingin tiba di lokasi latihan 15 menit sebelum di mulai. Pukul berapa Bagas seharusnya meninggalkan rumahnya?Penyelesaian:1. Memahami masalah

Diketahui:a. Latihan basket dimulai pukul 10.00b. Menjemput Soni ¾ jamc. Makan dan berjalan ke lokasi latihan 1 ¼ jamd. Ingin tiba di lokasi latihan 15 menit sebelum di mulai.e. Pukul berapa Bagas seharusnya meninggalkan rumahnya?

2. Membuat Rencana Pemecahan MasalahBekerja mundur salah satu langkah pemecahan masalah ini yang

efektif dan efisien yaitu mulai dari pukul 10.00 kemudian dikurangi 15 menit dikurangi pula 1 ¼ jam selajutnya dikurangi lagi ¾ jam.

3. Melaksanakan RencanaDengan memperhatikan rencana pemecahan masalah yang telah

dibuat maka dapat dihitung sebagai berikut:Dimulai pukul 10.00. Tiba di lokasi 10.00 – 15 menit = 9.45Makan dan berjalan 9.45 – 1.15 = 8.30Menjemput Soni dan ke warung 8.30 – 45 menit = 7.45Jadi Bagas meninggalkan rumah pukul 7.45

4. Lihatlah kembaliDengan memeriksa setelah mendapatkan hasilnya dapatlah dicek

kebenarannya dengan memulai berangkat dari pukul 7.45 kemudian menambahkan ¾ jam = 7.45 + 45 = 8.30 selajutnya 8.30 dijumlahkan dengan 1 ¼ jam = 8.30 + 1.15 = 9.45 . Hal ini berarti bahwa benar tiba 15 menit sebelum pukul 10.00 sehingga lebih yakinlah peserta didik bahwa jawaban yang dicari benar.

g. Menggunakan kalimat terbukaStrategi ini juga termasuk sering diberikan dalam buku matematika

sekolah dasar. Walaupun strategi ini termasuk sering digunakan, akan tetapi pada langkah awal anak seringkali mendapat kesulitan untuk menentukan kalimat terbuka yang sesuai. Untuk sampai pada kalimat yang dicari, seringkali harus melalui penggunaan strategi lain, dengan maksud

19

agar hubungan antar unsur yang terkandung di dalam masalah dapat dilihat secara jelas. Setelah itu baru dibuat kalimat terbukanya.

Berikut merupakan contoh permasalahan yang akan diselesaikan menggunakan teori problem solving Polya:Contoh 1Permasalahan :Seorang guru mengajukan masalah dengan meminta siswa untuk menjumlahkan 100 bilangan asli yang pertama. Jika siswa tersebut menjumlahkan angka 1,2,3...100 maka akan menyita waktu yang cukup lama untuk menemukan jawabannya, akan tetapi dengan menggunakan langkah-langkah pemecahan masalah maka waktu yang digunakan cukup cepat.

Penyelesaian :1. Memahami masalah

Bilangan 1,2,3,4...100 dengan demikian masalah yang muncul adalah 1+2+3...+100 = ....?

2. Merencanakan penyelesaianSalah satu strategi yang diterapkan adalah mencari kemungkinan adanya satu pola.Untuk menyelesaikan masalah ini bila dilakukan pola seperti :

1+2+3+…+100=x100+99+98+…+1=x101+101+101+…+101=2 x

Karena jumlahnya 101 maka ada 100 pasang bilangan yang berjumlah 101.

3. Menyelesaikan masalahJika terdapat 100 pasang bilangan 101, maka hasilnya adalah 2x, maka akan di peroleh

100 ×101=2 x1010=2xx=10102 x=5050

4. Memeriksa kembaliMetode yang digunakan secara matematika sudah benar. Sebab

penjumlahan dapat dilakukan dalam urutan yang berbeda dan perkalian adalah penjumlahan yang berulang.

Contoh 2Permasalahan :Lima orang pemain catur, Ali, Ani, Amin, Hamsah, dan Suko berpartisipasi dalam suatu pertandingan catur yang mewakili sekolah. Masing-masing tim harus paling sedikit seorang memainkan bidak hitam dan seorang yang lain memainkan bidak putih. Dua orang siswa mewakili “Sekolah Nusantara” dan tiga orang siswa lainnya mewakili "Sekolah

20

Bumi Putera". dari kelima siswa yang bertanding itu, tiga siswa memainkan bidak hitam, dua lainnya memainkan bidak putih. Ali dan Hamzah berasal dari sekolah yang sama, sedang Amin dan Suko berbeda sekolah. Ani dan Amin memainkan bidak yang sama sedang Hamzah dan Suko memainkan bidak yang berbeda warnanya. Seorang pemain bidak putih dari ”Sekolah Nusantara” sebagai pemenang. Siapa pemenang itu ?

Penyelesaian :1. Memahami masalah.

a. Dalam bermain catur berpasangan, satu pihak memainkan bidak putih dan pihak lain memainkan bidak hitam.

b. Dua orang mewakili "Sekolah Nusantara", tiga orang mewakili "Sekolah bumi Putera".

c. Tiga orang memainkan bidak hitam, dua orang memainkan bidak putih

d. Ali dan Hamzah dari sekolah yang sama Amin dan Suko dari sekolah yang berbeda Ani dan Amin memainkan bidak yang sama warnanya Hamzah dan Suko memainkan bidak yang berbeda warnanya.

2. Merencanakan penyelesaian.Kita akan menyusun tabel yang disesuaikan dengan fakta, yang

diketahui dengan tanda "+" atau ”-” untuk masing-masing pemain bidak hitam; pemain bidak putih. Juga ”+” atau "-" masing-masing untuk Sekoah Nusantara dan Sekolah Bumi Putera.

Kategori Ali Ani Amin Hamzah SukoBidak hitam - + + + -Bidak putih + - - - +Nusantara - + - - +

Bumi putera + - + + -

Tabel 1. Tabel untuk Penyelesaian Masalah

3. Melaksanakan perencanaanAli dan Hamzah dari sekolah yang sama, Amin dan Suko dari

sekolah yang berbeda. Apa yang dapat kita simpulkan ? (Ali dan Hamzah serta Amin atau Suko dari Sekolah Bumi Putera). Ani haruslah dari Sekolah Nusantara. Ani dan Amin memainkan bidak hitam, demikian juga Hamzah atau Suko. Jadi Ali memainkan bidak putih. Pemain bidak putih yang lain adalah Hamzah tidak dari Sekolah Nusantara. Suko yang dapat dari Sekolah Nusantara. Dengan demikian Suko adalah pemain bidak putih

21

dan dari Sekolah Nusantara atau dengan kata lain pemenangnya adalah Suko.4. Melihat Kembali Penyelesaian

Langkah "melihat kembali" untuk melihat apakah penyelesaian yang kita peroleh sudah sesuai dengan ketentuan yang diketahui dan tidak terjadi kontradiksi merupakan langkah terakhir yang penting. Terdapat empat komponen untuk melihat kembali suatu penyelesaian sebagai berikut. Kita cek hasilnya. Kita intepertasikan jawaban yang kita peroleh. Kita bertanya kepada diri kita sendiri, apakah ada cara lain untuk

mendapatkan penyelesian yang sama. Kita bertanya kepada diri kita sendiri apakah ada penyelesaian yang

lain ?Perlu kita sadari janganlah kita langsung mengharapkan dapat menjawab

benar untuk semua masalah. Menyelesaikan masalah memerlukan waktu dan berkelanjutan, tidak terpenggal-penggal dalam proses berpikir kita. Namun bila pendekatan yang kita gunakan tepat, nampaknya masalah yang sulit kadang kadang berubah menjadi masalah yang mudah.

2.2.6 Keterkaitan Problem Posing dengan Problem SolvingProblem posing dan problem solving memiliki hubungan yang sangat

erat,membuat soal (problem posing) berarti tahap awal dalam pemecahan masalah (problem solving), yaitu memahami soal telah terlewati, sehingga untuk menyelesaikan soal dengan tahap berikutnya akan terbuka (English 1997) Menurut Silver dan Cai (1996) kemampuan pembuatan soal berkolerasi

positif dengan kemampuan pemecahan masalah Menurut Abu-Elwan (2000) mahasiswa yang mengikuti pembelajaran

dengan strategi pembuatan soal (problem posing) mempunyai kemampuan yang lebih baik dalam memecahkan masalah (problem solving) dibnadingkan dengan mahasiswa yang tidak mengikuti pembelajaran dengan strategi problem posing

2.3 Pendekatan Open Ended2.3.1 Pengertian Pendekatan Open EndedPendekatan open ended berasal dari Jepang pada tahun 1970-an. Antara

tahun 1971 dan 1976, peneliti Jepang melaksanakan serangkaian proyek penelitian pengembangan dalam metode mengevaluasi keterampilan “Berpikir Tingkat Tinggi” dalam pendidikan matematika dengan menggunakan series open ended pada tema tertentu (Becker dan Shigeru, 1997). Pendekatan ini

22

dimulai dengan melibatkan siswa dalam masalah open ended yang mana didesain dengan berbagai jawaban benar “tidak lengkap” atau “open ended”.

Menurut Nohda, tujuan pembelajaran dengan pendekatan open ended adalah untuk membantu mengembangkan kegiatan yang kreatif dari siswa dan kemampuan berfikir matematis mereka dalam memecahkan masalah. Dengan kata lain, kegiatan kreatif dan pola pikir matematik siswa harus dikembangkan semaksimal mungkin sesuai dengan kemampuan setiap siswa.

Dalam suatu masalah terbuka yang dihadapkan pada siswa bukan hanya berorientasi untuk mendapatkan jawaban atau hasil akhir tetapi lebih menekankan pada bagaimana siswa pada sampai suatu jawaban, siswa dapat mengembangkan metode, cara atau pendekatan yang berbeda untuk menyelesaikan suatu masalah sehingga penyelesaiannya tidak perlu hanya satu, dalam hal ini diharapkan kreatifitas siswa dapat berkembang. Pendekatan open ended  juga dapat membangkitkan nalar siswa sehingga siswa lebih kreatif serta dapat berpikir logis dan kritis.

Dalam pelaksanaannya, hal tersebut tujuannya adalah agar kemampuan berpikir matematika siswa dapat berkembang secara maksimal dan pada saat yang sama kegiatan – kegiatan kreatif dari setiap siswa terkomunikasi melalui proses pembelajaran. Inilah yang menjadi pokok pikiran pembelajaran dengan Open Ended, yaitu pembelajaran yang membangun kegiatan interaktif antara matematika dan siswa sehingga mengundang siswa untuk menjawab permasalahan melalui berbagai strategi.

Pendekatan open ended, selain dapat mengembangkan pemikiran matematis siswa juga bermanfaat bagi guru. Moon dan Schulman mengatakan bahwa penggunaan masalah terbuka pada pendekatan open ended sering kali memerlukan penjelasan siswa tentang pemikiran mereka sehingga guru dapat memperoleh pengertian yang mendalam dari gaya – gaya belajar mereka, kekurangan dalam pemahaman mereka, bahasa yang mereka gunakan untuk menguraikan ide – ide matematis dan penafsiran – penafsiran mereka tentang suatu situasi matematis. Guru dapat belajar dari cara yang dipilih siswa sehingga bermanfaat bagi guru untuk mendapatkan suatu gambaran yang lebih baik tentang kemampuan matematika siswanya.

Ide dari pendekatan open ended digambarkan sebagai suatu pendekatan pengajaran di mana aktivitas antara matematika dan siswa terbuka dalam berbagai macam pendekatan pemecahan masalah. Makna aktivitas interaksi antara ide – ide matematis dan siswa disebut terbuka dalam memecahkan masalah dapatdijelaskan dari 3 aspek, yaitu: Kegiatan siswa harus terbuka

Yang dimaksud kegiatan siswa harus terbuka adalah kegiatan pembelajaran harus mengakomodasi kesempatan siswa untuk melakukan segala sesuatu secara bebas sesuai kehendak mereka.

Kegiatan matematika merupakan ragam berpikir

23

Kegiatan matematik adalah kegiatan yang di dalamnya terjadi proses pengabstraksian dari pengalaman nyata dalam kehidupan sehari – hari ke dalam dunia matematika atau sebaliknya.

Kegiatan siswa dan kegiatan matematika merupakan satu kesatuanDalam pembelajaran matematika, guru diharapkan dapat mengangkat pemahaman dalam berpikir matematika sesuai dengan kemampuan individu. Meskipun pada umumnya guru akan mempersiapkan dan melaksanakan pembelajaran sesuai dengan pengalaman dan pertimbangan masing – masing. Guru bisa membelajarkan siswa melalui kegiatan-kegiatan matematika tingkat tinggi yang sistematis atau melalui kegiatan – kegiatan matematika yang mendasar untuk melayani siswa yang kemampuannya rendah. Pendekatan uniteral semacam ini dapat dikatakan terbuka terhadap kebutuhan siswa ataupun terbuka terhadap ide – ide matematika. Dengan demikian pembelajaran dengan menggunakan pendekatan open ended, bukan hanya memberikan masalah – masalah terbuka kepada siswa untuk diselesaikan namun dalam proses pembelajarannya harus menjamin keterbukaan aktivitas siswa.

2.3.2 Masalah Open EndedMasalah open ended adalah suatu situasi yang dirancang agar siswa

mengalami masalah – masalah dengan angka – angka yang tidak beraturan, angka – angka yang banyak, bahkan informasi yang tidak lengkap atau mempunyai solusi ganda, dengan masing – masing masalah mempunyai konsekuensi berbeda – beda. Sedangkan dasar keterbukaan masalah diklasifikasikan dalam tiga tipe, yakni:1)    Prosesnya terbuka, maksudnya masalah ini memiliki banyak cara penyelesaian yang benar.2)    Hasil akhirnya terbuka, maksudnya masalah itu memiliki banyak jawaban benar.3)    Cara pengembangan lanjutan terbuka, maksudnya ketika siswa telah menyelesaikan masalahnya, mereka dapat mengembangkan masalah baru yaitu dengan cara merubah kondisi masalah sebelumnya.

Masalah open ended juga sering disebut masalah tidak lengkap (ill – structure), karena perumusan masalahnya yang kurang jelas atau asumsi – asumsi pada masalah tersebut tidak menetapkan suatu prosedur yang menjamin akan diperoleh suatu solusi yang benar. Sebagian besar masalah yang diangkat pada masalah open ended adalah masalah dalam dunia nyata.

2.3.3 Tipe Masalah Open EndedSawada mengemukakan bahwa secara umum terdapat tiga tipe masalah

open ended yang dapat diberikan, yakni:1. Tipe I         : Menemukan hubungan

24

Masalah ini diberikan bertujuan agar siswa dapat menemukan beberapa aturan atau hubungan matematis.

2. Tipe II        : MengklasifikasiSiswa diminta menelompokkan suatu obyek tertentu berdasarkan karakteristik yang berbeda dari obyek – obyek tersebut untuk memformulasikan beberapa konsep tertentu.

3. Tipe III       : PengukuranSiswa diminta menentukan ukuran – ukuran numerik dari suatu kejadian tertentu. Siswa diharapkan dapat mengaplikasikan pengetahuan dan keterampilan yang telah dipelajari sebelumnya untuk memecahkan  masalah.

2.3.4 Hal-Hal yang Harus Diperhatikan dalam Mengembangkan Rencana PembelajaranHal – hal yang harus diperhatikan dalam mengembangkan rencana

pembelajaran yang baik adalah sebagai berikut;1.  Tuliskan respon siswa yang diharapkan.

Pembelajaran matematika dengan pendekatan Open-Ended, siswa diharapkan merespons masalah dengan berbagai cara sudut pandang. Oleh karena itu, guru harus menyiapkan atau menuliskan daftar antisipasi respons siswa terhadap masalah. Kemampuan siswa terbatas dalam mengekpresikan ide atau pikirannya, mungkin siswa tidak akan mampu menjelaskan aktivitasnya dalam memecahkan masalah itu. Tetapi mungkin juga siswa mampu menjelaskan ide-ide matematika dengan cara yang berbeda. Dengan demikian, antisipasi guru membuat atau menuliskan kemungkinan repsons yang dikemukakan siswa menjadi penting dalam upaya mengarahkan dan membantu siswa memecahkan masalah sesuai dengan cara kemampuannya.2.  Tujuan dari masalah itu diberikan kepada siswa harus jelas.

Guru memahami dengan baik peranan masalah itu dalam keseluruhan rencana pembelajaran. Masalah dapat diperlakukan sebagai topik yang tertentu, seperti dalam pengenalan konsep baru kepada siswa, atau sebagai rangkuman dari kegiatan belajara siswa. Berdasarkan pengalaman, masalah Open Ended efektif untuk pengenalan konsep baru atau rangkuman kegiatan belajar.3.  Sajikan masalah semenarik mungkin bagi siswa.

Konteks permasalahan yang diberikan atau disajikan harus dapat dikenal baik oleh siswa, dan harus membangkitkan keingintahuan serta semangat intelektual siswa. Oleh karena masalah Open Ended memerlukan waktu untuk berpikir dan mempertimbangkan strategi pemecahannya, maka masalah itu harus mampu menarik perhatian siswa.4.  Lengkapi prinsip formulasi masalah, sehingga siswa mudah memahami maksud masalah itu.

25

Masalah harus diekspresikan sedemikian rupa sehingga siswa dapat memahaminya dengan mudah dan menemukan pendekatan pemecahannya. Siswa dapat mengalami kesulitan, bila eksplanasi masalah terlalu singkat. Hal itu dapat timbul karena guru bermaksud memberikan terobosan yang cukup kepada siswa untuk memilih cara dan pendekatan pemecahan masalah. Atau dapat pula diakibatkan siswa memiliki sedikit atau bahkan tidak memiliki pengalaman belajar karea terbiasa megikuti petunjuk-petunjuk dari buku teks.5.  Berikan waktu yang cukup bagi siswa untuk mengekplorasi masalah.

Terkadang waktu yang dialokasikan tidak cukup dalam menyajikan masalah, memecahkannya, mendiskusikan pendekatan dan penyelesaian,, dan merangkum dari apa yang telah dipelajari siswa. Karena itu, guru harus memberi waktu yang cukup kepada siswa untuk mengekplorasi masalah. Berdiskusi secara aktif antar sesama siswa dan antara siswa dengan guru merupakan interaksi yang sangat penting dalam pembelajaran dengan pendekatan Open-Ended.

Akan tetapi terdapat hal – hal yang harus diperhatikan dalam membuat pertanyaan open ended, yaitu:1.    Melibatkan matematika yang signifikan.

Masalah open ended seringkali mempunyai beberapa sasaran atau tujuan, sehingga memberikan peluang pada siswa untuk menunjukkan pemahaman mereka tentang koneksi – koneksi antara topik – topik matematika dan bagaimana matematika dapat memodelkan suatu masalah dunia nyata.2.    Menimbulkan respon luas.

Ketika jawaban suatu masalah tunggal, siswa cenderung menyimpulkan bahwa masalah tersebut hanya dapat diselesaikan dengan satu cara. Namun,ketika jawaban suatu masalah tidak tunggal maka akan mendorong suatu respon luas dari suatu masalah dan memungkinkan siswa menjelaskan ide – ide matematis dengan cara yang berbeda.3.    Memerlukan komunikasi.

Salah satu kekuatan dari pendekatan open ended adalah disain suatu masalah terbuka akan memberikan peluanng kepada siswa untuk mengkomunikasikan pemikira mereka. Ketika siswa diwajibkan untuk mengkomunikasikan proses – proses penalaran mereka, guru mempunyai kesempatan untuk mengetahui tentang apa yang diketahui siswa dan bagaimana mereka dapat menerapkannya pada suatu masalah yag diberikan.4.    Dinyatakan dengan jelas.

Suatu pertanyaan harus mempunyai tujuan yang jelas meskipun dapat dijawab dengan banyak respon menggunakan jawaban yang benar. Siswa perlu mengetahui apa yang diharapkan dari mereka dan apa yang guru harapkan sebagai suatu respon lengkap dan baik. Penting bagi seorang guru membantu siswa mengembangkan keterampilan berkomunikasi mereka dan

26

kemampuan untuk menganalisa seberapa baik komunikasi tulisan serta penalaran mereka.5.    Mendorong kepada suatu rubrik skor.

Tujuan pertanyaan open ended adalah memberikan peluang pada siswa mengkomunikasikan pemahaman mereka, selain dari menjawaban benar dan salah. Hal tersebut memungkinkan guru untuk memperkirakan respon atau jawaban siswa mempunyai nilai. Oleh karena itu perlu diberikan rubrik skor.

2.3.5 Kelebihan dan Kelemahan Open Endeda. Kelebihan Pendekatan Open Ended

Beberapa kelebihan pendekatan Open – Ended antara lain: Siswa berpartisipasi lebih aktif dalam pembelajaran dan sering

mengekspresikan idenya. Siswa memiliki kesempatan lebih banyak dalam memanfaatkan

pengetahuan dan keterampilan matematik secara komprehensif. Siswa dengan kemapuan matematika rendah dapat merespon

permasalahan dengan cara mereka sendiri. Siswa secara intrinsik termotivasi untuk memberikan bukti atau

penjelasan. Siswa memiliki pengelaman banyak untuk menemukan sesuatu dalam

menjawab permasalahan.b. Kelemahan Pendekatan Open Ended

Beberapa kelemahan pendekatan Open – Ended antara lain: Membuat dan menyiapkan masalah matematika yang bermakna bagi

siswa bukanlah pekerjaan mudah. Mengemukakan masalah yang langsung dapat dipahami siswa sangat

sulit sehingga banyak siswa yang mengalami kesulitan bagaimana merespon permasalahan yang diberikan.

Siswa dengan kemampuan tinggi bisa merasa ragu atau mencemaskan jawaban mereka.

Mungkin ada sebagaian siswa yang merasa bahwa kegiatan belajar mereka tidak menyenangkan karena kesulitan yang mereka hadapi.

BAB III PENUTUP3.1 Kesimpulan1. Tiga aktivitas kognitif dalam pembuatan soal yaitu: Tipe pre solution

posing, Within solution posing, dan post solution posing.2. Ada 3 macam dari problem posing yaitu:Free Problem posing, Semi

Structured Problem Posing, Structured problem Posing.3. Problem posing mempunyai makna penting bagi pembelajaran antara lain:

a) memberi penguatan pada konsep yang diterima/ memperkaya konsep dasar, b) memberi keleluasaan kepada siswa untuk menggali pengetahuan dalam mencari dan menyusun soal sesuai dengan pengetahuannya, c)mampu melatih siswa meningkatkan kemandirian dalam belajar.

4. Dalam bukunya How to Solve It, Polya (1985) mengajukan empat langkah fase penyelesaian masalah yaitu : a) fase memahami masalah (understanding the problem), b) fase merencanakan penyelesaian (devising a plan), c) fase menyelesaikan masalah (carrying out the plan), d) fase melakukan pengecekan kembali semua langkah yang telah dikerjakan (looking back).

5. Problem posing dan problem solving memiliki hubungan yang sangat erat.

6. Hal – hal yang harus diperhatikan dalam membuat pertanyaan open ended, yaitu: a) melibatkan matematika yang signifikan, b) menimbulkan respon luas, c) memerlukan komunikasi, d) dinyatakan dengan jelas.

7. Secara umum terdapat tiga tipe masalah open ended yang dapat diberikan, yakni: a) menemukan, b) mengklasifikasi, c) pengukuran.

DAFTAR PUSTAKA

English, L. D. 1997. Promoting a Problem Posing Classroom. Teaching Children Mathematics Journal.

http://jurnal.upi.edu/file/irwan.pdf [25 Oktober 2013 07:10]

http://repository.unib.ac.id/329/1/Judul%207%20Saleh%20Haji.pdf [29 Oktober 2013 22:00]

http://www2.nsysu.edu.tw/leung/publication/journal/A5.pdf [27 Oktober 2013 16:00]

____.Modul Matematika Teori Belajar Polya. Tersedia http://masbied.files.wordpress.com/2011/05/modul-matematika-teori-belajar-polya.pdf [21 Oktober 2013 18:33]

_____.Meningkatkan Kemampuan dalam Menyelesaian Soal Cerita Berpandu Pada Teori Polya.Tersedia http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&sqi=2&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fjurnal.unimus.ac.id%2Findex.php%2Fpsn12012010%2Farticle%2Fview%2F456%2F505&ei=f29vUrjWOMmQrQfhzoCICQ&usg=AFQjCNFSX1Yr3cK_3qaAjetv3qaSr9MIZg&sig2=cGZ4BZteE6zsW9OEHSF-PQ&bvm=bv.55123115,d.bmk&cad=rja [21 Oktober 2013 19: 15]

http://www.apprendre-math.info/history/photos/Polya_4.jpeg [29 Oktober 2013 12:45]

____.Pendekatan Open-Ended dalam Pembelajaran Matematika. Tersedia http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196805111991011-JARNAWI_AFGANI_DAHLAN/Perencanaan_Pembelajaran_Matematika/open-ended.pdf [29 Oktober 2013 13:00]

http://www.psb-psma.org/content/blog/pendekatan-open-ended-problem-dalam-matematika [27 Oktober 2013 19:15]

http://jerobudy.blogspot.com/2008/12/pendekatan-dan-masalah-open-ended-dalam.html [27 Oktober 2013 19:30]