Productos notables.Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Factor comúnEl resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomioPara elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

Un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Producto de dos binomios con un término comúnCuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Producto de dos binomios conjugados

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

Leyes de los exponentes.Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Nombre y explicación Ley Ejemplox1 = x 61 = 6

Regla del Exponente Cero: Todo número elevado a la Potencia “Cero” es uno.

x0 = 1 70 = 1

Regla de la inversa: Un número x elevado a -1, se puede expresar como 1/x (inverso de x).

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

Regla del Producto: Cuando tenemos 2 términos con las misma Base los Exponentes se Suman.

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

Regla de la División: Cuando tenemos un Cociente con términos de la misma Base los Exponentes se Restan.

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

Regla de la Potencia: Cuando tenemos un Termino elevado a mas de una Potencia, las Potencias se Multiplican.

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

Regla del Exponente Negativo: Un número Elevado a una Potencia Negativa se puede representar como su inverso.

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

Regla del Radical: Todo Expresión Radical se puede expresar, se puede expresar como un Exponente Fraccionario

Ecuación de segundo grado.Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

ClasificaciónLa ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Tiene la forma canónica:

Donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.

Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

Ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se muestra más adelante.

2.- Incompleta pura: Es de la forma:

Donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:

Con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0

3.- Incompleta mixta: Es de la forma:

Donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.

Solución general de la ecuación de segundo grado

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

,

Donde el símbolo "±" indica que los dos valores

y

Son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.

Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

Podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:

1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);

2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);

3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

Funciones.En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Gráfica de una función En matemáticas, la gráfica de una función f : X → Y es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación inconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una curva.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.

Ejemplo:

• La gráfica del polinomio cúbico en la recta real

Es {(x,x3-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

Gráfica de la función x3-9x.