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Dr. Pedro V·squez

UPRM

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Vectores y GeometrÌa en el Espacio

Recuerde:Un vector es usado por cientÌÖcos para indicar una cantidad (tal comodesplazamiento o velocidad o fuerza) que posee magnitud y direcciÛn.Un vector se representa por un segmento de recta con direcciÛn. Lalongitud del segmento representa la magnitud del vector y el sentido de laáecha representa la direcciÛn del vector.Se denota por v o !!v .Un punto en el espacio se representa a trav;es de una terna de n˙merosreales (a, b, c) .

El vector v, tiene:punto inicial Apunto terminal B.

Se puede representar por.!!v =

!!AB

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Nota: El vector !!u =!!CD tiene la misma longitud y direcciÛn que v,

aunque en posiciÛn diferente. En este caso se dice que son u y v sonequivalentes y se escribe u = v.El vector cero, se denota por 0, tiene longitud 0.Suponga una partÌcula se mueve desde A hasta B, du desplazamiento es elvector

!!AB. Luego la partÌcula cambia de direcciÛn de B a C, con vector

de desplazamiento!!BC . El resultad combinado es que la partÌcula de

desplaza desde A hasta C.

El vector!!AC es la suma

de!!AB y

!!BC y se escribe:

!!AC =

!!AB +

!!BC

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Combinando vectoresPara sumar vectores u y v , Èstos se colocan en el mismo punto inicial y susuma se deÖne:

En algunas ocasionesse le conoce comoLey del tri·ngulo

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Para sumar vectores:

Este proceso se conocecomo la

Ley del paralelogramoNote : u+ v = v+ u

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Ejemplo1. Prob. 3, p·g. 798

2. Prob. 5, p·g. 798

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MultiplicaciÛn escalarUn vector se puede multiplicar por un n˙mero real c :

Ejemplo:

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La diferencia u! v de dos vectores, se deÖne por:

u! v = u+ (!v)

3. Prob. 6, p·g. 799

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ComponentesEn la mayorÌa de ocasiones es mejor trabajar con un sistema decoordenadas y tratar a los vectores algebraicamente:

Estas coordenadas se llaman componentes de a y se escriben:

a= ha1, a2i o a= ha1, a2, a3i

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Ejemplo: el vector!!OP = h3, 2i tiene las siguientes representaciones:

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4. Prob. 12, 14, p·g. 799

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5. Prob. 18, p·g. 799

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Otra representaciÛn del vector a=!!OP = ha1, a2, a3i es el vector posiciÛn

del punto P0 (a1, a2, a3) . Considerando otra representaciÛn!!AB de a,

donde el punto inicial es A (x1, y1, z1) y el punto terminal es B (x2, y2, z2).Entonces se tiene:x1 + a1 = x2y1 + a2 = y2z1 + a3 = z2

)a1 = x2 ! x1a2 = y2 ! y1a3 = z2 ! z1

se obtiene el siguiente resultado:

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Magnitud de un vectorLa magnitud de un vector v se denota por jvj o kvk y se deÖne por:

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6. Prob. 21, p·g. 799

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7 Prob. 24, p·g. 799

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Operaciones de vectores: componentes

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Propiedades de vectores

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8. Prob. 26, p·g. 799

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En R3existen tres vectores que juegan un papel muy importante:

Los vectores i, j, k se les llama vectores b·sicos est·ndard y tienenlongitud y su representaciÛn gr·Öca es:

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El vector a se puede representar por:

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9. Prob. 28, p·g. 799

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10. Prob. 31, p·g. 799

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11. Prob. 32, p·g. 799

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12. Prob. 35, p·g. 799

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