MATEMÁTICAS 4 AM. Albertí, A. Aragoneses, A. Bancells, A. Bosch, F. García, A. Hernández, B. Luque, R. A. Rovira, L. Sabater, J. A. Ysern

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Mates 4A cubierta ESP CS4.indd 1 13/03/12 16:48

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7 Funciones y gráficasU

nid

adFunciones y gráficas

Una gráfica vale más que mil imágenes

Una función demuestra la relación de dependencia entre dos variables cuantificadas. Puede manifestar-se con una expresión verbal, con una tabla de valores, con una gráfica o con una fórmula.

A la hora de describir un fenómeno, se dice que una imagen vale más que mil palabras. Se puede describir verbalmente una casa o un paisaje, pero más allá del ejercicio literario la idea que podemos hacernos a par-tir de una fotografía es, en general, más clara.

Algo semejante sucede con las funciones. A cada va-lor numérico asignado a la variable independiente le corresponde un valor numérico de la variable depen-diente. De este valor se dice que es la imagen del ante-rior. En la función y = x2, la imagen de x = 2 es y = 4; la de x = 11 es y = 121; la de x = −3 es y = 9. Los pares de valores (2, 4), (11, 121) y (−3, 9) se pueden representar en un sistema de coordenadas. Calculan-do muchos más verías que los puntos crean una línea que encapsula y hace visible la función. En el caso de y = x2, la gráfica es una parábola formada por infinitos puntos.

La gráfica es la foto de la función; y la fórmula, la má-quina que la retrata. Si una imagen vale más que mil palabras, una gráfica vale más que mil imágenes.

Pero no siempre los puntos de la gráfica forman una lí-nea continua, como en el caso de la gráfica parabólica de la función y = x2. La función de los cuadrados de los números naturales también tiene forma parabólica, pero es discontinua porque se compone de una serie de puntos aislados. Las gráficas sin cortes ni interrup-ciones se pueden trazar de una sola vez sin separar la punta del lápiz del papel. Una función se llama conti-nua cuando lo es su gráfica.

En el ámbito cotidiano hallamos funciones disconti-nuas, como la que determina el importe que hay que

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100

10

20

30

40

50

60

2 3 4 5 6 100

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20

30

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

1 000

2 000

3 000

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127

Funciones y gráficasFunciones y gráficas

Analiza y resuelve

1. Explica de qué maneras se puede expresar una función. Pon algunos ejemplos de funciones cuyas gráficas sean lí-neas discontinuas.

2. Explica qué transfor-maciones harías en la siguiente gráfica para dar apoyo a la tesis de que cierta empresa ha mejorado mucho estos últimos años. ¿Y para apoyar la idea de que no ha sido así?

3. Estas son las tarifas de un aparcamiento público: Desde el minuto 0 al 30 0,0376 €/min Desde el minuto 31 al 90 0,0339 €/min Desde el minuto 91 al 660 0,0452 €/min Desde el minuto 661 hasta

un máximo de 24 h 28,90 €/mina) Indica cuál es el importe correspondiente a 15 min. ¿Y a tres cuartos de hora?b) Escribe todos los importes en euros por hora.c) Dibuja la gráfica del importe que se debe pagar en euros por hora. Indica si es continua.

4. El índice de masa corporal (IMC) de una persona se calcula dividiendo su masa (kg) entre el cuadrado de su estatura (m).

a) Calcula el IMC de una persona de 65 kg y 1,7 m.b) Expresa el IMC de una persona de 1,7 m de es-tatura en función de la masa.c) Expresa el IMC de una persona de 50 kg en fun-ción de la estatura.d) Representa las dos gráficas y responde: ¿Son continuas? ¿Son crecientes o decrecientes? Es decir: ¿el aumento de estatura o masa va acompañado de un aumento del IMC?

pagar en función del tiempo que un coche permane-ce en un aparcamiento. Hasta hace poco, los aparca-mientos cobraban por horas.

Los cambios de precio en cada hora hacían discontinua la gráfica del importe que había que pagar. En lugar de una línea, la gráfica era escalonada. Cada escalón correspondía a un cambio de precio. Ahora los pre-cios se determinan en función de los minutos, lo cual aproxima la función a la idea de continuidad.

Las funciones periódicas también son muy corrientes. Muchos fenómenos naturales responden a esta carac-terística. El nivel del agua del mar en las mareas, la posición de un péndulo cuando oscila, etc. se dan con la misma regularidad periódica.

El poder comunicativo de las gráficas las ha hecho ha-bituales en los medios de comunicación (televisión, prensa, Internet…). Normalmente sirven para hacer más clara la información, pero a veces puede hacerse un uso tendencioso. Entonces, las unidades de los ejes de coordenadas se toman de manera que las caracte-rísticas de la gráfica queden sesgadas y se destaque la información deseada. Las dos siguientes gráficas corresponden a la misma función, pero en una las va-riaciones no parecen tan grandes como en la otra:

Índice1. Las funciones

2. Puntos de corte y continuidad

3. Crecimiento y decrecimiento de una función

4. Simetría y periodicidad

5. La tasa de variación media

Competencias básicasMatemática. Observar, analizar e interpretar fenómenos

funcionales.

Comunicativa lingüística. Leer y expresar en lenguaje

simbólico expresiones del lenguaje habitual.

Tratamiento de la información y competencia di-

gital. Utilización de herramientas de cálculo y programas

informáticos.

año

bene

ficio

s (€

)

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b

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x f xx2

2= +( )

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2 3

4 4

6 5

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−2

−4

−4

−6 6

6

8

8

4

4

128

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas

1.1 Concepto de función. Dominio y recorrido

Cuando entre dos variables a cada valor de la variable independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y, tenemos una función.

Se escribe y = f(x) y se dice que y es la imagen de x. También se dice que x es una anti-imagen de y, y se escribe x = f−1(y).Se llama dominio de f, y se escribe Dom(f) o D(f), al conjunto de los valores de la variable independiente para los cuales se puede hallar una imagen.

Los valores correspondientes de la variable dependiente forman el recorrido de f, y se escribe Rec(f) o R(f).Una fórmula es la expresión algebraica de una función, que permite calcular y a partir de x.

Una función se puede simbolizar a partir de su fórmula, su dominio y su recorrido.

Ejemplos

1. Observa la función que a cada valor de le hace corresponder su cuadrado:

f(2) = 22 = 4 f(−3) = (−3)2 = 9 f(0) = 0 f(1, 2) = 1,44 …

Así, Dom(f) = , porque a todos los números reales se les puede calcular el cuadrado, y Rec(f) = [0, +∞), porque los números negativos no son imagen de ningún número.

2. La fórmula de la función que a cada valor de le hace corresponder su cuadrado

es f(x) = x2 y, por tanto, f

x x

: 0,2

[ )→ + ∞

→

y, así, f(3) = 32 = 9, etc.

1.2 Gráfica de una función

La gráfica de una función f es la representación en un sistema de coordenadas de los puntos (x, f(x)), donde x es un valor del dominio de f.

Se deben considerar muchos aspectos a la hora de representar una función, pero, en cual-quier caso, los datos obtenidos en una tabla de valores ofrecen mucha información.

Ejemplo

3. Representa gráficamente la función f(x) = x2

2+ .

En primer lugar, es necesario hacer una tabla de valores. Observa que Dom(f) = y que, por tanto, debemos tomar valores positivos y negativos.

Se representa cada uno de los pares de puntos obtenidos (−4, 0), (−2, 1), etc., y se unen para obtener una recta. Dado que Dom(f) = , hay que alargar la recta por ambos extremos.

Las funciones

Recuerda

La relación entre variables se

puede representar de tres ma-

neras:

• Tabla de valores.

• Gráfica.

• Fórmula.

Atención

Hay funciones en que la variable

dependiente depende de más

de una variable independien-

te. El área de un rectángulo de-

pende de la base y la altura:

A = a · b = f(a, b)

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2 3 5100

2

−2−3 −1

−2

−4

−4

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4

4

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7 8 91 2 3 4 5 6

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−2 −1−1

1

2

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−2

−3

100

00

2 3 4−3

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

1 2 3 4−3

129

1.3 Imagen y antiimagen de una función a partir de la gráfica

Cuando se conoce la fórmula de una función y = f(x), para calcular la imagen de cualquier valor basta con sustituir la x. La imagen y la antiimagen también se pueden hallar fácil-mente a partir del análisis de la gráfica de la función.

Ejemplo

4. La gráfica de una función determinada es la del margen. Halla a partir de su análisis:

a) La imagen de x = 1. Localiza el punto 1 del eje de abscisas y traza una línea vertical (en rojo en el dibujo). Donde se interseque con la gráfica, traza una línea horizontal hasta hallar el eje de ordenadas. El punto donde lo corta es el 3 y, por tanto, f(1) = 3.

b) La antiimagen de y = 2. Localiza el punto 2 del eje de ordenadas y traza una línea horizontal (en azul en el dibujo). Esta línea se interseca con la gráfica en cuatro puntos. Desde cada uno de dichos puntos traza una línea vertical hasta hallar el eje de abscisas. Los cuatro puntos donde la corta son −2,4; −1,4; 1,4 y 2,4; por tanto:

f −1(2) = {−2,4; −1,4; 1,4; 2,4}

1.4 Dominio y recorrido de una función a partir de la gráfica

El dominio es el conjunto de todos los valores del eje de abscisas que, al trazar una recta vertical, cortan la gráfica.

El recorrido es el conjunto de todos los valores del eje de ordenadas que, al trazar una recta horizontal, cortan la gráfica.

Ejemplos

5. En esta función, el dominio es Dom(f) = [−2, 7] y el recorrido, Rec(f) = [−2, 5].6. Fíjate en las figuras 1 y 2 del margen e indica el dominio y el recorrido de la función.

Dominio. Se trata de una gráfica en dos trozos. Ob-serva en la figura 1 que en el punto x = 1 sí que corta la gráfica (círculo lleno), mien-tras que en el punto x = 2 la función se acerca mucho, pero no corta la recta vertical. Por tanto, podemos afirmar que Dom(f) = (−∞, 1] ∪ (2, +∞).Recorrido. Corta la gráfica en y = −2 y en y = 1: Rec(f) = [−2, 0) ∪ [1, +∞)

Aplica

1 ■ Tenemos la función f(x) = x+ .

a) Haz una tabla de valores y represéntala gráficamente.

b) Indica su dominio y su recorrido.

2 ■■ Analiza la gráfica del ejemplo 6 y halla, si existen, las imá-

genes de:

a) −1 b) 0 c) 1 d) 4

3 ■■ Analiza la gráfica del ejemplo 6 y halla, si existen, las an-

tiimágenes de:

a) −1 b) 0 c) 1 d) 2

Razona

4 ■■ Explica por qué esta gráfica no

corresponde a una función.

fig. 1

fig. 2

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2

(0, –1)

(0, 4)

f(x) = 2x + 3 g xx

x4

2 1

2

( ) =−−

f(x) = 3x − 1

f xxx

21

2( ) =−−

+

130

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas 2.1 Puntos de corte con el eje de ordenadas

Para hallar en qué punto una función corta el eje de ordenadas, se debe sustituir x por 0. Es el punto (0, f(0)).Si el 0 no pertenece al dominio de la función, no cortará el eje de ordenadas.

Ejemplo

7. Halla los puntos de corte con el eje de ordenadas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 3x − 1. Se debe calcular f(0) = 3 · 0 − 1 = −1. La función corta el eje vertical en el punto (0, −1).

b) f(x) = xx

21

2−−

+ . Se ha de calcular f(0) = 2 01 0

2 4−−

+ = . La función corta

el eje vertical en el punto (0, 4).

2.2 Puntos de corte con el eje de abscisas

Para hallar en qué punto o puntos una función corta el eje de abscisas, se debe resolver la ecuación f(x) = 0.

Así, si k es una solución, la función cortará el eje horizontal en el punto (k, 0).

Ejemplo

8. Halla los puntos de corte con el eje de abscisas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x + 3. Resolviendo f(x) = 0, es decir, 2x + 3 = 0, se obtiene x = −1,5. Esta función tan solo tiene un punto de corte con el eje horizontal: (−1,5; 0)

b) f(x) = x

x4

2 1

2 −−

. Resolviendo x

x

2 42 1

0−−

= se obtienen dos soluciones: x1 = 2 y

x2 = −2. Esta función tiene dos puntos de corte con el eje horizontal: (2, 0) y (−2, 0)c) f(x) = 2x. La ecuación 2x = 0 no tiene solución, ya que si multiplicamos varias veces el 2 por sí mismo nunca dará 0 ni negativo. Por tanto, esta función no corta el eje de abscisas.

2.3 Concepto de continuidad

Una función es continua en un punto x0 si está definida en él, es decir, si existe f(x0) y, al aproximarnos a x0 por ambos lados, las imágenes se acercan a f(x0).Intuitivamente, una función es continua en un intervalo si para dibujarla no es nece-sario levantar el lápiz del papel.

Ejemplo

9. La gráfica de la función f(x) = 2x + 3 es continua, mientras que la de la función

g(x) = x

x4

2 1

2 −−

es discontinua.

Puntos de corte y continuidad

Recuerda

El eje vertical, o Y, es el eje de

ordenadas.

El eje horizontal, o X, es el eje

de abscisas.

Recuerda

La definición matemática de

con tinuidad en un punto es

más compleja. Se dice que una

función es continua en un inter-

valo si es continua en cada uno

de los puntos de dicho intervalo.

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−2 −1

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2

3

−2

−3

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1

2

3

−2

−3

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2 3 4 5 6 7−3

131

2.4 Tipos de discontinuidades

Una función es discontinua si su gráfica presenta alguna de las siguientes interrupciones:

• Evitable. Cuando f(x) no está definida en x0 y, al aproximarnos a x0, las imágenes se aproximan a cierto valor k no infinito.

• De salto. Cuando, al aproximarnos a x0 por la derecha y por la izquierda, las imágenes se aproximan a valores diferentes, k1 y k2, no infinitos. El salto es |k1 − k2|.

• Asintótica. Cuando, al aproximarnos a x0 por uno de los lados o por ambos, las imáge-nes tienden hacia +∞ o −∞.

El estudio de la continuidad de una función a partir de su expresión algebraica, en ocasio-nes, no es fácil; en cambio, su estudio a través de la gráfi ca es muy sencillo.

Cómo aplicarlo. Analizar el dominio y la continuidad de una función.

Analiza el dominio, recorrido y continuidad de la siguiente gráfica.

Puedes observar que:

• Se debe prestar atención al final de cada tra-mo de la gráfica, para ver si es abierto o cerra-do. En cuanto al dominio, en (−1, −1) hay un círculo vacío que signifi ca que f(x) no está de-fi nida. El círculo lleno del punto (1, −2) indica que f(1) = −2. Finalmente, el círculo lleno del punto (2, 0) signifi ca que f(2) = 0. Por tanto, Dom(f) = − {−1}.

• En lo referente al recorrido, observa que el círculo vacío del punto (−1, −1) indica que, trazando una recta horizontal por el punto −1, no se cortará la gráfi ca. En cambio, el círculo lleno del punto (2, 0) hace que, si se traza una horizontal por el punto 0, sí se corte la gráfi ca. Finalmente, el círculo lleno del punto (1, −2) indica que, si se traza una recta horizontal por el punto −2, también cortará la gráfi ca; por tanto, Rec(f) = [−2, +∞).

• Existe una discontinuidad evitable en el punto x = −1. Tanto si nos acercamos por el lado izquierdo como por el derecho, las imágenes se aproximan a −1.

• Tiene una discontinuidad de salto en x = 1. El salto vale |1 − (−2)| = 3, ya que, cuando nos aproximamos por la izquierda, las imágenes se acercan a −2, y cuando nos aproximamos por la derecha, las imágenes se acercan a 1.

• Hay una discontinuidad asintótica en el punto x = 2. Al aproximarnos por el lado derecho, las imágenes tienden a +∞.

Consejos

Puedes aprovechar la gráfica para observar los puntos de corte en los ejes. Así, corta el eje vertical aproxi-madamente en el punto (0; 1,9); y al eje horizontal, en el punto (2, 0).Hallar los cortes en los ejes puede ser más fácil si tienes la fórmula de la función que si tienes la gráfica.

Mira los ejercicios:

6 y 7 pág. 131; 23 pág. 139; y 26 y 27 pág. 140.

Aplica

5 ■ Halla los puntos de corte con los ejes de las siguientes

funciones:

a) f(x) = 2x − 6 d) f(x) = x2 − 4

b) f(x) = xx

21

+−

e) f(x) = x1

c) f(x) = x2 + 2x − 3 f) f(x) = ex

6 ■■ Observa la gráfica e

indica:

a) Dominio.

b) Recorrido.

c) Continuidad.

7 ■■■ ¿Cuál sería el dominio y el recorrido de la gráfica del

ejercicio 6 si todos los círculos estuvieran vacíos?

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3

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0

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−6

6

−4

4

0,2 0,4 0,6 0,8 1,21

132

Fun

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cas 3.1 Concepto de crecimiento y decrecimiento

Una función es creciente en un intervalo dado si, tomando dos valores cualesquiera x1 y x2, se cumple que si x1 < x2, entonces f(x1) ≤ f(x2).f(x) es estrictamente creciente en un intervalo si x1 < x2 → f(x1) < f(x2) para cualesquiera x1 y x2 del intervalo.

Una función es decreciente en un intervalo dado si, tomando dos valores cualesquiera x1 y x2, se cumple que si x1< x2, entonces f(x1) ≥ f(x2). f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo si x1 < x2 → f(x1) > f(x2) para cuales-quiera x1 y x2 del intervalo.

El estudio del crecimiento de una función a partir de su expresión algebraica puede ser complejo y es más sencillo si se dispone de su expresión gráfica.

Las gráfi cas siempre se analizan de izquierda a derecha para evitar confusiones.

Ejemplos

10. Fíjate en los intervalos de crecimiento y decreci-miento de la función f(x) a partir de la gráfica:

Creciente en los intervalos (−∞, −2] y [1, 2].Decreciente en los intervalos [−2, −1] y [3, +∞). Constante en el intervalo [2, 3].Observa que los intervalos de crecimiento siempre son abiertos si la función no está definida en los ex-tremos o no es continua.

11. Observa los intervalos de crecimiento y decreci-miento de la siguiente función discontinua a partir de la gráfica:

Creciente en los intervalos (−∞, −2], (−2, 1) y (1, 3].Constante en el intervalo (3, +∞).Fíjate en que no se puede decir que f(x) sea crecien-te en el intervalo (−∞, 3), porque, por ejemplo, −3 < −1 y, en cambio, f(−3) > f(−1). Esto sucede porque f(x) no es continua en el intervalo (−∞, 3).

3.2 Los extremos: máximos y mínimos

Los extremos son el valor mayor (máximo) o el menor (mínimo) que toma una fun-ción, ya sea en torno a un punto (extremo local) o en todo el dominio (extremo absoluto).

• f(x) tiene un máximo absoluto en el punto x0 si f(x0) ≥ f(x) para cualquier otro valor de x. Es decir, si la imagen de x0 es mayor o igual que la de cualquier otro valor de x.

• f(x) tiene un mínimo absoluto en el punto x0 si f(x0) ≤ f(x) para cualquier otro valor de x. Es decir, si la imagen de x0 es menor o igual que la de cualquier otro valor de x.

Se habla de máximos y mínimos relativos o locales al referirse solo al entorno del punto x0, es decir, en relación con puntos cercanos a x0.

Crecimiento y decrecimiento de una función

Recuerda

Una función puede tener dife-

rentes intervalos de crecimien-

to y decrecimiento, y también

puede ser constante en algún in-

tervalo. Intuitivamente, «crecer»

o «decrecer» tiene que ver con

el hecho de si la gráfica, leída de

izquierda a derecha, «sube» o

«baja».

máximo local

mínimo local

mínimo absoluto

máximo absoluto

Atención

Observa que f(x) es creciente

en (−∞, −2] y decreciente en

[−2, –1], sin que haya contra-

dicción en que el −2 aparezca

en los dos intervalos; esto pasa

porque el concepto de creci-

miento en un solo punto no

existe.

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2 3 5 64−3−5−6

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2 3 5 64−3−5−6

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

100

2 3 4−3

133

3.3 Interpretación gráfica de máximos y mínimos

El estudio de los extremos de una función a partir de su expresión algebraica puede resultar complejo. En este curso, solo los estudiarás a partir del análisis de la gráfica.

Ejemplo

12. Halla los extremos de la función de la siguiente gráfica:

f(x) tiene un máximo absoluto en x = −2. Es el absoluto porque es el punto más alto.

f(x) tiene un mínimo relativo en x = 1.

f(x) tiene un máximo relativo en x = 3.

En este caso, se interpreta que la función está definida en todo y que tanto por la de-recha como por la izquierda decrece indefinidamente. Si se considerase que el dominio va de −4,5 a 4,5, habría que añadir que f(x) tiene un mínimo absoluto en el punto −4,5.

Cómo aplicarlo. Estudiar una función a partir de su gráfica.

Analiza la gráfica e indica el dominio, el recorrido, los intervalos de creci-miento y decrecimiento, los puntos de corte con los ejes, los extremos y las discontinuidades.

• Observa que en los puntos (−1, 0) y (1, 0) los círculos están vacíos, mientras que en el (0, −1) el círculo está lleno. Por tanto:

Dom(f) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞)Rec(f) = [−1, +∞) − {0}

• Es creciente en los intervalos (−∞, −3], [−2, 1) y (1, 3] y decreciente en los intervalos [−3, −1) y (2, +∞).

• Solo corta el eje vertical en el punto (0, −1).• Tiene un máximo relativo en x = −3 y un mínimo absoluto en x = 0.

• Presenta una discontinuidad evitable en el punto x = 1 y una discontinuidad asintótica en el punto x = 2.

Consejos

Comienza siempre estudiando el dominio y exprésalo de la manera más sencilla posible:

Dom(f) = (−∞, −1) ∪ [0, +∞) − − {1, 2}Se interpreta que, tanto por la iz-quierda como por la derecha, la función se aproxima mucho al eje horizontal, pero no lo toca nunca.

Mira los ejercicios:

8, 9 y 10 pág. 133; y 30, 31 y 32 pág. 140.

Aplica

8 ■ Estudia el crecimiento, el dominio y el

recorrido de esta función.

9 ■■ Copia y completa la siguiente tabla y representa la fun-

ción; indica su dominio, recorrido, crecimiento y extremos.

x −5 −3 −1 0 1 3 5

f(x) = x2 + 1

10 ■■■ Realiza un estudio completo de la función correspon-

diente a esta gráfica:

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4

PP’ y

P

O

P’−T 2TT

134

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas 4.1 Simetría

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas (simetría par) si para cada valor de x se cumple que f(x) = f(−x).Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas (simetría impar) si para cada valor de x se cumple que f(x) = −f(−x).

Ejemplo

13. La función f(x) = x2 tiene simetría par porque, para todo x, f(x) = f(−x), ya que x2 = (−x)2.

La función f(x) = x3 – 2x tiene simetría impar porque, para todo x, se tiene que f(x) = −f(−x), ya que x3 − 2x = −[(−x)3 − 2(−x)].

4.2 Periodicidad

Una función f(x) es periódica si hay un valor T tal que para cualquier valor de x se cumple que f(x + T) = f(x), es decir, si cada cierto «tiempo» (período), se van repitiendo los resultados.

El período es el mínimo valor de T que verifica este fenómeno.

Ejemplo

14. La función definida del conjunto de número naturales en el conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, que a cada número le hace corresponder su cifra de las uni-dades, es periódica y tiene período T = 10:

f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 … f(9) = 9 f(10) = 0 f(11) = 1 … f(5 024) = 4 ...

Es decir: f(0) = f(10) = f(20) = … = 0

f(1) = f(11) = f(21) = … = 1 ...

4.3 Estudio gráfico de la simetría y la periodicidad

Si f(x) tiene simetría par, por cada punto P de la gráfica se puede hacer pasar una recta horizontal r que corte la gráfica en otro punto P’ tal que YP = YP′, donde Y es el punto del eje vertical que corta con la recta r.

Si f(x) tiene simetría impar, por cada punto P de la gráfica se puede hacer pasar una recta r que pase también por el origen de coordenadas O. Dicha recta cortará la gráfica en otro punto P’ tal que OP = OP′.

Si f(x) tiene período T, su estudio gráfico se puede reducir al intervalo [0, T], ya que a partir de este solo hay que ir añadiendo copias.

Ejemplo

15. Fíjate en cada caso en la simetría y la periodicidad de las siguientes funciones:

Simetría y periodicidad

Recuerda

Si una función tiene simetría

par, solo es necesario estudiar-

la en el intervalo del 0 al +∞,

pues el otro lado será como la

imagen de un espejo.

simetría par simetría impar periodicidad

U07_Mates4AESO.indd 134 14/03/12 11:10

5

A

B

a

b

f(a)

f(b)

A

B

−2 −1

−1

1

2

3

−2

100

2

135

5.1 Cálculo de la tasa de variación media

A menudo, para interpretar correctamente una gráfica, es importante determinar la rapi-dez con que crece o decrece la función representada.

Así, dado un intervalo [a, b], la tasa de variación media (TVM) de la función f(x) en el intervalo [a, b], incluido en el dominio de la función, es el cociente entre el incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable independiente:

( )( ) ( )

=−−[ ] f

f b f ab aa bTVM ,

La tasa de variación media de la función f(x) en el intervalo [a, b] coincide con la pendien-te de la recta que une los puntos A = [a, f(a)] y B = [b, f(b)].

La tasa de variación media

Aplica

11 ■ Dada la función f(x) = x2 + x:

a) Haz una tabla de valores.

b) Represéntala gráficamente.

c) Indica si tiene alguna simetría.

12 ■ Calcula la tasa de variación media de la función f(x) = x2

en los intervalos:

a) [−1, 4]b) [0, 5] c) Ambos intervalos tienen la misma anchura, pero ¿en

cuál se observa más crecimiento de la función?

13 ■■■ Halla la tasa de variación media de f (x) = x2 + 1 en

los intervalos:

a) [−3, 0] b) [0, 3]

Razona

14 ■■■ En cuanto a la tasa de variación:

a) Fíjate en que si la función es creciente en un intervalo

[a, b], la tasa de variación media es positiva.

b) Dibuja un ejemplo de una función que tenga

f b f a

b a0

( ) ( )−−

> y, en cambio, no sea creciente en el in-

tervalo [a, b].

Cómo aplicarlo. Analizar gráficamente la tasa de variación media.

Analiza la función dada por esta gráfica y calcula la tasa de variación media en los intervalos [−2, 2], [−2, 1] y [1, 2].

• Intervalo [−2, 2]:Tenemos que a = −2 y b = 2 y que f(a) = −1 y f(b) = 2.

Por tanto, ( )( )( )

=− −− −

=[ ]− fTVM2 12 2

342, 2 .

• Intervalo [−2, 1]:En este caso, a = −2, b = 1, f(a) = −1 y f(b) = 0.

Por tanto, ( )( )( )

=− −− −

=[ ]− fTVM0 11 2

132,1 .

• Intervalo [1, 2]:En este caso, a = 1, b = 2, f(a) = 0 y f(b) = 2.

Por tanto, ( ) =−−

=[ ] fTVM2 02 1

21, 2 .

Consejos

Generalmente, la variable dependien-te se representa con x, pero, cuando nos referimos al tiempo, se suele re-presentar con t. Entonces la rapidez de crecimiento o decrecimiento es la velocidad, y la tasa de variación me-dia en el intervalo [a, b] coincide con la velocidad media en este intervalo.

Comprueba que la pendiente de la recta de la gráfica que pasa por los puntos A y B es 3/4.

La tasa de variación media en el in-tervalo [−2, 2] no es la suma ni la media de las tasas de variación me-dias en los intervalos [−2, 1] y [1, 2].

Mira los ejercicios:

11, 12 y 13 pág. 135; y 42 y 45 pág. 141.

U07_Mates4AESO.indd 135 14/03/12 11:10

136

Todo son matemáticas

EL NÚMERO DE ERDÖSY OTRAS REDES SOCIALES

Un matemático es una máquina que convierte café en teoremas

PAUL ERDÖS (1913-1996),autor de 1 475 artículos matemáticos

Entre los matemáticos existe la tradición de asignarse el llamado número de Erdös. Paul Erdös tiene número de Erdös cero. Todos los coautores de algún artículo suyo tienen número de Erdös 1: en total, fueron 504.

Todos los coautores con matemáticos de número de Erdös 1 que no publicaron di-rectamente con Paul Erdös tienen número de Erdös 2, y así sucesivamente.

Se puede defi nir la red de colaboraciones de Erdös asignando un nodo a cada autor y un enlace entre autores que hayan cola-borado juntos en un artículo.

El número de Erdös es un ejemplo de «dis-tancia» en una red, en este caso de colabo-raciones científicas.El número de Erdös no se restringe a los matemáticos:

George Uhlenbeck físico atómico 2John A. Wheeler físico nuclear 3John Maynard Smith biólogo 4Jule G. Charney meteorólogo 4Oskar Morgenstern economista 4Walter Álvarez geólogo 7

U07_Mates4AESO.indd 136 14/03/12 11:10

137

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas

Analiza e investiga

1. Repartíos en clase la lista de científicos

célebres que aparece en la página ante-

rior y estableced para cada uno los nodos

intermedios que los conectarían con Er-

dös. Después, dibujad la red de Erdös

donde aparezcan todos ellos.

2. Entra en la página web The Oracle of

Bacon (www.cs.virginia.edu/oracle) y ex-

plora las conexiones entre tus actores y

actrices favoritos. Construye una pequeña

red y preséntala en clase.

3. La distancia media para Bacon con res-

pecto a cualquier actor es solo 2,9. ¿Crees

que esto significa que Kevin Bacon es el

centro del universo cinematográfico?

4. Documéntate y explica en qué consis-

tió el experimento Milgram, pionero en

la investigación de las redes sociales en la

década de 1960, a partir del cual se acuñó

la expresión «seis grados de separación».

EL NÚMERO DE ERDÖSY OTRAS REDES SOCIALES

EL JUEGO DE BACONPiensa el nombre de un actor o una actriz de cine.

El juego consiste en establecer la cadena más corta para el personaje cinematográ-fico propuesto. Se ha calculado que el nú-mero de actores que se encuentran a un paso es 1 469; a dos pasos, 105 800, etc. Y la media de Bacon es de solo 2,9.

Si este sujeto ha compartido reparto con Kevin Bacon en alguna película, su nú-mero de Bacon es 1.

Si nunca ha participado con Bacon en una misma película, pero lo ha hecho con alguien que sí, se le asigna número de Bacon 2.

Y así sucesivamente.

De Santiago Segura a Kevin Bacon en solo tres pasos.

Un matemático es una máquina que convierte café en teoremas

U07_Mates4AESO.indd 137 14/03/12 11:10

−2−3−5 −4 −1

−1

1

2

3

−2

100

2 3 4 5

138

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas

Esto es básico

creciente

máximo

discontinuidad asintótica

decreciente

punto de corte (0, 1)

decreciente

¿Cómo se hace?

Procedimiento Paso a paso

Determinar los puntos

de corte con los ejes

Eje de ordenadas. Dada la función f(x), sustituye x por 0. Es el punto (0, f(0)).En el caso de que 0 no pertenezca al dominio de la función, no corta el eje de ordenadas.

Eje de abscisas. Resuelve la ecuación f(x) = 0. Si k es una solución, la función cortará el eje hori-

zontal en el punto (k, 0). Puede tener más de una solución o ninguna solución.

Determinar la tasa de

variación media de una

función en un intervalo [a, b]

1. Calcula f(b) − f(a).

2. Divide el resultado entre b − a: TVM a b ff b f a

b a,[ ] ( ) =( )− ( )

−

creciente

Dom f(x) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) y Rec(f) =[−1, +∞) − {0}

Función. Relación de dependencia entre dos variables

y = f(x). Para su estudio completo, se debe conocer:

Dominio. Conjunto de los valores de la

variable independiente para los cuales

existe f(x). Recorrido. Conjunto de las

imágenes de los valores del dominio.

Fórmula. Indica cómo

hallar y a partir de x.

Gráfica. Representación de los pares

(x, f(x)) en un sistema de coordenadas.

Características de las funcionesImágenes y antiimágenes

Puntos de corte

con los ejes

Ordenadas:

(0, f(0)) Abscisas:

(k, 0)

Continuidad y

discontinuidad

(evitable, de salto

o asintótica)

Creciente si

f(x1) ≤ f(x2).Decreciente si

f(x1) ≥ f(x2).

Periodicidad

Una función es

periódica con

período T si

para todo valor

de x se cumple

f(x) = f(x + T).

Simetría

Par si

f(x) = f(−x).Impar si

f(x) = −f(−x).

Extremos

Máximo en torno

a un punto k

si f(k) > f(x).Mínimo en torno

a un punto k

si f(k) < f(x).

Tasa de variación

media

( )

( ) ( )

=

=−−

[ ] f

f b f a

b a

a bTVM ,

A partir de la fórmula y la gráfica se determinan:

U07_Mates4AESO.indd 138 14/03/12 11:10

−2 −1

−1

1

2

3

4

100

2 3 4−3

−2 −1−1

−2

1

2

3

4

100

2 3 4 5 6−3 −2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4 5−3

−2 −1

−2

−1

1

2

3

100

2 3 4−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5 6−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−4 −3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

100

2 3 4 5−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3 −2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3

a) b)

a)

i)

b)

ii)

c)

iii)

d)

iv)

139

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas

Actividades

Las funciones

15 ■■ Halla la expresión algebraica de las siguientes funciones:

a) A cada valor se le asigna el cociente entre su cuadrado

y el cuadrado que resulta de sumarle 2.

b) El área de un triángulo de base b y altura a.

c) El volumen de un cilindro con radio de la base r y

altura 4 m.

d) La superficie de una esfera de radio r.

e) A cada valor se le asigna la diferencia entre su cuadra-

do y su doble.

f) A dos números, x e y, se les asigna la resta entre sus

cuadrados.

g) A dos números se les asigna el cociente entre la suma

de sus cuadrados y su suma.

16 ■ Indica el dominio y el recorrido de estas funciones:

17 ■ De cada una de las funciones del ejercicio anterior:

a) Halla las imágenes (si las hay) de los valores −4, −2,

0, 2 y 4.

b) Halla las antiimágenes (si las tienen) de los valores −4,

−2, 0, 2 y 4.

18 ■■ Haz una tabla de valores para cada función y

represéntalas:

a) f(x) = x12 d) f(x) = 2x + 1

b) f(x) = −x2 + 4x − 4 e) f(x) = 2x2 + 5x + 3

c) f(x) = x

x 1+ f) f(x) =

xx 1−−

19 ■■ Indica en qué puntos no se puede calcular f(x) en las

siguientes funciones:

a) f(x) = x

x1+ c) f(x) = x2 4+

b) f(x) = 5x + 2 d) f xx

( ) =1

20 ■ Solo una de las siguientes gráficas corresponde a una

función:

a) Indica cuál es y por qué las demás no lo son.

b) Indica el dominio y el recorrido de la que es una función.

c) Halla las antiimágenes de −2, 0 y 2 de la que es una

función.

21 ■■ Indica el dominio de estas funciones:

a) f(x) = x

x2+

d) f(x) = x2 + 2x − 1

b) f(x) = x

x2

3− e) f(x) =

xx

292 −

c) f(x) = x2 4− f) f(x) = x1

22 ■ Halla las imágenes de −2, −1, 0, 1 y 2 para cada una de

las siguientes funciones:

a) f(x) = −2x + 3 c) f(x) = x2 − 2

b) f(x) = x1

2 1− d) f(x) =

xx x

16 92

−+ +

Puntos de corte y continuidad

23 ■ Indica los puntos de corte en los ejes de cada una de estas

funciones:

U07_Mates4AESO.indd 139 14/03/12 11:10

−2 −1

−1

−2

−3

−1

−2

1

2

100

2 3−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3−3

−2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3

−2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4−3

iv)

iii)

ii)

i)

−1

−2

−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3

3−3−4

−1

−2

−3

−4

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3−4

−1

−2

−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3

3−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3

iv)

iii)

ii)

i)

−2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3−2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4−3

b)a)

140

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas 24 ■■ Halla los puntos de corte con los ejes de cada una

de las funciones:

a) f(x) = −2x + 4 d) f(x) = 2x − 1

b) f(x) = x2 + 1 e) f(x) = xx

22

+−

c) f(x) = x12 f) f(x) =

xx 12 −

25 ■■ Las siguientes funciones tienen como mínimo un punto

donde no son continuas. Halla estos puntos y di de qué tipo de

discontinuidad se trata:

a) f(x) = x x

x5 2

3

2 − c) f(x) =

x2

4−

b) f(x) = x x

x x

3 1si 1

si 12

+ <

≥

d) f(x) = x

x 12 −

26 ■ Analiza estas gráficas e indica para cada una de ellas:

a) Los puntos de discontinuidad y de qué tipo son.

b) El dominio y el recorrido.

c) Los puntos de corte con los ejes.

d) Las imágenes (si las hay) de los puntos 0, 1 y 2.

e) Las antiimágenes (si las hay) de los puntos 2, 0 y −2.

27 ■■ Dibuja la gráfica de una función que tenga Dom(f) == [−2, 1) ∪ [2, 4), Rec(f) = [−2, 1] y que corte a los ejes en los puntos

A(− 1, 0), B(0; 0,8) y C(3, 0).

28 ■■ Representa gráficamente una función que tenga Dom(f) =

= [−2, 4) y Rec(f) = [−2, 1) y que presente una discontinuidad de

salto en el punto 1.

29 ■■ Dibuja la gráfica de una función que tenga Dom(f) =

= [−2, 4) y que presente una discontinuidad asintótica en el

punto 1.

Crecimiento y decrecimiento de una función

30 ■ Estudia el crecimiento y los extremos de estas funciones:

31 ■ Fíjate en las siguientes funciones e indica para cada una:

a) Los intervalos de crecimiento o decrecimiento.

b) El dominio.

c) Los extremos (máximos y mínimos).

32 ■■ Fíjate en las siguientes funciones:

A) f(x) = x2

1− + C) h(x) = x − 1

B) g(x) = 2x − x2 D) j(x) = 2x

a) Haz una tabla de valores para cada una.

b) Represéntalas gráficamente.

c) Analiza las gráficas e indica los intervalos de creci-

miento y decrecimiento.

d) Halla los extremos de cada función, en cada uno de

los siguientes casos:

i) Si nos limitamos al intervalo (−1, 1).ii) Si nos limitamos al intervalo [−1, 1].iii) Si lo consideramos en todo su dominio.

33 ■■■ Haz la gráfica de una función que tenga Dom(f) =

= [−3, 2], Rec(f) = (−2, 3], que corte a los ejes en los puntos (−2, 0) y (0, 2) y que sea decreciente en los intervalos (−3, −1) y (−1, 2).

U07_Mates4AESO.indd 140 14/03/12 11:10

−1

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3−3

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3−3 −2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3

b)a)

141

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas

Actividades

34 ■■■ Representa una función que tenga Dom(f) = [−1,  3], Rec(f) = (−1, +∞), que corte a los ejes en (0, 0) y (2, 0) y que sea

creciente en el intervalo (−1, 1) y decreciente en el intervalo (1, 3).

Simetría y periodicidad

35 ■ Observa las siguientes funciones e indica si hay alguna que

presente simetría. ¿De qué tipo de simetría se trata?

36 ■ Indica qué tipo de si-

metría presenta la siguiente

función y cuál es su período T.

37 ■■ Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x2 − 3 d) f(x) = x

x2

13 −

b) f(x) = (x − 1)2 e) f(x) = x

11

−

c) f(x) = x1

2 f) f(x) =

xx

11

−+

38 ■■ Dibuja una función que en el intervalo (−4, −2) sea de-

creciente y que en el intervalo (−2, 0) sea creciente y que:

a) Tenga simetría impar.

b) Tenga simetría par.

39 ■■ Fíjate en la siguiente gráfica e indica:

a) El dominio y el recorrido.

b) Los puntos de corte con los ejes.

c) Los extremos.

d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

e) ¿Tiene alguna periodicidad? ¿Cuál?

f) ¿Tiene simetría? ¿Cuál?

40 ■■ Representa gráficamente una función que sea periódi-

ca con período T = 2, cuyo dominio sea (−4, 4] y cuyo recorrido

sea (0, 3].

41 ■■ Completa en tu cuaderno cada una de las siguientes grá-

ficas, en el fragmento [0, 4], de manera que sean:

a) Periódicas.

b) Simétricas respecto al eje vertical.

c) Simétricas respecto al origen de coordenadas.

i) ii)

La tasa de variación media

42 ■ Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones

en el intervalo [−1, 2]:a) f(x) = x2 − x d) f(x) = 5x + 2

b) f(x) = x

22 +

e) f(x) = x

x 12 +

c) f(x) = 5x f) f(x) = 2x − 1

43 ■■ Compara las TVM de las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x

en los intervalos [0, 1], [0, 2] y [4, 5]. Di en cada caso cuál crece más.

44 ■■ Responde:

a) ¿Es suficiente conocer el signo de la TVM en un inter-

valo para conocer su crecimiento? ¿Por qué?

b) Dibuja una función que tenga TVM > 0 y, en cambio,

no sea creciente en un intervalo [a, b].c) Dibuja una función que tenga TVM < 0 y, en cambio,

no sea decreciente en un intervalo [a, b].

45 ■■ Observa la siguiente gráfica:

a) Halla la TVM de la fun-

ción en estos intervalos:

i) [−3, −2] ii) [0, 1] iii) [−3, −1] iv) [1, 3]v) [−1, 1] vi) [−3, 3]b) Indica cuáles son los intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

c) ¿Qué se puede decir del crecimiento de esta función

según los resultados obtenidos en el cálculo de la TVM?

U07_Mates4AESO.indd 141 14/03/12 11:10

1

1

−1

−1−2−3 00

2

2

3

3

1

1

−1

−2

−1−2−3 00

2

2

3

3

1110987654321 12

3

2

1

0

142

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas

Autoevaluación

Reto

¿Sé analizar una gráfica?

1. Dada la siguiente función:

a) Di su dominio y su

recorrido.

b) Indica los interva-

los de crecimiento y de

decrecimiento.

c) Indica los extremos.

d) Si tienen, halla la ima-

gen de los valores −3, −2, 0, 1 y 3.

e) Si tienen, halla la antiimagen de los valores −1, 0 y 1.

f) Halla y compara la tasa de variación media en los inter-

valos [−1, 0] y [0, 1].

¿Sé hallar la función asociada a un problema?

2. El precio de la entrada a un festival de cine es de 25 € y da

derecho a ver una película gratis; las demás cuestan 4 € cada

una.

a) ¿Cuánto pagará una persona que haya visto 4 películas

este fin de semana?

b) Escribe la fórmula que permite calcular el precio en fun-

ción del número de películas vistas.

3. Un conductor ha circulado a una velocidad constante de

80 km/h durante 3 h. Después ha parado para descansar du-

rante 1 h. Seguidamente, ha continuado el viaje con una velo-

cidad constante de 100 km/h durante 2 h.

a) Escribe las fórmulas de la velocidad en función del tiem-

po para cada intervalo.

b) Escribe las fórmulas del espacio en función del tiempo

para cada intervalo.

¿Sé hallar los puntos de corte con los ejes?

4. Halla los puntos de corte con los ejes de estas funciones:

a) f(x) = xx

12

+−

b) f(x) = xx

41

2 −+

¿Sé distinguir los tipos de discontinuidades?

5. Analiza la siguiente gráfica e

indica:

a) El dominio y

el recorrido.

b) La continuidad.

c) La simetría.

d) El crecimiento.

46 ■■■ Halla una función que sea creciente entre −∞ y 0

y decreciente entre 0 e ∞, pero que no tenga un máximo en

x = 0. Represéntala gráficamente y haz su estudio completo.

47 ■■■ Si nos preguntan la edad, no solemos responder el

valor exacto, sino su parte entera. Considera el caso de Ama-

deo, que nació el 1 de enero.

Resuelve los siguientes apartados con la ayuda de un programa

de hojas de cálculo.

a) Representa en una gráfica el error absoluto cometido

(en años), en función de los días que han pasado desde

fin de año, si Amadeo responde diciendo solo la parte

entera de su edad. En el eje de abscisas, pues, se repre-

sentarán los días del año numerados del 1 al 365; en el

eje de ordenadas, el error cometido expresado en años.

b) Calcula cuánto vale el error relativo si Amadeo tiene

50 años y le preguntan su edad el día de san Juan.

c) Representa en una gráfica el error relativo en función

de la edad suponiendo que se le pregunta el Día del

Libro. Haz que en el eje de abscisas la edad vaya de 5 a

50 años.

48 ■■■ Los bailes de bastones o paloteos son unas danzas típicas

de regiones como Castilla, Aragón o Cataluña. Los bailarines lle-

van un bastón de madera en cada mano. Además de moverse al

ritmo de la música, golpean sus bastones, el uno con el otro, con-

tra el suelo o contra los de otro danzante. En determinada modali-

dad, los danzantes son 8, y esta es una de las posibles colocaciones:A C E GB D F H

Cada letra representa un danzante. Imagina un baile en el que D

siempre hace lo mismo que A, y C, lo mismo que B. El segundo

cuadrado baila igual que el primero. Todos miran hacia el centro

de sus respectivos cuadrados. La gráfica indica las acciones de A

(azul) y B (rojo) durante los tres primeros compases. El código del

eje de ordenadas es: 0, sin golpe; 1, golpe al suelo; 2, golpe con

el bastón de la izquierda contra el bastón más cercano del com-

pañero que está a la izquierda, ídem a la derecha; 3, golpe con los

dos bastones en los bastones del compañero en diagonal. El eje de

abscisas indica las notas de la melodía, suponiendo que todas son

negras. Como el ritmo es 4 por 4, hay 4 negras en cada compás.

Calcula cuántos golpes dio el grupo de baile, en total, durante

el segundo compás.

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Competencias que suman

Fun

cio

nes

y g

ráfi

cas

El precio de las fotocopias

En la copistería del barrio han colgado este cartel:

Fotocopia en

blanco y negro

Fotocopia

en color

De 1 a 20 0,05 € 0,25 €

De 20 a 50 0,04 € 0,20 €

De 50 a 100 0,03 € 0,17 €

Más de 100 0,02 € 0,15 €

1. Indica cuál de las siguientes gráficas representa el valor de una fotocopia, en céntimos de euro, según el número de fotocopias en

blanco y negro que se hagan.

2. Copia y completa la gráfica correspondiente a las fotocopias

en color.

3. Si te fijas únicamente en el segundo tramo de las fotocopias en blanco y negro, donde las fotocopias valen a 4 céntimos de euro:

a) ¿Cuál es la ecuación que relaciona el número de fotocopias que se hacen y el valor de todas las fotocopias hechas? Puedes

ayudarte de una tabla.

b) Dibuja en tu cuaderno una gráfica del intervalo correspondiente.

4. Un amigo solo lleva un euro para hacer 20 fotocopias en blanco y negro. ¿Puede hacer más fotocopias? ¿Cuántas más? Explica por qué.

5. Observa que las fotocopias en blanco y negro pasan de 5 céntimos a 3 céntimos cuando son más de 100, mientras que las fotocopias

en color pasan de 25 a 15 céntimos. Razona qué oferta te parece mejor.

6. Haz una aproximación a la puntuación que crees que obtendrás en esta prueba. Debes intentar que sea tan ajustada y sincera como

te sea posible, aunque pienses que no te ha salido muy bien.

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