Embed Size (px)
Citation preview
Kółko – klasa 3
propozycje
zestawów zadań
na kółko matematyczne
dla gimnazjum
klasa 2/3
opracowanie: agnieszka nowicka
nauczycielka matematyki zs 27 w bydgoszczy
ZESTAW 1strona 1
Kółko – klasa 3Zadanie 1
W kółku teatralnym liczba chłopców stanowi 80% liczby dziewcząt. Jaki procent liczby chłopców
stanowi w tym kółku liczba dziewcząt?
Zadanie 2
Po zmieszaniu 40% roztworu kwasu siarkowego z 60% roztworem tego kwasu i 5 litrami wody
otrzymano roztwór 20%. Gdyby zamiast 5 litrów wody dolano 5 litrów roztworu 80%, to otrzymano
by roztwór 70%. Ile było litrów roztworu 40%, a ile 60%?
Zadanie 3
W trójkącie równobocznym ABC na przedłużeniu wysokości CD poza punkt C odmierzono odcinek
CE równy bokowi trójkąta równobocznego. Oblicz miary kątów trójkąta ABE.
Zadanie 4
Rozwiąż równanie
Zadanie 5
Dla jakiej liczby a poniższy układ równań jest sprzeczny?
Zadanie 6
Średnia wieku drużyny piłkarskiej (11 osób) jest równa 22 lata. Jeden z piłkarzy otrzymał czerwoną
kartkę i zszedł z boiska. Średnia wieku pozostałych zawodników wynosi teraz 21 lat. Ile lat ma
piłkarz, który otrzymał czerwoną kartkę?
Zadanie 7
Oblicz pole zakreskowanej figury.
ZESTAW 2
Zadanie 1
strona 2
Kółko – klasa 3Udowodnij, że długość środkowej CM trójkąta ABC jest mniejsza od połowy sumy długości boków
AC i BC.
Zadanie 2
W trapezie równoramiennym o polu równym 1 stosunek długości podstaw jest równy 1 : 3. Oblicz
pola czterech trójkątów, na jakie dzielą trapez jego przekątne.
Zadanie 3
Dla jakich wartości m, z odcinków o długościach 2m + 2, m + 8, 3m + 1 można zbudować trójkąt
równoramienny?
Zadanie 4
W trapezie ABCD kąt przy wierzchołku B jest równy . Przekątna AC tworzy z bokiem AB
kąt Oblicz kąty trójkąta ACD wiedząc, że nierównoległe boki AD i BC trapezu zawierają się
w prostych prostopadłych. Podaj warunek rozwiązalności zadania.
Zadanie 5
Dla jakich wartości a i b, liczba siedmiocyfrowa o cyfrach 213a54b, jest podzielna przez 45?
Zadanie 6
Jeżeli w pewnej liczbie pięciocyfrowej dopiszemy jedynkę z lewej strony, to otrzymamy liczbę
sześciocyfrową. Jeżeli zaś jedynkę dopiszemy z prawej strony tej liczby, to otrzymamy liczbę
sześciocyfrową, która jest trzykrotnie większa od poprzednio otrzymanej liczby sześciocyfrowej.
Znajdź tę liczbę pięciocyfrową.
Zadanie 7
Dana jest funkcja:
.
Sporządź jej wykres.
ZESTAW 3
Zadanie 1
Rozwiąż równania z niewiadomą x, w których litery a, k, m oznaczają parametry:
a) ax – 9 = 3x - a2 b) (m - 2)x + 1 = 4x - 2k c) (k2 - 1)x = k2 + 1
strona 3
Kółko – klasa 3Zadanie 2
Cena biletu na mecz piłki nożnej wynosiła 150 zł. Gdy cenę obniżono okazało się, że na mecz
przychodziło o 50% widzów więcej, a dochód uzyskany ze sprzedaży biletów na jeden mecz wzrósł
o 25%. O ile obniżono cenę biletu?
Zadanie 3
Udowodnij, że w dowolnym trójkącie środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach.
Zadanie 4
W trójkącie ABC środkowe poprowadzone z wierzchołków A i B są prostopadłe. Znaleźć długość
boku AB wiedząc, że AC = b i BC = a.
Zadanie 5
Oblicz sumę: .
Zadanie 6
Która liczba jest większa czy ?
Zadanie 7
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych spełniających równanie y + 2x2 = 17x.
ZESTAW 4
Zadanie 1
W trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB = k oraz długość wysokości CC’ = h, wpisano kwadrat w ten
sposób, że dwa jego wierzchołki należą do boku AB, dwa pozostałe odpowiednio do boków AC i BC.
Oblicz długość boku tego kwadratu.
strona 4
Kółko – klasa 3Zadanie 2
Wykaż, że jeżeli a : b = c : d i a b, to .
Zadanie 3
Odcinek poprowadzony z jednego z wierzchołków prostokąta prostopadle do jego przekątnej, dzieli tę
przekątną na dwa odcinki o długościach 4 i 9. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Zadanie 4
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, których suma jest równa 192, a największy wspólny
dzielnik 24.
Zadanie 5
Przy wadze, dobrej zresztą, jest fałszywie umieszczona podziałka, wskutek czego w razie równowagi
wskazówka nie wskazuje na punkt zerowy; nadto talerze wagi nie są jednakowo ciężkie. Gdy talerze
zawiesimy, pokazuje wskazówka 3o w prawo; gdy talerze przemienimy, pokazuje wskazówka 7o
w lewo. O ile stopni byłaby wskazówka odchylona od zera, gdyby talerze były jednakowo ciężkie?
O ile stopni odchyla się wskazówka od tego położenia wskutek nierówności ciężarów talerzy?
Zadanie 6
Koło, kwadrat i trójkąt równoboczny mają taki sam obwód. Która z figur ma największe, a która
najmniejsze pole?
Zadanie 7
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej.
Wyznacz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt. Wynik
przedstaw w najprostszej postaci.
ZESTAW 5
Zadanie 1
Rozdziel 100 bochenków chleba między dziesięciu ludzi tak, by jeden marynarz, jeden podmajstrzy
i jeden strażnik, którzy znajdują się wśród nich, otrzymali porcje dwa razy większe niż inni.
Zadanie 2
strona 5
Kółko – klasa 3Rozdziel 100 miar ziarna między pięciu robotników tak, aby drugi otrzymał o tyle miar więcej
od pierwszego, o ile trzeci otrzymał więcej od drugiego, czwarty od trzeciego i piąty od czwartego.
Oprócz tego dwóch pierwszych robotników razem powinno otrzymać siedem razy mniej miar ziarna
niż trzej pozostali. Ile miar ziarna otrzymał każdy robotnik?
Zadanie 3
Bogaty rzymski patrycjusz miał jedną córkę, szczęśliwą młodą mężatkę, spodziewającą się potomka.
Umierając zostawił testament: jeśli urodzi mu się wnuk, otrzyma on majątku, a matka dziecka ;
jeśli urodzi się wnuczka, otrzyma ona majątku, a matka dziewczynki . Urodziły się bliźnięta różnej
płci. Jak podzielić spadek?
Zadanie 4
W trzech pociągach znajduje się odpowiednio: 462, 546 i 630 osób. W każdym wagonie tych trzech
pociągów jest taka sama liczba pasażerów. Z ilu wagonów składa się każdy pociąg?
Zadanie 5
Dziesięć ciężarówek wywiezie ziemię i gruz z wykopy w ciągu 5,5 dnia. W ciągu ilu dni można
wywieźć ten gruz i ziemię mając do dyspozycji jedenaście ciężarówek?
Zadanie 6
Piętnaście koni w ciągu 50 dni zjada 20 q owsa. Ile kwintali owsa zje 35 koni w ciągu 24 dni?
Zadanie 7
Płaski placek w kształcie czworokąta podzielono na 4 części, przecinając go
wzdłuż przekątnych. Jedna część została zjedzona. Pozostałe trzy części
zważono i okazało się, że ważą one odpowiednio 120 g, 200 g i 300 g (jak
zaznaczono na rysunku). Jaka była waga części, która została zjedzona?
ZESTAW 6 – zadania z wiekiem
Zadanie 1
Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat,
ile miała babcia wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia teraz?
strona 6
Kółko – klasa 3Zadanie 2
Gdy Jan zapytał Andrzeja ile ma lat usłyszał: Gdy ja byłem w Twoim wieku, byłeś ode mnie cztery razy
młodszy, a gdy Ty będziesz w moim wieku, ja będę miał 40 lat. Ile lat ma Jan, a ile Andrzej?
Zadanie 3
Siostra jest o 3 lata młodsza od brata. Brat ma obecnie 2 razy tyle lat, ile miała siostra wtedy, kiedy
brat miał tyle, ile siostra ma teraz. Ile lat ma siostra a ile brat?
Zadanie 4
Wojtek z Anią mają razem 31 lat. 5 lat temu Wojtek był starszy od Ani o 3 lata. Ile lat ma każde z nich
obecnie?
Zadanie 5
Przed 10 laty ojciec był 4 razy starszy od syna. Za 10 lat obaj będą mieli razem 100 lat. Ile lat ma
obecnie każdy z nich?
Zadanie 6
Pan Iksiński osiemnaście lat temu był dokładnie trzy razy starszy od swojego syna. Obecnie jest
od niego dwukrotnie starszy. Ile lat ma pan Iksiński, a ile jego syn?
Zadanie 7
Ojciec ma 40 lat, a syn 10. Za ile lat ojciec będzie n razy starszy od syna, gdzie n jest liczbą naturalną?
Zadanie 8
Paweł mówi do Piotra: „Mam trzy razy więcej lat, niż ty miałeś, kiedy ja miałem tyle lat, ile masz
teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieli łącznie 112 lat.” Ile lat ma Piotr?
Zadanie 9
Pewien chłopiec, zapytany o swój wiek, odpowiedział: „Dwadzieścia lat temu moja babcia była dwa
razy starsza od mojej mamy. Dziś moja babcia ma dwa razy tyle lat, ile moja mama w dniu, gdy ja się
urodziłem.” Ile lat ma ten mądrala?
Zadanie 10
strona 7
Kółko – klasa 3Bartek i tata Bartka mają razem 45 lat. Gdy urodziła się Bartek, jego tata miał 25 lat. Ile lat ma Bartek,
a ile jego tata?
Zadanie 11
Rok temu Basia była dwa razy starsza od Agnieszki. Dziś jest od niej starsza o 5 lat. Ile lat ma Basia,
a ile Agnieszka?
Zadanie 12
Pewien profesor Uniwersytetu Jagiellońskiego, zapytany o swój wiek, odpowiedział: „Siedem lat temu
moja uczelnia była ode mnie siedem razy starsza. Siedemdziesiąt lat temu była ode mnie starsza
siedemdziesiąt razy.” W którym roku ów profesor wypowiedział te słowa? Ile miał wtedy lat?
Uwaga: Uniwersytet Jagielloński został założony w 1364 roku.
Zadanie 13
Adaś jest o cztery lata starszy od Zosi. Zosia ma teraz dwa razy tyle lat, ile miała wtedy, gdy Adaś był
w jej wieku. Ile lat ma każde z nich?
Zadanie 14
Gdy Marek zapytał Jacka, ile ma lat, usłyszał: ”Gdy ja byłem w Twoim wieku, byłeś ode mnie trzy razy
młodszy, a gdy Ty będziesz w moim wieku, ja będę miał 35 lat.” Ile lat ma każdy z nich?
Zadanie 15
W 1800 roku ojciec miał 32 lata, a jego syn 5 lat. W którym roku ojciec miał 10 razy więcej lat
niż syn?
Zadanie 16
Ojciec ma 45 lat, starsza córka 13, syn 10, a młodsza córka 6 lat. Po ilu latach ojciec będzie miał tyle
lat, ile wszystkie dzieci razem?
Zadanie 17
Nauczyciel i jego uczeń mają razem 90 lat. Uczeń jest o tyle lat młodszy od swojego nauczyciela,
ile lat miał wtedy, gdy nauczyciel miał tyle lat, ile uczeń ma teraz. Oblicz wiek ucznia i nauczyciela.
Zadanie 18
strona 8
Kółko – klasa 3Suma lat dwóch braci jest równa wiekowi ich starszej siostry, której lata wyrażają się liczbą
dwucyfrową zapisaną dwiema jednakowymi cyframi. Młodszy z braci mówi: „Jeżeli miałbym dwa
razy więcej lat niż mam, to byłbym od siostry młodszy o 3 lata.” Na to starszy z braci mówi: „A ja
gdybym miał dwa razy tyle lat co mam, to byłbym o 3 lata starszy od swojej siostry.” Ile lat ma każde
z rodzeństwa, jeżeli wiesz, że wiek każdego wyraża się liczbą naturalną. Podaj wszystkie możliwe
rozwiązania.
Zadanie 19
Gdynia otrzymała prawa miejskie 570 lat później od Kazimierza Dolnego. W 1956 roku oba miasta
święciły jubileusz nadania praw, ale rocznica Kazimierza była 20 razy większa od rocznicy Gdyni.
W którym roku każde z tych miast otrzymało prawa miejskie?
ZESTAW 7
Zadanie 1
Pieszy przeszedł długości mostu AB i usłyszał nadjeżdżający z tyłu autobus. Gdyby pobiegł do A,
to właśnie tam spotkałby autobus, a gdy pobiegnie do B, to tam dogoni go autobus. Z jaką prędkością
biegnie pieszy, jeżeli autobus jedzie z prędkością 60 km/h?
strona 9
Kółko – klasa 3
Zadanie 2
Wiek pan Tumnusa w roku 1887 równał się sumie cyfr roku jego urodzenia. Ile miał on lat?
Zadanie 3
Paweł jedzie z ojcem samochodem z miejscowości A do C przez miejscowość B. Po pewnym czasie
znaleźli się w miejscowości D i Paweł powiedział: ”Patrz tato, stąd jest do C dwa razy tyle kilometrów
co do B”. Po przejechaniu 20 km od miejscowości D okazało się, że teraz do C jest trzy razy tyle
kilometrów co do B. Jak jest odległość z miejscowości B do C?
Zadanie 4
Z punktu A rzeki jednocześnie popłynęła piłka z prądem rzeki i pływak w przeciwnym kierunku.
Po 10 minutach pływak zawraca i dogania piłkę w odległości 1 km od punktu A. Jak jest prędkość
rzeki?
Zadanie 5*****
Kowalski pyta Malinowskiego: „Moi trzej synowie mają w sumie (tu podaje liczbę) lat, a najmłodszy
ma na imię Jaś. Ile lat ma każdy z nich?”. „Mam za mało danych” – odpowiada pan Malinowski.
„Rzeczywiście, zapomniałem dodać, że najstarszy syn jest blondynem” – odpowiada Kowalski.
„To mi już wystarcza” – cieszy się Malinowski. Ile lat mają synowie?
Zadanie 6
W trapezie podstawy mają długości 16 i 44, a ramiona 17 i 25. Oblicz długości przekątnych trapezu.
Zadanie 7
W trapezie odcinki łączące środek jednego z ramion z końcami drugiego ramienia podzieliły ten trapez
na trzy trójkąty. Wykaż, że pole jednego z tych trójkątów równa się sumie pól dwóch pozostałych.
ZESTAW 8
Zadanie 1
W trójkąt prostokątny wpisano okrąg. Punkt styczności z przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki p i q.
Oblicz pole trójkąta.
Zadanie 2
strona 10
Kółko – klasa 3Znajdź odjemną i odjemnik zastępując gwiazdki odpowiednimi cyframi - = 2.
Zadanie 3
Kierownik grupy wycieczkowej podał w hotelu, że wycieczka liczy 100 osób; z tego 78 osób pije
herbatę, 71 kawę, a 48 osób i herbatę, i kawę. Kierownik hotelu powiedział, że tak być nie może.
Dlaczego?
Zadanie 4
O liczbach x i y wiadomo, że spełniają równanie:
Która z tych liczb jest większa?
Zadanie 5
Różnica dwóch liczb jest równa 2, a różnica kwadratów tych liczb 100. Jakie to liczby?
Zadanie 6
W trójkącie ABC kąt A ma miarę 60o. Wysokości AA1 i CC1 przecinają się w punkcie O. Wiadomo, że
AO = OC = 1. Oblicz długości boków trójkąta ABC.
Zadanie 7
Dwa zwierzątka, ślimak i jeż wyruszyły jednocześnie z tego samego miejsca w kierunku rzeki
oddalonej o 1,2 km. Ślimak poruszał się ze stałą prędkością 12 m/min. Jeż zaś, pokonując 24 m
w ciągu każdej minuty, doszedł do rzeki, odpoczął 9 min i 50 sekund, a następnie ruszył w drogę
powrotną z prędkością 18 m/min. W jakiej odległości od miejsca startu spotkały się te zwierzęta?
ZESTAW 9
Zadanie 1
Dla jakiego a pole figury zakreskowanej
na rysunku jest równe 11,5?
Zadanie 2
strona 11
Kółko – klasa 3Jeden bok prostokąta skrócono, a drugi wydłużono o x procent. W wyniku tego pole zmniejszyło się
o mniej niż 2%. Wyznacz x wiedząc, że jest to liczba pierwsza.
Zadanie 3
Oblicz pola kół opisanego i wpisanego w trójkąt o bokach 6, 8, 10.
Zadanie 4
Wyznacz punkt a na osi OX, przez który należy
poprowadzić prostą prostopadłą do osi OX tak,
aby pola figur zakreskowanych były równe.
Zadanie 5
Marek i Andrzej porównali swoje oszczędności, po czym Marek stwierdził: „W sumie mamy 5000 zł.
Gdyby moje oszczędności wzrosły o 20%, a twoje zmalały o 20% mielibyśmy tyle samo.” Jaką część
oszczędności Andrzeja stanowi kwota, jaką posiada Marek? Ile procent oszczędności Marka stanowi
kwota, jaką posiada Andrzej?
Zadanie 6
Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację geometryczną.
Zadanie 7
Trapez o ramionach 3 i 5 jest opisany na okręgu, prosta łącząca środki ramion dzieli trapez na części,
których pola mają się jak 5 : 11. Oblicz długości podstaw trapezu.
ZESTAW 10
Zadanie 1
Proste 2x + y + 2 = 0 i 3x + 4y + 24 = 0 przecinają osie układu współrzędnych w punktach A, B, C, D.
Oblicz pole czworokąta ABCD i odległości danych punktów od początku układu współrzędnych.
Zadanie 2
Na kole jest opisany trójkąt równoboczny i w to samo koło jest wpisany trójkąt równoboczny. Różnica
długości boków tych trójkątów wynosi 6. Oblicz promień koła.
strona 12
Kółko – klasa 3Zadanie 3
Turysta powinien przyjść do schroniska o określonej porze. Przez godzinę szedł z prędkością 4 km/h,
ale obliczył, że gdyby nadal szedł z taką prędkością spóźni się o 45 minut. Przyspieszył o 1 km
na godzinę i przyszedł do schroniska o 5 minut wcześniej niż zamierzał. Ile godzin szedł
do schroniska?
Zadanie 4
Rozpiętością figury a nazywamy najmniejszą z liczb, będących odległościami między prostymi
równoległymi, pomiędzy którymi zawarta jest figura a. Na przykład: rozpiętością półokręgu jest
długość promienia, rozpiętością prostokąta jest długość krótszego boku. Niech dane będą punkty:
A(1,4), B(5,1), C(1,1). Oblicz rozpiętość trójkąta ABC.
Zadanie 5
Koło i kwadrat mają równe pola. W dane koło wpisujemy kwadrat, a w dany kwadrat wpisujemy koło.
Co jest większe, czy pole kwadrat wpisanego w koło, czy pole koła wpisanego w kwadrat?
Zadanie 6
Na kwadracie ABCD o boku 1 opisano okrąg, a następnie
wykreślono okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB.
Oblicz pole figury zakreskowanej na rysunku.
Zadanie7
Jakie liczby całkowite spełniają równocześnie poniższe nierówności?
i
ZESTAW 11 - różności logiczne i matematyczne
Zadanie 1
Pal jest wbity w dno rzeki na jednej piątej swej długości. Część stykająca się z wodą ma długość
70 cm, a nad wodą wystaje jeszcze trzy czwarte długości pala. Ile metrów długości ma pal?
Zadanie 2
Jakie dwie liczby całkowite pomnożone przez siebie lub dodane do siebie, dają w wyniku zawsze
tę samą liczbę?
strona 13
Kółko – klasa 3Zadanie 3
Jaką długość będzie miał pasek utworzony ze szczelnie ułożonych jeden na drugim kwadracików
o boku 1mm, wyciętego z 1 m2?
Zadanie 4
- Ten stary zegar spóźnia się o sześć godzin – stwierdził Jan.
- Skądże!? – sprzeciwił się Adam. – Ten stary zegar wyprzedza czas o sześć godzin!
Najdziwniejsze, że obaj mieli rację! Czy potrafisz tego dowieść?
Zadanie 5
a) b)
Ile kwadratów trzeba położyć na trzeciej wadze?
Zadanie 6
Rozwiązanie tej prostej łamigłówki amerykańscy psychologowie
zaproponowali swego czasu Einsteinowi w formie testu, chcąc
sprawdzić szybkość jego myślenia. Wielki uczony nie otrzymał
żadnej informacji wstępnej – po prostu wręczono mu przedstawiony
rysunek i włączono stoper. Sprawdź, jak szybko Ty uporasz się
z tym zadaniem. Start!
28
30
20
16
? 19 20 30
Zadanie 7
Pan Iks zapytany ile ma lat, odpowiedział: Obecnie moje lata są kwadratem lat, jakie miałem
dwadzieścia lat temu. Ile lat ma pan Iks?
Zadanie 8
Matka ma sześciu synów, a każdy z nich ma jedną siostrę. Ile dzieci ma matka?
Zadanie 9
strona 14
Kółko – klasa 3Od 1 do 9 – w puste pola planszy należy wpisać dziewięć cyfr w taki sposób, aby ich suma w każdym
rzędzie, kolumnie i na obu przekątnych równa była liczbom umieszczonym w kółkach.
Uwaga: żadna z cyfr nie może się powtarzać.
A może spróbujesz
ułożyć samodzielnie
taką zagadkę?
Zadanie 10
Policzmy – wstaw dowolnie + - x : ( ).
A 3 1 6 = 8
B 3 1 6 = 9
C 3 1 6 = 10
D 3 1 6 = 12
E 3 1 6 = -3
F 3 1 6 = 24
G 3 1 6 = -2
H 3 1 6 = -4
I 3 1 6 = 18
Zadanie 11
Zadanie z Mistrzostw Świata w Rozwiązywaniu Łamigłówek
3 questions???
strona 15
Ile K? Ile R? Ile T?
KKK = OOOOO RRR = M TTTTT = BBB
OOO = E MM = CCC BB = A
EEEEE = LL CCCCC = X AAA = GGGGG
LL = NNN XXX = DDDDD GG = UUUU
NN = ? K DD WWW UU = ? T
W = ? R
Kółko – klasa 3Zadanie 12
Jeżeli podzielimy pewną liczbę jabłek między pewną liczbę dzieci, to każde z nich otrzyma 5 i jeszcze
zostaną 2. Gdyby było o 10 jabłek więcej, każde dziecko otrzymałoby 7 jabłek i nie zostałoby
owoców. Ile jest dzieci, a ile jabłek do podziału?
Zadanie 13
Sto orzechów rozsypano do pięciu torebek. W pierwszej i drugiej jest razem 40 orzechów, w drugiej
i trzeciej 46, w trzeciej i czwartej 45, a w czwartej i piątej 31 orzechów. Ile orzechów jest w każdej
torebce?
Zadanie 14
Na trzech talerzach znajdują się łącznie 24 pomarańcze. Na drugim talerzu jest 6 pomarańczy,
a na pierwszym i drugim talerzu łącznie jest o 4 pomarańcze mniej niż na drugim i trzecim.
Ile pomarańczy jest na każdym talerzu?
Zadanie 15
W każde puste pole kwadratu należy wpisać jedną z liter: A, B, C,
D, E, F, G tak, aby w każdym rzędzie, w każdej kolumnie oraz na
obu przekątnych kwadratu znalazło się siedem różnych liter.
D B
A
D C
F E A D
B
Zadanie 16
Ile jest kwadratów? a) b)
Zadanie 17
Na zjeździe absolwentów spotykają się Kowalski z Malinowskim i rozmawiają:
K. Cała trójka moich dzieci obchodzi dziś urodziny.
M. Po ile mają lat?
K. Iloczyn ich lat wynosi 36, a suma tych lat jest równa ilości sal klasowych w naszej szkole.
M. (po namyśle) Mam za mało danych.
strona 16
Kółko – klasa 3K. Powiem Ci jeszcze, że najstarsze ma niebieskie oczy.
M. Teraz już znam wiek Twoich dzieci.
Po ile lat mają dzieci Kowalskiego? Ile jest sal w szkole Kowalskiego i Malinowskiego?
ZESTAW 12 – prędkość ,droga i czas
Zadanie 1
Pociąg długości 600 m jechał z prędkością 48 km/h i miał przed sobą tunel. Od momentu wejścia czoła
parowozu do tunelu do chwili, w której ostatni wagon opuścił tunel, upłynęło 2,5 minuty. Ile czasu
jechał maszynista przez tunel? Jaka była długość tunelu?
Zadanie 2
Na stadionie, którego bieżnia ma 400 m długości, odbył się bieg na 10 km. Zwycięzca ukończył bieg
po 30 minutach, a ostatni zawodnik po 32 minutach. Ile okrążeń przebiegł zwycięzca do momentu
zdublowania ostatniego zawodnika? Przyjmij, że każdy z zawodników biegł ze stałą prędkością.
Zadanie 3
strona 17
Kółko – klasa 3Po zamkniętym torze jedzie cyklista, okrążając tor w ciągu 6 minut. W tym samym kierunku jedzie
motocyklista, który okrąża tor w ciągu 1,5 minuty. Co ile minut będzie dopędzał motocyklista
cyklistę?
Zadanie 4
Z przystani wypłynęły jednocześnie parowiec pasażerski i kuter; oba statki płynęły w tym samym
kierunku, pierwszy z prędkością 24 km/h, drugi z prędkością 15 km/h. Po upływie 3 godzin podróży
parowiec osiadł na mieliźnie. Po pewnym czasie parowiec ruszył w dalszą drogę i po upływie 7 godzin
dogonił kuter. Ile godzin parowiec stał siedział na mieliźnie?
Zadanie 5
Dwa pociągi jadą po równoległych torach naprzeciw siebie. Pierwszy z prędkością 60 km/h, drugi
z prędkością 80 km/h. Pasażer jadący w drugim pociągu zauważył, że pierwszy pociąg mijał go przez
6 sekund. Oblicz długość pierwszego pociągu.
Zadanie 6
Wskazówka minutowa zegara ściennego ma 12 cm długości. Jaką długość drogi przebędzie koniec
tej wskazówki w ciągu 5 minut?
Zadanie 7
O godzinie 9 wskazówki zegara duża i mała wyznaczają kąt prosty. Po jakim czasie wskazówki zegara
znów wyznaczą kąt prosty?
Zadanie 8
Trzy miejscowości A, B, C leżą przy jednej drodze w podanej kolejności, przy czym od B do C
jest o 6 km dalej niż od A do B. Samochód jadący z prędkością 70 km/h przebył drogę od A do C
w czasie o 27 minut krótszym niż motocykl jadący z prędkością 40 km/h. Jak daleko jest od A do B
i jak daleko jest od A do C?
Zadanie 9
Trzej kolarze jadą po torze kołowym (każdy ze stałą prędkością). Pierwszy przebywa pełne okrążenie
w ciągu 5 minut, drugi w ciągu 6 minut, a trzeci w ciągu 9 minut. Kolarze wyruszyli jednocześnie z tej
samej linii startowej o godz. 13oo. Podaj najwcześniejszą godzinę następnego spotkania wszystkich
kolarzy na linii startu.
Zadanie 10strona 18
Kółko – klasa 3 Droga z miejscowości A do miejscowości B biegnie po terenie równym oraz pod górę i z góry.
Po drodze w terenie równym rowerzysta jedzie z prędkością 12 km/h, pod górę – 8 km/h, a z góry -
15 km/h. Drogę z A do B rowerzysta przejechał w ciągu 5 godzin, a powrotną drogę przebył
w 4 godziny i 39 minut. Oblicz odległość między miejscowościami A i B wiedząc, że długość drogi po
terenie równym wynosi 28 km.
Zadanie 11
Pasażer idąc na stację, po przejściu w ciągu godziny 3,5 km zorientował się, że idąc dalej z tą samą
prędkością, spóźni się na pociąg o 1 godzinę. Dlatego pozostałą drogę przeszedł z prędkością 5 km/h
i przyszedł na stację na 30 minut przed odejściem pociągu. Wyznacz długość drogi, jaką przebył
pasażer.
Zadanie 12
Odległość między miejscowościami A i B wynosi 19 km. Z A do B wyjechał kolarz z pewną stałą
prędkością. W 15 minut po nim w tym samym kierunku wyjechał samochód i po 10 minutach jazdy
dogonił kolarza. Samochód nie zatrzymując się, pojechał dalej do B i zaraz zawrócił. W drodze
powrotnej, po upływie 50 minut od wyjazdu z A, spotkał powtórnie kolarza. Wyznacz prędkość
kolarza i samochodu.
Zadanie 13
Z miasta A w kierunku miasta B, odległego od miasta A o 300 km, wyjechał samochód osobowy,
a z B w kierunku A w tym samym czasie samochód ciężarowy. Gdyby samochód ciężarowy wyjechał
o 48 minut wcześniej niż ciężarowy, to samochody minęłyby się po upływie 2 godzin jazdy
samochodu ciężarowego. Gdyby zaś samochód ciężarowy wyjechał o 1 godzinę i 20 minut wcześniej
niż osobowy, to samochody minęłyby się po upływie 2 godzin jazdy samochodu osobowego. Z jaką
prędkością jechał samochód osobowy, a z jaką ciężarowy? Ile czasu upłynęło do chwili mijania się?
Jak daleko od miasta A minęły się samochody?
Zadanie 14
Zastęp harcerzy zaplanował przejechać na rowerach trasę 360 km przebywając dziennie taką samą
liczbę kilometrów. Faktycznie jednak przejeżdżali każdego dnia o 4 km mniej i z tego powodu
wycieczka przedłużyła się o 3 dni. Ile dni miała trwać ta wycieczka?strona 19
Kółko – klasa 3
Zadanie 15
Dwie osoby wyruszają jednocześnie z tego samego miejsca i w tym samym kierunku. Pierwsza osoba
przez godziny idzie z prędkością 6 km/h, a następnie przez 25 minut odpoczywa i wraca
z prędkością km/h. Druga osoba idzie stale z prędkością km/h. Wyznacz czas i miejsce
spotkania tych osób.
Zadanie 16
Pomiędzy miastami A i B kursuje autobus. Droga między tymi miastami prowadzi przez wzgórze.
Autobus jadąc pod górę rozwija prędkość 25 km/h, a z góry 50 km/h. Podróż z A do B trwa
3,5 godziny, a z B do A 4 godziny. Ile kilometrów jest z miasta A do miasta B?
Zadanie 17
Po okręgu o długości 80 cm poruszają się 2 punkty ze stałą prędkością. Jeżeli kierunki ruchów
są zgodne, to punkt pierwszy wyprzedza punkt drugi co 5 sekund. Jeżeli zaś kierunki ruchów
są przeciwne, to punkty mijają się co 2 sekundy. Oblicz prędkości tych punktów.
ZESTAW 13 – praca i czas potrzebny na jej wykonanie
Zadanie 1
Trzy zespoły robotników mają zanitować przęsło mostu. Pierwszy zespół wykonałby taką pracę sam
w ciągu 12 dni, drugi zespół w ciągu 15 dni, a trzeci zespół w ciągu 8 dni. W ciągu jakiego czasu
zanitują to przęsło trzy zespoły pracując jednocześnie?
Zadanie 2
Przy jednoczesnej pracy dwóch ciągników o różnej mocy pole może być zaorane w ciągu 8 dni.
Gdyby silniejszym ciągnikiem zaorano połowę pola, a resztę obydwoma ciągnikami, to całą pracę
wykonano by w ciągu 10 dni. W jakim czasie można zaorać pole każdym ciągnikiem oddzielnie?
Zadanie 3strona 20
Kółko – klasa 3Pierwsza brygada górników w ciągu jednej godziny wydobywa średnio 10,5 t węgla więcej niż druga
brygada. Pierwsza brygada w ciągu kilku godzin wydobyła 108 t węgla, a druga w tym samym czasie
66 t. Ile godzin musi pracować z tą samą wydajnością druga brygada, aby wydobyć 1485 t węgla?
Zadanie 4
Zakłady przemysłowe A i B podjęły się wykonać wspólnie pewne zamówienie w ciągu 12 dni. Zakład
A po dwóch dniach realizacji zamówienia z powodu remontu został zamknięty, więc pozostałą część
zamówienia wykonał zakład B nie zwiększając dziennej produkcji. W ciągu ilu dni zostanie wykonane
zamówienie, jeżeli dzienna produkcja zakładu B wynosi dziennej produkcji zakładu A?
Zadanie 5
Statek ładowano za pomocą 3 dźwigów o tej samej mocy. Po jednej godzinie pracy uruchomiono
dodatkowe 3 jednakowe dźwigi o większej mocy i ukończono załadunek statku po 2 godzinach
wspólnej pracy wszystkich dźwigów. Gdyby uruchomiono wszystkie dźwigi jednocześnie,
to załadunek statku trwałby tylko 2 godziny 24 minuty. Oblicz, w ciągu ilu godzin załadowałby statek
jeden dźwig o mniejszej mocy, a wciągu ilu godzin załadowałby statek jeden dźwig o większej mocy.
Zadanie 6
Dla wykonania pewnej ilości wyrobów fabrycznych przygotowano kilka jednakowych maszyn,
z których każda miała pracować według planu taką samą liczbę godzin. Gdyby zwiększyć liczbę
maszyn o jedną, wówczas dla wykonania tej samej pracy wystarczyłoby, aby każda z maszyn
pracowała o jedną godzinę krócej. Gdyby zaś liczbę maszyn zmniejszyć o jedną, wtedy
dla wykonania tej samej pracy każda z maszyn musiałaby pracować o 1,5 godziny dłużej. Oblicz,
ile przygotowano maszyn i ile godzin miała pracować każda z nich według planu.
Zadanie 7
Brygada złożona z 40 robotników miała zbudować pewien odcinek drogi w ciągu 8 godzin (pracując
z tą samą wydajnością). Po 3 dniach wspólnej pracy 10 robotników przeszło na inny odcinek,
a pozostałą do wykonania pracę zmniejszono brygadzie o 10%. Ile dni trwała budowa przydzielonego
brygadzie odcinka drogi?
strona 21
Kółko – klasa 3Zadanie 8
Grupa kosiarzy miała skosić dwie łąki, z których jedna jest dwukrotnie większa od drugiej. Połowę
dnia trwała kośba jednej łąki, potem kosiarze podzielili się na dwie równe grupy – jedna grupa
pozostała na większej łące i do wieczora zakończyła tam pracę. Druga grupa do wieczora nie zdążyła
skosić mniejszej łąki. Nazajutrz jedna osoba pracując cały dzień dokończyła koszenie mniejszej łąki.
Ilu było kosiarzy?
Zadanie 9
Dwa traktory, jeden z pługiem czteroskibowym, a drugi z pługiem dwuskibowym, rozpoczęły orkę
pola o powierzchni 5 ha. Gdy zaorały połowę , traktor z pługiem dwuskibowym przejechał
na sąsiednie pole o powierzchni 7 ha, a drugi, po dokończeniu orki pierwszego pola, dołączył
do niego. Orka obu pól zakończyła się po 6 godzinach. Jaką powierzchnię zaorał w tym czasie każdy
z traktorzystów?
Zadanie 10 (391wrocławskie)
Brygada 16 robotników na wykonanie określonej ilości części samochodowych potrzebuje 6 godzin
i 15 minut. Za ile godzin wykona to zadanie brygada 15 robotników, z których każdy potrzebuje 70 %
czasu na wykonanie pracy każdego z robotników I brygady.
Zadanie 11
Dwóch robotników pracując razem wykonuje pewną pracę w ciągu 12 dni. Jeżeli pierwszy będzie
pracował 2 dni, a drugi 3 dni, to wykonają tylko 20% całej pracy. Przez ile dni wykonałby całą pracę
każdy z robotników pracując samodzielnie?
strona 22
Kółko – klasa 3
ZESTAW 14 - twierdzenie Pitagorasa
Zadanie 1
Czy trójkąt o bokach
jest prostokątny?
Zadanie 2
W trójkącie, którego pole P = 40 cm2, wysokość dzieli jeden z boków na odcinki o długościach 4 cm
i 16 cm. Oblicz długości boków trójkąta.
Zadanie 3
Obwód rombu wynosi 100 cm, a jego pole 600 cm2. Wysokość opuszczona z wierzchołka na jeden
z boków rombu dzieli ten bok na dwie części. Oblicz długości tych części.
strona 23
Kółko – klasa 3
Zadanie 4
Przekątne rombu są równe 10 cm i 24 cm. Oblicz obwód i pole tego rombu. Wyznacz także wysokość
rombu.
Zadanie 5
Na trapezie równoramiennym ABCD opisano okrąg o promieniu 10 cm. Oblicz długość ramion oraz
długość przekątnej trapezu, jeśli |AB| = 20 cm, |CD| = 12 cm.
Zadanie 6
Wierzchołki trapezu równoramiennego ABCD należą do okręgu o promieniu r = 25 cm. Podstawy
trapezu mają długości |AB| = 40 cm, |CD| = 14 cm. Oblicz pole i obwód trapezu.
Zadanie 7
Oblicz długości podstaw trapezu równoramiennego o ramionach długości 5 cm, wysokości 4 cm
i obwodzie 26 cm.
Zadanie 8
W okręgu o promieniu 10 cm poprowadzono dwie równoległe względem siebie cięciwy o długościach
12 cm, 16 cm. Oblicz odległość między tymi cięciwami. Rozważ dwa przypadki.
Zadanie 9
Bok kwadratu ma długość 4 cm. Oblicz długość boku ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg
opisany na tym kwadracie.
Zadanie 10
Dany jest odcinek AB o długości 12 cm. Na prostej prostopadłej do odcinka AB i przechodzącej
przez punkt A obieramy punkt L tak, aby |AL.| = 3 cm, zaś na prostej także prostopadłej do AB
i przechodzącej przez punkt B obieramy punkt K tak, aby |BK| = 2 cm. Oblicz długość odcinka |KL|.
Zadanie 11
strona 24
Kółko – klasa 3 Trzcina bambusowa, mająca 32 łokcie i wznosząca się na równinie, została w jednym miejscu
złamana przez wiatr tak, że wierzchołek jej dotknął ziemi 16 łokci dalej od podstawy. Powiedz mi,
matematyku biegły, ile łokci nad ziemią została złamana trzcina bambusowa?
Zadanie 12
Dwie wieże: jedna wysokości 30 stóp, druga 40 stóp, oddalone są od siebie o 50 stóp. Pomiędzy nimi
znajduje się wodotrysk, do którego zlatują się ptaki z wierzchołków obu wierz i lecąc z jednakową
prędkością, przybywają w tym samym czasie. Jakie są odległości poziome wodotrysku od obu wież?
Zadanie 13
Na brzegu prostokątnego basenu ABCD o boku |AB| = 70 m znajdowali się dwaj pływacy; jeden był
na boku prostopadłym do AB w odległości 56 m od A, drugi na przeciwległym boku w odległości
28 m od B. Na brzegu AB bawiło się dziecko, które nagle wpadło do wody i zaczęło tonąć. Dostrzegli
to pływacy i obaj popłynęli jednocześnie na pomoc. Płynąc z jednakową prędkością, dopłynęli
jednocześnie do dziecka i wyratowali je. W jakiej odległości od punktu A wpadło dziecko do basenu?
Zadanie 14
Pośrodku kwadratowej sadzawki, liczącej po 10 stóp w obu kierunkach, rośnie kwiat lilii wodnej,
który wynurza się na stopę ponad powierzchnię wody. Gdy go przechylić ku środkowi któregokolwiek
brzegu skryje się pod wodę. Jak głęboka jest woda?
Zadanie 15
Z jeziora wychylił się o pół stopy z wieczora biały kwiat lotosu. Uderzył weń wiatr zawzięty, aż lotos
ugięty ucałował o dwie stopy dalej błysk kryształowej fali. Wodo zdradliwa, wodo chłodna, jak daleko
do dna?
Zadanie 16
Punkty A = (4,0) i B = (8,3) są wierzchołkami równoległoboku, którego środkiem jest S = (0,4).
Wyznacz pozostałe wierzchołki tego równoległoboku. Oblicz jego obwód i pole.
Zadanie 17
W trapezie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę
na odcinki o długości 3 cm i 15 cm. Oblicz pole trapezu wiedząc, że obwód trapezu wynosi 40 cm.
Zadanie 18strona 25
Kółko – klasa 3Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego mając dane: ramię r = 5 cm, wysokość h = 4 cm,
krótsza podstawa b = 8 cm.
Zadanie 19
Kot i pies spotkali się na skrzyżowaniu dróg. Wymienili najświeższe wiadomości i poszli dalej
drogami, które przecięły się pod kątem prostym. Pies poruszał się z prędkością 6 km/h , a kot zupełnie
nie spieszył się i w ciągu godziny przechodził tylko 2,5 km. Po jakim czasie odległość między psem
i kotem wynosiła 13 km?
Zadanie 20
W trójkącie prostokątnym ABC przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku. Pokaż, że zachodzą
następujące zależności:
a)
b)
c)
d) 2r + 2R = a + b, gdzie r , R są promieniami okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie ABC.
strona 26
