Marko Razpet Matematika in umetnost - University …Anaglifne slike Marko Razpet Matematika in umetnost Univerza v Ljubljani, Pedago ska fakulteta Ljubljana, 14. marec 2014 Izobra

Anaglifne slikeMarko Razpet

Matematika in umetnost

Univerza v Ljubljani, Pedagoska fakulteta

Ljubljana, 14. marec 2014

Izobrazevalni seminar DMFA Slovenije Anaglifne slike

Vsebina

Kaj je loksodroma?

Loksodroma na sferi ali obli

Loksodroma na torusu ali svitku

GeoGebra in trirazsezne slike

Anaglifne slike


Loksodroma in izvor besede

Loksodroma je na dovoljgladki rotacijski ploskvikrivulja, ki seka poldnevnikeploskve pod stalnim ostrimkotom.Z obicajno parametrizacijooble in svitka se da zanjupoiskati enacbe loksodrom veksaktni obliki.

Posebej nas bo pri loksodromisvitka zanimalo, kdaj je tosklenjena krivulja in kdaj je nasvitku mogoce najti medseboj pravokotne sklenjeneloksodrome.V grscini λοξός pomeniposeven, poprecen, procobrnjen, nevoscljiv, zaviden,δρόμος pa tek, dirka,dirkalisce.


Loksodroma na obli in koordinatni sistem

Loksodroma na obli jekrivulja, ki seka vse obelnepoldnevnike pod stalnimkotom α, 0 < |α| < π/2.Oblo s polmerom a postavimov koordinatni sistem Oxyztako, da ima sredisce vizhodiscu O. Njena enacba jex2 + y2 + z2 = a2. TockoN(0, 0, a) imenujemo severnipol ali severni tecaj, tockoS(0, 0,−a) pa juzni pol alijuzni tecaj oble.


Koordinatni sistem na obli

Vsako tocko T (x , y , z) na oblidoloca njen krajevni vektor ~r .Razen obeh polov pa jodolocata tudi zemljepisnadolzina ali longituda u inzemljepisna sirina ali latitudav . Vzamemo −π < u ≤ π,−π/2 < v ≤ π/2. V polih jev = ±π/2, u pa ni dolocen.Ekvator je kroznica, ki jepresek oble in ravnine z = 0,na njem je v = 0.


Parametrizacija oble

Krajevni vektor katerekoli tocke na oblilahko zapisemo v obliki

~r = ~r (u, v) = a(cos u cos v , sin u cos v , sin v).

S tem smo pravzaprav zapisali oblo vparametricni obliki, z vektorsko funkcijodveh parametrov.


Koordinatne krivulje na obli

Ce po en parameter vzamemo konstanten,dobimo v tej parametrizaciji koordinatnekrivulje na obli. Krivulje

~r (u) = ~r (u, v0) = a(cos u cos v0, sin u cos v0, sin v0)

so za vsak konstanten v0 vzporedniki, krivulje

~r (v) = ~r (u0, v) = a(cos u0 cos v , sin u0 cos v , sin v)

pa za vsak konstanten u0 poldnevniki na obli.Tako dobimo koordinatno mrezo na obli.


Problem loksodrome na obli

Poiskati moramo tako povezavo med parametroma u in v , kidefinira na obli krivuljo, ki seka obelne poldnevnike pod stalnimkotom α.Kot α med krivuljama je kot med tangentama v preseciscu tehkrivulj. Ker ima diferencial d~r krivulje isto smer kot njena tangenta,lahko kot med njima hitro izrazimo. Diferencial v zvezi s prvokrivuljo oznacimo z d, v zvezi z drugo pa z δ. Torej lahko izrazimo

cosα =d~r · δ~r|d~r | · |δ~r |

=d~r · δ~rds · δs

.

Pri tem s oznacuje locno dolzino krivulje.


Izracun koeficientov prve osnovne forme

Na ploskvi ~r = ~r (u, v) je

d~r =∂~r

∂udu +

∂~r

∂vdv

in|d~r |2 = ds2 = E du2 + 2F dudv + Gdv2,

pri cemer so Gaußovi koeficienti E ,F ,G definirani takole:

E =∂~r

∂u· ∂~r

∂u, F =

∂~r

∂u· ∂~r

∂v, G =

∂~r

∂v· ∂~r

∂v.


Metrika na obli

Preprost racun pokaze za oblo:

∂~r

∂u= a(− sin u cos v , cos u cos v , 0),

∂~r

∂v= a(− cos u sin v ,− sin u sin v , cos v).

Nazadnje dobimo

E = a2 cos2 v , F = 0, G = a2.

inds2 = a2(cos2 v du2 + dv2).


Kot med krivuljama na obli

Sedaj ni tezko izraziti produkt

d~r · δ~r = (∂~r

∂udu +

∂~r

∂vdv) · ( ∂

~r

∂uδu +

∂~r

∂vδv).

Z Gaußovimi koeficienti dobimo:

d~r · δ~r = E duδu + F (duδv + δudv) + G dvδv .

Posebej je za oblo d~r · δ~r = a2(cos2 v duδu + dvδv). Za krivulji naobli je nazadnje:

cosα =cos2 v duδu + dvδv√

cos2 v du2 + dv2 ·√

cos2 v δu2 + δv2.


Pot do diferencialne enacbe loksodrome

Iskana loksodroma naj ima diferenciale d, poldnevnik pa δ. Napoldnevniku se parameter u ne spreminja, δu = 0, in izraz za α je:

cosα =dv√

cos2 v du2 + dv2.

Sledi1

cos2 α= 1 + tg2 α = 1 +

(du

dv

)2

cos2 v ,

iz cesar dobimo preprosto diferencialno enacbo(du

dv

)2

cos2 v = tg2 α,

ki razpade na dve:

du

dvcos v = tgα,

du

dvcos v = − tgα.


Locitev spremenljivk

Locimo spremenljivki:

du = tgαdv

cos v, du = tg(−α)

dv

cos v.

Dovolj je obravnavati primer α > 0. Loksodrome tedaj potekajo vsmeri severovzhoda proti severnemu polu oziroma proti jugozahoduproti juznemu. To je desnosucna loksodroma. Levosucnoloksodromo dobimo, ce α zamenjamo z −α.


Integracija diferencialne enacbe

Za enolicno resitev dobljene diferencialne enacbe moramo poznatise zacetni pogoj. Krivulja naj poteka skozi tocko na obli, ki ustrezaparametroma u0 in v0. Z integracijo dobimo

u−u0 = tgα

∫ v

v0

dν

cos ν= tgα (ln tg(v/2 + π/4)− ln tg(v0/2 + π/4))

ali

u = u0 + tgα lntg(v/2 + π/4)

tg(v0/2 + π/4).

Za loksodromo, ki poteka skozi tocko (a, 0, 0), vzamemou0 = v0 = 0 in dobimo

u = tgα ln tg(v/2 + π/4).


Enacba loksodrome

Enacba take loksodrome v parametricni obliki je torej:

~r (v) = a(cos(tgα ln tg(v/2+π/4)), sin(tgα ln tg(v/2+π/4)), sin v).

Pri istem α dobimo vse loksodrome z zasukom slednje okoli osi z .Ko v → ±π/2, se loksodroma spiralasto ovija okoli polov. Kotu utukaj dovolimo vse realne vrednosti, ne le tiste med −π in π, da seloksodroma lepo zvezno nadaljuje v obe smeri.


Podoba loksodrome


Nastanek svitka

Ce kroznico s polmeromb > 0 zavrtimo za polni kotokoli premice v ravnini tekroznice, dobimo ploskev, ki jirecemo svitek. Pri tem najsredisce kroznice opisekroznico s polmerom a > 0,srediscnico svitka. Premica,okoli katere zavrtimokroznico, je os svitka, srediscesrediscnice pa je srediscesvitka. Pravokotni kartezicnikoordinatni sistem Oxyzpostavimo tako, da je srediscesvitka v koordinatnemizhodiscu, os svitka pa os z .


Krozni svitek: a > b


Rogati svitek: a = b


Vretenasti svitek: a < b


Svitek v koordinatnem sistemu

Svitek v koordinatnem sistemu Oxyz , v katerem je O srediscesvitka, os z pa os svitka, najenostavneje parametriziramo z

~r (u, v) = ((a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v),

pri cemer je −π < u ≤ π, −π < v ≤ π. Parametrizacijo najlazerazumemo, ce vzamemo tocko na svitku in gledamo osni preseksvitka skozi to tocko ter pravokotno projekcijo na ekvatorialnoravnino svitka, to je ravnino z = 0.


Koordinate na svitku

S tem imamo na voljo analiticno izrazavosvitka, kar omogoca udobno racunanje.Obmocje parametrov u in v , ki sestavljajourejene pare (u, v), je kvadrat

Q = {(u, v) : −π < u ≤ π, −π < v ≤ π}.

Parameter u je neke vrste zemljepisnadolzina na svitku, v pa zemljepisna sirina.Vsaki tocki na svitku ustreza natancno enpar (u, v) v kvadratu Q. S parametrizacijosmo ustvarili koordinatni sistem na svitku.


Poldnevniki in vzporedniki na svitku

Pri konstantnem u dobimo poldnevnike nasvitku, pri konstantnem v pa vzporednike.Poldnevniki in vzporedniki na svitku sesekajo pod pravim kotom. Vzporednik,dolocen z v = 0, je zunanji ekvator svitka,vzporednik, dolocen z v = π pa notranjiekvator.Pri a = b se vsi poldnevniki dotikajo osisvitka, notranji ekvator pa je izrojen vtocko, sredisce svitka. Od zunanjegaekvatorja merimo kot v po poldnevniku.Ekvatorja sta kroznici v ravnini Oxy spolmerom a + b in |a− b|. Poldnevnik,dolocen z u = 0, je zacetni poldnevniksvitka. Od tega merimo kote u.


Implicitna enacba svitka

Enacbo svitka brez tezav zapisemo v implicitni obliki:

(√x2 + y2 − a)2 = b2 − z2.

Ko odpravimo koren, dobimo:

(x2 + y2 + z2 + a2 − b2)2 = 4a2(x2 + y2).

Svitek je torej algebrska ploskev cetrte stopnje, njena oblika pa jeodvisna od polmerov a in b.Latinska beseda za svitek je torus. Sama beseda ima vec pomenov,med drugim tudi vozel, pentlja, trak pri vencu, pomanjsevalnicatorulus pa svitek las. Tako je se najlepsa domaca beseda za toruspravzaprav svitek. V starih casih so dekleta in zene nosile naglavah skafe in vedra. Na glave pa so si pred tem za ublazitevpritiska namestile ravno prav trde svitke iz blaga. Tak svitek jeomogocal, da so najbolj spretne nosile polno posodo ne da bi jodrzale z rokami.


Loksodroma na svitku

Ce je K krivulja v kvadratu Q, se bo le-ta s funkcijo(u, v) 7→ ~r (u, v) preslikala v krivuljo na svitku. Sedaj bomopoiskali loksodromo na svitku, to je tisto krivuljo na njem, kinjegove poldnevnike seka pod enakim kotom α. Za ta kot bomovzeli, da je po absolutni vrednosti pozitiven in manjsi kot π/2.Poiskati moramo tako povezavo med parametroma u in v , kidefinira krivuljo na svitku, ki seka njegove poldnevnike pod stalnimkotom α.


Koeficienti prve osnovne forme na svitku

Preprost racun pokaze, da sta za svitek:

∂~r

∂u= (−(a + b cos v) sin u, (a + b cos v) cos u, 0),

∂~r

∂v= (−b cos u sin v ,−b sin u sin v , b cos v).

Nazadnje dobimo za svitek

E = (a + b cos v)2, F = 0, G = b2

inds2 = (a + b cos v)2 du2 + b2dv2.


Kot med krivuljama na svitku

Za kot med krivuljama na svitku je:

cosα =(a + b cos v)2 duδu + b2dvδv√

(a + b cos v)2 du2 + b2dv2 ·√

(a + b cos v)2 δu2 + b2δv2.

Iskana loksodroma naj ima diferenciale d, poldnevnik pa δ. Napoldnevniku se parameter u ne spreminja, zato je δu = 0 in izrazza kot α se poenostavi:

cosα =bdv√

(a + b cos v)2 du2 + b2dv2.


Diferencialna enacba loksodrome na svitku

Dobljeno diferencialno enacbo preoblikujemo, tako da najprejzapisemo

1

cos2 α= 1 + tg2 α = 1 +

1

b2

(du

dv

)2

(a + b cos v)2,

iz cesar dobimo preprosto diferencialno enacbo(du

dv

)2

(a + b cos v)2 = b2 tg2 α,

ki razpade na dve:

du

dv(a + b cos v) = b tgα,

du

dv(a + b cos v) = −b tgα.


Locitev spremenljivk

Locimo spremenljivki:

du = b tgαdv

a + b cos v, du = b tg(−α)

dv

a + b cos v.

Obravnavali bomo primer α > 0, saj sta si sliki za α > 0 in α < 0zrcalni, ce zrcalno ravnino postavimo skozi os z in jo zavrtimookoli nje za primeren kot.Brez tezav lahko zapisemo za dobljeno loksodromo diferencial loka:

ds =b dv

| cosα|.


Resitev diferencialne enacbe

Za enolicno resitev dobljene diferencialne enacbe moramo poznatise zacetni pogoj. Krivulja naj poteka skozi tocko na svitku, kiustreza parametroma u0 in v0. Z integracijo dobimo

u − u0 = b tgα

∫ v

v0

dν

a + b cos ν.

Sedaj bi morali obravnavati loksodromo posebej za krozni, rogati invretenasti svitek. Slednjemu bi se najraje izognili zaradi gnece, kinastane okoli svitkovega vretena, in s tem bolj ali manj zapleteneslike.


Loksodroma na rogatem svitku

Za rogati svitek, ko je a = b, dobimo resitev

u − u0 = tgα

∫ v

v0

dν

1 + cos ν=

= tgα

∫ v

v0

dν

2 cos2(ν/2)= tgα(tg(v/2)− tg(v0/2)).

Za loksodromo, ki poteka skozi tocko (a + b, 0, 0), vzamemou0 = v0 = 0 in dobimo u = tgα tg(v/2). Enacba take loksodromev parametricni obliki je torej:

~r (v) =

= a(2 cos2(v/2) cos(tgα tg(v/2)), 2 cos2(v/2) sin(tgα tg(v/2)), sin v).

Loksodroma se spiralasto ovija okoli rozickov.


Pogled od strani


Pogled v notranjost


Loksodroma na kroznem svitku

Za krozni svitek je a > b > 0 in pri zacetnem pogojuu0 = 0, v0 = 0 je

u = b tgα

∫ v

0

dν

a + b cos ν=

2b tgα

carc tg(µ tg(v/2)),

kjer je

c =√a2 − b2, µ =

√a− b

a + b.

Funkcija

f : v 7→ f (v) =2b tgα


definirana na intervalu [−π, π], za katero v krajiscih vzamemo zanjeni vrednosti ustrezni stranski limiti, vpliva na obliko loksodromena svitku. Ta je odvisna od tega, v kaksni medsebojni relaciji soa, b in α.


Villarceaujeve kroznice na svitku

Zanimiv je primer, ko grafafunkcij f in f −1 potekataskozi oglisci (−π,−π) in(π, π) kvadrata Q. To sezgodi pri pogoju tgα = c/b.Tedaj je

u = f (v) = 2 arc tg(µ tg(v/2)),

v = f −1(u) = 2 arc tg(tg(u/2)/µ).

Graf funkcije f −1, kateregaoblika je odvisna od µoziroma od razmerja a/b,kaze slika na desni.


Koplanarni Villarceaujevi kroznici na svitku

Izrazimo:

cos u = cos(2 arc tg(µ tg(v/2))) =b + a cos v

a + b cos v,

sin u = sin(2 arc tg(µ tg(v/2))) =c sin v

a + b cos v.

Torej lahko zapisemo:

~r (v) = (b+a cos v , c sin v , b sin v).

Krivulja lezi na ravninicz = by , ki je vzporedna z osjox in oklepa z ravnino z = 0 kotϕ, tgϕ = b/c oziromasinϕ = b/a. Ravnina cz = byseka svitek se enkrat v pravtaki krivulji.


Sredisce Villarceaujeve kroznice

Da je krivulja kroznica, se prepricamo takole. Vzemimo tockoS(b, 0, 0), ki ji pripada krajevni vektor b~i , in izracunajmo|~r (v)− b~i | = |(a cos v , c sin v , b sin v)|. Preprost racun pokaze

|~r (v)− b~i | = a.

Torej je iskana krivulja kroznica s srediscem v tocki S in polmeroma. Kroznici recemo Villarceaujeva kroznica na svitku.Antoine-Joseph Yvon Villarceau (1813–1883), po katerem sekroznica imenuje, je bil francoski astronom, matematik in inzenir.Villarceaujeva kroznica je skladna s srediscnico svitka. VseVillarceaujeve kroznice na svitku dobimo z zasuki okoli njegove osidveh Villarceaujevih osnovnih kroznic skozi tocko (a + b, 0, 0): enaoklepa v tej tocki z zunanjim ekvatorjem kot ϕ, druga, konjugiranaprvi, pa −ϕ. Slednja ima enacbo

~r (v) = (b + a cos v ,−c sin v , b sin v).


Konjugirani Villarceaujevi kroznici

Vse Villarceaujeve kroznicedobimo iz osnovne in njejkonjugirane kroznice z zasukiokoli osi svitka. Ce osnovnoin njej konjugirano kroznicozasukamo za kot ϑ, imadobljena kroznica enacbo

~r (v) =

((b+a cos v) cosϑ∓c sin v sinϑ, (b+a cos v) sinϑ±c sin v cosϑ, b sin v).


Druzina Villarceaujevih kroznic

Slika kazedruzinoVillarceaujevihkroznic zrazmikom∆ϑ = π/10.


Stiri vrste kroznic na svitku

Skozi vsakotocko na svitkupotekajo stirikroznice, kilezijo na njem:poldnevnik,vzporednik indveVillarceaujevikroznici.


Stranski pogled

Naklonski kot ϕravnine, ki seka svitekv obeh Villarceaujevihkroznicah, protiekvatorialni ravninisvitka, dobimo, cepostavimo tangentoskozi njegovo srediscena katerikoli njegovpoldnevnik. Razdaljaod sredisca dodotikalisca jec =√a2 − b2, ocitno

pa je sinϕ = b/a.


Drug pristop

Drugacen pristop do Villarceaujevih kroznic na svitku poteka spreseki svitka z ravninami. Izkaze se, da so preseki lahko kroznicesamo v primeru, ko ravnina poteka skozi sredisce svitka ali pa jevzporedna z njegovo ekvatorialno ravnino. V slednjem primerudobimo vzporednike na svitku. Ce presecna ravnina vsebuje ossvitka, so preseki njegovi poldnevniki. V primeru, ko ravninapoteka skozi njegovo sredisce in oklepa z ekvatorialno ravnino kotϕ = ± arc sin(b/a), pa so preseki Villarceaujeve kroznice.


Bolj zavozlane loksodrome na svitku

Villarceaujeve kroznice so najbolj preproste loksodrome, ki enkratsamkrat obkrozijo os svitka in enkrat njegovo srediscnico. Od obehpolmerov, a in b, ter kota α pa je odvisno, ali je loksodromasklenjena krivulja ali ne in kolikokrat obkrozi os svitka in kolikokratnjegovo srediscnico. V ta namen si ponovno oglejmo funkcijo

f : v 7→ u = f (v) =2b tgα


ki povezuje parametra u in v . Parameter v tece od −π do π, zaparameter u pa bomo morali sedaj dovoliti poljubno realnovrednost. S tem dopuscamo moznost, da se loksodroma veckratovije okoli osi svitka.


Osnovni pravokotnik

Krivulja u = f (v)poteka skozi tocki(±πb tgα/c ,±π) vravnini parametrov(u, v). Ti dve tockidolocata osnovnipravokotnik R.Stranica v smeri osi uje dolga 2πb tgα/c , vsmeri osi v pa 2π.Pravokotnik R seujema s kvadratom Qsamo v primeru, ko jetgα = c/b. Takrat jeloksodromaVillarceaujeva kroznica.


Nezakljucena loksodroma

Ce je tgα 6= c/b, loksodroma nizakljucena krivulja. Krivulja se zacnein konca v razlicnih tockah nanotranjem ekvatorju svitka. Daohranimo sekanje poldnevnikov podkotom α se naprej, zlepimo nosnovnih pravokotnikov s krivuljou = f (v) vred v trak vzdolz osi u into naredimo tolikokrat, da je trakdolg nekemu celemu mnogokratnikustevila 2π, denimo m · 2π.


Nadaljevanje osnovnih pravokotnikov

To se bo sevedaposrecilo pri primernirelaciji med polmeromaa, b in kotom α.Krivulja na k-ti kopijiosnovnegapravokotnika imaseveda enacbo

u = f (v , k)+k·2πbc

tgα =2b tgα

c(arc tg(µ tg(v/2))+kπ).

Pri tem izberemok = 0, 1, 2, . . . , n − 1.


Pogoj za sklenjenost loksodrome na svitku

Pri opisanem lepljenju osnovnih pravokotnikov v trak vedno desnozgornje oglisce pravokotnika, na primer Y , in levo spodnje oglisceX prejsnjega pravokotnika na svitku ocitno dasta isto tocko M nanotranjem ekvatorju. Lihost funkcije f pa poskrbi za gladkostloksodrome v tocki M. Iz zahteve

n · 2πb

ctgα = m · 2π

dobimo pogoj za sklenjenost loksodrome na svitku:

b

ctgα =

m

n,

kjer sta m in n tuji si naravni stevili. Loksodroma tedaj n-kratobkrozi srediscnico svitka ter m-krat njegovo os.


Prvi primer sklenjene loksodrome

Vzemimo svitek s podatki:a = 5, b = 3 in konstruirajmona njem loksodromo s kotomα = π/4. Dobimo c = 4 inb tgα/c = 3/4. Loksodromase stirikrat ovije okolisrediscnice in trikrat okoli osisvitka.


Drugi primer sklenjene loksodrome

Vzemimo se svitek s podatki:a = 13, b = 5 inkonstruirajmo na njemloksodromo s kotom α = π/4.Dobimo c = 12 inb tgα/c = 5/12. Loksodromase dvanajstkrat ovije okolisrediscnice in petkrat okoli osisvitka.


Tretji primer sklenjene loksodrome

Vzemimo se svitek s podatki:a = 2, b = 1 in konstruirajmona njem loksodromo s kotomα = π/6. Dobimo c =

√3 in

b tgα/c = 1/3. Loksodromase trikrat ovije okolisrediscnice in enkrat okoli osisvitka.


Loksodroma na vretenastem svitku

Kadar imamo opravka zvretenastim svitkom, ko jeb > a > 0, vpeljemop = b − a in c =

√b2 − a2,

povezava med parametroma uin v za loksodromo na svitkupa je

u = f (v) =b tgα

cln

∣∣∣∣p tg(v/2) + c

p tg(v/2)− c

∣∣∣∣ .Loksodroma poteka tako pozunanji strani svitka kakortudi po njegovem vretenu vnotranjosti.


Ortogonalne sklenjene loksodrome na svitku

Dve sklenjeni loksodromi na svitku se lahko sekata. Oglejmo si,kdaj se sekata pravokotno. Ce prva seka vse poldnevnike podkotom α, kjer vzamemo 0 < α < π/2, druga, ki je nanjopravokotna, seka poldnevnike pod kotom β = α− π/2. Pri tem paje −π/2 < β < 0. Pogoja, da je druga loksodroma sklenjena, je

−b

ctg β = −b

ctg(α− π/2) =

b

ccotα =

m1

n1.

Pri tem sta m1 in n1 tuji si naravni stevili. Velja torej relacija:

b2

c2=

1

(a/b)2 − 1=

m

n· m1

n1.

Ce se sklenjena loksodroma m-krat ovije okoli osi svitka in n-kratokoli njegove srediscnice, pri cemer je razmerje kvadratov njegovihpolmerov racionalno stevilo in je izpolnjena zgornja relacija, potemse ortogonalna loksodroma ovije okoli osi svitka m1-krat in okolinjegove srediscnice n1-krat.


Prvi primer ortogonalnih sklenjenih loksodrom na svitku

V primeru a = 2, b = 1 dobimo naprimer

b2

c2=

1

3=

1

3· 1

1.

Lahko izberemo

b

ctgα =

1√3tgα =

1

3,

b

ctg β =

1√3tg β = −1

1,

α = arc tg

√3

3=π

6, β = − arc tg

√3 = −π

3.

Prva loksodroma se enkrat ovije okoliosi svitka in trikrat okoli njegovesrediscnice. Druga loksodroma jeVillarceaujeva kroznica.


Drugi primer ortogonalnih sklenjenih loksodrom na svitku

Ker za a = 2, b = 1 lahko zapisemotudi

b2

c2=

1

3=

3

4· 4

9,

najdemo drug par pravokotnihsklenjenih loksodrom za

α = arc tg3√

3

4, β = − arc tg

4√

3

9.

Razmere na svitku so kar pestre.Prva loksodroma se trikrat ovijeokoli osi svitka in stirikrat okolinjegove srediscnice. Drugaloksodroma pa se stirikrat ovije okoliosi svitka in devetkrat okoli njegovesrediscnice.


Pedro Nunes Salaciense (1502–1578)


Thomas Harriot (1560–1621)


Willebrord Snel van Royen (1580–1626)


Antoine Francois Joseph Villarceau (1813–1883)


Arnold Emch (1871–1959)


Izvor besede anaglif

Grsko ἀνά – na, po, nad, prek, cez.Grsko γλύφω – vdolbem, rezem, rezljam, vgraviram, predstavim.Podobna beseda: hieroglif iz grske besede ἱερός – svet, bozji,vzvisen.Wilhelm Rollmann (1821–1890), nemski matematik iz Leipziga,leta 1853 izdela prve anaglife.


Ocala za gledanje anaglifnih slik


Anaglifska podoba loksodrome


Izvor besede GeoGebra

γῆ, ionsko γέα, poeticno γαῖα — zemlja; Γαία – boginja zemlje

Najbolj znano Al Hvarizmijevo (780–850) delo:

Knjizica o racunskih postopkih z dopolnjevanjem in izravnavanjem.

Beseda al-jabr, zapisana kot Q�.j. Ë @ v naslovu

Al-Kitab al-mukhtas.ar fı h. isab al-jabr w’al-muqabala�éÊK. A

�®Ò.Ë @ð Q�.j. Ë @ H. A�k ù

¯ Qå�

�J

jÒË@ H. A

�JºË@

nam je dala besedo algebra.

Tako smo dobili besedo GeoGebra, ki poimenuje program zadinamicno geometrijo, v katerem se dopolnjujeta geometrija inalgebra. Napisal ga je v glavnem Markus Hohenwarter leta 2001.Program se od takrat neprestano izboljsuje in dopolnjuje.


Strasbourg – Villarceaujeve kroznice


Krozni torus z mrezo


Pogled na krozni torus z mrezo – anaglif


Pogled v krozni torus z mrezo – anaglif


Pogled na rogati torus z mrezo


Pogled v rogati torus z mrezo – anaglif


Pogled na vretenasti torus z mrezo


Pogled v vretenasti torus z mrezo


Pogled na krozni torus – anaglif


Pogled v krozni torus – anaglif


Pogled v cev kroznega torusa – anaglif


Pogled v rogati torus – anaglif


Pogled v vretenasti torus – anaglif


Sklenjena loksodroma na kroznem torusu – anaglif


Loksodroma na rogatem torusu – anaglif


Loksodroma na vretenastem torusu – anaglif


GeoGebra 5 v akciji


Sekajoca se torusa


Trije torusi


Pet torusov


Enake sfere s sredisci na vijacnici


Razlicne sfere s sredisci na vijacnici


Vencek sfer


Vencek sfer okoli valja


Hvala za vaso pozornost!



Documents

Marko Razpet Matematika in umetnost - University …Anaglifne slike Marko Razpet Matematika in umetnost Univerza v Ljubljani, Pedago ska fakulteta Ljubljana, 14. marec 2014 Izobra