Matematička analiza 1 i 2

Predavanja i zbirka zadataka

June 22, 2019

2

PREDGOVOR

Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispite iz predmeta Matematičkaanaliza 1 i Matematička analiza 2. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju sedodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom tekstu, a takod̄e sumoguće slovne i druge greške. Studenti su u obavezi da konsultuju dodatnu, dole nave-denu literaturu, koju je moguće naći u biblioteci Fakulteta.

1. Dušan Adnad̄ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga,Beograd, 1990.

2. L. D. Kudrijavcev, Kurs matematičke analize I, Vǐsa škola, Moskva, 1981 (naruskom).

3. Dušan Ćirić, Uvod u matematičku analizu, I deo, Prirodno-matematički fakultet,Nǐs, 2008.

Sadržaj

1 Uvod 7

1.1 Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Grupoid, grupa, prsten i polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Polje realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6 Neke posledice aksioma ured̄enog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Neki važniji podskupovi skupa realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.8 Prošireni skup realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.9 Ekvivalenti i posledice aksiome neprekidnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.10 Tačka nagomilavanja skupa.Bolcano-Vajerštrasova teorema za skupove . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2 Granične vrednosti nizova 73

2.1 Pojam granične vrednosti niza i osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.2 Monotoni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.3 Broj e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.4 Bolcano-Vajerštrasova teorema za nizove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.5 Košijev kriterijum konvergencije nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.6 Delimične granice niza.Limes superior i limes inferior niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3 Granične vrednosti funkcija 153

3.1 Pojam granične vrednosti funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.2 Osobine graničnih vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.3 Košijev kriterijum egzistencije granične vrednosti funkcije . . . . . . . . . 187

3.4 Granična vrednost složene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.5 Granična vrednost monotone funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3.6 Neprekidnost i tačke prekida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3.7 Neke osobine funkcija neprekidnih u tački . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

3.8 Neke osobine funkcija neprekidnih na segmentu . . . . . . . . . . . . . . . 211

3.9 Neprekidnost i monotonost. Neprekidnost inverzne funkcije . . . . . . . . 220

3.10 Neprekidnost elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

3.11 Upored̄ivanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

3

4 SADRŽAJ

3.12 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

4 Diferenciranje funkcija 269

4.1 Izvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

4.2 Diferencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

4.3 Geometrijska interpretacija izvoda i diferencijala . . . . . . . . . . . . . . 279

4.4 Pravila diferenciranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

4.5 Izvodi vǐseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

4.6 Osnovne teoreme diferencijalnog računa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

4.7 Lopitalova pravila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

4.8 Tejlorova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

4.9 Ispitivanje monotonosti i nalaženjeekstremnih vrednosti funkcije pomoću izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . 353

4.10 Konveksne i konkavne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

5 Neodred̄eni integral 387

5.1 Definicija neodred̄enog integrala i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . 387

5.2 Smena promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

5.3 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

5.4 Integracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

5.5 Integracija trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

5.6 Integracija iracionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

6 Odred̄eni integral 409

6.1 Definicija odred̄enog integrala.Ograničenost integrabilnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

6.2 Gornje i donje Darbuove sume. Osnovna teorema . . . . . . . . . . . . . . 415

6.3 Integrabilnost neprekidnih i monotonih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 426

6.4 Osobine odred̄enog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

6.5 Prva teorema o srednjoj vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

6.6 Integrabilnost deo po deo neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 443

6.7 Odred̄eni integral sa promenljivomgornjom granicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

6.8 Smena promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

6.9 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

6.10 Druga teorema o srednjoj vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

1 Nizovi 467

1.1 Osnovne osobine konvergentnih nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

1.2 Monotoni i drugi karakteristični nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

1.3 Broj e i neki značajni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

1.4 Delimične granice niza i Štolcova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

SADRŽAJ 5

2 Funkcije 5352.1 Granične vrednosti i neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5352.2 Izvod funkcije i primene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5592.3 Lopitalove teoreme i Tejlorova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5802.4 Ispitivanje toka funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

3 Dodatak 6173.1 Primena Maklorenove formule sa ostatkom u Peanovoj formi na nalaženje

graničnih vrednosti i asimptota funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6173.2 Razni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

Literatura 681

6 SADRŽAJ

Glava 1

Uvod

1.1 Skupovi

Do sada se svako od nas mnogo puta susreo sa pojmom skupa. Na primer, učenici jednogodeljenja čine skup, takod̄e možemo uočiti skup putnika u nekom autobusu, skup knjigau školskoj torbi, skup jabuka u jednoj korpi, itd. Čini se da je pojam skupa intuitivnojasan. U svakoj nauci postoje osnovni pojmovi. To su pojmovi koji su dovoljno jasnii koji se ne definǐsu. U matematici je pojam skupa jedan od osnovnih pojmova i nedefinǐse se. Objekti od kojih je sastavljen skup zovu se elementi (članovi) skupa. Pojamelementa (člana) skupa je takod̄e jedan od osnovnih pojmova u matematici. Skupovise obično obeležavaju velikim slovima latinice X, Y , Z, A, B, C,..., dok se elementioznačavaju malim slovima latinice x, y, z, a, b, c,... Činjenica da je a element skupa A,tj. da a pripada skupu A (ili da se a sadrži u skupu A) zapisuje se sa a ∈ A. Ako ane pripada skupu A, onda pǐsemo a /∈ A. Skup je odred̄en svojim elementima. SkupX, čiji su elementi x, y, z, obeležava se sa X = {x, y, z}. Zadavanje skupa nabrajanjemnjegovih elemenata je moguće samo ako je skup konačan (mada i tada, za slučaj da jebroj elemenata veliki, ovaj način nije celishodan). Zato se skup obično zadaje nekimzajedničkim svojstvom njegovih elemenata. Ako je φ(x) svojstvo kojim je okarakterisansvaki element x skupa X, onda pǐsemo X = {x| φ(x)} i čitamo X je skup elemenata xtakvih da važi φ(x). Ovo takod̄e znači da ako element x nema osobinu φ(x), da ondax /∈ X. Na primer, skup X = {x : x2 ≤ 16, x je prirodan broj} predstavlja skup čiji suelementi 1, 2, 3, 4, tj. X = {1, 2, 3, 4}, dok 5 /∈ X jer nije 52 ≤ 16.

Skup koji nema ni jedan element zove se prazan skup i obeležava sa ∅.Izmed̄u skupova uvode se dve relacije: inkluzija i jednakost.

Kažemo da je skup A podskup skupa B i pǐsemo A ⊂ B ako svaki element skupa Apripada skupu B. Prema tome,

A ⊂ B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B)

Umesto A ⊂ B nekad pǐsemo B ⊃ A i kažemo da je skup B nadskup skupa A. Znak ⊂,odnosno ⊃, se zove znak inkluzije.

Na primer, za A = {1, 2} i B = {1, 2, 3, 4} važi A ⊂ B.

7

8 Glava 1. Uvod

Reći ćemo da je A pravi podskup skupa B i pisati A $ B, ako je A ⊂ B i ako postojielement skupa B koji ne pripada skupu A. U prethodnom primeru skup A je pravipodskup skupa B.

Skupovi A i B su jednaki ako je A ⊂ B i B ⊂ A, i tada pǐsemo A = B. Prema tome,

A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A⇔ x ∈ B).

Za skupove A i B kažemo da su različiti ako nisu jednaki i pǐsemo A ̸= B. Prema tome,A $ B ako i samo ako je A ⊂ B i A ̸= B.

Prazan skup je podskup svakog skupa.Med̄u skupove uvodimo nekoliko operacija.Unija skupova A i B, u oznaci A ∪ B, je skup svih elemenata koji pripadaju bar

jednom od skupova A i B. Prema tome,

A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Presek skupova A i B, u oznaci A ∩B, je skup svih elemenata koji pripadaju i skupu Ai skupu B, tj.

A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Za dva skupa A i B kažemo da su disjunktni ako nemaju zajedničnih elemenata, tj. akoje A ∩B = ∅.

Razlika skupova A i B, u oznaci A \ B, je skup svih elemenata skupa A koji nepripadaju skupu B, tj.

A \B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Na primer, ako je A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5, 6}, onda je A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6},A ∩B = {3, 4}, A \B = {1, 2} i B \A = {5, 6}.

Za slučaj da je A ⊂ S, onda razliku S \ A nazivamo komplement skupa A u odnosuna S i označavamo sa CS A ili samo CA ako je jasno o kom skupu S je reč.

Neka su A, B i C podskupovi skupa S. Nije teško dokazati sledeće skupovne jed-nakosti:

A ∪A = A, A ∩A = A (zakoni idempotencije),

A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A (zakoni komutacije),

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (zakoni asocijacije),

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (distributivni zakoni),

A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅,

1.1. Skupovi 9

A ∪ S = S, A ∩ S = A,

A ∪CA = S, A ∩CA = ∅,

C ∅ = S, CS = ∅, CCA = A,

C(A ∪B) = CA ∩CB, C(A ∩B) = CA ∪CB, (De Morganovi zakoni1),

A \ (B \ C) = (A \B) ∪ (A ∩ C).

Primera radi, dokažimo poslednju skupovnu jednakost. Za to je potrebno i dovoljnopokazati da za svaki element x važi ekvivalencija

x ∈ A \ (B \ C) ⇐⇒ x ∈ (A \B) ∪ (A ∩ C).

Ova ekvivalencija važi jer važi sledeći niz ekvivalencija2 :

x ∈ A \ (B \ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ B \ C ⇐⇒ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B \ C)⇐⇒ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∧ x /∈ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∨ x ∈ C)⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇐⇒ x ∈ A \B ∨ x ∈ A ∩B⇐⇒ x ∈ (A \B) ∪ (A ∩ C).

Partitivni skup skupa A, u oznaci P(A), je skup svih podskupova skupa A:

P(A) = {X : X ⊂ A}.

Tako, P(∅) = {∅}, a ako je A = {1, 2, 3}, onda je

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Ured̄eni par elemenata a i b, u oznaci (a, b), je skup {{a}, {a, b}}:

(a, b) = {{a}, {a, b}}.

Pritom, element a se zove prva komponenta ili prva projekcija ili prva koordinata ured̄enogpara, dok se element b zove druga komponenta ili druga projekcija ili druga koordinataured̄enog para.

Tvrd̄enje 1.1. Dva ured̄ena para su jednaka ako i samo ako su im jednake odgovarajućekomponente, tj.

(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d.2Koristimo sledeće tautologije:

¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q,p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

10 Glava 1. Uvod

Dokaz. Ako je a = c i b = d, onda je

(a, b) = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d).

Obrnuto, neka je (a, b) = (c, d). Tada je

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. (1.1)

Ako je a = b, onda je {a, b} = {a}, te je (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{a}}. Odavde i iz (1.1)sledi

{{a}} = {{c}, {c, d}},pa je

{c} = {c, d} = {a}.Odavde sledi c = d = a i budući da je a = b, dobijamo a = b = c = d.

Pretpostavimo sada da je a ̸= b. Tada je {a} ̸= {a, b}, pa skup {{a}, {a, b}} sadržidva različita elementa. Odvde zbog (1.1) sledi da i skup {{c}, {c, d}} sadrži dva različitaelementa, tj. {c} ̸= {c, d}, pa je c ̸= d. Iz

{a} ∈ {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}

i c ̸= d, budući da jednočlan skup ne može biti jednak dvočlanom skupu, sledi {a} = {c},tj. a = c. Iz

{a, b} ∈ {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}i a ̸= b, budući da dvočlan skup ne može biti jednak jednočlanom skupu, sledi {a, b} ={c, d}. Odavde dobijamo da b ∈ {c, d}, a kako je b ̸= a = c, zaključujemo da je b = d.�

Na osnovu Tvrd̄enja 1.1 važi ekvivalencija:

a ̸= b⇐⇒ (a, b) ̸= (b, a).

Ured̄ena trojka elemenata a, b i c, u oznaci (a, b, c), jeste uredjeni par ((a, b), c) i pri tomese kaže da je a prva, b druga i c treća koordinarta (projekcija, komponenta). Lako sepokazuje da je

(a, b, c) = (a1, b1, c1) ⇐⇒ a = a1 ∧ b = b1 ∧ c = c1.Ured̄ena n-torka elemenata a1, a2, . . . , an definǐse se za n ≥ 3 pomoću ured̄enog para iured̄ene (n− 1)-torke na sledeći način:

(a1, a2, . . . , an) = ((a1, a2, . . . , an−1), an),

pri čemu je a1 prva, a2 druga, ..., an n-ta koordinata (projekcija, komponenta). Takod̄evaži ekvivalencija

(a1, a2, . . . , an) = (b1, b2, . . . , bn) ⇐⇒ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ · · · ∧ an = bn.

Dekartov proizvod3 skupova A i B, u oznaci A × B, je skup svih ured̄enih parova (a, b)za koje je a ∈ A i b ∈ B, tj.

A×B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Umesto A×A pǐsemo A2.3Rene Dekart (R. Descartes (Cartesius)) (1596-1650), francuski filozof i matematičar

1.1. Relacije 11

Primer 1.2. Ako je A = {1, 2, 3} i B = {a, b}, onda je

A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)},B ×A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)},

A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)},B2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. •

Ako skup A sadrži m elemenata, a skup B n elemenata, onda skup A×B, kao i skupB ×A, sadrži m · n elemenata.

Primetimo da ako je A ̸= B, onda je A×B ̸= B ×A.Dekartov proizvod se definǐse i za vǐse od dva skupa. Naime, Dekartov proizvod

skupova A1, A2, ..., An, n ≥ 2, u oznaci A1×A2×· · ·×An, je skup svih ured̄enih n-torki(a1, a2, . . . , an) za koje je a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, ..., an ∈ An, tj.

A1 ×A2 × · · · ×An = {(a1, a2, . . . , an) : a1 ∈ A1 ∧ a2 ∈ A2 ∧ · · · ∧ an ∈ An}.

Ako je A1 = A2 = · · · = An = A, onda Dekartov proizvod obeležavamo sa An.

Nije teško pokazati da za proizvoljne skupove A, B i C važe jednakosti:

A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C), (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C),A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C), (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C),A× (B \ C) = (A×B) \ (A× C), (A \B)× C = (A× C) \ (B × C).

1.2 Relacije

Definicija 1.3. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Svaki podskup ρ ⊂ X × Y zove sebinarna relacija iz X u Y . Ako je X = Y , onda ćemo reći da je ρ binarna relacija naskupu X. 4

Ako je ρ ⊂ X×Y i ako za x ∈ X i y ∈ Y važi (x, y) ∈ ρ, onda kažemo da su elementix i y u relaciji ρ i pǐsemo xρy. �

Definicija 1.4. Neka je ρ binarna relacija na skupu X.Za ρ kažemo da je refleksivna ako za svako x ∈ X važi xρx.Relacija ρ je simetrična ako za sve x, y ∈ X važi implikacija:

xρy =⇒ yρx.

Relacija ρ je antisimetrična ako za sve x, y ∈ X važi implikacija:

xρy ∧ yρx =⇒ x = y.

Relacija ρ je tranzitivna ako za sve x, y, z ∈ X važi implikacija:

xρy ∧ yρz =⇒ xρz. �4Neka su A1, A2, . . . , An, n ∈ N, neprazni skupovi. Relacija ρ dužine n (n-arna relacija) je bilo koji

podskup Dekartovog proizvoda A1 ×A2 × · · · ×An.

12 Glava 1. Uvod

Primer 1.5. Neka je X = {1, 2, 3}. Relacija jednakosti na skupu X (zove se još idijagonala skupa X2) je

ρ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.

Ova relacija je refleksivna, simetrična, antisimetrična i tranzitivna.

Relacija

ρ1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 2)}

nije refleksivna jer (1, 1) /∈ ρ1 (takod̄e ni ured̄eni parovi (2, 2) i (3, 3) ne pripadajurelaciji), nije simetrična jer (1, 2) ∈ ρ1, ali (2, 1) /∈ ρ1. Ova relacija nije antisimetričnajer (2, 3) ∈ ρ1 i (3, 2) ∈ ρ1, ali 2 ̸= 3. Nije ni tranzitivna jer (1, 2) ∈ ρ1 i (2, 3) ∈ ρ1 ali(1, 3) /∈ ρ1 (osim toga, (2, 3) ∈ ρ1 i (3, 2) ∈ ρ1 ali (2, 2) /∈ ρ1 i (3, 3) /∈ ρ1).

Relacija

ρ2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}

je tranzitivna, ali nije refleksivna ((1, 1) /∈ ρ2), nije simetrična ((1, 2) ∈ ρ2, ali (2, 1) /∈ ρ2,(1, 3) ∈ ρ2, ali (3, 1) /∈ ρ2) i nije antisimetrična ((2, 3) ∈ ρ2 i (3, 2) ∈ ρ2, ali 2 ̸= 3).

Relacija

ρ3 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (3, 3)}

je simetrična, ali nije refleksivna, ni antisimetrična, ni tranzitivna ((1, 2), (2, 1) ∈ ρ3 ali(1, 1) /∈ ρ3), dok je relacija

ρ4 = X2 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}

refleksivna, simetrična, tranzitivna, ali nije antisimetrična.

Relacija

ρ5 = {(1, 2)}

nije refleksivna, ni simetrična, ali je antisimetrična i tranzitivna. •

Definicija 1.6. Binarna relacija ρ na skupu X je relacija ekvivalencije ako je refleksivna,simetrična i tranzitivna. �

Primeri 1.7. (i) Relacija jednakosti na ma kom nepraznom skupu je relacija ekvivalen-cije.

(ii) Relacija paralelnosti u skupu svih pravih u prostoru je relacija ekvivalencije.

Definicija 1.8. Binarna relacija ρ na skupu X je relacija poretka ili relacija ured̄enjaako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.

Za elemente x, y ∈ X kažemo da su uporedivi ako je xρy ili yρx. Ako su svaka dvaelementa skupa X uporediva relacijom poretka ρ, onda kažemo da je ρ relacija totalnog(potpunog) poretka ili da je relacija linearnog ured̄enja, dok za skup X u tom slučajukažemo da je lanac ili totalno (potpuno) ured̄en skup, ili da je linearno ured̄en skup. Akosvi elementi skupa X nisu uporedivi, onda kažemo da je ρ relacija delimičnog poretka ilirelacija delimičnog ured̄enja, a da je skup X delimično ured̄en skup relacijom ρ. �

Delimično ured̄en skup može biti sastavljen od lanaca.

1.2. Relacije 13

Primeri 1.9. (i) Relacija ≤ je relacija totalnog poretka na skupu realnih brojeva R.Zaista,

1) (∀x ∈ R)(x ≤ x) (refleksivnost);2) (∀x, y ∈ R)(x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y) (antisimetričnost);3) (∀x, y, z ∈ R)(x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z) (tranzitivnost);4) (∀x, y ∈ R)(x ≤ y ∨ y ≤ x) (svaka dva elementa su uporediva).Zbog važnosti ove relacije, uobičajena oznaka za relaciju poretka je ≤.

(ii) Neka je X proizvoljan skup. Relacija inkluzije ⊂ na partitivnom skupu skupa X,P(X), je relacija poretka, jer važi:

1) (∀A ∈ P(X))(A ⊂ A) (refleksivnost);2) (∀A,B ∈ P(X))(A ⊂ B ∧B ⊂ A =⇒ A = B) (antisimetričnost);3) (∀A,B,C ∈ P(X))(A ⊂ B ∧B ⊂ C =⇒ A ⊂ C) (tranzitivnost).Ako je X = ∅, onda je P(X) jednočlan skup, P(X) = {∅}, pa je očigledno ⊂ relacija

totalnog ured̄enja. Ako je pak skup X jednočlan, onda je P(X) = {∅, X}, pa je ⊂opet relacija totalnog poretka. U svim drugim slučajevima, tj. kada X ima barem dvaelementa, relacija inkluzije je relacija delimičnog ured̄enja. Na primer, ako je X = {a, b},onda za skupove A = {a} i B = {b} važi da niti je A ⊂ B, niti B ⊂ A, tj. A i B nisuuporedivi relacijom ⊂. Prema tome, skup P(X) je delimično ured̄en relacijom inkluzijei unija je sledećih lanaca: {∅, {a}, {a, b}} i {∅, {b}, {a, b}}.(iii) U skupu prirodnih brojeva N posmatramo relaciju deljivosti | :

x|y ⇐⇒ (∃k ∈ N) y = kx, x, y ∈ N.

Ovo je relacija delimičnog poretka na skupu N. Zaista1) (∀n ∈ N)(n = 1 · n) =⇒ (∀n ∈ N)(n|n) (refleksivnost);2) Neka su n,m ∈ N i neka n|m i m|n. Tada postoje k1, k2 ∈ N tako da je m = k1n

i n = k2m. Odavde sledi m = k1k2m i s obzirom da su k1, k2 ∈ N, zaključujemo da jek1 = k2 = 1. Stoga je m = n. Prema tome, relacija deljivosti je antisimetrična.

3) Neka su n,m, l ∈ N i neka n|m i m|l. To znači da postoje k1, k2 ∈ N tako da jem = k1n i l = k2m, i prema tome l = k1k2n. Kako je k1k2 ∈ N, iz jednakosti l = k1k2nsledi n|l. Ovim smo pokazali da je relacija deljivosti tranzitivna.

Budući da niti 2|3, niti 3|2, ovo nije relacija totalnog poretka i skup N je delimičnoured̄en ovom relacijom. Ipak možemo izdvojiti lance u odnosu na ovu relaciju u okviruskupa N. Tako, na primer, skupovi

{1, 2, 22, 23, 24, . . . }, {1, 3, 32, 33, 34, . . . }, {3, 3 · 2, 3 · 22, 3 · 23, 3 · 24, . . . }

su lanci.

Relacija deljivosti na skupu celih brojeva Z definisana sa:

m|l ⇐⇒ (∃k ∈ Z) l = km, m, l ∈ Z

nije relacija poretka, jer nije antisimetrična. Zaista, 2|(−2) i −2|2, ali nije 2 = −2. •

14 Glava 1. Uvod

Primetimo da ako je relacija simetrična to neće značiti da ona nije antisimetrična(primer za to je relacija jednakosti na ma kom nepraznom skupu, koja je i simetrična iantisimetrična relacija), a takod̄e i ako relacija nije simetrična to ne povlači da je onaantisimetrična. Na primer, relacija deljivosti na skupu celih brojeva nije ni simetrična,ni antisimetrična.

Neka je na skupu X data relacija poretka ≤, i neka je A ⊂ X. Za element m ∈ Xkažemo da je gornja granica ili majoranta skupa A ako za svako a ∈ A važi a ≤ m. Zaelement n ∈ X kažemo da je donja granica ili minoranta skupa A ako za svako a ∈ Avaži n ≤ a.

Ako postoji gornja granica skupa A koja pripada skupu A, onda se ona zove maksi-mum skupa A i obeležava sa maxA. Za donju granicu skupa A koja pripada skupu Akažemo da je minimum skupa A i obeležavamo je sa minA.

Primer 1.10. Ako posmatramo ured̄enje iz Primera 1.9 (i) i skup A = (0, 1], onda je 1gornja granica skupa A i pripada skupu A, pa je maxA = 1. Med̄utim skup B = [0, 1)nema maksimum, jer skup gornjih granica skupa B je interval [1,+∞) i nijedna gornjagranica skupa B ne pripada skupu B. Primetimo još da skup A nema minimum, dok jeminB = 0. •

Primer 1.11. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5}, X1 = {1, 2}, X2 = {2, 3}, G = X1 ∪ X2 ={1, 2, 3} i D = X1 ∩ X2 = {2}. Ako posmatramo relaciju inkluzije ⊂ na partitivnomskupu skupa X, P(X), onda je G gornja granica za skup A = {X1, X2} ⊂ P(X), dok jeD donja granica skupa A, jer važe inkluzije D ⊂ X1 ⊂ G i D ⊂ X2 ⊂ G. Takod̄e su iskupovi E = {1, 2, 3, 4}, F = {1, 2, 3, 5} i X gornje granice skupa A. Skup A nema nimaksimum, ni minimum. •

Ako skup A ima maksimum, onda je on jedinstven. Zaista, neka su m1 i m2 dvamaksimuma skupa A. To znači da su m1 i m2 gornje granice skupa A i da pripadajuskupu A. Iz činjenice da je m2 gornja granica skupa A i da m1 ∈ A sledi m1 ≤ m2, dokiz činjenice da je m1 gornja granica skupa A, a m2 ∈ A, sledi m2 ≤ m1. Prema tome,m1 = m2.

Slično se dokazuje da je minimum skupa, ukoliko postoji, jedinstven.Za skup A kažemo da je ograničen odozgo (odozdo) ako ima barem jednu gornju

(donju) granicu. Skup A je ograničen ako je odozdo i odozgo ograničen.Ako skup gornjih granica skupa A ima minimum, onda se taj element zove supremum

skupa A i obeležava sa supA. Ako posmatramo ured̄enje iz Primera 1.9 (i), onda možemoreći da je supremum najmanja med̄u svim gornjim granicama skupa A-govorićemo jed-nostavno da je supremum skupa A najmanja gornja granica skupa A.

Ako skup donjih granica skupa A ima maksimum, onda se taj element zove infimumskupa A i obeležava sa inf A. U slučaju ured̄enja iz Primera 1.9 (i) možemo reći da jeinfimum skupa A najveća donja granica skupa A.

Prema tome, element b ∈ X je supremum skupa A, b = supA, ako i samo važesledeća dva uslova:

(s1) (∀a ∈ A)(a ≤ b);(s2) (∀a ∈ A)(a ≤ c) =⇒ b ≤ c.

1.2. Relacije 15

Uslov (s1) znači da je b gornja granica skupa A, a uslov (s2) znači da za proizvoljnugornju granicu c skupa A važi b ≤ c.

Element b ∈ X je infmum skupa A, b = inf A, ako i samo ako važe sledeća dva uslova:(i1) (∀a ∈ A)(b ≤ a);(i2) (∀a ∈ A)(c ≤ a) =⇒ c ≤ b.Iz definicije sledi da ako postoji supremum (infimum) skupa A, onda je jedinstven.Napomenimo da maksimum (minimum) skupa A postoji ako i samo ako postoji

supremum (infimum) skupa A koji još i pripada skupu A. Zaista, neka je m maksimumskupa A. Tada je m gornja granica skupa A i m ∈ A. Prema tome, važi uslov (s1) iako je c proizvoljna gornja granica skupa A, onda budući da m ∈ A sledi m ≤ c, pa jezadovoljen i uslov (s2). Dakle, m je supremum skupa A koji pripada skupu A. Obrnuto,pretpostavimo da je m = supA i m ∈ A. Tada je m gornja granica skupa A koja pripadaskupu A, pa je m = maxA.

Na primer, posmatrajmo opet ured̄enje iz Primera 1.9 (i) i skupove A = (0, 1] iB = [0, 1). Skup gornjih granica i za jedan i za drugi skup je interval [1,+∞). Ovajskup ima minimum, to je 1, pa je supA = supB = 1. Kao što smo već uočili skup A imamaksimum, to je 1 (supremum skupa A pripada skupu A), dok skup B nema maksimum(supremum skupa B ne pripada skupu B).

Prema tome, maksimum skupa (ukoliko postoji) je i supremum skupa, dok obrnuto uopštem slučaju ne važi. Samo supremum skupa koji pripada skupu je maksimum skupa.

Primeri 1.12. (i) Posmatrajmo skup X = R \ {3}, relaciju ≤ iz Primera 1.9 (i) i skupA = {x ∈ R : x < 3} = (−∞, 3). Skup gornjih granica skupa A je skup {x ∈ R : 3 <x} = (3,+∞), a ovaj skup nema minimum, pa ne postoji supremum skupa A.(ii) Neka je X dati skup. U odnosu na relaciju inkluzije imamo da je svaki podskuppartitivnog skupa P(X) ograničen odozgo, naime, skup X je gornja granica.

Neka su A1, . . . , An ⊂ X i A = {A1, . . . , An}. Tada je u odnosu na relaciju inkluzije

supA = A1 ∪ · · · ∪An i inf A = A1 ∩ · · · ∩An.

(iii) Neka je A = {n1, n2, . . . , nk} ⊂ N. U odnosu na relaciju deljivosti | imamo da je

supA = NZS{n1, n2, . . . , nk} i inf A = NZD{n1, n2, . . . , nk}. •

Za x, y ∈ X pisaćemo da je x < y ako je x ≤ y i x ̸= y. Umesto x < y pisaćemo još iy > x.

Ako je ≤ relacija totalnog poretka na skupu X, onda je negacija uslova x < yekvivalentna uslovu y ≤ x: ¬(x < y) ⇐⇒ y ≤ x. 5

Neka je ≤ relacija totalnog poretka na skupu X, i neka je A ⊂ X. Za element b ∈ Xvaži b = supA ako i samo ako su ispunjena sledeća dva uslova:

(s1) (∀a ∈ A) a ≤ b;5Zaista, ¬(x < y) ⇐⇒ ¬(x ≤ y ∧ x ̸= y) ⇐⇒ ¬(x ≤ y)∨ x = y, a iz ¬(x ≤ y), budući da je ≤ relacija

totalnog poretka, sledi y ≤ x, i takod̄e iz x = y sledi y ≤ x, te iz ¬(x ≤ y) ∨ x = y sledi y ≤ x.Obrnuto, pretpostavimo da je y ≤ x. Dokažimo da važi ¬(x < y). Pretpostavimo suprotno, da je

x < y, tj. x ≤ y i x ̸= y. Kako je relacija ≤ antisimetrična, iz y ≤ x i x ≤ y sledi x = y, što je apsurd.Prema tome, y ≤ x povlači ¬(x < y).

16 Glava 1. Uvod

(s′2) (∀b′ < b)(∃a ∈ A) b′ < a.Da bismo dokazali prethodnu ekvivalenciju, pretpostavimo najpre da je b = supA.

Tada važi uslov (s1) i dokažimo da važi uslov (s′2). Pretpostavimo suprotno, tj. da važi

negacija:

¬(∀b′ < b)(∃a ∈ A) b′ < a.

Ovo je ekvivalentno uslovu:

(∃b′ < b)(∀a ∈ A)¬(b′ < a).

Prema tome, postoji b′ < b tako da za svako a ∈ A važi a ≤ b′, tj. b′ je gornja granicaskupa A za koju ne važi relacija b ≤ b′. Ovo je u suprotnosti sa tim da je b, kao supremumskupa A, minimum skupa gornjih granica skupa A. Dobijena protivurečnost dokazujeda važi uslov (s′2).

Obrnuto, pretpostavimo da važe uslovi (s1) i (s′2). Neka je c ∈ X gornja granica

skupa A. Tada važi b ≤ c, jer u protivnom bi bilo c < b pa bi prema uslovu (s′2) postojaoelement a ∈ A takav da je c < a, što je u suprotnosti sa tim da je c gornja granica skupaA. Prema tome, ispunjeni su uslovi (s1) i (s2), pa je b = supA.

Slično, ako je ≤ relacija totalnog poretka na skupu X i A ⊂ X, za element b ∈ Xvaži b = inf A ako i samo ako su ispunjena sledeća dva uslova:

(i1) (∀a ∈ A) b ≤ a;(i′2) (∀b′ > b)(∃a ∈ A) a < b′.Ako je ≤ relacija linearnog ured̄enja na skupu R i A ⊂ R, koristeći postojanje alge-

barskih operacija može se pokazati da je b = supA ako i samo ako su ispunjena sledećadva uslova:

(s1) (∀a ∈ A) a ≤ b;

(s′′2) (∀ϵ > 0)(∃a ∈ A) b− ϵ < a.

Uslov (s′′2) je ekvivalentan uslovu (s′2). Zaista, ako uzmemo da je b

′ = b− ϵ, onda jeuslov b′ < b ekvivalentan uslovu ϵ > 0.

Slično, ako je ≤ relacija linearnog ured̄enja na skupu R i A ⊂ R, tada je b = inf Aako i samo ako su ispunjena sledeća dva uslova:

(i1) (∀a ∈ A) b ≤ a;

(i′′2) (∀ϵ > 0)(∃a ∈ A) a < b+ ϵ.

1.3. FUNKCIJE 17

1.3 Funkcije

Neka su X i Y neprazni skupovi. Preslikavanje (funkcija) skupa X u skup Y je svakopravilo (propis, dogovor) f kojim se svakom elementu skupa X dodeljuje tačno jedanelement skupa Y . Ako je f preslikavanje skupa X u skup Y pisaćemo f : X → Y . Osimtermina funkcija, ili preslikavanje, koriste se i termini pridruživanje ili korespondencija.Element x ∈ X se obično naziva original (lik), a y ∈ Y njegova slika i pritom pǐsemo y =f(x). Kažemo još i da je x nezavisno promenljiva ili argument, a y zavisno promenljiva.

Ovo nije stroga matematička definicija funkcije, budući da uključuje pojmove pravilo(propis, dogovor) koje nismo prethodno definisali. Sledi stroga matematička definicijapojma funkcije koja se zasniva na pojmu skupa.

Definicija 1.13. Neka su X i Y neprazni skupovi. Podskup f Dekartovog proizvodaX × Y koji zadovoljava uslove

(i) (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ f ,(ii) (∀x ∈ X)(∀y1, y2 ∈ Y )((x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f =⇒ y1 = y2),zovemo preslikavanje (funkcija) f skupa X u skup Y .

Prema tome, funkcija f skupa X u skup Y je (binarna) relacija iz X u Y sa osobi-nama (i) i (ii). Umesto (x, y) ∈ f pǐsemo y = f(x), skup X zovemo domen (ili oblastdefinisanosti), a skup Y zovemo kodomen funkcije f . Domen funkcije f ćemo obeležavatisa Df .

Uslov (i) ove definicije govori o tome da svaki element x ∈ X može biti original zafunkciju f , dok uslov (ii) govori o jednoznačnosti (dobroj definisanosti) funkcije f , tj. dajednom originalu odgovara tačno jedna slika.

Kada je jasno koji su domen i kodomen funkcije, govorićemo jednostavno o funkcijix 7→ f(x), istićući time original i njegovu sliku.

Primer 1.14. Neka je X = {1, 2, 3} i Y = {a, b}, a ̸= b. Relacija ρ1 iz X u Y data sa:

ρ1 = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b)}

nije funkcija. Zaista, (1, a) ∈ ρ1 i (1, b) ∈ ρ1, ali a ̸= b, pa nije ispunjen uslov (ii) uDefiniciji 1.13.

Kod relacije

ρ2 = {(1, a), (2, a)} ⊂ X × Y

18 Glava 1. Uvod

vidimo da 3 ∈ X, ali ne postoji y ∈ Y tako da (3, y) ∈ ρ2, što znači da nije ispunjenuslov (i) u Definiciji 1.13 i stoga ova relacija nije funkcija.

Relacija

ρ3 = {(1, a), (2, a), (3, b)} ⊂ X × Yzadovoljava uslove (i) i (ii) Definicije 1.13, pa je ova relacija funkcija skupa X u skup Y .•

Neka su domen i kodomen funkcije f podskupovi skupa realnih brojeva R. U skladusa našom definicijom funkcija f je jednaka skupu

{(x, f(x)) | x ∈ Df},

koji se inače obeležava sa Γf i zove grafik funkcije f . Grafik funkcije se može interpretiratikao skup tačaka u koordinatnoj ravni6.

Definicija 1.15. Dve funkcije f1 : X1 → Y1 i f2 : X2 → Y2 su jednake ako su ispunjenisledeći uslovi:

(i) X1 = X2,(ii) Y1 = Y2,(iii) (∀x ∈ X1)f1(x) = f2(x)(f1 i f2 za bilo koji original imaju iste slike).

Definicija 1.16. Za dve funkcije f1 : X1 → Y1 i f2 : X2 → Y2, ako je:(i) X1 ⊂ X2,(ii) Y1 ⊂ Y2,(iii) (∀x ∈ X1)f1(x) = f2(x),

onda kažemo da je f1 restrikcija (suženje) funkcije f2, a da je f2 ekstenzija (produženje)funkcije f1. Ako je pritom Y1 = Y2, onda pǐsemo f1 = f2|X1 .

Definicija 1.17. Za funkciju f : X → Y kažemo da je 1-1 (injektivna, injekcija) akorazličitim originalima x1, x2 ∈ X uvek odgovaraju različite slike, tj. ako važi implikacija:

(∀x1, x2 ∈ X)(x1 ̸= x2 =⇒ f(x1) ̸= f(x2)). (1.2)

Drugim rečima, funkcija f je 1-1 ako ne postoje dva različita elementa skupa X kojiimaju istu sliku.

S obzirom na zakon kontrapozicije za implikaciju:

(p =⇒ q) ⇐⇒ (¬q =⇒ ¬p),

zaključujemo da je uslov (1.2) ekvivalentan sledećem:

(∀x1, x2 ∈ X)(f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2). (1.3)

Prema tome, funkcija f : X → Y je 1-1 ako važi uslov (1.3), tj. ako iz jednakosti slikasledi i jednakost odgovarajućih originala.

6Dve uzajmno ortogonalne orjentisane prave čine pravougli koordinatni sistem i zovu se koordinatneose, dok se njihova presečna tačka zove koordinatni početak i obeležava sa O. Jedna koordinatna osa senaziva apscisna osa ili x-osa, a druga ordinatna osa ili y-osa. Ravan sa ovako izabranim koordinatnimsistemom Oxy se naziva koordinatna ravan. U koordinatnoj ravni x-osa i y-osa odred̄uju četiri pravaugla. Unutrašnje oblasti ovih uglova nazivamo kvadrantima.

1.3. Funkcije 19

Primer 1.18. Neka je X = {1, 2, 3} i Y = {a, b, c, d}. Funkcija f : X → Y , data sa

f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c,

nije 1-1, jer 1 ̸= 2, ali je f(1) = f(2) = a.Funkcija g : X → Y , data sa

g(1) = a, g(2) = c, g(3) = d, za a ̸= c ̸= d ̸= a,

je injekcija. •

Ako je A ⊂ X, slika skupa A funkcijom f , u oznaci f(A), je skup svih onih elemenataiz Y koji su slika nekih elemenata iz A, tj.

f(A) = {f(x) |x ∈ A}.

Definicija 1.19. Za funkciju f : X → Y kažemo da je na (surjektivna, surjekcija) ako

(∀y ∈ Y )(∃x ∈ X) y = f(x).

Drugim rečima, funkcija f : X → Y je surjekcija ako je f(X) = Y .

Primetimo da funkcije f i g iz prethodnog primera nisu surjekcije (b ∈ Y , ali nepostoji x ∈ X, tako da je f(x) = b, niti postoji x ∈ X tako da je g(x) = b).

Primer 1.20. Neka je X = {1, 2, 3} i Y = {a, b}, a ̸= b. Funkcija h : X → Y , data sa

h(1) = b, h(2) = a, h(3) = a,

nije 1-1, ali je na. •

Definicija 1.21. Funkcija f : X → Y je bijektivna (bijekcija) ako je injektivna i surjek-tivna.

Primer 1.22. Neka je X = {1, 2, 3} i Y = {a, b, c}, a ̸= b ̸= c ̸= a. Funkcija f : X → Y ,data sa

f(1) = b, f(2) = a, f(3) = c,

je bijekcija. •

Primer 1.23. (i) Funkcija f1 : R → R data sa f1(x) = x2 nije ni injekcija (jer f1(−2) =f1(2) = 4) ni surjekcija (jer f1(x) ̸= −1 za svako x ∈ R).

(ii) Neka je R+ = {x ∈ R |x ≥ 0} i funkcija f2 : R+ → R data sa f2(x) = x2, tj.f2 = f1|R+ . Fukcija f2 je 1-1, ali nije na.

(iii) Ako isti analitički izraz definǐse funkciju f3 : R → R+, onda f3 nije 1-1, ali je na.(iv) Na kraju, restrikcija f4 : R+ → R+ funkcije f1 je bijekcija.(v) Neka je R− = {x ∈ R |x ≤ 0} i f5 : R− → R+ funkcija data takod̄e sa f5(x) = x2,

onda je f5 bijekcija. •

20 Glava 1. Uvod

Ako je f : X → Y funkcija i B ⊂ Y . Inverzna slika skupa B funkcijom f , u oznacif−1(B), je skup svih elemenata iz X koji se funkcijom f preslikavaju u skup B:

f←(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}.

Jasno, f←(Y ) = X.

Primer 1.24. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {a, b, c, d, e, g} (svi elementi skupa Y sumed̄usobno različiti) i funkcija f : X → Y data sa

f =

(1 2 3 4 5a a a g g

).

Za A = {1, 2} ⊂ X i B = {d, e, g} ⊂ Y važi f(A) = {a}, f←(B) = {4, 5}, f←(f(A)) ={1, 2, 3} i f(f←(B)) = {g}. Dakle, A $ f←(f(A)) i f(f←(B)) $ B. •

1

2

3

4

5

a

b

c

d

e

g

A f(A)

Bf (B)-1

X Y

Primer 1.25. Ako je f1 : R → R funkcija iz Primera 1.23, onda je f1(R+) = R+,f←1 (R+) = R i f←1 (R−) = {0}. Sledi f←1 (f1(R+))) = R i f1(f←1 (R−)) = f1({0}) = {0}.Prema tome, R+ $ f←1 (f1(R+))) i f1(f←1 (R−)) $ R−. •

Tvrd̄enje 1.26. Neka je f : X → Y .(1.26.1) Za svaki podskup A skupa X važi A ⊂ f←(f(A)).(1.26.2) Funkcija f je injekcija ako i samo ako za svaki podskup A skupa X važi A =f←(f(A)).

Dokaz. (1.26.1): Neka je x ∈ A. Tada f(x) ∈ f(A), tj. element x se funkcijom fpreslikava u skup f(A) i zato x ∈ f←(f(A)). Prema tome, A ⊂ f←(f(A)).

(1.26.2): Pretpostavimo da je f injekcija. Da bismo dokazali da je A = f←(f(A)), naosnovu (1.26.1), dovoljno je dokazati inkluziju f←(f(A)) ⊂ A. Neka je x ∈ f←(f(A)).Tada f(x) ∈ f(A), te postoji a ∈ A tako da je f(x) = f(a). Kako je f injekcija, sledix = a i zato x ∈ A. Prema tome, f←(f(A)) ⊂ A.

Obrnutu implikaciju, tj. tvrd̄enje da injektivnost funkcije f sledi iz činjenice da jeA =f←(f(A)) za svaki podskup A skupa X, dokazaćemo kontrapozicijom. Pretpostavimoda f nije injekcija. Pokazaćemo da postoji skup A ⊂ X takav da je A ̸= f←(f(A)). Izčinjenice da f nije injekcija sledi da postoje x1, x2 ∈ X, takvi da je x1 ̸= x2 i f(x1) =f(x2) = y. Neka je A = {x1}. Tada je f(A) = {y} i {x1, x2} ⊂ f←(f(A)). Prema tome,A ̸= f←(f(A)). �

1.3. Funkcije 21

Tvrd̄enje 1.27. Neka je f : X → Y .(1.27.1) Za svaki podskup B skupa Y važi f(f←(B)) ⊂ B.(1.27.2) Funkcija f je surjekcija ako i samo ako za svaki podskup B skupa Y važif(f←(B)) = B.

Dokaz. (1.27.1): Neka je B ⊂ Y . Kako je f←(B) skup svih elemenata iz X koji sefunkcijom f preslikavaju u skup B, tj. f(x) ∈ B za svako x ∈ f←(B), te je f(f←(B)) ⊂B.

(1.27.2): Neka je f surjekcija, B ⊂ Y i y ∈ B. Postoji x ∈ X tako da je f(x) = y.Sledi x ∈ f←(B), i prema tome y = f(x) ∈ f(f←(B)). Ovim smo pokazali da jeB ⊂ f(f←(B)) i s obzirom na (1.27.1) zaključujemo da važi jednakost f(f←(B)) = B.

Pretpostavimo da je f(f←(B)) = B za svaki podskup B skupa Y . Odavde za B = Ydobijamo f(f←(Y )) = Y . Kako je f←(Y ) = X, sledi f(X) = Y , tj. f surjekcija. �

Tvrd̄enje 1.28. Ako je f : X → Y , i A1 i A2 podskupovi skupa X, tada važi:(i) f(∅) = ∅,(ii) A1 ⊂ A2 =⇒ f(A1) ⊂ f(A2),(iii) f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2),(iv) f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2),(v) f(A1\A2) ⊃ f(A1)\f(A2).

Dokaz. Jednakost (i) i implikacija (ii) su očigledne.

(iii): Neka je y ∈ f(A1 ∪A2). Tada postoji x ∈ A1 ∪A2 takvo da je y = f(x). Kakox pripada bar jednom od skupova A1 i A2, to y = f(x) pripada bar jednom od skupovaf(A1) i f(A2), što znači da y pripada njihovoj uniji f(A1) ∪ f(A2). Ovim smo pokazalida je f(A1 ∪A2) ⊂ f(A1) ∪ f(A2).

Iz A1 ⊂ A1 ∪ A2 i A2 ⊂ A1 ∪ A2, na osnovu (ii), sledi f(A1) ⊂ f(A1) ∪ f(A2) if(A2) ⊂ f(A1) ∪ f(A2), te je f(A1) ∪ f(A2) ⊂ f(A1 ∪A2).

(iv): Kako je A1 ∩ A2 ⊂ A1 i A1 ∩ A2 ⊂ A2, na osnovu (ii) zaključujemo da važeinkluzije:

f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) i f(A1 ∩A2) ⊂ f(A2),

odakle sledi f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).(iv): Neka je y ∈ f(A1) \ f(A2). Tada y ∈ f(A1) i y /∈ f(A2). Stoga postoji x ∈ A1

tako da y = f(x), a s obzirom da y /∈ f(A2), zaključujemo da x /∈ A2. Stoga x ∈ A1 \A2,pa je y = f(x) ∈ f(A1 \A2). Tako smo dokazali inkluziju f(A1)\f(A2) ⊂ f(A1\A2). �

Primetimo da u (iv) i (v) inkluzije mogu biti stroge. Za funkciju f1 : R → R izPrimera 1.23 i skupove A1 = [−1, 0] i A2 = [0, 1] važi

f1(A1 ∩A2) = f({0}) = {0}, f1(A1\A2) = f1([−1, 0)) = (0, 1],f1(A1) = [0, 1], f1(A2) = [0, 1],

f1(A1) ∩ f1(A2) = [0, 1], f1(A1)\f1(A2) = ∅,

te je f1(A1 ∩A2) $ f1(A1) ∩ f1(A2) i f1(A1\A2) % f1(A1)\f1(A2).

22 Glava 1. Uvod

Sledeća dva tvrd̄enja pokazuju da je injektivnost funkcije f potreban i dovoljan uslovda se u (iv) i (v) znak inkluzije može zameniti znakom jednakosti (gore pomenuta funkcijaf1 nije injekcija).

Tvrd̄enje 1.29. Funkcija f : X → Y je injekcija ako i samo ako za svaka dva podskupaA1 i A2 skupa X važi f(A1 ∩A2) = f(A1) ∩ f(A2).

Dokaz. Pretpostavimo da je f injekcija. Neka su A1 i A2 proizvolnji podskupovi skupaX,i neka je y ∈ f(A1)∩f(A2). Tada postoje x1 ∈ A1 i x2 ∈ A2 tako da je y = f(x1) = f(x2).S obzirom da je f injekcija, zaključujemo da je x1 = x2, pa je x = x1 = x2 ∈ A1 ∩ A2, iiz y = f(x) sledi y ∈ f(A1 ∩A2). Prema tome, f(A1)∩ f(A2) ⊂ f(A1 ∩A2), što zajednosa inkluzijom (iv) u Tvrd̄enju 1.28 povlači jednakost f(A1 ∩A2) = f(A1) ∩ f(A2).

Obrnutu implikaciju, tj. tvrd̄enje da injektivnost funkcije f sledi iz činjenice da jef(A1 ∩ A2) = f(A1) ∩ f(A2) za svaka dva podskupa A1 i A2 skupa X, dokazaćemokontrapozicijom. Pretpostavimo da f nije injekcija. Pokazaćemo da postoje skupoviA1, A2 ⊂ X takvi da je f(A1∩A2) ̸= f(A1)∩ f(A2). Iz činjenice da f nije injekcija sledida postoje x1, x2 ∈ X, takvi da je x1 ̸= x2 i f(x1) = f(x2) = y. Neka je A1 = {x1} iA2 = {x2}. Tada je A1 ∩ A2 = ∅, f(A1) = {y} i f(A2) = {y}, i stoga je f(A1 ∩ A2) =∅ $ f(A1) ∩ f(A2) = {y}. �

Tvrd̄enje 1.30. Funkcija f : X → Y je injekcija ako i samo ako za svaka dva podskupaA1 i A2 skupa X važi f(A1\A2) = f(A1)\f(A2);

Dokaz. Neka je f injekcija i neka su A1 i A2 proizvolnji podskupovi skupa X. Izy ∈ f(A1\A2) sledi da postoji x ∈ A1\A2 tako da je y = f(x). Sledi x ∈ A1 i y = f(x) ∈f(A1). Pokažimo da y /∈ f(A2). Pretpostavimo suprotno, da postoji x′ ∈ A2 tako da jey = f(x′). Tada je y = f(x) = f(x′), i iz injektivnosti funkcije f sledi x = x′. Stogax ∈ A2, što je u suprotnosti sa tim da x ∈ A1\A2. Dobijena protivurečnost dokazuje day /∈ f(A2), a kako je y ∈ f(A1), zaključujemo da je y ∈ f(A1) \ f(A2). Prema tome,f(A1\A2) ⊂ f(A1) \ f(A2), i kako obrnuta inkluzija važi na osnovu Tvrd̄enja 1.28 (v),zaključujemo da važi jednakost f(A1\A2) = f(A1)\f(A2).

Obrnutu implikaciju dokazujemo kontrapozicijom. Pretpostavimo da f nije injekcija.Pokazaćemo da postoje podskupovi A1 i A2 skupa X takvi da je f(A1 \ A2) ̸= f(A1) \f(A2). S obzirom da funkcija f nije injekcija, postoje x1, x2 ∈ X takvi da je x1 ̸= x2i f(x1) = f(x2) = y. Neka je A1 = {x1} i A2 = {x2}. Tada je A1 \ A2 = {x1} = A1,f(A1) = {f(x1)} = {y}, f(A2) = {f(x2)} = {y}, pa je f(A1)\f(A2) = ∅ $ f(A1 \A2) =f(A1) = {y}. �

Tvrd̄enje 1.31. Funkcija f : X → Y je injekcija ako i samo ako za svaki podskup Askupa X važi f(CA) ⊂ Cf(A).

Dokaz. Neka je f injekcija i neka je A proizvoljan podskup skupa X. Iz Tvrd̄enja 1.30sledi da je f(CA) = f(X \ A) = f(X) \ f(A), a kako je f(X) ⊂ Y , to je f(CA) =f(X) \ f(A) ⊂ Y \ f(A) = Cf(A).

Obrnutu implikaciju, tj. tvrd̄enje da injektivnost funkcije f sledi iz činjenice da jef(CA) ⊂ Cf(A) za svaki podskup A skupa X, dokazujemo kontrapozicijom. Pret-postavimo da A nije injekcija. Tada postoje x1, x2 ∈ X takvi da je x1 ̸= x2 i f(x1) =

1.3. Funkcije 23

f(x2) = y. Neka je A = C{x1}. Tada je CA = {x1} i f(CA) = {f(x1)} = {y}. Sobzirom da je x1 ̸= x2, to x2 ∈ C{x1} = A, pa y = f(x2) ∈ f(A), i zato y /∈ Cf(A).Stoga nije f(CA) ⊂ Cf(A). �

Tvrd̄enje 1.32. Funkcija f : X → Y je surjekcija ako i samo ako za svaki podskup Askupa X važi f(CA) ⊃ Cf(A).

Dokaz. Neka je f surjekcija i neka y ∈ Cf(A). Iz surjektivnosti funkcije f sledi dapostoji x ∈ X takvo da je y = f(x), a iz y ∈ Cf(A) sledi da y /∈ f(A), tj. y ̸= f(a) zasvako a ∈ A. Odavde sledi da x /∈ A, tj. x ∈ CA, te je y = f(x) ∈ f(CA). Prema tome,Cf(A) ⊂ f(CA).

Obrnuto, neka za svaki podskup A skupa X važi f(CA) ⊃ Cf(A). Uzimajući daje A = ∅ dobijamo f(C∅) ⊃ Cf(∅), i kako je f(C∅) = f(X) i Cf(∅) = C∅ = Y , to jef(X) ⊃ Y . Ovo znači da je f surjekcija. �

Tvrd̄enje 1.33. Funkcija f : X → Y je bijekcija ako i samo ako za svaki podskup Askupa X važi f(CA) = Cf(A).

Dokaz. Sledi iz Tvrd̄enja 1.31 i 1.32. �

Tvrd̄enje 1.34. Ako je f : X → Y , i B, B1 i B2 podskupovi skupa Y , tada važi:(i) f←(∅) = ∅,(ii) B1 ⊂ B2 =⇒ f←(B1) ⊂ f←(B2),(iii) f←(B1 ∪B2) = f←(B1) ∪ f←(B2),(iv) f←(B1 ∩B2) = f←(B1) ∩ f←(B2),(v) f←(B1\B2) = f←(B1)\f←(B2),(vi) f←(CB) = Cf←(B).

Dokaz. Jednakost (i) i implikacija (ii) su očigledne.

(iii) Neka je x ∈ f←(B1∪B2). Tada je f(x) ∈ B1∪B2, tj. f(x) pripada bar jednom odskupova B1 i B2. Ovo znači da x pripada barem jednom od skupova f

←(B1) i f←(B2), i

stoga x ∈ f←(B1)∪f←(B2). Tako smo dokazali da je f←(B1∪B2) ⊂ f←(B1)∪f←(B2).Obrnuto, neka je x ∈ f←(B1) ∪ f←(B2). Tada x pripada barem jednom od skupova

f←(B1) i f←(B2), pa f(x) pripada barem jednom od skupova B1 i B2. Stoga je f(x) ∈

B1∪B2, i prema tome x ∈ f←(B1∩B2). Ovim smo dokazali inkluziju f←(B1)∪f←(B2) ⊂f←(B1 ∩B2).

Jednakost (iv) se dokazuje slično jednakosti (iii). Kako je

x ∈ f←(B1 ∩B2) ⇐⇒ f(x) ∈ B1 ∩B2⇐⇒ f(x) ∈ B1 ∧ f(x) ∈ B2⇐⇒ x ∈ f←(B1) ∧ x ∈ f←(B2)⇐⇒ x ∈ f←(B1) ∩ f←(B2),

zaključujemo da je

f←(B1 ∩B2) = f←(B1) ∩ f←(B2).

24 Glava 1. Uvod

(v) S obzirom da je

x ∈ f←(B1\B2) ⇐⇒ f(x) ∈ B1\B2⇐⇒ f(x) ∈ B1 ∧ f(x) /∈ B2⇐⇒ x ∈ f←(B1) ∧ x /∈ f←(B2)⇐⇒ x ∈ f←(B1)\f←(B2),

to važi jednakost f←(B1\B2) = f←(B1)\f←(B2).(vi) Iz (v) za B ⊂ Y sledi

f←(CB) = f←(Y \B) = f←(Y ) \ f←(B) = X \ f←(B) = Cf←(B). �

Definicija 1.35. Neka su f : X → Y i g : Z → U funkcije, i f(X) ⊂ Z. Tada funkcijuh : X → U definisanu sa h(x) = g(f(x)), x ∈ X, zovemo proizvod (slaganje, kompozicija)funkcija f i g i pǐsemo h = g ◦ f .

Stoga je (g ◦ f)(x) = g(f(x)) za sve x ∈ X.

Prema tome, kompozicija g ◦ f postoji samo ako je f(Df ) ⊂ Dg.

Primer 1.36. Neka je X = {1, 2, 3}, Y = {i, j, k, l,m, n}, Z = {i, n, o, p}, U ={7, 8, 9, 10, 11}, i funkcije f : X → Y i g : Z → U date sa

f =

(1 2 3i i n

)g =

(i n o p7 8 9 9

).

Kako je f(X) = {i, n} ⊂ Z, to je definisana kompozicija g ◦f : X → U i važi (g ◦f)(1) =g(f(1)) = g(i) = 7, (g ◦ f)(2) = g(f(2)) = g(i) = 7 i (g ◦ f)(3) = g(f(3)) = g(n) = 8, tj.

g ◦ f =(

1 2 37 7 8

). •

Ako je f : X → Y , g : Y → Z i h : Z → U , onda funkcije h ◦ (g ◦ f) i (h ◦ g) ◦ f imajui isti domen X i isti kodomen U i za svako x ∈ X važi

(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x))),((h ◦ g) ◦ f)(x) = (h ◦ g)(f(x)) = h(g(f(x))),

te je (h ◦ (g ◦ f))(x) = ((h ◦ g) ◦ f)(x). Zato važi jednakost

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.

Prema tome, kompozicija funkcija je asocijativna.Med̄utim, kompozicija funkcija nije komutativna. Zaista, ako postoji g ◦ f ne mora

postojati kompozicija f ◦ g. Na primer, ako je f : R+ → R funkcija data sa f(x) =√x, x ∈ R+, a funkcija g : R → R sa g(x) = −x2 − 1, x ∈ R, onda je kompozicija g ◦ f

1.3. Funkcije 25

definisana (f(Df ) = f(R+) = R+ ⊂ R = Dg i važi (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = −x−

1, x ∈ R+), dok kompozicija f ◦ g nije (g(Dg) = g(R) = {x ∈ R : x ≤ −1} * R+ = Df ).Čak i kada postoje kompozicije g ◦ f i f ◦ g, one ne moraju biti jednake. Zaista, ako

je funkcija f : R → R data sa f(x) = 2x, a g : R → R funkcija data sa g(x) = x + 1,x ∈ R, onda je (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x+1 i (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) =2(x+ 1) = 2x+ 2, i prema tome g ◦ f ̸= f ◦ g.

Tvrd̄enje 1.37. Neka je f : X → Y i g : Y → Z. Tada važi:(i) Ako su f i g injekcije, tada je i g ◦ f injekcija.(ii) Ako su f i g surekcije, tada je i g ◦ f surjekcija.(iii) Ako je g ◦ f injekcija, onda je f injekcija.(iv) Ako je g ◦ f surjekcija, onda je g surjekcija.

Dokaz. (i): Neka su f i g injekcije i (g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2) za x1, x2 ∈ X. Tada jeg(f(x1)) = g(f(x2)) i budući da je g injekcija, dobijamo f(x1) = f(x2). Odavde, zboginjektivnosti funkcije f , sledi x1 = x2. Prema tome, g ◦ f je injekcija.

(ii): Neka su f i g surjekcije. Tada je (g ◦ f)(X) = g(f(X)) = g(Y ) = Z, te je i g ◦ fsurjekcija.

(iii): Neka je g ◦ f injekcija i f(x1) = f(x2) za x1, x2 ∈ X. Odavde zbog jed-noznačnosti funkcije g sledi g(f(x1)) = g(f(x2)), tj. (g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2). Sada izinjektivnosti funkcije g ◦ f sledi x1 = x2. Prema tome, f je injekcija.

(iv): Neka je g ◦ f surjekcija. To znači da je (g ◦ f)(X) = Z, tj. g(f(X)) = Z. Izf(X) ⊂ Y sledi g(f(X)) ⊂ g(Y ) i zato je Z ⊂ g(Y ), a inače je g(Y ) ⊂ Z, pa je prematome, g(Y ) = Z i g je surjekcija.7 �

Identička funkcija skupa X, iX : X → X, je funkcija definisana sa iX(x) = x zax ∈ X. Očigledno je ova funkcija bijekcija.

Teorema 1.38. Neka je f : X → Y . Ako je f bijekcija, tada postoji jedinstvena funkcijag : Y → X tako da važe sledeća dva uslova:

g ◦ f = iX , (1.4)f ◦ g = iY , (1.5)

tj.

(∀x ∈ X) g(f(x)) = x,(∀y ∈ Y ) f(g(y)) = y.

Obrnuto, ako postoji funkcija g : Y → X tako da važe uslovi (1.4) i (1.5), onda je fbijekcija.

7Dokaz smo mogli izvesti i na sledeći način:Neka je z ∈ Z proizvoljno izabran elemenat. Kako je g ◦ f surjekcija, to postoji x ∈ X tako da je

(g ◦ f)(x) = z. Odavde sledi g(f(x)) = z i f(x) ∈ Y , tj. f(x) je element skupa Y koji se funkcijom gpreslikava u z. Prema tome, za proizvoljan element z skupa Z postoji element skupa Y koji se funkcijomg preslikava u z, pa je g surjekcija.

26 Glava 1. Uvod

Dokaz. Neka je f : X → Y bijekcija i y ∈ Y . Iz surjektivnosti funkcije f sledi dapostoji x ∈ X tako da je f(x) = y. Iz injektivnosti funkcije f sledi da je x jedan jedinielement iz skupa X za koji je f(x) = y. Na taj način je svakom y ∈ Y pridružen tačnojedan element x ∈ X takav da je y = f(x). Obeležimo sa g : Y → X ovako definisanopreslikavanje skupa Y u skup X. Dakle g će y ∈ Y slikati u onaj element x ∈ X za kojije f(x) = y, tj. g(y) = x ako i samo ako je f(x) = y.

Dokažimo da za funkciju g važe jednakosti (1.4) i (1.5). Neka je x ∈ X proizvoljnoi neka je y = f(x). Tada je g(y) = x i (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x. Neka je saday ∈ Y proizvoljno i neka je x = g(y). Tada je f(x) = y i (f ◦g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y.Prema tome, dokazali smo postojanje funkcije g : Y → X za koju važe uslovi (1.4) i(1.5). Dokažimo sada da je ona jedinstvena.

Neka je g1 : Y → X funkcija koja ispunjava uslove (1.4) i (1.5), tj. neka važig1 ◦ f = iX , f ◦ g1 = iY . Neka je y ∈ Y proizvoljan. Tada postoji x ∈ X tako da jef(x) = y. Odavde zbog uslova (1.4) imamo g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) = iX(x) = x, atakod̄e i g1(y) = g1(f(x)) = (g1 ◦ f)(x) = iX(x) = x, te je g(y) = g1(y). Sledi g = g1.

Obrnuto, ako postoji funkcija g : Y → X tako da važe uslovi (1.4) i (1.5), ondaiz Tvrd̄enja 1.37 (iii) i (iv) sledi da je f bijekcija (primetimo da je iz istih razloga i gbijekcija). �

Ako je funkcija f : X → Y bijekcija, jedinstvena bijekcija g : Y → X za kojuvaže uslovi (1.4) i (1.5) zove se inverzna funkcija funkcije f i obeležava sa f−1. Daklef−1 ◦ f = iX i f ◦ f−1 = iY , tj.

(∀x ∈ X) f−1(f(x)) = x,(∀y ∈ Y ) f(f−1(y)) = y.

Napomenimo da ako postoji inverzna funkcija funkcije f : X → Y , i ako je B ⊂ Y ,inverzna slika skupa B funkcijom f biće isto što i slika skupa B funkcijom f−1 : Y → X,tj. f←(B) = f−1(B).

Ako su X i Y neprazni podskupovi skupa realnih brojeva R i f : X → Y bijekcija,onda za sve x ∈ Df važi ekvivalencija

(x, f(x)) ∈ Γf ⇐⇒ (f(x), x) ∈ Γf−1 .

Budući da je tačka koja se preidružuje ured̄enom paru(x, f(x)) u koordinatnoj ravni Oxy simetrična tačkipridruženoj ured̄enom paru (f(x), x) u odnosu napravu y = x, to su grafik funkcije i grafik njoj in-verzne funkcije simetrični u odnosu na pravu y = x(simetralu prvog i trećeg kvadranta).

Primer 1.39. Nad̄imo inverznu funkciju za funkciju f4 iz Primera 1.23: f4 : R+ → R+,f4(x) = x

2, x ∈ R+.Stavimo da je za x ∈ R+, f4(x) = y, tj. x2 = y. Odavde x =

√y, tj. f−14 (y) =

√y.

Kako je uobičajeno da nezavisno promenljiva bude označena sa x, pisaćemo f−14 (x) =√x.

1.4. GRUPOID, GRUPA, PRSTEN I POLJE 27

Funkcija f5 : R− → R+, f5(x) = x2, x ∈ R− (Primer 1.23), je takod̄e bijekcija. Izy = x2, budući da x ∈ R−, sledi x = −√y, tj. f−15 (y) = −

√y. Prema tome, inverzna

funkcija funkcije f5 je data sa f−15 (x) = −

√x, x ∈ R+. •

1.4 Grupoid, grupa, prsten i polje

Neka je X neprazan skup. Preslikavanje f : X2 → X se zove binarna operacija skupa X.8Uobičajeno je da se za binarne operacije koriste oznake ◦, +, ·, ∗, ⊕, itd. i umesto, recimo⊕((a, b)) = c, gde su a, b, c ∈ X, pǐse a⊕ b = c. Operacija obeležena sa + obično se nazivaaditivna operacija, dok se operacija obeležena sa · naziva multiplikativna operacija.

Primer binarne operacije je preslikavanje (a, b) 7→ a+ b skupa N2 u skup N, tj. dobropoznata operacija sabiranja prirodnih brojeva.

Za binarnu operaciju ◦ skupa X kažemo da je1) asocijativna ako

(∀a, b, c ∈ X) a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c;

2) komutativna ako

(∀a, b ∈ X) a ◦ b = b ◦ a.

Neka su ◦ i ⊕ dve binarne operacije skupa X. Ako je

(∀a, b, c ∈ X) a ◦ (b⊕ c) = (a ◦ b)⊕ (a ◦ c),

tada kažemo da za operaciju ◦ važi levi distributivni zakon u odnosu na operaciju ⊕.Ako je

(∀a, b, c ∈ X) (a⊕ b) ◦ c = (a ◦ c)⊕ (b ◦ c),

onda kažemo da za operaciju ◦ važi desni distributivni zakon u odnosu na operaciju ⊕.8Preslikavanje f : Xn → X se zove n-arna oprecija skupa X ili operacija dužine n skupa X. Ako je

n = 1, onda se operacija zove unarna, a ako je n = 2 onda kažemo da je operacija binarna. Na primer,komplementiranje je unarna operacija u skupu P(X). Preslikavanje n 7→ n+1 je unarna operacija skupaN.

28 Glava 1. Uvod

Ako za operaciju ◦ važe i levi i desni distributivni zakon u odnosu na operaciju ⊕,onda ćemo reći da za operaciju ◦ važi distributivni zakon u odnosu na operaciju ⊕.

Sabiranje prirodnih brojeva je komutativna operacija, dok stepenovanje nije, jer je,na primer, 23 ̸= 32.

Takod̄e, sabiranje prirodnih brojeva je asocijativna operacija, ali stepenovanje nije,jer je, na primer, (23)4 = 212 i 2(3

4) = 281.

Množenje prirodnih brojeva je distrubutivna operacija u odnosu na sabiranje (i slevai zdesna), ali sabiranje nije distributivna operacija u odnosu na množenje, jer je, naprimer, 2 + (3 · 4) = 14 i (2 + 3) · (2 + 4) = 5 · 6 = 30.

Definicija 1.40. Ured̄eni par (X, ◦) nepraznog skupa X i binarne operacije ◦ skupa Xzovemo grupoid.

Par (N,+) je grupoid, a takod̄e i (N, ·) gde su + i · redom sabiranje i množenje.Med̄utim par (N,−) nije grupoid, gde je − operacija oduzimanja.

Definicija 1.41. Ako je (X, ◦) grupoid i ako postoji element e ∈ X takav da je

(∀x ∈ X)x ◦ e = e ◦ x = x,

onda kažemo da je e neutralni elemenat grupoida X.

U slučaju multiplikativne operacije neutralni element se naziva jedinični element ilijedinica i obeležava sa 1, dok se u slučaju aditivne operacije naziva nula i obeležava sa0.

Tvrd̄enje 1.42. Ako u grupoidu (X, ◦) postoji neutralni elemenat, onda je on jedinstven.

Dokaz. Neka su e1 i e2 dva neutralna elementa u grupoidu X. Tada je

e1 = e1 ◦ e2 = e2.

Prema tome, neutralni element je jedinstven. �

Definicija 1.43. Neka u grupoidu (X, ◦) postoji neutralni element i neka x, y ∈ X. Akoje

x ◦ y = y ◦ x = e,

onda kažemo da je y simetrični element elementa x i pǐsemo y = x′.

Iz definicije je jasno da ako je y simetričan element elementa x, onda je i x simetričanelement elementa y, tj. x′ = y ako i samo ako je y′ = x i stoga, (x′)′ = x.

U slučaju multiplikativne operacije simetrični element elementa x se naziva inverznielement elementa x i označava sa x−1, dok se u slučaju aditivne operacije naziva suprotnielement elementa x i označava sa −x.

Definicija 1.44. Ured̄eni par (X, ◦) nepraznog skupa X i asocijativne binarne operacije◦ skupa X zovemo polugrupa.

1.4. Grupoid, grupa, prsten i polje 29

Na primer, poznate polugrupe su (N,+) i (N, ·).

Tvrd̄enje 1.45. Neka u polugrupi (X, ◦) postoji neutralni element e, i neka je x ∈ X.Simetrični element elementa x, ukoliko postoji, je jedinstven.

Dokaz. Neka su x′ i x′′ simetrični elementi elementa x. Tada je

x′ = x′ ◦ e = x′ ◦ (x ◦ x′′) = (x′ ◦ x) ◦ x′′ = e ◦ x′′ = x′′.

Prema tome, simetrični element elementa x je jedinstven. �

Definicija 1.46. Neka su (X, ◦) i (Y,⊕) dva grupoida. Preslikavanje f : X → Y takvoda je

(∀x1, x2 ∈ X) f(x1 ◦ x2) = f(x1)⊕ f(x2),

zove se homomorfizam grupoida (X, ◦) u grupoid (Y,⊕).

Homomorfizam koji je surjektivan (injektivan) se zove epimorfizam (monomorfizam).Homomorfizam koji je još i bijekcija se zove izomorfizam.

Preslikavanje f : N → N, dato sa f(n) = 3n, je homomorfizam grupoida (N,+) ugrupoid (N, ·), jer

(∀n,m ∈ N) f(n+m) = 3n+m = 3n · 3m = f(n) · f(m).

Kako je f još i injekcija, to je f monomprfizam grupoida (N,+) u grupoid (N, ·).

Tvrd̄enje 1.47. Neka je f : X → Y izomorfizam grupoida (X, ◦) u grupoid (Y,⊕).Tada je f−1 : Y → X izomorfizam grupoida (Y,⊕) u grupoid (X, ◦).

Dokaz. Budući da je f bijekcija, inverzna funkcija f−1 postoji i takod̄e je bijekcija.Pokažimo da je f−1 homomorfizam. Neka su y1, y2 ∈ Y . Zbog surjektivnosti funkcije fpostoje x1, x2 ∈ X takvi da je f(x1) = y1 i f(x2) = y2. Kako je f homomorfizam, sledi

f−1(y1 ⊕ y2) = f−1(f(x1)⊕ f(x2)) = f−1(f(x1 ◦ x2)) = x1 ◦ x2 == f−1(y1) ◦ f−1(y2),

te je i f−1 homomorfizam. Prema tome, f−1 je izomorfizam. �Ako su dva grupoida izomorfna, onda oni imaju iste algebarske osobine.

Tvrd̄enje 1.48. Neka je f : X → Y epimorfizam grupoida (X, ◦) u grupoid (Y,⊕).Ako je operacija ◦ skupa X komutativna (asocijativna), onda je i operacija ⊕ skupa Ykomutativna (asocijativna).

Dokaz. Neka je operacija ◦ komutativna i neka su y1, y2 ∈ Y . Funkcija f je surjekcija, papostoje x1, x2 ∈ X takvi da je f(x1) = y1 i f(x2) = y2. Budući da je f homomorfizam,a operacija ◦ komutativna, sledi

y1 ⊕ y2 = f(x1)⊕ f(x2) = f(x1 ◦ x2) = f(x2 ◦ x1) = f(x2)⊕ f(x1) = y2 ⊕ y1.

Pema tome, ⊕ je komutativna operacija.Slično se pokazuje da je ⊕ acocijativna operacija ako je ◦ asocijativna operacija. �

30 Glava 1. Uvod

Tvrd̄enje 1.49. Neka je f epimorfizam grupoida (X, ◦) u grupoid (Y,⊕). Ako u grupoidu(X, ◦) postoji neutralni element e, onda je f(e) neutralni element u grupoidu (Y,⊕).

Dokaz. Neka je y ∈ Y proizvoljan elemenat. Iz surjektivnosti funkcije f sledi da postojix ∈ X takav da je f(x) = y. Kako je f homomorfizam, to je

y ⊕ f(e) = f(x)⊕ f(e) = f(x ◦ e) = f(x) = y,f(e)⊕ y = f(e)⊕ f(x) = f(e ◦ x) = f(x) = y.

Prema tome, f(e) je neutralni element u grupoidu (Y,⊕). �

Definicija 1.50. Grupoid (X, ◦) za koji važi

(∀x, y, z ∈ X) x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z,(∀x ∈ X)(∃e ∈ X) x ◦ e = e ◦ x = x,(∀x ∈ X)(∃x′ ∈ X) x ◦ x′ = x′ ◦ x = e,

zovemo grupa.

Drugim rečima, polugrupa, u kojoj postoji neutralni element i u kojoj svaki elementima simetrični elemenat, zove se grupa.

Definicija 1.51. Ako je (X, ◦) grupa, a operacija ◦ komutativna, onda kažemo da je(X, ◦) Abelova9 grupa.

Par (N,+) nije grupa, ali je (Z,+) Abelova grupa.

Tvrd̄enje 1.52. U grupi (X, ◦) važi zakon kancelacije (kraćenja), tj.

(∀ a, x, y ∈ X)(a ◦ x = a ◦ y =⇒ x = y), (1.6)

i(∀ a, x, y ∈ X)(x ◦ a = y ◦ a =⇒ x = y). (1.7)

Dokaz. Neka su a, x, y ∈ X i a ◦ x = a ◦ y. Kako a ima simetrični element a′ i kako jeoperacija ◦ asocijativna, to je

a ◦ x = a ◦ y =⇒ a′ ◦ (a ◦ x) = a′ ◦ (a ◦ y)=⇒ (a′ ◦ a) ◦ x = (a′ ◦ a) ◦ y=⇒ e ◦ x = e ◦ y=⇒ x = y.

Analogno se dokazuje (1.7). �

Tvrd̄enje 1.53. Neka je (X, ◦) grupa i x, y ∈ X. Tada važi

(x ◦ y)′ = y′ ◦ x′.9N. Abel (1802-1829), norveški matematičar

1.4. Grupoid, grupa, prsten i polje 31

Dokaz.10

(x ◦ y) ◦ (x ◦ y)′ = e =⇒ x′ ◦ ((x ◦ y) ◦ (x ◦ y)′) = x′ ◦ e=⇒ (x′ ◦ (x ◦ y)) ◦ (x ◦ y)′ = x′

=⇒ ((x′ ◦ x) ◦ y) ◦ (x ◦ y)′ = x′

=⇒ (e ◦ y) ◦ (x ◦ y)′ = x′

=⇒ y ◦ (x ◦ y)′ = x′

=⇒ y′ ◦ (y ◦ (x ◦ y)′) = y′ ◦ x′

=⇒ (y′ ◦ y) ◦ (x ◦ y)′ = y′ ◦ x′

=⇒ e ◦ (x ◦ y)′ = y′ ◦ x′

=⇒ (x ◦ y)′ = y′ ◦ x′. �

Tvrd̄enje 1.54. Neka je (X, ◦) grupa i a, b ∈ X. Tada jednačina

a ◦ x = b (1.8)

ima jedistveno rešenje x = a′ ◦ b. Takod̄e, jednačina

y ◦ a = b (1.9)

ima jedistveno rešenje y = b ◦ a′.

Dokaz. Kako jea ◦ (a′ ◦ b) = (a ◦ a′) ◦ b = e ◦ b = b,

x = a′ ◦ b je rešenje jednačine (1.8). Pokažimo da je ovo rešenje jedinstveno. Pret-postavimo da je x1 takod̄e rešenje jednačine (1.8). Tada je

a ◦ x = b i a ◦ x1 = b,

i zatoa ◦ x = a ◦ x1.

Kako u grupi važi zakon kancelacije, sledi

x = x1.

Prema tome, rešenje jednačine (1.8) je jedinstveno.Analogno se dokazuje tvrd̄enje za jednačinu (1.9). �

10Dokaz možemo izvesti i na sledeći način:Kako je

(y′ ◦ x′) ◦ (x ◦ y) = ((y′ ◦ x′) ◦ x) ◦ y = (y′ ◦ (x′ ◦ x)) ◦ y = (y′ ◦ e) ◦ y = y′ ◦ y = e

i(x ◦ y) ◦ (y′ ◦ x′) = x ◦ (y ◦ (y′ ◦ x′)) = x ◦ ((y ◦ y′) ◦ x′) = x ◦ (e ◦ x′) = x ◦ x′ = e,

to je simetrični element elementa x ◦ y upravo y′ ◦ x′, tj. (x ◦ y)′ = y′ ◦ x′.

32 Glava 1. Uvod

Definicija 1.55. Ured̄ena trojka (X,+, ·), gde je X neprazan skup, a + i · binarneoperacije skupa X je prsten ako su ispunjeni sledeći uslovi:

1) (X,+) je Abelova grupa,2) (X, ·) je polugrupa,3) operacija · je distributivna u odnosu na operaciju +, tj. važi

(∀x, y, z ∈ X)(x · (y + z) = (x · y) + (x · z) ∧ (x+ y) · z = (x · z) + (y · z)).

Abelovu grupu (X,+) nazivamo aditivna, a polugrupu (X, ·) multiplikativna. Podse-timo se da neutralni element grupe (X,+) zovemo nula i označavamo sa 0. Simetrični ele-ment elementa x u grupi (X,+) zovemo suprotni element i označavamo sa −x. Da bismopojednostavili pisanje dogovorićemo se da je operacija · vǐseg prioriteta od operacije +,pa ćemo, recimo, umesto x · (y + z) = (x · y) + (x · z), pisati x · (y + z) = x · y + x · z

Trojka (Z,+, ·) je prsten. Kako je polugrupa (Z, ·) komutativna i sa jedinicom, zaprsten (Z,+, ·) kažemo da je komutativan prsten sa jedinicom.

Tvrd̄enje 1.56. Neka je (X,+, ·) prsten. Tada za svako x ∈ X važi

x · 0 = 0 · x = 0.

Dokaz. Iz

x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0,

sledi

0 + x · 0 = x · 0 + x · 0.

Kako u grupi (X,+) važi zakon kancelacije,11 to je 0 = x · 0. Analogno se dokazuje daje 0 · x = 0. �

Za prsten ćemo reći da je netrivijalan ako sadrži bar jedan element različit od 0.Ako je (X,+, ·) netrivijalan prsten sa jedinicom 1 (1 je neutralni element za operaciju·), onda je 1 ̸= 0. Zaista, ako bi važila jednakost 1 = 0, onda bi za svako x ∈ X imalix = x · 1 = x · 0 = 0, što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je prsten netrivijalan.Primetimo takod̄e da u netrivijalnom prstenu sa jedinicom 0 ne može imati inverznielemenat. Zaista, ako bi nula imala inverzni element 0′, onda bi 0 · 0′ = 1, dok bi naosnovu Tvrd̄enja 1.56 važilo 0 · 0′ = 0, i prema tome 1 = 0, što, kao što smo videli, nijemoguće u netrivijalnom prstenu.

11Ako i levoj i desnoj strani jednakosti x · 0 = x · 0 + x · 0 dodamo suprotni element elementa x · 0,dobićemo

−(x · 0) + x · 0 = −(x · 0) + (x · 0 + x · 0)0 = (−(x · 0) + x · 0) + x · 00 = 0 + x · 00 = x · 0.

1.4. Grupoid, grupa, prsten i polje 33

Tvrd̄enje 1.57. Neka je (X,+, ·) prsten i x, y ∈ X. Tada važi

(−x) · y = x · (−y) = −(x · y), (1.10)(−x) · (−y) = x · y. (1.11)

Dokaz. Iz Tvrd̄enja 1.56 sledi

(−x) · y + x · y = ((−x) + x) · y = 0 · y = 0,

i zato je (−x) ·y suprotni element elementa x ·y, tj. (−x) ·y = −(x ·y). Slično se dokazujeda je x · (−y) = −(x · y). Iz (1.10) sledi

(−x) · (−y) = −(x · (−y)) = −(−(x · y)) = x · y. �

Definicija homomorfizma, monomorfizma, epimorfizma i izomorfizma prenosi se naprstene na prirodan način.

Definicija 1.58. Neka su (X,+, ·) i (Y,⊕,⊙) dva prstena. Preslikavanje f : X → Ytakvo da je

(∀x1, x2 ∈ X) f(x1 + x2) = f(x1)⊕ f(x2),(∀x1, x2 ∈ X) f(x1 · x2) = f(x1)⊙ f(x2),

zove se homomorfizam prstena (X,+, ·) u prsten (Y,⊕,⊙).

Definicija 1.59. Komutativan prsten (X,+, ·) takav da je (X\{0}, ·) grupa, gde je 0neutralni element grupe (X,+), naziva se polje.

Neutralni element grupe (X\{0}, ·) zovemo jedinica i označavamo sa 1.

Iz 1 ∈ X\{0} sledi 1 ̸= 0, pa je polje netrivijalan prsten (ovo sledi i iz činjenice da je(X\{0}, ·) grupa, te je X\{0} neprazan skup).

Prema tome, ured̄ena trojka (X,+, ·), gde je X neprazan skup, a + i · binarneoperacije skupa X je polje ako su ispunjeni sledeći uslovi:

1) (X,+) je Abelova grupa,2) (X\{0}, ·) je Abelova grupa, gde je 0 neutralni element grupe (X,+),3) operacija · je distributivna u odnosu na operaciju +. 12 13Simetrični element elementa x u grupi (X\{0}, ·) zovemo inverzni element elementa x

i označavamo sa x−1. Prema tome, polje je netrivijalan komutativni prsten sa jedinicomu kome svaki nenula element ima inverz.

Primeri polja su (R,+, ·) i (Q,+, ·).12Ova definicija polja je ekvivalentna Definiciji 1.59. Zaista, budući da je za dokaz jednakosti a · 0 =

0 · a = 0 bilo dovoljno da je na skupu X definisana opracija ·, da je (X,+) grupa i da je operacije ·distributivna u odnosu na opraciju +, to onda iz (1), (2) i (3) sledi da jednakosti a · (b · c) = (a · b) · c ia · b = b · a važe za sve a, b, c ∈ X (a ne samo za a, b, c ∈ X\{0}), pa je (X,+, ·) komutativni prsten zakoji važi da je (X\{0}, ·) grupa, tj. (X,+, ·) je polje. Obrnuto, da iz Definicije 1.59 slede (1), (2) i (3),je očigledno.

13Ako je X neprazan skup sa dve binarne operacije + i · takve da su (X,+) i (X, ·) Abelove grupe (0je neutralni element grupe (X,+) i 1 neutralni element grupe (X, ·)) i da je operacija · distributivna uodnosu na operaciju +, onda je X = {0}, tj. (X,+, ·) je trivijalni prsten. Zaista, (X,+, ·) je prsten is obzirom da je (X, ·) grupa, svaki element skupa X, pa i 0 imaće inverzni element, označimo ga sa 0′,odakle će slediti da je 0 = 0 · 0′ = 1 i stoga je za svako x ∈ X, x = x · 1 = x · 0 = 0, te je X = {0}.

34 Glava 1. Uvod

Tvrd̄enje 1.60. Ako je (X,+, ·) polje, tada važi:(i) Neutralni element operacije + je jedinstveno odred̄en.

(ii) Za svaki element x ∈ X postoji jedinstveno odred̄en njegov suprotni element.(iii) Za svako a, b ∈ X jednačina a+ x = b ima jedinstveno rešenje.(iv) Neutralni element operacije · je jedinstveno odred̄en.(v) Za svaki element x ∈ X\{0} postoji jedinstveno odred̄en njegov inverzni element.(vi) Za svako a ∈ X\{0} i svako b ∈ X, jednačina a · x = b ima jedinstveno rešenje.(vii) Za svako x ∈ X, x · 0 = 0.(viii) Za svako x, y ∈ X, (−x) · y = x · (−y) = −(x · y) i (−x) · (−y) = xy.(ix) Za svako x, y ∈ X važi implikacija

x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.

(x) Za svako x ∈ X, (−1) · x = −x.

Dokaz. Tvrd̄enja (i) i (iv) slede iz Tvrd̄enja 1.42. Iz činjenice da su (X,+) i (X\{0}, ·)grupe i Tvrd̄enja 1.45 slede tvrd̄enja (ii) i (v). Tvrd̄enje (iii) sledi iz činjenice da je(X,+) grupa i Tvrd̄enja 1.54, a (vi) se dokazuje analogno Tvrd̄enju 1.54. Tvrd̄enje (vii)sledi iz Tvrd̄enja 1.56, a tvrd̄enje (viii) iz Tvrd̄enja 1.57.

Budući da je iskazna formula

(p =⇒ q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ ¬q =⇒ r)

tautologija, da bismo dokazali (ix) dovoljno je dokazati da iz x ·y = 0 i x ̸= 0 sledi y = 0.Iz x ̸= 0 sledi da postoji x−1 ∈ X, i množeći jednakost x · y = 0 sa x−1 dobijamo

x−1 · x · y = x−1 · 0, tj. y = x−1 · 0. Na osnovu Tvrd̄enja 1.56 (jer svako polje je prsten)sledi y = 0.

(x): Iz(−1) · x+ x = (−1) · x+ 1 · x = (−1 + 1) · x = 0 · x = 0

sledi da je (−1) · x suprotni element elementa x, tj. (−1) · x = −x. �

1.5 Polje realnih brojeva

U ovoj sekciji uvodimo skup realnih brojeva aksiomatski.

Definicija 1.61. Polje (R,+, ·) naziva se polje realnih brojeva ako su ispunjeni sledećiuslovi:

(1) Na skupu R je definisana relacija totalnog poretka ≤ za koju važi:(1.1) (∀a, b, c ∈ R)(a ≤ b =⇒ a+ c ≤ b+ c),

(1.2) (∀a, b ∈ R)(0 ≤ a ∧ 0 ≤ b =⇒ 0 ≤ a · b).

(2) Za svaka dva neprazna podskupova A i B skupa R, takva da je a ≤ b za sve a ∈ A,b ∈ B, postoji c ∈ R tako da je a ≤ c ≤ b za sve a ∈ A, b ∈ B.

1.6. NEKE POSLEDICE AKSIOMA URED̄ENOG POLJA 35

Osobine (1.1) i (1.2) govore da je relacija totalnog ured̄enja saglasna sa operacijama+ i ·. Za polje sa takvim osobinama kažemo da je ured̄eno polje. Aksioma (2) se zoveaksioma neprekidnosti ili aksioma potpunosti. Napomenimo da se aksioma neprekidnostine može izvesti iz ostalih aksioma polja realnih brojeva, i jedino ju je moguće zamenitinekim njoj ekvivalentnim iskazom. Inače za skup realnih brojeva kažemo da je neprekidnoured̄eno polje.

Operacije + i · se nazivaju, respektivno, sabiranje i množenje. Umesto a · b pǐsemoab. Za dva realna broja a i b, zbir a + (−b) se zove razlika brojeva a i b i obeležava saa − b. Za b ∈ R\{0} inverzni element u odnosu · obeležava se sa b−1 ili 1

b. Količnik

brojeva a ∈ R i b ∈ R\{0} je a · 1bi obeležava se sa

a

b.

Koristimo i oznake ≥, : a ≥ b ⇐⇒ b ≤ a, a < b ⇐⇒ a ≤ b ∧ a ̸= b, a > b ⇐⇒a ≥ b ∧ a ̸= b.

Napomenimo da su sva neprekidna ured̄ena polja izomorfna med̄u sobom. To značida ako su (R1,+1, ·1,≤1) i (R2,+2, ·2,≤2) dva neprekidna ured̄ena polja (na skupu Ridefinisane su operacije +i i ·i i relacija totalnog ured̄enja ≤i koja je saglasna sa op-eracijama +i i ·i, i za skup Ri važi aksioma (1.61.2), i = 1, 2), onda postoji bijekcijaf : R1 → R2 takva da je za sve x, y ∈ R1 važi:

f(x+1 y) = f(x) +2 f(y),

f(x ·1 y) = f(x) ·2 f(y),x ≤1 y ⇐⇒ f(x) ≤2 f(y).

Zato možemo reći da je skup realnih brojeva jedinstven do na izomorfizam.

1.6 Neke posledice aksioma ured̄enog polja

Budući da je polje, za (R,+, ·) važe sve one osobine navedene u Tvrd̄enju 1.60. Dokažimojoš neke osobine koje su posledica aksioma polja.

Tvrd̄enje 1.62. (i) Za a, b ∈ R\{0} važi

1

ab=

1

a· 1b.

(ii) Za a, c ∈ R i b, d ∈ R\{0} važi

a

b+c

d=ad+ cb

bd.

Dokaz. (i): Iz Tvrd̄enja 1.53 i komutativnosti operacije · sledi

1

ab= (ab)−1 = b−1a−1 = a−1b−1 =

1

a· 1b.

36 Glava 1. Uvod

(ii): Neka su a, c ∈ R i b, d ∈ R\{0}. Tada je

ad+ cb

bd= (ad+ cb)(bd)−1 = (ad+ cb)b−1d−1 =

= adb−1d−1 + cbb−1d−1 = ab−1 + cd−1 =

=a

b+c

d. �

Dokažimo sada neke osobine koje su posledica aksioma ured̄enog polja.

Tvrd̄enje 1.63. Neka su a, b, c, d ∈ R.(i) Važi tačno jedna od mogućnosti:

a < b, a = b, a > b.

(ii) a < b =⇒ a+ c < b+ c.(iii) 0 < a ∧ 0 < b =⇒ 0 < ab.(iv) a ≤ b⇐⇒ 0 ≤ b− a⇐⇒ −b ≤ −a⇐⇒ a− b ≤ 0.

Analogno važi kad se relacijski znak ≤ zameni znakom 0.

(vii) a ≤ b ∧ 0 ≤ c =⇒ ac ≤ bc;a ≤ b ∧ c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc;a < b ∧ 0 < c =⇒ ac < bc;a < b ∧ c < 0 =⇒ ac > bc.

(viii) 0 ≤ a ≤ b ∧ 0 ≤ c ≤ d =⇒ 0 ≤ ac ≤ bd;a ≤ b ≤ 0 ∧ c ≤ d ≤ 0 =⇒ 0 ≤ bd ≤ ac.Analogno važi ako se znak ≤ zameni znakom 0.

14Primetimo da ako je a < 0 < b i c < 0 < d, onda u opštem slučaju ne možemo nǐsta reći o odnosuac i bd. Naime, može se desiti da je ac < bd, ali se može desiti i da je ac > bd. Na primer,

−1 < 0 < 1, −2 < 0 < 1 i (−1) · (−2) = 2 > 1 · 1 = 1,−1 < 0 < 2, −2 < 0 < 3 i (−1) · (−2) = 2 < 2 · 3 = 6.

1.6. Neke posledice aksioma ured̄enog polja 37

(xii) a > 0 =⇒ 1a> 0.

(xiii) 0 < a < b =⇒ 1a>

1

b> 0;

a < b < 0 =⇒ 0 > 1a>

1

b.

(xiv) a > 1 =⇒ a2 > a;0 < a < 1 =⇒ 0 < a2 < a.Analogno važi ako se znak > ( b isključuje ostala dva.

(ii): Neka je a < b. Tada je a ≤ b i na osnovu uslova (1.1) u Definiciji 1.61 sledia+c ≤ b+c. Ako bi bilo a+c = b+c, onda bi, s obzirom da u grupi (R,+) važi kraćenje,važilo a = b, što je u suprotnosti sa a < b. Sledi a+ c ̸= b+ c, te je stoga a+ c < b+ c.

(iii): Neka je 0 < a i 0 < b. Tada je 0 ≤ a i 0 ≤ b i na osnovu uslova (1.2) u Definiciji1.61 sledi 0 ≤ ab. Ako bi bilo ab = 0, onda bismo na osnovu Tvrd̄enja 1.60 (ix) imali daje a = 0 ili b = 0, što je u suprotnosti sa a ̸= 0 i b ̸= 0. Prema tome, ab ̸= 0, što zajednosa 0 ≤ ab povlači 0 < ab.

(iv): Za a, b ∈ R važi:

a ≤ b =⇒ a+ (−a) ≤ b+ (−a) =⇒ 0 ≤ b− a =⇒=⇒ 0 + (−b) ≤ b− a+ (−b) =⇒ −b ≤ −a =⇒ a+ (−b) ≤ a+ (−a)=⇒ a− b ≤ 0 =⇒ a− b+ b ≤ 0 + b =⇒ a ≤ b.

(v): Na osnovu uslova (1.1) u Definiciji 1.61, iz a ≤ b sledi a+ c ≤ b+ c, dok iz c ≤ dsledi b+ c ≤ b+ d. Iz tranzitivnosti relacije ≤ dobijamo a+ c ≤ b+ d.

(vi): Neka je a ≤ 0 i b ≥ 0. Tada je 0 ≤ −a na osnovu (iv), a na osnovu uslova (1.2)u Definiciji 1.61 sledi 0 ≤ (−a)b, tj. 0 ≤ −ab. Opet primenom (iv) dobijamo ab ≤ 0.Ostala tvrd̄enja se dokazuju slično.

(vii): Neka je a ≤ b i 0 ≤ c. Tada je na osnovu (iv) 0 ≤ b − a, a iz uslova (1.2) uDefiniciji 1.61 sledi 0 ≤ (b− a)c, tj. 0 ≤ bc− ac. Opet na osnovu (iv) sledi ac ≤ bc.

Neka je a ≤ b i c ≤ 0. Tada je a − b ≤ 0 i na osnovu druge implikacije u (vi)zaključujemo da je (a− b)c ≥ 0, tj. ac− bc ≥ 0, odakle na osnovu (iv) sledi ac ≥ bc.

Ostala tvrd̄enja se dokazuju slično.

(viii): Neka je 0 ≤ a ≤ b i 0 ≤ c ≤ d. Na osnovu prve implikacije u (vii) i uslova(1.2) u Definiciji 1.61, iz 0 ≤ a ≤ b i 0 ≤ c sledi 0 · c ≤ ac ≤ bc, dok iz c ≤ d i 0 ≤ b sledibc ≤ bd. Sada na osnovu tranzitivnosti relacije ≤ sledi 0 ≤ ac ≤ bd.

Pretpostavimo da je a ≤ b ≤ 0 i c ≤ d ≤ 0. Tada na osnovu druge implikacije u (vii)iz a ≤ b i c ≤ 0 sledi ac ≥ bc, dok iz c ≤ d ≤ 0 i b ≤ 0 sledi bc ≥ bd ≥ b ·0 = 0, tj. bc ≤ aci 0 ≤ bd ≤ bc, odakle na osnovu tranzitivnosti relacije ≤ sledi 0 ≤ bd ≤ ac.

(ix): Sledi iz (viii).

38 Glava 1. Uvod

(x): Neka je a ≥ 0. Iz uslova (1.2) Definicije 1.61 sledi a2 ≥ 0. Ako je a ≤ 0, ondaiz (vi) sledi a2 ≥ 0. Dakle za svako a ∈ R je a2 ≥ 0. Ako je a ̸= 0, onda je a2 ̸= 0 naosnovu Tvrd̄enja 1.60 (ix), i zato je a2 > 0.

(xi): Kako je 1 ̸= 0, iz (x) sledi 1 = 12 > 0.(xii): Neka je a > 0. Ako je

1

a≤ 0, na osnovu (vi) sledi 1 = a1

a≤ 0, što je u

suprotnosti sa (xi). Prema tome,1

a> 0.

(xiii): Neka je 0 < a < b. Iz (iii) sledi ab > 0, te je1

ab> 0 na osnovu (xii). Sada iz

(vii) i Tvrd̄enja 1.62 (i) dobijamo

0 < a < b =⇒ 0 < a 1ab

< b1

ab=⇒ 0 < a1

a

1

b< b

1

a

1

b=⇒ 0 < 1

b<

1

a.

Neka je sada a < b < 0. Iz (vi) sledi ab > 0, te je1

ab> 0 na osnovu (xii). Zato

a < b < 0 =⇒ a 1ab

< b1

ab< 0 =⇒ a1

a

1

b< b

1

a

1

b< 0 =⇒ 1

b<

1

a< 0.

(xiv): Neka je a > 1. Kako je a > 0, iz (vii) sledi a · a > 1 · a, tj. a2 > a.Ako je 0 < a < 1, onda takod̄e iz (vii) sledi a · a < a · 1, tj. a2 < a. �

Za broj x kažemo da je pozitivan (negativan) ako je x > 0 (x < 0) i nepozitivan(nenegativan) ako je x ≤ 0 (x ≥ 0).

Pojam apsolutne vrednosti realnog broja x uvodimo sa:

|x| = max{x,−x}. (1.12)

Tako je |3| = max{3,−3} = 3 i | − 3| = max{−3,−(−3)} = max{−3, 3} = 3.Jasno, |0| = 0. Ako je x > 0, onda je x > −x, te je |x| = x. Ako je x < 0, onda je

−x > 0 > x, i stoga je |x| = −x. Prema tome,

|x| =

x, ako je x > 0,0, ako je x = 0,−x, ako je x < 0.

(1.13)

Tvrd̄enje 1.64. Neka su x, y, a ∈ R. Tada važi:(i) |x| = | − x|.(ii) Za a > 0,

|x| = a⇐⇒ x = a ∨ x = −a.(iii) Za a > 0,

|x| ≤ a⇐⇒ −a ≤ x ≤ a.Analogno važi ako se znak ≤ zameni znakom 0,|x| ≥ a⇐⇒ x ≤ −a ∨ x ≥ a.Analogno važi ako se znak ≤ zameni znakom

1.6. Neke posledice aksioma ured̄enog polja 39

(v) Za ϵ > 0,

|x− a| ≤ ϵ⇐⇒ a− ϵ ≤ x ≤ a+ ϵ.

Analogno važi ako se znak ≤ zameni znakom 0. Tada je|x| ≤ a⇐⇒ max{x,−x} ≤ a⇐⇒ x ≤ a ∧ −x ≤ a⇐⇒ −a ≤ x ≤ a.(iv): Neka je a > 0. Tada je|x| ≥ a⇐⇒ max{x,−x} ≥ a⇐⇒ x ≥ a ∨ −x ≥ a⇐⇒ x ≤ −a ∨ x ≥ a.(v): Neka je ϵ > 0. Iz (iii) i uslova (1.1) Definicije 1.61 sledi

|x− a| ≤ ϵ⇐⇒ −ϵ ≤ x− a ≤ ϵ⇐⇒ a− ϵ ≤ x ≤ a+ ϵ.

(vi): Iz (1.12) sledi x ≤ |x| i −x ≤ |x|. Prema tome, −|x| ≤ x ≤ |x|.(vii): Ako je x + y ≥ 0, onda iz (1.13) i (vi) sledi |x + y| = x + y ≤ |x| + |y|. Ako jex+ y < 0, onda opet iz (1.13) i (vi) sledi |x+ y| = −(x+ y) = −x+ (−y) ≤ |x|+ |y|.

Nejednakost trougla je moguće dokazati i na sledeći način: iz (vi) sledi −|x| ≤ x ≤ |x|i −|y| ≤ y ≤ |y|, odakle na osnovu Tvrd̄enja 1.63 (v) dobijamo

−(|x|+ |y|) ≤ x+ y ≤ |x|+ |y|.

Sada na osnovu (iii) sledi |x+ y| ≤ |x|+ |y|.(viii): Iz nejednakosti trougla sledi |x| = |x− y + y| ≤ |x− y|+ |y|, pa je

|x| − |y| ≤ |x− y|.

Ako u zadnjoj nejednakosti x i y zamene mesta dobijamo |y|−|x| ≤ |y−x| = |−(x−y)| =|x− y|, tj.

−(|x| − |y|) ≤ |x− y|.

Zato je

||x| − |y|| = max{|x| − |y|,−(|x| − |y|)} ≤ |x− y|.

Iz nejednakosti trougla i (v) sledi

|x− y| = |x+ (−y)| ≤ |x|+ | − y| = |x|+ |y|.

40 Glava 1. Uvod

(ix): Ako je x ≥ 0 i y ≥ 0, onda je xy ≥ 0 (uslov (1.2) u Definiciji 1.61), i iz (1.13) sledi|xy| = xy = |x||y|. Ako je x ≥ 0 i y ≤ 0 onda je, na osnovu Tvrd̄enja 1.63 (vi), xy ≤ 0.Iz (1.13) i Tvrd̄enja 1.60 (viii) sledi |xy| = −(xy) = x(−y) = |x||y|. Slično, ako je x ≤ 0i y ≥ 0, sledi xy ≤ 0 i |xy| = −(xy) = (−x)y = |x||y|. Za slučaj da je x ≤ 0 i y ≤ 0,iz Tvrd̄enja 1.63 (vi) sledi xy ≥ 0. Na osnovu (1.13) i Tvrd̄enja 1.60 (viii) dobijamo|xy| = xy = (−x)(−y) = |x||y|.(x): Neka je z =

x

y. Tada je x = zy. Na osnovu (ix) sledi |x| = |z||y|. Odavde, budući

da je |y| ̸= 0 (jer y ̸= 0), sledi |z| = |x||y|

, tj.

∣∣∣∣xy∣∣∣∣ = |x||y| . �

1.7 Neki važniji podskupovi skupa realnih brojeva

Definicija 1.65. Podskup A skupa R naziva se induktivnim ako važi

(∀x)(x ∈ A =⇒ x+ 1 ∈ A).

Primer induktivnog skupa je sam skup R.Pokažimo da je presek proizvoljne familije induktivnih skupova takod̄e induktivan

skup.

Neka je {Ai : i ∈ I} familija induktivnih skupova i neka je x ∈∩i∈I

Ai. Tada x ∈ Ai

za svako i ∈ I, i kako je Ai induktivan skup za svako i ∈ I, to x+1 ∈ Ai za svako i ∈ I.Prema tome, x+ 1 ∈

∩i∈I

Ai, pa je∩i∈I

Ai induktivan skup.

Prema tome, presek svih induktivnih podskupova skupa R koji sadrže 1 jeste induk-tivan skup koji sadrži 1, i to najmanji takav (u smislu inkluzije).

Definicija 1.66. Skup N prirodnih brojeva jeste najmanji induktivan podkup skupa Rkoji sadrži 1.

Prema tome, broj 1 je prirodan broj i ako je n prirodan broj, onda je i n+1 prirodanbroj. Dalje koristimo uobičajene oznake 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, . . . . Dakle,1, 2, 3, 4, . . . su prirodni brojevi.

Sledeća teorema sledi neposredno iz definicije skupa prirodnih brojeva.

Teorema 1.67. Neka je M ⊂ N takav da je(1) 1 ∈M ,(2) (∀x)(x ∈M =⇒ x+ 1 ∈M).

Tada je M = N .

Dokaz. Iz (1) i (2) sledi da je M induktivan skup koji sadrži 1, a kako je N najmanji usmislu inkluzije induktivan skup koji sadrži 1, to je N ⊂ M . Kako je već M ⊂ N, slediM = N. �

Sledeće tvrd̄enje je poznato pod nazivom princip matematičke indukcije.

1.7. Neki važniji podskupovi skupa realnih brojeva 41

Posledica 1.68. Ako je iskaz T (n), koji zavisi od prirodnog broja n,

(1) istinit za prirodan broj 1,

(2) i ako iz pretpostavke da je istinit za prirodan broj n sledi da je istinit za prirodanbroj n+ 1,

onda je T (n) istinit je za svaki prirodan broj n.

Dokaz. Neka je M = {n ∈ N : T (n) je istinit iskaz}. Skup M je podskup skupa N iispunjava uslove (1) i (2) u Teoremi 1.67, na osnovu koje onda sledi da je M = N, tj.T (n) je istinit iskaz za svaki prirodan broj n. �

Skup N ima sledeće osobine:

Tvrd̄enje 1.69. (i) m, n ∈ N =⇒ m+ n, mn ∈ N.(ii) n ∈ N i n ̸= 1 =⇒ n− 1 ∈ N.(iii) m, n ∈ N i m > n =⇒ m− n ∈ N.(iv) min N = 1.

m,n ∈ N i m > n =⇒ m ≥ n+ 1.(v) Svaki neprazan skup A ⊂ N ima minimum.

Dokaz. (i): Neka je m ∈ N fiksiran i A = {n ∈ N : m + n ∈ N}. Skup N je induktivan,pa je m + 1 ∈ N i zato 1 ∈ A. Ako je n ∈ A, tj. m + n ∈ N onda je m + (n + 1) =(m+ n) + 1 ∈ N, pa je n+ 1 ∈ A. Skup A ispunjava uslove Teoreme 1.67, pa je A = N,tj. za sve n ∈ N je m+ n ∈ N.

Neka je B = {n ∈ N : mn ∈ N}. Kako m · 1 = m ∈ N, sledi 1 ∈ B. Neka je n ∈ B.Tada mn ∈ N i m(n+1) = mn+n ∈ N na osnovu upravo dokazanog tvrd̄enja da je zbirdva prirodna broja prirodan broj. Prema tome, n + 1 ∈ B i skup B ispunjava usloveTeoreme 1.67, pa je B = N, tj. za sve n ∈ N je mn ∈ N.(ii): Neka je A = {n + 1 |n ∈ N} ∪ {1}. Pokažimo da je A induktivan skup. Neka jem ∈ A i m ̸= 1. Tada postoji n ∈ N tako da je m = n + 1. Odavde imamo da jem + 1 = (n + 1) + 1 ∈ A, jer je zbog n ∈ N i n + 1 ∈ N. Prema tome, A je induktivanskup i kako je očigledno A ⊂ N i 1 ∈ A, na osnovu Teoreme 1.67 zaključujemo da jeA = N. Odavde sledi da za svako m ∈ N, m ̸= 1, postoji n ∈ N tako da je m = n + 1,odakle dobijamo da je m− 1 = n ∈ N.(iii): Neka je m ∈ N fiksiran. Ako je n = 1 i m > n = 1, tada je m ̸= 1 i na osnovu (ii)imamo da je m− n = m− 1 ∈ N. Pretpostavimo da iz m > n sledi m− n ∈ N. Neka jem > n + 1. Budući da je n + 1 > n, zaključujemo da je m > n i stoga m − n ∈ N. Izm > n+ 1 sledi m− n > 1. Prema tome, m− n ̸= 1 i zbog m− n ∈ N, na osnovu (ii),zaključujemo da je (m− n)− 1 ∈ N, tj. m− (n+1) ∈ N. Tako smo indukcijom pokazalida iz m > n sledi m− n ∈ N, m, n ∈ N.(iv): Dokažimo da je min N = 1. Neka je A = {n ∈ N : n ≥ 1}. Budući da je 1 ≥ 1 sledi1 ∈ A. Neka je n ∈ A. Tada je n ≥ 1, a kako je 1 ≥ 0, na osnovu Tvrd̄enja 1.63 (v) sledin+ 1 ≥ 1 + 0 = 1, i stoga n+ 1 ∈ A. Na osnovu Teoreme 1.67 sledi A = N, tj. za svakon ∈ N je n ≥ 1. Prema tome, min N = 1.

42 Glava 1. Uvod

Neka su m, n ∈ N i neka je m > n. Na osnovu (iii) sledi m − n ∈ N. Kako jemin N = 1, zaključujemo da je m− n ≥ 1 i prema tome, m ≥ n+ 1.(v): Neka je ∅ ̸= A ⊂ N. Ako 1 ∈ A, onda budući da je min N = 1 zaključujemo da jemin A = 1.

Neka sada 1 /∈ A, tj. 1 ∈ B = N \ A. U skupu B postoji element n sa osobinom dasvi prirodni brojevi manji od njega pripadaju skupu B, a da n+1 ∈ A, jer u protivnomako takav element ne bi postojao, onda bi to značilo da za skup B važi implikacija:n ∈ B =⇒ n + 1 ∈ B, a kako je 1 ∈ B ⊂ N, na osnovu Teoreme 1.67 bi sledilo daje B = N, što je suprotno pretpostavci da je A = N \ B neprazan skup. Nad̄eni brojn + 1 pripada skupu A i biće minimum skupa A, jer izmed̄u n i n + 1 nema prirodnihbrojeva15. �

Primer 1.70. Koristeći princip matematičke indukcije, pokazaćemo Bernulijevu16 ne-jednakost:

Ako je h > −1 i n ∈ N, tada je

(1 + h)n ≥ 1 + nh, (1.14)

pri čemu jednakost važi samo ako je n = 1 ili h = 0.

Dokažimo najpre da je

(1 + h)n > 1 + nh, (1.15)

za h > −1, h ̸= 0 i n ≥ 2.Kako je (1 + h)2 = 1 + 2h+ h2 > 1 + 2h jer je h2 > 0 zbog h ̸= 0, to je nejednakost

(1.15) tačna za n = 2 i petpostavimo da je tačna za neko n ∈ N. Budući da je 1+h > 0,množeći obe strane nejednakosti (1.15) sa 1 + h dobijamo

(1 + h)n+1 = (1 + h)n(1 + h) > (1 + nh)(1 + h)