Matemaatika on mehaanika kaksikvend ja inseneri parim sõber · 2019. 1. 29. · Matemaatika on mehaanika kaksikvend ja inseneri parim sõber Andrus Salupere Tahkisemahaanika labor,

Matemaatika on mehaanika kaksikvend ja inseneri parimsõber

Andrus Salupere

Tahkisemahaanika labor, Küberneetika instituutLoodusteaduskond, Tallinna Tehnikaülikool

TäienduskoolitusSA Professor Karl Õigeri Stipendiumifond

A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 1 / 31

Kava

EndastMatemaatikast ja mehaanikast

matemaatika allikadvektorid, tuletised, integraalid, märgireeglid jne.,Sisult matemaatiline ja vormilt ketserlik ettepanek

Ettekande eesmärgiks on näidata, et matemaatiliste printsiipide jameetodite järjekindel rakendamine muudab mehaanikaülesannetelahendamise lihtsamaks ja teeb seeläbi matemaatikast inseneri parimasõbra.


Endast

Sündisin 5. septembril 1957. a.Jõgeva Keskkool 1976. a.1976. a. septembrist kuni 1986 detsembrini Tartu (Riiklikus) Ülikoolismatemaatika teaduskonnas

1976. – 1981. Rakendusmatemaatika üliõpilane 5 aastat = magister1981. – 1983. aastat stažöör-uurija teoreetilise mehaanika kateedris1983. – 1986. aspirant teoreetilise mehaanika kateedris (kaitsmine1991.)

Jäik-plastsete astmeliste ümar- ja rõngasplaatide optimaalneprojekteerimine


Endast

Alates 1986. aasta detsembrist Tallinna Tehnikaülikoolisteoreetilise mehaanika kateeder – üldteoreetiliste õppeaineteteaduskondehitusmehaanika kateeder – ehitusteaduskondmehaanikainstituut – ehitusteaduskondküberneetika instituut – TTÜ asutusküberneetika instituut – loodusteaduskond

Ametidtunnitasuline õppejõudassistentdotsentvanemteadurprofessor alates 2002. a.Küberneetika instituudi direktor alates 2009. a.

+ erinevad nõukogud, komisjonid jms kohustused


Endast

Õppetöö1983.-1989. – programmeerimine, kõrgem matemaatikaalates 1988. – mehaanika

staatika, dünaamika, analüütiline mehaanika – teoreetiline mehaanikaehk jäikade kehade ja punktmasside mehaanikatugevusõpetus, elastsusteooria, pideva keskkonna mehaanika –deformeeruvad kehad + vedelikud, gaasid

TeadustööMittelineaarsed lained, solitonid

Suhted ehitusinseneridegaEÜE 1977 – 1982 (1984)töö TTÜs ja KübIs

õppetöö ehitusteaduskonnas


Matemaatikast

(Rakendus)matemaatika allikad – mehaanika, füüsika ja muudmehaanika probleemmudel => (diferentsiaal)võrrand(id)lahendi eksisteerimine ja ühesus – jah/eiei: uus mudeljah: lahendanalüütiline – jah/eijah: valem (analüütiline avaldis)ei: arvutusmeetod => numbriline lahend

———————————

Selles reas puuduvad selged piirid teoreetikute ja rakendajate vahel.Inseneri jaoks võivad need kõik tunduda väga teoreetilised tegevused,sest teda huvitab tavaliselt vaid lahed


Matemaatikast

Teoreetiline suundrakenduslikud tulemused => matemaatilised üldistusedpuhas matemaatika – rakendused võivad tulla hiljem

näiteks kompleksarvud


Mehaanikast

Koolifüüsika – mehaanika primitiivne käsitluskinnistuvad pooltõed, ebatäpsused jmsnäiteks ühtlase liikumise ja ühtlaselt kiireneva liikumise valemidmehaanika põhiülesanne – leida keha asukoht mis tahes ajahetkel

e-õpik : Mehaanika, Autor: Indrek PeilTegelikkus on tunduvalt mitmekesisem ja matemaatilisem


MEHAANIKA

JNE.

JÄIGA KEHA MEHAANIKA (TEOREETILINE MEHAANIKA)

STAATIKA

KINEMAATIKA

DÜNAAMIKA*

ANALÜÜTILINE MEHAANIKA

DÜNAAMIK

A

TEHNILINE MEHAANIKA

MEHHANISMIDE JA MASINATE TEOORIA

PIDEVA KESKKONNA MEHAANIKA

JNE.

BALL

ISTIK

A

ARVUTUSMEHAANIK

A

KEHADE S

ÜSTEE

MI

DÜNAAMIK

A

DEFORMEERUVA KEHA MEHAANIKA

JNE.

HÜDRO- JA AEROMEHAANIKA

ELASTSUSTEOORIA

TUGEVUSÕPETUS

PLASTSUSTEOORIA

PLAATIDE JA KOORIKUTE TEOORIA

EHITUSMEHAANIKA


Vektorid on kõikjal

jõudpunkti kohavektor, siire e. paigutis e. nihe (füüsikutel)kiirus, kiirenduspööre (pöördenurk)nurkkiirus, nurkkiirendusjõu moment, jõupaarliikumishulk (impulss), liikumishulga moment (impulsi moment,pöördeimpulss, pöörlemishulk)pingejne.

NB! Primaarsed on alati vektorvõrrandid. Skalaarsed võrrandid saadakseneist koordinaattelgedele projekteerimise teel.


Tehted vektoritega

liitmine, skalaariga korrutamine, jmspikkus, ühikvektorskalaarkorrutisvektorkorrutisprojektsioonid (koordinaat)telgedele

——————————Graafilised meetodid – vektorite liitmine ja lahutamine


Koordinaadid

tavaliselt Descartes’i ristkoordinaadidtavaliselt x , y , zvahel z1, z2, z3vahel x1, x2, x3

vahel on otstarbekas kasutada silindrilisi või sfäärilisi koordinaateharva ka eksootilisi koordinaate – elliptilised, hüperboolsed jneüldjuhul parema käe koordinaadid


Pöörde positiivne suund

Pöörde positiivne suund määratakse kruvireegliga!

Kellad ja Päikese võiks siin ära unustada!


Jõu moment on vektor!

Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse vektorit, mis võrdub jõurakenduspunkti A kohavektori r ja jõuvektori F vektorkorrutisega.

MO = r × F, MO ≡ |MO| = Fr sinϑ = Fd . (1)


Momentvektori MO suurus (ehk moodul) ja suund sõltub punkti Ovalikust kuid ei sõltu punkti A valikust jõu mõjusirgel.Momentvektori MO mõjusirge määrab telje, mille ümber jõud Fpüüab tekitada pöörlemist.Jõu moment telje suhtes – mõistlik on ka seda vaadelda vektorina:MO = Mx + My + Mz

Mx ,My ,Mz on MO komponendidMx ,My ,Mz on MO projektsioonid

Tasakaaluvõrrandid: MO = 0 projektsioonid koordinaattelgedelM = ±Fd , märk kruvireegliga


Jõusüsteemi tasakaal

Jõusüsteem on tasakaalus parajasti siis kui peavektor FO ja mingi punktiO suhtes leitud peamoment MO on võrdsed nulliga:

FO =∑

iFi = 0, MO =

∑i

MO(Fi ) = 0. (2)

Skalaarsed tasakaalu tingimused:∑

iFix = 0,

∑i

Fiy = 0,∑

iFiz = 0,∑

iMx (Fi ) = 0,

∑i

My (Fi ) = 0,∑

iMz(Fi ) = 0.

(3)

NB! Primaarsed on vektorvõrrandid (2)!


Tuletised ja integraalid

Tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust.y = f (x) => y ′ = f ′(x) annab funktsiooni y = f (x) puutuja tõusu,s.t. tema muutumise kiiruse x järgix = f (t) => ẋ = dx/dt annab samuti funktsiooni x = f (t) puutujatõusu, s.t. tema muutumise kiiruse t järgifunktsiooni uurimine: nullkohad, ekstreemumid, käänupunktid,kumerus, nõgusus jne.

OsatuletisedΨ = Ψ(x , y , z) => ∂Ψ∂x annab funktsiooni Ψ = Ψ(x , y , z) muutumisekiiruse x järgi, jne.Gradient


Momentide tasakaaluvõrrand => nihkepingete paarsus


Integraal

Tuletise pöördoperatsioonAlgne tähendus: pindala


Kinemaatika

Punkti kinemaatikakohavektor r = r(t) => x = x(t) jnekiirus v = ṙ => vx = ẋ jnekiirendus a = v̇ = r̈ => ax = v̇x = ẍ jne

Vastupidi: integreeriminekiirus:

∫ t0 dvx =

∫ t0 ax dt jne => v

liikumisvõrrandid∫ t

0 dx =∫ t

0 vx dt jne => r


Kinemaatika

Pöörleminepöördenurk φ = φ(t) => φz = φz(t) jnenurkkiirus ω = φ̇ => ωz = φ̇z jnenurkkiirendus α = ω̇ = φ̈ => αz = ω̇z φ̈z jne

Vastupidi: integreerimine analoogiliselt eelmisega—————Pöörleva keha punkti kiirus ja kiirendus

v = ṙ = ω × ra = v̇ = α× r + ω × v, s.t. puutekiirendus (vektor) +normaalkiirendus (vektor)

——————————Kõik liikumiste erijuhud on analüüsitavad eelnevast lähtudes. Lisaks võibvaja minna Euleri nurki.


Dünaamika

Newtoni II seadus F = maDünaamika 2 põhiülesannet:

liikumine => jõud: diferentseeriminejõud => liikumine: diferentsiaalvõrrand

otsene integreeriminediferentsiaalvõrrandi lahendamine – analüütiline või numbriline

Dünaamika üldteoreemiddiferentseerimine ja integreerimine


Analüütiline mehaanika

Rohkem matemaatikat – variatsioonarvutusD’Alembert’i printsiipüldistatud jõud ja üldistatud koordinaadidLagrange’i võrrandid – mitme vabadusastmega süsteemidHamiltoni võrrandidjne


Tugevusõpetus

Diferentsiaal- ja integraalseosed

dNdx = −px ,

dQzdx = −pz ,

dMydx = Qz . (4)

N(x) = N(a)−∫ x

apx (x)dx ,

Qz(x) = Qz(a)−∫ x

apz(x)dx ,

My (x) = My (a) +∫ x

aQz(x)dx .

(5)

ekstreemumid, epüüri kujuintegraalid epüüride pindalad


Tugevusõpetus

sisejõud pingedpinnamomendidelastse joone (diferentsiaal)võrrandjne

—————————Elastsusteooria – veel rohkem matemaatikat


Märgireeglid

Tasakaaluvõrrandid: selged reeglid - projektsisoonid + kruvireegelPingetega on ka asi selge: positiivsel (sise)pinnal mõjub positiivnepinge vastava telje positiivses suunas ja negatiivsel (sise)pinnalnegatiivses suunas.Põikjõu jaoks kehtib sama reegel.Pikijõu jaoks ka.Väändemomendile saab rakendada sama reeglit kui väljendada tedavektorina.Paindemoment – väljaspool aega ja ruumi: positiivsed ja negatiivsedkiud jms

tegelikult on suhteliselt praktiline kokkulepe


Globaliseerumine

Suhtestumine globaliseeruvasse (ingliskeelsesse) maailma, s.t.ingliskeelsesse kirjandusse

epüür – i.k. diagramvertikaaltelg: üles – allaPaindemomendi märgireeglid

väga erinevad kokkulepped (sign conventions)üks variant: kasutatakse sama reeglit, mis pingete korral

Ettepanekud (ingliskeelse kirjanduse mõjul)loobuda terminist epüürloobuda alla suunatud telgedestvõtta ka paindemomendi jaoks kasutusele pingetega analoogilinemärgireegel


Kokkuvõte

Kogu mehaanika teooria on kirja pandud matemaatika keelesSeletada tuleb samuti matemaatika keeles – igasugusedpseudolihtsustused teevad asja ainult segasemaksMatemaatika on sõber, mitte vaenlaneMatemaatiline mõtlemine pole saatanastMiks siis üldse (üli)koolides matemaatikat õpetatakse, kui hiljem sedaei kasutataMida vahem erinevaid kokkuleppeid ja reegleid, seda paremLEM – see on omaette ooper


Tänan tähelepanu eest!

Küsimused on teretulnud!


Documents

Matemaatika on mehaanika kaksikvend ja inseneri parim sõber · 2019. 1. 29. · Matemaatika on mehaanika kaksikvend ja inseneri parim sõber Andrus Salupere Tahkisemahaanika labor,