Matematicas Discretas: Logica

Matematicas DiscretasI Lógica

Maribel Gómez Franco 1

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1.1. ENUNCIADOS O PROPOSICIONES .........................................................................................2 1.1.1. INTRODUCCIÓN AL ORIGEN Y UTILIDAD DE LAS MATEMÁTICAS DISCRETAS...................... 2 1.1.2. DEFINICIÓN DE LÓGICA........................................................................................................ 2 1.1.3. DIFERENCIA ENTRE UN ENUNCIADO Y PROPOSICIÓN .......................................................... 2 1.2. CONECTIVOS LÓGICOS........................................................................................................... 4 1.2.1. NEGACIÓN O CONTRADICTORIA ............................................................................................ 5 1.2.2. CONJUNCIÓN ........................................................................................................................ 5 1.2.3. DISYUNCIÓN O ALTERNACIÓN .............................................................................................. 6 1.3. TABLAS DE VERDAD ...............................................................................................................7 1.4. CONDICIONALES .................................................................................................................... 8 1.4.1. CONDICIONAL ....................................................................................................................... 8 1.4.2. BICONDICIONAL O EQUIVALENCIA ....................................................................................... 9 1.4.3. RECÍPROCA.......................................................................................................................... 11 1.4.4. CONTRAPUESTA (CONTRAPOSITIVA, CONTRAPOSICIÓN O TRANSPOSICIÓN)...................... 11 1.4.5. TAUTOLOGÍAS ..................................................................................................................... 11 1.4.6. CONTRADICCIÓN ................................................................................................................. 11 1.4.7. CONTINGENCIA ................................................................................................................... 12 1.5. APLICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES ................................................................................12 1.5.1. ANÁLISIS DE PROBLEMAS CON PROPOSICIONES ................................................................ 12 1.5.2. INTERPRETACIÓN DE PROGRAMAS RECURSIVOS................................................................ 13 1.5.3. EJERCICIOS . ........................................................................................................................ 14 1.6. PROCESOS DE DEMOSTRACIÓN..........................................................................................15 1.6.1. INFERENCIAS ...................................................................................................................... 17 1.6.2. REGLA DE MODUS PONENDO PONENS ................................................................................ 20 1.6.3. REGLA DE LA DOBLE NEGACIÓN ........................................................................................ 21 1.6.4. REGLA DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS........................................................................... 22 1.6.5. LEYES DE ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN.......................................................................... 23 1.6.6. REGLA DE SILOGISMO DISYUNTIVO.................................................................................... 23 1.6.7. LEY DE ADICIÓN .................................................................................................................. 24 1.6.8. REGLA DE SILOGISMO HIPOTÉTICO.................................................................................... 25 1.7. INDUCCIÓN MATEMÁTICA....................................................................................................25 1.8. REFERENCIAS.......................................................................................................................30



1.1. Enunciados o Proposiciones

1.1.1. Introducción al origen y utilidad de las Matemáticas Discretas

Las Matemáticas Discretas son matemáticas finitas, las cuales estudian problemas matemáticos concernientes a conjuntos finitos. El adjetivo discreto significa “separado, dividido, discontinuo”. Es el estudio de los métodos y principios que se utilizan para distinguir el razonamiento bueno (correcto) del malo (incorrecto). La influencia de las Matemáticas Discretas a mediados del siglo veinte se puede atribuir en gran medida a dos máquinas, el teléfono y la computadora. La industria telefónica se enfrentó con problemas que involucran, conmutación, circuitos relevadores, redes y codificación. Debido a que estos problemas a menudo se convierten en problemas de matemáticas discretas, la investigación en matemáticas discretas ha sido motivada por problemas que involucran el teléfono y ha sido publicada por Laboratorios Bell. Así como el teléfono, la computadora ha proporcionado una gran fuente de problemas en matemáticas discretas. Su habilidad para realizar cálculos con velocidad ha hecho prácticas algunas técnicas de matemáticas discretas las cuales hubieran permanecido esotéricas o sin uso. [4]

1.1.2. Definición de Lógica

La lógica es una disciplina que estudia la estructura, el fundamento y el uso de las expresiones del conocimiento humano. Serie coherente de ideas. La lógica estudia métodos de razonamiento, específicamente, métodos que separan los razonamientos válidos de los no válidos. Para demostrar los teoremas en matemáticas es necesario razonar correctamente en la prueba de ellos [2]. Una de las principales tareas de la lógica es la de proporcionar las reglas por medio de las cuales podemos determinar cuando un razonamiento o argumento es válido. [1] La lógica tiene importantes aplicaciones prácticas. Sus reglas se utilizan, por ejemplo, en la escritura de programas de computadoras y en el diseño de circuitos digitales. La lógica también juega un gran papel en la construcción de pruebas matemáticas. [4]

1.1.3. Diferencia entre un enunciado y proposición

Un enunciado u oración es una proposición que se demuestra durante el curso de otra demostración. Un enunciado es una afirmación verbal o escrita que puede ser verdadera o falsa. Estas afirmaciones se realizan por medio de enunciados declarativos. Una proposición o declaración es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Una proposición es una expresión declarativa que no pueden dividirse o analizarse por medio de expresiones declarativas más sencillas y, además, solo puede decirse que ellas son falsas o verdaderas. En el estudio de la lógica sólo se admiten expresiones declarativas; no se admiten expresiones interrogativas, exclamativas, etc. Las proposiciones son verdaderas o falsas, y en esto difieren de las preguntas, órdenes y exclamaciones. Solamente las proposiciones se pueden afirmar o negar; las preguntas se pueden responder, las ordenes se pueden dar y las exclamaciones pueden pronunciarse, pero ninguna de ellas se puede afirmar, negar o juzgarse como verdadera o falsa.



Es usual distinguir entre las oraciones y las proposiciones que expresan. Dos oraciones, que son claramente distintas porque constan de diferentes palabras ordenadas en distintas formas, pueden en el mismo contexto tener el mismo significado y emplearse para afirmar la misma proposición.

Pedro conduce el auto. El auto es conducido por Pedro.

son dos oraciones diferentes, porque la primera contiene cuatro palabras y mientras que la segunda contiene seis. Pero las dos tienen el mismo significado. Se utiliza el término proposición para referirse al contenido que ambos enunciados afirman [7]. La diferencia entre enunciados y proposiciones puede entenderse mejor si se hace notar que una oración es siempre oración de un lenguaje particular en el cual se emite, mientras que las proposiciones no son propias de un lenguaje. Las cuatro oraciones:

It is raining. Está lloviendo. Il pleut. Es regnet.

ciertamente son diferentes, porque están escritas en lenguajes diferentes: inglés, español, francés y alemán, pero tienen el mismo significado, y en un contexto apropiado se pueden usar para afirmar la proposición de la cual cada una es una formulación distinta. Los términos “proposición” y “enunciado” no son exactamente sinónimos, pero en el contexto de la investigación lógica se usan en un sentido muy parecido. Algunos autores prefieren el término enunciado al de proposición [7]. Una proposición es un teorema de menor generalidad o importancia. Se pueden utilizar letras mayúsculas o minúsculas, en este texto, se utilizan minúsculas como p, q, o r, para denotar las proposiciones. Por ejemplo: p: 9 + 5 = 14 . q: Ciudad Juárez es la capital de Chihuahua. r: El número de átomos en el universo es 1075. s: Si x es un número positivo real y x2=9, entonces x=3. De lo anterior, p es una proposición verdadera, q es falsa; r puede ser verdadera o falsa, pero no ambas; y s es proposición verdadera. Para entender mejor qué es una proposición, a continuación se listan algunos enunciados que no son proposiciones: u: ¡Entrega tu tarea! v: Si x2=9, entonces x=3. w: ¿Es divertido este curso? El enunciado v no es una proposición porque la variable “x” no se especifica. Si x fuera un número real positivo, entonces la proposición v sería verdadera, pero si x fuera -3, entonces sería falsa. Por último, u y w no son enunciados declarativos. Ejercicio 1. Escriba tres proposiciones simples.



Ejercicio 2. Indique la razón por la cual las siguientes expresiones no son proposiciones: a) ¿Vamos al cine? b) Préstame tu calculadora. c) Presione ENTER para finalizar. d) Enciende la computadora.

1.2. Conectivos lógicos Existen tres maneras básicas para construir nuevas proposiciones, se pueden combinar dos proposiciones con “y”, “o”, o se puede negar una proposición. Las proposiciones que resultan de combinar otras reciben el nombre de proposiciones compuestas . Una proposición que no es combinación de otras se conoce como proposición atómica. En otras palabras, una proposición compuesta está formada por proposiciones atómicas. Ejemplos de proposiciones compuestas: a) Del siguiente párrafo: Las compuertas lógicas son la base para el desarrollo de circuitos integrados más complejos y el diseño de sistemas digitales. Las proposiciones simples que se encuentran son:

? Las compuertas lógicas son la base para el desarrollo de circuitos digitales más complejos. ? Las compuertas lógicas son la base para el diseño de sistemas digitales.

b) Del siguiente párrafo: La selección y uso de los circuitos digitales integrados en un diseño dependen de la aplicación del mismo. Las proposiciones simples que se encuentran son:

? La selección de los circuitos digitales en un diseño dependen de la aplicación del mismo. ? El uso de los circuitos digitales integrados en un diseño dependen de la aplicación del mismo.

c) Si las compuertas lógicas son la base para el diseño de circuitos digitales de mediana escala de integración, entonces se deben estudiar primero antes de hacer diseños con ellas. Las proposiciones simples son:

? Las compuertas lógicas son la base para el diseño de circuitos digitales de mediana escala de integración

? Las compuertas lógicas se deben estudiar primero antes de hacer diseños con ellas. d) Un programa es legible solamente si está bien estructurado. Las proposiciones simples son:

? Un programa es legible ? Un programa está bien estructurado



Ejercicio 3: ¿Cuáles son las proposiciones simples de las siguientes proposiciones compuestas? a) El número 7 es impar y el número 8 es par. b) La lógica es una disciplina que estudia la estructura, el fundamento y el uso de las expresiones del conocimiento humano. c) Los programas son formulaciones concretas de algoritmos abstractos basados en ci ertas representaciones y estructuras de datos.

1.2.1. Negación o contradictoria

Sea p una proposición. Se define la negación de p, denotada por p (? p, p’, ~p) como la proposición que es verdadera cuando p es falsa, y es falsa cuando p es ver dadera. [5]. Se puede formar la negación p de p, invirtiendo simplemente los valores de verdad de p. Suele leerse p como “no p”. Por ejemplo:

p: El lápiz se quebró La negación de p es la proposición:

p : El lápiz no se quebró La negación de cualquier enunciado verdadero es falsa y la negación de cualquier enunciado falso es verdadera. La negación de un enunciado se puede expresar prefijando la frase “no”, “es falso que”, o “no es el caso que”.

1.2.2. Conjunción

Sean p y q dos proposiciones. Se define la conjunción de p y q, denotada con p ? q, como la proposición que es verdadera cuando ambas, p y q, sean verdaderas, y es falsa, cuando p o q, o ambas sean falsas. [5]. Por ejemplo:

p: El carro está descompuesto q: La escuela está lejos

La conjunción de p y q es: p ? q: El carro está descompuesto y la escuela está lejos La conjunción de dos enunciados se puede formar colocando la palabra “y” entre ellos: los dos enunciados así combinados se llaman conyuntos. Otro símbolo que se puede utilizar para representar una conjunción es el punto “?”.



1.2.3. Disyunción o alternación

Sean p y q dos proposiciones. Se define la disyunción de p y q, denotada con p ? q, como la proposición que es verdadera cuando ya sea que p o q o ambas sean verdaderas, y es falsa, cuando ambas p y q, sean falsas. [5] Considerando las proposiciones del ejemplo anterior, la disyunción de p y q es:

p ? q: El carro está descompuesto o la escuela está lejos La disyunción de dos enunciados se forma en español insertando la palabra “o” entre ellos (OR, en inglés). Los dos componentes combinados de esta forma se llaman disyuntos (o alternativas). La palabra “o” es ambigua, tiene dos significados relacionados pero distintos. Una disyunción débil o inclusiva es verdadera solamente cuando uno o los dos disyuntos son verdaderos: solamente si los dos disyuntos son falsos, la disyunción inclusiva es falsa. El “o” inclusivo tiene el sentido de “cualquiera, posiblemente ambos”. En algunas situaciones se puede representar como “y/o” [7]. La palabra “o” también se utiliza en un sentido fuerte o exclusiva, en el cual el significado no es “por lo menos uno” sino “uno y sólo uno”. La “o” exclusivo (XOR) se denota por p ? q. La proposición compuesta p ? q es verdadera si una o la otra pero no ambas proposiciones p, q es verdadera. La XOR también se puede simbolizar con ? y significa que una o la otra es verdadera pero no ambas. El latín tiene dos palabras diferentes que corresponden a los dos sentidos de la disyunción. La palabra vel significa la disyunción inclusiva, mientras que la palabra aut corresponde a la disyunción exclusiva. Se acostumbra utilizar la letra inicial de la palabra vel para representar la disyunción en su sentido inclusivo [7]. Si las proposiciones p1, ..., pn, se combinan para formar la proposición compuesta P, se escribirá en ocasiones

P = P(p1, . . . , pn)

Utilizando los conectivos o términos de enlace y sus símbolos las proposiciones se pueden escribir en forma simbólica. A continuación se listan algunos ejemplos, 1. Necesito hacer ejercicio o ponerme a dieta.

Las proposiciones simples son: p: necesito hacer ejercicio q: necesito ponerme a dieta

y su simbolización es: p ? q 2. Llegar a tiempo a clase no es problema para los estudiantes y ellos pueden aprender mejor.

Las proposiciones simples son: p: llegar a tiempo a clase es problema para los estudiantes q: ellos pueden aprender mejor

y su simbolización es: p’ ? q 3. Las compuertas lógicas son la base para el desarrollo de circuitos integrados más complejos y el diseño de sistemas digitales.

Donde las proposiciones simples son:

p: Las compuertas lógicas son la base para el desarrollo de circuitos digitales más complejos. q: Las compuertas lógicas son la base para el diseño de sistemas digitales.

y se representa de la siguiente forma: p? q.



1.3. Tablas de verdad Los valores de verdad o veracidad de una proposición compuesta pueden describirse por una tabla de verdad. La tabla de verdad de una proposición compuestas P = P(p1, . . . , pn) enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para p1, ... , pn. Se denota T (true) al valor verdadero y F, al falso. Para cada una de estas combinaciones enuncia el valor de verdad de P (p1, . . . , pn). En la figura 1.1 se definen las tablas de verdad de la negación, conjunción y disyunción. En las tablas de verdad se puede utilizar un uno (1) para representar un valor verdadero y un cero (0) para falso.

P Q p ? q p q p ? q p p’

T T T T T T T F

T F F T F T F T

F T F F T T

F F F F F F

a) Conjunción b) Disyunción c) Negación

Figura 1.1 Tablas de verdad.

Ejercicio 4. Encuentre el valor de verdad de la proposición ( p ? q’ ) ? r. Si se tienen tres proposiciones, entonces se requieres de ocho renglones para representar todos los posibles valores de cada una de ellas.

p q r q’ p ? q’ ( p ? q’ ) ? r

F F F V F F

F F V V F V

F V F F F F

F V V F F V

V F F V V V

V F V V V V

V V F F F F

V V V F F V

Si la fórmula contiene una variable, ¿cuántos renglones aparecen en la tabla? ______ Si la fórmula contiene dos variables, ¿cuántos renglones aparecen en la tabla? ______ Si la fórmula contiene tres variables, ¿cuantos renglones aparecen en la tabla? ______ Si la fórmula tuviera n variables, ¿cuántos renglones deberían aparecer en la tabla? ______



Ejercicio 5. Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones: 1) ( p ? q ) ? (r’? s) 2) (p’? (q ? r )) ? s 3) ( p’? (q ? r )) ? (r ? s’) 1.4. Condicionales

1.4.1. Condicional

La implicación condicional p ? q (si p entonces q) significa que la veracidad de p implica la veracidad de q. Es decir, si p es verdadera, entonces q debe ser verdadera. La única manera de que esto falle es que p sea verdadera cuando q es falsa. La proposición “si p entonces q” también se lee “p implica q”. La proposición p se denomina hipótesis o antecedente y la proposición q, conclusión o consecuente. La hipótesis es la cláusula que sigue al condicional si. La formulación “si p entonces q” destaca la hipótesis, mientras que la formulación “p solo si q” subraya la conclusión. Por ejemplo, considere la proposición “Si todos los alumnos estudian (p) entonces aprueban el examen (q)”. Si no estudian no aprueban, la proposición es cierta. Si no estudian no hay forma de argumentar que la afirmación es falsa. Si estudian y no aprueban el examen, entonces la proposición es falsa. Por último, si estudian y aprueban el examen la proposición es verdadera. La figura 1.2 muestra la tabla de verdad de la implicación condicional.

p q p ? q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Figura 1.2 Tabla de verdad de la implicación condicional

La implicación entre dos proposiciones p, q es verdadera en todos los casos menos en aquel en el que el antecedente es verdadero y el consecuente falso. [1] La hipótesis es la cláusula posterior al condicional si. La cláusula sólo si es la conclusión. Cuando significa lo mismo que si. La conclusión expresa una condición necesaria. La hipótesis expresa una condición suficiente. La formulación “si p entonces q” enfatiza la hipótesis, mientras que la formulación “p sólo si q” enfatiza la conclusión; la diferencia es sólo de estilo. Ejercicio 6. Escribir en forma simbólica cada una de las proposiciones que a continuación se listan. 1. Si son las 11:00 entonces es hora de empezar la clase.

Las proposiciones simples son: p: son las 11:00



q: es hora de empezar la clase y su simbolización es: p ? q

2. Si Tomás no va a trabajar mañana entonces no conservará su trabajo.

Las proposiciones simples son: p: Tomás va a trabajar mañana q: Tomás conservará su trabajo y su simbolización es: p’ ? r’ 3. Si todos tenemos la capacidad de aprender y nos esforzamos lo suficiente, entonces no hay razón para reprobar los cursos.

Las proposiciones simples son: p: todos tenemos la capacidad de aprender q: todos nos esforzamos lo suficiente r: hay razón para reprobar los cursos

y su simbolización es: (p ? q) ? r’ 4. Si las compuertas lógicas son la base para el diseño de circuitos digitales de mediana escala de integración, entonces se deben estudiar primero antes de hacer diseños con ellas.

Las proposiciones simples son:

p: Las compuertas lógicas son la base para el diseño de circuitos digitales de mediana escala de integración q: Las compuertas lógicas se deben estudiar primero antes de hacer diseños con ellas.

y se representa de la forma: p ? q 5. Si p es verdadera, q es falsa y r es verdadera, determine el valor de verdad de cada proposición. a) (p? q) ? r (V? F) ? V F ? V Verdadera b) (p? q) ? r’ (V? F) ? V’ V ? F Falsa c) p? (q ? r) V? (F ? V) V ? V Verdadera d) p ? (q ? r) V? (F ? V) V? V Verdadera

1.4.2. Bicondicional o equivalencia

Sea p y q dos proposiciones. La proposición “ p sí y sólo sí q” o “p es equivalente a q”, denotada con p? q, es verdadera si ambas p y q, con verdaderas o si ambas p y q son falsas, y que es falsa si p es verdadero cuando q es falsa y si p es falsa cuando q es verdadera. La tabla de verdad de la figura 1.3 muestra la definición de p? q.

p q p ? q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Figura 1.3 Tabla de verdad de la implicación bicondicional



En algunos casos, es posible que dos proposiciones compuestas tengan los mismos valores de verdad, sin importar los valores de verdad de sus proposiciones constituyentes. Tales proposiciones son lógicamente equivalentes. La bicondicional (o equivalencia) es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad y falso cuando ambas tienen diferente valor. La bicondicional se define con la tabla de verdad (p? q)? (q? p). Existen dos equivalencias lógicas de cierto interés e importancia, que expresan las relaciones entre conjunción, disyunción y negación. Puesto que la disyunción p ? q afirma solamente que por lo menos uno de los dos disyuntos es verdadero, no se contradice al afirmar que por lo menos uno es falso, sino solamente afirmando que ambos son falsos. Así, afirmar la negación de la disyunción p ? q es lógicamente equivalente a afirmar la conjunción de las negaciones de p y de q. En símbolos, tenemos el bicondicional (p? q)’? (p’? q’) cuya verdad lógica queda establecida con la tabla de verdad de la figura 1.4.

p q p ? q (p ? q)’ p’ q’ (p’? q’) (p? q)?(p’? q’)

0 0 0 1 1 1 1 V

0 1 1 0 1 0 0 V

1 0 1 0 0 1 0 V

1 1 1 0 0 0 0 V

Figura 1.4 Tabla de verdad de comprobación de equivalencias lógicas del primer teorema de DeMorgan

De igual manera, al afirmar la conjunción de p y de q se afirma que ambas son verdaderas, para contradecirlas necesitamos solamente afirmar que al menos una de ellas es falsa. Así, afirmar la negación de la conjunción p? q es lógicamente equivalente a afirmar la disyunción de las negaciones de p y de q. En símbolos, se tiene la bicondicional (p ? q)’ ? p’? q’, que fácilmente se puede probar como tautología. Estos dos bicondicionales tautológicos se con ocen como los teoremas de DeMorgan y fueron enunciados por el matemático y lógico Augusto DeMorgan (1806 -1871). Los teoremas de DeMorgan pueden tener las siguientes formulaciones en español. La negación de la disyunción de dos enunciados es lógicamente equivalente a la conjunción de las negaciones de los dos enunciados. La negación de la conjunción de dos enunciados es lógicamente equivalente a la disyunción de las negaciones de los dos enunciados [7]. Ejercicio. Demostrar las siguientes equivalencias: a) El segundo teorema de DeMorgan. b) (p? q)’?p? q’ c) p ? q ? ( p? q)? ( q? p)



1.4.3. Recíproca

La proposición q ? p se llama la recíproca de p ? q. La recíproca de una proposición condicional simplemente cambia los papeles de p y q. Considerando la frase: “Si está lloviendo entonces hay nubes en el cielo ”. Esta es la proposición compuesta p ? q donde p= “está lloviendo” y q= “hay nubes en el cielo”. Esta es una proposición verdadera. Su recíproca q ? p se lee: “Si hay nubes en el cielo entonces está lloviendo. Ésta es una proposición falsa.

1.4.4. Contrapuesta (contrapositiva, contraposición o transposición)

La contrapositiva de la proposición p ? q es la proposición q’ ? p’. La proposición p ? q es equivalente a la proposición q’ ? p’. Considerando el ejempl o de la sección anterior, la contrapositiva q’ ? p’ dice: “Si no hay nubes en el cielo entonces no está lloviendo” La contrapositiva es una forma alternativa, lógicamente equivalente de la proposición condicional. La recíproca de una proposición condicional solamente cambia los papeles de p y q, mientras que la contrapositiva cambia los papeles de p y q y niega cada una de ellas. Teorema “La proposición condicional p? q y su contrapositiva q’ ? p’ son lógicamente equivalentes”. En la figura 1.5 se muestra la tabla de verdad que demuestra este teorema.

p q p ? q q’ ? p’

F F V V

F V V V

V F F F

V V V V

Figura 1.5 Demostración del teorema

1.4.5. Tautologías

La proposición P es una tautología si P es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, ..., pn. Una tautología es una proposición que es verdadera en cualquier circunstancia. Aun cuando estas proposiciones son siempre verdaderas, son importantes porque cuando se traten proposiciones que se ven algo complicadas y se quiera mostrar que son verdaderas, la manera de hacerlo será utilizando otras proposiciones que se sabe son siempre verdaderas.

1.4.6. Contradicción

La proposición P es una contradicción si P es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, ...,pn. Una contradicción es una proposición que es falsa en cualquier circunstancia.



La negación de una tautología es una contradicción y la negación de una contradicción es una tautología. Por ejemplo, la tabla de verdad de la figura 1.2 que se presenta para la proposición p ? p’ es una tautología, y para la proposición p ? p’ , es una contradicción: [2]

P p? p’ p ? p’

0 1 0

1 1 0

Figura 1.4 Tabla de verdad de una tautología y una contradicción

1.4.7. Contingencia

Si los valores de verdad de una proposición son en algunos casos verdaderos y en otros falsos, a la proposición se le llama contingencia. [1]

1.5. Aplicación de las proposiciones

1.5.1. Análisis de problemas con proposiciones

El control de la ejecución de los enunciados que están en un programa de computación se efectúa evaluando la veracidad de las proposiciones que lo forman. Por ejemplo, en la estructura if-then-else (es decir, “si-entonces-o si no”) if p then acción 1 else acción 2 si la proposición p es verdadera, se ejecuta la acción 1 (pero no la acción 2) y si la proposición p es falsa, se ejecuta la acción 2 (pero no la acción 1). En la estructura while loop (es decir, “mientras-lazo, repetir”) while p do acción la ejecución de la acción se repetirá tantas veces como p sea verdadera. Ejemplo: En la codificación siguiente: i:=1 j:=1 while (i<2 and j<5) or i+j=5 do begin i:=i+2; j:=j+1; end



El lazo se ejecutará dos veces. Si p: i<2 q:j<5 r: i+j=5

la proposición puede escribirse ((p ? q) ? r) ? i=i+2, j=j+1. Un ejemplo simple de sistemas digitales en el que se puedan utilizar proposiciones es en el diseño de una alarma de casa. Para que se active la alarma se debe cumplir alguna de las siguientes condiciones:

? p: La puerta uno ha sido abierta. ? q: La puerta dos ha sido abierta. ? r: El vidrio de la ventana uno se ha roto. ? s: El vidrio de la ventana dos se ha roto. ? t: La alarma se ha activado.

El sistema digital de alarma puede escribirse: (p ? q ? r ? s) ? t.

1.5.2. Interpretación de programas recursivos

A menudo es posible desarrollar relaciones entre los elementos de una sucesión. Tales relaciones se llaman relaciones de recurrencia. Una relación de recurrencia para una sucesión a0, a1, . . . es una ecuación que relaciona an, con alguno de sus antecesores, a0, a1, . . . an-1. Una relación de recurrencia define indirectamente el término n-ésimo de una sucesión. Para calcular an primeramente deben evaluarse los términos a0, a1, . . . an-1. Un algoritmo recursivo es uno que hace referencia a sí mismo. Muchos lenguajes de programación de alto nivel apoyan directamente la recursión permitiendo que las rutinas se llamen o refieran a sí mismas. El diagrama de flujo (ver figura 1.5) empieza con valores iniciales de cantidades llamadas I y S, el cual calcula e imprime valores sucesivos de S.

Figura 1.5

Ejemplo: Sea Sn el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos. En virtud de que para formar un conjunto de n elementos a partir de un conjunto de (n -1) elementos se duplica el número de subconjuntos, la relación de recurrencia:

Inicia

I = 1, S=1

Imprime S

S=S+2I+1 I=I+1



Sn=2 Sn-1 y la condición inicial S0 = 1 Ejemplo: El factorial de n, o n factorial, se define como:

? ?? ????

?????

?1n si nnn0n si

n1221

1!

?

Es decir, si n? 1, n! Es igual a producto de todos los enteros entre 1 y n, inclusive 0! se define como uno. Por ejemplo:

3! = 3 ? 2 ? 1 = 6,

6! = 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 =720

1.5.3. Ejercicios. 1. Sean p, q y r las proposiciones siguientes: p: “está lloviendo” q: “el Sol está brillando” r: “hay nubes en el cielo.” Traducir la siguiente notación lógica, utilizando p, q, r y conectivos lógicos. a) Está lloviendo y el sol está brillando. b) Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo. c) Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo. d) El Sol está brillando si y sólo si no está lloviendo. e) Si no hay nubes en el cielo entonces el Sol no está brillando. 2. Sean p, q y r como en el ejercicio 1. Traducir lo siguiente a oraciones en español. a) (p ? q) ? r b) (p ? r) ? q c) p’ ? (q ? r) d) ( p ? (q ? r))’ e) (p ? q)’? r 3. Proporcione los valores de verdad de las proposiciones de los ejercicios 1 y 2. 4. Sean p, q, r y s las proposiciones siguientes: p: “termino de escribir mi programa de computación antes de la comida” q: “juego tenis por la tarde” r: “el sol está brillando” s: “la humedad es baja.” Traducir la siguiente notación lógica, utilizando p, q, r, s y conectivos lógicos.



a) Si el sol está brillando, podría jugar tenis por la tarde.

b) Terminar de escribir mi programa de computación antes de la comida es necesario para jugar tenis esta tarde.

c) El sol está brillando y jugaré tenis esta tarde. d) Baja humedad y luz del sol son suficientes para mí para jugar tenis esta tarde. 5. Construir una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones. a) p ? q’ b) ( p’ ? q’ ) ? p c) ( p ? q ) ? p’ d) (p ? q) ? p’ 6. Para el ejercicio 5. Determine si las correspondientes proposiciones dadas son una tautología,

una contradicción o ninguna de ellas. 7. Escribir cada proposición en forma simbólica. Escribir la recíproca y la contrapositiva de cada

afirmación de manera simbólica y con palabras. Además, determine el valor de verdad de cada proposición condicional, su recíproca y su contrapositiva.

a) Si 4<6, entonces 9>12 b) Si 4>6, entonces 9>12 c) ? 1? < 3 si -3<1<3 d) ?4? < 3 si -3<4<3

8. Para cada par de proposiciones P y Q indique si P?Q.

a) P=p, Q=p ? q b) P= p ? q, Q=p’ ? q’ c) P=p ? q, Q= p’ ? q d) P= p? (q’? r), Q=p? (q? r’)

1.6. Procesos de Demostración Una de las principales funciones de la lógica es la de proporcionar reglas de razonamiento o reglas de inferencia (consideradas implicaciones lógicas correctas o estructuras de razonamiento correcto), que permitan inferir (obtener), de manera correcta, una conclusión a partir de ciertas premisas. Al proceso de derivar una conclusión a partir de ciertas premisas y reglas de inferencia, se le llama: demostración o prueba formal . Una demostración es un ensayo que indica de manera irrefutable que un enunciado es verdadero. Un argumento que establece la verdad de un teorema es una demostración. La lógica es una herramienta para el análisis de las demostraciones. Un argumento es una serie de proposiciones que se escriben:



q

p

pp

n

?

?2

1

o qppp n

?,,, 21 ?

Las proposiciones p1, p2, ..., pn son las hipótesis (o premisas) y la proposición q es la conclusión. El argumento es válido si siempre que p1 y p2 y ... y pn sean todas verdaderas, entonces q deberá también ser verdadera; en caso contrario, el argumento no es válido (es una falacia) [2]. En un argumento válido, se dice que la conclusión se sigue de las hipótesis. No se dice que la conclusión sea verdadera; sólo se dice que si se garantizan las hipótesis, entonces se tiene garantizada la conclusión. Un argumento es válido debido a su forma, no a su contenido. Ejemplo. Determinar si el siguiente argumento es válido: p? q, p ?? q Como primera solución se construye una tabla de verdad para todas las proposiciones que aparecen en el argumento. De la tabla se puede observar que siempre que las hipótesis p ? q y p son verdaderas, la conclusión q también lo es, por lo tanto, el argumento es válido. En la segunda solución se puede dejar de lado la tabla de verdad, verificando directamente que siempre que las hipótesis sean verdaderas, la conclusión también es verdadera. Suponiendo que p? q y p sean verdaderas. Entonces q debe ser verdadera, ya que en caso contrario p ? q sería falsa. Por tanto, el argumento es válido. Ejemplo. Representar el siguiente argumento en forma simbólica y determinar si es válido:

Si Juan obtiene el ascenso se compra un carro. Juan se compra un carro.

___________________________________________ ? Juan obtiene el ascenso

Si se hace: p: Juan obtiene el ascenso q: Juan se compra un carro el argumento puede escribirse como

p q p ? q p q

0 0 1 0 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1



p ? q q ______ ? p Si el argumento es válido, entonces siempre que p ? q y p sean ambas verdaderas, p debería ser verdadera. Esto es posible si p es falsa y q es verdadera. En este caso, p no es verdadera; así el argumento no es válido.

1.6.1. Inferencias

Inferencia es el proceso por el cual se llega a una proposición y se afirma sobre la base de una o más proposiciones aceptadas como punto inicial del proceso. Para determinar si una inferencia es correcta, el lógico examina las proposiciones que constituyen los puntos inicial y final de este proceso, así como las relaciones que existen entre ellos [7].

Tabla 1.5 Equivalencias lógicas

1 qp ? Doble negación

2a ? ? ? ?pqqp ???

b ? ? ? ?pqqp ??? Leyes conmutativas

c ? ? ? ?pqqp ???

3a ? ?? ? ? ?? ?rqprqp ????? Leyes asociativas

b ? ?? ? ? ?? ?rqprqp ?????

4a ? ?? ? ? ? ? ?? ?rpqprqp ?????? Leyes distributivas

b ? ?? ? ? ? ? ?? ?rpqprqp ??????

5a ? ? ppp ?? Leyes de idempotencia

b ? ? ppp ??

6a ? ? pcp ??

b ? ? ttp ?? Leyes de identidad

c ? ? ccp ??

d ? ? ptp ??

7a ? ? tpp ?? Tautología (Verdadera)

b ? ? cpp ?? Contradicción (Falsa)

8a ? ? ? ?qpqp ???

b ? ? ? ?qpqp ??? Leyes de De Morgan

c ? ? ? ?qpqp ???

d ? ? ? ?qpqp ???

9 ? ? ? ?pqqp ??? Contrapositiva

10a ? ? ? ?qpqp ??? Implicación



b ? ? ? ?qpqp ???

11a ? ? ? ?qpqp ???

b ? ? ? ?qpqp ???

12a ? ? ? ?? ? ? ?? ?rqprqrp ?????? Prueba por casos

b ? ? ? ?? ? ? ?? ?rpprpqp ??????

13 ? ? ? ? ? ?? ?pqqpqp ????? Equivalencia

14 ? ?? ? ? ?? ?rqprqp ????? Ley de exportación

15 ? ? ? ?? ?cqpqp ????? Reducción al absurdo En una demostración una conclusión se admite como correcta considerando que las premisas (suposiciones, axiomas, hipótesis), y que el razonamiento utilizado para la deducción de la conclusión, a partir de las premisas, sigue un conjunto de reglas aceptables de la inferencia lógica. Estas reglas de inferencia lógica son las estructuras de razonamiento que se consideran correctas, es decir, son aquellas cuya fórmula proposicional asociada es una tautología. Las reglas de inferencia son una técnica o listas de técnicas que de alguna forma evitan la necesidad de construir tablas de verdad, especialmente las grandes. Estas reglas ayudan de la siguiente forma:

1. Permiten considerar sólo los casos donde todas las hipótesis son verdaderas. Dado que sólo se consideran los renglones de una tabla de verdad donde cada hipótesis tiene un valor verdadero de uno y no se construye la tabla de verdad.

2. Son fundamentales en el desarrollo de una prueba paso a paso mostrando cómo la conclusión q lógicamente sigue de la hipótesis p1, p2, p3, ...,pn en una implicación

? ? qpppp n ????? ...321

tal desarrollo establece la validez de una prueba (o argumento)

Cada regla de inferencia proviene de una implicación lógica o equivalencia lógica. En la tabla 1.5 se presentan algunas equivalencias lógicas. En la tabla 1.6 se presentan algunas implicaciones lógicas. Cada proposición se transforma en una tautología si se cambia ? por ? .

Tabla 1.6 Implicaciones lógicas

16 ? ?qpp ?? Adición o Ampliación disyuntiva

17 ? ? pqp ?? Simplificación conjuntiva

18 ? ? pcp ?? Absurdo

19 ? ?? ? qqpp ??? Modus ponens

20 ? ?? ? pqqp ??? Modus tollens

21 ? ?? ? qpqp ??? Silogismo1 disyuntivo

22 ? ?? ?qpqp ???



23 ? ? ? ?? ? ? ?rprqqp ????? Transitividad de ?

24 ? ? ? ?? ? ? ?rprqqp ????? Transitividad de ? o silogismo hipotético

25a ? ? ? ? ? ?? ?rqrpqp ?????

b ? ? ? ? ? ?? ?rqrpqp ?????

c ? ? ? ? ? ?rqrpqp ?????

26a ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?sqrpsrqp ??????? Dilemas constructivos

b ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?sqrpsrqp ???????

27a ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?rpsqsrqp ??????? Dilemas destructivos

b ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?rpsqsrqp ??????? 1 Un silogismo es un argumento deductivo que consiste en dos premisas y una conclusión. Cada implicación lógica de la tabla 1.6 corresponde a una regla de inferencia. Algunas de ellas se presentan en la tabla 1.7. Si dos proposiciones compuestas P y Q son lógicamente equivalentes, entonces en particular P ? Q, por lo que se tiene la regla de inferencia correspondiente.

Tabla 1.7. Reglas de Inferencia

P 28 ? P? Q

Adición

P ? Q 29 ? P

Simplificación

P P ? Q

30 ? Q

Modus ponens

P ? Q Q’ 31 ? P’

Modus tollens

P ? Q P’

32

? Q

Silogismo disyuntivo

P ? Q Q ? R 33

? P ? R

Silogismo hipotético

P Q

34

? P ? Q

Conjunción



1.6.2. Regla de modus ponendo ponens

Se supone que se tienen dos premisas, la fórmula p ? q y la fórmula p. Se sabe que estas premisas están dadas; es decir, se empieza diciendo que se ha dado p y que se ha dado p ? q. ¿Se puede sacar una conclusión de estas dos proposiciones? La conclusión es clara si se leen las premisas en la forma:

Si p entonces q, y p.

La primera proposición expresa que si se verifica p, entonces se verifica q, y la segunda dice que se verifica p. La conclusión es que se verifica q. La proposición q es consecuencia lógica de las premisas, p y p? q. Por ejemplo, la primera premisa es: Si llueve, entonces el cielo ha de estar nublado. La segunda premisa es: Llueve. La conclusión que se puede sacar de las premisas “el cielo ha de estar nublado”. Esta conclusión se puede inferir lógicamente de las premisas dadas [8]. La regla aplicada tiene un nombre latino, modus ponendo ponens . En su forma simbólica se expresa por la implicación lógica:

? ?? ? qqpp ??? Esta regla se puede escribir en su forma tabular: Donde los tres puntos (? ) representan la palabra “por lo tanto,” indicando que q es un consecuencia lógica de la hipótesis p y p? q, la cual aparece arriba de la línea horizontal. Otra interpretación es que la hipótesis (enunciado arriba de la línea horizontal) presenta un argumento válido para, o prueba de, la conclusión q. Esta regla se presenta en situaciones donde se discute que si (1) p es verdadera, y (2) p? q es verdadera (o p? q), entonces la conclusión q también debe ser verdadera. (Después de todo, si q fuera falsa y p fuera verdadera, entonces no se tendría p? q verdadera). A continuación se presentan algunos ejemplos del uso de esta regla en la deducción de conclusiones a partir de premisas.

Premisa 1. Si Juan está en el cine, entonces Juan está viendo una película. Premisa 2. Juan está en el cine. Conclusión. Juan está viendo una película.

p p? q

? q



Otro ejemplo: Premisa 1. Si Victoria no estudia suficiente entonces no aprobará el examen. Premisa 2. Victoria no estudia suficiente. Conclusión. No aprobará el examen. Simbólicamente el primer ejemplo se expresa así:

p: Si Juan está en el cine, entonces Juan está viendo una película. q: Juan está en el cine.

La regla de inferencia llamada modus ponendo ponens (PP) permite demostrar q a partir de p? q y p. El segundo ejemplo se simboliza de la manera siguiente, donde p es la proposición Victoria estudia suficiente y q es la proposición aprobará el examen. En cada uno de los ejemplos, la regla modus ponendo ponens permite pasar de dos premisas a la conclusión. Esta regla de inferencia dice que si se tienen dos proposiciones de la forma p? q y p, se puede deducir la conclusión q. El nombre modus ponendo ponens se puede explicar de la siguiente manera: Esta regla de inferencia es el método (modus), que afirma (ponens) el consecuente, afirmando (ponendo) el antecedente [8].

1.6.3. Regla de la doble Negación

La regla de doble negación (DN) es una regla simple que permite pasar de una premisa única a la conclusión. Un ejemplo simple es el de una negación de negación, que brevemente se denomina doble negación. Sea la proposición:

No ocurre que Pedro no es un atleta.

¿Qué conclusión se puede sacar de esta premisa? Evidentemente, se puede decir que:

Pedro es un atleta. La regla de la doble negación también actúa en sentido contrario. Por ejemplo, de la proposición,

Eva estudia todos los días para aprobar el curso.

Se puede concluir la negación de su negación:

No ocurre que Eva no estudia todos los días para no aprobar el curso.

Premisa 1: p? q Premisa 2: p Conclusión. ? q

? p? ? q ? p

? ? q



Así la regla de la doble negación tiene dos formas simbólicas:

p y ? ? p

? ? p p

1.6.4. Regla del modus tollendo tollens

La regla de inferencia que tiene el nombre latino modus tollendo tollens (TT) se aplica también a las proposiciones condicionales. Pero en este caso, negando (tollendo) el consecuente, se puede negar (tollens) el antecedente de la condicional. Esta regla de inferencia está dada por: La deducción siguiente es un ejemplo del uso del modus tollendo tollens [8]. Premisa 1. Si el auto enciende, entonces el auto funciona adecuadamente Premisa 2. El auto no funciona adecuadamente. Conclusión. Por tanto, el auto no enciende. El ejemplo se puede simbolizar de la manera siguiente, sea p: El auto enciende q: El auto funciona adecuadamente La regla modus tollendo tollens permite pasar de dos premisas: (a) a una proposición condicional, y (b) una proposición que niega el consecuente, a una conclusión que niega el antecedente. Otro ejemplo, se tiene la proposición condicional:

Si me dan un ascenso, entonces me puedo comprar un carro. Se niega el consecuente:

No me puedo comprar un carro.

Entonces se puede negar el antecedente:

Por tanto, no me dan el ascenso.

p? q q’

? p’

p? q q’

? p’



1.6.5. Leyes de adjunción y simplificación

Si dos premisas son verdaderas, entonces se podrían juntar en una proposición molecular utilizando el término de enlace y obteniendo una proposición verdadera. La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusión se denomina regla de adjunción. Se indica abreviadamente por A. De las premisas p q _______ se puede concluir ? p ? q o ? q ? p El orden de las premisas es indiferente. Ejemplo: Premisa 1. María es adolescente Premisa 2. Juan es adulto La conclusión: María es adolescente y Juan es adulto. La regla que permite pasar de una conjunción a cada una de las dos proposiciones que están unidas por ? se denomina regla de simplificación. Abreviada por S. De la premisa: p ? q _______ Se puede concluir: ? p o q Premisa: El cumpleaños de Pablo es el martes y el de Juan es el viernes. Conclusión: El cumpleaños de Pablo es el martes El de Juan es el viernes.

1.6.6. Regla de Silogismo disyuntivo

En el lenguaje cotidiano ha dos maneras posibles de usar la palabra o. Algunas veces significa que se presenta una u otra de dos cosas, pero no las dos a la vez. Este es el sentido excluyente de o. Por ejemplo, en la proposición: Pedro vive en Juárez o vive en Chihuahua. se expresa que una de las dos proposiciones simples es cierta y la otra es falsa. La disyunción que por lo menos una premisa se cumple, por tanto, si se encuentra que una de sus premisas no se cumple, se sabe que la otra ha de cumplirse. Esta regla se denomina modus tollendo ponens [8] o silogismo disyuntivo [6]. Una vez mas el nombre latino dice algo acerca de la regla. Dice



que negando (tollendo) un miembro de una disyunción se afirma (ponens) el otro miembro. Simbólicamente se puede expresar:

De la premisa: p ? q y la premisa: p’

______ se puede concluir ? q

o de la premisa: p ? q

y la premisa: q’ ______

se puede concluir ? p Supóngase que se tiene como premisa la disyunción:

O esta sustancia contiene hidrógeno o contiene oxígeno.

La segunda premisa dice:

Esta sustancia no contiene hidrógen o

Por medio del silogismo disyuntivo se puede concluir:

Esta sustancia contiene hidrógeno.

1.6.7. Ley de adición

La ley de adición expresa el hecho que si se tiene una proposición que es cierta, entonces la disyunción de aquella proposición y otra cualquiera ha de ser también cierta. Si se da la proposición p, entonces la proposición p ? q es consecuencia. Puesto que se ha dado p como proposición cierta, se sabe que p ? q ha de ser una proposición cierta. Cuando una premisa es cierta, la conclusión que se sigue de ella ha de ser cierta [8]. Por ejemplo si, como premisa cierta se ha dado:

Esta bufanda es negra,

Entonces se sabe que la proposición siguiente ha de ser cierta.

O esta bufanda es negra o es café.

Se puede también concluir:

Esta bufanda es negra o es larga

Esta bufanda es negra o es nueva En forma simbólica, si se tiene la proposición p, se puede concluir p? q, o p? r , o s ? p, o t ? p, y así sucesivamente. La abreviatura para la ley de adición es LA.



1.6.8. Regla de Silogismo hipotético

La ley del silogismo hipotético HS está dada por la implicación lógica:

p? q q? r ______ ? p? r

Las premisas y la conclusión son condicionales. La ley de silogismo hipotético se puede aplicar considerando los siguientes pasos: 1. Se hace una inspección general para comprobar que se tienen las dos condicionales requeridas. 2. Se comprueba cuidadosamente que el antecedente de una de las condicionales coincida con el consecuente de la otra. 3. Se forma como conclusión una condicional cuyo antecedente es el otro antecedente de una de las premisas y cuyo consecuente es el consecuente de la otra premisa [8]. Ejemplo. De las premisas: 1. Si me dan el ascenso entonces me compro un carro. 2. Si me compro un carro entonces me voy de vacaciones. Se puede concluir: Si me dan el ascenso entonces me voy de vacaciones. Esta conclusión no dice que me dan el ascenso ni que me voy de vacaciones. Sólo dice lo que ocurriría si me dan el ascenso. Ejercicio. ¿Qué conclusión se puede sacar por la ley de silogismo hipotético de los conjuntos de proposiciones siguientes? 1. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen. Si el agua se hiela, entonces el agua aumenta de volumen. 2. Si Tomás conduce a una velocidad de 50 km/h, entonces en 9 horas habrá recorrido 450 km. Si en 9 horas ha recorrido 450 km, entonces habrá recorrido 90 km más que ayer en el mismo período. Si Tomás conduce a una velocidad de 50 km/h, entonces habrá recorrido 90 km más que ayer en el mismo periodo. 1.7. Inducción matemática La inducción matemática es un método de demostración que generalmente se utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones [6]. Es decir, el método de inducción matemática permite, bajo ciertas condiciones, cuando se tiene una proposición válida en varios casos particulares y es imposible analizar todos los casos, afirmar que esta proposición es válida en general [1]. Este método es bastante natural para usarse en una variedad de situaciones en ciencias de la computación, como por ejemplo mostrar que un programa de computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera [6].



Este método se basa en el Principio de Inducción Matemática que consiste en lo siguiente:

Una proposición es válida para todo número natural n si: 1.Base de la inducción (B): es válida para n =1 y, 2.Paso inductivo (I): de su validez para una número natural cualquiera n=k se desprende su validez para n=k+1.

Toda demostr ación que se basa en el principio de inducción matemática se denomina: por inducción. Tal demostración consta necesariamente de dos pasos. Si ambos pasos han sido demostrados, se puede afirmar, en virtud de éste principio, que la proposición es válida para todo número natural n [1]. Considerando una lista p(1), p(2), p(3), ... de proposiciones con índices en P. Todas las proposiciones p(n ) son verdaderas a condición de que

(B) p(1) sea verdadera; (I) p(n+1) sea verdadera siempre que p(n) sea verdadera.

En la notación del cálculo proposicional, el paso inductivo es equivalente a: La implicación p(n ) ? p(n+1) es verdadera para todo n ? P. El Principio de inducción matemática se refiere a que si de alguna manera se puede mostrar (B) e (I), entonces las p(n ) son verdaderas. El trabajo reside en mostrar (B) e (I) que deben verificarse antes de poder aplicar este principio [6]. Ejemplo 1. Considere un juego de video que empieza con una nave espacial a mitad de la pantalla. En cinco segundos aparece un extraterrestre. Cinco segundos más tarde el extraterrestre se divide en dos, que aparecen en dos lugares de la pantalla. Cinco segundos más tarde estos dos extraterrestres se subdividen en dos, y así sucesivamente. Cada cinco segundos el número de extraterrestres se duplica. La tarea del jugador es eliminarlos, antes de que cubran la pantalla. Suponiendo que el jugador no es muy hábil y que todos sobreviven. ¿Cuántos extraterrestres habrá 30 segundos después de empezado el juego? Calculando el número de extraterrestres en intervalos de cinco segundos, obtenemos la tabla:

Tiempo (segundos) 5 10 15 20 25 30

Extraterrestres 1 2 4 8 16 32 Por lo que la respuesta a la pregunta es 32 extraterrestres en 30 segundos. Ahora se quiere saber el número de estos seres en cinco minutos. Se puede simplemente ampliar la tabla hacia la derecha, duplicando las entradas del segundo renglón conforme se proceda, pero claramente hay un camino más fácil. Sea A(n) el número de extraterrestres en la pantalla después de un intervalo de cinco segundos. Entonces A(1)=1, A(2)=2, A(3)=4, etc. Se puede observar que A(n)=2n-1 para n=1, 2, 3, 4, 5, 6, y parece razonable esperar que después de cinco minutos, que es 5? 60 segundos, el valor de A(60) sea 259 (muchos extraterrestres). ¿Cómo se puede estar seguro de que lo que se espera es correcto sin hacer todos los cálculos?.



El método de inducción matemática se aplica justo en tales situaciones en las cuales,

1. sabemos la respuesta al principio, 2. sabemos como determinar la respuesta en una etapa a partir de la respuesta de la etapa

anterior, y 3. tenemos una expectativa de respuesta general.

Desde luego, si lo que se anticipa está equivocado; no se puede ser capaz de demostrar que está bien con este método ni con cualquier otro. Pero si la expectativa es correcta, entonces la inducción matemática da la estructura para que con una demostración se confirme la expectativa [6]. En el ejemplo anterior se daba A(1)=1 y A(n+1) = 2 ? A(n) para n ? 1. Esperando que A(n)=2n-1 para toda n ? P , aunque realmente solo importaba que n=60. Para cada n ? P , sea la n -ésima proposición p(n) “A(n)=2n-1”. Entonces p(1) es “A(1) = 21-1 = 20” , que es verdadera pues 20=1. Así, la base (B) se cumple. También se puede verificar p(2); es decir, A(2)=21, así como otros casos particulares, pero no es necesario. Para el paso inductivo (I) simplemente se debe revisar que para cada n, si p(n) es verdadera; es decir, si A(n)=2n-1, entonces p(n+1) es verdadera. Esto es, A(n+1)=2(n-1)-1. Suponiendo que A(n)=2n-1 para alguna n ? P. Entonces,

A(n+1) = 2 ? A(n ) por la estructura del juego = 2 ? 2n-1 por hipótesis = 2n=2(n+1)-1 como se quería comprobar. De esta forma, (I) se cumple. Por el principio de inducción matemática todas las proposiciones p(n) son verdaderas. En particular se tiene que A(60)=259.

Ejemplo 2. Se dice que Gauss resolvió, siendo un niño, la suma de los primeros 100 números naturales. Obtener la suma de los primeros 100 números naturales. Calcular la suma de los primeros 200 números naturales. ¿Cuál sería la fórmula para calcular cualquier suma? Solución. La anécdota con respecto a Gauss es más o menos así: Se cuenta que estando Gauss en el salón de clases, como buen niño inquieto, empezó a desesperar al profesor. Éste, para entretenerlo, le pidió que obtuviera la suma de los primeros 100 números naturales, creyendo que lo iba a demorar un buen rato. Sin embargo, Gauss encontró la respuesta en menos tiempo del que había considerado el profesor. Se dice que el razonamiento de Gauss, con tal de no trabajar mucho, fue el siguiente:

Si se suma 100 + 1 = 101 Si se suma 99 + 2 = 101 ...................... En total serían 50 sumas ...................... Si se suma 51 + 50 = 101

Y con esto ya tengo la suma de los 100 primeros números.



Además, hay 50 sumas, que es la mitad de 100, cuya suma es 101. Entonces, (101)(50) = 5050, y este es el resultado que me pide el maestro. El enunciado clásico de un problema como el anterior es: Demostrar por inducción lo siguiente:

? ???

??

n

i

nni

1 21

Siguiendo el método de inducción, se tienen que hacer los dos pasos. Esto es, Paso 1 (B). Primero se verifica que la proposición se cumple con n=1. Se tiene:

??

?1

1

1i

Ai ???

Siguiendo la ecuación propuesta:

? ?B???1

22

2111

???

Como A y B son iguales, se cumple para n=1. Paso 2 (I). Según el método de inducción matemática, se tiene que suponer que la proposición es válida para un número n=k. Si de ahí se deduce, siguiendo una secuencia válida de argumentos, que la proposición es válida para el valor n=k+1, se puede afirmar que dicha proposición es válida para cualquier número n. Siguiendo este método, se supone cierta la proposición para n=k, esto es, lo que se debe suponer es que:

? ???

??

k

i

C . . . . . . . . .válida es kk

i1

,2

1

Es necesario tratar de comprobar que la proposición es válida para n=k+1, a partir de (C) n=k. Pero, ¿qué significa deducir que es válida para n=k+1? Significa que, utilizando argumentos válidos, que en este caso son algebraicos, se llegue de:

? ? ? ?? ????

??

?????1

11 221

21 k

i

k

i

kk

i a kk

i

Se tiene lo siguient e:

? ???

?

?

???

??1

1

1

11

k

i

k

ki

k

i

sumas lasde spropiedade por iii

Siguiendo con el método de inducción matemática, gracias al paso inductivo, se puede escribir:



? ? ???

??

?

?

???1

1

1

1 21 k

ki

k

i

ikk

La relación anterior se puede escribir como:

? ? ? ?12

11

1

??????

??

kkkik

ki

La igualdad anterior se puede establecer ya que se está suponiendo que la proposición se cumple para n=k. Al obtener el común denominador, se tiene que:

? ? ? ?2

1211

1

?????

?

?

kkki

k

i

De lo anterior se puede observar que (k+1) se puede factorizar y se tiene:

? ?? ?2

211

1

????

?

?

kki

k

i

que es el objetivo esperado [6]. Ejemplo 3. Considere la suma de enteros positivos impares consecutivos: 1) 1 = 1 2) 1+3 = 4 3) 1+3+5 = 9 4) 1+3+5+7=16 5) 1+3+5+7+9=25 De lo anterior, se puede deducir que la suma de n enteros positivos impares es igual al cuadrado de n, lo cual se puede expresar por la siguiente ecuación:

? ? 2

1

12 nin

i

????

Paso 1. (B)

Para n=1, ? ? 1112 21

1

?????i

i

Paso 2. (I) Para n=k

? ? 2

1

12 kik

i

????

Para n=k+1



? ? ? ? ? ?1212121

1

1

????? ???

?

?

kiik

i

k

i

? ?? ?2

22

1

1212

??

??????

k

kkkk

1.8. Referencias [1] J. L Ramírez, M. Juárez y L. Villalobos. Curso propedéutico de Matemáticas . CENIDET. Cuernavaca, Mor., Junio de 1994. [2] R. Johnsonbaugh. Matematicas Discretas . Ed. Prentice Hall. Cuarta edición. México, 1999. ISBN:970-17-0253-0. [3] E. Scheinerman. Matematicas Discretas . Ed. Thomson Learning. México, 2001. ISBN 970-686-071-1. [4] P. Fletcher, H. Hoyle y C. W. Patty. Foundations of Discrete Mathematics. Ed. PWS-KENT. Boston, 1991. ISBN 0-534-98381-2 (International Studen Edition) [5] C. Liu. Elementos de Matemáticas Discretas. Ed. McGraw-Hill. Segunda Edición. México, 1995. ISBN 970-10-0743-3. [6] K. Ross y C. R. B. Wright. Matemáticas Discretas. Ed. Prentice Hall. Segunda Edición. México, 1990. ISBN 968-880-180-1. [7] I. M. Copy y C. Cohen. Introducción a la Lógica. Ed. Limusa. Octava edición, México, 1997. ISBN 968-18-4882-9. [8] P. Suppes y S. Hill. Introducción a la lógica matemática. Ed. Reverté, S. A., España, 1968.

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