COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE MATEMÁTICA BÁSICA …ead.colegiopolivalente.com.br/AreaFechada/pdf/Matematica_basica.pdf · MATEMÁTICA BÁSICA ENSINO MÉDIO Proibida reprodução

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Proibida reprodução deste material em parte ou no todo, propriedade do CIP – Lei n° 9.610

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APRESENTAÇÃO

Caro Aluno,

Você está recebendo um material inovador, designer ousado, elaborado para fornecer

subsídios que o auxiliem a completar seus estudos. Neste volume, encontrará os assuntos

correspondentes a Matemática Básica do Ensino Médio.

Os conteúdos selecionados permitem que você desenvolva competências que o conduzam

a:

Ser capaz de continuar aprendendo;

Preparar-se para o trabalho;

Desenvolver o senso crítico e estético;

Inferir a teoria a partir da prática.

Abra, leia, aproveite e vença todos os obstáculos, pois o sucesso vai depender de seu

esforço pessoal, logo:

• Você precisa ler todo material de ensino; • Você deve realizar todas as atividades propostas • Você precisa organiza-se para estudar.

Nesse contexto, Göethe recomenda: “Qualquer coisa que você possa fazer ou sonhar,

você pode começar. A coragem contém em si mesma o poder, o gênio e a magia”.

Bom Estudo!

Equipe do Polivalente

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SUMÁRIO APRESENTAÇÃO ............................................................................................. 1 SUMÁRIO ....................................................................................................... 2 INTRODUÇÃO................................................................................................. 4 MATEMÁTICA BÁSICA .................................................................................... 5 TEORIA DOS CONJUNTOS............................................................................... 5

SIMBOLOGIA UTILIZADA .............................................................................................................. 5 PERTINÊNCIA (∈) E NÃO PERTINÊNCIA(∉) ................................................................................... 6 UNIÃO(∪)...................................................................................................................................... 6 INTERSECÇÃO (∩) ......................................................................................................................... 6 CONTIDO (⊂) E NÃO CONTIDO (⊄) ................................................................................................ 6 CONTÉM (⊃) E NÃO CONTÉM (⊅).................................................................................................... 6 CONJUNTO FINITO........................................................................................................................ 6 CONJUNTO INFINITO.................................................................................................................... 6 CONJUNTO UNITÁRIO ................................................................................................................... 6 CONJUNTO VAZIO ......................................................................................................................... 6 SUBCONJUNTOS............................................................................................................................ 6

EXERCÍCIOS ............................................................................................................................. 7 TESTES ..................................................................................................................................... 7

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS............................................................................. 8 PRODUTOS NOTÁVEIS................................................................................................................... 8 FATORAÇÃO E SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS...................................................... 9

EXERCÍCIOS ............................................................................................................................. 9 TESTES ..................................................................................................................................... 9

NÚMEROS PRIMOS....................................................................................... 10 DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS ....................................................................................... 10 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) ........................................................................................... 10 MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) ............................................................................................ 11 FRAÇÕES ORDINÁRIAS ............................................................................................................... 11 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ......................................................................................................... 11 MULTIPLICAÇÃO ......................................................................................................................... 12 DIVISÃO ..................................................................................................................................... 12 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ..................................................................................................... 12

TESTES ................................................................................................................................... 12 EQUAÇÕES DO 1° GRAU................................................................................ 13

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 13 TESTES ................................................................................................................................... 13

INTERVALOS ................................................................................................ 14 INEQUAÇÕES DO 1° GRAU ........................................................................................................... 15


SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU.......................................................... 16 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO........................................................................................................ 16 MÉTODO DA ADIÇÃO ................................................................................................................... 16

EXERCÍCIO ............................................................................................................................. 16 TESTES ................................................................................................................................... 16

EQUAÇÕES DO 2° GRAU................................................................................ 17 FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU.................................................................................... 17 FÓRMULA DE BHÁSKARA............................................................................................................. 18

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EXERCÍCIO ............................................................................................................................. 18 TESTES ................................................................................................................................... 18

POTENCIAÇÃO ............................................................................................. 19 REGRA DE SINAIS ....................................................................................................................... 19 EXERCÍCIO.................................................................................................................................. 20 TESTES........................................................................................................................................ 20

RADICIAÇÃO................................................................................................ 21 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................. 21 PROPRIEDADES DOS RADICAIS .................................................................................................. 21 SOMA DE RADICAIS .................................................................................................................... 21 RADICAIS E POTÊNCIAS DE EXPOENTES FRACINÁRIOS.............................................................. 21 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................. 21 2° CASO: O DENOMINADOR É UM BINÔMIO................................................................................. 21

TESTES ................................................................................................................................... 22 GRANDEZAS ................................................................................................. 23

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS............................................................................. 23 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS .......................................................................... 23 REGRA DE TRÊS SIMPLES............................................................................................................ 23 PORCENTAGENS.......................................................................................................................... 23 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES ................................................................................................ 24


DISCRIMINANTE DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU................................................. 25 QUANDO ∆ > 0 ............................................................................................................................. 25 QUANDO ∆=0............................................................................................................................... 26 QUANDO ∆<0 ............................................................................................................................... 26

EXERCÍCIO ............................................................................................................................. 26 INEQUAÇÕES DO 2° GRAU ........................................................................................................... 26

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 27 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 2° GRAU .................................................................................... 27

TESTES ................................................................................................................................... 28

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INTRODUÇÃO

Você esta recebendo o módulo de Matemática Básica relativo ao Ensino Médio.

Você terá contato com teorias importantes que vão proporcionar um desempenho eficiente durante o seu

Curso.

Este material didático foi produzido pela Equipe do Colégio Polivalente, como uma

contribuição que orientará a Educação de Jovens e Adultos, terceiro segmento, constituídos de 1ª, 2ª

e 3ª séries do Ensino Médio.

Nossa linha de trabalho abre um caminho atraente e seguro pelas seqüências das

atividades – leitura, interpretação, reflexão – e por fazer com que o aluno aprenda aliando a teoria à

pratica. Nessa busca temos aprendido que desenvolvemos competências quando vamos além daquilo que

é esperado de um aluno, quando fazemos, mais do que apenas cumprir com o nosso dever.

Foi assim que nos tornamos pioneiros com iniciativas como a “Educação a Distância”,

alternativa que aparece como solução para aqueles que buscam conhecimento acadêmico, não tiveram

acesso à educação na época certa, e têm pouca disponibilidade de tempo.

Para viabilizar iniciativas como essa não bastou uma decisão do Polivalente. Contamos

com a colaboração de muitos profissionais, trazendo informações, visões, experiências, tecnologias, todos

com o objetivo em comum: a coragem de mudar na busca de um ensino de qualidade.

A coordenação e Tutores/Professores irá acompanhá-lo em todo o seu percurso de

estudo, onde as suas dúvidas serão sanadas, bastando para isso acessar o nosso site:

www.colegiopolivalente.com.br.

Equipe Polivalente

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Nessa nova etapa de sua formação, você vai aprender um pouco mais sobre a maravilhosa linguagem dos números e das formas, tão incrustada em nossas vidas que é quase impossível nos imaginarmos sem ela. A matemática jamais deve ser vista como problema, e sim como solução. Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuosos ou inacessíveis, abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando obstáculos. Ela está para você, estudante, como a bússola está para o navegante. Nosso objetivo ao elaborar esta apostila não foi inundar sua mente com fórmulas matemáticas, mas sim contribuir para o desenvolvimento de suas potencialidades. Desse modo, acreditamos, chegaremos juntos ao saber cientifico, que não se esgota em si mesmo, mas nos impulsiona num salto qualitativo para novas descobertas.

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TEORIA DOS CONJUNTOS A Teoria dos conjuntos é a base para que você entenda que no mundo atual os conjuntos são importantes coleções de dados que podem até ser processados por computadores. Quando alguém faz referência a um banco de dados está,em resumo, referindo-se a um grupo de informações conhecidas como registros. Em sua forma básica, os registros de um banco de dados são elementos de conjuntos. Conjuntos nada mais são que coleções de elementos.

SIMBOLOGIA UTILIZADA

Durante todo o estudo da Matemática, são necessários símbolos especiais que reduzem o tempo de escrita e uniformizam o conhecimento para profissionais de ciências exatas, bem como estudantes. É por estas razões que apresentamos uma parte da simbologia adotada:

simbologia – estudo referente aos símbolos.

= - Igual ≠ - Diferente > - Maior que ≥ - Maior ou igual a < - Menor que ≤ - Menor ou igual a ∃ - Existe

∄ - Não existe

/ - Tal que ∧ - e ∨ - ou ∀ - Qualquer que seja Ν - Conjunto dos Naturais Ζ - Conjuntos dos Inteiros Q - Conjuntos dos Racionais R - Conjuntos dos Reais Ir - Conjuntos dos Irracionais ∈ - Pertinência ∉ - Não pertinência ∪ - União ∩ - Intersecção ⎨⎬ ou ∅ - Conjunto vazio ⊂ - Contido ⊄ - Não contido ⊃ - Contém

⊅ - Não contém

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EXEMPLOS DA UTILIZAÇÃO DE SÍMBOLOS

Considerando o conjunto A= { 3,5,7,9,15 } podemos afirmar que:

PERTINÊNCIA (∈) E NÃO PERTINÊNCIA(∉) EXEMPLO: 3 ∈ A = “ Três pertence ao conjunto A” e 2

∉ A = “Dois não pertence ao conjunto A”

IMPORTANTE Note que estes símbolos ligam apenas os elementos aos conjuntos.

Considerando os conjuntos C= {3,4,5,6} e D= {1,2,3,4,7} podemos afirmar que:

UNIÃO(∪)

É a relação de elementos de dois ou mais conjuntos que totaliza todos os elementos, sem os repetir.

D ∪ C= {1,2,3,4,5,6,7} – Lê-se “D união C” C ∪ D= {1,2,3,4,5,6,7} – Lê-se “C união D”

Note que todos os elementos nos dois

conjuntos aparecem (sem repetição) no conjunto união.

INTERSECÇÃO (∩)

É a relação de elementos de dois ou mais conjuntos em que aparecem apenas os elementos simultâneos.

C ∩ D= {3,4} – Lê-se “C intersecção D” D ∩ C= {3,4} – Lê-se “D intersecção C” Note que só aparecem os elementos simultâneos de A e de B, ou seja 3 e 4.

Considerando os conjuntos: E= {1,2,3,4,5,6}, F={1,2,3,4,5,6,7,8,9} e G={8,9,10,11}, podemos afirmar que:

CONTIDO (⊂) E NÃO CONTIDO (⊄)

E ⊂ F Lê-se “E está contido em F” G ⊄ F Lê-se “G não está contido em F” F ⊄ E LÊ-se “F não está contido para E”

CONTÉM (⊃) E NÃO CONTÉM (⊅)

F ⊃ E Lê-se “F contém E”

F ⊅ G Lê-se “F não contém G”

CONJUNTO FINITO

É o conjunto com elementos definidos,apresentando elemento inicial e elemento final.

EXEMPLO:

H={a,e,i,o,u}- conjunto finito com cinco elementos.

CONJUNTO INFINITO

N={0,1,2,3,4,5,6,7,...}- é conjunto dos números naturais. Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}- é o conjunto dos números inteiros.

CONJUNTO UNITÁRIO

É aquele que apresenta um só elemento. EXEMPLO: Q = {5}

CONJUNTO VAZIO É o conjunto que não apresenta elementos.

EXEMPLO: T= { } OU T = ∅

SUBCONJUNTOS

São conjuntos presentes em outros. Considerando G= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e H={0,2,4,6,8}, o conjunto H faz parte do conjunto G. Isto quer dizer que H ⊂ G, ou então G ⊃ H. Devido a isso, H é subconjunto de G.

Somos parte da família de Deus porque Ele nos escolheu e nos buscou.

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EXERCÍCIOS

01. Considere os conjuntos A = {0, 3, 6, 9} e B =

{1, 4, 7, 10} e preencha com o símbolo de pertinência ou não pertinência, as sentenças abaixo.

a) 3 ______ A b) 1 ______ B c) 4 ______ A d) 10 ______B e) 9 ______B 02. Considere os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B =

{-1, 2, 3, 4} e preencha com o símbolo de contido ou não contido as sentenças abaixo

a) A _______ B b) {1,2} ______B c) {0,4} ______B d) B _______B e) {9} _____A 03. Sabendo que D= {1,2,3,4}, E= {4,5,6} e

F={1;6;7;8;9}, determine: a) D ∪ E= b) E ∪ F= c) F ∩ E= d) F ∩ D= 04. Se A é o conjunto de números naturais pares

compreendidos entre 5 e 13 e B é o conjunto de números naturais compreendidos entre 7 e 15, podemos afirmar que A ∪ B é o conjunto...

a) {6,8,9,10,11,12,13,14} b) {7,9,11,13,15} c) {1,3,5} d) {6,8,10,12} e) { } 05. Considerando os conjuntos do exercício 01

determine o conjunto A ∩ B e assinale-o abaixo:

a) {6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} b) {7,9,11,13,15} c) {1,3,5} d) {8,10,12} e) { } 06. Em restaurante 100 pessoas comem massas e

60 se servem de “espeto corrido”.Sabendo que 30 pessoas se servem de dois tipos de refeição e 10 estão apenas conversando, podemos afirmar que existem __________ pessoas no restaurante.

07. Responda, justificando, o seguinte problema:

Como uma transportadora deve proceder para atravessar cargas de 120 kg, 80 Kg e 60 Kg em uma balsa que suporta a carga máxima de 150 Kg através das margens de um rio?

TESTES

01.Considere A={-2,-1,0,1,2} e B={0,1,2}.Assinale

a resposta errada: a) B ⊂ A b) {0,1} ⊂ A c) {0} ⊂ B d) 1 ⊂ A e) 0 ∈ A 02. O número –3,7 ∈ _______ 01) N 02) Z 04) Q 08) R 03. Dados os conjuntos A={3,5,6}, B={5,6,7} e

C={6,7,8}, podemos afirmar que: a) A ∩ B=∅ b) 7 ∈ A ∩ B c) 8 ⊂ C d) A ∩ B ∩ C= {6} e) A ∩ C= {7} 04. (LONDRINA- Adaptada)- Um clube oferece a

seus associados duas modalidades de esportes a serem praticadas: A e B. Se 110 sócios praticam A, 86 praticam B, 21 praticam as duas e 25 não praticam qualquer delas, então dê a soma dos itens corretos abaixo:

01) 65 sócios praticam B, exclusivamente. 02) 21 sócios praticam A, exclusivamente. 04) 89 sócios praticam B, exclusivamente. 08) O clube possui 200 sócios. 16) 110 sócios praticam A, exclusivamente. 32) 86 sócios praticam b, exclusivamente. 64) O número total de sócios é 179. 05. (PUC-PR- Adaptada) Associe V ou F para cada

uma das seguintes afirmações: 01) a ∈ {a} 02) A ∪ A= A ∩ a 03) {a} ∈ {a,b} 04) ∅ ⊂ {∅}

Nessa ordem, tem-se: a) V,V,F,V b) V,V,F,F c) V,V,V,F d) V,F,V,V e) V,F,F,F 06. (UFPR)- Dados os conjuntos A={x ∈ R/x >2} e

B={x ∈ R/x ≤ 2}, onde R representa o conjunto dos números reais, é correto afirmar que:

01) A ∪ B=R 02) A ∩ B= {2} 04) (A ∪ B) ∩ A=A 08) 2 ∉ B 16) 3 ∈ A 32) {x∈R/x < 3} ⊂ B

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07. Em cada uma das figuras a seguir, tem-se universo U e seus subconjuntos não-vazios A, B e C. A alternativa onde a região hachurada representa (A ∪ B) ∩ C é: a) b) c) d)

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS As expressões são agrupamentos de letras e números que se relacionavam através de operações matemáticas. Elas estão presentes na vida diária de profissionais de engenharia, contabilidade e todos aquele que se utilizam de planilhas eletrônicas . Veja abaixo um exemplo de planilha usada para gerar um contracheque. Descrição N°

de HS.

Proventos Descontos

Salário Base Horas Extras 50 % D.S.R. HS. Extras a 50% Adicional Noturno 25% Sal. Base H. Extra Ref. a Intervalo Previdência Social Vale Transporte

220 65 26

220,00 97,50 19,50 55,00 48,75

39,67 11,00

Totais 440,75 50,67 Liquido a receber 390,08 Para que você possa conhecer melhor sobre as fórmulas e otimizar os cálculos, como os feitos acima, será preciso entender as expressões algébricas. Lembrando alguns conceitos úteis: Variável : x,y,z... Uma letra do alfabeto que represente um elemento de um conjunto dado. Monômio : 3x²y→ possui apenas um termo. Binômio : 2x³+ 4x²→ possui dois termos. Trinômio : 4yz²-3yz+12→possui três termos. Polinômio : expressões que apresentam mais do que três termos.

PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA (A + B)²= A²+2AB+B²

EXEMPLO:

(x+2)²=x²+2x+4 (2x+y)²=(2x)²+2(2xy)+y²=4x²+4xy+y²

variável – que pode cariar; mudável. monômio-expressão algébrica de um só termo. binômio-expressão algébrica composta de dois termos,

separados pelo sinal +.. trinômio- expressão de três termos . polinômio- expressão algébrica, composta de mais de dois

termos separados pelos sinais + ou -.

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ATENÇÃO “O quadrado da soma de dois termos é igual ao

quadrado do primeiro,mais o dobro do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo”.

QUADRADO DA DIFERENÇA

(A-B)²=A²-2AB+B²

EXEMPLO:

(x-2)²=x²-2x+4 (2x-y)²=(2x)²-2(2xy)+y²=4x²-4xy+y²

ATENÇÃO O quadrado da diferença de dois termos é

igual ao quadrado do primeiro,menos o dobro do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo”.

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA

(OU DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS)

(A+B).(A-B)=(A²-B²) EXEMPLO:

(x+4)=(x²-16) (3x+4y)(3x-4y)=(9x²-16y²)

ATENÇÃO “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo”.

FATORAÇÃO E SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Quando os termos de um polinômio apresentam fatores comuns podemos coloca-los em evidência objetivando futuras simplificações.

EXEMPLOS: 3x+5xy+6xz²=x(3+5y+6z²) Neste caso “x” é o fator comum e foi colocado em evidência e os termos que aparecem entre parênteses são os resultados das divisões de cada termo inicial pelo fator comum (x).

b) 5b²-60bz+730

b³=5b(b-12z+76

b²)

Neste caso os fatores comuns são “5” e “b”

EXERCÍCIOS

01. Calcule os seguintes produtos notáveis: a) (m+5) (m-5)= b) (5b+2c)²= c) (3m-2v)²= 02. Fatore as expressões abaixo: a) 3ax-7axy=

b) 4y35+3y102y15 -

TESTES

01.Desenvolvendo a expressão (3x²+2)²

encontramos: a) 9x²+6x²+4

b) 4+2x12+4x9 c) 3x²+6x²+4

d) 42x124x9 +− e) 129x²+4x²-2 02. Marque a soma das alternativas corretas:

01) 2y4x)y2x)(y2x( −=+− 02) a²+2ab+b²=(a+b)² 04) m²-12m+36=(m+6)² 08) (3x+y)(3x+y)=(3x+y)² 16) (2-p)(2+p)=(2-p)²

03. Fatorando a expressão 2b2a+b2a10+4a25 obtemos...

a) )2b+b2+4a5(5 b) a(25³+10ab-ab²) c) a²(25a²+10b+b²) d) ab(25a²+10b+b²) 04. Dê a soma dos itens corretos, abaixo. 01)(x²-y²)=x²+2xy+y² 02)(a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²) 04)16i²-40ij+25j²=(4i-5j)²

08) 5=2)2+3( 05. Pondo em evidência os fatores comuns da

expressão (x+y)²+2(x+y) abaixo temos como correta a opção:

a) (x+y) b) (x+y+2) c) (x+y+2)x d) (x+y)(x+y+2) e) (x-y)(x+y)

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06. Dê a soma dos itens corretos:

01) )ba).(3b3a(4b4a −−=−

02) )1x).(1x)(12x(14x −++=− 04)x²-y²+x-y=(x-y).(x+y=1) 08)x²-y²=(y-x).(x+y)

16) )110x).(1

10x(1

100

2x+−=−

32) )4

a8).(4

a8(16a42 −+=−

07. O menor número inteiro K que satisfaz a

inequação 8-3 (2k – 1)<0 é: a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3 08. O valor de p de modo que o gráfico da função

f(x) = 5x + 2p – 4 intercepte o eixo y no ponto da ordenada 6 é:

a) 10 b) 8 c) 7 d) 5 e) 3 09. Se os pontos de coordenadas (-3, 5) e (1,1)

pertencem ao gráfico da função do 1º grau f(x) = ax + b, então:

a) f(x) < 0 para x < 2 b) f(x) = 0 para x = 3 c) f(x) > 0 para x < 2 d) f(x) = 0 para x = 1 e) f(x) = 1 para x > 2 10. Considere a função f(x) = ax + 3. O valor de a,

para que se tenha f(5) = -12, é: a) -3 b) –4 c) 5 d) 2 e) 4

NÚMEROS PRIMOS

Os números primos são aqueles inteiros divisíveis por eles próprios e pelo número um, apenas. Assim temos como exemplos de primos os seguintes números: 2,3,5,7,11 etc.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Todo número primo pode ser decomposto em fatores primos. Assim números como 36 podem ser decompostos através do método da decomposição em fatores primos.

36 18 9 3 1

2 2 3 3

Isto significa que 36=2.2.3.3, o que é a mesma coisa que 36=2².3².

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)

É o menor número capaz de ser múltiplo simultâneo de dois ou mais números. Um exemplo ilustrativo pode ser o cálculo do M.M.C. (12,18) (M.M.C. entre os números 12 e 18). Para achar o M.M.C. pelo método da decomposição em fatores primos devemos, depois de encontrar os fatores de 12 e 18, “multiplicar os fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes”. Veja:

12 6 3 1

2 2 3

18 9 3 1

2 3 3

12=2².3 18=2.3²

M.M.C.(12,18)=2².3²=4.9=36

O MÉTODO DA DIVISÃO SIMULTÂNEA NO CÁLCULO DO M.M.C.

Consiste em dividir ao mesmo tempo números envolvidos e recolher os fatores encontrados multiplicando-os e assim achando o resultado. Veja:

simultâneo – que se dá ou realiza ao mesmo tempo que

outra coisa; coincidente sincrônico.

O meu mandamento é este, que vós ameis uns aos outros, assim como eu vos amei. Deus nos chama a persistir em demonstrar amor. Senhor, ajuda-nos a amar as pessoas a quem achamos difícil amar. Amém.

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MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

É o maior número capaz de dividir dois ou mais números simultaneamente. Um exemplo ilustrativo pode ser o cálculo do M.D.C. (12,18)(M.D.C. entre os números 12 e 18). Para achar o M.D.C.pelo método da decomposição em fatores primos devemos, depois de encontrar os fatores de 12 e 18, ”multiplicar os fatores comuns elevados aos menores expoentes”. Veja:

12 6 3 1

2 2 3

18 9 3 1

2 3 3

12=2².3 18=2.3²

M.D.C.(12,18)=2.3=6

O MÉTODO DA DIVISÃO SIMULTÂNEA NO CÁLCULO DO M.M.C. Consiste em fazer as divisões através de um dispositivo que pode ser resumido pelas seguintes etapas: 1-divide-se o maior dos números pelo menor; 2-se o resto não der zero, efetua-se uma nova divisão entre divisor e o resto da divisão anterior; 3-repete-se o processo até se obter o resto zero. O último divisor será o M.D.C. encontrado.

1 2

18 12 6 M.D.C.(12,18)=6

6 0

FRAÇÕES ORDINÁRIAS

Uma maneira de expressarmos um quociente é através de frações. Isto significa que uma divisão, por exemplo , 2÷3 pode ser escrita assim:

32 onde 2 é o numerador e 3 é o

denominador

FRAÇÕES PRÓPRIAS

São as que apresentam numerador menor que o denominador.

EXEMPLOS:

179310

72

54 ;;−

FRAÇÕES IMPRÓPRIAS

São as que apresentam numerador maior que o denominador.

EXEMPLOS:

17932310_;

1732;

541

As frações impróprias podem ser apresentadas através de números mistos. Tais números são compostos de uma parte inteira e de outra fracionária:

513 a igual é

532

Para a transformação de uma fração imprópria em número misto, devemos dividir o numerador pelo denominador , obtendo um número inteiro e montamos uma fração que tem, no numerador, o resto da divisão anterior e, como denominador, o mesmo número que serviu de divisor.

Assim, a fração 58 deve originar o número

misto 531 .

531

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

SOMA E SUBTRAÇÃO FRAÇÕES COM DENOMINADORES

IGUAIS “Conservamos o denominador comum e somamos os numeradores.”

EXEMPLOS:

54=

53+

51

74

76

72 −=−

FRAÇÕES COM DENOMINADORES

DIFERENTES EXEMPLO:

21+

32

1- Neste caso encontramos o M.M.C. entre os denominadores: m.m.c.(2,3)=6 o qual vai ser o denominador da fração resultado.

2- Depois fazemos a divisão deste pelos denominadores e reservamos o resultado.

3- Logo após multiplicamos as reservas pelos numeradores das frações individuais.

numerador – termo de fração que indica quantas se

tomaram das partes em que se dividiu a unidade (denominador) e que se escreve sobre o traço dessa fração ou à esquerda dele.

denominador – termo da fração que indica em quantas partes se dividiu a unidade e é colocado sob o traço de fração.

8|5 3 1

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12

4- Somamos os resultados obtidos no passo anterior, apresentando a soma obtida numerador da fração resultado, conservando o denominador obtido pelo cálculo do M.M.C.

67=

63+4=

61x3+2X2=

321+

232

EXEMPLO:

=−+=−=20

)5(x)3(4x2

543

452

43-

52

207

20158 −=−

MULTIPLICAÇÃO

“Basta multiplicarmos numeradores e

denominadores respectivamente.” Exemplo:

3512

7x54x3

74x

53 ==

DIVISÃO

“Conservamos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda.” Exemplo:

2021

47x

53

74

53 ==÷

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Quando o numerador e o denominador de uma fração são múltiplos de um mesmo número, a mesma admite simplificação.

EXEMPLO:

23

1421 = isto porque 21 e 14 são divisíveis por 7.

Para um maior aprofundamento recomendamos o uso de livros do 1°grau escolar que fazem estudos detalhados sobre as regras de divisibilidade por fatores primos.

EXERCÍCIOS

1. Encontre o M.M.C. dos números abaixo: a) 30 e 12 b) 21 e 15 c) 6 e 11

2. Calcule o valor da fração resultado em cada um dos itens abaixo.

a)104

32 =

b)38x

41−

c)625

3125 ÷

TESTES

01. Marque a resposta certa: a) M.M.C.(4,5)=20 e M.D.C.(12,10)=60 b) M.M.C.(40,5)=200 e M.D.C.(12,10)=6 c) M.M.C.(12,13=1 e M.D.C.(12,10)=1 d) M.M.C.(12,8)=24 e M.D.C.(24,15)=3 e) M.M.C(10,8)=20 e M.D.C.(10,8)=1 02. Dê a soma das alternativas corretas, abaixo:

01)54

21 >

02) 0105

63 =−

04)185

91

94 =+

08) 127

72 =×

16)152

51

32 −=×−

32)54

3620

94 =÷

3. O Sr. José Ricardo é funcionário especializado

em uma fábrica de automóveis em uma cidade do Paraná. Seu salário é hoje R$ 6.512,00. Sabendo que ele gasta a metade do que ganha em alimentação e despesas familiares, um terço com a construção de sua casa de praia e um décimo com o pagamento de empregos domésticos, determine quanto sobra mensalmente, para o Sr. José Renato aplicar na compra do seu iate em Guaratuba-PR?

a) R$ 6.077,86 b) R$ 651,20 c) R$ 3.256,00 d) R$ 434,14 e) R$ 2.170,66 4. Considerando as afirmações abaixo, a soma das

alternativas corretas é:

01) 43

34

31

42

43 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +÷⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

02) 65

5443

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

04)54

51

3 =−

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13

08)727

157

59

=÷

16) 73

71

26

=⋅

32) 050

=

64) 00

12=

5. Qual deve ser a

quantia ganha por uma estudante mensalmente sabendo que o mesmo usa R$ 200,00 na compra de pipocas nos intervalos de suas aulas e que isto corresponde a 2% de seu suando salário mensal?

a) R$ 10.000,00 b) R$ 20.000,00 c) R$ 30.000,00 d) R$ 40.000,00 e) Valor maior do que a soma dos valore acima! 06. Sabendo que a inflação projetada para os

próximos doze meses é de 7% faça a soma dos itens considerados justos para a prática de crédito ao consumidor neste período.

01).Fogão – à vista: R$ 200,00 ou em 12 vezes de R$ 20,27.

02) Geladeira – à vista: R$ 620,00 ou em 12 vezes de R$ 55,28.

04) Lavadora de roupas – à vista: R$ 480,00 ou em 12 vezes de R$ 40,01.

08) Televisor – à vista: R$ 858,00 ou 12 de R$ 85,50.

16) Fac-símile – à vista R$ 558,00 ou 12 vezes de R$ 49,76.

07. Determine a sentença falsa. a) Toda fração imprópria representa um número

maior que 1. b) Toda fração aparente é também imprópria. c) Todo número natural pode ser representado por

uma fração aparente. d) A divisão de 5 por 7 pode ser representada pela

fração 75

e) 207

é uma fração ordinária.

08. Um alpinista escalou 43 de uma

montanha, o que corresponde a 1.200m. Qual a distância total a ser escalada?

EQUAÇÕES DO 1° GRAU

As equações de Primeiro Grau são parte do grande capítulo da Álgebra: equações. Sua forma evoca a resolução de problemas simples, como o que apresentamos a seguir: “Quando deve custar cada uma das prestações de um determinado bem que deve ser vendido do modo que seu preço total seja de R$ 13.200,00, sabendo que inicialmente, deve ser dado um sinal de R$1.200,00 e que as prestações serão iguais durante o contrato?”

SOLUÇÃO:

Denominando “x” ao valor da prestação mensal podemos escrever a seguinte igualdade:

12x+1200=13200 Para resolve-la deixamos o termo em “x” do lado esquerdo e, segundo conceitos algébricos, deslocamos o número 1200 para a direita, trocando seu sinal. 12x=13200-1200 Logo após, operamos a subtração 13200-1200 12x=12000 Concluímos os cálculos quando dividimos o número 12.000 por 12:

00,000.1$R de é resposta a então 000.112

12000x ==

EXERCÍCIOS

01. Encontre o valor de x nas seguintes equações: a) 2x-1=3 b) 12-3x=7

c) 202

1x4=

−

TESTES

01. Indique a reposta correta para o cálculo de x

em 10x-1+21 b) x=1 c) x=2 d) x=-3 e) x=4 f) x=-1 02. Dê a soma das alternativas corretas: 01) O valor de x em 4x-3=10 é 13/4. 02) O conjunto solução de 5x+12=72 04) Calculando o valor da incógnita em 6a+40=4 encontramos a=-6. 08) O valor de m+1 em 3(m+1)=12 é 4.

Palavra usada para contagem de dinheiro!

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14

03. Encontre a resposta certa para x, considerando

que 2194x5

=−

a) x=30 b) x=120 c) x=20 d) x=12 e) x=24 04. Qual a soma das alternativa corretas para o

conjunto de ?5x

13

1x=−

−

01) x=2 02) x=10 04) x= 100 08) x=40/4 16) x=-200/-20 32) x=15 64) x=7 05. Marque a alternativa que melhor representa o

conjunto solução –a+7=5a+7. a) S={-6} b) S={0} c) S={} d) S=∅ e) S=∞ 06. Dê a soma das alternativas corretas para o valor

x em 418

1x12

1x4=−−

+.

01) 20 02) 13,9 04) 10 08) 36 16) 40 32) 278/20 64) 4 07. Um reservatório tem duas torneira, uma capaz de enche-lo em 2 horas e outra em 3 horas. Com as duas torneiras abertas, ao mesmo tempo, no fim de quanto tempo o reservatório estará cheio?

INTERVALOS

Considerando o grande conjunto de números reais ( R ) como uma reta horizontal orientada para a direita podemos conceituar os intervalos desta reta como abertos ou fechados, dependendo dos valores que uma variável ( x ) pode assumir nestes intervalos.

Suponhamos que um determinado momento da resolução de uma inequação (ou desigualdade) achamos que os valores de x devem ser maiores que 3. Notamos por x>3. Na reta dos reais faremos os seguinte desenho esquemático:

Modos de notar o intervalo: (3,∞) ou ]3,∞[→ “intervalo aberto a esquerda em 3 e aberto a direita em infinito.” {x∈R/x>3}→ “x pertence a R tal que x é maior que 3”. Quando encontramos, por exemplo, valores de x maiores ou iguais a 5 (x ≥ 5) o desenho muda um pouco. Veja!

Modos de notar o intervalo: [5∞) ou [5,∞[→ “ intervalo fechado a esquerda em 5 e aberto a direita em infinito

{x∈R/x ≥5}→ “x pertence a R tal que x é maior ou igual a 5”.

Existe ainda a possibilidade de um intervalo estar delimitado entre dois valores da reta dos reais. É o caso em que a variável está entre os números – 2 e 5 inclusive, ou seja, x é um número maior ou igual a –2 e menor ou igual a 5. Notamos -2≤ x ≤5.

Modos de notar o intervalo: [-2,5] → “intervalo fechado a esquerda

em –2 e fechado à direita em 5”. {x ∈ R/-2 ≤ x ≤ 5} → “x pertence a R tal

que x é maior ou igual a –2 e menor ou igual a 5”.

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15

INEQUAÇÕES DO 1° GRAU

São desigualdades nas quais a variável (x) pode assumir valores contidos em intervalos reais, segundo regras estabelecidas na Álgebra.

EXEMPLO: 2X-6 ≥0 Para resolvermos uma inequação iremos fazê-lo como nas equações, apenas tomando o cuidado com a utilização dos sinais <,>,≥,≤ e ≠.

Assim, a inequação do exemplo anterior pode ser resolvida da seguinte maneira:

2x-6 ≥ 0 2x ≥ 6

x ≥ 26

x ≥ 3 A resposta é dada na forma de intervalo

pois a variável tem mais que um valor de solução. Assim podemos afirmar que o intervalo de solução é:

S=[3,∞) ou ainda S={x∈R/x ≥ 3} Sua apresentação gráfica pode ser notada

como abaixo:

Um caso interessante é aquele em que sinal

da variável é negativo. Vejamos, como exemplo, a resolução da seguinte inequação:-3<2x=1

-2x<3+1 -2x<4 multiplicamos agora por (-1) toda a

inequação . 2x > -4 notamos que o sentido da

desigualdade também muda.

2x24

x −>∴−

>

O intervalo que representa a solução desta inequação é:

S=(-2,∞) ou ainda S= { x∈ R/x –2}

EXERCÍCIOS

01. Resolva as seguintes inequações a) 3x > 9 b) 4x – 1 < 7

c) 103

2x4≠

+

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando o

intervalo da reta dos reais onde – 12 < x < 30. a) (-12,30) b) [-12,30] c) (-12,30) d) [-12,30) e) [-12,30] 02. Dê a soma das alternativas corretas , abaixo: 01) Se 4x ≤ 0 então x ≤ 0. 02) Se 2x+4 > 10 então S={x ∈ R/x> 6}. 04) Se 3x+18 < 21x então S=(1,∞).

08) Se 1235x3

≤+ então a representação gráfica de

x é 15 03. (MACK) – Se designamos por [3,4} o intervalo

fechado, em R, de extremidades 3 e 4, é correto escrever:

a) {3,4} = [3,4} b) {3,4} ∈ [3,4] c) {3,4} ⊂ [3,4] d) {3,4} ⊄ [3,4] 04. Dê a soma das alternativas corretas abaixo: 01) 15 ≤ x+1 quando x ≥ 14.

02) Se 02

1x5≥

−, então x=5 é uma solução da

inequação. 04) Quando x=6 então 3x-8 >0. 08) Sendo a > 1, então o valor de 5a-3>0. 16) Quando y-2x ≠ 4 e x=2, então y≠ 8. 32) Se 4m+10>10, então m=10 é uma solução da

inequação. 05. Um número somando com sua terça parte é

maior que um sexto deste número somando com um quinto de cem. Podemos afirmar que:

a) O número é menor que dezessete. b) O número não existe. c) O número é treze. d) A sentença admite mais de uma solução. 06. (CESCEM- Adaptada) – Dados os conjuntos

A={x∈Z/-1<x<4} e B={x∈Z/0≤x≤2}, calcule a soma das alternativas abaixo, que correspondem às respostas corretas.

01) A ∩ B = {0,1} 02) A ∩ B = [0,1] 04) A ∩ B = [0,1] 08) A ∩ B = (0,1] 16) A ∪ B = {0}

Nosso Deus não falha em suas promessas.

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16

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU

Quando um conjunto de “n” equações do 1° grau possuir “n” variáveis, podemos descobrir os valores individuais destas variáveis utilizando sistemas de equações do 1°grau.

EXEMPLOS: “Dois números somados são 17 e subtraídos são 13. Quais são eles ?”

x+y=17 eq.1 x -y=13 eq.2 Para resolvermos um sistema como este

podemos utilizar dois métodos tradicionais: 1) A substituição 2) A adição

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Quando utilizamos o método da substituição escolhemos uma das equações e retiramos dela o valor de substituição de uma das variáveis. No sistema proposto vamos usar a equação 2 para afirmar que X=13+y → equação de substituição Logo após, substituímos este valor na variável da equação 1. 13+y+y=17 2y=17-13 2y=4

y=24

∴ y=2

Aplicando este valor numérico na equação de substituição temos: X=13+2 X=15 Os números são x=15 e y=2. O resultado pode ser dado em forma de par ordenado (x,y)=(15,2)

MÉTODO DA ADIÇÃO

Consiste na observação dos termos simétricos das variáveis dentro do sistema para futura soma das equações da maneira abaixo:

x+y=17 eq.1 x-y=13 eq.2 ______

2x=30

x= .15x230

=→ Com este valor substituímos

x=15 em qualquer uma das equações dadas, por exemplo, eq.1: 15+y=17 y=17-15 Y=2

EXERCÍCIO

01. Calcule o valo de x e y nos sistemas a seguir:

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando o sistema

2x-y=-4 3x+y=-1

a) x=1; y=2 b) x=-1;y=2 c) x=-1;y=-2 d) x=1;y=-2 e) x=y=1 02. Em uma empresa de produção de programas de

computadores há 70 programadores entre homens e mulheres. Sabendo que metade de número de homens é igual ao triplo do número de mulheres, dê a soma dos itens corretos.

01) O número de mulheres é 60. 02) O número de homens è 20. 04) O número de mulheres é 10. 08) O número de homens é 60. 03. Qual dos pares ordenados (a,b) abaixo

representa a solução do sistema? 2 a-7b=1 a+5b=1

Marque a melhor solução. a) (1,1) b) {(24,17)} c) {(1/17),(24,34)} d) {(12/17),(1/17)} e) {(1/17),(12,17)}

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17

04. Considerando as afirmações abaixo, a soma das alternativas corretas é:

01) Se a soma de dois números é quarenta e a razão entre o maior e o menor é 4. Então o menor é 32.

02) Considerando a opção 01, o menor número é 8. 04) A diferença entre dois números é 16 e um é o

triplo do outro. O maior deles 24. 08) Considerando a opção 04, o maior deles é o

número 6. 16) Sabendo que a soma de dois números com a

unidade é 10 e que a diferença é 3 então o menor deles é 3.

32) Considerando a opção 16, o maior deles é o número 6.

64) Considerando a opção 16, o produto entre eles é 30.

05. Marque a melhor resposta. Sávio e Paulo

ganham juntos R$ 23.000,00. Paulo ganha menos R$ 2.500,00 que Sávio. Então:

a) Sávio ganha R$ 10.250,00. b) Paulo ganha R$ 12.750,00. c) Sávio ganha R$ 12.000,00. d) Paulo ganha R$ 9.000,00. e) Sávio ganha R$ 12.750,00 06. Um pai tem cinqüenta e quatro anos e seus

quatro filhos juntos têm trinta e nove anos. Calcule a soma das alternativas abaixo, que correspondem às respostas corretas.

01) O pai nasceu em 1921. 02) Um dos filhos tem treze anos. 04) Um terço da soma das idades dos filhos daqui a

um ano será dezenove. 08) A idade do pai mais a soma das idades dos

filhos é maior do que um século. 16) Daqui a dois anos a soma das idades dos filhos

será quarenta e sete anos. 32) Daqui a cinco anos a idade do pai será igual a

soma da idade dos filhos. 07. (F. Santo André-SP) Dos conjuntos abaixo,

aquele que representa um conjunto unitário é: a) {x ∈ N | x – 8 < -8} b) {x ∈ Z | x + 3 ≤ 3} c) {x ∈ N | 2x – 2 < 0} d) {x ∈ Z | x + 3 > 2}

EQUAÇÕES DO 2° GRAU

As equações do segundo grau são um importante capítulo da Matemática. Elas estão relacionadas com cálculos presentes no cotidiano de profissionais de Engenharia, Economia, Computação, etc... A parábola é a figura que representa a função quadrática (do 2° grau) e está ligada ao estudo que faremos a seguir.

FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU AX²+BX+C=0

As equações do segundo grau podem ser classificadas como completas e incompletas. No caso das incompletas ocorre a supressão de alguns dos coeficiente b ou c. Para resolve-las não utilizamos nenhuma técnica especial. Observe a resolução dos exemplos.

EXEMPLOS:

01. 2x²-8=0 a) Isolamos o termo x² e transportamos o termo independente para a direita, trocando seu sinas. 2x²=8 b) Procedemos a divisão do termo independente pelo coeficiente do termo de 2° grau.

X²= ∴28

x²=4

c) Extraímos a raiz quadrada positiva e negativa, já que os valores relativos deste resultado são verdadeiros. E encontramos duas raízes, chamadas de x’ e x”.

A resposta pode ser dada em forma de conjunto solução S={-2,2}. 02. x²-3x=0 a) Colocamos x em evidência

X(x-3)=0

b) Como temos duas raízes e transformamos a soma dos termos em um produto podemos escrever: X’=0 ou x-3=0 → x”=3 O conjunto solução S={0,3}.

No caso das equações completas utilizamos a Fórmula de Bháskara.

Nem altura, nem profundidade, nem qualquer outra criatura poderá separar-nos do amor de Deus, que está em Cristo Jesus nosso Senhor (Rom 8:39)

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18

FÓRMULA DE BHÁSKARA

a2ac42bb

x−±−

=

EXEMPLO:

X²-5x+6=0 a) Localizamos e determinamos os valores de a,b e c. a=1 b=-5 c=6 b) Aplicamos diretamente a Fórmula de Bháskara.

1.2

6.1.42)5()5(x

−−±−−=

2

24255X

−±=

2

152

15x

±=

±=

3'X2

15'X =∴

+= e 2"x

215

"x =∴+

=

O conjunto solução S={2,3}.

EXERCÍCIO

01. Resolva as equações do 2° grau abaixo: a) x²-16=0 b) x²-8x=0 c) x²-6x+5=0

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando o cálculo

das raízes da equação x²-x-20=0. a) S={4,5] b) S={-4,5} c) S={1,20} d) S={5,6} e) S={19,20} 02. Dê a soma das alternativas corretas,

considerando os conjuntos solução das equações abaixo:

01) x²-25=0 S={0,5} 02) x²=9 S={-3,3} 04) x²+5x+4=0 S={-4,-1} 08) x²-x-6=0 S={-2,3} 16) x²+4=0 S={-4,-1} 32) x²+7x=0 S={0,7}

03. Considerando x²+8x+15=0 marque única resposta certa, nas opções a seguir.

a) x’=-3 e x”=-5 b) x’=3 e x”=-5 c) x’=-3 e x”=5 d) x’=0 e x”=-5 e) x’=-3 e x”=0 04. Considerando as afirmações abaixo, em relação

a equação 20x²-11x-3=0, e somando as alternativas corretas o resultado encontrado é:

01) As raízes são x’=3/4 e x”=-1/5. 02) O produto das raízes é -3. 04) A soma da raízes é -11. 08) O quociente entre a maior e a menor raiz é -15/4. 16) Somando a+b+c encontramos 6. 05. Marque a melhor resposta para a solução de

x²+1=0 a) S={-1,1} b) S={} c) S={∅} d) S={2} e) S={ 1− } 06. Um número natural, multiplicado pelo seu

consecutivo dá 156. Calcule a soma das alternativas abaixo em relação ao problema dado.

01) O número é -13. 02) O número 04) A solução do problema multiplicada por 5 dá 60. 08) Somando as soluções do problema o resultado

é-1. 16) Dividindo por quatro a solução do problema

encontramos 2. 07. (MACK-SP) Sendo x’ e x” as raízes reais da

equação 6x² - x – 1 = 0, o valor da expressão (x’ + 1) . (x” + 1) é:

a) 0

b) 32

c) 1

d) 31

e) 34

Nada pode manter Deus longe de nós.

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19

POTENCIAÇÃO

Muitas são as aplicações da potência. No cálculo das áreas quadradas, por exemplo, a multiplicação dos lados destas figuras nos permite conhecer a quantidade de material necessário para revesti-las. L S=L x L S=L² L Assim podemos entender potenciação pela multiplicação “n” vezes de um mesmo fator:

an = 444 3444 21fatores n

a.........axaxaxax

REGRA DE SINAIS

Devemos conhecer alguns detalhes sobre o uso das potências como, por exemplo a regra de sinais.

+=+ par)( +=− par)(

+=+ ímpar)( −=− ímpar)(

CASOS PARTICULARES

a°=1 1n1 = a1a =

Ex: 37°=1 119971 = 13113 =

PRODUTO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE

nmana.ma +=

EXEMPLO: 3²÷3³= 53

QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

nmana

ma −=

EXEMPLO: 223252 =÷

POTÊNCIA DE UM PRODUTO

nb .nan)b . a( =

EXEMPLO: 2y2x2)yx( ⋅=⋅

POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE

nb

nan

ba

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛” 0 1b

EXEMPLO: (2/3)²=2²/3²

POTÊNCIA DE POTÊNCIA

n.man)ma( =

EXEMPLO:(2²)³= 62

POTÊNCIA DE ORDEM SUPERIOR

nma

ATENÇÃO Potência de Ordem Superior é diferente de Potência de Potência.

nman)ma( ≠

Exemplo: (3²)³-=383 323 mas 6 =

POTÊNCIA DE EXPOENTE NEGATIVO

na

1na =−

Exemplo: 23

123 =−

POTÊNCIAS DE DEZ

Quando n é positivo

10 1000n= ...0 onde o número de zeros é igual a “n”.

Exemplo: 10 10004= Quando n é negativo

43421n

1...000,00...1000

1n10 ==− onde o número de casas

até 1 é igual a “n”.

Exemplo: 0001,0410 =−

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20

EXERCÍCIO

01. Encontre o valor de cada item abaixo.

a) =52.42

b) =23/73

c) (2.5)5 =

d) 7)3/5( =

e) 425 =

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando o resultado da expressão 3².3³+3=

a) 9 b) 27 c) 243 d) 244 e) 246 02. Dê a soma das alternativas corretas, abaixo:

01) 12a2a.6a =

02) b4b/5b =

04) 20403 =+

080 8222

=

16) 2000 2001020001 =+ 03. Considerando a solução da expressão

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

04

75

12

32

= marque a única

resposta certa, nas opções a seguir. a) 4/9 b) 0 c) 3/2 d) 9/4 e) 2/3 04. Considerando as afirmações abaixo, a soma das

alternativas corretas é :

01) 421652 =− 02) (-3)³-9=6² 04) (-4)²+3²=5²

08) 910.1610

9101210.610 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

05. Marque a melhor resposta. Qual é o número

racional que elevado ao quadrado dá -25? a) O número é 5. b) O número é -5. c) O número é 10. d) Este número não existe. e) O número existe e não foi mencionado até o

momento.

06. Encontre a soma dos itens corretos levando em conta a resposta da expressão

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 425,01.

2

3

22.

2

43

01) 7 0

02) 1 43 04) 100

08) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+2bab22a

2ba

16) 8 32) 3 64) 1 07. (FESP-SP) Se 53x = 8, então o valor de 5-x é: a) 2

b) 21

c) 41

d) 81

e) 61

08. Calcule o valor da expressão:

A = 2

411

212

32 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

09. (Fevest-SP) Qual a metade de 2²²?

Obrigado amado Deus, por usares a vida para nos ensinar. Ajuda-nos a correr rumo aos alvos que estabeleces para nós, sem desistir nem olhar para trás.Amém

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21

RADICIAÇÃO

DEFINIÇÃO

Dados um número real A, um número inteiro n, maior que 1, define-se raiz n-ésima de A como um número x, cuja potência n-ésima é igual A.

EXEMPLO: 981 = PORQUE 9²=81

IMPORTANTE 1. Quando o índice não estiver visível n=2 (caso da raiz quadrada) 2. Quando o índice “n” for um número par o radicando “A”será sempre um número positivo.

PROPRIEDADES DOS RADICAIS RADICAL DE UM PRODUTO

nbnan ba ⋅=⋅

EXEMPLO: 35333 53 ⋅=⋅

RADICAL DE UM QUOCIENTE

nb

naba

n =

EXEMPLO: 3

737

=

INTRODUÇÃO DE FATOR NO RADICAL

nbnanba ⋅=

EXEMPLO: 2 353235 ⋅=

POTÊNCIA DE UM RADICAL

n mamna =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

EXEMPLO: 5 4a452 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

RADICAL DE UM RADICAL

m n.m ana =

EXEMPLO: 6 aaa =

SOMA DE RADICAIS

Quando queremos somar ou subtrair radicais, isto só é possível se os radicais envolvidos tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando.

EXEMPLO: 21026232 =++

RADICAIS E POTÊNCIAS DE EXPOENTES FRACINÁRIOS

Todo radical é uma potência de expoente fracionário.

Veja: nm

an ma =

EXEMPLO: 21

aa =

RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES

Racionalizar uma fração significa não permitir que nesta o denominador tenha um radical. Este processo existe para permitir a facilidade nos cálculos em que as frações se tornam irredutíveis por apresentam denominadores irracionais. Apresentamos agora os métodos de racionalização de denominadores.

1° CASO: O DENOMINADOR É UM MONÔMIO

a) Quando o índice é igual a 2 multiplicamos o

numerador e o denominador pelo fator de racionalização, que no exemplo abaixo é 2 , e fazemos as devidas simplificações para o resultado.

52

2.52.2

225

2.2

25

2==

⋅=

b) Quando o índice é maior que 2 o fator de

racionalização é um número definido pelo radical de índice comum de um radicando que tem em seu expoente a subtração entre o índice e o antigo expoente. Veja:

a

6 a6

a5a

6 a

6 6 a5a

6 a6 5a

1=

⋅=

⋅= onde o f.r. é

6 a6 56a =−

2° CASO: O DENOMINADOR É UM BINÔMIO Neste caso devemos multiplicar e dividir pelo conjugado do denominador. O exemplo abaixo mostrará como obter o “conjugado”.

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22

=−

+=

+−

+=

− 2)2(23

)23.(7

)23.()23(

)23.(7

23

7

237

23.(729

)23.(7+=

+=

−+

O conjunto do denominador é obtido pela troca de seu sinal interno. Então , no exemplo dado, o conjugado do denominador é 3+ 2 .

EXERCÍCIO

01. Aplicando os conhecimentos sobre radicais, resolva os exercícios abaixo:

a) =⋅ 273

b)5 =+ 52/1 c) 9 =+ 10610

TESTES

01. Marque o item que apresenta a resposta certa

da expressão 1283282 −++

a) 160

b) 2

c) 7 2

d) - 2

e) 2− 02. Dê a soma das alternativas corretas, abaixo:

01) 53

15=

02) 32

3.6=

04) ( ) 94

3 =

08) 4636 =

16) 243

332 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

32) 862 =+

03. (CEFET-PR) – Calculando-se (1+ 4)2 , obtém-se:

a) 1+4 2

b) 9 c) 17+12 2

d) 12+17 2

e) 29 2 04. Considerando as afirmações abaixo, a soma das

alternativas corretas é: 01) R16 ∈−

02) 22

2

1=

08) 22

2

1=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

16) 272423 =+

32) 1013729 =+ 05.Marque a melhor resposta considerando a

expressão 21

21

+

−

a) 2 32 +

b) 2 32 −

c) 1+ 2

d) 1- 2 e) 1 06. Calcule a soma das alternativas abaixo, que

correspondem às respostas corretas. 01) (FMU-Adaptada)- O resultado da expressão

2 41652 −+− o é 0. 02). (Londrina- Adaptada) – O valor da expressão

1,010245,29 − é 241.

04) Racionalizando 35

2

−obtemos 35 −

08) 3 218268 =⋅

16) 7

57

252 = 09. (U.E.Londrina-PR) Sendo n um número natural

maior do que 1, a expressão n 1n5

5

+ é

equivalente a:

a) 5

n5

Porque eu, o Senhor teu Deus, te tomo pela mão direita, e te digo: Não temas, que eu te ajudo. (Isaías 41:13)

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23

GRANDEZAS

Grandeza é tudo que podemos medir ou calcular. Como por exemplo podemos citar as medidas de comprimento, massa e tempo. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Se uma grandeza aumenta em função de

outra então elas são diretamente proporcionais. EXEMPLO:

O pagamento de horas extras para um operário é maior se ele fizer horas extras. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Se uma grandeza diminui, em função de outra que aumenta, então elas são inversamente proporcionais.

EXEMPLO: A velocidade de um carro é inversamente proporcional ao tempo de deslocamento, ou seja , quanto maior a velocidade menor será o tempo de percurso,.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Na resolução de problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais usamos um processo conhecido como regra de três. Ilustraremos este assunto com dois problemas: 01. Renata comprou 8m de tecido por 01. Renata

comprou 8m de tecido por R$ 35,00. Quando pagará por 10m? Para resolver o problema colocamos duas colunas, uma para comprimento e outra para o custo. Comprimento Custo M R$ 8 35 10 x

Verificamos que as grandezas são diretamente proporcionais. E fazemos a multiplicação para acharmos o valor de “x”, letra dada ao custo desconhecido.

8.x=10.35 8x=350→x=350/8→x=43,75 ou seja, R$ 43,75 vai ser o preço de 10m de tecido. 02. Um avião faz uma viagem percorrendo a

distância com velocidade de 800 Km/h durante 50 minutos. Se diminuir sua velocidade para 500 Km/h em que quantos minutos fará a mesma viagem ?

Notamos que se trata de um problema em que duas grandezas inversamente proporcionais estão envolvidas, ou seja, quanto maior a velocidade menor será o tempo de percurso. Então usaremos o processo de colunas, do exercício anterior, mas multiplicaremos paralelamente os elementos do problema. Não devemos esquecer que a grandeza a ser calculada será representada pela letra “x”. Velocidade Tempo Km/h Minutos 800 50 500 x

500.x=800.50 500.x=40000 X=40000/500 X=80 ou seja, 80 minutos vai ser o tempo de vôo.

PORCENTAGENS

Quando se toma uma amostra de elementos em cem destes estamos buscando conhecer a porcentagem dos elementos presentes no todo (cem). Assim se a medida atual (1997) da inflação brasileira é 7% significa que em 100 partes de medida de inflação 7 serão usadas no cálculo da mesma . Outras importantes porcentagens você pode ver quando as medidas estatísticas calculam o número de acidentes anualmente, nas estradas brasileiras, em relação aos anos anteriores; quando você quer saber a quantidade de gordura presente no leite; “quantos por cento” você vai ter de aumento; quantos por cento aumentou a sua mensalidade escolar (!?) etc... Então vejamos o seguinte problema: A passagem de ônibus, em Curitiba, passou de R$ 0,50 para R$ 0,65. Qual foi a porcentagem de aumento? Considerando o valor inicial correspondente a 100% e fazendo uma regra de três simples, temos que...

Valor da Tarifa R$ % 0,50 0,65

100 X

Como são grandezas diretamente proporcionais, podemos calcula-las da forma já estudada. 0,50.x= 0,65.100 0,50.x= 65 X=65÷0,50=130% Como a tarifa antiga correspondia a 100% e a nova corresponde a 130%, então houve um acréscimo de 130-100=30%

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24

OBSERVAÇÃO

Para calcular valores como o que foi apresentado você pode, apenas dividir o valor final pelo inicial, subtrair 1 e multiplicar por 100. Veja!

a) 3,1

50,065,0

=

b) 1,3-1=0,3 c) 0,30 x 100=30%

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES UNIDADES DE COMPRIMENTO

O metro é a medida de comprimento utilizada pelo Sistema Internacional. Suas unidades variam de 0 em 10. Abaixo mostramos uma tabela com os múltiplos e submúltiplos do metro.

Unidade Símbolo u/m∗ Quilômetro Km 10³ Hectômetro hm 10² Decâmetro dam 10 Metro m 1 Decímetro dm 10 1− Centímetro cm 10 2− Milímetro mm 10 3−

∗Unidade dividida pelo metro.

UNIDADES DE ÁREA

O metro quadrado é a metade de área do S.I. Suas medidas variam de 100 em 100. A seguir mostramos uma tabela com os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado.

Unidade Símbolo U/m²∗ Quilômetro km² 10 6 Hectômetro quadrado

hm² 10 4

Decâmetro quadrado

dam² 102

Metro quadrado

m² 1

Decímetro quadrado

dm² 10 2−

Centímetro quadrado

cm² 10

4−

Milímetro quadrado

mm² 10 6−

∗Unidade dividida pelo metro quadrado

EXERCÍCIOS

01. Um automóvel está com 60 km/h e seu

motorista aumenta esta velocidade para 30% a mais deste valor. Qual deve ser o novo valor de velocidade?

02. Mantendo sempre a mesma velocidade, um

automóvel percorre 266km em 3,5 horas. Que distância andará em 4,5 horas?

03. Transforme as unidades conforme os pedidos

abaixo: a) 4km=_______________m b) 300m=_______________cm c) 20m²=_______________dm² d) 2km²=_______________m² e) 2m³=________________cm³ f) 20hm³=______________m³

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando que

queremos descobrir o valor de 20% de

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ 3

1768 .

a) 3 d) 1 b) 4 d) 2 c) 6 02. Dê a soma das alternativas corretas, abaixo: 01) 40% de 60 é 24. 02) 12% de 50 é 6. 04) 5% de 43 é maior que 2. 08) Vendendo um carro por R$ 12.800,00 lucrei 10%. O valor real do carro era R$ 11.000,00. 03. (LAGES-Adaptada)- Comprei um objeto por R$

2.820,00. Se quiser ter um lucro de 16% deverei vender o objeto por ...

a) R$ 2.271,00 b) R$ 2.271,20 c) R$ 3.271,00 d) R$ 3.271,20 e) R$ 3.421,20 04. (PUC-RJ) A pintura de um apartamento pode ser feita em 6 dias se 3 pintores trabalharem 8 horas diárias. Quantas horas por dia 4 pintores devem trabalhar para fazer a mesma pintura em 4 dias? a) 16 horas d) 9 horas b) 6 horas e) 20 horas e 6 min c) 10 horas e 36 min.

Amoroso Deus, ensina-nos como permanecer na tua presença e conhecer o teu amor. Ao fazê-lo, que possamos compartilhar o teu amor com todos aqueles que encontrarmos durante o dia. Amém.

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25

05. (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a:

a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 c) 15 06. Em uma pesquisa feita com 400 telespectadores

30% assistiam TV por assinatura sendo que, destes 50% assistiam aos canais de informação Então...

01) 60 pessoas assistiam aos canais de informação . 02) 280 pessoas não eram telespectadores de TV

por assinatura. 04) 120 telespectadores eram assinantes de tv. 08) 200 telespectadores eram 50% do total

pesquisado. 16) 100% dos pesquisadores eram homens. 07.(PUC-PR) Certa mercadoria foi comprada por R$

17.000,00 e vendida com lucro de 15% sobre o custo da compra. Por quanto foi vendida a mercadoria?

a) R$ 19.550,00 b) R$ 20.000,00 c) R$ 15.000,00 d) R$ 22.500,00 e) n.d.a 08. Calcule a soma das alternativas abaixo, que

correspondem às respostas corretas.

01) 20% de ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅++ 33225

113 é 4.

02) 7% de 9

128 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

é 1,47.

04) 50 km²= 500 hm².

08) 0,1 mm= 10 4− dam²

16) 1000m³= 103 m³. 09. (UFSE) A razão entre a terça parte de 0,27 e o

dobro de 0,2 nessa ordem, é equivalente a: a) 2,25% d) 27,5% b) 4,75% e) 47,5% c) 22,5% 10. (CESGRANRIO) Numa cozinha de 3 m de

comprimento 2m de largura e de 2,80m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4 m². Paras azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais de metragem e ladrilhar. A metragem de ladrilhos a comprar é:

a) 24,40m² b) 24,80m² c) 25,50m² d) 26,40m2 e) 26,80m²

DISCRIMINANTE DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU

Chama-se discriminante da equação do 2° grau o número ∆ (delta) obtido pela seguinte expressão : ∆=b²-4ac, onde a,b e c são os coeficientes da equação. Conforme o valor assumido por ∆ três hipóteses podem ocorrer: ∆ > 0 → a equação tem duas raízes e diferentes. ∆ = 0 → a equação tem duas raízes reais e iguais. ∆ < 0 → a equação não tem raízes reais. Graficamente podemos entender estas características a partir dos traçados de parábolas em planos cartesianos.

QUANDO ∆ > 0

Abaixo está a representação de y=x²-6x+5.

Notemos que é uma curva que corta o eixo horizontal “x” em dois pontos, ou seja, apresenta duas raízes reais distintas. Calculando as raízes da função pela Fórmula de Bháskara, notamos que ∆ > 0.

X=( ) ( )

2

54266 ⋅−−±−−

X=2

166x

220366 ±

=∴−±

X’= 52

46=

+

X”= 12

46=

−

Como vemos ∆=16 e 16 >0.

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26

QUANDO ∆=0

Consideramos agora a função y=x²-6x+9.

Notemos que é uma curva que corta o eixo horizontal “x” em um ponto, ou seja, apresenta duas raízes reais iguais. Calculando as raízes da função pela Fórmula de Bháskara, notamos que ∆=0.

( ) ( )

2

94266x

⋅−−±−−=

X=2

06x

26366 ±

=∴−±

X’= 32

06=

+

X”= 32

06=

−

Como vemos ∆=0.

QUANDO ∆<0

Vejamos aqui o caso da função y=x²-5x+9.

Notemos que é uma curva que não corta o eixo horizontal “x”, ou seja, não apresenta raízes reais. Calcule as raízes da função pela Fórmula de Bháskara, notamos que ∆<0.

X=( ) ( )

2

94255 ⋅−−±−−

X=2

95x

236255 −±

=∴−±

X’ ∉ R X” ∉ R Observemos que ∆=-9 e -9<0.

EXERCÍCIO

01. Considerando as funções quadráticas abaixo e o

estudo do sinal do discriminante, caracterize as raízes em cada um dos casos.

a) y=x²-x-20 b) y=x²-5x c) y=x²+2x+1 d) y=2x²-4x-2 e)y=x²+3x+5

INEQUAÇÕES DO 2° GRAU

Inequação do 2° grau é toda a expressão do tipo:

• ax²+bx+c >0 ou • ax²+bx+c <0 ou • ax²+bx+c ≥0 ou • ax²+bx+c ≤0 ou

OBSERVAÇÃO Não trabalhe com “menos” na frente do x² porque o coeficiente a deve ser positivo. Usaremos a notação abaixo para designar o sinal da desigualdade: MA→MAIOR ME→MENOR Exemplos: a) x²-4x+5<0→ME b) x²-4x+5<0→MA c) –x²+3x-1<0→ME trocando os sinais →x²-3x+1>0→MA

RESOLUÇÃO

Ao resolvermos a inequação do 2º grau, podem ocorrer três casos ligados ao cálculo das raízes. Isto quer dizer que tais raízes podem ser distintas, iguais ou não existirem em R. Isto também significa que para cada inequação do 2º grau vamos utilizar uma equação do 2° grau correspondente com o único objetivo de descobrir suas raízes.

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27

1º CASO X1 ≠ X2 ⇔ ∆ > 0 Se a equação do 2° grau admite duas raízes x’ e x’’ distintas, temos, então o discriminante ∆ > 0

2ºCASO X1 = X2 ⇔ ∆ = 0 A resolução segue o mesmo reciocínio anterior, ou seja: MA→extra-raízes ME→intra-raízes

OBSERVAÇÃO Muito cuidado, porém, porque em vez de duas raízes distintas, como no caso anterior, teremos apenas uma raiz.

3° CASO

X1∉R;x2∉R ⇔ ∆<0 A equação não admite solução em R, ou seja ∆<0. MA→ S=R ME→ S=∅

EXERCÍCIOS

02. Resolver as inequações: a) x2-5x+6≥0 b) x2-5x+6<0

c) x2-4x +4>0 d) x2-4x+4≥0 e) x2-10x+25≤0 f) 3x2-2x+1>0 g) 3x2-2x+5<0

SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 2° GRAU Resolvemos cada inequação separadamente. Fazemos, em seguida a intersecção dos dois gráficos.

EXEMPLO:

Resolver o sistema

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

≥+−

)2( 092x

)1( 06x52x

Resolvendo (1): X2-5x+6≥0 encontramos as raízes x’=2 e

x”=3 MA→extra-raízes (R1) Resolvendo (2): X2-9≥0 encontramos as raízes x’=3 e x”=-3 MA→extra-raízes (R@) Solução Gráfica

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28

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando o

resultado da inequação x2-7x+10≤0. a) (2,5) b) (-∞,2] ∪ [5,∞) c) [2,5] d) x≤2 ou x≥5 e)n.d.a.

02. Em relação ao sistema ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−

02xx3

02x, é correto

afirmar: 01) S=(0,2) 02) S=(0,2) 04) S= (-∞,2) (3,∞) 08) S= (-∞,2) (2,∞0 16) S= [0,2]

03. Resolvendo a inequação –x2+11x+12>0 encontramos:

a) (1,2) b) (1,3) c) (3,12) d) (-1,12) e) [-1,12] 04. Considerando as afirmações abaixo em relação

ao resultado de 4-x2 ≥0, a soma das alternativas corretas é:

01) S={x∈R/x≤-2 ou x≥2} 02) S={x∈R/x≤-2 ou x>2} 04) S={x∈R/-3≤x≤2} 08) S={x∈R/-2≤x≤2} 16) S=[-2,2] 05. (SC)-Calcule o valor de k na equação 3x2-6x-

k=0 para que as raízes não sejam reais.(Dica:∆<0)

a) k>-1 b) k.3 c) k,-3 d) k=3 06.(CESGRANRIO-RJ- Adaptada)- Com relação à

inequação 3n≤21

. (n-1), a soma das alternativas

abaixo, que correspondem às respostas corretas é;

01) O menor inteiro que satisfaz à inequação é zero. 02) S=(0,7) 04)0<n<7 08) O menor inteiro positivo que satisfaz a inequação é 7. 16) S= [0,7] 07. Numa classe de 40 alunos, 30 são moças. A

taxa porcentual de rapazes é: a) 25% d) 75% b) 30% e) 85% c) 40%

08. (U.F.Santa Maria-RS) Um automóvel com motor desregulado consome 40l de combustível, para percorrer 360 km de uma rodovia. Após a regulagem do motor o consumo de combustível baixou em 25%. O número de litros de combustível necessário para que o automóvel, agora regulado, percorra 480 km da mesma rodovia é:

a) 35,5 d) 42,6 b) 36 e) 48 c) 40 09. Um tanque de combustível tem 0,9 m³ de

volume interno. Quantas latas de 15 litros são necessárias para encher esse tanque até 80% de sua capacidade?

a) 20 d) 52 b) 35 e) 64 c) 48 10. (UFRS) Se foram empregados 4 kg de fios para

tecer 14 m de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas são necessários para produzir 350 m de fazenda com 120 cm de largura?

a) 130 d) 180 b) 150 e) 250 c) 160 11. (PUC-MG) O perímetro de um triangulo é 60 cm.

As medidas dos lados são diretamente proporcionais aos números 3, 4, e 5, então o menor lado do triangulo mede:

a) 12 cm d) 18 cm b) 13 cm e) 22 cm c) 15 cm 12. (Ulbra-RS) Água e tinta estão misturados na

razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de:

a) 45 d) 181 b) 81 e) 126 c) 85 Acreditamos que o objetivo maior de um professor é despertar em seus alunos a curiosidade que os estimule a explorar e a fazer suas próprias descobertas. Espero que, em muitos momentos, este livro tenha atingido esse objetivo.

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29

GLOSSÁRIO

simbologia – estudo referente aos símbolos. variável – que pode cariar; mudável. monômio - expressão algébrica de um só termo. binômio - expressão algébrica composta de dois termos,

separados pelo sinal +.. trinômio - expressão de três termos . polinômio - expressão algébrica, composta de mais de dois

termos separados pelos sinais + ou -. simultâneo – que se dá ou realiza ao mesmo tempo que

outra coisa; coincidente sincrônico. numerador – termo de fração que indica quantas se

tomaram das partes em que se dividiu a unidade (denominador) e que se escreve sobre o traço dessa fração ou à esquerda dele.

denominador – termo da fração que indica em quantas partes se dividiu a unidade e é colocado sob o traço de fração.

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30

CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste módulo, você encontrou conteúdos, textos e interpretações para apoiá-lo no seu Curso.

Aqui foi lançado um olhar diferenciado para a Educação de Jovens e Adultos, acolhendo seus

conhecimentos, motivações e interesses.

Não pretendemos de forma alguma ditar receitas infalíveis. Nosso desafio é possibilitar todos os

usos possíveis da palavra como elemento de conquista da competência comunicativa de auto-realização e

da cidadania. Mas esse desafio é um caminho a ser trilhado e trabalhado. Portanto, estudem

intensamente, pois o estudo é o ponto central da nossa vida. Todavia, nós professores advertimos que é

uma grande necessidade para competirmos no mercado em igualdade de oportunidades.

Agora, vamos ao seu desempenho. Estude os assuntos detalhadamente. Se tiver duvidas, ligue

por telefone (61 – 30378860), ou acesse o nosso site (www.colégiopolivalente.com.br) . O importante é

que você passe para o tema seguinte quando dominar bem o que constava do anterior.

O seu sucesso é o sucesso do CIP,

Afinal, o CIP é você!!!!!

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