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Massimi e minimi assoluti vincolati
Esercizi tratti da prove d’esame
2
2 2 2
Sia , , , .
Sia Q= , : 1, 4, 4 4 .
Sia M (rispettivamente m) il valore massimo (rispettivamente minimo) assoluto
assunto dalla restrizione di a .
Quanto vale - 3 ?
x y R f x y y x
x y R x y x x y
f Q
M m
2
x y
*
* f ' , 1,f ' , 1;
non ha punti stazionari e non ha punti singolari
* Q è chiuso e limitato ed è continua in Q (ha derivate prime parziali continue), quindi
la ammette massimo e
f C R
x y x y
f
f
f
minimo assoluti in Q.
* M ed m sono assunti nel contorno di Q
Rappresentiamo Q e le curve di livello: y-x=costante
4y x
8y x y x
8 assunto in -4,43 8 12 20
4 assunto in AB
MM m
m
A
B
2 2 2Q= , : 1, 4, 4 4x y R x y x x y
2 2 2
2 2 2
Sia , , ,
Sia Q= , : 1, 4, 4 4 .
Sia M (rispettivamente m) il valore massimo (rispettivamente minimo) assoluto
assunto dalla restrizione di a .
Quanto vale - 3 ?
x y R f x y x y
x y R x y x x y
f Q
M m
2
x y
*
* f ' , 2 ,f ' , 2 ;
non ha punti stazionari (0,0) Q e non ha punti singolari
* Q è chiuso e limitato ed è continua in Q (ha derivate prime parziali continue), quindi
la ammett
f C R
x y x x y y
f
f
f
e massimo e minimo assoluti in Q.
* M ed m sono assunti nel contorno di Q
Variante del caso precedente
Rappresentiamo Q e le curve di livello: x2+ y2=costante 2 2 2Q= , : 1, 4, 4 4x y R x y x x y
2 2 1x y
2 2 32x y
2 2
32 assunto in -4,4 , 4,43 32 3 29
1 assunto in tutti i punti della circonferenza 1
MM m
m x y
2 2 2
2
2
Sia , , ,
Sia Q= , : 5, 5, , ,dove
T= , : 1, 1, ,
Sia M (rispettivamente m) il valore massimo (rispettivamente minimo) assoluto
assunto dalla restrizione di a .
Quanto vale
x y R f x y x y
x y R x y x y T
x y R x y x y T
f Q
5 ?5
Mm
2
x y
*
* f ' , 2 ,f ' , 2 ;
non ha punti stazionari (0,0) Q e non ha punti singolari
* Q è chiuso e limitato ed è continua in Q (ha derivate prime parziali continue), quindi
la ammett
f C R
x y x x y y
f
f
f
e massimo e minimo assoluti in Q.
* M ed m sono assunti nel contorno di Q
Rappresentiamo Q e le curve di livello: x2+ y2=costante
2 2Q= , : 5, 5, , ,dove T= , : 1, 1, ,x y R x y x y T x y R x y x y T
2 2 1x y
2 2 50x y
50 assunto in 5,5 , 5, 5 , 5, 5 , 5,55 10 5 15
51 assunto in 1,0 , 0,1 , 1,0 , 0, 1
M Mm
m
2
2
2
Sia , , ,
Sia Q= , : 5, 5, , ,dove
T= , : 1, 1, ,
Sia M (rispettivamente m) il valore massimo (rispettivamente minimo) assoluto
assunto dalla restrizione di a .
Quanto vale
x y R f x y x y
x y R x y x y T
x y R x y x y T
f Q
M
2 ?m
Variante del caso precedente
2
x y
*
* f ' , 1,f ' , 1;
non ha punti stazionari e non ha punti singolari
* Q è chiuso e limitato ed è continua in Q (ha derivate prime parziali continue), quindi
la ammette massimo e
f C R
x y x y
f
f
f
minimo assoluti in Q.
* M ed m sono assunti nel contorno di Q
Rappresentiamo Q e le curve di livello: y=-x+costante
2 2Q= , : 5, 5, , ,dove T= , : 1, 1, ,x y R x y x y T x y R x y x y T
10y x
10y x
10 assunto in 5,5
2 10 2 10 3010 assunto in 5, 5
MM m
m
2 2 2
2 2 2
Sia , , ,
Sia Q= , : 1, 8 1, 8 .
Sia M (rispettivamente m) il valore massimo (rispettivamente minimo) assoluto
assunto dalla restrizione di a .
Quanto vale -8 ?
x y R f x y x y
x y R x y x y
f Q
M m
2
x y
*
* f ' , 2 ,f ' , 2 ;
non ha punti stazionari (0,0) Q e non ha punti singolari
* Q è chiuso e limitato ed è continua in Q (ha derivate prime parziali continue), quindi
la ammett
f C R
x y x x y y
f
f
f
e massimo e minimo assoluti in Q.
* M ed m sono assunti nel contorno di Q
Rappresentiamo Q e le curve di livello: x2+ y2=costante
2 2 2Q= , : 1, 8 1, 8 .x y R x y x y
2 2 128x y
2 2 1x y
2 2
128 assunto in -8,8 , 8, 88 128 8 120
1 assunto in tutti i punti della circonferenza 1
MM m
m x y
2 2 2
2 2 2
Sia , , ,
Sia Q= , : 1,0 6,0 2 .
Sia M (rispettivamente m) il valore massimo (rispettivamente minimo) assoluto
assunto dalla restrizione di a .
Quanto vale 2 ?
x y R f x y x y
x y R x y x y
f Q
M m
2
x y
*
* f ' , 2 ,f ' , 2 ;
non ha punti stazionari (0,0) Q e non ha punti singolari
* Q è chiuso e limitato ed è continua in Q (ha derivate prime parziali continue), quindi
la ammett
f C R
x y x x y y
f
f
f
e massimo e minimo assoluti in Q.
* M ed m sono assunti nel contorno di Q
Rappresentiamo Q e le curve di livello: y=-x+costante
2 2 2 Q= , : 1,0 6,0 2x y R x y x y
8y x 1y x
8 assunto in 6,22 8 2 10
1 assunto in 0,1 e 1,0
MM m
m
2 2
2 2 2
Si consideri , nel piano xy, il quadrato Q di vertici 6,0 , 0,6 , -6,0 , 0, 6
Sia D= , : 4 .
Sia , , , .
Sia M (rispettivamente m) il valore massimo (rispettivamente minimo) assoluto
assunto
x y Q x y
x y R f x y x y
dalla restrizione di a .
Allora 2 vale...
f Q
M m
2
x y
*
* f ' , 2 ,f ' , 2 ;
non ha punti stazionari (0,0) Q e non ha punti singolari
* Q è chiuso e limitato ed è continua in Q (ha derivate prime parziali continue), quindi
la ammett
f C R
x y x x y y
f
f
f
e massimo e minimo assoluti in Q.
* M ed m sono assunti nel contorno di Q
Rappresentiamo D e le curve di livello: x2+ y2=costante
2 2D= , : 4 ,dove Q è il quadrato di vertici 6,0 , 0,6 , -6,0 , 0, 6x y Q x y
2 2 36x y
2 2 4x y
2 2
36 assunto in 6,0 , 0,6 , -6,0 , 0, 62 36 2 4 44
4 assunto in tutti i punti della circonferenza 4
MM m
m x y
