MakalahDALIL SISA (SUKU BANYAK)

DISUSUN

OLEH :

NAMA :1) Kasfaisal Katja {34201300162}2) Luthfi Rohman {34201300167}3) Ummi Syariatul Isalamiyyah {34201300199}4) Shofa Amalia Darojah {34201300190}5) Lathifatul Masruro {34201300165}

PENDIDIKAN MATEMATIKAUNIVERSITAS ISLAM SULTAN AGUNG SEMARANG

KATA PENGANTAR

Assalamu  Alaikum Wr. Wb

              Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat dan hidayah-Nya lah sehingga Makalah ini dapat terselesaikan. Tak lupa pula salam dan taslim tak henti-hentinya kita haturkan kepada junjungan Nabi Muhammad SAW ,Nabi pembawa obor keselamatan dunia wal akhirat. Amin              Ucapan terimakasih kami berikan kepada pihak-pihak yang telah memberikan masukan yang bermanfaat sehingga makalah kami ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Permohonan maaf dan kritikan yang bersifat membangun sangat kami harapkan karena kami menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam makalah  kami ini, karena kesempurnaan sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah kami ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya.Wassalamu Alaikum Wr. Wb

                                                                                                               Penulis 

Semarang,17 februari 2014

DAFTAR ISIKATA PENGANTAR............................................................................................. iDAFTAR ISI..................................................................................................................... iiBAB I PENDAHULUAN................................................................................................ 1

A.    Latar Belakang................................................................................................ 1B.     Rumusan Masalah........................................................................................... 2C.     Tujuan Makalah..................................................................................... 2

BAB II PEMBAHASAN......................................................................................... 3

       A. Pengertian teorema sisa............................................................................ 3       B. Penggunaan teorema sisa............................................................................3

1. Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear.....................5 2.Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kudrat.....................7

C. Pembuktian Teorema Sisa ................................................................................12 1. Pembuktian Teorema sisa............................................................................13 2. Pembuktian Teorema sisa..........................................................................15

BAB III PENUTUP............................................................................................... 18     A. KESIMPULAN........................................................................................... 18     B. SARAN....................................................................................................... 18DAFTAR PUSTAKA............................................................................................ 19

BAB IPENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

       Sukubanyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n secara umum dapat ditulis

sebagaui berikut:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0

       Derajat dari suatu sukubanyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling

tinggi bagi variabel x yang ada dalam sukubanyak itu.

Perhatikan bahwa suku-suku pada sukubanyak di atas diawalai oleh suku yang variabelnya

mempunyai pangkat tertinggi, yaitu anxn. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan pangkat

variabel x yang semakin menurun an-1xn-1 , an-2xn-2 , … , a2x2 , a1x dan diakhiri dengan suku

tetap a0.

Sukubanyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun mengikuti

“aturan pangkat turun” dalam variabel x. perlu diingat kembali bahwa variabel suatu suku

banyak tidaklah harus dalam variabel x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel lainnya,

seperti: a, b, c, … , s, t, …, u, … , y dan z.

B.     Rumusan Masalah

1)Menjelaskan pengertian teorema sisa2)Menentukan penggunaan teorema sisa pada soal – soal yang berhubungan dengan suku banyak3)Membuktikan teorema sisa4)Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisaC.     Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka adapun tujuan penulis dalam merumuskan masalah tersebut, yaitu sebagai berikut:1)Menjelaskan pengertian teorema sisa2)Dapat menyelesaikan soal – soal suku banyak dengan teorema sisa4)Dapat menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear kuadrat dengan teorema sisa

BAB IIPEMBAHASAN

PENGERTIAN SUKU BANYAK, NILAI SUKU BANYAK. A.Pengertian suku banyak

            Suku banyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0

dengan :·        an, an-1, an-2, …, a2, a1, a0  adalah bilangan-bilangan real dengan an  ≠ 0.

an adalah  dari x2, an-1 adalah koefisien dari xn-1, an-2 adalah koefisie dari xn-2, …., demikian seterusnya. a0 disebut suku tetap (konstanta).

·        n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

Derajat dari suatu suku banyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel x yang ada dalam suku banyak itu.

Perhatikan bahwa suku-suku pada suku banyak diatas dawali oleh suku yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi, yaitu anxn. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan pangkat variabel x yang semakin turun, yaitu an-1xn-1, an-2xn-2, …., a2x2, a1x dan di akhiri dengan suku tetap a0. Suku banyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun mengikuti aturan pangkat turun dalam variabel x. Perlu diingat kembali bahwa variabel suatu suku banyak tidaklah harus dalam variabel x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel yang lain seperti variabel-variabel a, b,c …., s, t, u, …., y, z. Misalnya, suku banyak (t + 1)2 (t – 2) (t + 3) = t4 + 3t3 – 3t2 – 11t – 6 , merupakan suku banyak dalam variabel t berderajat 4. Koefisien t4 adalah 1, koefisien t3 adalah 3, koefisien t2 adalah -3, koefisien t adalah -11 dan suku tetapnya adalah -6.

            Suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel di sebut suku banyak univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak dengan variabel lebih dari satu di sebut suku banyak multivariabel. Misalnya,Suku banyak x3 + x2y4 – 4x + 3y2 – 10, merupakan suku banyak dalamdua variabel ( variabel x dan y ). Suku banyak ini  berderajat 3 dalam variabel x atau berderajat 4 dalam variabel y.

 B.Nilai suku banyak

            Dalam bentuk umum dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut.

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0

Dimana n ∈ bilangan cacah dan a ≠ 0

Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak.Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara sebagai berikut:

1.Metode Substitusi  Nilai suku banyak untuk sebuah nilai variabel tertentu dapat dicari dengan aturan metode substitusi sebagai berikut.

Nilai suku banyak f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x +a0untuk x = k (k  bilangan real ) di tentukan oleh:

F(x) = an(k)n + an-1(k)n-1 + an-2(k)n-2+ … + a2(k)2 + a1(k) + a0

Contoh :Hitunglah nilai suku banyak f(x) = x3 + 3x2 – x + 5 untuk nilai-nilai x berikut.a). x = 1                                                     b). x =m – 2 (m ∈ R)

JAWAB :a). Untuk x = 1, diperoleh :      f(1) = (1)3 + 3(1)2 – (1) + 5 = 1 + 3 – 1 + 5 = 8      Jadi, nilai f(x) untuk x = 1 adalah f(1) = 8.

b). Untuk x =m -2 ( m R ), diperoleh :      f(m – 2) = (m – 2)3 + 3(m – 2)2 – (m -2) + 5 = m3 – m2 – 5m + 11      Jadi, nilai f(x) untuk x = m – 2 (m ∈  R) adalah f(m – 2) = m3 – m2 – 5m + 11.2.Cara horner/bangun/skema/sintetik

Misalkan suku banyak f(x)=ax3+bx2+cx+dJika akan ditentukan nilai suku banyak x+k,maka:f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=(ax2+bx+c)x+df(x)=((ax+b)x+c)x+dSehingga f(k)=((ak+b)k+c)+d

Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut ini: k a b c d

ak ak2 + bk ak3 + bk2 + ck

a ak+b ak3 + bk2 + ck ak3 + bk2 + ck+d

Agar lebih memahami tentang cara Horner,lihat contoh berikut:

Contoh soalHitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan sebagai berikut:

1)f(x)=x3+2x2+3x-4 untuk x=5

2) f(x)=2x3-3x2+9x+4 untuk x=12

Penyelesaian:

5 1 2 3 -4

5 35 190

1 7 38 186

Jadi nilai f(x) untuk x = 5 adalah 186

12

2 -3 9 12

1 -2 4

2 -2 8 16

Jadi nilai f(x) untuk = 12 adalah 16

1) Pengertian Teorema Sisa

Sebelum membahas pokok dari teorema sisa ,ingat kembali konsep nilai polinom dan pembagian dua pada polinom.Pada kedua konsep tersebut,nilai sebuah polinom untuk nilai peubah tertentu dapat dicari dengan cara horner atau cara sintetis.Cara horner ini bisa digunakan untuk mencari hasil pembagian dan sisa dua polinom.

Pembagian polinom bisa dilakukan dengan cara bersusun dan cara horner.berikut ini adalah masing – masing pembagian dua polinom menggunakan dua cara berbeda,yaitu dengan cara horner dan dengan cara bersusun

2x3 + 3x2 + 5 dibagi x + 1

a. Dengan cara susun

2x2 + x - 1

2x3 + 3x2 + 0x + 5

2x3 + 2x2

x2 + 0x + 5

x2 + x

-x + 5

- x – 1

6

b. Dengan cara horner

- 1 2 3 0 5

-2 -1 1

2 1 -1 6

Sisa

Hasil bagi

Dari penyelesain tersebut diperoleh 2x2 + x – 1 sebagai hasil bagi berderajat 2 dan 6 sebagai sisa pembagian

Pada kasus pembagian polinom diatas ,6 merupakan sisa pembagian.Bilangan 6 tersebut bisa juga diartikan sebagai polinom ketika x = - 1.Ternyata sisa pembagian sebuah polinom oleh bentuk ( x – a ) sama dengan nilai polinom ketika x = a.Berikut bunyi dari teorema sisa dan konsep – konsep yang berhubungan dengan teorema sisa.

Sisa pembagian polinom oleh ( x – a) adalah f(a)

Sisa pembagian polinom f(x) oleh (ax – b) adalah f(ba

)

Sebuah polinom dapat dinyatakan dalam pembagi,hasil bagi, dan sisa sebagai berikut:

F(x) = p(x) h(x) + s(x)

Polinom = pembagi . hasil + sisa

Pembagian suku banyak dengan teorema sisa dan teorema faktor, berkaitan erat, intinya dalam pembagian suku banyak adalah sisa pembagian. Menentukan sisa pembagian dapat dilakukan melalui pembagian dengan cara horner  maupun dengan menggunakan substitusi untuk mendapat nilai fungsi. Cara mana yang harus digunakan bergantung kebutuhannya.Contoh:

f(x) = x3 – 12x + k = 0,habis dibagi oleh ( x – 3 ),tentukanlah nilai k?

Pada contoh soal diatas cukup menggunakan substitusi, caranya adalah sebagai berikut :

f(x) = x3 – 12x + k

pembagi  ( x – 2 ) x = 2

f(2) = ( 2 )3 - 12(2) + k

karena pada keterangan soal “habis dibagi” maka f(x) = 0,sehingga 8 – 24 + k = 0

Jadi k = -16

2) Pengunaan Teorema Sisaa. Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear,kita dapat menggunakan teorema sisaTeorema Sisa 1“Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k),maka sisa pembagiannya adalah f(k)Contoh:Tentukan sisa pembagian dari f(x)=x3 + 4x2 + 6x + 5Jawab:Cara 1:cara biasa

f(x) = x3 + 4x2 + 6x + 5f(-2) = (-2)3 + 4(-2)2 + 6.(-2) + 5

= -8 + 4.4 – 12 + 5

= 1

Cara 2:sintetik(horner)Dengan cara horner

- 2 1 4 6 5

-2 -4 -4

2 1 -1 1

Sisa

Jadi sisa pembagiannya adalah 1

Teorema sisa 2

“Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b),maka sisa pembagiannya adalah f(- ba

)

Contoh:Tentukan sisa pembagian dari f(x)=5x3 + 21x2 + 9x – 1 dibagi (5x – 1)Jawab:Cara 1:cara biasa:

f(- 15¿ = 5 . (-

15¿3 + 21 . (-

15¿2 + 9 . (-

15¿ – 1

= 5 . (- 1

125¿3 + 21(-

125

¿2 + 9 . (- 1

25¿ – 1

= - 5

125+

2125

- 9

55 – 1

= 2225

– 1

= - 2

Cara 2:cara sintetik (horner)

- 15

5 21 9 -1

-1 -4 -1

5 20 5 -2

Sisa

Jadi sisa pembagiannya adalah -2

b.Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadratDalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat,kita dapat

menggunakan teorema sisa berikut ini:Teorema sisa 3“Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)( x – b),maka sisanya adalah px + qdimana f(a)=pa + q dan f(b)=pb + qContooh:Jika f(x)=x3 -2x2 + 3x – 1 dibagi (x2 + x + 2),tentukanlah sisa pembagiannya:Jawab:Pada f(x)=x3 -2x2 + 3x – 1 dibagi (x2 + x + 2),bentuk x2 + x + 2 dapat difaktorkan menjadi

( x + 2 ) ( x – 1 ),berdasarkan teorema sisa 3 maka dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut:

( x + 2 ) ( x – 1 ) ( x – ( - 2 )( x – 1 )

Maka nilai a = -2 dan b = 1

f(a) = pa + q

f(-2) = -2p + q

(-2)3 – 2.(-2)2 + 3.(-2) – 1 = -2p + q

- 8 – 8 – 6 – 1 = -2p + q

-23 = -2p + q ............(1)

f(b) = pb + q

f(1) = p + q

13 -2.12 + 3.1 – 1 = p + q

1- 2 + 3 – 1 = p + q

1 = p + q ..............(2)

Nilai p dapat dicari dengan mengeliminasi q dari persamaan (1) dan (2)

-2p + q = 23

p + q = 1

-3p = -24

P = 8

Nilai disubtitusikan ke persamaan (2)

p + q = 1

8 + q = 1

q = -7

Jadi sisa pembagiannya adalah 8x - 7

C) Pembuktian Teorema sisa a.Pembuktian teorema sisa Teorema sisa 1 menyatakan bahwa f(x) dibagi (x – k),maka sisa pembagiaanya adalah f(k).Perhatikan uraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut: Diketahui f(x)=(x – k)h(x) + S. Derajat s lebih rendah satu dari pada derajat (x – k),sehingga S merupakan konstanta.Karena f(x)=(x – k) k(x) + S berlaku untuk semua x,maka jika x diganti k maka diperoleh:f(k) = (k – k) h(x) + S

= 0. h (k) + S

= 0 + S

= S

Jadi,f(k) = S S merupakan sisa pembagian (terbukti)

Contoh soal:Jika f(x) dibagi oleh x2 – 5x + 6 sisanya 2x + 1.Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x – 3Penyelesaian:f(k) = (x2 – 5x + 6) h(x) + S

f(x) = (x – 3)(x – 2) h(x) +2x + 1

f(3) = (3 – 3)(3 – 2) h(3) +2.3 + 1

F(3) = 0 + 6 + 1

Jadi,sisanya adalah 7

b)Pembuktian teorema sisa 2Teorema sisa 2 menyakan bahwa jika f(x) dibagi (ax + b),maka sisa pembagianya adalah f (- ba

).Perhatikan uaraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut:

Diketahui f(x)=(ax + b). h(x )

a + S.Karena pada f(x) = (ax + b).

h(x )a

+ S berlaku untuk

semua nilai x,maka jika nilai x= −ba

akan diperoleh:

f(x)=(ax + b). h(x )

a + S

f(−ba

¿= (a(−ba

) + b). h(−b

a)

a + S

f(−ba

¿=¿ ( - b + b ) h¿¿ + S

f(−ba

¿=(0)h¿¿ + S

f(−ba

¿=0+S

f(−ba

¿=0

Jadi terbukti bahwa sisa pembagian adalah f(−ba

¿

Contoh:Jika f(x) dibagi (x – 2) dan jika dibagi (2x + 1) sisanya 5.Tentukan sisanya jika f(x) dibagi 2x2 – 3x – 2Penyelesaian:Misalkan f(x) dibagi (2x2 – 3x – 2),hasilnya h(x) dan sisanya ax + b

f(x) = (2x2 – 3x – 2) h(x) + S

f(x) = (x – 2)(2x + 1) h(x) + ax + b

f(2) = (2 – 2) ( 2.2 +1) h(2) + 2a + b

f(2) = 0.h(2) + 2a + b

0 = 2a + b 2a + b = 0 .........(1)

f(- 12¿ = (-

12

– 2)(2 (- 12

) + 1) h(- 12¿ + a(-

12

) + b

f(- 12¿ = (-

12

– 2)(-1 + 1 ) h(- 12¿ -

12

a+ b

5 = 0 h(- 12¿ -

12

a+ b

5= - 12

a+ b -a + 2b = 10

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2a + b = 0 x 1 2a + b = 0

-a + 2b = 10 x 2 -2a + b = 0

0 + 5b = 20

b = 4

b = 4 disubtitusikan kepersamaan (1)

2a + b = 0

2a + 4 = 0

a = -2

Jadi sisanya adalah -2x + 4

 

BAB III

PENUTUPA.    Kesimpulan

  Suku banyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0

dengan :·        an, an-1, an-2, …, a2, a1, a0  adalah bilangan-bilangan real dengan an  ≠ 0.an adalah  dari x2, an-1 adalah koefisien dari xn-1, an-2 adalah koefisie dari xn-2, …., demikian seterusnya. a0 disebut suku tetap (konstanta).·        n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

Derajat dari suatu suku banyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel x yang ada dalam suku banyak itu.

B.SaranDengan penyusunan makalah ini, penulis berharap pengetahuan mengenai suku banyal

matematika dapat lebih dipahami lagi oleh orang lain dan dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.

DAFTAR PUSTAKA

http://newsinformasi013.blogspot.com/2013/05/contoh-makalah-logika-matematika_17.html

http://belajarmatematikaasyik.weebly.com/suku-banyak-polynom.html

http://belajarmatematikaasyik.weebly.com/suku-banyak-polynom.html

http://akbarpelatnas11.blogspot.com/2012/06/materi-suku-banyak-sma.html

http://www.ittelkom.ac.id/admisi/elearning/prog3.php?proses=1&kd=Mat-011201&bab=Suku%20Banyak&judul=Matematika&rincian=Algoritma%20Pembagian%20Suku%20Banyak&kd_judul=Mat-01&kode_bab=12&ko

http://edukasigratis.blogspot.com/2013/06/matematika-kelas-ix-bab-5-suku-banyak.html

http://matemakita.com/polinom/teorema-sisa.php

http://bimbinganbelajar.net/teorema-sisa/