MAT-27 — Lista-07 — Novembro/2009——————————————————————————————————————————————————————1. Sejam (U, 〈 , 〉) espaco euclidiano (real com produto interno), V ⊂ U um subespaco vetorial e

T ∈ L(V, U) uma transformacao linear com autovalor λ e autovetor associado v. Mostre que

λ =〈T (v), v〉

〈v, v〉.

2. Dada a matriz A =

a 0 00 b c

0 c b

:

(a) Mostre que seus autovalores sao λ1 = a, λ2 = b + c e λ3 = b − c.

(b) Ortonormalize uma base de R3 constituıda de autovetores de A.

3. Considere T ∈ L(R3) cuja matriz em relacao a base canonica e

1 2 0−1 −1 1

0 1 1

.

(a) Determine os autovalores λi de T e os subespacos associados Uλi.

(b) Conclua que T nao e diagonalizavel.

(c) Determine a matriz de T em relacao a uma base B = {v1, v2, v3} de R3 sendo v1 e v2 autovetores

de T e v3 ∈ [v1, v2]⊥.

4. Sejam U espaco vetorial de dimensao finita com produto interno, T ∈ L(U) e T ∗ operador adjuntode T, isto e, 〈T (u), v〉 = 〈u, T ∗(v)〉 para todo u, v ∈ R

2. Se λ e β sao autovalores de T e T ∗,

respectivamente, com λ 6= β, e u e v sao os respectivos autovetores associados, mostre que u⊥v.

5. Sejam V um espaco vetorial real de dimensao n, T ∈ L(V ) um operador linear auto-adjunto (T = T ∗)e v um autovetor de T.

(a) Mostre que [v], o espaco vetorial gerado por v, e invariante por T, isto e, se w ∈ [v], entaoT (w) ∈ [v].

(b) Mostre que [v]⊥, o complemento ortogonal de [v], tambem e invariante por T.

6. De a transformacao linear que descreve o movimento rıgido no plano que leva o segmento de extremos(−6, 2) e (−1, 2) no segmento de extremos (−2, 6) e (1, 2). Mostre que esta transformacao e ortogonal.

7. Seja T ∈ L(R2) a projecao sobre o eixo x, paralelamente a reta y = ax, a 6= 0, isto e, para todo(x, y) ∈ R

2 tem-se T (x, y) = (u, 0) tal que (x, y) − T (x, y) pertence a reta y = ax.

(a) Exprima u em funcao de x e de y e escreva a matriz de T relativamente a base canonica de R2.

(b) Obtenha a matriz de T para o caso da projecao ortogonal ao eixo x.

8. Seja M =

[

a 00 b

]

a matriz de T ∈ L(R2). Considerando que M =

[

a 00 1

]

.

[

1 00 b

]

, caracterize

geometricamente (acao na base canonica?) os operadores auto-adjuntos definidos por:

(a) a 6= 0; b = 0.

(b) a = 0; b 6= 0.

(c) a 6= 0; b 6= 0.

9. Seja M =

[

−1 33 −1

]

a matriz de um operador linear T com relacao a base canonica de R2.

(a) Diagonalize o operador T.

(b) Interprete geometricamente o efeito de T. Esta interpretacao e compatıvel com M? Justifique.

1

(c) Obtenha a imagem por T do quadrado de vertices (0, 0), (1, 1), (0, 2) e (−1, 1).

10. Seja E um espaco vetorial:(i) o segmento de reta que une dois elementos u, v de E e o conjunto suv = {(1−t)u+tv, ∀t ∈ [0, 1]};

(ii) um conjunto convexo em E e o subconjunto U ⊂ E tal que o segmento de reta que une quaisquerdois pontos de U esteja inteiramente contido em U, isto e, ∀u, v ∈ V, suv ⊂ V

(iii) a reta que passa por dois pontos u, v de E e o conjunto ruv = {(1 − t)u + tv, ∀t ∈ R};

(iv) uma variedade afim em E e o subconjunto V ⊂ E tal que a reta que passa por quaisquer doispontos de V esteja inteiramente contida em V, isto e, ∀u, v ∈ V, ruv ⊂ V.

OBS: um segmento de reta, um disco, uma esfera, um paralelepıpedo e uma piramide sao exemplos deconjuntos convexos limitados. Um subespaco vetorial proprio U ⊂ E e convexo, porem nao limitado.

Mostre que todo subespaco vetorial U ⊂ E, proprio ou improprio, e uma variedade afim.

11. Obtenha os numeros a, b, c e d tais que a variedade afim definida pela equacao ax + by + cz + d = 0contenha os pontos p1 = (1, 0, 0), p2 = (0, 1, 0) e p3 = (0, 0, 1).

12. Dados os espacos vetoriais E e F, uma transformacao T ∈ L(E, F ) e denominda transformacao

afim quando, ∀u, v ∈ E, resulta T ((1 − t)u + tv) = (1 − t)T (u) + tT (v) , ∀t ∈ R.

Mostre que:

(a) Toda variedade afim V ⊂ E e transformada por T numa variedade afim V ′ ⊂ F.

(b) Se T (o) = o entao, escrevendo tv = (1 − t)o + tv, resulta T (tv) = tT (v), ∀v ∈ E, ∀t ∈ R.

(c) Ainda supondo T (o) = o, e dado que T (1

2(u + v)) = 1

2T (u + v), entao T (u + v) = T (u) + T (v),

∀u, v ∈ E.

(d) Para todo b ∈ F, a transformacao S ∈ L(E, F ) definida por S(u) = T (u) + b tambem e afim.

(e) Conclua entao que:

T ∈ L(E, F ) e uma transformacao afim se, e somente se, existem uma transformacao

linear A ∈ L(E, F ) e um vetor b ∈ F tais que T (u) = A(u) + b, ∀u ∈ E.

13. Resolva Au = b dados A =

2 −5 4 1 −11 −2 1 −1 1

−1 4 −6 −2 1

e b =

−35

−10

14. Seja D ∈ L(Pn(R)) o operador derivada.

(a) Obtenha os autovalores e autovetores de D.

(b) Se p0 e um vetor de Pm(R), obtenha S = {p ∈ Pn(R) : L(p)(x) = D2(p)(x) − p0}.

(c) Determine N(L) e N(D2).

(d) Mostre que podemos escrever S = {p1} + N(D2), onde p1 e um vetor de Pm+2(R) (p1 dependede p0).

15. Seja V = C∞(R) e T ∈ L(V ) dada por T = D2 + D − 2I:

(a) Determine λ ∈ R de modo que as funcoes do tipo eλx pertencam ao nucleo de T.

(b) Existem funcoes em N(T ) que nao sejam da forma eλx? Por que?

(c) O que se pode afirmar sobre a dim N(T ) ?

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