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Matemática Básica (Ing.) 1
Sesión 12.1
Sistemas lineales ymétodo de Gauss
Matemática Básica (Ing.) 2
Sistemas de ecuaciones y operaciones con filas (renglones)
Para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
3
72
72
z
zy
zyx1. 2.
322
1453
72
zyx
zyx
zyx
Se puede aplicar el método de Gauss, de maneraque con operaciones de fila como en el ejemplo 2,se puede llegar a una forma de sistema de ecuaciones similar al ejemplo 1, sin alterar elresultado para x, y y z.
3.
813135
352
43
zyx
zyx
zyx
Matemática Básica (Ing.) 3
Eliminación gaussiana Las operaciones siguientes producen un sistema equivalente de ecuaciones lineales.
1. Intercambiar cualesquier dos ecuaciones del sistema.
2. Multiplicar (o dividir) una de las ecuaciones por cualquier número real distinto de cero.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación a cualquier otra ecuación del sistema.
Según estas indicaciones, resuelva los ejemplos 2 y 3. ¿A qué conclusión llega?
Matemática Básica (Ing.) 4
Operaciones elementales por filasDado el siguiente sistema de ecuaciones lineales(SEL), para aplicar operaciones de fila (renglón R)se escribe la matriz ampliada.
322
1453
72
zyx
zyx
zyxSistema de ecuaciones
Matriz ampliada
3122
14153
7121
Matemática Básica (Ing.) 5
Proceso de operaciones por filas
Multiplique la fila 2 por -2 y sume el resultado a la fila 3: (R3-2R2)
Multiplique la fila 1 por -3 y sume el resultado a la fila 2: (R2-3R1)
Multiplique la fila 1 por -2 y sume el resultado a la fila 3: (R3-2R1)
322
72
72
zyx
zy
zyx
3122
7210
7121(-3)R1+R2
1132
72
72
zy
zy
zyx
11320
7210
7121
(-2)R1+R3
3
72
72
z
zy
zyx
3100
7210
7121
(-2)R2+R3
Matemática Básica (Ing.) 6
3100
7210
7121
Una matriz está en la forma escalonada por filas si se satisfacen las condiciones siguientes.
1. Las filas que consisten únicamente en ceros (si los hay) aparecen en la parte inferior de la matriz.
2. En una fila que no consiste sólo de ceros, la primera entrada diferente de cero es 1.
3. El subíndice de la columna con el 1 de más a la derecha aumenta conforme el subíndice de la fila aumenta.
Forma escalonada por filas de una matriz
Matemática Básica (Ing.) 7
Operaciones elementales por fila sobre una matriz
Una combinación de las operaciones siguientes transformará una matriz en la forma escalonada por filas.
1. Intercambiar cualesquiera dos filas.
2. Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real distinto de cero.
3. Sumar un múltiplo de una fila a cualquier otra fila.
Matemática Básica (Ing.) 8
Ejemplos
Resuelva el sistema con las operacioneselementales por fila.
732
02
32
zyx
zyx
zyx
5363
323
12
zyx
zyx
zyx
2753
1432
132
wzyx
wzyx
zyx
1.
2.
3. Concluirá que el sistematiene infinitas soluciones.
Concluirá que el sistemano tiene solución.
Concluirá que el sistematiene una solución.
Matemática Básica (Ing.) 9
Forma escalonada reducida por filas
La solución del ejemplo 1 anterior, se pudo haberresuelto de esta manera:
732
02
32
zyx
zyx
zyx
3100
4110
3211
Se puede continuar aplicado el proceso y puede implicar un grado mayor de dificultad en dicho proceso.
Problema original.
Aplicando operaciones de fila.
3100
7010
2001
Pro
ceso
Exte
nsi
ón d
el
pro
ceso
Matemática Básica (Ing.) 10
Resolución de sistemas con matricesinversas
Sistemas lineales cuadrados invertibles:
Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de n ecuaciones lineales con n variables, dado por AX = B, donde X es una matriz de variables den 1 y B es la matriz de n 1 de números del lado derecho de las ecuaciones.
Si A-1 existe, entonces el sistema de ecuaciones tiene la solución única:
BAX 1
Matemática Básica (Ing.) 11
Ejemplo
Resuelva el sistema propuesto
5
023
yx
yx
a sabiendas que
5
0
11
23
y
x5
023
yx
yx
BAX
y
ac
bd
bcaddc
ba 11
1A
Matemática Básica (Ing.) 12
Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.
Ejercicios: 6, 10, 12, 14, 18,22, 28, 30, 34, 36, 46, 48,52 y 58 de las páginas604 y 605.
Sobre la tarea,
está publicada en el AV Moodle.
Importante
