MATEMÁTICA BÁSICA CEROSesión N°7

PRODUCTOS NOTABLES

Departamento de Ciencias

¿Cómo podríamos calcular el cuadrado de 65?

¿Haciendo uso del BINOMIO DE

NEWTON, obtendríamos el

resultado?

Sabemos que el cuadrado de 65 es multiplicar dos veces por si mismo. ¿existirá otra forma de

calcularlo?

Sabemos que el cuadrado de 65 es multiplicar dos veces por si mismo. ¿existirá otra forma de

calcularlo?

BINOMIO DE NEWTON

Por ejemplo: Para calcular el cuadrado de 65, hacemos que: y

¿Haciendo uso del BINOMIO DE

NEWTON, obtendríamos el

resultado?

(60+5)2 = 602+2.60 .5+52= 4225

4225

2. ¿Por qué se le denomina producto notable?

1. ¿Qué es un producto notable?

RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

4. ¿Cuáles son los productos notables que más conoces?

3. ¿Cuál es el desarrollo de: ?

Una empresa decide construir una piscina (base cuadrada) en sus instalaciones, para ello la piscina debe tener: (2x + 5) m de lado, además se sabe que dicha piscina debe contar con un borde antideslizante de goma alrededor de ella, de ancho constante igual a 1m. Determine en términos de “x” el área de todo el borde de goma antideslizante.

Borde de goma antideslizante.

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LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión el estudiante representa e identifica adecuadamente el desarrollo de productos notables en los ejercicios que se le presentan, además de aplicarlos en la solución de problemas de la vida real.

CONTENIDOS

1. PRODUCTO NOTABLE2. BINOMIO AL CUADRADO

(SUMA - DIFERENCIA)3. BINOMIO AL CUBO4. PRODUCTO DE SUMA POR

DIFERENCIA DE BINOMIOS5. PRODUCTO DE BINOMIOS POR

TÉRMINO COMÚN6. PROBLEMAS7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

7

1. PRODUCTO NOTABLE

8

Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.

Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.

(𝑎+𝑏)2

(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)

𝑎2+2𝑎 .𝑏+𝑏2

PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTO DE BINOMIOS CON

TÉRMINO COMÚN

CUADRADO DE UN BINOMIO

PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA

CUBO DE UN BINOMIO

(a ± b)2 = (a)2 ± 2 (a)·(b) + (b)2

(a + b) · (a − b) = (a)2 − (b)2

(a ± b)3 = (a)3 ± 3(a)2·(b) + 3(a)·(b)2 ± (b)3

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + (a.b)

2. CUADRADO DE UN BINOMIO (SUMA)

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Productos notables

b

a

b

aa

a

b

b

(a + b)2

El área del cuadrado de lado (a + b) es:

a2 + ab + ab + b2

El área del cuadrado como una suma de todas las regiones mostradas es:

POR LO TANTO: (a + b)2 = (a)2 + 2 (a)·(b) + (b)2

BINOMIO SUMA

BINOMIO SUMA

2. CUADRADO DE UN BINOMIO (SUMA)

EJEMPLOS:

(2x + 3)2 = (2x)2 +2(2x)(3)+(3) 2 = 4x2 + 12x + 9 2

(m3 + 3n2)2 = (m3)2 + 2(m3)(3n2)+(3n2) 2 = m6 + 6m3n2 + 9n4

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2. CUADRADO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA)

Productos notables

(a)2

El área del cuadrado de lado a es:

b2 + (ab – b2) + (ab – b2) + (a – b)2

El área del cuadrado como una suma de todas las regiones mostradas es:

POR LO TANTO: (a – b)2 = (a)2 – 2 (a)·(b) + (b)2

BINOMIO DIFERENCIA

BINOMIO DIFERENCIA

a

a

b

b a - b

a - b (a – b)2

ab – b2

ab – b2

2. CUADRADO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA)

EJEMPLOS:

(5x – 1)2 = (5x)2 +2(5x)(1)+(1) 2 = 25x2 + 10x + 1

(a2 – 2b4)2 = (a2)2 + 2(a2)(2b4)+(2b4) 2 = a4 – 4a2b4 + 4b8

3. CUBO DE UN BINOMIO (SUMA)

14

a

b

a3

b3

a2b

ab2

(a + b)3= + + + a3 3a2b 3ab2 b3

3. CUBO DE UN BINOMIO (SUMA)

EJEMPLOS:

(3x + 2)3 = (3x)3 + 3(3x)2(2) + 3(3x)(2)2 + (2)3

= 27x3 + 54x2 + 36x + 8

(m2 + 3)3 = (m2)3 + 3(m2)2(3) + 3(m2)(3)2 + (3)3

= m6 + 9m4 + 27m2 + 27

3. CUBO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA)

(x + y)3= x3 – 3x2y + 3x2y – x3

3. CUBO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA)

EJEMPLOS:

(5x – 1)3 = (5x)3 – 3(5x)2(1) + 3(5x)(1)2 – (1)3

= 125x3 – 75x2 + 15x – 1

(m2 – 3n)3 = (m2)3 – 3(m2)2(3n) + 3(m2)(3n)2 – (3n)3

= m6 – 9m4n + 27m2n2 – 27n3

4. PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA

18

(a + b) (a – b) = a2 – b2

a

a - b

b

a + b

a - b

b

EJEMPLOS:

(2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – (3) 2

4. PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA

= 4x2 – 9

(3mn2 – 2p)(3mn2 + 2p) = (3mn2) 2 – (2p)2

= 9m 2n4 – 4p2

5. PRODUCTO DE BINOMIOS POR TÉRMINO COMÚN

20

x

x

bb

x

a

a

xx2 ax

bx ab

(x + a) (x + b) = x2 + ax + bx + ab

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

EJEMPLOS:

(x + 5)(x – 7) = (x)2 + (5 – 7)(x) + (5)(-7)

= x2 – 2x – 35

(3x + 9)(3x – 7) = (3x)2 + (9 – 7)(3x) + (9)(-7)

= 9x2 + 6x – 63

5. PRODUCTO DE BINOMIOS POR TÉRMINO COMÚN

Una empresa decide construir una piscina (base cuadrada) en sus instalaciones, para ello la piscina debe tener: (2x + 5) m de lado, además se sabe que dicha piscina debe contar con un borde antideslizante de goma alrededor de ella, de ancho constante igual a 1m. Determine en términos de “x” el área de todo el borde de goma antideslizante.

Borde de goma antideslizante.

SOLUCIÓN:

(2x + 5)

1

1

(2x + 7)

PISCINA DE FORMA CUADRADA

Para determinar el área del borde antideslizante realizamos una diferencia de superficies, es decir:

(2x + 7)2 – (2x + 5)2

(2x)2 + 2(2x)(7) + (7) 2 – [ (2x)2 + 2(2x)(5) + (5)2 ]

(8x + 24) m2Por lo tanto, el área del borde será:

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

IGNACIO BELLO. ALGEBRA. 2°EDICIÓN. ED. CENGAGE. PAG. 268 – 277.

SALVADOR TIMOTEO. ALGEBRA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 73 – 96

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