-
8/2/2019 mat021-certamen_1-2.2009-pauta
1/3
P A U T A C E R T A M E N 1
1. Sean f(x) = x2 2 y g(x) = 2x + 1 funciones definidas en R;
entonces
(f g)(x) = f(g(x)) = f( 2x + 1) = (2x + 1)2 2 = 4x2 + 4x 1
2. Las reas de un cuadrado de lado m, de un rectngulo de lados m
y 2m y de un tringulode base m y altura m estn, respectivamente, en
la razn de:
2:4:1, ya que, rea cuadrado: m2, rea rectngulo: 2 m2, rea
tringulo: 12
m2.
3. Entre las siguientes ecuaciones, cul de ellas podra
representar mejor la grfica de lafigura? Respuesta: d.
a) y = x2 + 1
b) y = (x + 1)2
c) y = |x 1|
d) y = (x 1)2
e) y = |x| + x + 1x
y
(1, 0)
(0, 1)
4. Si la proposicin ((p q) r) toma el valor de verdad V y la
proposicin (s (q p))el valor de verdad F, entonces:
((p q) r) V (p q) es V y r es V(s (q p)) F s es V y (q p) es
F
lo que no es posible.
5. En qu porcentaje debe aumentar el numerador de la
fraccin5
8para que valga 0,75?
0, 75 =3
4=
6
8. Luego, debe aumentar en 1 sobre 5, es decir, 20 %.
6. Si f(x) =x
x 1 , exprese f(3x) en trminos de f(x).
Sea y = f(x) =x
x 1Luego: xy
y = x de donde x =
y
y 1f(3x) =
3x
3x 1 =3yy1
3yy1
1 =3y
3y y + 1 Luego: f(3x) =3f(x)
2f(x) + 1
-
8/2/2019 mat021-certamen_1-2.2009-pauta
2/3
7. La suma de las races de la ecuacin1
x a +1
x b = 1 es:Multiplicando la ecuacin por (x a) (x b) obtenemos: x
b + x a = (x a) (x b)es decir, x2 (a + b + 2)x + ab + a + b = 0 de
donde la suma pedida es a + b + 2
8. El dominio de f(x) =
2 x + x + 1 es:2 x 0 x + 1 0 de donde Dom f = [1, 2]
9. Para construir una casa se usaron 180 [m3] de concreto. Para
la construccin de unatercera parte de la casa se ocup una mezcla de
1 : 3 (una parte de cemento por trespartes de arena) y para el
resto de la construccin se ocup una mezcla de 1 : 4 (unaparte de
cemento por cuatro partes de arena). Cuntos metros cbicos de
cemento seutilizaron en total?
En 60[m3]: 1 parte de cemento por 3 de arena. Luego, en 60[m3],
15 son de cemento.
En 120[m3]: 1 parte de cemento por 4 de arena. Luego, en
120[m3], 25 son de cemento.
As, se usaron 39[m3] de cemento.
10. Cul es el mximo valor en R que toma la funcin dada por f(x)
= 2 |x 2|?|x 2| 0 x R, quad luego, |x 2| 0 por lo que 2 |x 2| 2.Es
decir, el valor mximo que toma f es 2.
11. Los puntos (0, 0) y (c, d) estn sobre la circunferencia C y
la recta L : dx cy = 0 pasapor el centro de sta. Determinar las
coordenadas del centro.
Mtodo I: C : (xh)2+(yk)2 = r2 (0, 0) C h2 + k2 = r2
(c, d)
C (c
h)2 + (d
k)2 = r2
(h, k) L h = c kd
. Igualando las ecuaciones de arriba y reemplazando:
h2 + k2 = (c h)2 + (d k)2 0 = c2 2c kd
c + d2 2kd
Luego, c2 + d2 = 2k(d + c2
d) k = d
2 h = c
2 (h, k) =
c
2,
d
2
Mtodo II: Ntese que (0, 0) y (c, d) L y a C simultneamente, en
otras palabrasL restringida a C se puede considerar como una cuerda
que une ambos puntos sobre C.Sin embargo L pasa por el centro de C,
luego L restringida a C es un dimetro. Dado
que el punto medio de un dimetro corresponde al centro, se
concluye que el centro deC es el punto (c/2, d/2)
12. Si A y B son conjuntos en un universo U tales que [(Ac B) (A
Bc)] = B entoncespodemos concluir que:
Probamos las alternativas: a): si A = [(U B) ( Bc)] = B = B
OKb): A = Bc B Bc = U NO. c):A = B = B NO (salvo B = ). etc.
-
8/2/2019 mat021-certamen_1-2.2009-pauta
3/3
13. Determine un valor positivo de t para que la ecuacin 4x2 +
4tx + t + 1 = 0 tenga unasola raz real.
El discriminante de la ecuacin cuadrtica debe ser 0, es decir:
(4t)244(t+1 ) = 0.
t2 t 1 = 0 t = 1
1 + 4
2=
1 52
t+ = 1 +
5
2
14. Si H hombres hacen un trabajo en D das, entonces H + r
hombres pueden hacer el
mismo trabajo en:Si H hombres hacen un trabajo en D das, 1
hombre hace el trabajo en H D das.Luego, H+ r hombres requieren
HD
H+ rdas
15. Se disea una caja con forma de paraleleppedo rectangular de
base cuadrada, de aristabasal x cm y altura h cm. Si contiene un
volumen de 32 cm3, determine el rea A de lasuperficie total de la
caja sin tapa en trminos de la arista basal.
Volumen del paraleleppedo: V = x2 h = 32 h = 32x2
Area del paraleleppedo: A(x) = x2 + 4 x h = x2 + 4 x32
x2= x2 +
128
x
16. Se sabe que las diagonales de un paralelgramo se cortan en
su punto medio. Considereel paralelgramo #ABCD, con A = (6, 2), B =
(2, 8), C = (2, 2) y D en eltercer cuadrante. Determine las
coordenadas de D.
Las coordenadas del punto medio de AC =
6 + 22
,2 2
2
= (2, 0)
Las coordenadas del punto medio de BD =
2 + xD2
,8 + yD
2
= (2, 0)
Por lo tanto: (xD, yD) = (2, 8)
17. La cnica dada por la ecuacin b2x2 + 25y2 25b2 = 0, b > 0
posee dos circunferenciasconcntricas, una inscrita y otra
circunscrita tal que la distancia entre stas es 3. El(los)valor(es)
de b es(son):
Escribimos la cnica en la formax2
25+
y2
b2= 1, luego los radios de las circunferencias
inscrita y circunscrita sern respectivamente: b y 5 si b < 5
5 y b si b > 5. valoresposibles de b sern: 5
b = 3
b = 2 b
5 = 3
b = 8
18. Determine el recorrido de la funcin definida por y = f(x)
=|x| 4x 4 .
Se tienen 2 casos: x 0, x = 4 f(x) = 1
x < 0 y = x 4x 4 xy 4y = x 4 x(y + 1) = 4y 4
x = 4y 1y + 1
< 0 (y 1 < 0 y + 1 > 0). As, Rec f =] 1, 1]
