Upload
alice-azucena-ferreira
View
238
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Mdulo 1
Clculo integral
www.tmpress.ro
Lic. Olga Cardozo 2
Clculo Integral
www.youtube.com
Dada una funcin f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real,
la integral b
adx)x(f es igual al rea de la regin del plano xy limitada entre la
grfica de f, el eje x, y las lneas verticales x = a y x = b, donde son negativas
las reas por debajo del eje x.
La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin de primitiva:
una funcin F, cuya derivada es la funcin dada f. En este caso se denomina
integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artculo son las
integrales definidas. Algunos autores mantienen una distincin entre integrales
primitivas e indefinidas.
Newton y Leibniz a finales del siglo XVII, a travs del teorema fundamental del
clculo, que desarrollaron las dos de formas independientes, la integracin se
conecta con la derivacin, y la integral definida de una funcin se puede
calcular fcilmente una vez se conozca una antiderivada. Las integrales y las
Lic. Olga Cardozo 3
derivadas pasaron a ser herramientas bsicas del clculo, con numerosas
aplicaciones en ciencia e ingeniera.
Bernhard Riemann dio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en un
lmite que aproxima el rea de una regin curvilnea a base de partirla en
pequeos trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer
nociones ms sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos
de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integracin. La
integral curvilnea se define para funciones de dos o tres variables, y el
intervalo de integracin [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos
puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se
sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental
en la geometra diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral
surgieron primero a partir de las necesidades de la fsica, y tienen un papel
importante en la formulacin de muchas leyes fsicas cmo, por ejemplo, las
del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integracin se basan en la
teora matemtica abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue
desarrollada por Henri Lebesgue.
Las integrales o antiderivadas
La integracin es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas,
especialmente en los campos del clculo y del anlisis matemtico.
Bsicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente
pequeos.
El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las
matemticas en el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en
la ingeniera y en la matemtica en general y se utiliza principalmente para el
clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin.
Lic. Olga Cardozo 4
Se dice que una funcin F: es una primitiva de f: , si f es la
derivada de F , o sea : )x(fdx
)x(dF y se expresa escribiendo: )x(Fdx)x(f .
En la simbologa dx o b
adx representa el proceso de hallar la funcin
primitiva en funcin de la variable x. Se distingue la primera expresin como
integral indefinida y a la segunda como integral definida ya que posee dos
valores lmites llamados lmites de integracin.
Al hallar la primitiva de una funcin, se obtiene una funcin.
Al hallar la valoracin de los lmites de integracin se obtiene un nico valor
numrico real. Se denomina dominio de integracin a la regin sobre la cual
se integra la funcin.
Propiedades del clculo de primitivas
De las reglas de derivacin: Del producto de una constante por una funcin, de
una suma de funciones y de una diferencia de funciones, se deducen las
siguientes propiedades de la integral indefinida:
1- La integral del producto de una constante por una funcin es igual al
producto de la constante por la integral de la funcin.
dx)x(fkdx)x(f.k .
Lic. Olga Cardozo 5
2- La integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma
algebraica de las integrales de las funciones.
dx)x(hdx)x(gdx)x(fdx)x(h)x(g)x(f .
En Clculo infinitesimal, la funcin primitiva o antiderivada de una funcin
f es una funcin F cuya derivada es f, es decir, F (x) = f(x).
Una condicin suficiente para que una funcin f admita primitivas sobre un
intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una funcin f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad,
que difieren entre s en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f,
entonces existe un nmero real C, tal que F1 = F2 + C.
A C se le conoce como constante de integracin. Como consecuencia, si F es
una primitiva de una funcin f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho
conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como: f
dx)x(f .
El proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce como integracin
indefinida y es por tanto el inverso de la derivacin.
Lic. Olga Cardozo 6
Clculo de primitivas
Primitivas inmediatas: son las ms sencillas de resolver. Se ajustan a
formatos establecidos.
Polinmicas o potenciales
C1n
xdxx
1nn
n
Cxdx
Cxlnx
dxdxx 1
Exponenciales
1a
Caln
adxa
Cedxe
xx
xx
Trigonomtricas
Csenxxdxcos
Cxcossenxdx
Recordar: La C que se agrega a la primitiva se llama constante de
integracin y representa el trmino independiente de la funcin al ser derivada.
Ejemplos
Cx34
xxCx3
13
x
14
x5
dx3dxxdxx5
dx3dxxdxx5
dx3xx5.1
45
1314
34
34
34
Lic. Olga Cardozo 7
Cx3
8
x
3
x
4xln2xx
2
3
C3
x8
2
x6
1
x4xln2x
2
x3
C14
x8
13
x6
12
x4xln2x
11
x3
dxx8dxx6dxx4x
dx2dxxdx3
x
dx8
x
dx6
x
dx4
x
dx2dxxdx3
dxx2
16dx
x2
x12dx
x2
x8xd
x2
x4xd
x2
x2dx
x2
x6
dxx2
16x12x8x4x2x6.2
32
2
3212
14131211
432
432
444
2
4
3
4
4
4
5
4
2345
:
Cx23
x2C
2
1
x
2
3
xC
12
1
x
12
1
x
dxxdxx
dxxx
dx
x
1x
dxx
1x.3
32
1
2
31
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Cxcos3xln25ln3
5e2
senxdx3x
dx2dx5
3
1dxe2
senxdx3dxx
2dx
3
5dxe2
dxsenx3x
2
3
5e2.4
xx
xx
xx
xx
Lic. Olga Cardozo 8
Encontrar las funciones primitivas de las funciones dadas
dxxcos83
2
5
e.4
dxxx.3
dxx
5x8x5x3x2.2
dx1x3x.1
xx
3
3
234
2
Csenx8aln3
2
5
e
C3
x4
3
x2
Cx
5
x
8xln5x3x
Cx2
x3
3
x
xx
3 43
2
2
23
dxsenx5x
55
7
e2.8
dxx
2x2.7
dxx2
6x2x8x44x12x6
dx3xx5.5
xx
3
2345
34
Cxcosxln55ln
5
7
e2
Cx4x3
4
x2
3
x
1xln4x22x3
6
x
Cx3x2
1
x3
5
xx
3
2
23
23
dx4
senx3xcos3.12
dxx
xx5.11
dxx4
5x8x5x3x2.10
dx1x3x.9
x
3
5
234
12
C4
xcos
3ln
3senx3
C3
x
x
1
x2
5
C.x10x3
4x
2
1x
14
3x
9
4
Cxxln33
x
x
3
2
3579
3
Lic. Olga Cardozo 9
MTODOS DE INTEGRACIN
No siempre las funciones sern simples, en ocasiones se presentarn
funciones compuestas. Es decir una funcin F(u) donde u = f(x).
Para la resolucin de integrales se utilizan diferentes artificios de clculo, cuyo
objeto es transformar la expresin a integrar en otra, u otras, de integracin
ms sencilla. A dichos artificios se les denominan mtodos de integracin.
Para los casos en los que el clculo no es inmediato, se debe recurrir a
procesos y convertir la expresin en inmediata.
Mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable se basa en la
regla de la cadena: dx))x('u)).x(u(f , o sea, la funcin y su derivada estn
presentes.
Consiste, en lneas generales, en tomar una nueva variable, t tal que sea una
funcin continua y que admita funcin inversa.
De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra, funcin de la
nueva variable t.
Si la eleccin de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es ms
sencilla de integrar. El xito de la integracin depende, en grado considerable,
de la habilidad para elegir la sustitucin adecuada de la variable.
El mtodo se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una
nueva variable t, de modo que se obtenga una integral ms sencilla.
Pasos para integrar por sustitucin.
Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos trminos:
Lic. Olga Cardozo 10
Sea dx))x('u)).x(u(f entonces haciendo t = u(x)
dt = u(x)dx
Sustituyendo en la integral original se transforma en dt).t(f .
La integral resultante es mediata. dt).t(f = F(t)+C.
Una vez obtenida la funcin primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la
variable substituyendo t = u (x).
As se tiene la integral indefinida en funcin de la variable inicial x.
Como un resumen se hallaran primitivas con aquellas funciones potenciales nu
racionales , exponenciales ue ; ua , logartmicas uln , trigonomtricas senu;
ucos de funciones compuestas, es decir aquellas con forma u = f(x):
Para ello, recodaremos las frmulas de derivacin
Polinmicas o potenciales 'nnn uu.n'uud n
0'kkd
1'xxd
Logartmica u
'u'ulnulnd
Exponenciales 1aaln'.u.a'aad
'u.e'eed
uuu
uuu
Trigonomtricas senu'.u'ucosucosd
ucos'.u'senusenud
Observacin: resulta importante recordar el siguiente resumen de
sustituciones:
En funciones potenciales la base
En funciones exponenciales el exponente
Lic. Olga Cardozo 11
En funciones trigonomtricas el ngulo de la funcin.
Recordar adems:
Las funciones radicales son funciones potenciales de potencia fraccionaria:
nm
n m xx . Ejemplo: 32
3 2 x1x1
Las funciones racionales son funciones potenciales de potencia negativa:
nxx
1n
. Ejemplo:
22
x1.2x1
2
Ejemplos:
1. dx5x34
Es una integral mediata en forma de funcin potencial, entonces la t es la base
de la funcin:
Hacemos:
dx3
dt
dx3dt
5x3t
y sustituyendo y aplicando las propiedades de integrales
queda: dtt31
3
dttdx5x3 44
4
Es una funcin potencial, se aplica 1n
xdxx
1nn
donde n = 5
C14
t
3
1 14
= C5
t
3
1 5 = C
15
t5
Luego se vuelve a la variable original, entonces : C5x315
1 5
2. dx1xx2
Es una integral mediata en forma de funcin potencial, ya que la funcin radical
puede expresarse como potencia fraccionaria: nm
n m xx , entonces la t es la
base de la funcin:
Se escribe la funcin como: dx1xx 21
2
Lic. Olga Cardozo 12
Hacemos:
dxx2
dt
xdx2dt
1xt 2
y sustituyendo
x2
dtt.xdx1xx 2
12
12
simplificando: dtt21
21
Es una funcin potencial, se aplica C1n
xdxx
1nn
donde n = 21
C
12
1
t
2
11
2
1
= C
2
3
t
2
1 23
= Ct3
12
3
Luego se vuelve a la variable original, entonces: C1x3
12
32
3. 1x5dxx
3
2
Es una integral mediata en forma de funcin racional, que se rescribe
recordando que nxx
1n
entonces
dx1x5x132 se convierte en la funcin
cuya integral se obtiene aplicando Cxlndxx 1
Entonces la t es la base de la funcin:
Hacemos:
dxx15
dt
dxx15dt
1x5t
2
2
3
y sustituyendo
2
12132
x15
dttxdx1x5x
Y simplificando: dtt
15
1 1
De ah: Ctln.15
1
Luego se vuelve a la variable original, entonces: C1x5ln15
1 3
4. 32x1
xdx7
Lic. Olga Cardozo 13
Es una integral mediata en forma de funcin racional, que se rescribe
recordando que nxx
1n
entonces
dxx1x732 se convierte en la funcin
potencial con n = - 3 cuya integral se obtiene aplicando C1n
xdxx
1nn
Entonces la t es la base de la funcin:
Hacemos:
dxx2
dt
xdx2dt
x1t 2
y sustituyendo
x2
dttx7dxx1x7
332
Y simplificando y aplicando propiedades de las integrales : dtt
2
7 3
De ah: Ct4
7C
t
1
4
7C
2
t
2
7C
13
t
2
722
213
Luego se vuelve a la variable original, entonces:
Cx14
722
5. dxex2
Es una integral mediata en forma de funcin exponencial, sustituyendo por t el
exponente y encontrando la solucin con : Cedxe xx
Entonces la t es el exponente:
Hacemos:
dx2
dt
dx2dt
x2t
Sustituyendo y aplicando propiedades de integrales dte21
2
dte tt
De ah: Ce2
1Ce
2
1 x2t , luego de volver a la variable original.
6. xx
e1
dxe
Lic. Olga Cardozo 14
Es una integral mediata en forma de funcin racional, que se rescribe
recordando que nxx
1n
entonces,
dxe1e1xx se convierte en la funcin
potencial con n = - 1 cuya integral se obtiene aplicando Cxlndxx 1 .
Entonces la t es la base de la funcin:
Hacemos:
dxe
dt
dxedt
e1t
x
x
x
Sustituyendo y simplificando:
dtte
dtte
1
x
1x
De ah: Ctln Ce1ln x , luego de volver a la variable original.
De igual modo pueden hallarse las integrales de distintos tipos de funciones,
representndolas como funciones potenciales, o bien aplicables al ln.
C
314
3lndx
3
dt.3ln
C314
3lnC
4
t.3lndx
3ln
3dt
C15
t3ln31t
dtt3ln3
dt3lnt3dx313
31
dx3.7
4xx
4x4x
15x
5
x
5x5xx
5x
x
dxxcos
dt
C3
xsenxdxcosdt
C3
tC
12
tsenxt
dttxcos
dtxcostxdxcosxsen.8
3
312
222
Lic. Olga Cardozo 15
dxsenx
dt
Cxcoslnsenxdxdt
Ctlnxcost
dttsenx
dttsenxdxxcossenxdx
xcos
senxtgxdx.9 1
11
dxxcos
dt
Csenx
3xdxcosdt
Ct
3C
1
t3C
12
t3senxt
dtt3xcos
dtxcost3xdxcosxsen3
xsen
xdxcos3.10
112
222
2
Encontrar las funciones primitivas de las funciones dadas
32
2
42
2
3
2
1x6x
dx3x.5
1xx
dx1x2.4
1x
xdx12.3
dxx1x.2
x23
dxx.1
C
1x6x
1
C1xxln
C1x
2
C3
x1.
C6
x23ln
22
2
32
32
3
6x
x
x3
x5
x
x
x2
3xx
e1
dxe3.10
e
dx3e4..9
e1
dxe4..8
dxe1..7
dxx22e..644
C
e1.5
3
Ce
1e2
Ce1ln4
Ce1
C2
x
2ln4
2
4
e
5x
x3
x2
x
3x2
4xx 44
Lic. Olga Cardozo 16
5x
x
x3
x5
x
x
3 xx
xx2
52
dx5.15
a
dx1a.14
21
dx2.13
dx133.12
xdx22e1122
C
52.5ln.4
1
Ca3
1
2
a
aln
1
C2ln
21ln
C3ln
13
Cx2ln2
2
4
e
4x
x3
x2
x
3 4x
2xx2 22
2x
xx
3
x3xx
esen1
dxecose.20
dxxcos
xcossenx.19
xsen
xdxcos.18
dx3sen3cos3.17
xcos1
senxdx16
C
esen1
1
Cxxcosln
Csenx2
1
C3ln4
3sen
Cxcos1ln
x
x4
Mtodo de integracin por partes se basa en la derivada de un producto y se
utiliza para resolver algunas integrales de productos, que tengan la forma
u.dv.
vduv.udv.u
dv.udespejandodxdv.udxv.ud v.u
dvv' y duu' llamandodx'v.udxv'.u v.u
dx'v.uv'.u dx'v.u
: xa respecto igualdad la Integrando
dv.uv.ud :quedara 'v.uv'.u'v.u
Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que ser conveniente que la
integral de v' sea inmediata.
Lic. Olga Cardozo 17
Importante:
Las funciones polinmicas, logartmicas y arco tangente se eligen como
u.
Las funciones exponenciales y trigonomtricas del tipo seno y coseno, se
eligen como dv
Observacin: resulta importante recordar el siguiente resumen de
integraciones por partes:
dxe.xxn senxdx.x
n dxe.senxx
xdxln.xn xdxcos.x
n dxe.xcosx , entre otros
Ejemplos
Observacin: En los resultados siempre que se pueda, se encuentra el
factor comn
x
x
xxxxxx
evdxdu
egrandointderivando
dxedvxu
C1xeCexedxexedxxe.1
xcosvdxdu
egrandointderivando
senxdxdvxu
Csenxxcosxdxxcosxcosxxsenxdx.2
Lic. Olga Cardozo 18
C3
1xln
3
x
3
xv
x
dxdu
C9
xxln
3
xegrandointderivando
dxxdvxlnu
C3
x
3
1xln
3
xdxx
3
1xln
3
x
x
dx.
3
xxln
3
xxdxlnx.3
33
33
2
332
3332
C2
1xln
x2
1
x2
1
2
xv
x
dxdu
Cx4
1
x2
xlnegrandointderivando
C2
x
2
1
x2
xlndxxdvxlnu
dxx2
1
x2
xln
x
dx
2
1
x2
xln
x
dx.
x2
1
x2
xln
x
xdxln.4
22
2
22
2
2
3
3
232223
Encontrar las funciones primitivas de las funciones dadas
xdxln.5
dx3,x.4
xdxcosx5.3
dxxe.2
xdxln.1
2
x
x
C1xln2xlnx
C3ln
1x
3ln
3
Cxcosxsenx5
C1xe
C1xlnx
2
x
x
dxxcosln.senx.10
dxxln.9
xsenxdx3.8
dxe3
x.7
x
dxx2ln6
2
x
7
C1xcoslnxcos
C2xlnx
Csenxxcosx3
C1x3
e
C6
1x2ln
x6
1
2
x
6
Lic. Olga Cardozo 19
Combinando casos: en situaciones se debe resolver la primitiva aplicando los
dos mtodos estudiados:
dxxe.1x2
Es una integral mediata en formato de funcin exponencial integrable como
xx edxe , debiendo ser el exponente la variable t
dx2
dt
dx2dt
x2t
Pero para sustituir se necesita hacer 2
tx
Entonces: dte4t
2
dte
2
t tt
Ahora se considera la integracin por partes, donde u = 4
t y dv = dte t y
aplicar luego la frmula vduv.u
t
t
ev4
dtdu
dtedv4
tu
4
dtee
4
t tt
C1te4
1Ce
4
1e
4
tdte
4
1e
4
t ttttt
Volviendo a la variable original : C2
1xe
2
1C1x2e
4
1 x2x2
xdx5xsen3.2
Es una integral mediata de funciones trigonomtricas.
La variable t ser el ngulo de la funcin seno, en este ejemplo
dx5
dt
dx5dt
x5t
Pero para sustituir se necesita hacer 5
tx
sentdt25t3
5
dtsent
5
t3
Lic. Olga Cardozo 20
Ahora se considera la integracin por partes, donde u = 25
t3 y dv = sentdt y
aplicar luego la frmula vduv.u
tcosv25
dt3du
sentdtdv25
t3u
Csenttcos.t25
3C)sent(
25
3tcos.
25
t3
tdtcos25
3tcos.
25
t3
25
dt3tcos)tcos(
25
t3
Volviendo a la variable original:
C5
x5senx5cosx
5
3Cx5senx5cos.x5
25
3
xdx22e32xx
Este ejemplo combina las propiedades y los mtodos de integracin
xdx2xdx2dxe.xxdx22e22 xxxx
El primer trmino es combinado de casos
Es mediata de funcin exponencial, entonces la variable t debe ser el
exponente
dx dt
-dx dt-
-xt
Pero para sustituir se necesita hacer xt-
Sustituyendo: dte.tdte.tdxe.x ttx
Ahora integramos por partes haciendo u = -t y dv = dte t aplicando
vduv.u
ev dt du
dtedv tu
t
t
C1teCeet dteet ttttt
Usando la variable original ; C1xe-x C1xe -x (1)
Lic. Olga Cardozo 21
El segundo trmino es mediata con formato de funcin exponencial, o sea la
variable t ser el exponente
xdx2
dt
2xdx dt
xt 2
C2ln.2
2 C
2ln
2
2
1 td2
2
1
2
dt2 xdx2
2
2xt
ttx (2)
El tercer trmino es inmediata con formato de funcin potencial con n = 1
CxC2
x2xdx2xdx2 2
2
(3)
Reuniendo los resultados parciales (1), (2) y (3):
:finalsultadoRe Cx2ln.2
21xe 2
xx-
2
Ejercicios de aplicacin
dx4x2x.6
dxx5x
2x3lne2x.5
dx7.3
x2.4
dx4xln.3
dx1x5xsen6.2
dxxe2.1
2
3
x3
3
x2
x5
2
3
x2
Cx
2xln
2ln2
2
C4
x5xln2
3
1x3ln
3
xe
3
2
C7ln
1t
7ln6
7.25
C34xln4x
C1x5sen1x5cosx6
C1x22
e
2
x
43x
x5
2
3
x2
2
3
Lic. Olga Cardozo 22
Mtodo de integracin por descomposicin en fracciones simples
Para aquellos casos en los que hay que integrar una funcin racional
)x(q
)x(p.
Puede suceder que el grado del numerador sea mayor o igual a del
denominador (caso 1), o bien que el denominador sea factorizable (caso
2).
Para el caso 1, se resuelve una divisin polinmica entre el numerador y
el denominador y se rescribe la expresin aplicando : )x(d
)x(r)x(c
)x(d
)x(D
Donde: D(x) Dividendo; d(x) divisor; c(x) cociente y r(x) resto.
Ejemplos
1. dx2x
5x3x2
El grado del numerador es 2 y el del denominador es 1
Por lo tanto, hay que dividir:
)3(
2x
5x
1xx2x
2x5x3x
2
2
d(x) = x + 2 c(x) = x + 1 r(x) = 3
Entonces:
dx
2x
3dx1xdx
2x
31xdx
2x
5x3x2
Aplicando propiedades de la integral:
2x
dx3dxxdx
dx2x3dxxdx
1
Lic. Olga Cardozo 23
Las integrales tienen: formato potencial con n = 1, a la que se puede
aplicar
C1n
xdxx
1nn
; la otra funcin se le puede aplicar: Cxdx y a la otra
es una integral mediata en forma de funcin racional, que al rescribir
recordando nn
xx
1 se vuelve potencial con n = -1 , en ese caso la variable t
ser la base y se podr aplicar : Cxlndxx 1
Hacemos: dxdt
2xt
y sustituyendo
dttdx2x 11
Entonces:
dx2x3dxxdx1
= dtt3dxxdx 1 =
Ctln3x11
x 11
C2xln3x2
x2
2. dx2x
5x
El grado del numerador es 1 y el del denominador es 1
Por lo tanto, hay que dividir:
312x
2x5x
d(x) = x + 2 c(x) = 1 r(x) = 3
Entonces:
dx
2x
31dx
2x
5x
Aplicando propiedades de la integral:
dx
2x
3dx =
dx2x3dx
1
Las integrales pueden resolverse Cxdx y la otra es mediata en formato
de funcin potencial resoluble haciendo Cxlndxx 1
Lic. Olga Cardozo 24
Hacemos: dxdt
2xt
y sustituyendo
dttdx2x 11
Entonces:
dx2x3dx1
= dtt3dx 1 = Ctln3x
Haciendo t = x + 2 la solucin es C2xln3x
Para el caso 2, el denominador debe factorearse en al menos dos factores,
obtenindose as cuatro situaciones posibles: factores lineales sin repeticin,
factores lineales con repeticin, factores de forma cuadrtica sin repeticin y
factores de forma cuadrtica con repeticin.
Factores lineales sin repeticin
El denominador tiene dos o ms factores lineales sin repeticin.
A cada factor se le asigna una variable A, B, C para rescribir la funcin original
Luego se resuelve el sistema de ecuaciones lineales construidas a partir del
clculo hecho.
Ejemplo:
dx3x4x
2x2
Factoreando: 1x3x3x4x2 y reemplazando:
dx1x3x
2x
Lic. Olga Cardozo 25
B3A2
BA1
osmintrdeigualacinPor
B3ABAx2x
comnfactorHallando
B3ABxAx2x
:Asociando
B3BxAAx2x
:vaDistributi
1x3x
3xB1xA
1x3x
2x
MCMHallando
1x
B
3x
A
1x3x
2x
Resolviendo el sistema de ecuaciones
2
1B
B21
B212
2
1
2
11AB3B12
B3A2
B1ABA1
dx1x
2
1
3x2
1
dx1x
B
3x
Adx
1x3x
2x
1x
dx
2
1
3x
dx
2
1
dx1x2
1dx3x
2
1 11
cada integral es mediata de formato n = -1 que se resuelve por
Cxlndxx 1
Lic. Olga Cardozo 26
Hacemos: dxdt
3xt
y sustituyendo
dttdx3x 11
Hacemos: dxdt
1xt
2
2
y sustituyendo
2
1
2
1dttdx1x
Entonces:
2
1
2
1dtt
2
1dtt
2
1= Ctln
2
1tln
2
12
Reemplazando las sustituciones hechas, la solucin es
C1xln2
13xln
2
1
Factores lineales con repeticin
El denominador tiene dos o ms factores lineales con repeticin.
A cada factor se le asigna una variable A, B, C para reescribir la funcin original
Luego se resuelve el sistema de ecuaciones lineales construidas a partir del
clculo hecho.
Ejemplo:
dx1x2x
2x2
Factoreando: 22 1x1x2x y reemplazando:
dx1x
2x2
Lic. Olga Cardozo 27
BA2
A1
osmintrdeigualacinPor
BAAx2x
:Asociando
BAAx2x
:vaDistributi
1x
B1xA
1x
2x
MCMHallando
1x
B
1x
A
1x
2x
22
22
Reemplazando el valor de A
1B
12B
B12
dx
1x
1
1x
1dx
1x
B
1x
Adx
1x
2x222
1x
dx
2
1
3x
dx
2
1
dx1xdx1x21
cada integral es mediata de formato potencial con n = -1 y n = -2,
respectivamente, que se resuelve por Cxlndxx 1 y por C
1n
xdxx
1nn
Hacemos: dxdt
1xt
y sustituyendo
dttdx1x 11
en el primer trmino
y
dttdx1x 2
2 en el segundo trmino
Entonces:
dttdtt21
= C12
ttln
12
= C1
ttln
1
Reemplazando las sustituciones hechas, la solucin es
C1x
11xln
Lic. Olga Cardozo 28
Observacin: Para expresiones algebraicas con potencia cuadrada, sin y con
repeticin se sigue un proceso similar para obtener los parmetros A, B, C, D
que se necesiten con el formato: A + Bx, o C + Dx
Ejercicios de intensificacin
dxxx
1.10
dxxx
1xx3.9
dxx2xx
2x4.8
dx4x
2x5.7
dx6xx
x.6
dx1x
1x3x.5
dx2x
1x3x.4
dx1x
x.3
dx1x
4x5x.2
dx1x
x.1
2
23
2
23
2
2
2
2
23
23
2
2
2
C1xlnxln.10
C1xln3x
1.9
C1xln22xlnxln.8
C2xln22xln3.7
C2xln5
43xln
5
9x.6
C1xln2
31xln
2
1x3
2
x.5
C2xlnx3
x.4
C1xlnx2
x.3
C1xln.10x62
x.2
C1xlnx2
x.1
2
3
2
2
2
BIBLIOGRAFA
Budnick, F. (1990) Matemtica aplicada a la Administracin, Economa y Ciencias
Sociales, Mxico: Ed. Mc. Graw.
Rotela, A (2003) Manual de ejercicios y Problemas. Asuncin: Ed. Litocolor.
Ayra ,J. ( 1992) Matemtica aplicada a la Administracin y Economa. Mxico: Ed. Mc.
Graw-Hill.