MANUAL DE MATEMÁTICAS II MA-13

BACHILLERATO GENERAL

Coordinación de Matemáticas

PROBLEMARIO DE MATEMÁTICAS IIGEOMETRÍA PLANA

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY

Datos de Identificación

Alumno: _____________________________________________

Matrícula: _____________________________________________

Grupo: _____________________________________________

Salón: _____________________________________________

Catedrático: ____________________________________________

Periodo: _____________________________________________

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PRÓLOGO

Este cuaderno contiene una serie de ejercicios y actividades cuyo objetivo es que el alumno aprenda conceptos, solución de problemas, aplicaciones; así como elaborar proyectos relacionados con geometría y trigonometría.

Esperando que este material sea de gran ayuda para su desarrollo en lo académico y en su vida diaria.

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ÍNDICE TEMARIOTEMA PÁGINA

Unidad I. Introducción a la geometría 6Sistema circular y sexagesimal 7Clasificación de ángulos 10Pares de ángulos 11Ángulos opuestos por el vértice 15Ángulos formados por paralelas y secante 17

Unidad II. Triángulo y sus propiedades 21Clasificación de los triángulos 21Puntos y rectas notables en un triángulo 22Propiedades de los triángulos 23Semejanza y congruencia 28Pitágoras de Samos 33Teorema de Pitágoras 33Claudio Ptolomeo 36

Unidad III. Los polígonos y sus propiedades 40Paralelogramo 40Propiedades de de los paralelogramos 41Elementos de un polígono regular 45Tipos de polígonos regulares 46Ángulos y diagonales de polígonos 48Áreas y perímetros de polígonos 55Cuadrado 55Triángulo 57Rectángulo 59Paralelogramo 61Rombo 62Trapecio 64

Unidad IV. Círculo y circunferencia 67Áreas y circunferencias de un círculo 68Ángulos centrales e inscritos en una circunferencia 69

Unidad V. Trigonometría 76Historia de la trigonometría 76Triangulo rectángulo 77Razones trigonométricas 78Triángulo oblicuángulo 101Leyes de cosenos 101

3

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY Leyes de senos 101

ÍNDICE DE ACTIVIDADES

Actividad PáginaActividad #1 8Actividad #2 9Actividad #3 11Actividad #4 11Actividad #5 12Actividad #6 15Actividad #7 18Actividad #8 24Actividad #9 29Actividad #10 30Actividad #11 32Actividad #12 34Actividad #13 36PROYECTO 1 37Actividad #14 42Actividad #15 49Actividad #16 55Actividad #17 57Actividad #18 59 Actividad #19 61Actividad #20 62Actividad #21 64Actividad #22 68Actividad #23 70Actividad #24 73Actividad #25 79Actividad #26 80Actividad #27 81Actividad #28 84Actividad #29 85Actividad #30 87Actividad #31 90Actividad #32 90Actividad #33 91Actividad #34 92 Actividad #35 93 Actividad #36 96Actividad #37 102Actividad #38 106Actividad #39 111PROYECTO 2 112

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INTRODUCCIÓN

En un gran número de las actividades que realiza el ser humano está presente la geometría. En sus inicios fue empleada para determinar áreas de cultivo y su repercusión en el pago de tributos.Dentro del contexto actual con frecuencia hacemos referencia a situaciones tales como calles paralelas, perpendiculares o en diagonal. Algunos envases de bebidas, combustibles y alimentos tienen forma cilíndrica. En los vehículos observamos diferentes cuerpos geométricos en la forma de las puertas, ventanas, ruedas, piezas de motor, tornillos, tuercas, etcétera. En el trazo de una ciudad son evidentes formas geométricas diversas en las calles, edificios, puentes, casas, jardines, campos deportivos, albercas, gimnasios, juegos infantiles y demás.

Para la resolución de algunos problemas recurrimos al trazo de dibujos que los ilustren y ayuden a hacer visibles las posibles relaciones entre los datos proporcionados y aquellos que se nos pide encontrar. Aquí es de gran importancia saber que, además de la forma y dimensiones de una figura, es necesario conocer sus propiedades geométricas para efectuar una adecuada aplicación.

Geometría (Del griego geo "tierra" mitren "medir") rama de las matemáticas que se preocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volúmenes de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría de espacio con cuatro o más dimensiones, geometría fractal y geometría no euclidiana.

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras que se preocupaban de la medida de los tamaños de los campos o el trazado de ángulos rectos para edificios. Este tipo de geometría empírica que floreció en el antiguo Egipto, Sumeria, y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI A.C. El matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas o postulados.

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http://www.frikipedia.es/images/b/b3/Geometrica.jpg


UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

Geometría: Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras en el plano o en el espacio.

La geometría se clasifica en:Geometría planaGeometría analíticaGeometría del espacio

Geometría plana: Rama de la geometría que estudia las propiedades de las figuras planas como el círculo, triángulo cuadrilátero, etc. También se le conoce como geometría euclidiana.

Euclides fue un matemático y geómetra griego (Nació 325 A. C - murió. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría".

La geometría parte de los siguientes conceptos:

Punto: Concepto geométrico que no tiene dimensiones

Recta: Concepto geométrico que tiene una sola dimensión.

Ángulo: Parte del plano comprendida entre dos semi-rectas que tiene el mismo punto de origen llamado vértice. Se mide en grados sexagesimales y en radianes.

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http://es.wikipedia.org/wiki/265_a._C.


http://es.wikipedia.org/wiki/Grecia

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Euklid2.jpg


SISTEMA CIRCULAR Y SEXAGESIMAL

SISTEMA SEXAGESIMAL:

El sistema sexagesimal está basado en un círculo dividido en 360 partes iguales llamadas grados que a su vez se dividen en 60 partes cada uno llamadas minutos, que a su vez se dividen en 60 segundos.

1°=60'

1'=60''

1°=360''

SISTEMA CIRCULAR O CÍCLICO

La unidad de medida es el radián.

RADIÁN: Es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

1 radián=57.29577951°

1 radián= 57°17´44.81´´

Para transformar de grados a radianes y viceversa se utiliza la siguiente fórmula.

Para convertir de radianes a grados

Para convertir de grados a radianes

7


Actividad #1 Convierte en radianes los siguientes ángulos medidos en grados sexagesimales.

a) 70º

b) 160º

c) 295º

.

d) 450º

e) 340º

8

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY f) 242º

Actividad #2Convierte en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en radianes.

a) 0.18 rad

b) 4.5 rad

c) 5.6 rad

d) 6.3 rad

e) 41 л 18

f) 0.5 rad.

9


CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Según su medida los ángulos se clasifican en:

Ángulo agudo:Su medida es mayor que 0º y menor que 90º.

Ángulo recto: Su medida es de 90º.

Ángulo obtuso: Su medida es mayor que 90º y menor que 180º.

Ángulo extendido o llano: Su medida es de 180º.

Ángulo cóncavo:Su medida es mayor 180º pero menor a 36 º 0

Ángulo completo (perígono): Su medida es de 360º.

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PARES DE ÁNGULOS

Ángulos adyacentes: Son los ángulos que tienen el mismo vértice.

Ángulos complementarios: Son los ángulos cuya suma es 90 º

Ángulos suplementarios: Son los ángulos que suman 180 º

Ángulos conjugados: Son los ángulos cuya suma es 360 º

Actividad #3

Determine el complemento, el suplemento y el conjugado de c/u de los siguientes ángulos.

Ángulo Complemento Suplemento Conjugado31°64°20°40’65°41´52°21´75°40´12´´60°30´24´´

Actividad #4Encuentre el valor de “x” y el de cada ángulo.

1)

11

4x

2x


2)

3)

Actividad #5Encuentre el valor de “x” y el de cada ángulo.

1. Sean A y B dos ángulos complementarios, donde A = (4x+25) ° y B = (6x+15) °. Encuentre la medida del ángulo A y el ángulo B.

12

5x

3x+15°


2. En la siguiente figura, sea el ángulo AOC un ángulo recto. Encuentre el valor de x y las medidas deAOB, BOC. AOB = 3x + 30 BOC = 2x + 10

3. En la siguiente figura, el ángulo AOC es un ángulo recto. Encuentre el valor de x y las

medidas deAOB, BOC.

13


4. Sean dos ángulos suplementarios, donde . Encuentre

la medida de cada ángulo.

5. Sean A y B dos ángulos conjugados, donde A =4x° y B = (x -30) °. Encuentre la medida de los dos ángulos.

6. Sean dos ángulos conjugados, donde Encuentre la

medida del

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Ángulos opuestos por el vértice:

Son ángulos cuyos lados forman dos pares de ángulos opuestos.

Los ángulos opuestos por el vértice tienen la propiedad que sus medidas son iguales.

A

Actividad #6Encuentre el valor de “x” y el de cada ángulo.1)

15

3x – 4°


2)

3)

16

x + 12°


ÁNGULOS FORMADOS POR RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (SECANTE).

Transversal: significa aquello que cruza, corta o atraviesa

Dos rectas paralelas cortadas por una línea transversal (secante), forman ocho ángulos que se designan como sigue:

PROPIEDADES:

ÁNGULOS EXTERNOS: ángulos situados fuera de las rectas paralelas. , , y

ÁNGULOS INTERNOS: ángulos situados dentro de las rectas paralelas. , , y

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Dos ángulos situados del mismo lado de la transversal uno interno y uno externo, tienen la propiedad que son iguales.

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ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Dos ángulos situados de un lado y del otro de la transversal y dentro de las paralelas, tienen la propiedad que son iguales.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Dos ángulos situados de un lado y del otro de la transversal y fuera de las paralelas, tienen la propiedad que son iguales.

ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: dos ángulos situados del mismo lado de la

transversal y dentro de las paralelas, tienen la propiedad que sumados son 180

ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: dos ángulos situados del mismo lado de la

transversal y fuera de las paralelas, tienen la propiedad que sumados son 180

Actividad #7En los siguientes ejercicios encuentre los valores de “x”, “y” y de cada ángulo.

a)

120º

(x+2y)° (x - y)º

18


b)

110º

(3x-y)° (x+4y)°

c)

19

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY (2y)º

(-2x)º

(3x + 20)º

d)

18x+8y 4x+2y

34 146

e)

30 150

x+y x-2y

20


UNIDAD IITRIÁNGULO Y SUS PROPIEDADES

Triángulo: polígono de 3 lados, está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados o tres puntos no alineados que se llaman vértices.

Los ángulos de un triángulo se designan con letras mayúsculas

A los lados se les asigna letras minúsculas lado “a” lado “b” y lado “c”.

Clasificación de los triángulos

I. Según sus lados:

a) Triángulo equilátero: Es el que tiene sus lados iguales y sus tres ángulos miden cada uno 60°.b) Trángulo isósceles: Es el que tiene dos lados iguales y el otro diferente.c) Traángulo escaleno: sus tres lados son diferentes.

II. Según sus ángulos:

a) Triángulo acutángulo: Es el que tiene tres ángulos agudosb) Trángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto (90°)c) Triángulo obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso.

21

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY Los triángulos acutángulos y obtusángulos reciben el nombre de triángulos oblicuángulos por que dos de sus lados cualesquiera caen en forma oblicua con respecto al tercer lado.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes

iguales.

Íncentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un

triángulo. Es el centro de la circunferencia inscripta.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al

mismo en su punto medio.

Círcuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices

de un triángulo. Es el centro de la circunferencia

circunscripta.

22

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=clasificacion+de+los+triangulos&source=images&cd=&cad=rja&docid=CEEnqtf5rHlVaM&tbnid=4xpJ64vxcyNTIM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/geometria/2010/03/57-8888-9-triangulos.shtml&ei=NKEjUZy2AqrU2QWzk4HABg&bvm=bv.42553238,d.b2I&psig=AFQjCNGoLC3oTkPCuK8F-2YfZimkWInYJw&ust=1361375719917965


Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de

un triángulo.

Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el

punto medio del lado opuesto.

Baricentro es el punto de intersección de las tres

medianas de un triángulo.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

1er. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°

+ + = 180°

23

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 2da. Por ser ángulos adyacentes son suplementarios.

3ra. Un ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

Actividad #8Encuentre los valores de las incógnitas y el de cada ángulo que se le pida.

1. Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo, donde A = (7x +5) °, B = (8x+4) ° y C = (2x+1) °. Encuentre la medida de cada uno de sus ángulos.

2. Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo, donde A = (4x+12) °, B = (6x+8) ° y C = (4z) ° y el ángulo exterior al ángulo C es igual a 100 ̊ Encuentre “x”, “z” y la medida de cada uno de sus ángulos.

24


3. Encuentre el valor de x, z y el valor de los ángulos A, B y C según los datos dados en la figura, el ángulo ACB = (3x -12).

4. En el siguiente triángulo. Encuentre el valor de X, Z. y los ángulos faltantes

5. En el triángulo de la siguiente figura. Encuentre el valor de X, Z. y de cada ángulo.

25

100


6. En el triángulo de la figura B= (2x –4) °, A=(x –6) ° y Z= (x+30) °. Encuentre el valor de x. y de cada ángulo.

7. En el triángulo de la siguiente figura. Encuentre el valor de cada ángulo.

75º y

3x 12x

8. En el triángulo de la siguiente figura. Encuentre el valor de X y de cada ángulo. xº

26


2xº (3x)º

(3x+4)º

9. En el triángulo de la siguiente figura. Encuentre el valor de X y Y.

(2x-5)º

(4x+30)º (6y)º 120º

10. En el triángulo de la siguiente figura. Encuentre el valor de X y Y. Y de cada ángulo.

2xº

4xº y 120º

27


SEMEJANZA Y CONGRUENCIA

Congruencia: Se llaman figuras congruentes aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño.

Postulado de congruencia:

1er postulado: (LAL=LAL)

2do postulado: (ALA=ALA)

3er postulado: (LLL=LLL)

Razón geometrica: Es el número que se obtiene al comparar dos magnitudes por cociente (fracción)

10 20

28


Proporción: Es la igualdad de dos razones.

8 24

15

45

Proporción 1:3

Actividad #9

2. En los siguientes ejercicios señale el criterio mediante el cual se demuestra que los triángulos que se señalan son congruentes. Subraye la respuesta correcta. A)

7 4 7 4

15 15

a) Criterio ALA b) Criterio LLL c) Criterio LAL

B) 9 35° 12

12 35° 9


29

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY C) 15 35° 42°

35° 42°

15


D)

15 15 15 15

15 15


Actividad #10

En los siguientes ejercicios encuentre el valor de “x” y su semejanza.

a) DE || AB C

AD=36 DC= 2x D ECE=6BE=12 A B

30

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY b) DE || AB C

AD=2x DC=18 D ECE=18BE=24 A B

c) DE || AB C

AD=42 DC=36 D ECE=3x +6BE=4x –8 A B

Cd) DE || AB

AD=35

31

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY DC=16 D EDE=4x+16AB=14x –4 A B

Actividad #111. Responda a las siguientes cuestiones:a) Dos triángulos iguales, serían semejantes ¿Por qué?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Y dos triángulos equiláteros ¿Por qué?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) Si dos triángulos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d) Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e) ¿Si unimos los puntos medios de dos de los lados de un triángulo, se forma un triángulo semejante al primero?

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

f) ¿Dos triángulos congruentes siempre son semejantes?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

g) ¿Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual un ángulo agudo?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

h) ¿Qué se entiende por razón de semejanza entre los lados homólogos de dos triángulos?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

i) ¿Cuando podemos afirmar que dos triángulos son semejantes?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Pitágoras de Samos

(580 a. C. 495 a. C.) Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.

No se conserva ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos -los pitagóricos- invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la escuela pitagórica.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

http://es.wikipedia.org/wiki/Inconmensurabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricos

http://es.wikipedia.org/wiki/Racionalismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teles

http://es.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica


http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_hel%C3%A9nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa



http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=pitagoras+biografia&source=images&cd=&cad=rja&docid=BZVzAVwYbWFG7M&tbnid=ANIhq9kdAyj6TM:&ved=0CAUQjRw&url=http://zuliipulgarinylastics.webnode.es/news/pitagoras/&ei=qmoYUbvEO6ii2AWcpYDoBQ&bvm=bv.42080656,d.aWM&psig=AFQjCNHi3keELFYwrNc21P__UCZ0PWg8nQ&ust=1360641033655937%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

Actividad #12En los siguientes triángulos rectángulos, encuentre la longitud del lado que se te indica.

1) a=8 c= ?

b=6

2)

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http://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa

http://es.wikipedia.org/wiki/Cateto

http://es.wikipedia.org/wiki/Cateto

http://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=teorema+de+pitagoras&source=images&cd=&cad=rja&docid=PtqSXfWbO9ljxM&tbnid=8scMGpbK88-a2M:&ved=0CAUQjRw&url=http://ferminmorales.wordpress.com/2011/03/13/teorema-de-pitagoras-definicion/&ei=F28YUazBLYXE2gWKroHYDg&bvm=bv.42080656,d.aWM&psig=AFQjCNEyXv-8ClNG16FY9FniuizNHxSs2g&ust=1360642122414292

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY a=5 c=?

b=12

3) a=9 c=15

b=?

4)

a=?

b=16

5)

a=9 c=17

35

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY b=?

6)

CLAUDIO PTOLOMEO

Astrónomo, matemático y geógrafo egipcio del siglo II de la era cristiana, nace en Tolemaida Hermia (en el Alto Egipto), alrededor del año 100, y vive y trabaja en Alejandría. Su ingenio rivalizó con el del gran Hiparco de Nicea y, en su época, pocos lo sobrepasaron en conocimiento dentro de varios campos científicos, al margen del de la astronomía y cosmología. Para su uso como astrónomo inventó una trigonometría, tan completa, que sobrevivió todo el período de la Edad Media. A partir de su teorema: "La suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales", logró desarrollar la siguiente expresión trigonométrica: sen () = sen cos sen cos

Ptolomeo expuso su doctrina en los trece libros de su «Gran composición matemática», que recibió de los traductores árabes el título consagrado de «Almagesto». Ningún escrito astronómico de la Antigüedad tuvo éxito comparable a la obra de Tolomeo, cuyos principios permanecieron indiscutidos hasta el Renacimiento. Pero es menester agregar, además, que los méritos de Tolomeo no sólo estaban limitados a la ciencia del cielo: fue con Eratóstenes y Estabón (63 a.c. - 24 dic.), uno de los eminentes geógrafos de la Antigüedad. Para representar la superficie esférica del globo sobre una superficie plana, creó un sistema de proyecciones: los paralelos son círculos con el centro en el Polo Norte; los meridianos, líneas rectas que convergen

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http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=ejemplos+teorema+de+pitagoras&source=images&cd=&cad=rja&docid=YSWXIS5mIPz5nM&tbnid=C0qYvzdZyxhutM:&ved=0CAUQjRw&url=http://matmatikas.wordpress.com/teorema-de-pitagoras/&ei=UXEYUYj-BfGA2AWl9IH4Cg&bvm=bv.42080656,d.aWM&psig=AFQjCNHzSwaD2Etw5fjxBgfFRFS2OPijHw&ust=1360642681428263

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY en el Polo. La imagen que Ptolomeo forjaba de tierras lejanas es, sin duda, fantástica, mientras que la descripción de la cuenca del Mediterráneo revela la exactitud, notable para la época, de sus fuentes, que son mapas militares del Imperio Romano.

Actividad #13

Conteste las siguientes preguntas.1.- Mencione el nombre del Astrónomo que inventó una trigonometría, tan completa, que sobrevivió todo el período de la Edad Media.R =

2.- ¿Cuál es el teorema de Claudio Ptolomeo?R =

3.- ¿Cuál es la expresión trigonométrica que desarrolló Claudio Ptolomeo?R =

4.- ¿Cuántos libros expuso Ptolomeo de su gran composición matemática?R=

5.- ¿Cuál era el sistema de proyecciones que creo Claudio Ptolomeo?R =

PROYECTO 1

(ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS) CONSTRUYAMOS UNA CASA

Competencia: resuelve problemas mediante la medición de ángulos en el plano y su clasificación y la medición de triángulos utilizando razonamientos analógicos y deductivos que implican los conceptos de semejanza y congruencia.

Indicadores de desempeño:Identifica los diferentes tipos de ángulos y de triángulos en situaciones de la vida cotidiana.Establece las diferencias entre los distintos tipos de ángulos y de triángulos.Resuelve problemas utilizando razonamientos analógicos y deductivos.Resuelve problemas que implican los conceptos de semejanza y de congruencia.

37


Situación didáctica:

*¿Cuál será el modelo de casa adecuado para construir un conjunto habitacional de 1000 casas en un terreno de 250,000 metros cuadrados (m²)?*Las 1,000 casas tendrán el mismo modelo arquitectónico. Cada casa tendrá 92 m². Cada casa tendrá cocina, sala, comedor, tres recamaras, uno y medio baño, jardín y estacionamiento para dos autos.*El fraccionamiento debe incluir calles con jardín en el camellón, áreas de estacionamiento para visita, áreas verdes, centro social, área comercial y de servicios.

Secuencia Didáctica:

*Forma equipos de trabajo para resolver el problema.*Cada equipo resuelve el problema de una o varias formas posibles.*Presentar los resultados en plenaria y analizar las diferentes formas de resolver el problema.*Debatir cuales de esas formas son válidas y cuáles no.*Realizar un recuadro con procedimientos diferentes para resolver el problema, incluir *Procedimientos no convencionales y convencionales.

Rubrica de evaluación:(Evaluación por producto)Para calificar la resolución del problema se elaboraran los siguientes productos.

*Plano de una casa (elaboración personal).*El plano para el conjunto habitacional (elaboración personal).* La maqueta de la casa diseñada a escala (elaboración por equipos).

PRODUCTO A ELABORAR

Productos individuales:

PLANOSA Una casa a escala En una hoja de papel rotafolio blanco dibuja la casa que

diseñaste a escala, misma que debe cumplir con los metros cuadrados especificados en el problema. También debes señalar las dimensiones de cada espacio, delimitar que representa cada uno (sala, comedor, cocina, baño, etc.). Indicar cuáles son las entradas, las salidas, etc. Además, identifica donde se aplican los conceptos de semejanza y de congruencia.

B Un conjunto habitacional a escala

En otra hoja de papel rotafolio blanco dibuja el conjunto habitacional completo, el cual debe cumplir con las especificaciones definidas en el problema, lo que incluye áreas verdes, salones de diversión, camellones, etc.

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Identifica además donde se aplican los conceptos de semejanza y de congruencia.

Por equipo:

MAQUETAC Una maqueta sobre una

casa diseñadaElabora en equipo una maqueta de la casa diseñada con sus respectivas dimensiones, partes y funcionamiento, tomando en cuenta una escala. Utiliza el material disponible. Elaboren una descripción por escrito de este modelo, las formas geométricas semejantes o congruentes que se encuentran en el diseño del modelo, así como las formulas usadas para determinar sus dimensiones y toda la información que indica como diseñaste la casa.

CALIFICACION DE LOS PRODUCTOS*Elaboración individual del plano de la casa 0.25 puntos*Elaboración individual del plano del conjunto habitacional. 0.25 puntos*Elaboración en grupo de la maqueta de la casa 0.5 puntos

Puntos a evaluar:-Para calificar los planos se tomarán en cuenta la resolución del problema, el procedimiento para llegar a hacerlo, los conceptos usados (entre los de de semejanza y congruencia), la exactitud de las dimensiones, la identificación de los espacios, la limpieza del plano y los datos incluidos en este.-Elaboración en grupo de la maqueta de la casa: se calificará el modelo con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, etc.

AUTOEVALUACIÓN

Con el objeto de promover el logro efectivo en los productos que elaboras, pregúntate lo siguiente:

¿Cada casa tiene 92 metros construidos y 120m² de superficie?¿Cada casa cumple con las especificaciones dadas (sala, comedor, recamaras, etc.)?¿Cada casa cuenta con medidas exactas en términos de áreas que ocupara cada espacio?¿Cada casa cuenta con la señalización correspondiente que permita al observador identificar que es cada sección?

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY ¿Se incluyeron dentro del terreno áreas verdes, centro social, camellones, etcétera?¿Los planos se comprenden a simple vista?¿Es posible interpretarlos sin dificultad?¿Se puede saber que es cada cosa o lugar y cuánto mide?¿Incluiste en tu investigación por lo menos tres modelos de casa con las características especificadas?¿Para cada modelo de casa tomaste en cuenta los espacios que debe tener la construcción?¿Incluiste el área de jardín en los camellones en el trazo de las calles?¿Incluiste el área necesaria para las banquetas?¿Dejaste un espacio adecuado como área de estacionamiento para visitas?¿El área verde común y los espacios deportivos están en lugares adecuados, accesibles para todos los habitantes del fraccionamiento?¿Diseñaste un modelo a escala del fraccionamiento donde se indican las medidas reales tanto de las casas como de las diversas áreas?¿En el modelo utilizaste material original?¿El modelo permite identificar el espacio que representa?¿Incluiste en el modelo elementos que permiten evaluar tu esfuerzo en su realización?

UNIDAD IIILOS POLÍGONOS Y SUS PROPIEDADES

Polígono: es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.

Polígono convexo: Cuando cualquier recta secante solo corta en dos de sus lados, y todoas sus diagonales están dentro del polígono.

Polígono cóncavo: Cuando cualquier recta secante corta en mas de dos de sus lados, y puede tener una diagonal fuera del polígono.

40

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento


Polígonos equiláteros: tienen sus lados congruentes (iguales).

Polígonos equiángulos: tienen sus ángulos congruentes (iguales).

Polígono regular: es aquel cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente; para polígonos de más lados, se añade el término regular pentágono regular, hexágono regular, etc.

Polígono irregular: es aquel cuyos lados y ángulos interiores son diferentes.

Diagonal: es todo segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

PARALELOGRAMO

Paralelogramo: Es un cuadrilátero que tiene paralelos sus lados opuestos.

B C

A D

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

1er propiedad: Sus lados opuestos son iguales

41

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=V%C3%A9rtices_(geometr%C3%ADcas)&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interior


http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(geometria)

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero

http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interior


http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=poligono+convexo&source=images&cd=&cad=rja&docid=8kNO8HlA5Bkg6M&tbnid=ssS4yaepd3Db1M:&ved=0CAUQjRw&url=http://diccio-mates.blogspot.com/2009/09/poligono-concavo-pologono-convexo.html&ei=pzAlUfj3KaP62QWInIHoAw&bvm=bv.42661473,d.b2I&psig=AFQjCNEj1aMmeTiQ2VN2Cs0p7l0l8jkagw&ust=1361478172372804

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=diagonales+de+un+poligono&source=images&cd=&cad=rja&docid=AhMffb-ESnfpnM&tbnid=AanpRYZWH4NwOM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.preparatoriaabierta.com.mx/matematicas-1/numeros-racionales.php&ei=QzMlUdb1BqeU2wW9tIDYCQ&bvm=bv.42661473,d.b2I&psig=AFQjCNHoBEcVTNZv9lG1wlRjLmls46zEQg&ust=1361478830179622


2ra propiedad: Sus ángulos opuestos son iguales.

3ra propiedad: Dos ángulos consecutivos son suplementarios quiere decir suman 180 º

4ta propiedad: Las diagonales se interceptan mutuamente.

Actividad #14

Resuelve los siguientes paralelogramos, aplica sus propiedades, encuentra valor de la incógnita y sus lados o ángulos según lo que se pida.

1. Si ABCD es un paralelogramo, encuentre x, y. Y la medida de cada lado

B C

42

d3 d2

d1 d4

D3

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY A D

AB =3y-20, AD =3x, BC =x+20, CD=2y+30

___2. Si ABCD es un paralelogramo, encuentre AC

B C E

A D

AE = , EC =

3. Si ABCD es un paralelogramo, encuentre X y Z. y la medida de cada diagonal.

B C E

A D

AE =5x, EC =60, BE =12, DE =3z

43


4. Si ABCD es un paralelogramo, encuentre x y y

B C

A D

AB =2x+18, AD =4y+6, DC=6x+10 BC=7y

5. Si ABCD es un paralelogramo, encuentre “w” y el de cada ángulo

B C

A D

44


5. Si ABCD es un paralelogramo, encuentre “z” y el de cada ángulo

B C

A D

Elementos de un polígono regular

Polígono: es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.

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Centro: Punto interior que equidista de cada vérticeRadio: Es el segmento que va del centro a cada vértice.Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un pol ígono regular

Ángulo central de un polígono regular: Es el formado por dos radios consecutivos.

Si “n” es el número de lados de un polígono:

Ángulo interior de un polígono regular: Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo exterior de un polígono regular: Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Tipos de polígonos regulares

Triángulo equilátero: Cuadrado Tiene los 3 lados y ángulos iguales. Tiene 4 lados y ángulos iguales.

46


Pentágono regular: Hexágono regular: Tiene 5 lados y ángulos iguales. Tiene 6 lados y ángulos iguales.

Heptágono regular: Octágono regular Tiene 7 lados y ángulos iguales. Tiene 8 lados y ángulos igua les .

Eneágono regular: Decágono regular Tiene 9 lados y ángulos igua les . Tiene 10 lados y ángulos igua les .

.

Endecágono regular: Dodecágono regular:Tiene 11 lados y ángulos igua les . Tiene 12 lados y ángulos igua les .

47


Tridecágono regular: Tetradecágono regular: Tiene 13 lados y ángulos igua les . T iene 14 lados y ángulos igua les .

Pentadecágono regular: Tiene 15 lados y ángulos igua les .

hexadecágono 16heptadecágono 17octodecágono 18eneadecágono 19isodecágono, icoságono 20triacontágono 30tetracontágono 40pentacontágono 50hexacontágono 60heptacontágono 70octacontágono 80eneacontágono 90

ÁNGULOS Y DIAGONALES DE POLÍGONOS

Suma de ángulos internos de un Medida de cada ángulo externopolígono regular

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Medida de cada ángulo interno Número de diagonales

Actividad #15

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY Encuentre lo que se pida en cada uno de los ejercicios aplicando propiedades de los polígonos.

1. Calcule en un hexágono regular:a) La medida de cada ángulo interior b) La medida de cada ángulo exterior

c) El número de diagonales d) Suma de ángulos internos.

2. Calcule en un heptágono regular:a) La suma de los ángulos interiores b) El valor de cada ángulo interior

c) La medida de cada ángulo exterior d) El número de diagonales

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 3. Determine el número de lados que tiene un polígono cuyos ángulos interiores suman 1080°.

4. El ángulo interior de un polígono regular mide 156°, Determine: a) El número de lados del polígono. b) El número de diagonales.

c) El valor de cada ángulo exterior. d) Suma de ángulos internos.

5. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular que posee 77 diagonales?

51

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 6. El ángulo exterior de un polígono regular mide 36°. Encuentre: a) El número de lados b) La suma de los ángulos interiores

c) El número de diagonales d) La medida de cada ángulo interior

7. Un polígono regular tiene 12 lados, encuentre: a) La suma de los ángulos interiores b) La medida de cada ángulo interior

c) La medida de cada ángulo exterior d) El número de diagonales

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 8. Determine cuántos lados tiene un polígono que posee: a) 20 diagonales

b) 44 diagonales

9. Determine el número de lados de un polígono regular en el cual la medida de cada uno de los ángulos internos es:

a) 170°

b) 144°

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 10. Determine el número de lados que tiene un polígono, si la suma de sus ángulos internos es de 3600°.

11. Encuentre el número de lados que tiene un polígono regular si:

a) Su ángulo interno es de 165°

b) Su ángulo externo es de 40°

54

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 12. Los ángulos interiores de un hexágono irregular están representados por A = (4x) °, B = (6x+10) °, C = (4x+8) °, D = (12x+4) °, E = (10x+16) ° y F = (8x) °. Encuentre la medida de cada ángulo.

55


ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLÍGONOS

CUADRADO

Cuadrado: Polígono regular de 4 lados y 4 ángulos congruentes (iguales)

Fórmula para encontrar el área Fórmula para encontrar el perímetro

Actividad #16Encuentre lo que se pida en cada uno de los cuadrados aplicando sus respectivas fórmulas.

1. Determine el área y perímetro de un cuadrado si su lado mide 17 cm.

L=17

2. Determine el área de un cuadrado cuyo perímetro es de 80 pulgadas.

56

http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.sehacesaber.org/galeria/area_cuadrado_1.jpg&imgrefurl=http://www.aula365.com/pregunta/cual-es-el-area-del-cuadrado/&h=350&w=314&sz=10&tbnid=k7oMNht7gj0HyM:&tbnh=90&tbnw=81&prev=/search?q=area+cuadrado&tbm=isch&tbo=u&zoom=1&q=area+cuadrado&usg=__3a8G2Cr1Cxnp37FvN-WFfWhwJbY=&docid=78MfmY0KQ2Y_NM&hl=es-419&sa=X&ei=bsUrUbCKKKmi2QWJ74CoCQ&sqi=2&ved=0CDcQ9QEwAg&dur=1286


. 3. El área de un cuadrado de la figura es de 1225 cm2. Encuentre el valor de x.

(3x +5) cm

4. El área del cuadrado de la figura es de 676 cm2. Encuentre el valor de x.

(2x –10) cm

5. El área de un cuadrado es de 3025 cm2, encuentre la longitud de sus lados.

6.- El perímetro de un cuadrado es 48 dm encuentre el área.

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TRIÁNGULO

Triángulo: figura de tres lados


Teorema de Pitágoras Fórmula para el perímetro de triángulo equilátero

Actividad #17Encuentre lo que se pida en cada uno de los triángulos aplicando sus respectivas fórmulas.

1. Determine el área de un triángulo con base 13 cm y altura 6 cm.

2. Encuentre el área y perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 16 pies y 12 pies respectivamente.

58

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=area+triangulo&source=images&cd=&cad=rja&docid=VF-hC7OLSxoMxM&tbnid=550_Jb7a3Pa7lM:&ved=0CAUQjRw&url=http://telefonica.net/web2/juliora/figuras/triangulo/triangulo.html&ei=xsYrUYb_Ha--2AWgn4DwDA&bvm=bv.42768644,d.aWM&psig=AFQjCNF-eh9MKGi8zfbdyrjVLUioVzOgzg&ust=1361909797653709


3. Encuentre el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 75 cm.

4. Encuentra área y el perímetro de un triángulo equilátero si lado mide 12 dm.

L=12

5.- Encuentra la base de un triángulo su altura mide 7 dm y su área es de .

59


RECTÁNGULO

Rectángulo: Es el paralelogramo que tiene 4 ángulos rectos (90º) tiene la propiedad que sus lados son paralelos y sus diagonales son iguales.



Actividad #18Encuentre lo que se pida en cada uno de los rectángulos aplicando sus respectivas fórmulas.

1.- Encuentre el área y perímetro de un rectángulo si su base mide 40 cm y su altura 20 cm.

h

b

2. Encuentre el área de un rectángulo si su base mide 30 cm y el perímetro mide 130 cm.

60

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=area+del+rectangulo&source=images&cd=&cad=rja&docid=mt4VC8StI9JpqM&tbnid=c9-KbAZGyZM3ZM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.emagister.com/curso-geometria-basica/como-calcular-perimetro-figuras-planas&ei=1MkrUZjQK_SI2gXyqoDAAw&bvm=bv.42768644,d.b2I&psig=AFQjCNG4P4r2kPdLfMPP13j1_bfoc13CGA&ust=1361910562003275


3. Determine el área de un rectángulo si su base mide 16 m y su diagonal 20 m.

h=?

b=16m

4. Encuentra la base de un rectángulo si su área mide 96 y su altura 8 cm

b=?

5. Encuentra el área y perímetro de un rectángulo si su base mide 24 cm y su diagonal 26 cm.

61

d=20m


PARALELOGRAMO

Paralelogramo: Es el cuadrilátero que tiene sus lados paralelos.


Actividad #19Encuentre lo que se pida en cada uno de los paralelogramos aplicando sus respectivas fórmulas.

1. Encuentra el área de un paralelogramo si su base mide 20 cm y su altura 12 cm

b

2. Encuentre la base de un paralelogramo, si su altura es de 12cm y su área es de 156 cm².

3. Encuentre la altura de un paralelogramo si su base mide 14 m y su área 70

62

h

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=paralelogramo&source=images&cd=&cad=rja&docid=3K5m2U_TEQ7lqM&tbnid=Ui5RRg_jHasQIM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/geometria15.html&ei=vt0rUenkAoLt2QWdsYCwDg&bvm=bv.42768644,d.b2I&psig=AFQjCNH7y6y-ISJ8f8oaANj-KnxT3O6eqg&ust=1361915705717785


4. Encuentra el perímetro de un paralelogramo si su base mide 24 dm y sus laterales miden 10 dm.

ROMBO

Rombo: Es el paralelogramo que tiene dos lados consecutivos iguales. Su propiedad que es equilátero (los 4 lados iguales)



Actividad #20Encuentre lo que se pida en cada uno de los rombos aplicando sus respectivas fórmulas.

1. Encuentre el área de un rombo si sus diagonales miden 36 cm y 8 cm respectivamente.

63

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=rombo+equilatero&source=images&cd=&cad=rja&docid=pi_0ORZdokznBM&tbnid=tQmOqCSHFgIIJM:&ved=0CAUQjRw&url=http://intercentres.edu.gva.es/ieselclot/html/departaments/matematiques/areas_y_volumenes_de_poliedros.htm&ei=9NosUYTHKO_E2QXMmYDwBg&bvm=bv.42965579,d.b2I&psig=AFQjCNEZEt91hWOGufZ97kXaMQ4bv6uojw&ust=1361980507788871


2. Encuentre el perímetro de un rombo si su lado es de 44 cm.

L=44

3. Encuentre el área de un rombo si una de sus diagonales mide 10 pulgadas y sus lados miden 13 pulgadas

4. Encuentra la diagonal mayor de un rombo si su área es de 207 y su diagonal menor

18cm.

5. Encuentra el área y el perímetro de un rombo si sus diagonales miden 20 cm y 10 cm.

64


TRAPECIO

Trapecio: Es el cuadrilátero que tiene un solo par de lados opuestos que su llaman bases.

Tipos de trapecios:

Trapecio rectángulo: Trapecio isósceles: Trapecio escaleno:Tiene un ángulo recto Sus laterales son iguales 3 lados diferentes



65

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=trapecio&source=images&cd=&cad=rja&docid=VL-4bhp72MwvZM&tbnid=PzVtYGdfnWapbM:&ved=0CAUQjRw&url=http://telefonica.net/web2/juliora/figuras/trapecio/trapecio.html&ei=kt4sUY7wFarY2QW9u4GIBA&bvm=bv.42965579,d.b2I&psig=AFQjCNF-bewiQls3_INMkqcce_fFpw-DZg&ust=1361980970037126

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trapezoid.png

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Isosceles_trapezoid.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trapezoid2.png


Actividad #21Encuentre lo que se pida en cada uno de los trapecios aplicando sus respectivas fórmulas.

1. Encuentra el área de un trapecio si sus bases miden 25, 20 cm y su altura 15cm.

2. Encuentre la altura de un trapecio, si sus bases miden 10 m y 9 m respectivamente y su área es de 406 m2.

Para cada uno de los siguientes casos, encuentre el área del trapecio. Considera los datos que te proporcionan.3)

B = 70 cmb= 20 cmh=12 cm

4)

66




Base del triángulo = 6 cmBase del rectángulo = 26 cmLateral= 8 cm

5)

Base del rectángulo = 50 cmLateral = 15 cmh= 9 cm

6)

Base del triángulo = 3 cmBase del rectángulo = 20 cmLateral = 5 cm

67


UNIDAD IVCÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA.

Círculo: Superficie plana limitada por una circunferencia.

Circunferencia: Curva cerrada cuyos puntos están en el mismo plano y equidistan del un punto llamado centro.

Diámetro: Segmento de recta que pasa por el centro de la circunferencia.

Radio: Segmento de recta que une el centro con un punto de la circunferencia.

Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

Secante: Recta que toca dos puntos de la circunferencia.

Tangente: Recta que toca un punto de la circunferencia.

68

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=circulo+y+circunferencia&source=images&cd=&cad=rja&docid=r9rMeJteujZDyM&tbnid=8huYhGxi4jrlxM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~23001603/Act_potatoes/t12m1/1.htm&ei=HjAuUbijD-SVygHA3oHoAw&bvm=bv.42965579,d.eWU&psig=AFQjCNFMVAm2RuwqW5jrAFjZ8TjsUbb6lA&ust=1362067853366249


Arco: Es una parte de la circunferencia:

ÁREA Y CIRCUNFERENCIA DE CÍRCULO

Fórmula para encontrar el área Fórmula para encontrar la circunferencia.

Actividad #22Calcule las siguientes áreas y circunferencias

1. El diámetro del círculo es d =36cm, calcule la circunferencia y el área.

2. El diámetro de la circunferencia es d =5cm, calcule el perímetro y el área.

69

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=circunferencia&source=images&cd=&cad=rja&docid=WGobFUHBsOuzVM&tbnid=ufpc00EBET-0FM:&ved=0CAUQjRw&url=http://matematica.carpetapedagogica.com/2012/04/circunferencia.html&ei=oy8uUZ_KBpL-rAGd0IGwDw&bvm=bv.42965579,d.eWU&psig=AFQjCNHUvZfp_oP14q-6BlZqKCSv7jw0PA&ust=1362067557263421

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=arco+en+una+circunferencia&source=images&cd=&cad=rja&docid=N4j9ryJN-PwRlM&tbnid=XxqD8Fd6ZEHu0M:&ved=0CAUQjRw&url=http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-35.htm&ei=WGAuUaifM-a42QWjiYCwBw&bvm=bv.42965579,d.aWM&psig=AFQjCNHatY_isy4Mei5Z1ARaA0QW6wSVMg&ust=1362080198698588


3. El radio de la circunferencia es r =5m, calcule el perímetro y el área.

4. El radio de la circunferencia es r =4cm, calcule el perímetro y el área.

5. El radio de la circunferencia es r =6cm, calcule el perímetro y el área.

ÁNGULOS CENTRALES E INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Ángulo central: Es el que está formado por dos radios.

70


Ángulos inscritos: Está formado por dos cuerdas o por el diámetro y una cuerda.

Ángulo inscrito por dos cuerdas Ángulo inscrito por el diámetro y cuerda

Actividad # 23En cada caso encuentre lo que se te pide:

1) X=? Arco BC=?

2) Z=? Arco BC=?

71

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=Angulo+central&source=images&cd=&cad=rja&docid=09x-_Fn4ziY7_M&tbnid=HEAnyllp4niBmM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.matetam.com/glosario/definicion/angulo-central-un-circulo&ei=rmIuUdnSCoTi2QXI_oCIBg&bvm=bv.42965579,d.aWM&psig=AFQjCNG18gavetStnUNXegOCSf8Z3J4Jzg&ust=1362080789697846

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=angulo+inscrito&source=images&cd=&cad=rja&docid=6BgB_EUlyNRlFM&tbnid=tPWo4yMDJAEaFM:&ved=0CAUQjRw&url=http://eivcircunferencias.blogspot.com/2010/11/teorema-del-angulo-inscrito.html&ei=amQuUcarFrPE2QXPy4H4Cw&bvm=bv.42965579,d.aWM&psig=AFQjCNFp-evZbxPht1Go3IiMQVcvelGAMA&ust=1362081088026324

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=angulo+inscrito&source=images&cd=&cad=rja&docid=Y0z32CSM4-pS8M&tbnid=OdOtT8GgJgFyPM:&ved=0CAUQjRw&url=http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/anguloscircun.htm&ei=iGQuUcTrJ6HB2wXQ6IDwCA&bvm=bv.42965579,d.aWM&psig=AFQjCNFp-evZbxPht1Go3IiMQVcvelGAMA&ust=1362081088026324


3 )

Z

4. C Si a =60° y c =130° Encuentre: b= A=? B=? C=?

A B

5. B

AC =Diámetro y a =68° Encuentre:

72

c a

ab

c

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY b=? A=? B=? C=?

A C

6. B Si a= 130 c=130 c a Encuentre: b=? A=? B=? C=? A C

b

7. B c

73

b

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY Si c =72° y a =100 a Encuentre: b A=? B=? C=? A C b

Actividad #24.

I. Escriba en la línea el concepto correcto:

Pentágono Cuadrilátero Triángulo Equilátero Polígono convexo

Triángulo

Diagonal Heptágono Polígono regular Hexágono Polígono cóncavo

180° Polígono Ángulo exterior

1. _______________________ Nombre del polígono que tiene todos sus lados congruentes

2. _____________________________ Es la suma de los ángulos interiores de un triángulo

3._____________ Segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono

4. ______________________ Ángulo que es adyacente y suplemento a un ángulo interior

5.___________________________ Polígono que tiene todas sus diagonales en su interior

74


6 _______________ Polígono que tiene por lo menos una de sus diagonales en el exterior.

7. ______________________________ Es todo espacio limitado por segmento de recta

8. _____________________________________________ Polígono que tiene tres lados

9. ________________________________________________ Polígono de cuatro lados

10. ____________________________________________ Polígono que tiene cinco lados

11. _________________________________________________ Polígono de seis lados

12. ___________________________________________ Polígono que tiene siete lados

13. _____________________ Nombre que recibe el polígono que tiene sus 3 lados iguales

II. Escriba en la línea el concepto correcto:

Suplementarios Semejantes Simétrica Romboide ComplementarioObtuso Proporcionales Radio Cuerda Media proporcionalInscrito Escaleno Incentro Alternos

internosMediana

1.- _________ Es el triángulo que tiene sus tres lados con diferentes medidas.

2.- _________ Es el segmento de recta que va de un vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto.

3.- _________ Si dos triángulos son semejantes, entonces sus lados son

4.- _________ Es el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos de un triángulo.

5.- _________ Son los términos centrales en una proporción continúa.

6.- _________ Propiedad que afirma: "si una recta es paralela a otra, esta es paralela a la primera".

7.- _________ Ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

8.- _________ Paralelogramo cuyos lados y ángulos contiguos no son congruentes.

75

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 9.- _________ Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

10.- _________ Par de ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90º.

11.- _________ Par de ángulos que se forman cuando dos rectas son cortadas por una transversal y que tienen vértices distintos y están en lados distintos de la transversal.

12.- _________ Par de ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180º.

13.- _________ Es el segmento de recta que une el centro de un polígono regular con uno de sus vértices.

14.- _________ Polígonos que tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales.

15.- _________ Polígono que mide más de 90 pero menor a 180 .

III. Localice los siguientes conceptos.Punto donde concurren las medianas de un triánguloPunto donde concurren las mediatrices de un triánguloPunto donde concurren las alturas de un triánguloRecta que se traza desde un vértice de un triángulo en forma perpendicular al lado opuesto ó su prolongaciónEs la abertura entre dos semi-rectas que parten de un punto llamado vérticeConcepto geométrico que no tiene dimensionesRecta que divide a un ángulo en dos partes igualesSegmento de recta que se traza desde un vértice de un triángulo hasta el punto medio del lado opuestoRectas en un plano que nunca llegan a unirseFigura plana limitada por segmentos de rectaConcepto geométrico que tiene una dimensiónPunto donde concurren las bisectrices de un triánguloRecta que es perpendicular a un segmento de recta en su punto medioPolígono formado por tres segmentos de rectaConcepto geométrico que tiene dos dimensionesRectas que al unirse forman ángulos de 90º

O L E L A B O F L H J K L S W E J X

P I W R W A L F I E S T U D I O S P

76

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY W C H O R R N U E A S I A A V I A S

N I O R Y I F P O L I G O N O T B R

M R E T N C O U F T S O A G R I I E

R C S O D E C N H U J H L U R G S U

P U T C F N O T K R U R R L I N E A

I N C E N T R O L A E K H O G K C S

N C K N A R K C F L E M G D M X T S

O E O T N O N S O L W E B H P M R D

S N N R D O C E N A S D O L A S I C

A T A O A D A S M E D I A T R I Z L

L R S V R K A O J R S A J C A C I P

K O D R H S H T R I A N G U L O N A

M A T E M A T I C A S A L A E V R A

D X O F I S D L C O A S L P L A N O

C A R W L O Q G L A F M T S A L G V

P E R P E N D I C U L A R E S H P S

UNIDAD V: TRIGONOMETRÍA

Historia de la Trigonometría

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilonia escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas.

77

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plimpton_322&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plimpton_322&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Escritura_cuneiforme

http://es.wikipedia.org/wiki/Arcilla

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Babilonios

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa


La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y losángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron losprimeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuarmedidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de losprimeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción delas rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en elcálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático yastrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de laTrigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de lasfunciones trigonométricas de la actualidad.Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Ydesde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía paraconvertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos trigōno triángulo y metron medida.1

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Razones trigonométrica: Es la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Se pueden establecer seis relaciones por cociente o razones geométricas cuyo valor depende del ángulo.

Las razones trigonométricas son: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.

Triángulo rectángulo

78

http://es.wikipedia.org/wiki/Cosecante

http://es.wikipedia.org/wiki/Secante_(trigonometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Cotangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Coseno

http://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(trigonometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_del_espacio


http://es.wikipedia.org/wiki/Cosecante

http://es.wikipedia.org/wiki/Secante_(trigonometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Cotangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Coseno

http://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(trigonometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Plimpton_322.jpg


Razones trigonométricas para ángulos agudos

79

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Triangulo-Rectangulo.svg


Actividad # 25

SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.

I.-En todo triángulo rectángulo se cumple que de cualquier ángulo agudo:

1) Es la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa

a) COSENO b) SECANTE c) SENO d) COTANGENTE e) COSECANTE f) TANGENTE

2) Es la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa


80


3) Es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente


4) Es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto.


5) Es la razón entre la hipotenusa y el lado adyacente.


6) Es la razón entre la hipotenusa y el lado opuesto.


II. DEFINA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE:a) El ángulo Mb) El ángulo N N o m O n M

C b A SenM = SenN =_________ CosM = CosN=_________ TanM = TanN=_________ CotM = CotN=_________ SecM = SecN=_________ CscM =___________ CscN=_________

III. DEFINA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE:a) El ángulo Xb) El ángulo Z X y

z

Y x Z

Sen X = Sen Z=_________ Cos X = Cos Z=_________ Tan X = Tan Z=_________ Cot X= Cot Z=_________ Sec X= Sec Z=_________ Csc X=___________ Csc Z=_________

Actividad #26

Determine el signo de las funciones trigonométricas para cada uno de los cuadrantes de un sistema de coordenadas. Considera el lado r como el lado terminal en cada gráfica mostrada y completa la tabla.

CUADRANTE Sen Cos Tan Cot Sec Csc III

81


IIIIV

r r

r r

Actividad #27

Encuentre los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A y B de las siguientes figuras. a)

a= 6 c=?

82

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY b=8

b)

a=3 c=?

b= 4

83


c) a=25 c=?

b= 40

84


Actividad #28

Encuentre los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A de las siguientes figuras.

a)

85


a= ? c=13

b= 12

b) a= ? c=15

b= 12

c) a= ? c=22

b= 15

86


Actividad #29

Encuentre los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B de las siguientes figuras.

a)

a= 16 c=20

b= ?

b)

a=20 c=25

b= ?

87


c) a=41 c= 60

b= ?

Actividad #30Para los siguientes ejercicios considere que es un ángulo agudo, dibuje el triángulo y encuentre el valor de las demás funciones:

a) Dado Sec A = 10_ 6 a= c=

b= A

88


b) Dado Cos A= 15_ 25

a= c=

b= A

c) Dado Ctg A= 24_ 10

89


d) Dado Csc A=

e) Dado Tan A = 9_ 14

90


e) Dado Sen A = 9_ 4

Actividad #31

Utilizando la calculadora, obtenga el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo que se te indica.

91


Angulo Sen Cos Tan Cot Sec Csc 0º20º55º50º90º260º72º25º27º30’62º40’

Actividad #32

Considerando que es un ángulo agudo, encuentra el valor de para cada función trigonométrica.

Valor del ángulo Grados Grad, min., seg. Valor del ángulo Grados Grad, min., seg.sen = 0.2588 Cot=20.81883sen=0.90911 Cot=1.936934sen=0.9997 Cot=0.76733cos=0.56039 Sec=13.23472cos=0.07411 Sec=1.1052cos=0.83533 Sec=4.61417Tan=0.84656 Csc=3.081197Tan=3.20079 Csc=1.42461Tan=1.05501 Csc=1.12824

Actividad #33

Evalúe las siguientes expresiones trigonométricas, encuentre el valor numérico.

92


1. Sen0°+2Cos0°+Sen90° -3Cos180°=

2. 2Sen75° -3Sen35°+4Cos180°+Sen90°=

3. 3Sen 0° + 2cos 90° + 4Tan 180° - 5 cos 270°=

4. Tan45º + 5Sen60º - 2Cos0º + 3Cos180º =

5. Tan180º - 2Cos180º + 3Csc 270º + Sen 90º =

6. Cos55º + Csc90º - Sen90º + Cot25º =

7. Csc62º40’ + Tan0º + Sen27º30’ – Sec10º =

8. Cot27º30’ – Sen 14º99’ + Csc44º58’ – Tan72º65’ =

9. Cos 33º20’59” + Sec 25º12’6” – Cot 27º18’23” + Sen 14º59’55”

10. Csc 18º56’17” – Tan 46º32’0” + Sen 62º40’ – Cos0º =

Actividad #34

Simplifique las siguientes expresiones trigonométricas.

1. CscTan=93


2. Sen = Cos

3. Tan = Sec

4. TanCot =

5. CosSec =

6. SenCsc =

7. Cot = Csc

8. SenCot =

9. TanCos =

Actividad #35

Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

1) DadoB =48°

94


A Encuentre a=?, b=? , A=? c=35cm b C a B

2) A Encuentre c=?, A=?, B=? c b=21cm C a=28 cm B

3) B Encuentre a=?, A=?, B=? c=34cm a= C b=30cm A

4) Dado B =14° y c=98 Encuentre los lados a=?, b=? B a c C b A

95


5) Dado B=25° y a=75, Encuentre los lados b=?, c=? y el ángulo A=?.

B a c

C b A

6) Dado A=72° y b=35 Encuentre a=?, c=? y el ángulo B=?

B

a c C b A

7) Dado A=43° y b=20 Encuentre a=?, c=? y el ángulo B=?

B

a c C b A

96


8) Dado B=26° y a=80 Encuentre b=?, c=? y el ángulo A=?

B

a c C b A

Actividad #36

Resuelve los siguientes problemas razonados.

1. Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de meteorología dirige la luz de un faro verticalmente hacia arriba del suelo. Hasta un punto P situado a 1,000 m del faro, se mide el ángulo de elevación de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59º. Encuentre la altura de la capa de nubes.

97


2. Un avión está volando a una altura de 10,000 m. El ángulo de elevación desde un objeto en la tierra hacia el avión mide 30º. ¿Qué tan lejos se encuentra el objeto del avión?

3. Un observador ve desde lo alto de un faro de 75 m de altura un barco en el agua, con un ángulo de depresión de 15°. ¿Cuál será la distancia del barco a la torre?

98

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=faro+dibujo&source=images&cd=&cad=rja&docid=CCO3fhhClA8yEM&tbnid=haDPLKo_0CsxmM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.cuentosparacolorear.com/colorear/Varios/dibujos-para-colorear-faros.html&ei=lldDUZ2zI6Pg2gWy7oBQ&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNHAXCmuHJ-FqdC9VymphjFWgvqvnQ&ust=1363454205634895

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=avion+dibujo&source=images&cd=&cad=rja&docid=tGnkfGvYnXintM&tbnid=Ijf6r2XuftnCrM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.dibujossincolorear.com/2012/07/dibujos-de-aviones-para-colorear.html&ei=flhDUd3rOMTn2QXl-YDoCw&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNEdqO6ijRt7bFgr_E4H_PzVwS0-qA&ust=1363454287446779

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=dibujo+y+faro+&source=images&cd=&cad=rja&docid=CCO3fhhClA8yEM&tbnid=haDPLKo_0CsxmM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.cuentosparacolorear.com/colorear/Varios/dibujos-para-colorear-faros.html&ei=wllDUYj4OOTP2QXkxIH4CA&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNEg06KTxThm9FCmdM2lbC7AoaziuA&ust=1363454724811996

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=dibujo+barco&source=images&cd=&cad=rja&docid=KoIc0rNuRc7B8M&tbnid=_0ixJWSpiOyjKM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.quierodibujos.com/Barco-de-grandes-velas/2789&ei=_FlDUcuWOsWa2AXwqoCYAQ&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNH0QcagleuTRg6_py4JSN-omibspQ&ust=1363454831667340


4. Cuando se observa la parte más alta de la Torre Eiffel desde una distancia de 66 metros de su base, el ángulo de elevación es 79, encuentre la altura de la torre

5. Una escalera de 5 m se apoya contra el borde superior de una barda que rodea un jardín. Si el pie de la escalera se encuentra a un metro y medio de distancia de la base de la barda. ¿Cuál es la altura de está?

99

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=torre+eiffel+dibujo&source=images&cd=&cad=rja&docid=tjZOGmCc_5lmKM&tbnid=X-q7BxaqdIKHxM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.dibujosyjuegos.com/dibujos/picture.php?/12934/category/343&ei=e1pDUZboG6b22AWVvYHwBw&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNGSt8s7wLYTTR_OXB7eSG6iq7d14A&ust=1363454932036393

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=dibujo+escalera+en+pared&source=images&cd=&cad=rja&docid=VyyIVmyu5jlU7M&tbnid=sn23Cd3qSneT6M:&ved=0CAUQjRw&url=http://tumundocurioso.blogspot.com/2009/01/las-escaleras.html&ei=kFtDUe-RM-K72QXEv4GQBg&psig=AFQjCNH0iYG_0priuMAUzP4Z_ah4CWoZ7g&ust=1363455214500786


6. Desde un barco, un observador determina que el ángulo de elevación a una torre de 80 m de altura que está situado a 200 m de la playa es de 6º. ¿Qué tan lejos está el barco de la orilla?

7. Un excursionista desea subir a la parte más alta de un cerro que tiene 800 m de altura. Si el camino por donde va a subir tiene un ángulo de elevación 60º, ¿Qué distancia deberá recorrer para llegar a su meta?

100

http://www.google.com.mx/imgres?q=dibujo+torre&start=161&um=1&hl=es-419&biw=1600&bih=805&tbm=isch&tbnid=3iITG4W1pYTsCM:&imgrefurl=http://pixers.es/vinilos/dibujos-animados-torre-medieval-27396067&docid=ZcrR7MujKRhXnM&imgurl=http://pixers.es/image/1/400/n8nLukGL8611ocTe01Ti1vHLLinKHl2OHp0R21jM1zWYZcjifckSwokeHcERfNDXw79Qh7jShoGRhEERh72MhF3FqzSKhZkaMR3KhRGKm5dRkRHT0NnasiGaho2F0Rni/70/82/51/0070825150/3/vinilo-dibujos-animados-torre-medieval-dibujo.jpg&w=400&h=400&ei=71tDUcapOIqW2QW654CIAw&zoom=1&sa=X&ved=0CIYCEIQcMFY4ZA&ved=1t:3588,r:86,s:100,i:262&iact=rc&dur=478&page=5&tbnh=170&tbnw=143&ndsp=37&tx=73&ty=93

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=dibujo+barco&source=images&cd=&cad=rja&docid=KoIc0rNuRc7B8M&tbnid=_0ixJWSpiOyjKM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.quierodibujos.com/Barco-de-grandes-velas/2789&ei=_FlDUcuWOsWa2AXwqoCYAQ&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNH0QcagleuTRg6_py4JSN-omibspQ&ust=1363454831667340

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=dibujo++cerro&source=images&cd=&cad=rja&docid=F_QL6lVljkrGMM&tbnid=K9mI7kA54bEDvM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.cienciaydocencia.ieslosmanantiales.com/Web%20Grupo%20de%20Trabajo/Cabo_de_Gata.htm&ei=Fl1DUd2FOaTA2AXO2IHIAw&psig=AFQjCNFawLHZOHbyzpql2Gw6YXwCp7WWSQ&ust=1363455586348288


8. Un silo en forma de cono almacena semillas. El radio de la base mide 3 m y su altura es de 5 m ¿Cuánto mide el ángulo exterior que forman el piso y la generatriz del cono?

9. Dos edificios de la escuela se encuentran en esquina, uno frente al otro a una distancia de 25 m. desde la base de uno se ve la parte más alta del otro edificio. Si el ángulo que forman el piso y la línea que va de la base de un edificio a la parte más alta del otro es de 60º y 75º respectivamente, ¿Qué altura tiene cada edificio?

101

http://www.google.com.mx/imgres?q=formula+de+figura+geometrica+(cono)&um=1&hl=es-419&sa=N&rlz=1W1TSNS_esMX502&biw=1311&bih=420&tbm=isch&tbnid=aFH-cgr1oHY9oM:&imgrefurl=http://www.figurasgeometricas.org/2012_08_01_archive.html&docid=h5odNzK0JnePbM&imgurl=http://4.bp.blogspot.com/-ZnDwx1N9ltM/UC9Md-21j7I/AAAAAAAAAMo/ODIv1o2lAU0/s1600/Cono.JPG&w=156&h=209&ei=wfFEUeO7E6iB2gWNw4GQBg&zoom=1&ved=0CMACEIQcME4&ved=1t:3588,r:78,s:0,i:320&iact=rc&dur=1027&page=6&tbnh=165&tbnw=119&start=75&ndsp=13&tx=60&ty=95

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=edificio+para+colorear&source=images&cd=&cad=rja&docid=ZRqbzYKtwo2_9M&tbnid=cs-Vid9f65DSiM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.educima.com/dibujo-para-colorear-apartamento-i23141.html&ei=SvZEUZDuLeLq2AWfl4HADQ&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNGKto6M6OcLsp33KjJAFV15bLAunQ&ust=1363560308052585

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=edificio+para+colorear&source=images&cd=&docid=dQ2KqLCweug0_M&tbnid=_vyRcQOvTBwhPM:&ved=0CAUQjRw&url=/url?sa=i&rct=j&q=edificio+para+colorear&source=images&cd=&cad=rja&docid=dQ2KqLCweug0_M&tbnid=_vyRcQOvTBwhPM:&ved=&url=http://ajilbab.com/dibujos/dibujos-de-edificio-con-parablica-para-colorear.htm&ei=8_VEUfKpJoW42gW7zYGYBw&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNGKto6M6OcLsp33KjJAFV15bLAunQ&ust=1363560308052585&ei=CfZEUZW-NqPI2gWhrYDwDw&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNGKto6M6OcLsp33KjJAFV15bLAunQ&ust=1363560308052585


10. Una torre de 35 metros de altura forma una sombra de 20 metros de la base del castillo, ¿Cuál es la longitud de la sombra y su ángulo de inclinación con el piso?

Triángulo oblicuángulo

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

Ley de cosenos:102

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=torre+de+castillopara+colorear&source=images&cd=&cad=rja&docid=qreCy3CG6bewTM&tbnid=bHLXJ6p5wBbQOM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.colorearjunior.com/dibujos-para-colorear-de-castillos.html&ei=RvdEUbOPGqGF2QW16YHYDA&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNF-CWoIobRWcpgVcnm95-AT6R28LQ&ust=1363560586962919

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=triangulo+obtuso&source=images&cd=&cad=rja&docid=FANuyqsFNHnktM&tbnid=syB2gEbd16NV3M:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.monografias.com/trabajos41/angulos-triangulos/angulos-triangulos2.shtml&ei=9_hEUeC9K8qI2gWe5oHABg&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNH8mK9z4UgQzJALLD1dX9NsDWELtA&ust=1363561053055599

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=triangulo+acutangulo&source=images&cd=&cad=rja&docid=YQKaq8HgCkcxDM&tbnid=qnBia2TAkOg9MM:&ved=0CAUQjRw&url=http://wikimaticas.wikispaces.com/Clasificaci%C3%B3n+de+los+tri%C3%A1ngulos&ei=QflEUdSYGOqE2QWGxIGoDg&bvm=bv.43828540,d.b2I&psig=AFQjCNHHJHrvlg7ItjlvBQSP-tcE99wjQQ&ust=1363561125525509


En todo triangulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido.

Ley de senos:

En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

Actividad #37

Resuelva los siguientes triángulos oblicuángulos, de acuerdo a los datos que se dan y toma en cuenta las siguientes leyes:

a) Encuentre: A=? B=? y c=? B c=? a=30cm A b=40cm C=125°

103


b) Encuentre: C=?, a=? y b=?

B = 28° c=8 a=?

A=54° b=? C=?

c) Encuentre: C=? c=?, b=?

B =40° c= ? a=9 A=56° b=? C

104


d) Encuentre: C=? b=?, c=?

B =20° c= ? a=9 A=64° b=? C

e) Encuentre: A=? B=?, C=?

B c=74 a=50 A b= 35 C

105


f) Encuentre: B=? b=?, c=? B

c a=40cm A=36° b C=73º

g) Encuentre: a=?, A=?; B=? B

c=56 a A b=40 C=80º

106


g) Encuentre: a=?, B=?; C=?

B

c=70 a= A=48 b=50 C

Actividad #38

1. Un avión vuela 240 km de la ciudad A a la ciudad B; luego cambia su rumbo 40º y se dirige a la ciudad C, que está a 162 km de B. ¿Cuál es la distancia de la ciudad A a la ciudad C?

C

107

http://www.google.com.mx/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=dwaYBPzy1ivE2M&tbnid=bCviIqbfXiN39M:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http://www.tranquicomix.com/especial_osominiaturista.html&ei=M5dMUduuKpT1qwHNqYGwDQ&psig=AFQjCNFhoAIkNXkLH3DCcBup4iYw5z8D0A&ust=1364060339722355


A B

2. Un topógrafo para determinar la distancia entre dos cabañas que se localizan en las orillas

de un lago se situó en el punto R. Luego camino a cada cabaña y midió 15.4m y 22.6m respectivamente. Por último midió el ángulo PRQ y resulto que es de 70º ¿Cuál es la distancia entre las cabañas?

P - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Q

108

http://www.google.com.mx/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=8TL5AZgYMqijgM&tbnid=83CjRtouALOLqM:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http://www.yodibujo.es/c_9094/dibujos-para-colorear-y-pintar/dibujos-para-colorear-superheroes/dibujos-para-colorear-batman/dibujos-para-colorear-gotham-city/batman-vigilando-la-ciudad-de-gotham&ei=1JVMUafdPJT_qQHQp4GwCw&psig=AFQjCNFShyybwM1PCnDgGGwSlaqrfWql4w&ust=1364059989045461

http://www.google.com.mx/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=930Dxo8sXQUnkM&tbnid=H55oJsRS72JdiM:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http://www.canalred.info/public/Plantillas_colorear/index.php?d=Transportes/Aviones&ei=IZRMUdHMOYakrAHh6IHYCQ&psig=AFQjCNEAXe-r3iYzItNx_jXyO9xlScP-FQ&ust=1364059553980399

http://www.coloreartusdibujos.com/paisaje-de-ciudad-para-colorear/

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=caba%C3%B1a+dibujo&source=images&cd=&cad=rja&docid=dWJwTyoXYjdMDM&tbnid=Seh488bdHNzqGM:&ved=0CAUQjRw&url=http://arquitecturadecasas.blogspot.com/2008/06/dibujo-de-una-casa-clsica.html&ei=2hJNUYTZLcbW2AWDsIHgCg&bvm=bv.44158598,d.b2I&psig=AFQjCNEd04GIl6KdcYWQc5xiUsK9EsBzMA&ust=1364091955406702

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=lago+dibujo&source=images&cd=&cad=rja&docid=oBMq7QX0YPju8M&tbnid=wgKfy46hjCheQM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.coloreandodibujos.com/Pescador-en-barquita-en-el-lago/412&ei=fxNNUeraC4Te2QXmoICYDQ&bvm=bv.44158598,d.b2I&psig=AFQjCNEbuRcBRyjs_MbVbS5zTW2qsizn0g&ust=1364092088721039

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=caba%C3%B1a+dibujo&source=images&cd=&cad=rja&docid=DRzAwahQ3OW4aM&tbnid=iQ3FMK9-bemPqM:&ved=0CAUQjRw&url=http://dibujoscolorearsincopyright.blogspot.com/2012/08/cabana-junto-al-rio-dibujo-para-colorear.html&ei=DRNNUcqjOuXX2QW71IGQDA&bvm=bv.44158598,d.b2I&psig=AFQjCNEd04GIl6KdcYWQc5xiUsK9EsBzMA&ust=1364091955406702


R

3. Un poste forma un ángulo de inclinación de 85º con el piso y mide 4 m. Calcula la longitud de la sombra cuando forma un ángulo de 60º con el piso.

4. Calcula el perímetro de un terreno de forma triangular. Si uno de sus lados mide 48 m, otro mide 20% más que este y entre los dos hay un ángulo de 45º. ¿Cuánto mide el tercer lado?

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http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=terreno+triangular&source=images&cd=&cad=rja&docid=X1_vsaEklU6FhM&tbnid=h-rTxWjbDCUx0M:&ved=0CAUQjRw&url=http://elplanb-arquitectura.blogspot.com/2012/04/miguel-angel-roca-express-torre-gernika.html&ei=5BZNUbqDFaKe2wXA0YDwDA&bvm=bv.44158598,d.b2I&psig=AFQjCNHE8VcWrsG2xCIjWB-rCep1jze7-Q&ust=1364092969139669


5. Las diagonales de un paralelogramo miden 15 y 20 cm respectivamente; si se itersecan en un ángulo de 28º, Calcula la medida de los lados del paralelogramo.

Aristarco de Samos (310 aC-230 aC)Fue el primero en determinar la distancia a la Luna. Para ello lo primero que tuvo que hacer es determinar la distancia de la Tierra al Sol. Dedujo que cuando la Luna estaba exactamente en Cuarto Creciente el triángulo TLS era rectángulo:

Así que midiendo el ángulo que forman el Sol y la Luna en dicho instante quedará determinada la distancia solar tomando como unidad

la distancia lunar. Halló para dicho ángulo 87º y determinó que el Sol estaba 19 veces más lejos que la Luna. Hoy sabemos que dicho ángulo es 89º 51' y que el Sol está unas 400 veces más lejano que la Luna. Sin embargo aunque los valores determinados por

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY Aristarco estaban muy equivocados, no sufrieron modificaciones importantes durante la Antigüedad y Edad Media y dieron como fruto una nueva concepción del Universo que fue muy avanzada para su época.De los eclipses se sabía que el tamaño angular del Sol y la Luna eran iguales.Si el Sol estaba 19 veces más lejos su diámetro era 19 veces más grande que el de la Luna y por tanto en volumen era 6,859 veces mayor que la Luna.Como veremos, de los eclipses totales de Luna Aristarco deduce que el diámetro de la Tierra es 57/20 el diámetro lunar. Así que el volumen de la Tierra es 23 veces el tamaño lunar. Por tanto el Sol es 6859/23=300 veces mayor que el diámetro de la Tierra.Estos cálculos favorecieron la revolucionaria idea de Aristarco de que era la Tierra la que giraba en torno al Sol (teoría heliocéntrica) y no al revés (teoría geocéntrica). Sin embargo el paradigma en vigor era el de la Tierra fija en el centro del Universo y el hombre centro de la Creación. Hubo que esperar hasta 1543 dC para que Copérnico volviera a plantear la idea.

De Aristarco sólo nos queda una obra: "Sobre los tamaños y distancias del Sol y de la Luna", que se ha salvado, posiblemente gracias al hecho de que en ella se adopta un punto de vista geocéntrico y geostático, es decir el modelo astronómico tradicional entre los antiguos. La obra Aristarco combina los datos observacionales y experimentales con los razonamientos matemáticos.Esta obra fue anterior a los libros de la hipótesis heliocéntrica y tal vez la favoreció, ya que en ella se obtuvo que el volumen del Sol es unas 300 veces mayor que el de la Tierra y esto puede haber sido un elemento a favor de la hipótesis heliocéntrica ya que a Aristarco le debió parecer absurdo que a pensar que el Sol, que era tan grande, girara alrededor de la Tierra. Su hipótesis fue la primera manifestación del reconocimiento de la insignificancia astronómica de la Tierra. La idea heliocéntrica tenía que surgirle a un hombre que por primera vez se había formado una idea cualitativamente correcta de las dimensiones respectivas.

Cálculo de la distancia lunarAristarco determinó por primera vez la distancia a la Luna basándose en un eclipse lunar de máxima duración, con el fin de que la Luna pasase por el centro de la sombra de la Tierra. Averiguó que el tiempo que tardaba la Luna en ocultarse por la sombra de la Tierra era aproximadamente el doble que el tiempo que duraba el eclipse total de Luna, por lo que el diámetro de la sombra era unas dos veces el tamaño del diámetro lunar: S=2r Además el tiempo que tardaba la Luna en ocultarse era aproximadamente de 1 hora es decir que la Luna avanzaba en el cielo en 1 hora su propio diámetro. Como se sabía que la Luna tardaba 29,5 días en dar la vuelta a la Tierra, resultaba que hacían falta 708 diámetros lunares para formar el círculo completo. Así que la distancia lunar era de 225,4 veces el radio lunar.

111


Visto de otra manera el tamaño angular del diámetro lunar sería:El tamaño angular de la Luna es algo más de medio grado, y la Luna dista 225,4 veces el radio lunarVeamos la configuración de Aristarco: Sea H la altura del cono de sombra.El problema consiste en evaluar el radio lunar y la distancia a la Luna R en función del radio de la Tierra rt

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Cuando hoy sabemos que el valor correcto para la distancia es de 60 veces el radio de la Tierra

Actividad # 39

Conteste las siguientes preguntas:

1.- Fue el primero en determinar la distancia a la lunaR =

2.- ¿Cuál es la obra que quedo de Aristarco?R =

3.- ¿A qué se refiere con la teoría heliocéntrica?R =

4.- ¿Cómo encontró la fórmula S=2r?R=

5.- ¿De qué manera determinó que la distancia lunar era de 225,4 veces el radio lunar?R=

PROYECTO 2

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http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:MovableBridge_thrust.gif%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


HAGAMOS UN PUENTE

Competencia:Resuelve problemas teóricos y prácticos que implica el uso de funciones trigonométricas y de propiedades de los triángulos rectángulos.

Indicadores de desempeño:Identifica algunas interpretaciones del concepto de pendiente, como:*Desplazamiento y altura*Tangente del ángulo de elevación*Razón trigonométrica*Porcentaje

Comprende el sustento teórico del concepto de pendienteAnaliza, en un contexto dado, cual es la interpretación del concepto de pendiente que mejor se adecua para la resolución de un problema específico.

Utiliza procedimientos no convencionales y convencionales para representar las dimensiones del modelo que representa el problema.

Aplica el concepto de pendiente para resolver problemas.

Situación didáctica:Hagamos un puente*Parar agilizar la vialidad vehicular se construirá un puente elevado sobre una calle. La parte mas baja del puente será de 5m sobre la calle que cruza. La longitud del puente se puede hacer hasta de 250m.*¿Cómo debe ser el trazo del puente si la pendiente debe ser menor o igual al 5%?*¿Cuál es la longitud del puente si esta debe ser menor o igual a 250m?*Supongamos que el puente será construido en una calle próxima a tu escuela.

Secuencia didáctica:

Trabajo en equipo*Formar equipos para resolver el problema.*Que cada equipo lo resuelva de una o varias formas posibles.*Presentar los resultados en plenaria y analizar las opciones para solventar el problema.*Debatir cuales de esas posibles soluciones son validas y cuales no.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:MovableBridge_transport.gif

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Team_touching_hands.jpg

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY *Hacer un cuadro con procedimientos diferentes para encontrar soluciones, deben incluirse métodos no convencionales y convencionales.

Cada equipo deberá investigar ¿Cuál es el ancho del puente de la calle sobre la que se construirá el puente?¿Es preciso colocar columnas entre los extremos para soportar el puente?¿Cuáles son las posibles combinaciones de desplazamiento y altura de acuerdo con los datos del problema?¿Con cuáles de esas combinaciones se utilizaría menos material?¿Con cuáles de esas combinaciones se obtendría un menor esfuerzo de los motores de los vehículos y, por tanto, el consecuente ahorro de combustible y menos contaminación?¿Qué ocurre con la pendiente cuando se modifica la longitud del puente?¿Cuál es el modelo de puente que presenta las condiciones óptimas para su funcionamiento?

Trabajo individualCada integrante del equipo deberá hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.Cada integrante del equipo aportara lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución de problemas. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.Todos realizaran un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Proyecto a trabajarConstrucción de un puente

Evaluación del producto

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborarModelo del puente

CALIFICACIÓN DE LOS PRODUCTOS*Elaboración individual del informe 0.5 punto*Exposición del proyecto (modelo del puente)

0.5punto

ACTIVIDAD DE PORCENTAJES

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Actividad #40

Lea detenidamente y conteste lo que se le pide

Obtener el 5% de 800 2. Obtener el 15% de 685

Obtener el 35% de 985 4. Obtener 27% de 1978

5. ¿3216 es el 60% de qué número? 6. ¿3563.75 es el 35% de qué número?

7. ¿1736.25 es el 75% de qué número? 8. ¿169.2 es el 40% de qué número?

9. ¿Qué por ciento de 575 es 201.25? 10. ¿Qué por ciento de 428 es 128.4?

11. ¿Qué por ciento de 328 es 72.16? 12. ¿Qué por ciento de 900 es 225?

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 13. Un pantalón tiene un precio de $690.00 pero se encuentra al 35% de descuento ¿Cuál es su precio cuando se aplica el descuento?

14. Una llanta marca Tornel medida P185-70-R14 cuesta $1267.00 sin IVA¿Cuál es su precio final si se aplica el 15% de IVA?

15. Un refrigerador tiene un precio de $7,538.00 pero tiene un 27% de descuento ¿Cuál es su precio final si se aplica el descuento?

16. Una computadora tiene un precio de $7,800.00 sin IVA ¿Cuál es su precio final si le agrega el 15% de IVA?

17. Se depositan $250,000.00 en una cuenta de ahorro a una tasa del .8% anual¿Cuánto me da de intereses cada mes?

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Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY 18. Pedro deposita $280,000.00 en una inversión a plazo fijo 28 días a una tasa del 7.5% anual ¿Cuánto es el interés cada 28 días?

19. Un banco me da $7,860.00 de interés a una tasa del 4.2% ¿Qué capital se encuentra depositado?

20. ¿Qué tasa porcentual paga el banco por un capital de $2800,000.00 si su interés es de $15,700.00?

21. Un banco me de interés de $18,000.00 a una tasa del 3.8% ¿Qué capital se encuentra depositado?

22. ¿Qué tasa de interés paga el banco por un capital de $700,000.00 si su interés es de $47,500.00?

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Actividad # 41BIOGRAFÍAS

Euclides

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Leonhard Euller

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Hiparco de Nicea

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

121


Eratostenes

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

122


Friedrich Wilhelm Bessel

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bb/Friedrich_Wilhelm_Bessel.jpeg


GLOSARIO DE MATEMÁTICAS II

ÁNGULO: Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que se cortan en un punto, llamado vértice. La distancia angular es medida en grados minutos y segundos de arco. Los ángulos se miden en grados (º).

ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común situado entre los lados no comunes.

ÁNGULO AGUDO: Es Aquel que mide menos de 90º

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuya suma de medidas es de 90°.

ÁNGULO CONCAVO: Un ángulo cóncavo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará fuera del ángulo, es decir, tiene por lo menos una de sus diagonales en el exterior.

ÁNGULOS CONJUGADOS: Son dos ángulos cuya suma de medidas es de 360°.

ÁNGULO CONVEXO: Un ángulo convexo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará dentro del ángulo, es decir, tiene todas sus diagonales en su interior.

ÁNGULO LLANO: Aquel que mide 180º.

ÁNGULO OBTUSO: Son los que miden más de 90º pero menor de 180°.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Cuando dos rectas se intersectan, los pares de ángulos adyacentes que se forman se llaman opuestos por el vértice.

ÁNGULO RECTO: El ángulo que forman las rectas perpendiculares mide 90º Se denomina ángulo recto.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuya suma de medidas es de 180°.

ARCO: Es cualquier porción de la circunferencia.

ÁREA: El área es la magnitud geométrica que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones: largo y ancho.

CIRCUNFERENCIA: Distancia alrededor de un círculo. Una circunferencia es una curva plana y cerrada y cuyos puntos equidistan de un punto interior fijo llamado centro.

CONGRUENCIA: Se llaman figuras congruentes aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra coinciden en sus partes correspondientes, es decir, una es copia de la otra.

124

Bachillerato UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE MONTERREY CUADRADO: Es una figura donde los cuatro lados son de igual longitud y se cortan en ángulos rectos.

CUADRILÁTERO: Un polígono de cuatro lados.

CUERDA: Cualquier segmento de recta que une dos punto de la circunferencia.

CUERPO GEOMÉTRICO: Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio. Hay cuerpos de forma regular, en los que pueden medirse 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Con estas se puede calcular el volumen del mismo cuerpo geométrico. Otros cuerpos geométricos son de forma irregular y necesitan otro método para determinar su volumen.

CURVA: Conjunto de puntos que cambian continuamente de dirección.

DIAGONAL: Es todo segmento de recta que une un vértice con otro que no es consecutivo con él.

DIÁMETRO: Es una cuerda que pasa por el centro de un circulo.

FIGURA: En Geometría, se llama figura a todo conjunto de puntos. Es el Espacio cerrado por líneas o superficies: figura plana; figura del espacio.

GEOMETRÍA: La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio.

INTERSECCIÓN: Conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos dados. Punto donde se cruzan dos líneas.

LÍNEA: Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.

PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero en el cual sus lados opuestos son paralelos.

PERÍMETRO: El perímetro de una figura bidimensional es la distancia que hay alrededor de ella (contorno). El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o figura geométrica cualquiera. El perímetro se utiliza para calcular la frontera de un objeto, como una valla. El área se utiliza cuando toda la superficie dentro de un perímetro se está cubriendo con algo.

PERPENDICULAR: Es un término geométrico que puede ser usado como nombre o adjetivo. El significado del término hace referencia a la posición relativa de dos líneas rectas cuando forman un ángulo de noventa grados, un ángulo recto. Se representan con el símbolo (┴)

PI: Es la razón entre la longitud de la circunferencia y la longitud del diámetro.

125


PLANO: Es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor. El plano tiene dos dimensiones.

POLÍGONO: Un polígono es una figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.

POLÍGONO REGULAR: Es aquel que tiene sus lados iguales y sus ángulos interiores iguales.

PUNTO: El punto es el elemento de representación más simple.

RADIO: Cualquier segmento de recta que une al centro con un punto de la circunferencia.

RECTA: La recta es la línea más corta que une dos puntos. Conjunto continúo de puntos, alineados en una dirección constante.

RECTÁNGULO: Es donde sólo los lados opuestos son iguales, aunque todos los lados se cortan en ángulos rectos.

ROMBO: Es donde todos los lados son iguales pero éstos no se cortan en ángulos rectos.

SEGMENTO: Es la parte de la recta que esta delimitada por dos puntos que son los extremos del segmento, por tanto se puede medir su longitud.

SEMEJANZA: Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

SIMETRÍA: La propiedad de un objeto o figura cuando las características (forma, tamaño y posición relativa de sus partes) son las mismas en ambos lados de una línea divisora o en torno a un centro.

SIMÉTRICA: Es la figura que, cuando se dobla por una línea de simetría tiene dos mitades iguales.

TEOREMA DE PITÁGORAS: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

TRAPECIO: Cuadrilátero con dos lados paralelos y bases de distinta longitud.

TRIÁNGULO: Está formado por tres puntos no alineados en el plana y los segmentos que lo determinan, es decir un triángulo es un figura de tres lados en un plano.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO: Es el que tiene sus tres ángulos agudos, es decir, ángulos menores de 90°.

TRIÁNGULO ESCALENO: Es aquel que no tiene lados iguales.

126


TRIÁNGULO EQUILÁTERO: Es aquel que tiene sus tres lados iguales.

TRIÁNGULO ISÓSCELES: Es aquel que tiene, por lo menos, dos lados iguales.

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO: Es el que tiene un ángulo obtuso, es decir, cuando uno de sus ángulos es mayor de 90° pero menor de 180°.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Es el que tiene un ángulo recto, es decir, uno de sus ángulos es de 90°.

TRIGONOMETRÍA: Es la rama de las matemáticas que trata de la resolución de los triángulos, relacionando sus lados y sus ángulos.

VÉRTICE: Punto común entre dos rayos que forman un ángulo.

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BibliografíaEditor: C.P. Margarito Vázquez Alanís

Libro Geometría y trigonometría plana M.C. Juan Antonio Cuellar Carvajal2006 Universidad Autónoma De Nuevo LeónEnfoque didáctico por competencias. Matemáticas II para DGB. Geometría y trigonometría(2008, Francisco J. Ortiz Campos) Matemáticas basadas en competenciasAlfonso Arriaga Coronilla Marcos M. Benítez Castanedo, Leonardo Ramírez Caudillo

LibroMatemáticas II Geometría planaFrancisco Ortiz Campos

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MANUAL DE MATEMÁTICAS II MA-13