MASSA GRAVITON BERDASARKAN TEORI de RHAM-

GABADADZE-TOLLEY DALAM MODEL ALAM SEMESTA

DATAR FRIEDMANN-LEMAITRE-ROBERTSON-WALKER

AHMAD KHOIRUL FALAH

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2016

i

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Massa graviton

berdasarkan teori de Rham-Gabadadze-Tolley dalam model alam semesta datar

Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker adalah benar karya saya dengan arahan

dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada

perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya

yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam

teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Maret 2016

Ahmad Khoirul Falah

NIM G74120032

ii

ABSTRAK

AHMAD KHOIRUL FALAH. Massa Graviton Berdasarkan Teori de Rham-

Gabadadze-Tolley dalam Model Alam Semesta Datar Friedmann-Lemaitre-

Roberson-Walker. Dibimbing oleh HUSIN ALATAS.

Teori Relativitas Umum memprediksi ekspansi alam semesta diperlambat,

sedangkan hasil observasi supernova tipe Ia mendapati ekspansi alam semesta

dipercepat. Teori Relativitas Umum dimodifikasi melalui pendekatan teori

gravitasi bermassa nonlinier oleh de Rham-Gabadadze-Tolley (dRGT). Massa

graviton dimunculkan untuk dinamika skala sangat besar. Persamaan medan

Einstein teori dRGT dapat dirumuskan dari prinsip variasi. Selanjutnya dengan

memilih metrik datar Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker dapat

diformulasikan bentuk persamaan Friedmann yang relevan dengan model

ekspansi dipercepat. Hasil akhirnya, dengan membandingkan massa graviton dari

metode Extremely Low Energy (ELE) dapat dihitung massa kritis graviton yaitu

sekitar - .

Kata kunci: massa graviton, teori dRGT, persamaan medan Einstein, persamaan

Friedmann, ekspansi alam semesta dipercepat.

ABSTRACT

AHMAD KHOIRUL FALAH. Graviton Mass from de Rham-Gabadadze-Tolley

Theory in Flat Universe Model Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker.

Supervised by HUSIN ALATAS.

General Relativity Theory predict that expansion of the universe is

decelarated, nevertheless observations of type Ia supernova indicates that the

expansion of the universe is actually accelerated. General relativity theory was

modified by de Rham-Gabadadze-Tolley (dRGT) with nonlinear massive gravity

theory. Graviton mass appear for large scale distance. Einstein field equation of

dRGT theory can be derived from variational principle. Furthermore, by using flat

metric Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker led to the Friedmann equation with

accelerated model. Finally, by comparing graviton mass from Extremely Low

Energy (ELE) can be calculated critical graviton mass approximately

- .

Keywords: graviton mass, dRGT theory, Einstein field equation, Friedmann

equation, accelerating universe.

iii

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Fisika

AHMAD KHOIRUL FALAH

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2016

MASSA GRAVITON BERDASARKAN TEORI de RHAM-

GABADADZE-TOLLEY DALAM MODEL ALAM SEMESTA

DATAR FRIEDMANN-LEMAITRE-ROBERTSON-WALKER

v

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang

dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2015 ini ialah

teori gravitasi, dengan judul “Massa Graviton B rdasarkan T ori d Rham-

Gabadadze-Tolley dalam Model Alam Semesta Datar Friedmann-Lemaitre-

Roberson-Walk r”

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Husin Alatas selaku

pembimbing yang telah banyak memberi saran, bimbingan, perhatian, dan

kesabarannya kepada penulis selama ini. Beliaulah guru dan sahabat yang telah

memperkenalkan keindahan dibalik persamaan-persamaan Teori Relativitas

Umum Einstein yang elegan, serta menumbuhkan lebih dalam kecintaan penulis

pada bidang fisika teoretik. Ungkapan salam penuh cinta penulis sampaikan

kepada kedua orang tua, Bapak Ahmad Jahid dan Ibu Dede Khoiriyah, serta adik-

adik dirumah, terimakasih atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Tak

lupa rasa terima kasih sebesar-besarnya kepada seluruh dosen Departemen Fisika

IPB yang telah ikhlas mengajarkan banyak ilmu selama penulis menjadi

mahasiswa. Terakhir kepada teman-teman fisika IPB khususnya angkatan 49 dan

marboth asrama masjid Al-Hurriyyah IPB, terimakasih atas kebersamaannya

selama ini.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2016

Ahmad Khoirul Falah

vi

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR viii

DAFTAR LAMPIRAN viii

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

Perumusan Masalah 1

Hipotesis 1

Manfaat Penelitian 2

Ruang Lingkup Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

Tensor 2

Persamaan Medan Einstein 3

Metrik Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker 4

Persamaan Friedmann 4

Tensor Energi-Momentum Fluida Ideal 4

Teori Gravitasi Bermassa Fierz-Pauli 5

Diskontinuitas van Dam-Veltman-Zakharov 5

Mekanisme Vainshtein 6

Medan Hantu Boulware-Deser 6

Teori Gravitasi Bermassa de Rham-Gabadadze-Tolley 7

METODE 7

Waktu dan Tempat Penelitian 7

Alat 8

Metode Penelitian 8

HASIL DAN PEMBAHASAN 8

Persamaan Medan Einstein Teori dRGT 8

Persamaan Friedmann Teori dRGT 10

Ekspansi Alam Semesta dan Massa Graviton 12

SIMPULAN DAN SARAN 15

Simpulan 15

vii

Saran 15

DAFTAR PUSTAKA 15

LAMPIRAN 17

RIWAYAT HIDUP 24

viii

DAFTAR GAMBAR

1 Grafik fungsi faktor skala terhadap parameter waktu kosmik untuk tiga

jenis proporsi ( ). 14

DAFTAR LAMPIRAN

A Konvensi Penjumlahan Einstein 16 B Satuan Alam (Natural Unit) 17

C Persamaan Medan Einstein dari Prinsip Aksi 18 D Tensor Ricci dalam Metrik Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker 20

E Kode Matlab Gambar 1 22

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Teori Relativitas Umum (TRU) menjelaskan keterkaitan ruang, waktu, dan

gravitasi yang dirumuskan oleh Albert Einstein pada tahun 1915. Dalam TRU

gravitasi tidak lagi dipandang sebagai gaya, melainkan manifestasi dari

kelengkungan ruangwaktu.1 TRU merupakan konsep yang mendasari kosmologi,

dan kosmologi adalah aplikasi penting TRU. Observasi dari pergerakan galaksi

menunjukkan bahwa alam semesta kita berekspansi.2

Pada tahun 1998, para astronom menemukan bahwa ekspansi alam

semesta mengalami percepatan. Jika TRU benar, maka harus ada energi gelap

(dark energy) sebagai penyebabnya. Secara sederhana energi gelap ialah

interpretasi dari konstanta kosmologi, yang secara fisis dapat diartikan sebagai

energi vakum. Tetapi orde konstanta kosmologi terlalu kecil untuk menghasilkan

kerapatan energi yang sesuai prediksi teori fisika partikel. Sehingga terdapat

kemungkinan TRU salah atau perlu dimodifikasi.3

Salah satu modifikasi yaitu penambahan massa graviton. Gagasan ini

sudah diperkenalkan oleh Fierz dan Pauli sejak tahun 1939. Namun sempat

diragukan karena pada tahun 1970 van Dam-Veltman-Zakharov (vDVZ)

menunjukkan teori gravitasi bermassa Fierz-Pauli tidak konsisten dengan

persamaan medan linier saat limit takbermassa. Selanjutnya pada tahun 1972

Vainshtain mengusulkan mekanisme nonlinier untuk menghindari diskontinuitas

vDVZ. Langsung ditahun yang sama Boulware dan Deser menunjukkan model

nonlinier mengandung medan hantu yang kemudian disebut medan hantu

Boulware-Deser. Barulah pada tahun 2010 masalah medan hantu Boulware-Deser

dapat dihindari dengan teori gravitasi bermassa nonlinier de Rham-Gabadaze-

Tolley.4,5

Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan menghitung massa graviton berdasarkan teori de

Rham-Gabadaze-Tolley (dRGT) dalam model alam semesta datar Friedmann-

Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) untuk menjelaskan fenomena ekspansi

dipercepat.

Rumusan Masalah

Teori dRGT digunakan untuk menghitung persamaan medan Einstein

melalui prinsip aksi, merumuskan persamaan Friedmann, dan memeriksa

kontinuitasnya untuk limit takbermassa. Serta menganalisis evolusi faktor skala

terhadap parameter waktu kosmik untuk menghitung massa graviton.

Hipotesis

Teori dRGT menyediakan model alam semesta yang berekspansi

dipercepat dan massa graviton dapat ditentukan.

2

Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah menambah perbendaharaan informasi

tentang massa graviton.

Ruang Lingkup Penelitian

Penelitian ini melingkupi perhitungan matematis persamaan medan

Einstein dan persamaan Friedmann berdasarkan TRU yang dimodifikasi oleh teori

gravitasi bermassa nonlinier untuk membangun model alam semesta.

TINJAUAN PUSTAKA

Tensor

TRU adalah salah satu teori fisika modern yang cukup besar peranannya

dalam menerangkan struktur ruangwaktu dan jagad raya. Teori ini adalah teori

yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang cukup

menarik, namun memiliki persyaratan matematika berupa analisis tensor. Tensor

merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya vektor merupakan perluasan dari

skalar. Skalar adalah tensor rank-0 dan vektor adalah tensor rank-1. Dalam TRU

terdapat dua jenis sistem koordinat, yaitu koordinat kovarian dan kontravarian.

Untuk membedakan kedua sistem koordinat tersebut digunakan indeks atas untuk

kontravarian dan indeks bawah untuk kovarian. Sebuah tensor rank-2 kovarian

dan kontravarian berlaku transformasi:

Tensor kovarian

(1.a)

Tensor kontravarian

(1.b)

Tensor Metrik dan Ruang Riemann

Tensor metrik menggambarkan jarak terdekat antara dua titik dalam ruang

(geodesik). Ruang tiga dimensi dengan bentuk

dinamakan

ruang datar atau ruang Euclid. Jika suatu sistem koordinat tidak memenuhi bentuk

tersebut maka dinamakan ruang lengkung atau ruang Riemann. Bentuk untuk

ruang datar empat dimensi disebut ruangwaktu Minkowski:

(2)

tensor metrik dari geodesik (2):

Secara umum kuadrat jarak antara dua buah titik di dalam ruang sembarang

berdimensi N dinyatakan dalam:

(3)

3

dengan . Tensor metrik juga dapat digunakan untuk menaikkan dan

menurunkan indeks:

(4.a)

(4.b)

Tensor Riemann-Christoffel dan Tensor Ricci

Tensor Riemann-Christoffel dirumuskan sebagai berikut:

(5.a)

(5.b)

Besaran disebut simbol Christoffel. Kontraksi

terhadap indeks ( )

menghasilkan tensor Ricci .

(6)

Tensor Ricci menyatakan kelengkungan ruangwaktu atau disebut juga tensor

curvature.6

Persamaan Medan Einstein

TRU dibangun berdasarkan prinsip ekivalensi dan prinsip kovariansi

umum. Efek gravitasi terkait dengan geometri. Deskripsi lebih lengkap gravitasi

terangkum dalam sebuah persamaan medan yang berlaku secara umum untuk

berbagai sistem fisis. 7 Sebagaimana teori fisika pada umumnya, rumusan gravitasi

TRU dapat diturunkan melalui prinsip variasi.8

(7)

dengan disebut kerapatan Lagrangian Einstein-Hilbert,

adalah skalar Ricci, dan adalah kerapatan Lagrangian materi. Melalui prinsip

ini, persamaan medan Einstein diturunkan dengan melakukan variasi sedemikian

rupa sehingga , kemudian diperoleh (lampiran C):

(8)

Persamaan (8) dinamakan persamaan medan Einstein yang menyatakan

bahwa kehadiran materi menyebabkan ruangwaktu melengkung dan

kelengkungan ruangwaktu menyebabkan materi bergerak. Besaran disebut

tensor energi-momentum dan konstanta - - -

diturunkan dari limit Newtonian. Untuk penulisan selanjutnya diberlakukan

satuan alam (natural unit) c=1 dan (lihat lampiran B), sehingga

-

dengan merupakan massa Planck.4,7

Untuk aproksimasi medan lemah metrik

dapat diuraikan sebagai metrik

Minkowski ditambahkan suku gangguan kecil :

(9)

4

Sebagai catatan, persamaan medan yang dilinearisasi dapat diturunkan dari

Lagrangian Einstein-Hilbert berikut:9

(10)

Metrik Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker

Metrik FLRW dibangun berdasarkan prinsip kosmologi, yakni asumsi

alam semesta bersifat homogen dan isotropik. Metrik FLRW dalam bentuk

yaitu:

(11)

Fungsi R(t) disebut faktor skala dan konstanta k disebut indeks kurvatur. Nilai k =

-1 untuk alam semesta hipebola, k=0 untuk alam semesta datar, dan k=1 untuk

alam semesta bola. 10

Persamaan Friedmann

Dinamika kosmologi dalam geometri ruangwaktu sepenuhnya ditentukan

oleh faktor skala R(t). Untuk mengetahui bentuk R(t) diperlukan solusi persamaan

medan Einstein. Representasi dari solusi persamaan medan Einstein untuk metrik

FLRW disebut Persamaan Friedmann. Bentuknya sebagai berikut:

(12.a)

(12.b)

Persamaan (12.a) dan (12.b) memungkinkan kita mempelajari ekspansi alam

semesta tanpa membutuhkan persamaan keadaan tertentu. Jika selalu positif,

k “ k l r ” bernilai negatif. Di masa kini R>0 (dari definisi)

dan (karena yang terdeteksi pergeseran merah bukan pergeseran biru),

maka bentuk kurva R(t) versus t cekung kebawah. Interpretasi ini berlawanan

dengan hasil observasi yang menyatakan alam semesta mengembang dipercepat

(bentuk kurva cekung keatas). 8,10

Tensor Energi-Momentum Fluida Ideal

Prinsip kosmologi homogen dan isotropik mengizinkan distribusi kontinu

materi di alam semesta dapat diaproksimasi oleh tensor energi-momentum fluida

ideal:

(13)

Untuk setiap tensor energi-momentum berlaku:

(14)

5

yang merupakan bentuk pernyataan hukum kekekalan energi. Persamaan

kekekalan energi fluida ideal dalam metrik FLRW yaitu:

(15)

Dalam kosmologi, biasanya digunakan asumsi persamaan keadaan berikut:

(16)

dengan w disebut parameter keadaan yang nilainya w=0 untuk material debu

(dust) dan w=1/3 untuk radiasi. Sehingga solusi persamaan (15) yaitu:

(17)

yang menyatakan evolusi kerapatan sebagai fungsi faktor skala.8

Teori Gravitasi Bermassa Fierz-Pauli

Keberadaan energi gelap yang sudah disinggung di bagian pendahuluan

menjadi salah satu motivasi dari teori gravitasi bermassa. Pada skala besar TRU

dimodifikasi dengan cara menambahkan suku massa graviton. Modifikasi ini

sekaligus memungkinkan massa graviton memperbaiki masalah konstanta

kosmologi. Adalah Fierz dan Pauli yang pertamakali mengkonstruksi suku massa

tersebut untuk metrik linier disekitar ruangwaktu datar, - .

(18)

Kerapatan Lagrangian menjadi:

(19)

Empat suku pertama di ruas kanan merupakan Lagrangian Einstein-Hilbert untuk

ruangwaktu datar. Indeks dapat dinaikkan dan diturunkan menggunakan

metrik

,

. 11, 12

Diskontinuitas van Dam-Veltman-Zakharov

Aksi pada Lagrangian (19) menghasilkan bentuk persamaan gerak linier:

(20)

Notasi but op r tor ’Al b rt U tuk u b r p rt k l t t k b r

M solusi komponen persamaan (20) ialah:

(21)

Pada limit tak bermassa

6

(22)

Sedangkan dari persamaan gerak linier gravitasi takbermassa yang memenuhi

transformasi Lorentz-Gauge:

(23)

Solusi sumber titik bermassa M persamaan gerak (23) ialah:

(24)

Diskontinuitas persamaan (22) dan (24) pertamakali dideteksi oleh van Dam,

Veltman, dan Zakharov. Korespondensi dari gravitasi takbermassa menjadi

gravitasi bermassa mempunyai syarat perubahan

. Jika hasil ini diterapkan

untuk kasus pembelokan cahaya yang menurut gravitasi takbermassa dirumuskan

oleh:

(25)

Syarat korespondensi membuat sudut pembelokan cahaya versi teori Fierz-Pauli

menjadi:

(26)

Perbedaan antara persamaan (25) dan persamaan (26) mencapai 25%. Prediksi

linier TRU berbeda dengan teori Fierz-Pauli saat limit tak bermassa. Bentuk linier

telah melanggar asas kontinuitas dalam fisika, inilah yang disebut diskontinuitas

vDVZ.4

Mekanisme Vainshtein

Mekanisne Vainshtein digagas oleh Vainshtein ketika menelaah solusi

statik bersimetri bola teori Fierz-Pauli. Pada jarak yang sangat jauh dari sumber,

teori dapat dideskripsikan secara linier, sehingga semua mode graviton bermassa

berpropagasi, menghasilkan penyimpangan besar terhadap TRU berupa

diskontinuitas vDVZ. Vainshtein mengusulkan bahwa terdapat jarak tertentu dari

sumber yang membatasi linieritas dapat diberlakukan. Jarak tersebut disebut jari-

jari Vainshtein,

. Di daerah nonlinieritas mulai mendominasi dan

prediksi linier tidak bisa dibenarkan.13

Medan Hantu Boulware-Deser

Boulware dan Deser mempelajari beberapa spesifikasi bentuk nonlinier

gravitasi bermassa dan menunjukkan bahwa terdapat hantu ketidakstabilan (ghost-

like instability). Teori linier mempunyai lima derajat kebebasan, sedangkan teori

nonlinier menghasilkan enam derajat kebebasan. Satu derajat kebebasan tambahan

dalam bentuk medan skalar disebut medan hantu Boulware-Deser.4

7

Teori Gravitasi Bermassa Nonlinier de Rham-Gabadadze-Tolley

Teori Fierz-Pauli memiliki cacat berupa diskontinuitas vDVZ dan medan

hantu Boulware-Deser. Generalisasi teori Fierz-Pauli yang bebas diskontinuitas

vDVZ dan medan hantu Boulware-Deser dirumuskan oleh de Rham-Gabadadze-

Tolley (dRGT). Melalui cara Stuckelberg didefinisikan tensor kovarian:

(27)

Untuk unit Gauge , tensor - menjadi metrik gangguan. Tensor

dapat dinyatakan dalam tensor polinomial berikut:

(28)

Invers persamaan (29) ialah:

-

-

-

-

-

-

Dengan menyatakan

sebagai metrik fiducial, sehingga:

(29)

Bentuk kerapatan Lagrangiannya adalah:

(30.a)

dengan adalah konstanta parameter, dan

(30.b)

Not […] y t k trace tensor terhadap metrik

. Ketiadaan medan hantu

pada persamaan (30.a) berlaku untuk metrik latar belakang Minkowski. 14,15

METODE

Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan selama lima bulan mulai dari bulan September

2015 sampai Januari 2016. Tempat penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika

Teori dan Komputasi, Departemen Fisika Fakultas Metematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

8

Alat

Pada penetlitian ini alat-alat yang digunakan berupa alat tulis (kertas/buku

tulis, pena, pensil), laptop/komputer milik pribadi dengan processor intel ® core

™ B9 or B n menggunakan windows 7 professonal.

Metode Penelitian

Studi Pustaka

Studi pustaka dilakukan untuk memahami persamaan medan Einstein,

prinsip aksi, teori gravitasi bermassa Fierz-Pauli, serta menganalisis suku

nonlinier dRGT.

Penurunan Persamaan Medan Einstein dan Persamaan Friedmann

Proses ini dilakukan melalui prinsip aksi dari teori dRGT untuk

mendapatkan persamaan medan Einstein dilanjutkan mencari persamaan

Friedmann.

Analisis Faktor Skala

Dengan memanfaatkan parameter kosmologi yang tersedia, persamaan

Friedmann dapat dibentuk sedemikian rupa sehingga dapat memberikan gambaran

evolusi faktor skala terhadap waktu kosmik.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Persamaan Medan Einstein Teori dRGT

Persamaan medan Einstein konvensional dapat diturunkan dari kalkulus

variasi (lampiran C). Melalui cara yang sama akan diturunkan persamaan medan

Einstein teori dRGT dengan melakukan aksi pada Lagrangian (30.a):

(31)

Untuk mendapatkan persamaan medan Einstein variasikan terhadap metrik

,

(32)

Sebagai catatan, alam semesta datar memiliki indeks kurvatur k=0 dan

metrik fiducial yaitu metrik minkowski . Tensor

pada persamaan (29)

menjadi:

9

(33)

Variasi tensor (33):

Kemudian diperoleh:

(34.a)

(34.b)

(34.c)

2

-

(34.d)

Persamaan (34.a)-(34.d) memberikan pemecahan variasi suku-suku ruas kanan

persamaan (32).

(35.a)

(35.b)

[

[

][ [ ]

(35.c)

[

[

][ [

][ [ ]

(35.d)

(35.e)

Substitusi persamaan (35.a)-(35.e) kedalam persamaan (32).

10

-

-

- -

-

-

-

-

-

(36)

Karena sedangkan

sembarang maka diperoleh persamaan medan

Einstein teori dRGT:

(37.a)

Atau dalam bentuk kovarian ditulis:

(37.b)

dengan

(37.c)

Untuk limit graviton takbermassa , persamaan medan Einstein teori dRGT

kembali menjadi persamaan medan Einstein biasa.

Persamaan Friedmann Teori dRGT

Persamaan Friedmann diperoleh dari persamaan medan Einstein yang

diimplementasikan dalam metrik FLRW. Bentuk ekivalen persamaan (37.b) yaitu.

(38)

Bongkar tensor Ricci persamaan (38) menggunakan persamaan (6). Kemudian

substitusi metrik (11) dengan k=0 sehingga diperoleh komponen tensor Ricci

(Lampiran D):

-

(39)

11

-

Distribusi materi dan energi alam semesta dapat didekati dengan tensor

energi-momentum fluida ideal. Substitusi metrik (11) kedalam tensor energi-

momentum (13), sehingga bentuk suku kedua persamaan (14):

-

- -

-

-

-

- -

-

- -

-

- -

-

- -

-

- -

-

- -

(40)

Persamaan (39) dan (40) dapat digabungkan sesuai persamaan (38):

(41.a)

(41.b)

(41.c)

(41.d)

Suku terakhir persamaan (41) harus diperbaiki dengan menentukan kuantitas .

Mengacu persamaan (33) untuk metrik FLRW datar dan metrik fidusial

Minkowski diperoleh:

; (42)

Diperoleh komponen pada persamaan (37.c):

(43.a)

(43.b)

(43.c)

(43.d)

9

(43.e)

Persamaan (41.b), (41.c), dan (41.d) menjadi ekivalen sehingga persamaan (41)

tereduksi:

(44.a)

(44.b)

12

Sedikit teknik aljabar sederhana membawa kepada bentuk berikut ini:

(45.a)

(45.b)

Inilah Persamaan Friedmann teori dRGT. Jika diperiksa pada limit maka

persamaan (45.a) dan (45.b) kembali menjadi persamaan (12.a) dan (12.b) yang

merupakan persamaan Friedmann biasa.

Ekspansi Alam Semesta dan Massa Graviton

Faktor skala merupakan kunci untuk mempelajari dinamika kosmologi.

Informasi mengenai faktor skala dapat diketahui dengan mencari solusi persamaan

diferensial (45.a) dan (45.b). Namun parameter pada persamaan tersebut belum

dinyatakan dalam kuantitas yang terukur. Sebelum membahas lebih jauh,

nyatakan persamaan (45.b) dalam bentuk berikut:

(46)

Kerapatan harus memenuhi hukum kekekalan energi sehingga berlaku

perbandingan (17). Asumsikan fluida alam semesta terdiri dari materi dan radiasi:

(47)

dengan

berturut-turut merupakan kerapatan massa, kerapatan

radiasi, dan faktor skala masa kini . Untuk alasan teknis dibuat beberapa

definisi:

(48)

Faktor skala selanjutnya diungkapkan dalam bentuk . Disini juga

diperkenalkan parameter Hubble H, parameter takberdimensi untuk kerapatan

fluida alam semesta dan untuk graviton. Kemudian persamaan (46) menjadi:

13

Langkah selanjutnya yaitu membagi setiap suku dengan kuadrat dari parameter

Hubble masa kini, .

(49)

Definisikan parameter waktu kosmik takberdimensi:

(50)

Sehingga diperoleh:

(51)

Perlu diperhatikan bahwa setiap suku persamaan diatas merupakan kuantitas

takberdimensi.

Hasil observasi kosmologi memberikan nilai-nilai:

Dan untuk sangat besar suku ketiga, keenam, dan ketujuh persamaan (51)

dapat diabaikan.

(52)

Persamaan (49) menjadi:

(53)

Pada masa kini dan , diperoleh normalisasi:

(54)

Karena dan - memberikan nilai . Solusi

numerik persamaan (52) untuk tiga jenis proporsi ( ) ialah:

14

Garis titik-titik pada gambar 1 merupakan kondisi ketika =0, atau

representasi dari persamaan Friedmann konvensional. Terlihat dari bentuk kurva

cekung kebawah persamaan Friedmann konvensional menghendaki ekspansi alam

semesta diperlambat. Hal ini bertentangan dengan hasil observasi supernova tipe

Ia yang mendapati ekspansi alam semesta seharusnya dipercepat8. Melaui

pendekatan teori gravitasi bermassa nonlinier (Nonlinear Massive Gravity

Theory), yakni teori dRGT, kurva ekspansi alam semesta ditunjukkan oleh garis

tebal. Pemberian massa graviton membuat kurva menjadi cekung keatas. Dengan

demikian teori dRGT dapat mendeskripsikan ekspansi dipercepat tanpa

membutuhkan energi gelap.

Selain itu diperoleh massa kritis yang ditunjukkan oleh garis putus-putus.

Kondisi ini terjadi ketika parameter kerapatan dan

. Massa graviton berdasarkan metode Extremely Low Energy (ELE)16

ialah

- . Melalui definisi (48) diperoleh nilai yang

memberikan massa kritis graviton:

Gambar 1 Grafik fungsi faktor skala terhadap parameter waktu kosmik

untuk tiga jenis proporsi ( ).

15

Massa kritis ini menjadi nilai minimum supaya ekspansi alam semesta tidak

diperlambat.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Teori dRGT merupakan pendekatan gravitasi bermassa nonlinier yang

bebas diskontinuitas vDVZ dan medan hantu Boulware-Deser. Persamaan medan

Einstein dan persamaan Friedmann teori ini dapat kembali ke bentuk

konvensional untuk limit graviton takbermassa. Teori dRGT juga memberikan

model alam semesta yang relevan dengan fenomena ekspansi dipercepat tanpa

membutuhkan energi gelap. Selain itu dengan mengambil massa graviton

- dari metode ELE, diperoleh massa kritis graviton

- sebagai massa yang membatasi model alam semesta dipercepat

dan diperlambat.

Saran

Penelitian ini hanya membahas model alam semesta datar sehingga metrik

fiducial menjadi metrik Minkowski dan indeks kurvatur sama dengan nol. Untuk

penelitian selanjutnya ada baiknya meninjau untuk kasus metrik fiducial umum.

DAFTAR PUSTAKA

1. Wald RM. 1984. General Relativity, The University of Chicago Press,

Chicago. Hal. 3, 67.

2. Hartle James B. 2003. Gravity, An Introduction to Einstein General

Relativity, Addison Wesley, New York. Hal. 10, 347.

3. Song YS, Koyama K. 2009. Consistency test of general relativity from large

scale structure of the Universe. arXiv:0802.3897v3 [astro-ph]. Hal. 1.

4. Hinterbichler, Kurt. 2011. Theoretical aspects of massive gravity.

arXiv:1105.3735v2 [hep-th] 2 Oct 2011. Hal. 10-11, 13, 23-30.

5. Alberte, Lasma. 2013. Non-linear Massive Gravity. [Disertasi]. Munchen: an

der Fakultat fur Physik der Ludwig-Maximilians-Universitat. Hal. 3-4.

6. Anugraha R. 2011. Teori Relativitas dan Kosmologi. Yogyakarta (ID): UGM

Press. Hal. 61-70.

7. Hidayat, T. 2010. Teori Relativitas Einstein Sebuah Pengantar. Penerbit ITB,

Bandung. Hal. 183, 189.

8. Hobson, H.R. Efstathiou, G. Lasenby, A.N. 2006. General Relativity an

Introduction for Physicists. Cambridge University Press, Cambridge. Hal.

188, 376, 379-380, 524, 545-546.

9. Carol S. 2004. Spacetime and Geometry An Introduction to General

Relativity. Addison Wesley, San Francisco. Hal. 274-275.

10. Weinberg, S. 1972. Gravitation and Cosmology: Principles and Application

of The General Theory of Relativity. Jhon Wiley & Sons, Inc. New York,

London, Sydney, Toronto. Hal. 412, 473.

11. Hassan, S. F. 2011. On non-linear actions for massive gravity.

arXiv:1103.6055v3 [hep-th] 1 Jul 2011. Hal. 1, 3.

16

12. Marco Crisostomi. 2014. Massive Gravity. [Disertasi]. Université Paris

Diderot. Hal. 5.

13. Babichev, E. Deffayet, C. 2013. An introduction to the Vainshtein

mechanism. arXiv:1304.7240v2 [gr-qc] 6 Sep 2013. Hal. 18.

14. C. de Rham, G. Gabadadze, A. Tolley. 2011. Ghost free massive gravity in

the Stuckelberg language. arXiv:1107.3820v1 [hep-th] 19 Jul 2011. Hal. 1-2.

15. Fasiello Matteo, Andrew J. Tolley. 2012. Cosmological perturbations in

massive gravity and the Higuchi bound. arXiv:1206.3852v3 [hep-th] 5 Jul

2012. Hal. 3-4.

16. Valev, Dimitar. 2005. Neutrino and graviton rest mass estimations by a

phenomenological approach. arXiv.org:hep-ph/0507255. Hal. 7.

17

LAMPIRAN

Lampiran A Konvensi Penjumlahan Einstein

Persamaan-persamaan dalam tulisan ini menggunakan konvensi

penjumlahan Einstein. Jika di dalam sebuah bentuk terdapat sepasang indeks yang

sama dengan salah satu terletak diatas dan yang lainnya dibawah, maka

penjumlahan harus dilakukan terhadap bentuk tersebut meliputi jangkauan indeks

berulang. Contoh, untuk =0,1,2,..., N:

18

Lampiran B Satuan Alam (Natural Unit)

Secara umum penggunaan satuan alam (natural unit) dalam fisika partikel

dan kosmologi berarti:

Dimana , c, dan adalah reduksi konstanta Planck, kecepatan cahaya, dan

konstanta Boltzmann. Semua besaran dinyatakan dalam kuantitas energi dengan

satuan eV. Contoh:

9

Satuan Nilai Derivasi

1 eV-1

panjang 1.97 x 10-7

m

1 eV massa 1.78 x 10-36

kg

1 eV-1

waktu 6.58 x 10-16

s

1 eV suhu 1.16 x 104 K

19

Lampiran C Persamaan Medan Einstein dari Prinsip Aksi

Bentuk paling sederhana prinsip aksi gravitasi disebut prinsip aksi

Einstein-Hilbert:

Persamaan medan Einstein diperoleh dari variasi terhadap :

Suku kedua dan ketiga perlu disesuaikan dalam bentuk variasi .

-

-

-

-

-

- -

-

Berdasarkan teorema divergensi ialah integral terhadap permukaan tertutup

dengan syarat batas akan membuat . Sisanya tinggal dan sehingga:

Karena secara umum dan sembarang, maka kondisi yang harus dipenuhi

agar variasi adalah:

Untuk persamaan medan dengan kehadiran materi akan memberikan:

Ekspresi adalah kerapatan lagrangian Einstein-Hilbert.

Variasi S terhadap :

20

Dari hasil sebelumnya variasi Einstein-Hilbert menghasilkan:

Kemudian definisikan tensor energi-momentum:

Sehingga diperoleh persamaan medan Einstein dengan kehadiran materi:

Dengan diperoleh dari pendekatan Newton.

21

Lampiran D Tensor Ricci dalam Metrik Friedmann-Lemaitre-Robertson-

Walker

Kuadrat jarak antara dua buah titik di dalam metrik FLRW diberikan:

Komponen tensor metrik kovarian yang bernilai tidak nol adalah:

Karena

komponen tensor metrik kontravarian yaitu:

Simbol Christoffel dapat dihitung dengan menggunakan formula:

Dalam metrik FLRW komponen-komponen simbol Crhistoffel yang tidak bernilai

nol:

o

ot

Kemudian besaran tensor Ricci dirumuskan sebagai:

Dari simbol christoffel diatas diperoleh komponen-komponen tensor Ricci:

22

Lampiran E Kode Matlab Gambar 1

Fungsi utama:

Fungsi panggilan:

function [x,y,z,w]=FdRGTrk4(fdrgt,friedmann,friedmann1,

x0,y0,z0,w0,xt,n) h=(xt-x0)/n; x=zeros(n+1,1); y=zeros(n+1,1); z=zeros(n+1,1); w=zeros(n+1,1); x(1)=x0; y(1)=y0; z(1)=z0; w(1)=w0; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; ky1=h*fdrgt(x(i),y(i)); ky2=h*fdrgt(x(i)+h/2,y(i)+ky1/2); ky3=h*fdrgt(x(i)+h/2,y(i)+ky2/2); ky4=h*fdrgt(x(i)+h,y(i)+ky3); y(i+1)= y(i)+(ky1+2*ky2+2*ky3+ky4)/6; end for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; kz1=h*friedmann(x(i),z(i)); kz2=h*friedmann(x(i)+h/2,z(i)+kz1/2); kz3=h*friedmann(x(i)+h/2,z(i)+kz2/2); kz4=h*friedmann(x(i)+h,z(i)+kz3); z(i+1)= z(i)+(kz1+2*kz2+2*kz3+kz4)/6; end for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; kw1=h*friedmann1(x(i),w(i)); kw2=h*friedmann1(x(i)+h/2,w(i)+kw1/2); kw3=h*friedmann1(x(i)+h/2,w(i)+kw2/2); kw4=h*friedmann1(x(i)+h,w(i)+kw3); w(i+1)= w(i)+(kw1+2*kw2+2*kw3+kw4)/6; end plot(x,y, '-k'); %marker: solid; hold on; plot(x,z, ':k'); %marker: dashed; hold on; plot(x,w, '--k'); %marker: dotted; xlabel('Parameter waktu kosmik','fontname', 'times new roman',

'fontsize', 12); ylabel('Faktor skala','fontname', 'times new roman', 'fontsize',

12);

function v = fdrgt(x,y)

Omo = 0.3; Oro = 0.00005; Ogo = 0.7;

v= sqrt(Omo/y+Oro/(y^2)+Ogo*y^2);

23

Command window:

function v = friedmann(x,z)

Omo = 1; Oro = 0.00005; Ogo = 0;

v= sqrt(Omo/z+Oro/(z^2)+Ogo*z^2);

function v = friedmann1(x,w)

Omo = 0.85; Oro = 0.00005; Ogo = 0.15;

v= sqrt(Omo/w+Oro/(w^2)+Ogo*w^2);

[x,y,z,w]=FdRGTrk4(@fdrgt,@friedmann,@friedmann1, 0,1,1,1,1.5,100)

24

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 24 Juli

1994 dari pasangan Ahmad Jahid dan Dede

Khoiriyah sebagai anak pertama dari lima

bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan

sekolah dasar pada tahun 2006 di SDN 2 Ender

Cirebon, kemudian penulis melanjutkan pendidikan

di SMPN 1 Babakan (2006-2009) dan di SMAN 1

Babakan (2009-2012). Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian

Bogor di Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

pada tahun 2012 melalui jalur SMPTN Undangan dan menerima beasiswa

Bidikmisi.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai Asisten Praktikum

mata kuliah Fisika Dasar 2 (2014), Gelombang (2015-2016), dan Pendidikan

Agama Islam (2016). Selain itu penulis aktif sebagai pengurus Dewan Musholah

Asrama TPB IPB (2012-2013), Lembaga Dakwah Kampus Al Hurriyyah (2012-

2014), Paguyuban Bidikmisi IPB (2013), Keluarga Muslim Fisika (2014-2015),

Salam Islamic Student Center (2014), Ketua Departemen Sains dan Teknologi

Himpunan Mahasiswa Fisika IPB (2014-2015), serta Ketua Panitia Physics Expo

2015. Penulis juga merupakan pengajar fisika Tutorial Bidikmisi IPB (2013),

truktur T h L b P j r Qur’ M j Al Hurr yy h (2014-2015),

t ff p j r B Tul Qur’ MA Kor t (2015) serta pengajar fisika dan

matematika Bimbingan Belajar Primagama cabang Dramaga dan Ciomas (2014-

2016).