MATEMÁTICA COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE …ead.colegiopolivalente.com.br/AreaFechada/pdf/Matematica_III.pdf · IGUALDADE DE MATRIZES ... Medicina, Direito, Física e História

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ENSINO MÉDIO III

Proibida reprodução deste material em parte ou no todo, propriedade do CIP – Lei n° 9.610

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APRESENTAÇÃO

Caro Aluno,

Você está recebendo um material inovador, designer ousado, elaborado para fornecer

subsídios que o auxiliem a completar seus estudos. Neste volume, encontrará os assuntos

correspondentes a Matemáticao 3ª Série do Ensino Médio.

Os conteúdos selecionados permitem que você desenvolva competências que o conduzam

a:

Ser capaz de continuar aprendendo;

Preparar-se para o trabalho;

Desenvolver o senso crítico e estético;

Inferir a teoria a partir da prática.

Abra, leia, aproveite e vença todos os obstáculos, pois o sucesso vai depender de seu

esforço pessoal, logo:

• Você precisa ler todo material de ensino; • Você deve realizar todas as atividades propostas; • Você precisa organiza-se para estudar.

Nesse contexto, Göethe recomenda: “Qualquer coisa que você possa fazer ou sonhar,

você pode começar. A coragem contém em si mesma o poder, o gênio e a magia”.

Bom Estudo! Equipe do Polivalente

COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE“Qualidade na Arte de Ensinar”

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SUMÁRIO APRESENTAÇÃO ..............................................................................................1 SUMÁRIO ....................................................................................................... 2 INTRODUÇÃO................................................................................................. 5 ANÁLISE COMBINATÓRIA .............................................................................. 6

INTRODUÇÃO................................................................................................................................ 6 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ................................................................................... 6

EXERCÍCIOS ............................................................................................................................. 7 TESTES ..................................................................................................................................... 7

FATORIAL ...................................................................................................... 9 TESTES ..................................................................................................................................... 9

ARRANJO SIMPLES....................................................................................... 10 PERMUTAÇÃO SIMPLES ............................................................................................................... 10

TESTES ................................................................................................................................... 10 COMBINAÇÃO SIMPLES................................................................................ 11

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 11 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO................................................................................................... 11

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 11 PERMUTAÇÃO CIRCULAR............................................................................................................. 12

TESTES ................................................................................................................................... 12 ANÁLISE COMBINATÓRIA – DIFERENCIAÇÃO DOS AGRUPAMENTOS ........... 13

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 13 TESTES ................................................................................................................................... 13

MATRIZES .................................................................................................... 14 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................. 15 CLASSIFICAÇÃO.......................................................................................................................... 15 IGUALDADE DE MATRIZES .......................................................................................................... 16

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 16 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES.......................................................................................... 16 MULTIPLICAÇÃO DE ESCALAR POR MATRIZ ................................................................................ 16

TESTES ................................................................................................................................... 17 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES.................................................................... 18

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES.................................................................... 18 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 18 TESTES ................................................................................................................................... 18

DETERMINANTES ......................................................................................... 20 INTRODUÇÃO.............................................................................................................................. 20 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................. 20 REGRAS PARA CÁLCULO DE UM DETERMINANTE ......................................................................... 20


SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ............................................................ 22 EQUAÇÃO LINEAR ....................................................................................................................... 22 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES.............................................................................................. 22 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES................................................................................. 22 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS ...................... 22 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO ................................................................................................... 22

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TESTES ................................................................................................................................... 23 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES................................ 24

REGRA DE CRAMER...................................................................................................................... 24 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 24 TESTES ................................................................................................................................... 24

DISCUSSÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES.................................... 26 DEFINIÇÕES................................................................................................................................ 26 TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI................................................................................................... 26

TESTES ................................................................................................................................... 27 GEOMETRIA ANALÍTICA............................................................................... 28

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS................................................................................ 28 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 29

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ............................................................................................... 30 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 30

DIVISÃO DE UM SEGMENTO ........................................................................................................ 30 PONTO MÉDIO............................................................................................................................. 30


GEOMETRIA ANALÍTICA............................................................................... 32 BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO ................................................................................................ 32 ÁREA DE UM TRIÂNGULO ............................................................................................................ 32 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS......................................................................... 32


GEOMETRIA ANALÍTICA............................................................................... 34 EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR DOIS PONTOS .................................................................... 34

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 34 INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS ................................................................................................... 34

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 35 COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA........................................................................................ 35 EQUAÇÃO DA RETA DETERMINADA POR UM PONTO E UMA DIREÇÃO.......................................... 35


GEOMETRIA ANALÍTICA............................................................................... 37 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS................................................................................. 37


NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................................ 39 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................. 39

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 39 IGUALDADE ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS................................................................................. 39 OPOSTO E CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................... 40 POTÊNCIAS DE I.......................................................................................................................... 40


OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA............................................................. 41 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO................................................................................................................ 41 MULTIPLICAÇÃO ......................................................................................................................... 41 DIVISÃO ..................................................................................................................................... 41

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TESTES ................................................................................................................................... 41 POLINÔMIOS ............................................................................................... 42

INTRODUÇÃO.............................................................................................................................. 42 EXPRESSÃO GERAL DE UM POLINÔMIO....................................................................................... 42 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO........................................................................................ 42 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS..................................................................................... 42 POLINÔMIO REDUZIDO............................................................................................................... 42

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 43 IGUALDADE DE POLINÔMIOS...................................................................................................... 43 POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO ........................................................................................... 43


DIVISÃO DE POLINÔMIOS ........................................................................... 45 TEOREMA DO RESTO (OU DE D’ALEMBERT) ................................................................................. 45

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 45 DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI................................................................................ 46 CONDIÇÃO DE DIVISIBILIDADE.................................................................................................. 46


GLOSSÁRIO.................................................................................................. 48

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INTRODUÇÃO

Você esta recebendo o módulo de Matemática relativo ao Ensino Médio. Você terá

contato com teorias importantes que vão proporcionar um desempenho eficiente durante o seu Curso.

Este material didático foi produzido pela Equipe do Colégio Polivalente, como uma

contribuição que orientará a Educação de Jovens e Adultos, terceiro segmento, constituídos de 1ª, 2ª

e 3ª séries do Ensino Médio.

Nossa linha de trabalho abre um caminho atraente e seguro pelas seqüências das

atividades – leitura, interpretação, reflexão – e por fazer com que o aluno aprenda aliando a teoria à

pratica. Nessa busca temos aprendido que desenvolvemos competências quando vamos além daquilo que

é esperado de um aluno, quando fazemos, mais do que apenas cumprir com o nosso dever.

Foi assim que nos tornamos pioneiros com iniciativas como a “Educação a Distância”,

alternativa que aparece como solução para aqueles que buscam conhecimento acadêmico, não tiveram

acesso à educação na época certa, e têm pouca disponibilidade de tempo.

Para viabilizar iniciativas como essa não bastou uma decisão do Polivalente. Contamos

com a colaboração de muitos profissionais, trazendo informações, visões, experiências, tecnologias, todos

com o objetivo em comum: a coragem de mudar na busca de um ensino de qualidade.

A coordenação e Tutores/Professores irá acompanhá-lo em todo o seu percurso de

estudo, onde as suas dúvidas serão sanadas, bastando para isso acessar o nosso site:

www.colegiopolivalente.com.br.

Equipe Polivalente

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

INTRODUÇÃO

Em certas situações temos a necessidade de contar as diferentes maneiras de realizar determina tarefa, porém, na maioria dos casos, a simples contagem das possibilidades é extremamente trabalhosa, e, às vezes, ineficaz. Para estes casos, a Análise Combinatória mostra sua importância, reduzindo a procedimentos básicos, problemas aparentemente complicados.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Sendo os problemas de Análise Combinatória, basicamente, problemas de contagem, sua abordagem será baseada no Princípio Fundamental da Contagem ou Regra do Produto, enunciado a seguir. “Um evento é realizado em duas etapas. Se a primeira etapa pode ocorrer de m modos diferentes, e a segunda de n modos diferentes, o número total de maneiras distintas de ocorrer tal evento é igual ao produto m.n.”

EXEMPLO: Um estudante deseja prestar o concurso vestibular, porém está em dúvida entre os cursos: Medicina, Direito, Física e História. Sabendo-se que estes cursos são ofertas por 3 faculdades diferentes, quantas são as opções do indeciso aluno?

Análise-exame de cada parte de um todo. Combinatório- relativo a combinações.

Concluímos que, para cada curso, o aluno tem 3 faculdades à sua escolha. Logo o total de possibilidades será 4x3=12 opções diferentes.

OBSERVAÇÃO Quando tivermos a ocorrência de mais de um evento utilizaremos os seguintes princípios: •Aditivo : quando ocorrer um evento ou outro somamos as possibilidades, pois os eventos são independentes entre si, a ocorrência de um não interfere na ocorrência de outro. Exemplo: - Para viajar da cidade X à cidade Y dispomos de 3 empresas de ônibus e 2 companhias de aviação. De quantas maneiras distintas podemos viajar X à Y utilizando um ônibus ou um avião?

Como podemos ir de ônibus ou de avião, somamos as 3 possibilidades de ir de ônibus com as 2 de ir de avião e obtemos o total de 5 possibilidades. •Multiplicativo : quando ocorrer um evento e outro multiplicamos as possibilidades, pois a ocorrência de um evento influi na ocorrência do outro. Exemplo: - De quantas formas diferentes uma pessoa pode viajar da cidade X à cidade Y, passando pela cidade W, sendo que de X à W ela pode ir de avião ou de carro e de W à Y ela pode ir de navio, ou de ônibus, ou de trem?

Como, para ir de X à W temos 2 possibilidades e, de W à Y, 3 possibilidades, encontramos o total de 6 possibilidades para ir de X à Y, passando por W. - Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,3,5 e 7?

Aditivo- acrescentado, acréscimo. Multiplicativo- que multiplica ou serve para multiplicar.

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EXERCÍCIOS 01. Quantos veículos podem ser licenciados se cada

placa possui 3 letras e 4 dígitos? 02. Um aluno possui 4 calças e 5 camisas. De

quantas maneiras o aluno poderá ir à escola, sem repetir o mesmo conjunto calça/camisa?

TESTES 01. (FAAP-SP)- Num hospital existem 3 portas de

entrada que dão para um amplo saguão, no qual existem 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 6° andar. Utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?

a) 8 b) 5 c) 90 d) 30 e) 15 02. (FGV-SP)- Um restaurante oferece no cardápio 2

saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes a pessoa poderá fazer seu pedido?

a) 90 b) 100 c) 110 d) 130 e) 120 03. (FATEC-SP)- Se A={1,2,3,4,5}, a quantidade de

números formados por dois algarismos não repetidos e tomados de A é:

04. (PUC-MG)- Com os algarismos {0,1,2,3,4,5}

podemos formar números de 3 algarismos distintos, num total de :

a) 90 b) 100 c) 110 d) 115 e) 120

05. (PUC-SP)- Num barco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume:

a) 6 posições diferentes. b) 30 posições diferentes. c) 90 posições diferentes. d) 180 posições diferentes. e) 720 posições diferentes. 06. (UERG-PR)- Em um concurso para

preenchimento de 4 vagas de uma empresa participam exatamente 4 pessoas. De quantos modos diferentes pode sair o resultado desse concurso, apontado os classificados em 1°,2°,3° e 4° lugares?

07. (SPEI-PR)- Com os algarismos significativos,

quando números de algarismos distintos existem entre 300 e 900?

a) 392 b) 453 c) 56 d) 504 e) 336 08. (FGV-SP) – Quantos números ímpares de 4

algarismos, sem repetir algarismos num mesmo número, podemos formar com os dígitos: 1,2,3,4,5,6,7,8:

a) 210 b) 5040 c) 200 d) 840 e) 1680 09. (UFPR) – Dentre todos os números de 4

algarismos distintos formados com os algarismos pertencentes ao conjunto {3,4,5,6,7,8,9}, quantos são divisíveis por 2?

10. (U.F.CE)- Uma cidade é formada por 6 bairros

distintos. Deseja-se pintar o mapa dessa cidade com as cores vermelho, azul e verde do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois bairros azuis e os demais verdes. De quantas maneiras distintas isto pode ser feito?

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11. (UNESP)- Considere, num plano, 10 pontos distintos entre si. Suponha que 4 desses pontos pertençam a uma mesma reta e que dois quaisquer dos demais não estejam alinhados com nenhum dos pontos restantes. Calcule o número de retas determinadas por esses 10 pontos.

12. Uma casa comercial tem à disposição de seus

clientes três marcas de refrigeradores, cada uma em quatro tamanhos e três cores diferentes. De quantos modos possíveis pode um cliente escolher um desses refrigeradores?

13. Quantos anagramas da palavra CAPÍTULO. a) começam pela letra C? b) começam por A e terminam por 0? c) têm as letras PI juntas e nessa ordem? d) têm as letras CPT juntas? 14. Usando os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,e 8,

quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever?

15. (FUVEST-SP)- Seja V o conjunto dos vértices de

uma pirâmide de base quadrada. Determine: a) o número de triângulos cujos vértices são

pontos de V. b) o número de circunferências que passam pelos 3

pontos de V. 16. (U.F.BA)- Sobre duas retas paralelas e distintas

r e s, são marcados, respectivamente, cinco e três pontos distintos. Determine quantos triângulos poderão ser formados tendo como vértices três pontos considerados.

17. (FAAP-SP)- Quantos anagramas podem ser

formados com a palavra VESTIBULAR, em que as letras V, E, S, nesta ordem, permaneçam juntas?

18. (FUVEST-SP)- Calcule quantos números múltiplos de três, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9.

19. Usando as 23 letras do nosso alfabeto, mais as

letras k, w e y e os algarismos de 0 a 9, quantos automóveis podem ser licenciados se cada placa tem 2 letras seguidas de 4 algarismos?

20. (U.F.CE)- Deseja-se dispor em fila cinco

crianças: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Danielle e Márcio. Calcule o número das distintas maneiras que elas podem ser dispostas de modo que Rogério e Reginaldo fiquem sempre vizinhos.

21. De quantos modos diferentes pode ser

preenchido um cartão da sena? (na sena aposta-se em 6 números, entre os números de 1 a 50).

22. Com 7 professores de

Matemática e 5 professores de Física, deseja-se formar um comissão de 5 membros.

a) Quantas dessas comissões têm somente 2 professores de Matemática?

b) Quantas dessas comissões têm pelo menos 2 professores de Matemática?

23. (MACKENZIE-SP)- Dentre os anagramas

distintos que podemos formar com n letras, das quais somente duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. Então, n vale: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 122

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FATORIAL

Em certos problemas, a aplicação do princípio multiplicativo faz-se muito trabalhosa, sendo necessário a utilização do conceito de fatorial, enunciado abaixo, para a resolução. Seja n um número natural, seu fatorial será representado por n!, e definido por:

Exemplos: 4!=4.3.2.1.=24 6!=6.5.4.3.2.1=720

OBSERVAÇÃO Define-se excepcionalmente:

O fatorial de um número não admite certas propriedades numéricas como:

• (3+5)!≠3!+5! • (4.2)!≠(4!).(2!)

TESTES 01. (PUC-PR)- Resolva (n-4)!=6 a) n=4 b) n=5 c) n=6 d) n=7 e) n=8

02. (PUC-PR)- A expressão ( )! 2n!n

+é igual a:

a) 2n

b) ( ) ( )1n 2n1

++

c) ( ) ( )1n 2nn

++

d) n1

e) 2n

n+

Fatorial- o produto de todos os números.

03. (PUC-SP)- Se (n-6)!=720, então n é igual a ?

04. (FMT-SP)- Simplificando ( ) ( )

( )!1n2n! 1n

−++

, obtém-

se: a) 2 b) (n+1)(n+2) c) n(n+1)(n+2) d) n(n+2)

e) ( ) ( )1n

2n 1n−

++

05. (FGV-SP)- Simplificando !m

)!1m( 2 !m5 −−, obtém-

se:

a) m

2m5 −

b) m

m25 −

c) 1m2m5

−−

d) !m

2m5 −

e) ( )!1mm25

−−

06. Com base nos estudos de Fatorial, é correto

afirmar que: 01) 3!=9 02) 0!=0 04) (1!)=1 08) (2+3)!=2!+3! 16) (2.3)!=(2!).(3!)

32) 420!19!21=

07. (PUC-PR) – A soma das raízes da equação (5x-7)!= 1 vale:

a) 5 b) 7 c) 12 d) 3 e) 4 08. Simplifique:

a) ( )

! n! n ! 1n −+

b) ( ) ( )

( )! 3 n! 1 n ! 2 n

++++

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ARRANJO SIMPLES Arranjo simples é o agrupamento de elementos, sem repetição, onde os grupos se diferenciam pela ordem ou pela natureza dos seus elementos componentes. Sendo A um conjunto com n elementos, formaremos grupos distintos de p elementos, com p ≤ n, onde cada elemento aparece apenas uma vez. Tais grupos serão chamados de Arranjos Simples, quando a ordem dos seus elementos alterar o agrupamento. O número de arranjos simples de n elementos tomados p a p será calculado por:

( )!pn! n

p,AnpnA

−==

Que é conseqüência imediata do princípio multiplicativo:

EXEMPLOS:

( ) 12!234! 24

!424A =⋅⋅=

−=

( ) !7!7.8.9.10

! 310!103

10A =−

= =720

OBSERVAÇÃO Para facilitar os cálculos podemos usar uma regra prática para determinar o número de arranjos simples:

Nos exemplos anteriores A24 e A3

10 ,

desenvolveremos o fatorial de n,p vezes, ou seja:

A24 → desenvolveremos o fatorial de 4, duas

vezes

A 123.424 ==

A →310 desenvolveremos o fatorial de 10,

três vezes

A310 =10.9.8=720

Obtemos os mesmos resultados com mais rapidez.

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Permutação simples é todo arranjo simples onde n=p, ou seja:

( ) !n!0!n

! nn!nn

nAnP ==−

== ⇒ Pn=n!

Arranjo- boa ordem ou disposição. Permutação- ato ou efeito de permutar, troca.

A permutação simples de n elementos é igual ao fatorial de n.

EXEMPLOS:

a) P 24.1.2.3.4!44 ===

b) P 1201.2.3.4.5!55 ===

c) Quantos são os anagramas da palavra REI?

• Usando permutação de 3 elementos: P3 =3!=6

• Fazendo as possibilidades: REI ERI IER RIE EIR IRE

TESTES

01. (UFRN) – A quantidade de números de dois

algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 2,3,5,7 e 9 é igual a:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 02. (UFSC)- Quantos anagramas da palavra PALCO

podemos formar de maneira que as letras A e L apareçam juntas?

a) 48 b) 24 c) 96 d) 120 e) 36 03. Com base nos estudos de Arranjos e

Permutações é correto afirmar que:

01) A 6035=

02) P 1205=

04) A 4P44=

08) A palavra RICO possui 36 anagramas. 16) A palavra VOLUME possui 72 anagramas

iniciados por VOL. 32) Podemos formar 60 números de três algarismos

com os algarismos 1,3,5,7 e9. 04. (MACK-SP) – Em uma sala há 8 cadeiras e 4

pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:

a) 1680 b) 8! c) 8.4!

d) !4

8

e) 32 Amado Deus, ajuda a nossa fé a crescer dia

a dia.

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COMBINAÇÃO SIMPLES Sendo A um conjunto com n elementos, formaremos grupos distintos de p elementos, com p≤n, onde cada elemento aparece apenas uma vez. Tais grupos serão chamados de Combinações Simples, quando a ordem de seus elementos não

alterar o agrupamento. O número de combinações será dado por:

C ( ) !p! pn!n

!p

pnAp

n −==

Ou seja, o número de combinações de n elementos dispostos p a p, é igual ao número de arranjos dividido por p!.

EXEMPLOS:

C 61.23.42

4 ==

C 1201.2.38.9.103

10 ==

EXERCÍCIOS 01. Quantas comissões de 4 elementos podemos

formar com um grupo de 9 pessoas? 02. Quantas saladas de frutas, compostas de 3

frutas, podem ser feitas, usando 6 frutas diferentes?

03. Resolva a equação : C 2n C .23

n=

04. Se C x3n= , quando A 2353

n= , qual o valor de x?

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

Combinações- ato ou efeito de combinar.

Quando tivermos uma permutação de n elementos, onde alguns aparecem ! ! ! γβα ... Onde: γβα ,, ,...= número de repetições

EXEMPLOS:

a) P 101.2.3.1.21.2.3.4.5

! 3 ! 2! 53,2

5 ===

b) P 1401.2.3.1.2.31.2..3.4.5.6.7

! 3 ! 3! 73,3

7 ===

c) Quantos são os anagramas da palavra BANANA?

P 601.2.3.1.21.2.3.4.5.6

! 3 ! 2! 63,2

6 ===

EXERCÍCIOS 05. Quantos são os anagramas da palavra

ABÓBORA? 06. Quantos são os anagramas da palavra

ABÓBORA, que começam e terminam com B? 07. Quantos anagramas das palavras POROROCA: a) Começam por A? b) Começam por PO? c) Começam e terminam por R? 08. Quantos são os anagramas da palavra

GERENTE, onde as letras G e R aparecem juntas?

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09. Quantos anagramas da palavra ESTILO começam por vogal?

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

Quando tivermos uma permutação circular de n elementos faremos:

PCn = ( )! 1n −

EXEMPLO:

De quantas maneiras podemos acomodar 5 pessoas ao redor de uma mesa circular? Permutação → PC5=(5-1)!=4!=4.3.2.1=24 Circular

TESTES 01. (FUVEST-SP)-Todos os 20 clubes participantes

do 1° turno de um campeonato de futebol jogam entre si uma única vez. O número total de partidas disputadas nesse turno é:

a) 40 b) 190 c) 200 d) 380 e) 400 02. (FGV-SP)- Quantos anagramas da palavra

SUCESSO começam por S e terminam em O? a) 7! b) 5! c) 30 d) 60 e) 90 03. Com base nos estudos de análise combinatória,

é correto afirmar que:

01) A 1035=

02) C 5628=

04) Se C 302n= , então A 602

n= . 08) A palavra TREM possui 24 anagramas. 16) A palavra CASA possui 12 anagramas. 04. (OSEC-SP-Adaptada)- O número de maneiras de

4 pessoas se sentarem ao redor de uma mesa circular é:

a) 24 b) 18 c) 12

Circular- cercar, percorrer.

d) 9 e) 6 05. (FGV-SP)- Uma empresa tem 5 diretores e 10

gerentes. Quantas comissões distintas podem ser formadas constituídas de 1 diretor e 4 gerentes?

a) 210 b) 126000 c) 23200 d) 1050 e) 150000 06. (PUC-PR-Adaptada)- Sobre o estudo da análise

combinatória, é correto afirmar que: 01) A palavra MANGA possui 60 anagramas. 02) (1!).(0!)=1

04) A 2515 A 2

5 =+

08) (n-p).(n-p+1)=( )( )! pn

! 1pn−+−

, p e n inteiros e

0<p<n.

16) Se 43

2nC

3nC

= , então n=11.

32) Existem 120 maneiras de 6 crianças formarem uma roda.

64) Se A 2n C.63

n= , então n=7. 07. (METODISTA-SP)-Numa reunião de

Congregação, cada professor cumprimentou todos os seus colegas, registraram-se 210 apertos de mãos. O número de professores presentes à reunião foi de :

a) 20 b) 15 c) 10 d) 21 e) n.d.a. 08. (UFGO)- Em um triângulo ABC, marcam-se dois

pontos no lado AB, três no lado AC e quatro no lado BC, distintos dos vértices. O número total de circunferências que passam por três desses pontos será:

a) 84 b) 79 c) 55 d) 27 e) 24 09. Quantos são os anagramas da palavra LIVRO

que começam por vogal? 10. Uma corrida é disputada por 5 motos. Quantas

são as possibilidades de classificação?

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ANÁLISE COMBINATÓRIA – DIFERENCIAÇÃO DOS

AGRUPAMENTOS

Quando nos deparamos com problemas de análise combinatória, antes de resolve-nos devemos identificar o tipo de agrupamento em questão. Para tal, basta seguirmos uma regra simples, fazendo a seguinte pergunta:

Mudando a ordem, muda o agrupamento?

Se a resposta for ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

=>

→

→

)pn( Permutaçãoou )pn( Arranjo

SIM

CombinaçãoNÃO

EXERCÍCIOS 01. (FAAP)- Uma empresa é formada por 6 sócios

brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

02. (VIÇOSA-MG)- Seis pessoas em fila gastam 10

segundos para mudarem de ordem. O tempo necessário para todas as mudanças possíveis é, em horas?

03. Num sistema lotérico o apostador deve acertar a

classificação do 1° ao 4° colocado entre os 8 times participantes de um campeonato de futebol. Pergunta-se quantos resultados distintos podem ocorrer?

04. (PUC-SP)- O número total de inteiros positivos

que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é?

Agrupamento- reunião.

05. (PUC-RS)- Numa reunião de jovens, há 10

rapazes e 5 garotas. O número de grupos de 5 jovens que podem ser formados, tendo cada grupo no máximo 1 rapaz, é:

a) 42 b) 50 c) 51 d) 84 e) 102 06. (UNICAMP-SP)-Sete tijolos, cada um de uma

cor, são empilhados. De quantos modos se pode fazer isto de forma que o verde e o amarelo estejam sempre juntos?

TESTES 01. (UFPE)- Qual o número de placas de carros que

poderiam ser registradas (cada uma contendo apenas três letras) fazendo uso das letras A,B,C,?

a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102 02. (UECE) Uma empresa possui 8 sócios. Destes

serão escolhidos 2 para os cargos de presidente e vice-presidente. Seja n o número de maneiras distintas através do qual se pode fazer a escolha. Então, n é igual a:

a) 56 b) 64 c) 72 d) 80 e) N.d.a. 03. (MAPOFEI) – A diretoria de uma firma é

constituída por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas?

04. (PUCC-SP)- Numa sala há 5 lugares e 7

pessoas. De quantos modos diferentes essas

Ó Deus, abre minha mente, meu coração, meus ouvidos e meus olhos para ti. Amém.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


14

pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé?

a) 5040 b) 21 c) 120 d) 2520 e) N.d.a. 05. (MACK-SP)- O número de triângulos

determinados por 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela à primeira, é:

a) 60 b) 30 c) 20 d) 10 e) 5 06. (VIÇOSA-MG)- O número de anagramas da

palavra CARMO, onde as letras C e A aparecem juntas é:

07. Em uma caixa há 5 bolas azuis e 8 vermelhas.

De quantas maneiras distintas podemos tirar 6 bolas, sendo 3 azuis e 3 vermelhas?

a) 20160 b) 3360 c) 840 d) 560 e) n.d.a. 08. (MACK-SP)- de um grupo de 5 pessoas, de

quantas maneiras distintas posso convidar uma ou mais para jantar?

a) 120 b) 30 c) 31 d) 32 e) 5 09. (CESCEA-SP)- De quantas maneiras distintas

um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos, de 5,3 e 2 pessoas?

a) 2340 b) 2480 c) 3640 d) 2520 e) n.d.a. 10. (UFPR)- Dentre todos os números de 4

algarismos distintos formados com os algarismos pertencentes ao conjunto {3,4,5,6,7,8,9}, quantos são divisíveis por 2?

11. (CESESP-PE)- Num acidente automobilístico,

após ouvir várias testemunhas, concluiu-se que

o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2. Assinale, então, a única alternativa correspondente ao número de veículos suspeitos:

a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480 12. (FATEC-SP)- Quantos números distintos entre si

e menores de 30000, têm exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?

a) 90 b) 120 c) 180 d) 240 e) 300 13. (FESP-PE)- Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e

0. Podemos formar com eles um certo número n de números superiores a 20000 e constituídos de algarismos diferentes entre si. Então n é igual a:

a) 72 b) 60 c) 10 d) 24 e) 96 14. (F.G.V-SP)- Dada duas retas paralelas e

distintas, tornam-se 10 pontos distintos na primeira e 6 na segunda. O número de triângulos com vértices nos pontos considerados é:

a) 420 b) 210 c) 105 d) 52 e) n.d.a 15. (F.M.SANTA CASA-SP)- Um banco de sangue

catalogou 50 doadores assim distribuídos: 19 com sangue do tipo O, 23 com fator Rh- e 11 com tipo diferente de O e com fator Rh+. De quantos modos pode-se selecionar três doadores desse grupo que tenham sangue de tipo diferente de O, mas que tenham fator Rh-?

a) 140 b) 2280 c) 4495 d) 5984 e) 6840

MATRIZES

Obrigada, ó Deus, por nos dares a ajuda que tão frequentemente necessitamos. Amém.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


15

DEFINIÇÃO

Chama-se Matriz de ordem m x n o conjunto de elementos dispostos em m filas horizontais (linhas) e n filas verticais (colunas), escritos entre ( ), [....] ou ||....||. Genericamente, teremos:

CLASSIFICAÇÃO

• Matriz retangular: não tem o mesmo

número de linhas e colunas. m≠n

EXEMPLO:

A=3x21 0 2

2 1 0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

• Matriz quadrada: tem igual número de

linhas e colunas. m=n

EXEMPLO:

A=

3x30 4 51 2 03 1 3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Nas matrizes quadradas, encontramos a diagonal principal e a diagonal secundária, como nos mostra o exemplo abaixo.

Matriz- fonte ou origem, principal.

• Matriz linha: tem apenas uma linha. m=1

EXEMPLO:

A=

1x40112

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

• Matriz nula: todos os seus elementos são

nulos.

EXEMPLO:

A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0 0 00 0 0

• Matriz diagonal: é quadrada e todos os

elementos que não estão na diagonal principal são nulos. EXEMPLO:

A=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3 0 00 2 00 0 1

• Matriz identidade (unidade): É diagonal

e todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

EXEMPLO:

I2=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

1 0 00 1 00 0 1

3I;1 00 1

• Matriz transposta (AT): é obtida

trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz A.

EXEMPLO:

A=3x22 3 1

1 0 2TA

2x32 13 01 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

• Matriz oposta(-A): é obtida trocando-se o

sinal de todos os elementos da matriz A.

EXEMPLOS:

A=2x221

3 0 A

2x22 13 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


16

IGUALDADE DE MATRIZES

As matrizes A e B, de mesma ordem, serão iguais quando os seus elementos correspondentes forem iguais.

EXEMPLO:

A=2x24 0

y xB e

2x24 02 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

A=B2x24 0

y x4 02 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒ apenas se x=1 e

y=2

EXERCÍCIOS 01. Sendo i=1,2 e j=1,2,3, construa a matriz

A(aij)2x3’ onde aij=3i-j. 02. Seja a matriz A do exercício 01, obtenha: a) A matriz transporta de A. b) A matriz oposta de A.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Somamos ou subtraímos os elementos correspondentes. Só é possível para matrizes de mesma ordem.

EXEMPLO:

A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 1- 2 1-

0 1 1 B e

1 203 2 1

A+B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 0 0 1-

3 3 2 -

12 10 1 1

1 203 2 1

A-B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2 4- 1

3 1 01- 2 1-0 1 1

1 2-03 2 1

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Sendo A,B e C matrizes de mesma ordem, são válidas as propriedades:

• A+B=B+A • (A+B)+C=A+(B+C) • A+(-A)=(-A)+A=0 • A+0=0+A=A • (A+B)t=At+Bt

EXEMPLO:

Sendo A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1 02- 3

B e 0 1-2 1

, demonstre

que (A+B)t=At+Bt.

MULTIPLICAÇÃO DE ESCALAR POR MATRIZ

Para se multiplicar um número real por uma matriz, basta fazê-lo por cada um de seus elementos.

EXEMPLO:

Se A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2 30 1

, então 4A=?

4ª=4. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 8- 12

0 42 30 1

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE ESCALAR POR MATRIZ Sendo A e B matrizes de mesma ordem, e,

βα e números, são válidas as propriedades: • 1.A=A.1=A • α .(A+B)= α .A+ α .B • ( α + β ).A= AA ⋅β+⋅α

• ( ) ( ) A A β⋅α=⋅β⋅α

• ( ) TATA ⋅α=⋅α

Ó Senhor, ajuda-nos a aceitar nossas necessidades e limitações humanas, mas ao mesmo tempo confiar em ti, o Bom Pastor. Amém.

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ENSINO MÉDIO III


17

TESTES 01. (PUC-SP)- A matriz A de ordem 2x3 definida por

a jiij ⋅= é dada por:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3 2 16 4 2

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12 4 26 2 1

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛6 4 23 2 1

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3 2 11 1 1

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−3- 2- 1-6- 4- 2

02. (UFRN)- Dadas as matrizes

A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1 0 2 2 3 1-

B e 6 54 32 1

, então a matriz A-

B T é:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4 11- 0

b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

5 34 00 2

c) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡5 4 03 0 2

d) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4 1-1 2

e) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

5 34 00 0

03. Sobre as matrizes A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 1 5

2 4 B e

3 12 0

é correto afirmar que:

01) A TBT =

02) A+B= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 4 6

0 4

04) A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−

1 123 8

B 2 T

08) (A-B) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

2 4 4 4

T

16) 4A - 2B= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 6- 12

10 8

32) 3A-B= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−8 2 8 4

04. (PUC-SP) – Se A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1 20 1

B e 4 32 1

, então a

matriz M, tal que M=(A+B) T é dada por:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2 25 5

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5 52 2

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5 22 5

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2 55 2

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5 25 2

05. (PUC-SP)- Se A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1-10-1

C e 3 8-5

B , 131225

,

então a matriz X tal que A+B-C-X=0 é:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−17

631

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−31

617

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

176

31

d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−17

621

e) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

170

31

06. (UFPA)- Dada a matriz A=(aij) 3x2 tal que

a ij =2i-j e A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1 n p1- 1-m 1

então o valor de

m+n+p é : 07. Represente genericamente as matrizes: a) A do tipo 3x2 b) B do tipo 3x3 c) M do tipo 4x1 d) X do tipo 1x3 08. Quantos elementos possui uma matriz quadrada

de ordem 4? 09. Construa a matriz quadrada de ordem 3, onde

aij=i.j.

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ENSINO MÉDIO III


18

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dadas as matrizes Amxp e Bpxn, a matriz Cmxn será o produto de A por B se cada elemento de C for obtido multiplicando-se cada elemento das linhas de A pelo correspondente elemento das colunas de B e somando-se os resultados encontrados. Condição : O número de colunas de A deve ser igual ao de linhas de B.

• O produto é sempre linha por coluna e não é comutativo ! Ou seja, geralmente A.B≠B.A.

EXEMPLO:

Sejam A=

2x22 10 1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡e B=

2x20 3

2 1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡, qual

o valor do produto A.B?

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

• (A.B).C=A.(B.C) • (A+B).C=AC+BC

• (A.B) T =B T .A T • Amxn .In =A

Onde as matrizes A,B e C satisfazem as condições de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO de matrizes.

Condição- categoria elevada. Comutativo- relativo a troca.

EXERCÍCIOS

01. Sendo A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2 1-0 1

B e 4 31 2

calcule, se

possível, os produtos: a) A.B b) B.A

02. Dada a matriz A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1- 02 1

, encontre:

a) A2

b) A3

03. (FEI-SP)- Se A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

X e 12

B , 1 02 1

,

determine X, tal que A . X=B

TESTES 01. (CEFET-PR)- Se A, B e C são matrizes do tipo

2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A . B . C:

a) É matriz do tipo 4x2. b) É matriz do tipo 2x4. c) É matriz do tipo 3x4. d) É matriz do tipo 4x3. e) Não é definido. 02. (FGV-SP)- A matriz A é do tipo 5x7 e matriz B,

do tipo 7x5. Assinale a alternativa correta: a) A matriz AB tem 49 elementos. b) A matriz BA tem 25 elementos. c) A matriz (AB)2 tem 625 elementos. d) A matriz (BA)2 tem 49 elementos. e) A matriz AB não é definida.

A fé em Deus nos permite seguir em frente apesar de nossos temores humanos.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


19

03. (FGV-SP) – Dadas as matrizes

A=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛321

B e 6 4 35 2 1

, o elemento C21 da

matriz C=A.B é:

04. (PUC-SP) – Se A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1 12 1

B e 2 14 1

, então a

matriz X, de ordem 2, tal que A.X=B é:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

21

0

0 1

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

31

0

0 1

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

41

0

0 1

d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

51

0

0 1

e) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

61

0

0 1

05. (FUVEST-SP)-Dadas as matrizes

A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1 bb 1

B e a 00 a

, calcule o valor de a+b,

sabendo-se que AB =I2 (identidade de ordem 2x2).

a) 0 b) 1 c) 2 d) 31 e) 19

06. (FGV-SP)- Considere as matrizes A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 7 11

1 3 2e

B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 24 03 1

. A soma dos elementos da primeira

linha de A.B é:

07. (FATEC-SP)- Sejam X= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2 8-4 2

Ye a 21 a

,

onde a ∈IR. Se X2=Y então:

a) a=2 b) a=-2

c) a=21

d) a=-21

e) a=-1

08. (PUC-SP)– Se A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 3 42 1

, então A2+2.A-11.I,

onde I= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1 00 1

, é igual a:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0 02 1

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0 10 0

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0 00 0

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0 01 0

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0 11 0

09. Sobre as matrizes A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 3 2

2- -1B e

0 11 2

, é

correto afirmar que:

01) AT= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0 11- 2

02) (A.B)T= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2 1-1 0

04) B.A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2 11- 0

08) A2= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1- 2-2 3

16) (B2)T= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −1 2 4- 3

32) B2.AT= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 4- 13

3 10

10. Qual é o tipo da matriz AB, se A é do tipo 2x4 e

B é do tipo 4x5? 11. Multiplicando a matriz A do tipo 4 x n pela

matriz B do tipo 3 x p obtemos a matriz AB do tipo m x 5. Determine nesse caso os valores m, n, p.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


20

DETERMINANTES

INTRODUÇÃO

Os determinantes têm aplicação prática na resolução de sistemas de equações lineares, além de outras expressões matemáticas mais complexas.

DEFINIÇÃO

O determinante de uma matriz quadrada é um número ou expressão algébrica obtido através de certas regras de cálculo. Será representado por: det A= A

REGRAS PARA CÁLCULO DE UM DETERMINANTE

DETERMINANTES DE 1ª ORDEM

O determinante será igual ao único elemento da matriz, ou seja, se A=(a) 1x1 então det A=a

EXEMPLOS:

A= [ ] →3 det A=3

A= [ ] →−9 det A=-9


Se A=2x2d c

b a⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, então

EXEMPLOS:

A= →⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4 81 3

det A=4 81 3

Determinante- que determina, que ocasiona.

3.4-1.8=12-8=4

A= →⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1 5-0 2

det A=1 5-0 2

2.1-0(-5)=2-0=2


Regra de Sarrus

EXERCÍCIOS 01. Calcule os determinantes de 2ª ordem:

a) 10- 4 5- 2

b) 2 5-3- 9

02. Encontre o valor de x na equação:

65 3-x 6

=

03. Calcule o valor dos determinantes:

a) 2 1 1-1 2- 2 4 1- 0

b) 5 0 3 1 2 1 2 1 2

c) 3 2 1 2 2 1 1 1 1

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


21

04. Encontre o valor de x na equação:

2 1- 1 3

x 1- 0 1 0 1

=

TESTES 01. (PUC-SP)- A matriz A=(aij) é quadrada de

ordem 2 com⎩⎨⎧

≠==−=

ji para 2j-3iaijji para ji2aij

O determinante de A é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

02. (FEC-SP)- A solução da equação 2 1x 3 2-x

+=0

é:

a) 51

b) 7 c) -7 d) 3 e) n.d.a. 03. (UEPG-PR)- Dadas as matrizes

A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0 1-3 5

B e 2 03- 1

, obter o valor de

det (3A-B).

04. (UFBA)- O valor de ( ) 5 3

1/22 -1

2 é:

a) - 221

b) 6225

−

c) 61010

−

d) 22

e) 23

25

+

+

05. (UBERABA-MG)- O determinante da matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 1 11 2 11 1 2

vale:

a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4 06. (F.CARLOS CHAGAS)- O determinante da matriz

A=(aij), de ordem 3, onde

aij=⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠:a igual é , ji se j,-3i

ji se ,0

07. (UGF-RJ)- Calcule os números reais x e y tais

que:

5 1 0 1 1 y 0 0 x 1

e 1- y 1 1 4 x 2 1 0 0

==

a) x=0 e y=1 b) x=y=0 c) x=3 e y=2 d) x=2 e y=4 e) x=3 e y=5

08. (FGV-SP)- A solução da equação 0 x 1 0

0 x 1 1 0 x

= ,

(x real) é: a) Não tem solução. b) x= 3 c) x= ± 1 d) c=1 e) c=-1 09. Uma matriz A, 2x2, tem determinante igual a 3.

Calcule o determinante da matriz 5A. 10. Uma matriz B, 3x3, tem determinante igual a 1.

Calcule o determinante da matriz -2A. 11. Uma matriz quadrada A tem determinante igual

a 3 e sabe-se que det (3A)=27. Qual é a ordem da matriz A?

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


22

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

EQUAÇÃO LINEAR

É toda equação da forma: bnxna...2x2a1x1a =+++ Onde: na,..., 2a ,1a são os coeficientes

nx,...,2x,1x são as incógnitas b é o termo independente de x

EXEMPLOS: 5x+4y=2 2x+w=5y=0 A solução de uma equação linear é o conjunto de números que, substituídos no lugar das incógnitas, tornam a sentença verdadeira.

EXEMPLO:

O conjunto (-3,1,-1) é solução da equação: → x+3y-z=1, pois substituindo x=-3, y=1 e z=-1 na equação: → -3+3.(1)-(-1)=1

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

É todo conjunto de equações lineares .

Exemplo: ⎩⎨⎧

=−=+1yx

2y2x5

Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas, x e y. A solução de um sistema de equações lineares é o conjunto de números que, substituídos no lugar das incógnitas, verificam todas as equações.

EXEMPLO:

O par (1,3) é solução do sistema ⎩⎨⎧

−+−=+

2yx4yx

pois satisfaz ambas as equações.

CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES

Quanto ao número de soluções, um sistema classifica-se em:

Lineares- podendo ter uma ou mais variáveis.

• Possível (Compatível): quando admite pelo menos uma solução.

• Impossível (Incompatível): quando não admite solução.

Quando o sistema é possível, distinguimos, ainda duas possibilidades. • Determinado: quando admite apenas uma

solução. • Indeterminado: quando admite infinitas

soluções.

Resumindo, temos:

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS

Para o sistema:

⎩⎨⎧

=+=+

:ção classifica seguinte a temos ,' Cy'Bx'ACByAx

⇒≠'B

B'A

ASistema Possível e Determinado

⇒=='C

C'B

B'A

A Sistema Possível e Indeterminado

⇒≠='C

C'B

B'A

ASistema Impossível

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

É todo o sistema de equações lineares onde o termo independente de cada equação é nulo.

EXEMPLO:

⎩⎨⎧

=−=+0yx50y2x3

Todo sistema homogêneo admite a solução trivial (0,0,...,0).

Incógnitas- desconhecido, oculto. Homogêneo- um corpo cuja as partes todas são da mesma

natureza. Trivial- comum, usado.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


23

EXEMPLO: Para o sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−−=++

0wy2x30wyx20w2yx

O conjunto (0,0,0) ou seja, x=y=w=0, é solução do sistema.

TESTES 01. (UF-Viçosa)- A solução do sistema

⎩⎨⎧

=+=−3yx

:é 3yx2

a) x=0 e y=1 b) x=1 e y=2 c) x=1 e y=1 d) x=1 e y=0 e) x=2 e y=1

02. (FUVEST-SP)- Se ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==+=++

186z 235z4y

13z3y2x, então x é

igual a: a) 27 b) 3 c) 0 d) -2 e) 1 03. Numa granja, encontramos coelhos e galinhas

num total de 15 cabeças e 40 pés. Qual a quantidade de coelhos?

04. (PUC-SP)- Calcule o valor de λ para que o

sistema abaixo seja determinado:

⎩⎨⎧

=−λ+=−+λ

02yx401yx

a) λ=2 b) λ=-2 c) λ≠2 d) λ≠-2 e λ≠2 e) λ∈R

05. (PUC-SP)- O sistema ⎩⎨⎧

=−=−

1x4ay1yax

tem solução

determinada, se: a) a≠4 b) a≠-2 e a≠2 c) a≠0 d) a≠1 e) n.d.a.

06. Com relação ao sistema⎩⎨⎧

=+=−

1y2bxay2x

é correto

afirmar:

01) Se a=-1 e b=-1 o sistema é possível e indeterminado.

02) Se b≠-1 o sistema admite somente uma solução.

04) Se b≠-1 e a=1 o sistema não admite solução. 08) Se a≠-1 e b=-1 o sistema não admite solução. 16) Se a=-1 o sistema admite infinitas soluções. 32) Se o par (1,1) for solução do sistema, então a=-

1 e b=-1. 07. (UFRS)- O valor de m para que o sistema:

⎩⎨⎧

=+=+0y3x

0myx3

Tenha solução, diferente da imprópria, é: a) zero b) 15 c) 9 d) 10 e) 12

08. (CESCEM)– O sistema⎩⎨⎧

=+=+

0ky4x0ykx

nas variáveis

x e y, admite apenas a solução trivial se, e somente se,

a) k≠0 e k≠-1

b) k≠21 e k≠

21

−

c) k=0 ou k=-1

d) k=21

e) k≠-21

09. (PUC-PR-Adaptado)- Relativamente ao sistema:

⎩⎨⎧

−=+=+

by3x21yax

, é correto afirmar que:

01) Admitirá uma única solução se a≠32

.

02) Admitirá infinitas soluções se a≠32 e b≠-3.

04) Não admitirá qualquer solução se a=32

e b≠-3.

08) Admitirá infinitas soluções se a=32

e b=-3.

16) admitirá uma única solução se b≠-3. 32) Não admitirá solução, independente dos valores

atribuídos a a e b. 10. Verifique quais das ternas (x, y, z) são soluções

da equação linear x-y+2z=4. a) (2,2,3) b) (5,5,2) c) (-1,-1,3) d) (5,1,0) 11. Encontre duas soluções para a equação linear

x+2y-3z=5. 12. Encontre três soluções para a equação linear

2x+3y=12.

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24

RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

REGRA DE CRAMER

É uma regra prática que permite resolver sistemas com solução única, onde o número de equações é igual ao número de incógnitas. Cramer demonstrou que:

∆∆

= ixix , i=1,2,3,...n

Onde: x :i cada uma das incógnitas. ∆ : determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. ix∆ : determinante de cada uma das incógnitas, obtido pela substituição, na matriz dos coeficientes, da coluna dos coeficientes da incógnita xi pelos termos independentes. Exemplo: Resolver o sistema abaixo, usando a Regra de Cramer.

Tomando os coeficientes de x e y obtemos:

-7 3- 1 1 2 ==∆

Observe que substituindo a coluna dos coeficientes de x e de y, respectivamente, pelos termos independentes, teremos:

E, obtemos como solução do sistema, x=4 e y=2.

EXERCÍCIOS 01. Use a Regra de Cramer para resolver os

sistemas:

a) ⎩⎨⎧

−=+=−

3y5x8y2x3

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=−=++

5zx2

1y2x6zyx

02. Qual o valor de x no sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

1zy

5zx2yx

03. Obter x,y e z sendo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=+−

4zyx

6z2yx26zy2x3

04. O valor de y no sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−−−=+−=++

1z2y2x

2zyx1z3yx2

TESTES 01. (COMSART)- O valor de z no sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−+−=+

3zy

2zx1yx

a) -2 b) 2 c) -1 d) 1 e) n.d.a.

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25

02. (UFPE)- Sejam A, X e B as seguintes matrizes:

A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3

21

B ,

z

yx

X , 1- 1 0

1 0 1

Assinale a alternativa que indica o sistema cuja representação matricial é dada por AX=B.

a)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=

=+

3zyx2y

1zx

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−

=+

3xz1zx

1zx

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=+

1zx

2zy3yx

d) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=+

3zx

2zy1zx

e) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=+−=++

3zyx2zyx12yx

03. O valor de y no sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−+

=+−

11 yx37zyx

1z2yx5

04. (MACK-SP)- Dado o sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=++−

=−+

1zyx

1zyx1zyx

Os valores de x,y e z que constituem sua solução: a) São todos distintos entre si. b) São indeterminados. c) Possuem soma nula. d) São iguais entre si. e) Formam uma progressão aritmética de razão 1. 05. (UFRN)- A solução do sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−+

=++

13z2y3x5zy2x4

6zyx

a) (-2,7,1) b) (4,-3,5) c) (0,1,5) d) (2,3,1) e) (1,2,3)

06. (UFSC)- O valor absoluto do produto das raízes

do sistema S=⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−

−=−+

3zyx21zy

3z2yx

07. (FEI-SP)- Se x=A,y=B e z=C são as soluções do

sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=−

10z4y

4zx3yx

, então A.B.C vale:

a) -5 b) 8 c) -6 d) -10 e) 5 08. (UFRN)- Se a, b e c são soluções do sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

17z2yx15zyx216zy2x

então abc vale?

09. Encontre o valor de a para que seja homogêneo

o sistema:

⎩⎨⎧

=−=+

0y_x26a3y5x3

10. Identifique qual das duplas (4,0); (0,6); (2,3);

(3,2); (4,1), é solução do sistema:

⎩⎨⎧

=+=+5yx

12y2x3

11. Determine a,b e c, de modo que seja

homogêneo o sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+++=−+−=+−

2cz2y2xcbzy3x2baz3y2x3

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO III


26

DISCUSSÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Discutir um sistema linear significa determinar sua classificação quanto ao número de soluções. Já fizemos tal classificação para um sistema com duas equações e duas incógnitas, faremos agora, com o auxílio do Teorema de Rouché-Capelli, a generalização para um sistema de m equações e n incógnitas.

DEFINIÇÕES

• Matriz Incompleta (MI): É a matriz de

ordem m x n formada pelos coeficientes das incógnitas.

• Matriz Completa (MC): É a matriz de ordem m x (n+1) obtida acrescentando-se à matriz incompleta a coluna composta pelos termos independentes.

CARACTERÍSTICA DE UMA MATRIZ

É o número que exprime a ordem do determinante da “mais ampla” submatriz quadrada extraída da matriz considerada, cujo valor seja diferente de zero.

OBSERVAÇÃO Dada uma matriz A qualquer, chamamos submatriz de A, a qualquer matriz que possa ser obtida a partir de A, pela eliminação de um certo número de linhas e de colunas. Exemplo: A característica da matriz

É igual a 2. Note que podemos extrair uma “mais ampla submatriz quadrada com determinante

não nulo” como sendo a matriz M= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡5 13 2

onde det

M=7.

TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI

O resultado esquematizado a seguir, devido à dupla de matemáticos Rouché Capelli, possibilita-nos discutir um sistema linear: Seja: MI: matriz incompleta do sistema MC: matriz completa do sistema p: a característica da matriz incompleta q: a característica da matriz completa n: número de incógnitas

Então:

Exemplo:

Classificar o sistema linear ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

0y3x

2yx35y2x

Temos:

• Matriz incompleta (MI):

• Matriz completa (MC):

• As características das matrizes MI e MC

são respectivamente 2 e 3 pois, as submatrizes assinaladas pelos quadriláteros pontilhados são de maior ordem possível com determinante não nulo. De fato:

05- 1 3 2 1

≠=

0 38

0 3 1

2 1 3 5 2 1

≠=

• Como p=2 e q=3, pelo Teorema de Rouché

Capelli, p≠q indica que o sistema é impossível.

MATEMÁTICA

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27

TESTES

09. (FEI-SP)- A matriz

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0 0 0 06 3 0 32 1 1 04 2 1 1

tem

característica: a) 3 b) 2 c) 1 d) -1 e) -2 10. (UFPA)- O valor de k para que o sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−−

=−−

0zkyx20z2y2x

0zyx admita soluções próprias é:

a) k=0 b) k=1 c) k=-1 d) k=0 e) k≠1

11. (PUC-PR)- Para que o sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

byx5y2x4yx2

seja

determinado, “b” deve ser igual a?

12. (FGV-SP)- O sistema:⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−

=−+

9z6y5x11z5y3x2

2zy2x

a) É impossível. b) É possível e indeterminado. c) É possível e indeterminado. d) Admite apenas a solução x=1, y=2, z=3. e) n.d.a.

13. (UEL-PR)- O sistema⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+

−=−

1y3x22yx

3y2kx é possível e

determinado se, e somente se, k for igual a: a) 3 b) 2 c) 1 d) -1 e) -2 14. (FATEC-SP)- Para que o

sistema⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+=−

1Ayx22y3x1y2x3

seja compatível, A deve ser

igual a?

15. (STA.CASA-SP)- O sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+

=−+

2mzyx0z2y2x3

mzyx2 é

impossível para: a) m=1 b) m=0 c) m=-3 d) -1<m<1 e) M>10 08. (UNESP)- Para que valores reais de p e q o

seguinte sistema não admite solução?

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=++=++

qzy3x25z3yx0z4pyx3

a) p=-2, q=5 b) p>-2, q≠4 c) p=q=1 d) p=-2, q≠5 e) p=2, q=5

09. Com relação ao sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=++=++

1z2yax2bz2yax3z2yx2

, é

correto afirmar que: 01) É possível para quaisquer valores de a e b. 02) É possível e determinado quando a≠2. 04) É possível e indeterminado quando a=2 e b=3. 08) É possível e indeterminado quando a≠2 e b=3. 16) É impossível quando a=3 e b≠2. 32) É impossível quando a=2 e b≠3.

10. (F.G.V.-SP)- O sistema linear ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=+

my2x3

1yx4y2x

será

impossível se: a) m=1 b) m=2 c) m=3 d) m=4 e) m=5

11. (F.F.CHAGAS-BA)- O sistema ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=−0kyx0yx2k nas

incógnitas x e y: a) é impossível se k ≠ -1. b) admite apenas a solução trivial se k=-1. c) é possível e indeterminado se k=-1. d) é impossível para todo k real. e) admite apenas a solução trivial para todo k real.

Obrigada, Senhor, por tua companhia constante em minha vida, em todos os momentos pelos quais passo. Sejam eles alegres ou tristes.

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28

GEOMETRIA ANALÍTICA

“Penso, logo existo” O filósofo, matemático e físico francês René Descartes (1596-1960), autor dessa famosa frase, foi o criador da Geometria Cartesiana , ciência que deu origem à atual Geometria Analítica. A Geometria Analítica procura relacionar a Álgebra e a Geometria, através de um sistema de coordenadas no plano, denominado Sistema Cartesiano. Conceitos fundamentais para o estudo da Geometria Analítica.

EIXO

Chamaremos de eixo toda reta orientada, com origem num ponto pertencente a ela e com uma unidade de medida.

COORDENADA DE UM PONTO

Chamaremos de coordenada de um ponto o número real associado, num eixo, a este ponto. Quando tivermos um eixo x chamaremos sua coordenada de abcissa. Veja o exemplo abaixo:

A abscissa do ponto A é o número -2, pois A está situado duas unidades de medida à esquerda da origem, e a abscissa do ponto B é o número +2, pois B está situado duas unidades à direita da origem. Observe que a distância entre os pontos A e B é de 4 unidades, chamada também de comprimento do segmento AB, obtida pela diferença +2-(-2). Generalizando, a distância entre A e B, de abscissas xA e xb,respectivamente, será dada por:

Geometria-estudo das figuras pelas relações algébricas. Cartesiana-descartes, relativo ao cartesiano.

( ) AxBxABdB,A d −==

Como trabalhamos com módulo ou valor absoluto, não precisamos nos preocupar com a ordem de subtração, veja o exemplo a seguir: Exemplo: Qual a distância dAB entre os pontos A e B?

dAB= 4-43-1- == ou

dAB= ( ) 441--3 ==

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Seja o par de eixos perpendiculares x e y, com origem no ponto 0, que determina o plano cartesiano.

Cada ponto desse plano poderá ser expresso pelo par ordenado (x,y), onde x representará a abscissa e y a ordenada do ponto.

EXEMPLOS:

• Seja o ponto A(xA,yA), onde xA yA são valores positivos, sua representação no plano cartesiano será, para xA>yA.

• Localize os pontos no plano cartesiano abaixo.

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29

Observe que os eixos x e y dividem o plano

cartesiano em 4 regiões distintas, chamadas quadrantes.

Observe que:

• Se o ponto P pertencer ao eixo das abscissas, suas coordenadas serão (xp,0). EXEMPLO:

• Se o ponto P pertencer ao eixo das ordenadas, suas coordenadas serão (0,yp). EXEMPLO:

• Se o ponto P pertencer à bissetriz do 1° e 3° quadrantes, suas coordenadas serão iguais, ou seja, xp=yp’ EXEMPLO:

• Se o ponto P pertencer á bissetriz do 2° e 4° quadrantes, suas coordenadas serão simétricas, ou seja, xp=-yp’ EXEMPLO:

EXERCÍCIOS

01. Calcule o comprimento do segmento AB, sendo

A(4) e B(-14). 02. Sendo P(a,a-2), calcule o valor de “a” para que: a) O ponto A pertença ao eixo das ordenadas. b) O ponto A pertença ao eixo das abscissas. 03. Localize os pontos P(0,4), Q(-2,1), R(3,3) e

S(1,-3) no plano cartesiano.

04. Sendo A(2k,3-k), Calcule o valor de “k” para

que: a) O ponto A pertença à bissetriz do 1° e 3°

quadrantes. b) O ponto A pertença à bissetriz do 2° e 4°

quadrantes.

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30

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos A(xA,yA) e B(xB,yB), a distância dAB entre eles será dada por:

( ) ( )2 yy2BxAxABd BA −+−=

Este resultado é obtido pela aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo ABC.

Exemplo: Determine a distância entre os pontos A(-2,4) e b(4,-4);

ocompriment de unidades 10ABd =

EXERCÍCIOS 05. Calcule a distância entre os pontos P(2,3) e Q(-

1,2). 06. Calcule a distância da origem ao ponto A(-3,4).

DIVISÃO DE UM SEGMENTO

Seja o segmento AB da figura

Segmento- Parte de um todo, porção determinada de um

objeto.

Conhecidasas coordenadas dos pontos A e B, encontramos o ponto P(xp, yp) que divide AB , interna ou extremamente, numa dada razão r, fazendo:

r1

ByrAyy

r1BxrAx

Px P +⋅+

=+⋅+

=

Note que, conhecidas as coordenadas de P, podemos encontrar a razão de secção r por:

PyByAyy

r ou PxBxAxPx

r P−

−=

−−

=

E, quando r>0 P é interno ao segmento AB r<0 P é externo ao segmento AB r=0 P=A ∃r P=B Exemplo: Quais as coordenadas de P, que divide AB na razão 3, sendo A(2,-2) e b(2,6)?

248

462

312.32

r1BxrAx

PX ==+

=++

=+⋅+

=

2xP =

44

164

18231

632r1

ByrAyPy =

+−=

+⋅+−=

+⋅+

=

4Py =

PONTO MÉDIO

Se M for o ponto médio de AB teremos r=1, pois BM=MA, e portanto:

2

ByAyy e

2BxAx

Mx M+

=+

=

Onde as coordenadas de M são as médias aritméticas das coordenadas de A e B.

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31

Exemplo: Obter as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB, sendo A(1,-3) e B(3,9).

2Mx 224

231

2Bxx

Mx A =⇒==+

=+

=

3y 396

293

2ByAy

My M =⇒==+−

=+

=

EXERCÍCIOS 07. Encontre o ponto M, ponto médio de AB , sendo

A(-2,3) e B(10,-1). 08. Encontre os valores de “a” e “b” para que o

ponto P(2a,3) seja o ponto médio de AB , onde A(-1,b+1) e B(5,-2).

09. Sendo M(3,1) o ponto médio do segmento CD,

onde C(-2,4), encontre as coordenadas de D.

TESTES 01. O ponto médio do segmento AB, onde A(-1,-2) E

b(7,4), é: a) (3,1) b) (4,3) c) (1,3) d) (3,4) e) (0,0) 02. (CESGRANRIO)- A distância entre os pontos de

coordenadas (-3,-5) e (-3,9) é: a) 4 b) 9 c) 12 d) 14 e) 15

03. (CESCEA-SP)- As coordenadas do ponto médio

M de um segmento AB são (2,3). Calcular a soma das coordenadas de B, sabendo-se que as do ponto A são (1,4).

04. (CESCEM-SP)- A ordenada do ponto que divide o

segmento A(1,7) e B(6,-3) na razão k=2/3 é: a) -5 b) 6 c) 5 d) -6 e) 3 05. (FCC-SP)- Se o ponto (x,x) for eqüidistante de

(4,8) e (2,-2), então teremos: a) x=-1 b) x=0 c) x=1 d) x=2 e) x=3 06. (UFPR)- Um ponto P divide o segmento

orientado MN na razão 2PN

PM= . Sendo P(3,0) e

M(-3,2), então N é o ponto de coordenadas: 01) (1,4) 02) (6,-1) 04) (3,2) 08) (-1,6) 16) (2,3) 07. (PUC-PR)-A distância da origem do sistema

cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos (-2,-7) é (-4,1) é:

a) 5

b) 2 2

c) 2 3

d) 3 3

e) 3 2 08. (CEFET-PR)- Qual o valor de a para que o

triângulo de vértices A(-2,0), B=(1,a) e C(2,-1) seja isósceles de base BC?

a) -5 b) -4 c) - 2

d) 2

e) 22≠ 09. (AMAN)- O valor inteiro de x, para que a

distância entre os pontos A(0,4) e B(x,0) seja a metade da distância entre os pontos C(x,1) e D(11,7) é:

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ENSINO MÉDIO III


32


BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO

O Baricentro, ou Centro Geométrico, ( )GG y,xG de um triângulo ABC é o ponto de

intersecção entre suas três medianas. Suas coordenadas são obtidas pelas médias aritméticas das coordenadas dos vértices A ( ) ,Ay,Ax B ( )BB y,x e C ( )CC y,x do triângulo ABC.

3

yyyy e

3

xxxx CBA

GCBA

G

++=

++=

Exemplo: Quais as coordenadas do baricentro G do triângulo ABC, sendo A(4,8), B(10,-8) e C(-2,3)?

43

123

)2(1043

xxxx CBA

G ==−++

=++

=

4xG =

133

33)8(8

3

yyyy CBA

G ==+−+

=++

=

1yG =

ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Seja o triângulo de vértices A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC), sua área será expressa por:

ACBA

ACBA

CC

BB

A A

y y y y

x x x x

21

A ou

1 y x

1 y x

1 y x

21

A ==

Exemplo: Qual a área do triângulo ABC, onde A(1,2), B(0,-4) e C(-2,-6)?

2 6- 4- 21 2- 0 1

21

y y y y

xx x x

21

AACBA

A CBA==

⇒=−=+−−−=−=210

1021

A 68040421

A=5 unidades de área

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Se três pontos A ( )AA y,x , B ( )BB y,x e

C ( )CC y,x estão alinhados o triângulo por eles

formado tem área nula, ou seja:

0

Ay y y y

x x x x ou 0

1 y x

1 y x

1 y x

0ACBA

ACBA

CC

BB

AA==⇒=

Quem vem a ser condição necessária e suficiente para que os pontos A,B e C estejam alinhados. Exemplo: Determinar a ∈ IR, sabendo que os pontos A(a,2), B(0,6) e C(-1,4) estão alinhados.

02 4 6 2a 1- 0 a

0y y y y

x x xx

ACBA

ACB A =→=

6a+0-2-0+6-4a=024

a04a2 −=⇒=+⇒

a=-2

EXERCÍCIOS 01. Calcule as coordenadas do baricentro G do

triângulo com vértices em A(-2,2), B(-1,-3) e C(6,-8).

02. Calcule a área do triângulo ABC do exercício 1. 03. Estando os pontos P(3,7), Q(1,3) e R(0,a)

alinhados, determine o valor de a ∈ IR. 04. Os pontos A(2,5) e B(-2,1) formam com a

origem do sistema de coordenadas cartesianas um triângulo ABO. Calcule a área e o baricentro do triângulo ABO.

05. Determine o valor de b para que os pontos A(-

1,-2), B(0,-3) e C(-2b,11) sejam colineares.

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ENSINO MÉDIO III


33

TESTES 01. 01(MACK-SP)- Os vértices de um triângulo ABC

são A(2,5), B(4,7) e C(-3,6). O baricentro desse triângulo tem como coordenadas:

a) (3,6) b) (1,6)

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

211

,21

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛9,

23

e) (9,3) 02. (ACAFE-SC)- Os pontos A(1,1), B(-2,4) e C(7,2)

são vértices de um triângulo cuja área é: a) 11,5 u.a b) 12,5 u.a c) 10,5 u.a d) 13,5 u.a e) 9,5 u.a 03. (UDESC)- Os pontos A(4,6) e B(9,7) formam

com a origem um triângulo. Sua área é: 04. (UFRS)- Se A(0,0), B(2,y) e C(04,2y) e a área

do triângulo ABC é igual a 8. Então o valor de y é:

a) 6 ± b) ± 4 c) ± 2 d) ± 8 e) ± 10 05. (UDESC)- A área do triângulo de vértices

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0,

31

, B ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1,

52

e C ( )2,1− vale:

a) 3 b) 2 c) 8,5

d) 1511

e) n.d.a. 06. Qual a distância do ponto médio do segmento

AB ao baricentro do triângulo PQR, onde A(-2,7), B(6,-10, P(1,-1), Q(-3,4) e R(5,6)?

07. (UEPG-PR)- Os pontos A(0,1), B(1,0) e C(p,q)

estão alinhados, teremos então, necessariamente:

a) p=q=0 b) p-q=2 c) p+q=1

d) 1qp

=

e) n.d.a.

08. (MACK-SP)- Se os pontos (2,-3), (4,3) e ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2k

,5

estão numa mesma reta, então K é igual a: a) -12 b) -6 c) 6 d) 12 e) 18 09. Sobre os pontos A(2,-1), B(4,1), C(0,3) e D(-

1,1), é correto afirmar que: 01) O baricentro do triângulo ABC é o ponto A. 02) O baricentro do triângulo BCD é o ponto

G ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

31

,1 .

04) O baricentro do triângulo ACD é ponto H .1,32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

08) A área do triângulo ABD é 5 u.a. 16) A área do triângulo BCD é 20 u.a. 32) Os pontos A,B e C estão alinhados. 64) Os pontos A,C e D estão alinhados. 05. (FEI)- Dado o triângulo de vértices A(0;0),

B(1;1), e C(5;-1), determinar as coordenadas do baricentro do triângulo ABC.

06. Calcular o comprimento da medida AM do

triângulo de vértices A(0,0), B(3,7), C(5,-1). 07. Determinar as coordenadas dos pontos que

dividem AB em 3 partes iguais; são dados : A(-2;3) e B(6;-3).

08. (MAUÁ)- Determinar as coordenadas dos

vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são, (-2;1), (5;2) e (2;-3).

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34


EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR DOIS PONTOS

Sendo A ( ) ( )BBAA y,x e y,x dois pontos

distintos, o conjunto de pontos P(x,y) alinhados com A e B, representa no plano cartesiano uma reta.

Impondo a condição de alinhamento de três pontos obtemos:

0y y y y

x x x x

BA

BA =

E, desenvolvendo o determinante, chegamos a uma equação em x e y da forma: Ax+By+C=0 ( )0AB ≠ Chamada de Equação Geral da Reta r. E, sendo B ≠ 0, isolamos y nesta equação:

y=BC

xBA

− ou y=ax+b

Chamada de Equação Reduzida da Reta r, onde: a= coeficiente angular de r. b= coeficiente linear de r. Exemplo: Determinar a equação, nas formas geral e reduzida, da reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(1,-2).

y 2- 3 y

x 1 2 x0

y By Ay y

x Bx Ax x→=

3x-4+y-2y-3+2x=0 5x-y-7=0 Forma Geral, e isolando y Y=5x-7 Forma Reduzida

EXERCÍCIOS 01. Determine a equação geral da reta que passa

pelos pontos A(-1,4) e B(5,-2). 02. Qual a equação, na forma reduzida, da reta que

passa pelo ponto P(-3,-2) e pela origem? 03. Determine a equação reduzida da reta que

passa pelos pontos A(1,0) e B(2,2).

INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS

Duas Retas r1 e r2 terão um ponto de intersecção quando este ponto pertencer a ambas as retas. Exemplo: Verificar se o ponto P(-1,1) é o ponto de intersecção das retas r1: x-3y+4=0 e r2: 2x+y+1=0. Substituindo as coordenadas de P em r1 e r2 obtemos: ( ) ( ) 043141311r =+−−=+⋅−−→

( ) ( ) 011211122r =++−=++−⋅→ → Verificou ambas, portanto P é o ponto de intersecção entre 2r e 1r .

OBSERVAÇÃO Para obtermos o ponto P, basta resolvermos o sistema de equações composto por r1 e r2.

( )

⎩⎨⎧

=++=++=−+−→=+−01 y 2x 01yx208y6x22-x 04y3x

_____________ 0 +7y-7 = 0 ⇒ 7y=7⇒ y=1 E, substituindo y=1 em r1, obtemos: x-3.1+4=0→ x+1=0⇒ x=-1 Então, P(-1,1).

Intersecção- ponto em que se cruzam duas linhas ou

superfícies.

Obrigada, ó Deus, por nos chamares através de todos os eventos e atividades de nossas vidas. Amém.

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35

EXERCÍCIOS 04. Verifique se o ponto P(2,2) pertence à reta

r:3x+2y-10=0. 05. Determine as coordenadas de P(a,b), ponto de

intersecção das retas r: 3x+2y-4=0 e s: 2x+y-1=0.

06. Se o ponto P(a,a-1) pertence à reta de equação

3x-2y-5=0, qual o valor de a? 07. Encontre as coordenadas do ponto de

intersecção entre as retas r:x-y+2=0 e s:y=3x-2.

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

Seja a reta r, que forma um ângulo α com o eixo x, ilustrada abaixo.

Chamaremos de coeficiente angular ou declividade de r o número real a expresso por:

α= tga ou BxAxByAy

a−−

=

Coeficiente-número(ou letra) que aparece como fator de

um termo.

Exemplo: Determinar o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos A ( ) ( ).33,B e 32,4

EQUAÇÃO DA RETA DETERMINADA POR UM PONTO E UMA DIREÇÃO

Podemos determinar a equação de uma reta r em função das coordenadas de um ponto P, pertencente a r, e do coeficiente angular a de r, pela fórmula. y-y0=a(x-x0) onde x0 e y0 são as coordenadas de P. Exemplo: Obter a equação de reta r representada abaixo:

→ Como P(1,0) ∈ r e a = tg α =tg 45°=1, a equação será:

y-y0=a(x-x0) y-0=1.(x-1)→ y=x-1

EXERCÍCIOS

08. Determine o coeficiente angular da reta que

passa pelos pontos A(-3,2) e B(-1,4). 09. Sendo A(-2,5) e B(-5,3), qual é o coeficiente

angular da reta determinada pelos pontos A e B?

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36

TESTES 01. (CESCEM-SP)- A equação reduzida da reta

16y

3x

=+ é:

a) y=2x+3 b) y=x-4 c) y=3x+2 d) y=-2x+6 e) n.d.a. 02. (FAE-PR)- O coeficiente angular da reta

13y

2x

=− é:

a) 32

b) 23

c) -32

d) -23

e) 1 03. Sobre as retas r:2x-y-1=0 e s:x+y-2=0, é: 01) O coeficiente angular de r é 2. 02) O coeficiente linear de s é-1. 04) O coeficiente linear de r é-2. 08) O coeficiente linear de s é 2. 16) O ponto A(1,1) pertence a ambas as retas. 32) O ponto B(0,0) pertence a ambas as retas. 64) O ponto C(2,0) pertence apenas a reta r. 04. (PUC-RS)- A reta que “passa” pelos pontos (4,-

1) e (2,3) tem o mesmo coeficiente angular que a reta de equação:

a) x+2y=7 b) x-2y=7 c) 2x+y-7=0 d) 2x-y+7=0 e) 2x-2y+7=0 05. (PUC-SP)- A equação da reta com coeficiente

angular m=-54 e que passa pelo ponto P(2,-5)

é: a) 4x+5y+12=0 b) 4x+5y+14=0 c) 4x+5y+15=0 d) 4x+5y+17=0 e) n.d.a. 09. (PUC-SP)- As retas 2x+3y=11 e x-3y=1 passam

pelo ponto (a,b). Então a+b vale?

10. (UEL-PR)- Seja a função y=mx+t representada no gráfico a seguir. Os valores de m e t são, respectivamente:

a) -23

e -3.

b) 23

− e 3.

c) 23

e 3.

d) 3 e 6. e) 3 e -6. 08. (FGV-SP- Adaptada)- A equação da reta na figura abaixo e:

a) 3x+2y=6 b) 2x+3y=6 c) 3x-2y=6 d) 2x-3y=6 e) -2x+3y=6

f) (UFSC- Adaptada)- Sejam as

retas r, que passa pelos pontos P1(1,0) e P2(2,-2) e s, dada pela equação 2y-

x+1=0. Determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras:

01) As retas r e s são coincidentes. 02) O coeficiente angular de r é -2. 04) O coeficiente linear de s é -1. 08) r ∩ s={(1,0)} 16) O ponto P(3,-4) pertence à reta r. 32) O ponto Q(3,1) pertence à reta s.

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37


POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

RETAS PARALELAS Sejam as retas Paralelas r e s representadas abaixo:

Donde concluímos que duas retas paralelas não se interceptam e possuem coeficientes angulares iguais.

RETAS CONCORRENTES Duas Retas são concorrentes se possuem um ponto em, comum.

RETAS PERPENDICULARES

Se r e s forem perpendiculares teremos:

Assim, duas retas perpendiculares interceptam-se em um ponto e têm coeficientes angulares inversos entre si e com sinal contrário. O ângulo entre elas sempre será igual a 90°. Resumindo:

Perpendiculares- retas que formam com outras.

Exemplos:

• As retas r e s são paralelas pois: r: 3x-y+2+0→ y=3x+2⇒ ar=3

s: x-3y

-2=0→ y=3x-6⇒ as=3

ar=as • As retas p e q são perpendiculares pois:

P: 5x-2y+1=0→ y= ⇒+21

x25

ap=25

q: 2x+5y+15+0→ y=-52

x-3⇒52

qa −=

qa1

pa −=

EXERCÍCIOS 01. Quais os coeficientes angulares das retas p,

paralela, e q, perpendicular, à reta r: 2x-3y+1=0?

02. Encontre a equação reduzida da reta que passa

pelo ponto P(1,-2) e é paralela à reta r: 2x-y-3=0.

03. Encontre a equação geral da reta que passa pelo

ponto A(2,-3) e é perpendicular à reta

r:y=31

x+5.

04. Qual a equação geral da reta paralela à reta

r:4x-2y+3=0, e que passa pelo ponto A(-1,2)?

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38

05. Encontre as equações, na forma reduzida, das retas p, paralela à reta r:y=-x+2, e q, perpendicular à reta s:x+3y-6=0, sendo que ambas passam pelo ponto X(4,3).

TESTES 01. (FGV-SP)- As retas (r):x+2y=5 e (s):4x+ky=5,

são paralelas se: a) k=8 b) k=7 c) k=6 d) k=5 e) k=4 02. (CEFET-PR)- O valor de m para o qual as retas

x+ 0my

= e 2x-2y+1=0 são perpendiculares é:

a) -21

b) -1 c) 1

d) 21

e) -2 03. Sobre as retas r;2x-y+1=0, s:x+2y-4=0 e t:4x-

2y+3=0, é correto afirmar que: 01) O coeficiente angular de r é 2. 02) r e s são paralelas. 04) s e t são concorrentes. 08) r e t são perpendiculares. 16) r e s são perpendiculares. 32) s e t são coincidentes. 64) r e t são paralelas. 04. (UFMG)- Seja a reta r de equação 2x-3y-5=0. A

equação da reta s, paralela a r, que contém P(1,-2) é:

a) 2x-3y-1=0 b) 2x-3y-8=0 c) 3x-2y-7=0 d) 3x+2y+1=0 e) 2x+3y+4=0 05. (UFMG)- A relação entre m e n, para que as

retas de equações 2x-my+1=0 e nx+3y+5=0 sejam paralelas, é:

a) 23

nm

=

b) 32

nm

−=

c) 32

nm

=

d) mn+-6 e) mn=6

06. As retas r:ax-y+12=0 e s:(a-8)x-16y-4=0 são

perpendiculares para que valor de a real? 07. (UEL-PR)- Determinar a equação da reta que

passa pelo ponto de intersecção das retas (r);2x+y-3=0 e (s):4x-3y-1=0 e é perpendicular à reta x-3y+5=0.

a) x-3y+2=0 b) x-3y-4=0 c) 3x+y-4=0 d) 3x+y-2=0 e) x-y+1=0 08. (PUC-RS)- A equação da reta perpendicular à

reta de equação 2x+3y-6=0, no ponto em que esta intercepta o eixo das abscissas, é:

a) y= ( )3x23

−

b) y-3= x23

c) y= ( )3x32

−

d) y-3= x32

e) y=- ( )3x32

−

09. (UFPR-Adaptada)- Sabendo que o ponto (1,2)

pertence a r1, o ponto (1,1) pertence a r2 e que o ponto (2,6) é comum às duas retas, é correto afirmar:

01) A equação de r2 é 5x-y-4=0. 02) As retas r1 e r2 são perpendiculares. 04) O coeficiente angular de r1 é zero. 08) r1 é paralela à 8x-2y+3=0. 16) r2 é perpendicular à x+5y-4=0. 32) As retas r1 e r2 são paralelas. 10. (STA.CASA)- As retas x=y e x+y=1: a) são paralelas. b) contêm ambas o ponto (0,1) c) são perpendiculares d) contêm ambas o ponto (2,2) e) formam ângulo de 60° 11. Os valores de K para os quais a reta que passa

pelos pontos (K,3) e (-2,1) é paralela à reta determinada pelos pontos (5,K) e (1,0):

a) não são todos racionais b) são todos positivos c) não são todos inteiros d) são todos negativos e) não satisfazem a nenhuma das 4 afirmativas

anteriores.

Senhor, abre nossos corações e mentes, para que ouçamos com alegria aquilo que tens a nos dizer hoje. Amém.

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39

NÚMEROS COMPLEXOS Uma equação do 2° grau como x2+2x+2=0 não possui raízes reais, pois, o seu discriminante ( ∆ ) é negativo:

∆= 48421422ac42b −=−=⋅⋅−=− Problemas como esse propiciaram a criação do sistema numérico dos números complexos, que determinou uma ampliação do conjunto IR para o conjunto C. Na primeira metade do século XIX, o filósofo e matemático Carl Friedrich Gaus (1777-1855), introduziu a Teoria dos Números Complexos, a partir da Unidade Imaginária i definida por Leonhard Euler, como:

1i −= , ou seja, 12i −= E, expressões como 4− , ganharam um significado numérico, pois: ( ) i214144 =−⋅=−⋅=−

DEFINIÇÃO

Chama-se forma algébrica de um número complexo todo número Z, da forma Z=a+bi, onde a,b ∈ IR e i= 1− , sendo a sua parte real e b sua parte imaginária. Então: a=Re(Z)← parte real de Z b=Im(Z)← parte imaginária de Z Exemplos:

• Z=2+3i⎩⎨⎧

==

3b2a

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=−=•

21

b

21

a

2i

21

Z

OBSERVAÇÕES 1ª) Se a=0 e b=0, então Z é um complexo nulo. 2ª) Se a=0 e b≠0, então Z é um imaginário puro. 3ª) Se b=0, então z é um número real, donde concluímos que IR ⊂ C. Exemplos: •Z=0+0i→ Z é nulo •Z=8i→ Z é imaginário puro •Z=3→ Z é um número real

EXERCÍCIOS 01. Resolva as equações: a) x2+9=0 b) 2x2+32=0

c) 14

2x−=

02. Identifique a parte real “a” e a parte imaginária

“b” dos complexos: a) Z=1-i

b) Z=2i

3 +

c) Z=2-3i

IGUALDADE ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS

Para que dois números complexos sejam iguais eles devem ter a mesma parte real e a mesma parte imaginária. Se Z1=a+bi for igual a Z2=c+di, então

z1=z2⇒ a+bi=c+di ⇔ a=c e b=d. Exemplo: Quais os valores de x e y para que sejam iguais os complexos Z1=x+2i e Z2=1+yi? Z1=Z2 ⇒ x+2i=1+yi⇒ x=1 e y=2

Tenho maior prazer nas coisas de Deus, quando as deixo entrar no meu coração.

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40

OPOSTO E CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Se Z=a+bi, então seu oposto será –Z=-a-bi, e seu conjugado será biaZ −= Exemplo: Encontre o oposto (-Z) e o conjugado ( Z ) do complexo Z=2+3i. -Z=-2-3i e Z =2-3i

POTÊNCIAS DE I Se n ∈ IN, então in assume os valores:

Exemplos: i31=i3=-i, pois 31 por 4 deixa resto 3. i52=i0=1, pois 52 por 4 não deixa resto.

EXERCÍCIOS 03. Dado o complexo Z=5-i, encontre o oposto e o

conjugado de Z.

TESTES

01. (CEFET-PR)- A expressão 66i82i

15i47i

+

+se reduz, por

simplificação, a: a) 0 b) 1 c) –1 d) I e) –i 02. (FASP)- Simplificando a expressão 3i5+2i4+5i3

obtém-se: a) 2-2i b) 1+i c) 2+8i d) 3-3i 03. O complexo Z=(30-3x)+(x-2)i será imaginário

puro quando x for igual a?

04. (F.C. CHAGAS-SP)- Se i é a unidade imaginária,

então 18i17i

16i15i

+

+é igual a :

a) -1 b) –i c) 1+i

d) -2i

21+

e) 2i

21−−

05. (UFPA)- O número complexo Z=x+(x2-4)x é real

se, e somente se: a) x=0 b) x ≠ 0 c) x= ± 2 d) x ±≠ 2 e) x 0≠ e x 2±≠ 06. Com relação aos complexos Zi=2-i e Z2=-3i, é

correto afirmar que: 01) Z1 é um imaginário puro. 02) 1Z =-2+i

04) 2Z =3i

08) Z2 é um imaginário puro. 16) –Z2= Z 2 32) –Z1=2+i 07. (USP)- Os números reais x e y que satisfazem a

equação 2x+(y-3)i=3y-4+xi são tais que: a) x+y=7 b) x-y=3 c) xy=10

d) 3yx

=

e) Yx=32 08. (UEL-PR)- Sejam os números complexos w=(x-

1)+2i e v=2x+(y-3)i, onde x,y ∈ R. Se w=v, então:

a) x+y=4 b) x.y=5 c) x-y=-4 d) x=2y e) y=2x 09. Sobre o estudo dos números complexos, é

correto afirmar que: 01) Não existe raiz quadrada de número negativo. 02) Sendo i a unidade imaginária, então i0=i8. 04) Se x2-9=0, então x= ± 3i. 08) Um número complexo não pode ter parte real

igual à parte imaginária. 16) Se i3=i27, então i2=i18. 32) se 4x2+64=0, então x= ± 4i.

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41

OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Somamos ou subtraímos as partes reais e imaginárias entre si. Exemplo: Calcule Z1+Z2 e Z1-Z2, sendo Z1=4+3i e Z2=2-i.

• Z1+Z2=(4+3i)+(2-i)=6+2i • Z1-Z2=(4+3i)-(2-i)=2+4i

MULTIPLICAÇÃO

Aplicamos as propriedades distributivas da multiplicação, lembrando que i2=-1. Exemplo: Calcule o produto Z1.Z2, sendo Z1=2+i e Z2=3+2i.

DIVISÃO

Multiplicamos e dividimos o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador.

Exemplo: Calcule o quociente i1

3+

.

( )( )( ) 2

i 3311i 33

2i1

i 33i1i1

i13

i13 −

=+−

=−

−=

−−

⋅+

=+

TESTES 01. (USP)- O produto (5+7i).(3-2i) vale: a) 1+11i b) 1+31i c) 29+11i d) 29-11i e) 29-31i

02. O número complexo i21i31

−+

é equivalente a:

a) -1+i b) 1-i c) -5+5i

d) - i35

37−

e) i35

35−

03. Com relação aos números complexos Z1=2-i e

Z2=1+2i, é correto afirmar que:

01) Z1+Z2=3+i 02) Z1.Z2=4+3i 04) (Z2)2=4-3i 08) Z1. Z 2=5i 16) i.Z1=Z2, sendo i a unidade imaginária.

32) 2Z1Z

1Z2Z

=

04. (PUC-SP)- O conjugado do número complexo

i2i31

−+ é:

a) 5

i71 −−

b) 5

i1 −

c) 7

i21 +

d) 5

i71 +−

e) 5

i1 +

05. (UFSM-RS)- Para que o número Z=(x-2i)(2+xi)

seja real, devemos ter (x ∈ R) a) x=0

b) x=21

±

c) x= 2± d) x= 4± e) n.d.a. 06. Se z=10+i13+i14. calcule o produto Z. Z , onde

Z é conjugado de Z, e i a unidade imaginária. 07. (PUCC-SP)- O conjugado do número complexo

( )43i1

2i1

−

+é:

a) 1-i b) -1-i c) -1+i d) –i e) I

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ENSINO MÉDIO III


42

POLINÔMIOS

INTRODUÇÃO

O estudo dos polinômios nos auxilia, através de propriedades e certos mecanismos de operação, a resolução de equações algébricas.

EXPRESSÃO GERAL DE UM POLINÔMIO

Chama-se polinômio toda expressão algébrica do tipo:

ma...1mx1amx0a)x(P ++−+=

Onde :

m é o grau do polinômio, e m ∈ ∗IN a0,a1,...,am são os coeficientes x é a variável Exemplos: P(x)=2x3-3x3+x+1 é um polinômio de: - m=3→ 3º grau - coeficientes 2,-3,1 e 1 Variável x P(x)=x-3+x-2+x+1 não é um polinômio, pois

m ∉ ∗IN P(x)=3x+1 é um polinômio de: -m=1→ 1° grau -coeficientes 3 e 1 -variável x P(x)=0 é um polinômio cujo grau não se define. P(x)= 2x − não é um polinômio, pois

m=21

e sendo assim, m ∉ ∗IN .

VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO

O valor numérico de um polinômio P(x), para x=a, é o resultado obtido quando substituímos x por a e efetuamos as operações indicadas. Exemplo: Se P(x)=2x3-3x2+x+1, então o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)=2x3-3x2+x+1 P(2)=2.23-3.22+2+1 P(2)=2.8-3.4+3 P(2)=16-12+3 P(2)=7

OBSERVAÇÃO

Polinômio- expressão algébrica, composta de mais de dois

termos separados pelos sinais + ou -.

Se P(a)=0, então dizemos que a é um zero ou raiz de P(x). Exemplo: Demonstre que 1 é raiz do polinômio P(x)=3x2-2x-1 P(x)=3x2-2x=1 P(1)=3.12-2.1-1 P(1)=3-2-1 P(1)=0, então 1 é raiz de P(x).

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

Somamos ou subtraímos algebricamente os coeficientes dos termos semelhantes. Os termos independentes são somados ou subtraídos entre si, visto que são os termos em x0. Sendo:

• A+B A+B=(3x2+2x-4)+(x2-x+1)

A+B=4x2+x-3

• A-3B A-3B=(3x2+2x-4)-3(x2-x+1) 3x2+2x-4-3x2+3x-3=3x2-3x2+2x-4-3 A-3B=0x2+5x-7, ou seja, A-3B=5x-7

POLINÔMIO REDUZIDO

Um polinômio se diz reduzido quando não apresenta termos semelhantes entre si. Exemplo: Escreva na forma reduzida e dê o grau do polinômio.

Fonte de força, renova-nos quando passamos tempo sozinhos contigo. alivia nossas mentes cansadas e enche-nos da tua paz. Amém.

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43

EXERCÍCIOS 01. Sendo P(x)=x3-2x2+3x-5, calcule seu valor

numérico para: a) x=0 b) x=-1 c) x=2 d) x=4 e) x=-3 02. Encontre as raízes dos polinômios: a) P(x)=3x-6 b) P(x)=x2-4x c) P(x)=x2-5x+6 d) P(x)=x3+6x2+9x

IGUALDADE DE POLINÔMIOS

Dois polinômios P(x) e Q(x) serão iguais ( ou idênticos) quando os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais. Os valores numéricos de P(x) e Q(x) serão os mesmos para qualquer valor de x. Exemplo: Sendo P(x)=2x2-4x+5 e Q(x)=ax2+bx+c, encontre os valores para a,b e c que verificam a igualdade P(x)=Q(x). → Resolução: P(x)-=Q(x) 2x2-4x+5=ax2+bx+c Igualando os coeficientes encontramos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=

5c4b

2a

POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO

Dizemos que um polinômio é identicamente nulo quando todos os seus coeficientes são nulos. Exemplos:

• P(x)=0x3+0x2=0x+0 é um polinômio identicamente nulo.

• Calcular a e b para os quais o polinômio P(x) é identicamente nulo, sendo P(x)=(a+b+1)x+(b-1)

EXERCÍCIOS 03. Encontre a e b, de modo que

(a+b)x2+bx-3=6x2+4x-3 04. Encontre a,b e c, de modo que

(ax2+bx+c)(x+1)=2x3+3x2-2x-3

05. Determine os valores de a,b,c,d de modo que o polinômio P(x) seja idêntico a zero, sendo P(x)=(a+2)x3+(b-3)x2-(3c+6)x+(d-1).

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06. Determine os valores de a,b,c,d que verificam a igualdade: x2-2x+3=ax3+(2ª+b)x2-cx+d-1

TESTES 01. (UFPA)- O polinômio P(x)=ax3+bx2+cx+d é

idêntico a Q(x)=5x2-3x+4. Então podemos dizer que a+b+c+d é igual a:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) -3 02. (FEI-SP)- Sabendo que 1 é raiz do polinômio

x3+x2-ax+2ª, podemos afirmar que o valor de a deve ser igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) -2 e) -1 03. Sobre o polinômio P(x)=2x3-3x2+2x-1, é correto

afirmar que: 01) P(1)=2 02) P(2)=-11 04) P(0)=-1 08) O número 1 é raiz de P(x). 16) P(x) não é um polinômio. 32) A igualdade P(x)=ax3+bx2+2x-1 só se verifica

para a +b=-1. 04. (UEPG-PR)- Sabendo que P(x)=(k2-9)x2-(k-

3)x+5 é um polinômio de grau 1, então: a) k=-3 b) k- ± 3 c) k=3 d) k>3 e) n.d.a. 05. (CEFET-PR)- O valor de a para que 2 seja raiz

do polinômio P(x)=3x2+x2-3ax-24 é: a) 1 b) -2

c) 32

−

d) 32

e) 2 06. (UEL-PR)- Sendo f,g e h polinômios de graus

4,6 e 3, respectivamente, o grau de (f+g).h será?

07. (CEFET-PR)- Os valores de a,b e c para que P(x)=(a+b)x2+(a-b+c)x+(c+2) seja igual a 2x2+x+3, são respectivamente:

a) 4,-2,1 b) 1,1,-1 c) 1,1,1 d) 1,1,2 e) -3,5,1 08. (CESCEM-SP)- Se os polinômios F=2x3-(p-

1)x+2 e G=qx3+2x+2 são idênticos, o valor da expressão p2+q2 é:

a) 13 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 09. (UECE)- Se 2x+5=(x+m)2-(x-n)2, então m3-

n3 é igual a? 10. Os preços a prazo de um casaco, de uma blusa

e de uma saia são x,y e z, respectivamente. À vista, o casaco, a blusa e a saia têm 12%, 6% e 4% de desconto, respectivamente. Uma cliente comprou, à vista, um casaco, duas blusas e três saias. Calcule a razão entre o desconto obtido, em reais, e a soma x+y+z.

11. A soma de dois números naturais distintos é

igual à diferença entre seus quadrados. Pode-se afirmar que esses dois números:

a) são consecutivos. b) são pares. c) são ímpares. d) são maiores que 5. e) são menores que 5. 12. (UFBA)- O número de pacotes de bombons

contidos em uma caixa é duas unidades maior que o número de bombons de cada pacote. Sabendo que a caixa contém 80 bombons, calcule o número de pacotes que contém a caixa.

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DIVISÃO DE POLINÔMIOS Sejam D(x) e d(x) dois polinômios, onde o grau de D(x) é superior ao de d(x), seu quociente

)x(d)x(D

será dado por:

Onde: D(x) é o dividendo d(x) é o divisor Q(x) é o quociente R(x) é o resto Grau de Q(x)=grau D(x)-grau d(x) Grau de r(x)= grau d(x)-1 Efetuaremos as divisões utilizando o método das chaves. Exemplos:

• Efetuar a divisão de D(x) por d(x), onde:

TEOREMA DO RESTO (OU DE D’ALEMBERT)

“O resto da divisão de um polinômio P(x) pela diferença (x-a) é igual a P(a).” P(x) é divisível por (x-a)⇒ P(a)=0

Para divisões por

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−→+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→−

=−→+=→−

0ba

Pabx

0ba

Pabx

0)a(Pax0)a(Pax

Exemplos:

• Calcule o resto da divisão de (x2-2x+1) por (x-1).

Resolução: P(x)=x2-2x+1 Como, x=1⇒ R=P(1)=12-2.1+1=0 ou seja, R(x)=0

• Encontre o resto da divisão (x2-3x+1):(2x-4)

Resolução: P(x)=x2-3x+1 Como:x=2⇒ R=P(2)=22-3.2+1=-1 ou seja, R(x)=-1

EXERCÍCIOS 01. Encontre, usando o método das chaves, o

quociente e o resto da divisão de: a) x2+4x-1 por x-1 b) x4-x2-4x por x-2 c) 3x3-4x2+1 por x+1 02. Verifique, usando o teorema do resto, os valores

dos restos encontrados no exercício 01. 03. Encontre o resto da divisão de P(x)=x4-x2+2 por

2x-1. 04. Determine o quociente e o resto da divisão de

P(x)=x3+4x2+x-6 por x+2.

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DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI

Briot e Ruffini criaram um dispositivo extremamente prático para a divisão de P(x) por x-a. Exemplos:

• Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, efetue a divisão de (x3+2x2-1) por (x-2).

→ Resolução 1º passo: Colocamos a raiz do divisor e os

coeficientes do dividendo, em ordem, no dispositivo.

2° passo: Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo.

3° passo: Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e somamos o produto com o próximo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

4° passo: Repetimos o mesmo procedimento com os demais coeficientes, ou seja:

5° passo: O último número encontrado é o Resto, os demais são os coeficientes do quociente, ou seja: R(x)=15 e Q(x)=x2+4x+8

• Determine o quociente e o resto da divisão de x4-1 por x+1.

→ Resolução: Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Obtemos:

Então: R(x)=0 e Q(x)=x3-x2+x-1

CONDIÇÃO DE DIVISIBILIDADE

Um polinômio P(x) será divisível por x-a quando P(a)=0, ou seja, o resto da divisão de P(x) por x-a for zero. Exemplo: P(x)=x2-2x+1 é divisível por x-1, pois P(x)=12-2.1+1=0

EXERCÍCIOS 05. Determine o quociente e o resto, fazendo uso do

dispositivo prático de Briot-ruffini, da divisão de: a) 2x3-x2-1 por x-1 b) x4-1 por x+1 c) x6-4x4+x2-1 por x-2 06. Encontre os valores de a e b, para os quais o

polinômio P(x)=x2+ax+b é divisível por (x-1)(x-2).

07. Determine o valor de k, para que o polinômio

P(x)=x2+kx+2 seja divisível por x-1. 08. Sabendo que o polinômio P(x)=x3+Ax2+Bx-16 é

divisível por D(x)=(x-1)(x+2), encontre os valores de A e B.

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TESTES 01. (CEFET-PR)- O quociente da divisão de P(x)=x3-

7x2+16x-12 por Q(x)=x-3 é: a) x-3 b) x3-x2+1 c) x2-5x+6 d) x2-4x+4 e) x2+4x+4 02. (PUC-BA)- O quociente da divisão do polinômio

P=x3-3x2+3x-1 pelo polinômio p=x-1 é: a) x b) x-1 c) x2-1 d) x2-2x+1 e) x2-3x+3 03. (PUC-PR)- O resto da divisão de x4-

2x3+2x2+5x+1 por x-2 é: 04. (SANTA MARIA)- Para que na divisão de 2x3-

3x+m por x+2, o resto seja nulo, o valor de m deve ser:

a) 6 b) 10 c) -6 d) 0 e) n.d.a. 05. (UFBA)- O resto da divisão de

P(x)=3x5+2x4+3px3+x-1 por (x+1) é 4, se p é igual a:

a) 35

b) -2 c) -3 d) -10

e) -37

06. Sobre o polinômio +(x)=3x3+4x2-2x+1, é

correto afirmar que: 01) O resto da divisão de P(x) por x+1 é 4. 02) O resto da divisão de P(x) por x-1 é 6. 04) O resto da divisão de P(x) por x+2 é -3. 08) P(x) é idêntico a Q(x)=3x3+4x2+1. 16) P(x) é divisível por x+1. 32) P(x) é divisível por x-1. 07. (UFRS) – A divisão de P(x) por x2+1 tem

quociente x-2 e resto 1. O polinômio P(x) é: a) x2+x-1 b) x2+x+1 c) x2+x d) x3-2x2+x-2 e) x3-2x2+x-1

08. (PUC-RS)- Se 3 e 4 são raízes do polinômio

P(x)=x2-(2ª-b)x+2ª+4b, então a-b é igual a: a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 09. Sobre o polinômio P(x)=x3+2x2+ax+b, é correto

afirmar que: 01) P(-2)=0 quando b=2a . 02) Se a=1 e b=0, então P(x) é divisível por x+1. 04) Se a=b=0, o polinômio P(x) é identicamente

nulo. 08) P(1)=0 quando a+b=-3. 16) Se a=1 e b=2, então P(x) é idêntico a Q(x)=x3-

2x2+x-2. 32) Se a=b=0, então P(x) é divisível por x+2. 10. O resto da divisão do polinômio p(x)=x8-5x3+x2-

1 por x+2 é: ( ) -298 ( ) -300 ( ) 301 ( ) 299 11. Sobre as raízes de polinômios, julgue os itens. ( ) A equação x3+ax2+bx+c=0, com a,b e c ∈IR,

pode ter apenas uma raiz imaginária. ( ) qualquer raiz racional da equação x3+3x2-3x-

9=0 é inteira. ( ) Toda equação polinomial de forma

ax4+bx2+cx2+dx+e=0, de coeficientes reais e a ≠ 0, necessariamente, possui uma raiz real.

( ) Se o número complexo i é raiz da equação x4-3x2-4=0, então esta equação tem uma solução de multiplicidade 2.

( ) O menor grau da equação polinomial de coeficientes reais que admite as raízes 3,2+ie-i é 5.

A alternativa de seqüência correta é a) F,V,F,F,V b) V,F,F,V,F c) V,F,V,V,F d) F,V,V,F,V 12. As raízes do polinômio p(x)=x3+9x2+23+15

formam uma PA de razão 2. O conjunto solução da equação obtida fazendo p(x)=0 é:

( ) {2,3,4} ( ) {-5,-3,-1} ( ) {-1,-4,-7} ( ) {1,3,5}

Amoroso Deus, ajuda-nos a refletir a tua presença conosco, não importa quais as circuntâncias que enfrentamos. Amém.

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GLOSSÁRIO

Análise-exame de cada parte de um todo. Combinatório- relativo a combinações. Aditivo- acrescentado, acréscimo. Multiplicativo- que multiplica ou serve para multiplicar. Fatorial- o produto de todos os números. Arranjo- boa ordem ou disposição. Permutação- ato ou efeito de permutar, troca. Combinações- ato ou efeito de combinar. Circular- cercar, percorrer. Agrupamento- reunião. Matriz- fonte ou origem, principal. Condição- categoria elevada. Comutativo- relativo a troca. Determinante- que determina, que ocasiona. Lineares- podendo ter uma ou mais variáveis. Incógnitas- desconhecido, oculto. Homogêneo- um corpo cuja as partes todas são da mesma

natureza. Trivial- comum, usado. Geometria-estudo das figuras pelas relações algébricas. Cartesiana-descartes, relativo ao cartesiano. Segmento- Parte de um todo, porção determinada de um

objeto. Intersecção- ponto em que se cruzam duas linhas ou

superfícies. Coeficiente-número(ou letra) que aparece como fator de

um termo. Perpendiculares- retas que formam com outras. Polinômio- expressão algébrica, composta de mais de dois

termos separados pelos sinais + ou -.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste módulo, você encontrou conteúdos, textos e interpretações para apoiá-lo no seu Curso.

Aqui foi lançado um olhar diferenciado para a Educação de Jovens e Adultos, acolhendo seus

conhecimentos, motivações e interesses.

Não pretendemos de forma alguma ditar receitas infalíveis. Nosso desafio é possibilitar todos os

usos possíveis da palavra como elemento de conquista da competência comunicativa de auto-realização e

da cidadania. Mas esse desafio é um caminho a ser trilhado e trabalhado. Portanto, estudem

intensamente, pois o estudo é o ponto central da nossa vida. Todavia, nos professores, advertimos que a

aquisição do conhecimento é instrumento para competirmos no mercado em igualdade de oportunidades.

Agora, vamos ao seu desempenho. Estude os assuntos detalhadamente. Se tiver duvidas, ligue

por telefone (61 – 30378860), ou acesse o nosso site (www.colégiopolivalente.com.br) . O importante é

que você passe para o tema seguinte quando dominar bem o que constava do anterior.

O seu sucesso é o sucesso do CIP,

Afinal, o CIP é você!!!!!

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Documents

MATEMÁTICA COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE …ead.colegiopolivalente.com.br/AreaFechada/pdf/Matematica_III.pdf · IGUALDADE DE MATRIZES ... Medicina, Direito, Física e História