Exercícios resolvidos - Média Aritmética Simples e Ponderada

1) Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?

Como visto na parte teórica, a solução deste exercício resume-se em somarmos os

números e dividirmos este total por quatro, que é a quantidade de números:

Logo:

A média aritmética simples destes números é 10.

2) Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que

os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?

Neste outro caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu respectivo

peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela soma total

dos pesos:

Assim sendo:

A média aritmética ponderada deste conjunto de números é 22.

3) Dado um conjunto de quatro números cuja média aritmética simples é 2,5 se

incluirmos o número 8 neste conjunto, quanto passará a ser a nova média aritmética

simples?

Na parte teórica vimos que a soma dos elementos de um conjunto de números, dividida

pela quantidade de elementos deste conjunto, resulta na média aritmética simples entre

eles. Se chamarmos esta soma de S, em função do enunciado podemos nos expressar

matematicamente assim:

Passando o divisor 4 para o segundo membro e o multiplicando pelo termo 2,5,

obteremos a soma destes quatro números que é igual a 10:

Ao incluirmos o número 8 neste conjunto de números, a soma dos mesmos passará de

10 para 18 e como agora teremos 5 números ao invés de 4, a média dos mesmos será 18

dividido por 5 que é igual a 3,6:

Portanto:

Ao inserirmos o número 8 neste conjunto de números, a média aritmética simples

passará a ser igual a 3,6.

4) Em uma sala de aula os alunos têm altura desde 130cm até 163cm, cuja média

aritmética simples é de 150cm. Oito destes alunos possuem exatamente 163cm. Se estes

oito alunos forem retirados desta classe, a nova média aritmética será de 148cm.

Quantos alunos há nesta sala de aula?

Sabemos que a média aritmética simples de um conjunto de números é igual à soma dos

mesmos dividida pela quantidade de números deste conjunto. Se chamarmos de S a

soma da altura de todos os alunos desta classe e de n o número total de alunos, podemos

escrever a seguinte equação:

Isolando a variável S temos:

O enunciado nos diz que se retirarmos todos os oito alunos que medem 163cm, teremos

148cm como a nova média de altura da turma. Expressando esta informação em forma

de equação temos:

Novamente isolemos a variável S:

Como na primeira equação calculamos que , vamos trocar S na segunda

equação por 150n:

Enfim:

Nesta sala de aula há 60 alunos.

5) Um comerciante pretende misturar 30 kg de um produto A, que custa R$ 6,80/kg

com um produto B que custa R$ 4,00/kg para obter um produto de qualidade

intermediária que custe R$ 6,00/kg. Quantos quilogramas do produto B serão utilizados

nesta mistura?

Interpretando o enunciado, entendemos que devemos somar o valor total de dois

produtos e depois dividir este total pela soma da quantidade destes dois produtos, de

sorte que o resultado, ou seja, a média, resulte em R$ 6,00/kg.

A representação matemática desta situação pode ser vista abaixo:

Como sabemos que A = 30, vamos substituí-lo na equação a fim de podermos encontrar

o valor de B:

Portanto:

12 kg do produto B serão utilizados nesta mistura para que o quilograma do produto

final custe R$ 6,00.

6) A média das notas dos 50 alunos de uma classe e 7,7. Se considerarmos apenas as

notas dos 15 meninos, a nota média é igual a 7. Qual a média das notas se

considerarmos apenas as meninas?

Nesta classe de 50 alunos temos 15 meninos e consequentemente temos 35 meninas.

Se somarmos a pontuação total obtida pelas meninas, à pontuação total obtida pelos

meninos e dividirmos o valor desta soma pelo número de alunos da classe, iremos obter

a sua média que é igual a 7,7.

Como sabemos, ao multiplicarmos o valor da média pela quantidade de elementos,

obtemos o somatório dos mesmos.

Em função do explanado acima, para solucionar o problema vamos montar uma

equação onde chamaremos de x a média das notas das meninas:

Solucionando a equação temos:

Logo:

A média das notas das meninas é igual a 8.

7) A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertencentes ao conjunto

do números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses

números pode ter?

Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores que a

compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre

vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a

mesma média.

Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o

quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a

44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir.

Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não nulos

são: 2, 4 e 6.

Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação:

Solucionando-a temos:

Assim sendo:

O maior valor que um desses números pode ter é 164.

Exercícios resolvidos - Porcentagem

1) Quanto é 15% de 80?

Aulas de Porcentagem em Vídeo

Multiplique 15 por 80 e divida por 100:

Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 15% na sua forma

decimal, que é 0,15 por 80:

15% de 80 é igual a 12.

2) Quanto é 70% de 30?

Multiplique 70 por 30 e divida por 100:

Ou então você pode multiplicar 70% na sua forma decimal, que é 0,70 por 30:

70% de 30 é igual a 21.

3) Quanto é 150% de 45?

Multiplique 150 por 45 e divida por 100:

Você também pode simplesmente multiplicar 150% na sua forma decimal, que é 1,50

por 45:

150% de 45 é igual a 67,5.

4) Quanto é 100% de 40?

Multiplique 100 por 40 e divida por 100:

Se você preferir pode multiplicar 100% na sua forma decimal, que é 1,00 por 40:

Na verdade você não precisa fazer conta alguma. Como você já sabe 100% representa o

todo, por isto 100% de qualquer número será sempre o próprio número.

100% de 40 é igual a 40.

5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.

A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas:

Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão:

Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar este valor

decimal por cem e acrescentar o símbolo "%" para termos a representação da

porcentagem, na verdade o multiplicamos por 100%:

Assim 19 : 25 na forma de porcentagem é igual a 76%.

6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais

337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % - 30%, ou

seja, 70% mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos

montar uma regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30%

que moram na ilha:

337.799 está para 70, assim como x está para 30:

Podemos resolver este exercício de uma outra forma. Se multiplicarmos 337.799 por

100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes da

cidade:

Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha:

Portanto a população da cidade que mora na área insular é de 144.771 habitantes.

7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número?

Se dividirmos 15 por 0,04, que é equivalente a 4% na sua forma decimal, iremos obter

o número que 4% dele é igual a 15:

Para calcularmos 20% de 375 basta multiplicá-lo por 0,20:

Em uma única conta faríamos:

Note que concluímos multiplicando 15 por 5, o que fica bastante claro se pensarmos que

20% também é cinco vezes 4%.

20% do referido número é igual a 75.

8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto

equivale a quantos por cento do meu salário?

Vamos resolver este exercício montando uma regra de três:

O percentual que eu procuro (x) está para o desconto (R$ 240,00), assim como 100%

está para o meu salário de R$ 1.200,00:

Portanto este desconto equivale a 20% por cento do meu salário.

9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da

minha?

Sem utilizarmos uma regra de três, basta que se divida o valor do qual se procura a

porcentagem (12), pelo valor que representa os 100% (20) e que se multiplique o valor

obtido por 100%:

Portanto a idade de meu irmão é 60% da minha idade.

10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai

atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da

velocidade máxima do meu carro?

Basta que se dividamos o valor do qual se procura a porcentagem (200), pelo valor que

representa os 100% (160) e que se multiplique o valor obtido por 100%:

Portanto a velocidade máxima do carro do meu pai é 125% da velocidade máxima do

meu carro. O percentual encontrado (125%) é maior que 100% porque o carro de meu

pai é 25% mais veloz que o meu.

11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu

bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?

R$ 336,00 é 28% de R$ 1.200,00. Obtemos este valor dividindo-se 336 por 1200:

0,28 está na forma decimal, então o multiplicamos por 100% para colocá-lo na sua

forma percentual: 28%.

Portanto:

Eu perdi 28% desta quantia.

12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento

das minhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei?

25 é 62,5% de 40. Obtemos este valor pela divisão de 25 por 40:

0,625 está na sua forma decimal, então o multiplicamos por 100% para colocá-lo na sua

forma percentual: 62,5%. Este é o percentual de bolinhas que eu dei.

A diferença entre 40 e 25 é 15. Como 40 equivale a 100% e 25 equivale a 62,5%, então

15 equivale à diferença entre 100% e 62,5% que é 37,5%:

Chegaríamos também aos mesmos 37,5% se tivéssemos divido 15 que é a quantidade de

bolinhas que ficaram comigo, por 40 que é a quantidade total.

Portanto:

Eu dei 62,5% das bolinhas de gude que eu possuía e fiquei com 37,5%.

13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%.

Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

12% de R$ 1.500,00 é R$ 180,00. Chegamos a este valor pela conta abaixo:

A diferença entre R$ 1.500,00 e R$ 180,00 é de R$ 1.320,00, conforme calculado a

seguir:

Portanto:

Com o desconto percentual obtido de 12%, em valor obtive R$ 180,00 de desconto e

acabei pagando R$ 1.320,00.

14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40

garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas

garrafas sobraram e quantas eu quebrei?

15% de 40 é 6. Chegamos a este valor pela conta abaixo:

A diferença entre 40 e 6 é de 34, conforme calculado a seguir:

Portanto:

Das 40 garrafas que estavam na mesa, eu quebrei 34 e sobraram apenas 6.

15) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons

ainda me restam?

75% de 28 é 21. Chegamos a este valor pela conta abaixo:

A diferença entre 28 e 21 é de 7, conforme calculado a seguir:

7 é o número de bombons que ainda me restam, mas poderìamos ter chegado a este

resultado por outro caminho.

Como eu já comi 75% dos 100% dos bombons que eu possuía, ainda tenho 25% deles,

basta então calcularmos quanto é 25% de 28:

Portanto:

Dos 28 bombons ainda me restam 7.

16) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte

e consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi?

60% de 30 é 18. Chegamos a este valor pela conta abaixo:

Portanto:

Eu vendi 18 das 30 peças logo na primeira saída.

17) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu

quintal botaram 10% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei,

mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram

quebrados. Eu tenho mais ovos agora ou inicialmente?

Digamos que originalmente eu tivesse x ovos. Como você sabe 10% pode ser escrito

como 0,1 já que 10% equivale a 10 divididos por 100. Desde que minhas galinhas

botaram uma quantidade equivalente a 10% da que eu possuía, isto equivale a dizer que

além dos x ovos originais, agora eu possuo mais 0,1x, ou seja, agora eu tenho 1,1x ovos:

Só que quando eu tinha 1,1x ovos eu acabei perdendo 10% deles, ou seja, fiquei com

90% dos ovos, já que dos 100% eu perdi 10%:

0,99x representa 99% dos ovos que eu tinha originalmente e já que eu tinha 100%, ao

ficar com 99% fiquei com 1% a menos que a quantidade original.

Portanto:

Inicialmente eu tinha mais ovos que agora.

De forma resumida, a quantidade original de ovos pode ser representada pelo número 1

(100% dos ovos).

Como foram acrescentados mais 10%, este acréscimo de 10% equivale a 100% + 10%,

ou seja, equivale a 110% que é equivalente a 1,1.

Ao perder 10% eu fiquei apenas com 90% dos ovos, ou seja, fiquei com 0,9 deles.

Multiplicando-se tais valores teremos:

Estes 99% são os ovos que ainda me restam.

18) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%,

mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120%

de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste

conseguido?

Estamos falando de acréscimo de porcentagem de porcentagem, já que os 6% originais

foram aumentados em 120%. Vejamos como vai ficar a resolução:

Ou seja, o aumento conseguido foi de 13,2%, mas podemos pensar na resolução do

problema de uma outra forma:

O aumento conseguido originalmente era de 6%, este percentual equivale a 100% do

aumento conseguido, mas como conseguiu-se mais 120% de aumento, então o passamos

a ter 220% ( 100% + 120%) de aumento sobre os 6%, logo o problema consiste em se

calcular 220% de 6%:

Portanto:

O percentual de reajuste conseguido pela categoria foi 13,2%.

19) Quanto é 60% de 200% de 80%?

Neste tipo de exercício devemos multiplicar todos os percentuais. Todos eles devem ser

passados para a sua forma decimal, exceto o último:

Portanto:

60% de 200% de 80% é igual a 96%

20) Quanto é 45% de 90% de 180?

Neste tipo de exercício devemos multiplicar todos os percentuais passados para a sua

forma decimal, pelo número que se deseja achar o percentual:

Portanto:

45% de 90% de 180 é 72,9.

21) Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de

ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos

por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?

Se dividirmos 0,96, que corresponde ao peso do gelo, por 2,4, que corresponde ao peso

total, iremos obter 0,4, que se multiplicado por 100, nos dará o percentual procurado:

Fui lesado em 40% do peso. É este o percentual equivalente aos 960g de gelo que

paguei como se fosse frango.

22) Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número

de ratos brancos desta população?

Para que você tenha uma melhor compreensão, montemos uma regra de três:

Temos 16 ratos brancos para cada 100 ratos, assim como teremos x ratos brancos se

tivermos 250 ratos.

De forma geral, sem que você tenha que montar sempre a regra de três, basta que você

multiplique o valor do qual você quer achar o percentual (250 neste caso) pela

porcentagem (16 neste exemplo), dividindo em seguida este produto por 100 (sempre

100 por ser tratar de porcentagem).

Portanto o número de ratos brancos desta população é de 40 ratos brancos.

23) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um

real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso?

Resolvendo da forma simplificada temos:

Se você quiser simplificar ainda mais o cálculo, basta que você pegue a porcentagem na

sua forma decimal, ou seja, 0,15 ao invés de 15% e que a multiplique pelo número em

questão (20 neste caso), temos então:

Logo eu possuo em meu bolso 3 moedas de um real.

24) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo?

Resolvendo da forma mais simplificada temos:

Portanto eu possuo apenas uma irmã.

25) Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de

papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração,

tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do

papel?

Vamos dizer que originalmente o rolo custasse x, então o preço do metro de papel seria

.

Depois o rolo ainda custava x, mas o preço do metro de papel seria , que seria

obviamente maior que antes, já que temos menos papel ao mesmo custo.

Ao dividirmos por e subtrairmos 1 iremos obter na forma decimal qual foi o

aumento no preço do produto:

Como sabemos, aproximadamente 0,3333 na forma decimal equivale a 33,33%.

Como você pode ter reparado a variável x utilizada na solução do problema acabou

sendo simplificada por ela mesma. De forma mais simples em exercícios deste tipo você

pode simplesmente realizar as contas tal como abaixo:

Tal artimanha provocou o aumento de cerca de 33,33% no preço do metro do papel.

26) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo.

Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra

tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria

sido o desconto obtido?

Como o guarda-roupa foi comprado com 5% de desconto, isto equivale a dizer que foi

comprado por 95% (0,95 na forma decimal) do seu preço:

Dividindo-se 2204 por 0,95, iremos obter o preço do produto sem qualquer desconto:

Como o preço à vista seria de R$ 1.972,00 e o preço sem nenhum desconto é de

R$ 2.320,00, o desconto obtido seria de R$ 348,00:

Resta-nos calcular quantos por cento é 348 de 2320, o que podemos fazer dividindo-se

348 por 2320:

0,15 é o resultado procurado, mas na forma decimal, multiplicando-o por 100% iremos

obter o resultado na forma percentual:

15%

Portanto se o guarda-roupa tivesse sido comprado à vista, o desconto percentual teria

sido de 15%

Cálculo de Área

Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.

Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim

como letra b representa a medida da sua base.

A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da

medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

A letra S representa a área ou superfície do triângulo.

No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como

os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Exemplos

A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de

3,5 cm, qual é a área deste triângulo?

Do enunciado temos:

Utilizando a fórmula:

A área deste triângulo é 12,25 cm

2.

Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo

equilátero?

Segundo o enunciado temos:

Substituindo na fórmula:

A área deste triângulo equilátero é de aproximadamente 10,8 mm2.

Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado

paralelogramo.

Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua

base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na

fórmula abaixo:

Exemplos

A medida da base de um paralelogramo é de 5,2 dm, sendo que a medida da altura é

de 1,5 dm. Qual é a área deste polígono?

Segundo o enunciado temos:

Substituindo na fórmula:

A área deste polígono é 7,8 dm

2.

Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são

respectivamente 10 cm e 2 dm?

Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:

Substituindo na fórmula:

A medida da área deste paralelogramo é 200 cm

2 ou 2 dm

2.

Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos

serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.

Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do

paralelogramo para obter a área do losango.

Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.

Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em

quatro triângulos iguais.

Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da

diagonal d2, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a

multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificações chegaremos à fórmula:

Exemplos

As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua

superfície?

Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos

valores temos abaixo:

Utilizando na fórmula temos:

A medida da superfície deste losango é de 75 cm2

Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9

cm?

Neste caso, para o cálculo da área utilizaremos a fórmula do paralelogramo, onde

utilizamos a base e a altura da figura geométrica, cujos valores temos abaixo:

Segundo a fórmula temos:

A medida da área do losango é de 108 cm

2.

Cálculo da Área do Quadrado

Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado,

do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um

quadrado.

O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais

perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda

que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.

Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar

para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da

área tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do

paralelogramo:

Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula

então como sendo:

Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do

losango:

Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a

fórmula para:

Exemplos

A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfície desta

tampa?

Do enunciado temos que a variável l é igual a 17:

Substituindo na fórmula temos:

Portanto a superfície da tampa desta caixa é de 289 cm

2.

A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?

Como o lado mede 20 cm, temos:

Substituindo na fórmula temos:

A área do quadrado é de 400 cm

2.

A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?

Temos que S é igual a 196.

Utilizando a fórmula temos:

Como a medida do lado não pode ser negativa, temos que o lado do quadrado mede

14 cm.

Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos

são iguais), cujos lados opostos são iguais.

Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo,

chamado de quadrado.

Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma

forma.

Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado,

teremos a seguinte fórmula:

Exemplos

Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área

deste terreno?

Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:

Utilizando a fórmula:

A área deste terreno é de 125 m

2.

A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área

desta tampa?

Podemos atribuir 15 à variável h e 30 à variável b:

Ao substituirmos as variáveis na fórmula teremos:

Portanto a área da tampa da caixa de sapatos é de 450 cm

2.

Cálculo da Área do Círculo

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no

mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é

representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:

Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos

corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão,

podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.

O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula:

O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:

Onde r representa o raio do círculo.

Exemplos

A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?

Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o

que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste

valor:

Substituindo-o na fórmula:

A área da lente da lupa é de 78,54 cm2.

Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de

superfície?

Do enunciado, temos que o valor do raio r é:

Ao substituirmos valor de r na fórmula teremos:

A superfície do círculo é de 228,05 mm2.

Cálculo da Área de Setores Circulares

O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do

círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para

360°, assim como a área do setor estará para o número de graus do setor.

Sendo S a área total do círculo, Sα a área do setor circular e α o seu número de graus,

temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente

ao setor.

Exemplos

Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm?

Aplicando a fórmula em graus temos:

A área do setor circular é de 37,6992 cm2.

Qual é a superfície de um setor circular com ângulo de 0,5 rad e raio de 8 mm?

Aplicando a fórmula em radianos temos:

A superfície do setor circular é de 16 mm

2.

Cálculo da Área de Coroas Circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do

círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a

seguinte fórmula:

Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.

Exemplos

Qual é a área de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm?

Se a largura é de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na fórmula temos:

A área da coroa circular é de 549,78 cm2.

Qual é a superfície de uma coroa circular com r = 17 e R = 34?

Aplicando a fórmula em temos:

A superfície desta coroa circular é 2723,7672.

Exercícios resolvidos - Equação do Primeiro Grau

1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma

quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a

quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?

Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo.

Vamos montar então a expressão matemática por partes.

Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.

Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a

quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:

x + 8 = 28 - x

A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os

coeficientes para o outro lado.

O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo

adicionado.

x + x + 8 = 28 x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.

2x + 8 = 28 Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa,

ou seja, sendo subtraído:

2x = 28 - 8

Realizando a subtração:

2x = 20

O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro

dividindo o termo 20:

Realizando a divisão encontramos a raiz 10:

x = 10 Portanto:

Eu tenho 10 carrinhos.

2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse

comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei de dinheiro para pagar a

mercadoria?

Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria

um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa

comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:

O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo

subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à

direita subtraindo:

Realizando as subtrações:

O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o

termo 3,75:

Que dividindo dá:

Tomemos então o primeiro membro da equação inicial

Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto

dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de

2,5 e realizar os cálculos:

Portanto:

Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.

3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu

dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos

a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos,

podemos escrever a seguinte sentença:

Ou seja:

Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no

primeiro membro, temos:

Realizando a subtração:

Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:

Que dividindo dá:

Portanto:

Eu tenho 15 anos de idade.

4) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o

dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de

R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?

Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.

A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:

O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário.

Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário,

mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.

Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo

adicionado, ele passará subtraindo:

Ao fazermos a subtração:

Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:

Que dividindo dá:

Portanto:

O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.

5) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se

que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva

de hoje?

Chamemos de v o volume da chuva hoje.

Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como

30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:

Somando os termos do primeiro membro temos:

Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:

Ao dividirmos:

Portanto:

O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.

6) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?

Portanto:

S = { 4,5 }.

7) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?

Portanto:

7/11 é a raiz da equação.

8) U = { -5, 0, 3 } é o conjunto universo da equação 6x + 18 = 0. Qual é o conjunto

solução desta equação?

Portanto:

S = {} é o conjunto solução (conjunto vazio), pois -3 não pertence ao conjunto

universo.

9) Encontre o conjunto verdade da equação -2x = -4 + 3x?

Portanto:

V = {4/5} é o conjunto solução da equação.

10) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?

Portanto:

Não, pois -3 é que é a raiz desta equação.