manual2011_versao_atual

Programa de Iniciação Científica Júnior – PIC

Manual

Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP

Coordenador Geral da OBMEP: Claudio Landim (IMPA).

Programa de Iniciação Científica – PIC

Coordenador do PIC: Mário Jorge Dias Carneiro (UFMG).

Coordenadora Acadêmica: Claudia Vasconcelos (OBMEP).

Coordenadora da Comunidade no Fórum: Sonia Regina Di Giacomo (UFMS).

Coordenadores do Fórum: Ana Lúcia da Silva (UEL), Francisco Dutenhefner (UFMG), LucianaCadar Chamone (MG), Maria Cecília Ribeiro (CEFET – MG), Moacir Rosado Filho (UFES) e VictorGonzalo Lopes Neumann (UFU).

Coordenadores Regionais de Iniciação Científica: AC: Jerssiney de Oliveira – Escola Joa-quim Falcão Macedo, AL: Sinvaldo da Gama – UFAL, AM: Danilo Benarós – UFAM, AP: MarcioBahia – UNIFAP, BA: Luzinalva Morim – UFBA, CE: Onofre Farias – C7S, DF: Kellcio Araújo– UNB, ES: Luzia Casati – UFES, GO: José Hilário – UFG, MA: João de Deus da Silva – UFMA,MG01: Gilcione Costa – UFMG, MG02: Fernanda Moura – UFV, MG03: Francinildo Ferreira –UFSJ, MG04: Luiz Alberto Salomão – UFU, MG05: Marise Silveira – Unimontes, MG06: We-vesson Dalmaso Sellin – UFVJM, MS: Sonia Regina Di Giacomo – UFMS, MT: Martinho Araújo– UFMT, PA: Augusto César Costa – UFPA, PB: José de Arimatéia – UFCG, PE: Jorge AntonioHinojosa – UFRPE, PI: Gilvan de Oliveira – UFPI, PR01: Ana Lucia da Silva – UEL, PR02:Florinda Miyaoka – UFPR, RJ01: Jair Salvador – UFRJ, RJ02: Jones Colombo – UFF, RJ03:Ivail Muniz – Pedro II, RN: José Querginaldo – UFRN, RO: Carlos Vinícius Ramos – UNIR, RR:Raimundo Nonato Araújo – UFRR, RS: Elizabeth aa Costa – UFRGS, SC: Lício Bezerra – UFSC,SE: Valdenberg da Silva – UFS, SP01: José Carlos Rodrigues – FTC - UNESP, SP02: Aparecidada Silva – IBILCE/UNESP, SP03: Raul Ribeiro – Anglo Atibaia, SP04: Pablo Ganassim – Etapa,SP05: Debora Bezerra – Universidade Metodista de São Paulo, TO: Dirlei Ruscheinsky – UFT.

0 • Sumário

1 Quase tudo que você deve saber sobre o PIC 11.1 O que é a Iniciação Científica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 A equipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Como funcionará o PIC-2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 A Bolsa do CNPq para o PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 As obrigações dos alunos que participam do PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Como aproveitar bem os encontros presenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Como participar do fórum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8 Algumas boas ideias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9 Regras de participação no fórum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Certificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11 Encontro do Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.12 O Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Conteúdos 72.1 Grupo 1 – Nível 1 – Multiplicidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Grupo 2 – Nível 1 – Multiplicidade 2 e Nível 2 – Multiplicidade 1 . . . . . . . . . . . 82.3 Grupo 3 – Nível 2 – Multiplicidade 2 e Nível 3 – Multiplicidade 1 . . . . . . . . . . . 82.4 Grupo 4 – Nível 2 – Multiplicidade 3 e Nível 3 – Multiplicidade 2 . . . . . . . . . . . 92.5 Grupo 5 – Nível 2 – Multiplicidade 4 e Nível 3 – Multiplicidade 3 . . . . . . . . . . . 92.6 Grupo 6 – Nível 3 – Multiplicidades 4, 5, 6 e 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 O que é TEX? 113.1 Knuth inventou o TEX... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 ... e Lamport criou o LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Escrevendo e desenhando no fórum 154.1 Exemplos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Letras Gregas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Setas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

iii

iv Sumário

4.6 Símbolos Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.7 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.8 Matrizes e Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.9 Somatórios e Produtórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.10 Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.11 Construindo figuras com LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Calendário dos Encontros 23

6 Coordenadores Regionais de Iniciação Científica – CRICS 45

7 O PECI 49

1 • Quase tudo que você devesaber sobre o PIC

Você foi convidado a participar do Programa de Iniciação Científica da OBMEP (PIC). Antes de tudo,entenda que participar desse Programa é um privilégio porque você vai aprender Matemática mui-tíssimo interessante e tecnologias modernas de comunicação, e ainda conhecer muitos colegas quetambém têm interesse pela Matemática.

É muito importante que você conheça o que é esse Programa, quais são as suas obrigações comoaluno ou como bolsista e que se prepare para aproveitá-lo da melhor maneira possível. Vamos lá!

1.1O que é a Iniciação Científica?A Iniciação Científica em Matemática serve para transmitir aos alunos cultura matemática básica etreiná-los no rigor da leitura e da escrita de resultados, nas técnicas e métodos, na independência doraciocínio analítico, entre outros. Serve também para estimular a criatividade através do confrontocom os problemas interessantes da Matemática.

1.2A equipeComo todas as atividades da OBMEP, o PIC é de responsabilidade da Direção Acadêmica da OBMEP,que conta com a seguinte equipe para sua execução:• Coordenação Acadêmica

• Coordenadores Regionais de Iniciação Científica (CRIC)

• Administradores do Fórum (AF)

• Coordenadores do Fórum (CF)

1

2 Quase tudo que você deve saber sobre o PIC

• Moderadores do Fórum (MF)

• Professores Orientadores (PO)

• Monitores

Os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica (CRIC’s), em sua maioria professores uni-versitários, são os responsáveis regionais pelo PIC. Consulte-os sempre que achar necessário. Osdados para contato podem ser encontrados na página 45 ou no site www.obmep.org.br.

Os Administradores do Fórum e os Coordenadores do Fórum dirigem os trabalhos virtuais numfórum, batizado em 2009 de Hotel de Hilbert (HH).

Os Professores Orientadores e os Monitores trabalham com os alunos em encontros presenciais.A Coordenação Acadêmica, sediada no IMPA, dá o suporte administrativo a todas as atividades

do PIC.

1.3Como funcionará o PIC-2011

O PIC consta das seguintes atividades:

• Dez encontros presenciais.

• Discussões virtuais Hotel de Hilbert.

• Tarefas para serem executadas em casa e no Hotel de Hilbert.

• Estudo em grupo ou individual em casa.

• Atividades virtuais.

Os encontros presenciais são dirigidos por Professores Orientadores e neles os alunos recebem omaterial de estudo, orientação e o cronograma de Estudos sobre os temas a serem estudados entre doisencontros. Esse material é discutido no fórum, entre os alunos, sob orientação dos Moderadores doFórum. Os Professores Orientadores e os Moderadores em sua maioria são professores universitários.

1.4A Bolsa do CNPq para o PIC

Ser bolsista do CNPq é um diferencial importante na vida dos alunos pela excelência que caracterizaessa bolsa e, com certeza, é uma valorização especial do currículo escolar. Espera-se de um bolsistauma grande dedicação ao Programa, e que sua participação seja uma experiência enriquecedora pes-soal e acadêmica, a marcá-lo por toda a sua vida.

Atenção! Só pode ter bolsa do CNPq o aluno que durante a vigência do PIC estiver regular-mente matriculado em escola pública. Por isso, no início do programa e em janeiro de 2013, vocêdeverá enviar o comprovante de matrícula em escola pública.

As obrigações dos alunos que participam do PIC 3

1.5As obrigações dos alunos que participam do PIC

• Bom desempenho nas atividades de estudos: atenção, dedicação, cumprimento das tarefas;

• Assiduidade nas aulas presenciais de no mínimo 80%;

• Participação regular nas atividades no Hotel de Hilbert. A ausência do fórum por um períodosuperior a 45 dias acarretará no desligamento automático do programa;

• Cumprir do Calendário do PIC;

• Enviar os documentos solicitados;

• Manter seus dados atualizados;

• Atender as normas disciplinares do PIC.

Além dos encontros presenciais, os alunos devem dedicar 4 a 6 horas semanais,no mínimo, para cumprir suas atividades no PIC (estudar conteúdos, resolverproblemas, participar do fórum, etc.).

E ainda: os alunos terão uma avaliação a cada encontro presencial com o Professor Orientadore tarefas quinzenais no fórum. Os alunos do Nível 3 com multiplicidades 4, 5, 6 e 7 terão avalia-ções mensais no fórum, que substituirão as avaliações presenciais dos demais alunos. Essas tarefas eavaliações receberão um conceito A,B,C,D ou E, de acordo com o critério:

• A = ótimo

• B = bom

• C = deve melhorar

• D = precisa melhorar muito

• E = insuficiente ou não postou no fórum

O não cumprimento de uma dessas obrigações pode levar ao desligamentodo aluno do Programa e ao cancelamento da bolsa.

• Os alunos do Nível 1, multiplicidades 1 e 2, do Nível 2, multiplicidades 1,2, 3 e 4, e do Nível 3, multiplicidades 1, 2 e 3, que receberem cinco concei-tos E nas tarefas quinzenais no fórum ou tiverem mais de duas faltas nosencontros presenciais serão desligados do Programa e, se bolsistas, terãosuas bolsas canceladas.

• Os alunos do Nível 3, multiplicidades 4,5, 6 e 7, que receberem cinco con-ceitos E nas tarefas quinzenais no fórumou receberemdois conceitos E nasavaliações mensais no fórum serão desligados do Programa e, se bolsistas,terão suas bolsas canceladas.


1.6Como aproveitar bem os encontros presenciais• Não espere aulas expositivas como as da escola, elas serão raras.• Discuta com seu Professor Orientador e colegas os assuntos e problemas tratados no fórum.• Avalie com o Professor Orientador o cumprimento do seu cronograma de estudos.• Apresente pontualmente as tarefas que lhe foram solicitadas.• Estude com antecedência omaterial a ser tratado no encontro presencial e aproveite esses encontros

para esclarecer as dúvidas.

1.7Como participar do fórum• O endereço do fórum é www.obmep.org.br/forum.• O seu acesso ao fórum será mediante o login e a senha.• Acesse o fórum com frequência para estar em dia com os assuntos em discussão.• Participe das discussões com perguntas, sugestões, dúvidas e respostas.• Tente resolver os problemas e postar soluções ou ideias de solução.• Tire suas dúvidas sobre os textos estudados.• Sinta-se à vontade para propor problemas.• Lembre-se de que existem várias maneiras de resolver um mesmo problema. Assim, se um de-

terminado problema no fórum já foi resolvido, leia a solução do seu colega com atenção. Casotenha alguma dúvida, peça esclarecimentos. Escreva também a sua solução no fórum, mesmo queo problema já tenha sido resolvido.

• Obedeça às regras de participação no fórum.

1.8Algumas boas ideias• Mantenha-se em dia com o seu Cronograma de Estudos – não se atrase!• Tente ler tudo de “primeiramão”, antes de qualquer explicação. Caso não entenda, não se desespere,

isso é absolutamente normal e um excelente exercício para o seu cérebro. Leia outra vez e muitasoutras vezes mais.

• Não desista nunca, alguns assuntos e problemas são mesmo duros de vencer e exigem tempo, pa-ciência e “garra”.

• Estude com antecedência o material a ser tratado no encontro presencial ou no fórum.• Aproveite para se tornar um autodidata e usufruir disso pelo resto da vida!

Regras de participação no fórum 5

1.9Regras de participação no fórum

1. As regras de convivência e boas maneiras usuais em qualquer sala de aula são essenciais nofórum.

2. Aqui utilizamos o português formal. Não use linguagem de internet, como vc no lugar devocê, Aki no lugar de aqui, etc.

3. Não escreva o texto todo em maiúsculas. Utilize maiúsculas apenas quando necessário.4. Evite usar fontes grandes demais ou pequenas demais.5. Evite abusar de cores nas mensagens. Elas só devem ser usadas para destacar parte da men-

sagem.6. Não esqueça que este fórum é um ambiente de ensino-aprendizagem. Não escreva ou coloque

imagens que fujam desse interesse.7. Mensagens que fogem ao conteúdo abordado em determinado subfórum podem ser movidas

para outros subfóruns e as que fugirem ao conteúdo do fórum podem ser apagadas.8. Antes de criar um novo tópico, verifique se um tópico com o mesmo problema ou assunto já

foi criado, evitando a duplicação de tópicos.9. Não coloque um novo problema em um tópico já criado. Se você quer propor um novo

problema, crie um novo tópico.10. Links para sites externos são permitidos somente quando tratar de material relacionado ao

conteúdo estudado no fórum.11. Para usar imagens, faça upload diretamente no fórum. Não utilize sistema de compartilha-

mento de terceiros porque nesses sistemas as imagens são apagadas após determinado tempo.12. Procure escrever mensagens com enunciados de problemas completos e soluções claras. Use

a ferramenta LATEX para conteúdos com equações e símbolos matemáticos.13. Procure colocar no título das mensagens uma descrição do problema proposto, como “Al-

tura do triângulo a partir dos lados”. Jamais utilize títulos do tipo: “Mais um problema”,”Resolvam essa”, “Problema Fácil”.

14. O fórumpoderá ser fechado emdias específicos paramanutenção técnica ou emdias de provasimportantes, como a primeira fase da OBMEP.

O principal objetivo do fórum é a troca de conhecimento entre todos os seus usuários. Não se preo-cupe em postar apenas as soluções para os problemas propostos. Escreva soluções ainda que incompletas,leia as soluções de seus colegas de turma, esclareça suas dúvidas e as de seus colegas, seja participativo.Além da discussão de problemas, o fórum deve ser usado também para que o aluno esclareça dúvidassobre a teoria estudada.

1.10CertificadoOs alunos que cumprirem o programa, com bom aproveitamento e assiduidade, receberão um certi-ficado de participação.


1.11Encontro do Hotel de HilbertFique atento! A partir de 2012 o EHH (Encontro do Hotel de Hilbert) será dirigido a no máximo 200alunos selecinados de acordo com o seu desempenho no PIC.

Esse encontro a ser realizado em julho de 2013 terá a duração de 5 dias e constará de minicursos,gincanas e atividades sociais, culturais e esportivas.

1.12O Hotel de HilbertEm 2010 a Coordenação Acadêmica da OBMEP lançou entre os alunos um concurso para batizar ofórumdoPIC. A proposta vencedora foiHotel deHilbert, sugerida pelo alunoREILTONBERNARDESDOS SANTOS COUTINHO, de Salvador – Bahia.

Quem foi Hilbert?

O alemão David Hilbert (1862 – 1943) foi um dos maiores matemáticos do século XX, com impor-tantes contribuições em diversos ramos da matemática. Em 1900, ministrou uma importante confe-rência no Congresso Internacional de Matemáticos, na qual propôs uma lista de problemas em aberto,os quais segundo Hilbert, deveriam nortear a matemática do século.

Saiba mais sobre o Hotel de Hilbert

O Hotel de Hilbert é o cenário de vários resultados contra-intuitivos. Considere um hotel com infi-nitos quartos, com os números 1, 2, 3, . . . . Suponha que todos os quartos estejam ocupados e chegaum novo hóspede. Como a gerência do hotel poderá acomodar o novo hóspede?

A solução é fácil. Basta passar o hóspede do quarto 1 para o 2, o do 2 para o 3 e assim por diante.O novo hóspede poderá ser então acomodado no quarto 1.

Solução análoga poderá ser aplicada se chega ao hotel um ônibus com qualquer quantidade finitade hóspedes.

Suponha agora que chegue ao hotel um ônibus com uma quantidade infinita de passageiros, aco-modados nas poltronas 1, 2, 3, . . . . Como a gerência pode acomodar estes infinitos hóspedes?

A solução ainda é fácil. Basta passar o hóspede do quarto 1 para o 2, o do 2 para o quarto 4, o do3 para o 6 e assim por diante, isto é, o hóspede do quarto n passa ocupar o quarto 2n. Procedendoassim, todos os quartos ímpares ficarão vazios e poderão ser ocupados pelos passageiros do ônibus.

Deixamos agora o seguinte problema: Suponha que estão para chegar ao hotel infinitos ônibusmarcados com os números 1, 2, 3, . . . . Cada um destes ônibus trará infinitos passageiros que estãoacomodados em poltronas numeradas com 1, 2, 3, . . . . O Hotel de Hilbert poderá receber todos esteshóspedes? Se a resposta for afirmativa, ajude o gerente a fazer a distribuição dos quartos.

2 • Conteúdos

Os conteúdos estudados no PIC variam de acordo com o nível (1, 2 ou 3) e com o número de par-ticipações no programa, o qual chamamos de multiplicidade. Assim, um aluno que participa pelasegunda vez do programa tem multiplicidade 2.

2.1Grupo 1 – Nível 1 – Multiplicidade 1

(1) Aritmética: Discussão de alguns problemas do tema paridade para motivação inicial. Sistemadecimal e operações. Bases numéricas. Aritmética sem álgebra.

(2) Resolução de problemas. Algoritmo da divisão. Múltiplos e divisores. Critérios de divisibilidade:2, 3, 5, 9 e 10. Números primos. Fatoração numérica: decompor um número em fatores primos.Resto da soma e do produto.

(3) Resolução de problemas. MMC e MDC.

(4) Geometria: Medida, comprimento e razão de segmentos. Reconhecer e identificar as principaisfiguras geométricas: ponto, reta, segmento, triângulo, quadrilátero, polígonos, etc. Ângulos emedida de ângulos. Comentar sobre o uso do transferidor. Quando falar das propriedades detriângulos, comentar a desigualdade triangular como condição de existência. Propriedades dostriângulos e quadriláteros; triângulos isósceles e eqüiláteros, paralelogramos e trapézios.

(5) Ângulos entre retas paralelas cortadas por uma transversal, soma dos ângulos de um triângulo,bissetriz, mediatriz, altura. Lugares geométricos básicos. Circunferência e propriedades.

(6) Áreas e perímetros de figuras geométricas simples: retângulos, triângulos, paralelogramos e tra-pézios. Áreas e perímetros em malhas quadriculadas.

(7) Dobraduras. Problemas sobre todos os assuntos estudados nos 3 módulos.

(8) Combinatória: Exploração do princípiomultiplicativo através da resolução de vários exemplosdos materiais selecionados.

7

8 Conteúdos

(9) Probabilidade – Princípios básicos.

(10) Atividades de Contagem a partir da Criptografia.

2.2Grupo 2 – Nível 1 – Multiplicidade 2 e Nível 2 – Multiplici-dade 1

(1) Aritmética: Discussão de alguns problemas do tema paridade para motivação inicial. Sistemadecimal e operações. Bases numéricas. Aritmética sem álgebra.

(2) Resolução de problemas. Algoritmo da divisão. Múltiplos e divisores. Critérios de divisibilidade:2, 3, 5, 9 e 10. Números primos. Fatoração numérica: decompor um número em fatores primos.Resto da soma e do produto. Aritmética com álgebra.

(3) Resolução de problemas. MMC e MDC.

(4) Geometria: Medida, comprimento e razão de segmentos. Reconhecer e identificar as principaisfiguras geométricas: ponto, reta, segmento, triângulo, quadrilátero, polígonos, etc. Ângulos emedida de ângulos. Comentar sobre o uso do transferidor. Quando falar das propriedades detriângulos, comentar a desigualdade triangular como condição de existência. Propriedades dostriângulos e quadriláteros; triângulos isósceles e eqüiláteros, paralelogramos e trapézios. Ângulosentre retas paralelas cortadas por uma transversal, soma dos ângulos de um triângulo, bissetriz,mediatriz, altura. Circunferência e propriedades.

(5) Congruência e semelhança de triângulos.

(6) Áreas e perímetros de figuras geométricas simples: retângulos, triângulos, paralelogramos e tra-pézios. Áreas e perímetros em malhas quadriculadas. Teorema de Pitágoras.

(7) Dobraduras. Problemas sobre todos os assuntos estudados nos 3 encontros.

(8) Contagem:Exploração do princípio multiplicativo através da resolução de vários exemplos dosmateriais selecionados.

(9) Probabilidade – Princípios básicos.

(10) Criptografia.


(1) Aritmética: Números naturais. Sistema decimal Posicional. Múltiplos e divisores, critériosde divisibilidade (2, 3, 5, 9, 10), Potenciação. Números primos, crivo de Erastóstenes. TeoremaFundamental da Aritmética .

Grupo 4 – Nível 2 – Multiplicidade 3 e Nível 3 – Multiplicidade 2 9

(2) Números inteiros (múltiplos, divisores, paridade, MMC, MDC). Algoritmo de Euclides, relaçãode Bezout. Equações Diofantinas Lineares.

(3) Aritmética dos restos e critérios de divisibilidade. Equações Diofantinas.

(4) Geometria Semelhança de triângulos. Teorema de Pitágoras (história, enunciado, recíproca,ternos pitagóricos, generalização, teorema do espaço).

(5) Áreas. O número π. Problemas.

(6) Trigonometria do triângulo retângulo.

(7) Introdução às construções geométricas elementares, lugares geométricos.

(8) Combinatória e Probabilidade:

(9) Métodos de contagem e probabilidade.

(10) Contagem.

(11) Princípio da Casa dos Pombos.


(1) Aritmética: Algoritmo da Divisão. Algoritmo de Euclides. Aplicações da Relação de Bèzout

(2) Equações Diofantinas Lineares. Congruências.

(3) Teorema Chinês do Resto. Criptografia RSA.

(4) Geometria: Áreas.

(5) Construções Elementares. Lugares Geométricos. Expressões Algébricas.

(6) Trigonometria.

(7) Combinatória e Probabilidade: Métodos de Contagem. Probabilidade.

(8) Mais Permutações e Combinações. Probabilidade Condicional.

(9) Indução: Indução Matemática – aplicações.

(10) Indução Matemática – problemas.

10 Conteúdos


(1) Aritmética e Criptografia: Divisibilidade e restos. Congruência e equações diofantinas.

(2) Aritmética Modular. Teorema de Euler (via teoria de números, sem usar grupos).

(3) Sistemas de Congruências. Teorema Chinês do Resto. Criptografia RSA.

(4) Geometria: Desigualdades. Movimentos rígidos e congruência. Ângulos.

(5) Área. Problemas diversos.

(6) Geometria analítica plana: coordenadas, distâncias, equações da reta, ângulo entre retas, área deum triângulo, circunferência

(7) Números Complexos e Equações Algébricas: Forma algébrica e forma trigonométrica deum número complexo. Raízes da unidade.

(8) Polinômios complexos. Divisão de polinômios. Redução do grau de uma equação algébrica.Teorema Fundamental da Álgebra. Relação entre coeficientes e raízes.

(9) Grafos: conceitos, contagem de arestas, grafos de Euler.

(10) Grafos: isomorfismo, árvores, teorema de Euler, grafos orientados.

2.6Grupo 6 – Nível 3 – Multiplicidades 4, 5, 6 e 7

Para estes alunos será desenvolvido um curso inteiramente no fórum. Osalunos que participaram deste programa em 2011 terão um programa dife-renciado o qual abordará os assuntos Vetores e Matrizes.

(1) Jogos Combinatórios Jogos: pseudo-jogos - brincadeiras, simetria, posições vencedoras, aná-lise a partir do final do jogo - um método para encontrar posições vencedoras.

(2) Invariantes: introdução, coloração, restos como invariantes.

(3) Desigualdades: quem é maior?, a desigualdade principal, indução e desigualdades, transfor-mações, desigualdades para todos.

(4) Geometria Analítica Plana: Coordenadas na reta e no plano, distância entre dois pontos,gráfico de uma função, a reta como gráfico de uma função afim.

(5) Retas paralelas, reta paralela a uma reta por um ponto dado, reta que passa por dois pontos dados,retas perpendiculares.

Grupo 6 – Nível 3 – Multiplicidades 4, 5, 6 e 7 11

(6) Linhas de nível, a reta como linha de nível, desigualdades lineares, retas paralelas e retas coinci-dentes, distância de um ponto a uma reta.

(7) Sistemas lineares com duas incógnitas, equações paramétricas.

(8) Vetores no plano, o produto interno de dois vetores.

(9) Combinações afins, projeção ortogonal de um vetor.

(10) Áreas do paralelogramo e do triângulo, mudança de coordenadas.

3 • O que é TEX?

3.1Knuth inventou o TEX...

Oproblema de escrevermatemática no com-putador surgiu na década de 70. Um dos primei-ros grandes matemáticos a pesquisar em Ciênciada Computação, Donald Knuth da Universidadede Stanford, encontrou uma solução que conti-nua atual mais de trinta anos depois. Por volta de1976, Knuth tinha escrito os dois primeiros vo-lumes da coleção e Art of Computer Program-ming e estava totalmente insatisfeito com o resul-tado impresso. Ele não queria apenas que o livrofosse impresso, mas queria algo belo.

Knuth partiu para a busca de uma solução. Um dos primeiros passos foi a interrupção de suapesquisa por um ano para, acompanhado por sua esposa, assistir aulas de design com o professor dearte de Stanford, Matthew Kahn. A ideia era tentar capturar a essência do design, não apenas seu vi-sual. Por exemplo, como um processador deveria quebrar as linhas em um parágrafo? Esteticamente,o ideal é que não existam espaços excessivos entre as palavras e que não existam muitos hifens. Knuth

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14 O que é TEX?

transformou esse problema em combinatória e fez um algoritmo que calcula a maneira ótima de que-brar as linhas em um parágrafo.

Como resultado do seu trabalho, surgiramo processador de textos TEX e o sistema de descrição defontes METAFONT, ambos colocados em domínio público. O TEX foi projetado com dois objetivosprincipais em mente: permitir que qualquer pessoa possa produzir livros de alta qualidade com umesforço razoável e dar exatamente o mesmo resultado em todos os computadores, agora e no futuro.

3.2... e Lamport criou o LATEXNo início da década de 80, o matemático Leslie Lamport planejava escrever o livro Great AmericanConcurrency Book e digitar utilizando TEX. Ele escreveu um conjunto de macros que facilitaram bas-tante o trabalho. Essas macros foram posteriormente colocadas em domínio público. Era o iníciodo LATEX. Lamport até hoje não escreveu o livro pretendido, mas em 1986 lançou o livro LATEX: ADocument Preparation System, que ajudou a popularizar o LATEX. De lá para cá, vários conjuntos demacros para TEX surgiram, como ConTeXt e JadeTeX, mas sem dúvida o LATEX é o mais utilizado.

Hoje o TEX é popular em todo o mundo, principalmente na área acadêmica, notadamente emmatemática, física, ciência da computação e engenharias.

Uma das vantagens do LATEX é a sua modularização. Qualquer um pode escrever um conjunto demacros que automatizam determinados procedimentos e facilitam a vida de todos. No caso do LATEX,estas macros são chamadas de pacotes e existem milhares de pacotes escritos por centenas de usuáriosao redor do mundo.

A principal desvantagem inicial do TEX é que não é um editorWYSIWYG (acrônimo da expressãoem inglês “What You See Is What You Get” – O que você vê é o que você recebe). Isto significa quedigitamos o texto usando uma linguagem específica, compilamos e depois vemos o resultado. Istopode parecer muito estranho para quem está acostumado a editores WYSIWYG, como o Word, masé uma barreira que pode ser facilmente superada.

... e Lamport criou o LATEX 15

• Curiosidades• Knuth até hoje não terminou a coleção e Art of Computer Programming. Dos sete vo-

lumes previstos inicialmente, somente três volumes completos foram lançados, além decinco fascículos do volume 4.

• Ele recebeu inúmeros prêmios como pesquisador emCiência da Computação e em agostode 1999 seu nome foi dado a um pequeno planeta descoberto por P. Pravec and P. Kus-nirák.

• Desde 2001, Lamport é pesquisador da Microso.

• Existem versões de TEX para praticamente todos os sistemas operacionais, incluindoWin-dows, Mac OS X e Linux.

• O código fonte do TEX foi colocado em domínio público, e Knuth recomenda modifica-ções ou experiências com esse código fonte, mas, para garantir a mesma saída em todasas versões do TEX, ele deseja que qualquer novo programa obtido tenha outro nome. Paragarantir isso, a American Mathematical Society registrou a marca TEX e qualquer imple-mentação do sistema deve passar por um teste antes de ser chamada de TEX.

• O nome TEX deve ser pronunciado como “tekh”. O X representa a letra grega χ (chi). TEXé uma abreviação de τεχνη (techn), que também é a origem da palavra técnico.

• Knuth escreveu cinco livros sobre TEX: e TEX book, TEX: e Program, e META-FONT book, METAFONT: e Program e Computer Modern Typefaces, todos lançadospela Addison-Wesley.

• As versões de TEX são numeradas como aproximações do número π. A versão atual é a3.141592. Knuth deseja que, após a sua morte o TEX não seja alterado, com exceção daversão, que deverá ser a π. Analogamente, as versões de METAFONT são numeradascomo aproximações do número e, base dos logaritmos naturais.

• Atualmente, os grupos de usuários TEX (www.tug.org) de diversos países são responsáveispela distribuição, manutenção e atualizações nas macros para TEX.

4 • Escrevendo e desenhandono fórum

O fórum do Programa de Iniciação Científica está associado a uma instalação do programa LATEX,utilizado para digitar matemática.

Para tal, você deve digitar [tex] comandos [/tex].Por exemplo, digitando

[ t e x ] \ f r a c 3 8 [ / t e x ]

o sistema converterá seu código para uma imagem contendo 38. A imagem só é exibida na mensagem

a ser visualizada clicando no botão Prever ou no botão Enviar. Sugerimos que você aprenda inici-almente a escrever os exemplos básicos abaixo, os quais representam mais de 90% da utilização doLATEX no fórum.

4.1Exemplos Básicos

3+5 ......................... 3 + 5

7-2 ......................... 7 − 2

\times ......................... ×3\times2 .................. 3× 2

3\cdot2...................... 3 · 2\frac38 ................. 3

8

3/8 ........................... 3/8

\dfrac38 ...............3

820\div3 .................. 20÷ 3

\ne ............................. =\pm ............................. ±10\% ......................... 10%a_1 ............................ a1

b_23 ....................... b23

x^11 ....................... x11

\sqrt2 ....................√2

\sqrt[3]2 ................3√2

< ................................ <

2<3 ........................ 2 < 3

\le ............................. ≤a\le b ................... a ≤ b

\ge ............................. ≥a\ge b ................... a ≥ b

(1,2) ...................... (1, 2)[1,2] ....................... [1, 2]\ ................................

\ ................................

\1,2\ .................... 1, 2

\mid-3\mid ............... | −3 |

17

18 Escrevendo e desenhando no fórum

Atenção! A melhor maneira de aprender a digitar em LATEX é praticando.Você não precisa decorar todos os comandos. Consulte-os neste manual,quando precisar. Após alguma prática, você já conhecerá os principais co-mandos e com certeza terá prazer em escrever usando o LATEX.

4.2Letras Gregas

\pi .............................. π

\Pi ............................. Π

\alpha ......................... α

\beta ........................... β

\gamma .......................... γ

\Gamma .......................... Γ

\Delta ......................... ∆

\delta .......................... δ

\epsilon ....................... ϵ

\phi ............................ ϕ

\lambda ........................ λ

\mu .............................. µ

\rho ............................ ρ

\sigma .......................... σ

\Sigma ......................... Σ

\theta .......................... θ

\Omega ......................... Ω

\omega ......................... ω

4.3Aritmética

\equiv .............................................................................................................. ≡\pmodn ................................................................................................. (mod n)a\equiv b\pmodn ............................................................................. a ≡ b (mod n)\phi(n) ......................................................................................................... ϕ(n)\lfloor x\rfloor ............................................................................................. ⌊x⌋\lceil x\rceil ................................................................................................ ⌈x⌉

Geometria 19

4.4Geometria

\angle ABC ................................... ∠ABC

\measuredangle ABC ........................ ∡ABC

A\hatBC ...................................... ABC

\widehatABC ................................. ABC

r\parallel s .................................. r ∥ s

r\perp s ....................................... r ⊥ s

\circ ................................................ 90^\circ ....................................... 90

\overlineAB ................................... AB

\vecv .............................................. v

\arcoAB..........................................AB1

\triangle ABC .............................. ABC

\cong ................................................ ∼=\triangle ABC \cong \triangle XYZ

ABC ∼= XYZ

\sim .................................................. ∼

\triangle ABC \sim \triangle XYZ

ABC ∼ XYZ

4.5Setas

\iff .......................................... ⇐⇒\Rightarrow ..................................... ⇒\Leftarrow ....................................... ⇐\Longrightarrow .............................. =⇒\longrightarrow .............................. −→\mapsto ........................................... 7→\rightarrow ..................................... →

\searrow ......................................... \downarrow ........................................ ↓\swarrow ......................................... \leftarrow ....................................... ←\nwarrow ......................................... \uparrow ........................................... ↑\nearrow .........................................

1Comando personalizado para o fórum


4.6Símbolos Diversos

\$ ............................... $\dots............................. . .

\ldots............................ . .

\vdots................................

\cdots..........................· · ·

\ddots............................

\ell................................ℓ

\infty...........................∞

\therefore ................... ∴\approx ........................ ≈\bullet ....................... •\diamond ...................... ⋄\Diamond ..................... 3

\Box .......................... 2

\heartsuit .................. \spadesuit .................. ♠\diamondsuit ...............

\clubsuit ................... ♣\star............................ ⋆\bigstar....................... ⋆\square ...................... \blacksquare ............... \TeX ......................... TEX

\LaTeX ..................... LATEX

\S ...............................

\P .............................. ¶

4.7Conjuntos

\in ........................... ∈\not\in ....................... ∈\subset......................... ⊂\not\subset .................. ⊂\cap ............................ ∩

\cup ............................ ∪\emptyset ...................... ∅\mathbbN .................... N\mathbbZ .................... Z\mathbbQ .................... Q

\mathbbR .................... R\mathbbC .................... C\mathcalP(X)........... P(X)

4.8Matrizes e Determinantes

\beginmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endmatrix ...........................................................1 2

3 4

\beginpmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endpmatrix ....................................................

(1 2

3 4

)\beginbmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endbmatrix .....................................................

[1 2

3 4

]\beginBmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endBmatrix ....................................................

1 2

3 4

\beginvmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endvmatrix ......................................................

∣∣∣∣1 2

3 4

∣∣∣∣

Somatórios e Produtórios 21

\beginVmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endVmatrix .....................................................

∥∥∥∥1 2

3 4

∥∥∥∥\beginpmatrix1 \\ 2 \\ 3\endpmatrix ...........................................................

1

2

3

\detA ........................................................................................................ detA

4.9Somatórios e Produtórios

\sum_i=1^n i^2......................................................................................∑n

i=1 i2

\displaystyle\sum_i=1^n i^2........................................................................

n∑i=1

i2

\sum_i=1^100 i(i+1)........................................................................∑100

i=1 i(i + 1)

\displaystyle\sum_i=1^100 i(i+1)..........................................................

100∑i=1

i(i + 1)

\prod_i=1^10 \fracii+1...................................................................∏10

i=1i

i+1

\displaystyle\prod_i=1^10 \fracii+1...................................................

10∏i=1

i

i + 1

\displaystyle\sum_i\ge 1 \frac1i^2 = \frac\pi^26..........................∑i≥1

1

i2=

π2

6


4.10Diversos

\begincasesx+y=10\\ x-y=4\endcases...................................................

x + y = 10

x − y = 4

1\overbrace22\dots2^405 ....................................................................... 1

40︷︸︸︷22 . . . 2 5

\underbrace11\dots1_100 ........................................................................... 11 . . . 1︸︷︷︸100

(\dfracax+bcx+d)................................................................................... (ax + b

cx + d)

\left(\dfracax+bcx+d\right).................................................................

(ax + b

cx + d

)

Você poderá praticar e aprender mais sobre LATEX no fórum de Suporte.Acesse o tópico Escrevendo Matemática com comandos LATEX.No mesmo fórum, você aprenderá a inserir imagens e a criar figuras com oLATEX.

4.11Construindo figuras com LATEX

É possível fazer desenhos dos mais variados tipos usando LATEX. Existem centenas de pacotes parafazer figuras. No fórum foram instalados os pacotes pstricks e pst-eucl. Os comandos para desenharfiguras devem estar entre as tags [teximg] e [/teximg].

Apresentamos a seguir alguns exemplos básicos de figuras feitas com pstricks. Em todos os casos,a imagem mostrada à direita contém, para facilitar a compreensão, uma grade de pontos que nãoconsta no código exibido.

Construindo figuras com LATEX 23

4.11.1Traçando segmentos de reta

Os comandos abaixo definem uma caixa com extremidades (0,0) e (4,4) e três segmentos de retaque têm por extremidades os pontos designados. O parâmetro opcional no segundo segmento([linestyle=dashed]) muda o estilo da linha para tracejado.

\beginpspicture(0,0)(4,4)

\psline(0,1)(1,4)

\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,4)

\psline->(1,0)(4,3)

\endpspicture

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

4.11.2Circunferências

Para construir uma circunferência, devemos informar o centro e o raio com o comando\pscircle(x,y)r, sendo (x,y) as coordenadas do centro da circunferência e r o raio.

Na segunda circunferência, aumentamos a espessura da linha com o parâmetro [linewidth=2pt].


\pscircle(2,2)2

\pscircle[linewidth=2pt](3,3)1

\endpspicture

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4


4.11.3Rotulando Pontos

O pacote pst-euclides nos permite dar nome aos pontos e depois utilizar os nomes dados para fazeroutras construções. O comando \pstGeonode[PosAngle=α](x,y)Nome marca um ponto de coorde-nadas (x,y) com o rótulo Nome. O ângulo do rótulo em relação ao ponto é dado pelo parâmetroopcional PosAngle.


\pstGeonode(4,3)A

\pstGeonode[PosAngle=90](1,4)B

\pstGeonode[PosAngle=180](0,1)C

\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0)D

\psline(A)(B)(C)(D)(A)

\endpspicture

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

b A

bB

bC

b

D

4.11.4Utilizando coordenadas polares

É possível utilizar coordenadas polares para definir os pontos. Neste caso, devemos indicar a distânciar do ponto à origem e o ângulo θ formado entre o segmento de reta que une esse ponto à origem e oeixo x.

As coordenadas polares devem ser separadas por ponto e vírgula: (r;θ).

\beginpspicture(-2,-2)(2,2)

\psline(2;0)(2;72)

\psline(2;72)(2;144)

\psline(2;144)(2;216)

\psline(2;216)(2;288)

\psline(2;288)(2;0)

\psline[linestyle=dashed](2;0)(2;144)

\pscircle(0,0)2

\endpspicture

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

5 • Calendário dos Encontros

A parte presencial do Programa de Iniciação Científica será realizada em dez encontros presenciais,cada um com 8 horas/aula.

Os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica devem indicar as datas dos encontros nospolos, respeitando o seguinte calendário.

Encontro Datas ProváveisZero A partir de 19/05/121 02/06/122 30/06/123 28/07/124 18/08/125 01/09/126 22/09/127 20/10/128 10/11/129 24/11/1210 15/12/12

Nas páginas a seguir, você encontrará espaço para anotar a agenda dos encontros presenciais.Nossa sugestão é que você faça a anotação no final da aula, juntamente com o seu Professor

Orientador.

25

Encontro 1• Data: / /

• Local: Nota da Avaliação:

• Conteúdos Trabalhados:

• Conteúdos a serem estudados em Casa: (indicar material e páginas)

• Exercícios Resolvidos:

26

27

• Exercícios a serem resolvidos em Casa:

• Anotações:

• Comunicações entre a Família e o Professor Orientador:






28

29


• Anotações:







30

31


• Anotações:







32

33


• Anotações:







34

35


• Anotações:







36

37


• Anotações:







38

39


• Anotações:







40

41


• Anotações:







42

43


• Anotações:







44

45


• Anotações:


6 • Coordenadores Regionaisde Iniciação Científica – CRICS

O Coordenador Regional de Iniciação Científica (CRIC) é o responsável em sua Região/UF pelo Pro-grama de Iniciação Científica (PIC), bem como pelo acompanhamento dos bolsistas da OBMEP.Abaixo, encontra-se a relação de todos os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica. AlgunsEstados estão divididos em sub-regiões.

• AC – Jerssiney Correa de OliveiraEndereço Eletrônico: [email protected]: (68) 9962-1643

• AL – Sinvaldo Silva da GamaEndereço Eletrônico: [email protected]: (82) 3214-1407

• AM – Danilo Benarrós (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (92) 3647-4400

• AP – Marcio Aldo Lobato BahiaEndereço Eletrônico: [email protected]: (96) 3312-1700

• BA – Luzinalva Miranda de Amorim (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (71) 3283-6287

• CE – Onofre Campos da Silva FariasEndereço Eletrônico: [email protected]: (85) 9673-0309

• DF – Kellcio Oliveira AraujoEndereço Eletrônico: [email protected]: (61) 3107-6488

• ES – Luzia Maria CasatiEndereço Eletrônico: [email protected]: (27) 4009-7665

47

48 Coordenadores Regionais de Iniciação Científica – CRICS

• GO – José Hilário da CruzEndereço Eletrônico: [email protected]: (62) 3521-1288

• MA – João de Deus Mendes da SilvaEndereço Eletrônico: [email protected]: (98) 8121-9137

• MG01 – Gilcione Nonato CostaEndereço Eletrônico: [email protected]: (31) 3409-5790

• MG02 – Fernanda MouraEndereço Eletrônico: [email protected]: (31) 3899-3006

• MG03 – Francinildo Nobre FerreiraEndereço Eletrônico: [email protected]: (32) 3379-2549

• MG04 – Luiz Alberto Duran SalomãoEndereço Eletrônico: [email protected]: (34) 3239-4156

• MG05 – Marise Fagundes SilveiraEndereço Eletrônico: [email protected]: (38) 3229-8274/75

• MG06 – Wevesson Dalmaso SellinEndereço Eletrônico: [email protected]: (31) 3522-6037

• MS – Sonia Regina Di GiacomoEndereço Eletrônico: [email protected]: (67) 3345-7043

• MT – Martinho da Costa Araujo (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (65) 3615-8917

• PA – Augusto Cesar dos Reis CostaEndereço Eletrônico: [email protected]: (91) 9124-1227

• PB – José de Arimatéia Fernandes (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (83) 3310-1161

• PE – Jorge Antonio HinojosaEndereço Eletrônico: [email protected]: (81) 332-64-84

• PI – Gilvan Lima de OliveiraEndereço Eletrônico: [email protected]: (86) 3215-5835

49

• PR01 – Ana Lucia da SilvaEndereço Eletrônico: [email protected]: (43) 3371-5868

• PR02 – Florinda Katsume MiyaokaEndereço Eletrônico: [email protected]: (41) 3361-3660

• RJ01 – Jair SalvadorEndereço Eletrônico: [email protected]: (21) 2562-7505 r. 214

• RJ02 – Jones ColomboEndereço Eletrônico: [email protected]: (21) 2620-5809

• RJ03 – Ivail MunizEndereço Eletrônico: [email protected]: (21) 2697-3631

• RN – Jose Querginaldo BezerraEndereço Eletrônico: [email protected]: (84) 3215-3780

• RO – Carlos Vinícius da Costa RamosEndereço Eletrônico: [email protected]: (69) 9983-1514

• RR – Raimundo Nonato Araujo PedroEndereço Eletrônico: [email protected]: (95) 3621-3141

• RS – Elizabeth Quintana Ferreira da CostaEndereço Eletrônico: [email protected]: (51) 3308-6217

• SC – Licio Hernanes Bezerra (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (48) 3721-9558 r.4205

• SE – Valdenberg Araujo da Silva (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (79) 3212-6836

• SP01 – José Carlos Rodrigues (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (18) 3229-5385/5359

• SP02 – Aparecida Francisco da Silva (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (17) 3221-2335

• SP03 – Raul Cintra de Negreiros RibeiroEndereço Eletrônico: [email protected]: (11) 4412-8163

50 Coordenadores Regionais de Iniciação Científica – CRICS

• SP04 – Pablo Rodrigo GanassimEndereço Eletrônico: [email protected]: (11) 5084-7508

• SP05 – Debora BezerraEndereço Eletrônico: [email protected]: (11) 4366-5886

• TO – Dirlei RuscheinskyEndereço Eletrônico: [email protected]: (63) 3653-1531

7 • O PECI

O PECI, Preparação Especial para Competições Internacionais, é um programa da OBMEP destinadoa preparar um grupo seleto de alunos da OBMEP para as competições internacionais. Ele foi criadoem 2009 e vem trazendo bons resultados.

As atividades são virtuais, no fórum do PECI, e presenciais, em encontros que ocorrem ao longodo ano. Em 2012 os alunos estão participando de 9 encontros presenciais, com professores com muitaexperiência em olimpíadas internacionais.

Nestes três anos, os alunos do PECI já obtiverammais de 20 premiações internacionais, incluindotrês medalhas conquistadas em 2011 na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) realizada emAmsterdã, Holanda. A aluna Maria Clara Mendes Silva da Escola Estadual Oscar de Castro (Pirajuba– MG) foi premiada com medalha de Bronze e os alunos Henrique Gasparini Fiúza do Nascimentodo Colégio Militar de Brasília e André Macieira Braga Costa do Colégio Militar de Belo Horizonteganharam medalha de prata.

A seleção para participar do PECI é realizada anualmente para alunos que cursarão o último anono ensino fundamental. Os alunos são escolhidos para participar da seleção a partir do desempenhono PIC.

Apresentamos a seguir alguns problemas propostos na seleção do PECI.

Seleção 2012

Primeiro Dia

1. É possível escrever os números inteiros de 1 a 15 nas casas de um tabuleiro 3 × 5,um número em cada casa, de modo que a soma dos números de cada uma das linhas seja amesma e a soma dos números de cada uma das colunas seja a mesma? Justifique.

51

52 O PECI

2. Sobre o lado BC do triângulo isósceles ABC de base AC são marcados os pontos Me N tais que MN = AN e os ângulos BAM e NAC são iguais. Determine a medida doângulo MAC.

.......

A

.

C

.

M

.

N

.B

3. O número 49 + 610 + 320 é primo? Justifique sua resposta.

4. Em uma competição matemática participaram 8 estudantes, aos quais foram dados 8problemas.

(a) Ao final, observou-se que cada problema foi resolvido por cinco estudantes. Prove queexistem dois estudantes tais que cada problema foi resolvido por no mínimo um dosdois.

(b) Se cada problema foi resolvido por quatro estudantes, mostre que não necessariamenteexistem dois estudantes tais que cada problema foi resolvido por no mínimo um dosdois.

Segundo Dia

5. André possui uma máquina que só tem três botões A, B e C e um visor que permiteexibir um número inteiro de cada vez. Ao ser ligada, a máquina sempre exibe o número 1.

• Apertando o botão A, o número n que está no visor é trocado por n + 3.

• Apertando o botão B, o númerom que está no visor é trocado por seu triplo, ou seja, 3m.

• O botão C só funciona se o número p que está no visor for múltiplo de 3 e neste caso onúmero é trocado por p/3.

(a) Mostre como fazer para que o número 11 apareça no visor da máquina.

(b) Existe algum número inteiro positivo que não pode aparecer no visor da máquina?

53

6. Como mostra a figura, o retângulo grande é formado por quatro retângulos menorescom áreas iguais a 12 cm2, 24 cm2, 36 cm2 e 48 cm2, respectivamente.

............

12

.

36

.24

.

48

Determine a área da região sombreada.

7. Pinóquio possui 8 moedas de pesos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 gramas que parecem iguais,exceto por seus rótulos que indicam o respectivo peso de cada uma. Ele tem a disposiçãouma balança de pratos. Mostre que, usando a balança uma só vez, ele pode demonstrar queo peso de pelo menos uma das moedas está correto.

8. O inteiro positivo n possui dois divisores distintos a e b tais que

(a − 1)(b + 2) = n − 2.

Prove que o número 2n é o quadrado de um número inteiro.

Seleção 2011

Primeiro Dia

9.(a) A soma de quatro inteiros positivos consecutivos pode ser umnúmero primo? Justifique

sua resposta.

(b) A soma de três inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifiquesua resposta.

10. O triângulo ABC é isósceles de base BC e BAC = 48. Os pontos D e E estãosobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que DCA = 9 e EBC = 33. Determine amedida do ângulo CDE.

54 O PECI

11. Sejam a e b números inteiros consecutivos. Prove que o número a2 + b2 + (ab)2 éum quadrado perfeito.

12. Seja n um número natural maior ou igual a 5. Considere o conjunto X =1, 2, . . . , n. Prove que é possível distribuir todos os elementos de X em dois conjuntosA e B, cada elemento em exatamente um conjunto, de tal modo que a soma dos elementosde A é igual ao produto dos elementos de B.

Por exemplo, para n = 5, uma solução é escolher A = 3, 5 e B = 1, 2, 4, pois3 + 5 = 1× 2× 4.

Segundo Dia

13. Robério escreveu 2011 números de tal modo que cada um deles, exceto o primeiroe o último, são iguais à soma dos dois números vizinhos. Assim, o segundo é igual a somado primeiro com o terceiro, o terceiro é igual a soma do segundo com o quarto e assim pordiante.

Sabe-se que o primeiro número é 1 e o númerona posição 2010 é igual a 1/3. Determineo número na posição 1500.

14. 2001 cartas com os números 1, 2, . . . , 2001 escritos são colocadas sobre uma mesa,com a face escrita virada para cima. Adriano e Bruna alternadamente retiram uma carta desua escolha da mesa até que todas as cartas tenham sido retiradas. Adriano retira a primeiracarta. Ao final, cada jogador soma os números das cartas que retirou. Vence o jogador queobtém o algarismo das unidades maior que o algarismo das unidades de seu oponente. Qualjogador pode ganhar sempre e qual estratégia ele deve usar para vencer?

15. Um inteiro positivo a > 1 é dado. Nós o copiamos duas vezes e obtemos o númerob = aa, múltiplo de a2. Encontre todos os possíveis valores de b/a2.

Observação: Por exemplo, se a = 37, então b = 3737.

16. M e N são os pontos médios dos lados BC e AD, respectivamente, do quadradoABCD. K é um ponto arbitrário sobre o reta AC de tal modo que o ponto A está sobre osegmento de retaKC. O segmentoKM intersecta o ladoAB no ponto L. Prove queKNA =LNA.

55

Seleção 2010

Primeiro Dia

17. Sobre uma reta r tome um segmento de extremosA e B. Fora do segmentoAB, massobre a reta r, existem 19 pontos distintos tais que alguns estão antes do pontoA, outros antesdo ponto B e nenhum ponto está entreA e B. A soma das distâncias de todos os pontos queestão antes de A até o ponto A é igual à soma das distâncias de todos os pontos que estãoantes de B até o ponto B.

Prove que a soma das distâncias de todos os pontos que estão antes de A até o ponto B

não pode ser igual à soma das distâncias de todos os pontos que estão antes de B até o pontoA.

18. A distância de Leningrado a Moscou é de 660 quilômetros. De Leningrado a cidadede Likovo é 310 quilômetros, de Likovo a Klin é 200 quilômetros e de Klin a Moscou é 150quilômetros. Qual é a distância de Likovo a Moscou?

19. Sejam a, b e c números reais tais quea3 + 2a + 1 = 0

b3 + 2b + 1 = 0

c3 + 2c + 1 = 0

Prove que a + b + c = 0.

20. No concursoMonetário participam equipes formadas por 75meninos e 25meninas.O organizador decide a posição dos cem integrantes da equipe em 100 cadeiras ao redor

de uma mesa circular e dá uma moeda a cada um deles. Quando o organizador dá a ordem,cada integrante entrega sua moeda a um de seus dois vizinhos ou fica com ela. Feito isso, oorganizador concede à equipe umponto por cadamenino que tenha exatamente umamoeda,um ponto por cada menina que tenha exatamente duas moedas e nenhum ponto por cadaintegrante que se enquadra em qualquer outra situação.

Determinar qual é a pontuação máxima que a equipe pode obter e indicar como devemproceder os integrantes da equipe para obter essa pontuação máxima.

21. No triângulo ABC, AB = AC e BAC = 20. Um ponto D está sobre o lado AB eAD = BC. Calcule o ângulo BCD.

56 O PECI

Segundo Dia

22. Os números naturais x e y possuem dois algarismos cada e são tais que x é o dobrode y. Além disso, um dos algarismos de y é a soma dos algarismos de x e o outro algarismode y é a diferença dos algarismos de x.

Determine todos os possíveis valores de x e y.

23. Seja ABC um triângulo equilátero de centro O e lado de comprimento 3. SejamM um ponto sobre o lado AC e P um ponto sobre o lado AB de tal forma que CM = 1 eAP = 1.

Calcule as medidas dos ângulos do triângulo MOP.

24.(a) Verifique a identidade

(a + b + c)3 = a3 + b

3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a).

(b) Resolva o sistema x + y + z = 1

x2 + y2 + z2 = 1

x3 + y3 + z3 = 1.

25. Devemos distribuir 900 pedras em k pilhas, de modo que sejam satisfeitas as condi-ções a seguir:

(i) todas as pilhas têm quantidades distintas de pedras;

(ii) se dividirmos uma das pilhas em duas pilhas não vazias, as k + 1 pilhas resultantesnão mais terão quantidades distintas de pedras.

Ache o menor valor possível de k.

57

Seleção 2009

26. A figura ilustra um polígono regular de 9 lados. A medida do lado do polígono é a,a medida da menor diagonal é b e a medida da maior diagonal é d.

AB

E

a

b

d

(a) Determine a medida do ângulo BAE.

(b) Mostre que d = a + b.

27. Um mágico com os olhos vendados dá 29 cartas numeradas de 1 a 29 para umamulher da platéia. Ela esconde duas cartas no bolso e devolve as restantes para a assistentedo mágico.

A assistente escolhe duas cartas dentre as 27 e um homem da platéia lê, na ordem quequiser, o número destas cartas para o mágico. Após isto, o mágico adivinha o número dascartas que foram escondidas pela mulher.

Como o mágico e sua assistente podem combinar uma estratégia para realizarem essetruque?

28. Ana escolhe vinte e cinco números diferentes dentre os números 1, 2, . . ., 50. Brunoescolhe vinte e cinco números diferentes dentre os números 51, 52, . . ., 100. Ana e Brunofazem essa escolha de modo que dentre todos os números escolhidos por eles não existamdois cuja diferença seja igual a 50.

Calcule a soma de todos os números escolhidos.

29. O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos consecutivos. Prove que

(a) é possível escrever dois algarismos após o algarismodas unidades deste número demodoque o inteiro resultante seja um quadrado perfeito;

(b) se n > 12 então só existe uma maneira de escolher estes algarismos.

30. Sejam a, b e c números inteiros tais que a + b + c = 0. Prove que a4 + b4 + c4 éo dobro de um quadrado perfeito.

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