matematicas discretas(2)

conalep

Capacitado por

conalepColegio Nacional de Educacin Profesional Tcnica

e-cbncEducacin-Capacitacin

Basadas en Normasde Competencia

PROFESIONAL TCNICOEN INFORMTICA

Manual Terico Prctico delCurso - Mdulo Ocupacional:

MATEMTICAS DISCRETAS

3er. Semestre

2Informtica

Matemticas Discretas

Informtica

Director General:Secretario Acadmico:

Director de Diseo de Contenidos:

Autores:

Instituto de Tecnologa Educativa,Comunicacin y Consultora S.C.

Directora General:Director de Investigacin y Consultora:

Director Tcnico:

Antonio Argelles.Juan Carlos Tllez Mosqueda.Carlos Tato Palma.

Ma. Cristina Martnez Mercado.Jorge Barbiere Meja.

Guadalupe J. Mateos Raymundo.Juan Carlos Snchez Gonzlez.Gabriel Carbajal Vilchis.

PARTICIPANTESCoordinadores

InformticaInformtica

Manual del curso - mdulo ocupacionalMatemticas Discretas

D. R. 2000 CONALEP.Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, incluidala portada, por cualquier medio sin autorizacin por escritodel CONALEP. Lo contrario representa un acto de pirateraintelectual perseguido por la Ley Penal.

E-CBNCAv. Conalep N 5, Col. Lzaro Crdenas, C. P. 52140, Metepec,Estado de Mxico.

3Informtica


Informtica

NDICE

ParticipantesI. Mensaje al alumno 5II. Cmo utilizar este manual 6III. Propsito del curso - mdulo ocupacional 8IV. Normas de competencia laboral 9V. Especificaciones de evaluacin 10VI. Mapa curricular del curso mdulo ocupacional 11

Captulo 1 Algoritmos 13

Mapa curricular de la unidad de aprendizaje 14

1.1.1. Conceptos bsicos 15

1.1.2. Representacin de grficas 16

1.1.3. La ruta ms corta 17

1.1.4. rboles 18

1.1.5. Ordenamientos 19

1.2.1. Principios bsicos de conteo 20

1.2.2. Permutaciones y combinaciones 21

1.2.3. Algoritmos 22

1.2.4. Recursin 23

1.3.1. Representacin de nmeros en otras bases 25

1.3.2. Induccin matemtica 27

Prcticas de ejercicio y Listas de cotejo 29Resumen 33Autoevaluacin de conocimientos 34

Captulo 2 Lgica y conjuntos 35

Mapa curricular de la unidad de aprendizaje 36

2.1.1. Conjunto finito 37

2.1.2. Operaciones con conjuntos 38

2.1.3 Relaciones 39

2.1.4. Funciones 40

2.2.1. Proposiciones 41 Conectivos elementales 41 Tablas de verdad 42

4Informtica


Informtica

2.2.2. Proposiciones condicionales y equivalencia lgica 43

2.2.3. Cuantificadores 43

2.3.1. Circuitos combinatorios 44

2.3.2. lgebra booleana 45

2.3.3. Funciones booleanas 47

Prcticas de ejercicio y Listas de cotejo 49Resumen 61Autoevaluacin de conocimientos 62

Respuestas a la autoevaluacin de conocimientos por captulo 63Glosario 65Bibliografa 73Predominio del curso - mdulo ocupacional de E-CBNC 75

5Informtica


Informtica

I. MENSAJE AL ALUMNO

CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL

CURSO - MDULO OCUPACIONAL

MATEMTICAS DISCRETAS!

Esta modalidad requiere tu participacin einvolucramiento activo en ejercicios y prcti-cas con simuladores, vivencias y casos realespara propiciar un aprendizaje a travs deexperiencias. Durante este proceso debersmostrar evidencias que permitirn evaluartu aprendizaje y el desarrollo de la compe-tencia laboral requerida.

El conocimiento y la experiencia adquiridase vern reflejados a corto plazo en el mejo-ramiento de tu desempeo de trabajo, locual te permitir llegar tan lejos como quie-ras en el mbito profesional y laboral.

Este curso - mdulo ha sido diseado bajola Modalidad Educativa Basada en Normasde Competencia, con el fin de ofrecerte unaalternativa efectiva para el desarrollo de ha-bilidades que contribuyan a elevar tu poten-cial productivo, a la vez que satisfagan lasdemandas actuales del sector laboral.

6Informtica


Informtica

II. CMO UTILIZAR ESTE MANUAL

Las instrucciones generales que a continua-cin se te pide que realices, tienen la inten-cin de conducirte a que vincules las compe-tencias requeridas por el mundo de trabajocon tu formacin de profesional tcnico.

Redacta cuales seran tus objetivos per-sonales al estudiar este curso - mduloocupacional.

Analiza el Propsito del curso - mduloocupacional que se indica al principio delmanual y contesta la pregunta Me que-da claro hacia dnde me dirijo y qu eslo que voy a aprender a hacer al estudiarel contenido del manual? si no lo tienesclaro pdele al docente que te lo expli-que.

Revisa el apartado especificaciones deevaluacin son parte de los requisitosque debes cumplir para aprobar elcurso - mdulo. En l se indican las evi-dencias que debes mostrar durante elestudio del curso - mdulo ocupacionalpara considerar que has alcanzado losresultados de aprendizaje de cada uni-dad.

Es fundamental que antes de empezar aabordar los contenidos del manual ten-gas muy claros los conceptos que a con-tinuacin se mencionan: competencialaboral, unidad de competencia (bsica,genricas especficas), elementos de com-petencia, criterio de desempeo, campode aplicacin, evidencias de desempeo,evidencias de conocimiento, evidenciaspor producto, norma tcnica de institu-cin educativa, formacin ocupacional,

mdulo ocupacional, unidad de apren-dizaje, y resultado de aprendizaje. Si des-conoces el significado de los componen-tes de la norma, te recomendamos queconsultes el apartado glosario de trmi-nos, que encontrars al final del manual.

Analiza el apartado Normas Tcnicas decompetencia laboral Norma tcnicade institucin educativa.

Revisa el Mapa curricular del curso - m-dulo ocupacional. Esta diseado paramostrarte esquemticamentelas unidades y losresultados de aprendizaje que te permi-tirn llegar a desarrollar paulatinamente las competencias laborales que requierela ocupacin para la cual teests formando.

Realiza la lectura del contenido de cadacaptulo y las actividades de aprendizajeque se te recomiendan. Recuerda que enla educacin basada en normas de com-petencia laborales la responsabilidad delaprendizaje es tuya, ya que eres el quedesarrolla y orienta sus conocimientos yhabilidades hacia el logro de algunascompetencias en particular.

En el desarrollo del contenido de cadacaptulo, encontrars ayudas visualescomo las siguientes, haz lo que ellas tesugieren efectuar. Si no haces no apren-des, no desarrollas habilidades, y te serdifcil realizar los ejercicios de evidenciasdeconocimientos y los de desempeo.

7Informtica


Informtica

Estudio individual

Consulta con el docente

Comparacin de resultadoscon otros compaeros

Trabajo en equipo

Realizacin del ejercicio

Observacin

Investigacin de campo Portafolios de evidencias

Investigacin documental

Redaccin de trabajo

Repeticin del ejercicio

Sugerencias o notas

Resumen

Consideraciones sobreseguridad e higiene

Imgenes de referencia:

8Informtica


Informtica

III. PROPSITO DEL CURSO - MDULO OCUPACIONAL

Al finalizar el curso - mdulo ocupacional, el alumno solucionar problemasmediante las matemticas discretas para la realizacin de programas de cm-puto.

9Informtica


Informtica

IV. NORMAS DE COMPETENCIA LABORAL

Para que analices la relacin que guardan laspartes o componentes de la NTCL o NIE conel contenido del programa del curso - m-dulo ocupacional de la carrera que cursas, terecomendamos consultarla a travs de lassiguientes opciones:

Acrcate con el docente para que tepermita revisar su programa de estu-dio del curso - mdulo ocupacionalde la carrera que cursas, para que con-sultes el apartado de la norma reque-rida.

Visita la pgina WEB del CONOCERen www.conocer.org.mx en caso deque el programa de estudio del curso- mdulo ocupacional esta diseadocon una NTCL.

Consulta la pgina de Intranet delCONALEP http://intranet/ en caso deque el programa de estudio del cur-so - mdulo ocupacional est disea-do con una NIE.

10Informtica


Informtica

1El portafolios de evidencias es una compilacin de docu-mentos que le permiten al evaluador, valorar los conocimien-tos, las habilidades y las destrezas con que cuenta el alumno,y a ste le permite organizar la documentacin que integralos registros y productos de sus competencias previas y otrosmateriales que demuestran su dominio en una funcin espe-cfica (CONALEP. Metodologa para el diseo e instrumenta-cin de la educacin y capacitacin basada en competen-cias, Pg. 180).

V. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIN

Durante el desarrollo de las prcticas de ejer-cicio tambin se estar evaluando el desem-peo. El docente mediante la observacindirecta y con auxilio de una lista de cotejoconfrontar el cumplimiento de los requisi-tos en la ejecucin de las actividades y eltiempo real en que se realiz. En stas que-darn registradas las evidencias de desem-peo.

Las autoevaluaciones de conocimientos co-rrespondientes a cada captulo adems deser un medio para reafirmar los conocimien-tos sobre los contenidos tratados, son tam-bin una forma de evaluar y recopilar evi-dencias de conocimiento.

Al trmino del curso - mdulo debers pre-sentar un Portafolios de Evidencias1, el cualestar integrado por las listas de cotejo co-rrespondientes a las prcticas de ejercicio,las autoevaluaciones de conocimientos quese encuentran al final de cada captulo delmanual y muestras de los trabajos realiza-dos durante el desarrollo del curso - mdu-lo, con esto se facilitar la evaluacin delaprendizaje para determinar que se haobtenido la competencia laboral.

Deberas asentar datos bsicos, tales como:nombre del alumno, fecha de evaluacin,nombre y firma del evaluador y plan de eva-luacin.

11Informtica


Informtica

VI. MAPA CURRICULAR DEL CURSO MDULO OCUPACIONAL

Resultados de AprendizajeUnidad de AprendizajeCurso - Mdulo Ocupacional


1. Mtodo de Conteo yRecursin por medio deGrficas

1.1. Desarrol lar algoritmos mediantegrficas, ordenamientos y rbolespara la solucin de problemas.

10 hrs.

30 hrs.

72 hrs.

1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o yrecursin a partir del clculo deln m e r o d e e l e m e n t o s e n u nconjunto finito para el desarrollo dea l g o r i t m o s e n l a s o l u c i n d eproblemas

10 hrs.

1.3. Realizar operaciones aritmticas apartir de los sistemas de numeracincon base 2, 3 y 16 para la solucinde problemas

10 hrs.

2.1. Realizar operaciones mediante lautilizacin de los conceptos bsicosdel lgebra de conjuntos para lasolucin de problemas

15 hrs.

2.2. Generar tablas de verdad, utilizandoconectivos y cuantificadores para ladeterminacin del valor de verdad deproposiciones lgicas

15 hrs.

2.3. Solucionar problemas mediante el l g e b r a b o o l e a n a p a r a l ac o n s t r u c c i n d e c i r c u i t o scombinatorios

12 hrs.

2. Lgica y Conjuntos

42 hrs.

12Informtica


Informtica

13Informtica


Informtica

1CAPTULO 1 METODOS DE CONTEO Y RECURSIN

POR MEDIO DE GRFICAS

Al finalizar el captulo, el alumno elaboraralgoritmos utilizando las tcnicas de programacinestructurada para la solucin de problemas.

14Informtica


Informtica

MAPA CURRICULAR DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE





10 hrs.

30 hrs.

72 hrs.

1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o yrecursin a partir del clculo deln m e r o d e e l e m e n t o s e n u nconjunto finito para el desarrollo dea l g o r i t m o s e n l a s o l u c i n d eproblemas

10 hrs.


10 hrs.


42 hrs.

15Informtica


Informtica

SUMARIO

Conceptos bsicos

Representacin de grficas

La ruta ms corta

rboles

Ordenamiento

Principios bsicos de conteo

Permutaciones y combinaciones

Algoritmos

Recursin

Representacin de nmeros en otras ba-ses

Induccin matemticas

RESULTADO DE APRENDIZAJE

1.1. Desarrollar algoritmos mediante grfi-cas, ordenamientos y rboles para lasolucin de problemas.

1.1.1.CONCEPTOS BSICOS

EXPLICARA EL DESARROLLO DEALGORITMOS.

Un algoritmo es un conjunto limitado ( ofinito ) de instrucciones que tienes las siguien-tes caractersticas:

1. Precisin. Las instrucciones se enuncian

en forma precisa.

2. Univocidad. Los resultados intermedioscorrespondientes a cada paso de la eje-cucin estn definidos unvocamente yslo dependen de los datos de entrada yde los resultados de los pasos anterio-res.

3. Finitud. El algoritmo termina despus dela ejecucin de una cantidad finita de ins-trucciones.

4. Datos de Entrada ( input ). El algoritmorecibe datos que ingresan.

5. Datos de Salida ( output ). El algoritmorecibe datos que egresan.

6. Generalidad. El algoritmo se aplica a unconjunto de datos de entrada.

Vrtice.-Punto en que concurren dos ladosde un ngulo.

Arista.- Lnea resultante de la interseccinde dos superficies.

Grfica.-Representacin de datos numricospor medio de lneas que hacen visible la gra-dacin o relacin de estos datos.

rbol.- Es un grafo simple en el cual existeun nico camino entre cada par de vrtices,constituyen una de las subclases ms tilesde lo grafos y en su trazo se asemeja a unrbol con su ramificacin hacia abajo.

Lazo.- Es un arco que se forma al regresar elsentido al mismo punto.

Camino.- Un camino de longitud n de v a wes una sucesin de lados que va de v a w y

16Informtica


Informtica

la cual tiene n lados distintos entre s.

Circuito.- Es un camino de v a v y es de laforma ( Vo, V1, V2,...,Vn)

Grfico Conexo.- Se dice que un grafo G esconexo si para cualquier par de vrtices u yw, distintos entre s, existe un camino de v aw.

MATRIZ DE ADYACENCIA

Si se desea analizar un grafo utilizando unacomputadora, se necesita una representacinms formal. Un primer mtodo de repre-sentacin de un grafo lo constituye la ma-triz de adyacencia.

Para obtener la matriz de adyacencia de estegrafo se selecciona un orden arbitrario paralos vrtices, por ejemplo a, b, c, d, e. A con-tinuacin, se le asigna a las filas y las colum-nas de una matriz el mismo orden dado alos vrtices. Un elemento de la matriz es 1 silos vrtices correspondientes a la fila ( o ren-gln ) y a la columna de dicho elemento es-tn unidos por un lado, y 0 en caso contra-rio. La matriz de adyacencia para este grafoest dad por:

MULTIPLICACIN DE MATRICES CUADRADAS.

Para multiplicar la matriz A por la matriz Bse requiere que el nmero de columnas deA sea igual al nmero de filas de B.

Un rbol binario.- Es uno con raz en el cualcada vrtice tiene un hijo a la derecha o unhijo a la izquierda, o un hijo a la derecha yuno a la izquierda, o bien, ningn hijo.

1.1.2. REPRESENTACIN DEGRFICAS

Cuando utilizamos un mapa de carreteras,nos interesa ver cmo llegar de un pueblo aotro por medio de las carreteras que se indi-can en el mapa. En consecuencia, tratamoscon dos clases distintas de objetos paradefinir una relacin. Si V denota el conjuntode pueblos y A el conjunto de carreteras ,podemos definir una relacin R sobre V

a b c d e a 0 1 0 0 1 b 1 0 1 0 1 c 0 1 1 0 1 d 0 0 0 0 1 e 1 1 1 1 0

a b c c e

1 6 A = 4 2 3 1

1 2 -1 B = 4 7 0

a b c d

a c

Resultado

ax + by cx + dy

17Informtica


Informtica

como a R si podemos viajar de a a b son dedoble sentido, entonces tambin tenemos bR a. Si todas las carreteras son de doblesentido, tenemos una relacin simtrica.

Una forma de representar cualquier relacines enumerar los pares ordenados que sonsus elementos. Aqu sin embargo es msconveniente usar un diagrama como sigue:

Sea V un conjunto finito no vaco , y sea E VX V. El par ( V, E ) es un grafo dirigido (sobre V) , o digrafo ( sobre V ) , donde V esel conjunto de vrtices, o nodos y E es suconjunto de aristas. Escribimos G = (V, E)para denotar tal digrafo.

La figura anterior proporciona un ejemplode un grafo dirigido sobre V = {a,b,c,d,e)con E= { (a,a), (a,b), (a,d), (b,c )}. La direc-cin de una arista se indica al colocar unaflecha dirigida sobre ella, como se ve. Paracualquier arista, como (b,c) decimos que laarista es incidente con los vrtices b,c; b esadyacente hacia c, mientras que c es adya-cente desde b. Adems, el vrtice b es elorigen , o fuente, de la arista ( b , c) y elvrtice c es el trmino, o vrtice terminal . Laarista ( a, a) es un ejemplo de un lazo y elvrtice e que no tiene aristas incidentes esun vrtice aislado.

1.1.3.LA RUTA MS CORTA

Cuando se quiere visitar todos los vertices

de una grfica regresando al punto departidanos interesa nicamente encontrar laruta mas corta de un vertice a otra grfica.Consideraremos un sistema de carreteras eintersecciones. Una persona desea viajar des-de su automovil desde una interseccin Adel sistema hacia otra interseccin B. En ge-neral hay muchas rutas disponibles de A aB. El problema consiste en determinar unaruta para la cual la distancia recorrida sea lamenor posible, es decir la ruta ms corta.Suena similar? en trminos puramente ma-temticos, recurriendo al lenguaje de teorade grficas, el problema de la ruta ms cor-ta consiste en determinar una trayectoria demenor peso total que une a cualquiera dosvrtices de una grfica ponderada conexa.As planteando el problema, y de acuerdocon la experiencia que hemos adquirido, yate podrs haber imaginado la cantidad desituaciones prcticas que este problema ma-temtico representa. Si recordamos que lepeso de las aristas pueden representar dis-tintas variables (distancia, tiempo, costo, etc.)y que los vrtices pueden representar dis-tintos objetos (ciudades, intersecciones decalles, etc.), el problema de la ruta ms cor-ta estar involucrado en cualquier problemaprctico de la vida real en el que el objetivosea encontrar la manera ms eficiente deinterconectar a cualesquiera dos de estosobjetos.

Una posible manera de resolverlo es recurrira la fuerza bruta como ya hemos hecho an-tes, enlistando de una manera sistemticatodas las posibles rutas (trayectorias) entrelos dos vrtices en cuestin, calculando elpeso total de cada una de ellas, y seleccio-nando la de menor peso total. Como ya sa-bemos este no es un procedimiento eficien-te cuando la grfica involucrada tiene mu-

18Informtica


Informtica

chos vrtices, y el trabajo se vuelveinmanejable incluso para unasupercomputadora. Lo que necesitamos esun algritmo eficiente para determinar la rutams corta en el que el trabajo necesario nocrezca muy rpidamente cuando el tamaode la grfica crece. Afortunadamente en elproblema de la ruta ms corta nos encontra-mos nuevamente ante una de esas situacio-nes excepcionales en donde todo funcionamuy bien y en donde, como en el problemade los rboles generadores mnimos, conta-mos con un algoritmo simple, ptimo y efi-ciente. El algoritmo que se usa para encon-trar una trayectoria ptima se atribuye a E.W. Dijistra, nacido en los pases bajos en1930, y considerado como uno de lostericosoriginales de las ciencia de la com-putacin moderna El algoritmo de dijistra,llamado as en su honor, permite encontrarla trayectoria ms corta de un vrtice de unagrfica hacia cada uno de los otros vrticesde la grfica.

1.1.4.RBOLES

Es una estructura no lineal en la que cadaelemento esta relacionado con dos o mselementos. Un rbol consta de un conjuntode nodos en las que adems de la propiainformacin contiene direccin de otrosnodos de menor importancia o jerarqua ycumple las siguientes condiciones:

a) Existe un nodo raz

b) El resto de los nodos se distribuye enun nmero n de subconjuntos distintos.

c) Cada uno de estos subconjuntos es unsubrbol de nodo raz.

- Grado de un nodo

Es l numero de subrboles de ese nodo.

- Camino de un nodo

Es el conjunto de aristas a travs de las cua-les se pasa desde el nodo raz a ese nodo.

Todo rbol est compuesto por una jerar-qua de elementos llamados nodos. El nivelsuperior de la jerarqua tiene un slo nodo,al que se llama raz. Excepto la raz, todonodo est vinculado a otro nodo de nivelsuperior que llamaremos antecesor o padre.Ningn elemento puede tener ms de unantecesor. En cambio, todo elemento puedetener uno o ms elementos relacionados conl, en un nivel inferior, a los que llamaremosdescendientes o hijos. Los elementos que notienen descendientes se llaman hojas y laslneas que unen unos nodos con otros ra-mas. Se dice que un rbol es N-ario cuandoel nmero mximo de descendientes de cadauno de los nodos es N. Todo rbol N-ariopuede convertirse en un rbol binario equi-valente y, frecuentemente, es sta la formade representar un rbol en la memoria cen-tral del computador, por ser ms simpleslos procesamientos relacionados con ellos.

- rboles binarios

Un rbol binario es una estructura que pue-de estar formada por:

Ningn elemento (rbol vaco).

Una raz y un nmero finito de nodos. Cadauno de ellos estar constituido por dossubrboles distintos (ocasionalmente vacos)llamados subrbol izquierdo y subrbol de-recho del rbol binario.

La altura y profundidad de un rbol binario

19Informtica


Informtica

es el nmero de nodos que constituye el ca-mino ms largo desde la raz hasta un hoja.Un rbol vaco tiene una profundidad nula.Decimos que un rbol binario est equilibra-do si la diferencia entre las alturas de losdos subrboles de cada uno de los nodosdel rbol es como mximo igual a la unidad,es decir, si para todo nodo del rbol se cum-ple:Valor abs (altura (subrbol-izq) - altura (subrbol-der)= 1

Operaciones

Las operaciones usuales sobre un rbolbinario son:

- Recorrido del arbol.

- Insercin de elementos.

- Eliminacin de elementos.

Existen tres modos estndar de recorrer unrbol binario de raz R. Estos tres algoritmos,denominados preorden, orden central ypostorden, son los siguientes:losprocesamientos relacionados con ellos.

Existen tres modos estndar de recorrer unrbol binario de raz R. Estos tres algoritmos,denominados preorden, orden central ypostorden, son los siguientes:

Preorden: R - A - B.

Orden central: A - R - B.

Postorden: A - B - R.

Ejemplo:Sea T = ( V, E ) un rbol con raz r. Si T no tiene otrosvrtices, entonces la misma raz es el recorrido enorden previo y orden posterior de T. Si |V| > 1 , sean

T1, T2, T3,...,Tk los subrboles de T, de izquierda aderecha

a) El recorrido en orden previo de T visita primero ry despes recorre los vrtices de T1 en orden previo,despus los vrtices de T2 en orden previo y assucesivamente, hasta recorrer los vrtices de Tk enorden previo.b) El recorrido en orden posterior de T recorre enorden posterior los vrtices de los subrboles T1, T2,T3,...,Tk para despus llegar a la raz.

1.1.5. ORDENAMIENTOS

Sean L1 y L2 dos listas ordenadas con nme-ros ascedentes, donde Li contiene ni elemen-tos, i=1,2 . Entonces L1 y L2 puedenintercalarse en una lista ascedente L con unmximo de n1+n2 1 comparaciones.

Para intercalar las listas L1 , L2 en la lista L,utilizamos el siguiente algoritmo.

PASO 1 : Hacemos L igual a la lista vaca

PASO 2: Comparamos los primeros elemen-tos de L1 , L2 . Eliminamos el menor de ellosde su lista correspondiente y lo colocamosal final de L.

PASO 3: Para las listas actuales L1 , L2 ( cadavez que se ejecuta el paso 2 se modifica unade estas listas), hay dos casos.

a) Si alguna de las listas L1 , L2 es vaca,entonces la otra se concatena al final de L, loque completa la insercin.

b) En caso contrario, regresamos al paso2.

Cada comparacin de un nmero de L1 con

20Informtica


Informtica

uno L2 hace que un elemento se coloque alfinal de la lista L, por lo que no hay ms den1+n2 comparaciones. Cuando una de las lis-tas L1 , L2 es vaca, no necesitamos ms com-paraciones, por lo que el nmero mximode comparaciones necesarias es n1+n2 1.

Trabajo en equipo

Revisa en grupo los concep-tos de vrtice, arista, grficadirigida, lazo, camino, circui-to, grfica conexa, rbol ysubgrfica.

Resuelve por equipos losproblemas de los puentes yagente viajero deKoenigsberg.

Representa en forma grupaluna grfica dada por su ma-triz de adyacencia.


Realiza multiplicaciones dematrices cuadradas.

Localiza la potencia de ma-trices de adyacencia de gr-ficas.

Redaccin de trabajo

Define en grupo las grficasponderadas y revisa el algo-ritmo de Dijkstra para la rutams corta y el algoritmo de

burbujeo para el ordena-miento de un arreglo de da-tos.


Soluciona los problemas.

Recopila y define rbol libre,rbol con raz, rbol binarioy rbol generador de unagrfica.


1.2. Operar tcnicas de conteo y recursina partir del clculo del nmero de ele-mentos en un conjunto finito para eldesarrollo de algoritmos en la solucinde problemas.

1.2.1. PRINCIPIOS BSICOS DECONTEO

CONTEO

Si una actividad puede realizarse en t pasosy el paso 1 se puede hacer en n1 formas, elpaso 2 puede hacerse en n2 formas,..., y elpaso t, en nt formas, entonces el nmero deactividades posibles en n1* n2 ........ nt

Ejemplo Cuntos arreglos o cadenas de lon-gitud 2 se pueden formar usando las letrasABC, si se permite repetir letras?

Se tienen tres posibilidades para la eleccinde la primera letra y tres posibilidades para

21Informtica


Informtica

la segunda. Se desprende que hay 3 * 3 = 9arreglos posibles, ejemplo:

Cuntos arreglos de ocho bits comienzan con 101 obien 111?

Una cadena de ocho bits que comience en 101 sepuede construir en cinco pasos sucesivos: seleccio-nar el cuarto bit, seleccionar el quinto bit,..., seleccio-nar el octavo bit.

Ya que hay dos maneras diferentes de seleccionarcada bit, por el Primer Principio del conteo, hay

2* 2 * 2 * 2 * 2 = 25 = 256

1.2.2.PERMUTACIONES YCOMBINACIONES

PERMUTACIN.

Una permutacin de objetos implica ordenmientras que una combinacin no toma encuenta el orden de los objetos considerados.

1) Una permutacin r de X, donde r

22Informtica


Informtica

C(8,4) = 70 formas.

FACTORIAL

Ejemplo:

3! = 1 * 2 * 3 =64!= 1 * 2 * 3 * 4 =24

COEFICIENTE BINOMIAL.

Los nmeros C (n,r) se llaman coeficientesbinomiales, pues aparecen en el desarrollodel binomio a + b elevado a una potencia.La interrelacin entre los nmeros que apa-recen en los problemas de conteo y los queaparecen en expresiones algebraicas tiene im-portantes implicaciones.

Una identidad que es en consecuencia dealgn proceso de conteo se denomina iden-tidad combinatoria y el razonamiento quelleva a su formulacin se conoce como razo-namiento (o argumento) combinatorio.

1.2.3.ALGORITMOS

En primer lugar, un algoritmo es una lista deinstrucciones precisas diseadas para resol-ver un tipo de problema particular, no sola-mente un caso especial. En general, espera-mos que todos nuestros algoritmos recibanuna entrada y nos proporcionen el resultado(o resultados) necesario como salida. De igualmodo, un algoritmo debe proporcionar elmismo resultado si repetimos el valor ( ovalores ) para la entrada. Esto sucede cuan-do la lista de instrucciones es tal que cadaresultado intermedio proveniente de la eje-cucin de cada instruccin es nico y slo

depende de la entrada (inicial) y de cualquierresultado que se pudiera haber obtenido encualquier de las instrucciones precedentes.

Para lograr esto hay que eliminar toda va-guedad del algoritmo; las instrucciones de-ben describirse de forma simple, pero noambigua, de modo que pueda ser ejecutadapor una mquina. Por ltimo, nuestro algo-ritmo no puede continuar por siempre.

Tal como est establecido, no proporcionalas instrucciones precisas para determinar lasalida deseada.

Es una serie de operaciones detalladas y noambiguas, a ejecutar paso a paso y que con-ducen a la resolucin de un problema.

Caractersticas de los algoritmos

Finitud

Un algoritmo debe ser finito. Si se sigue unalgoritmo, se debe terminar en algn mo-mento.

Precisin

Un algoritmo debe ser preciso e indicar elorden de realizacin de cada paso.

Entradas y salidas

Un algoritmo debe estar definido. Si se si-gue un algoritmo dos veces, se debe obte-ner el mismo resultado cada vez.

Efectividad

La definicin de un algoritmo describe trespartes: entrada, proceso y salida. Un algo-

23Informtica


Informtica

ritmo implica generalmente alguna entrada(algo que existe y es utilizado por el algorit-mo), produce tambin resultados denomi-nados salida.

Ejemplo:Determinaremos el mximo comn divisor de 250 y111, y expresaremos el resultado como una combina-cin lineal de estos enteros.

250 = 2(111) + 28, 0 < 28 < 111111= 3(28) + 27, 0< 27

24Informtica


Informtica

Sea fi el nmero de parejas de conejos alcabo del i-simo mes. Entonces

f0 = 1

Al final del primer mes hay slo una pareja,ya que comienza a ser productiva despusde un mes. Por consiguiente,

f 1= 1

Las ecuaciones anteriores son las condicio-nes iniciales para la sucesin de Fibonacci .El aumento en las parejas de conejos fn fn-1del mes (n-1) al mes n se debe a que cadapareja viva en el mes ( n-2 ) produce unapareja adicional. Esto es,

fn fn-1 = fn-2

o bien

fn = fn-1 + fn-2

La relacin de recurrencia con las condicio-nes iniciales anteriores define una sucesinde Fibonacci. Puede verificarse que la solu-cin a la pregunta de Fibonacci es f12 = 233.

LA TORRE DE HANOI

La torre de Hanoi es un juego de ingenieroque consiste en tres espigas verticales quesalen de una tabla y n discos de varios ta-maos, cada uno de los cuales posee un ori-ficio central. Se asume que si un disco estensartado en una espiga, slo uno de di-metro menor puede colocarse sobre aqul.Si todos los discos estn ensartados en unaespiga y solo se permite mover un disco a lavez, el problema consiste en transferir losdiscos a otra espiga, cumpliendo la condi-cin anterior.

Si Cn denota el nmero de movimientos conlos cuales se puede resolver el problema delos n discos, encuntrense una relacin deconcurrencia y una condicin inicial para lasucesin C1, C2,...

Supngase que se tienen n discos en la espi-ga 1, Entonces, en Cn-1 movimientos, pue-den moverse los n 1 discos de arriba a laespiga. Durante estos movimientos el discoinferior de la espiga 1 permanece fijo. A con-tinuacin se pasa a la espiga 3 el disco quequed en la 1. Finalmente en Cn-1 movimien-tos, se pueden pasar a la espiga 3 los n-1discos que estn en la 2, por lo tanto, larelacin de recurrencia buscada es

Cn = 2Cn-1 + 1

La condicin inicial es

C1 = 1

Trabajo en equipo

Revisa en grupo sobre elprincipio de multiplicacin yadicin.

Resuelve en grupo proble-mas utilizando el principio deconteo.

Revisa en grupo sobrepermutacin de n elemen-tos tomados de r en r.

Revisa en grupo sobre com-binaciones de n elementostomados de r en r.

25Informtica


Informtica

Soluciona y expondr porequipos los problemas deFibonacci, torre de Hanoi,factorial de un entero y trin-gulo de Pascal.


Realiza ejercicios de factorialy coeficiente binomial.

Realiza algoritmos de bs-queda binaria y algoritmospara la obtencin del elemen-to mximo y mnimo de unarreglo de datos.

Realiza la prctica de ejerci-cio nm. 1: Algoritmo delmtodo de burbuja.

Estudio individual

Resuelve los problemas uti-lizando variaciones,permutaciones con repeti-cin y sin repeticin, as comopermutaciones circulares.


1.3. Realizar operaciones aritmticas a par-tir de los sistemas de numeracin conbase 2, 3 y 16 para la solucin de pro-blemas.

1.3.1. REPRESENTACIN DENMEROS EN OTRAS BASES

REPRESENTACIN DE NMEROS EN OTRASBASES.

Los dgitos en un sistema numrico se deno-mina Raz o Base del sistema. Los dgitos enel sistema varan en valor desde 0 hasta r 1, donde r es la base. Para el sistema deci-mal, r=10 y los dgitos varan en valor des-de 0 hasta (10-1)=9.

En la llamada notacin posicional de un n-mero, el punto de la base separa la porcinentera de un nmero de la porcinfraccionaria. Si no existe porcinfraccionaria, el punto de la base no se mues-tra explcitamente en la notacin posicional.Adems, cada posicin en la representacintiene un peso asociado con l. El peso decada posicin es equivalente a la base eleva-da a una potencia. La potencia se inicia con0 en la posicin inmediata a la izquierda delpunto de la base y aumenta de uno en unoconforme se desplaza hacia la izquierda, ydisminuye de uno en uno conforme se correhacia la derecha. Un nmero clsico del sis-tema decimal se muestra a continuacin.

1256.932 tiene punto decimal, tiene parteentera y parte fraccionaria

103 102 101 100. 10-1 10-2 10-3 pesos

Las potencias aumentan de 1 en 1. Las po-tencias disminuyen de 1 en 1

Este nmero tambin puede representarsecomo un polinomio:

1x103+2x102+5x101+6x100+9x10-1+3x10-2+2x10-3

26Informtica


Informtica

De esta manera podemos generalizar estasdos representaciones a cualquier sistemanumrico.

Por lo general, N es la notacin posicional deun nmero:

N=( an...a3a2a1a0.a-1a-2a-3a-m)r

Donde r es la base de los sistemas numri-cos; a-1, a0, a1, a2, etctera, son dgitos talescomo 0

27Informtica


Informtica

X 8-2

= 2048 + 320 + 16 + 6 + 2/8 + 3/64 (de-cimal )

= (2390 19/64)10

SISTEMA HEXADECIMAL

En este sistema , r= 16 y los dgitos permiti-dos son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E Y F.

Los dgitos de la A a la F corresponden a losvalores decimales de 10 hasta 15 , respecti-vamente. En el siguiente ejemplo se mues-tra un nmero representativo.Ejemplo

N = (A 1 F. 1 C )16= 162161160 . 16-1 16-2= A x 162 + 1 X 161 + F X 160 + 1 X 161 + C X 162Forma polinomial= 10 x 162 +1X 161 +15 x 160 +1 x 16-1 + 12 x 16-2 (decimal )= (2591 28/256) 10

CONVERSIN

(245)10 = ( X ) 2

= ( 1110101 )2

ejemplo

( 245 ) 10 = ( X )8

= ( 365 ) 8

ejemplo

( 245 )10 = ( X )16

= ( F5 ) 16

1.3.2. INDUCCIN MATEMTICA

Supngase que se tiene una proposicin S(n)para cada entero positivo n, la cual es ver-dadera o falsa. Consideremos que:

S(1) es verdadera;

Si S(i) es verdadera para todo i < n+1, en-tonces S(n+1) es verdadera

De modo que S(n) es verdadera para todoentero positivo n.Ejemplo

Emplese induccin para probar que:

n! >= 2n-1 para n= 1,2,...

Debe demostrarse que es verdadera si n =1 , esto seconsigue fcilmente debido a que:

1! = 1 >= 1 = 2 1-1Debe probarse que si i! >= 2 i-1 para i= 1,2...,nentonces:

(n+1)! >= 2n

Supngase que i! >= 2 i-1< para i= 1,2,...,n, Entonces,en particular, para i = n se tiene que:

2 245 2 122 1 2 61 0 2 30 1 2 15 0 2 7 1 2 3 1 2 1 1 0 1

8 245 8 30 5 8 3 6 8 0 3

16 245 16 15 5=5 0 15 = F

28Informtica


Informtica

n! >= 2n-1

Es posible relacionar las ecuaciones anterioresobservando que:

(n+1) ! = (n+1) (n!)

Ahora bien :

(n+1) ! = (n+1) (n!) >= (n+1) 2 n-1

>= 2 * 2n-1>= 2n

Consecuentemente es verdadera . Se ha ter-minado as el Paso inductivo.

Puesto que se han verificado el Paso Bsico yel Paso Inductivo, el principio de Induccinmatemtica establece que es verdadera paratodo entero positivo n.

Trabajo en equipo

Representa en grupo nme-ros reales en base 2, 3 y 16.

Realiza en grupo las cuatrooperaciones elementales enotras bases.

Revisa en grupo el principiode induccin matemtica.


Realiza ejercicios.

Realiza un resumen sobre eltema.


Demuestra por equipos laspropiedades de los enterosutilizando el principio de in-duccin matemtica.

InformticaMatemticas Discretas

Informtica

29

PRCTICAS DE EJERCICIO Y LISTAS DE COTEJO

Portafolios de evidencias

Desarrollo de la Prctica

Unidad de Aprendizaje: 1 Prctica Nm.: 1

Nombre de la Prctica: Algoritmo del mtodo de burbuja. Propsito: Al finalizar la prctica, el alumno realizar la prueba de escritorio para el algo-ritmo de la burbuja para conocer el procedimiento de ordenacin Escenario: Aula Duracin: 4 hrs.

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Hojas Lpiz Goma


Informtica

30

Procedimiento

1. Escribir un algoritmo guardando la sangra debida entre cada instruccin. 2. Escribir Inicio 3. Escribir i se le asigna 1 4. Escribir repetir 5. Escribir NoIntercambio se le asigna trufe 6. Escribir desde j se le asigna hasta n-i hacer 7. Escribir s A[j] > A[j+1] 8. Escribir entonces Intercambio (A[j], A[j+1]) 9. Escribir NoIntercambio se le asigna false 10. Escribir fin-si 11. Escribir fin-desde 12. Escribir i se le asigna y+1 13. Escribir hasta-que NoIntercambio = Trufe 14. Escribir Fin 15. Realizar una prueba de escritorio a este algoritmo.


Informtica

31

Lista de cotejo de la prctica nmero: 1

Algoritmo del mtodo de burbuja. Fecha:

Nombre del alumno:

Instrucciones: A continuacin se presentan los criterios que van a ser verificados en el des-empeo del alumno mediante la observacin del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeo.

Desarrollo S No No

aplica 1. Escribi un algoritmo guardando la sangra debida entre

cada instruccin.

2. Escribi Inicio

3. Escribi i se le asigna 1

4. Escribi repetir

5. Escribi NoIntercambio se le asigna trufe

6. Escribi desde j se le asigna hasta n-i hacer

7. Escribi s A[j] > A[j+1]

8. Escribi entonces Intercambio (A[j], A[j+1])

9. Escribi NoIntercambio se le asigna false 10. Escribi fin-si

11. Escribi fin-desde

12. Escribi i se le asigna y+1

13. Escribi hasta-que NoIntercambio = Trufe

14. Realizar una prueba de escritorio a este algoritmo.

15. Escribi Fin


Informtica

32

Observaciones:

Docente: Hora de inicio:

Hora de trmino: Evaluacin:

33Informtica


Informtica

RESUMEN

Un algoritmo es una lista de instruccionesprecisas diseadas para resolver un tipo deproblema particular, no solamente un casoespecial. En general, esperamos que todosnuestros algoritmos reciban una entrada ynos proporcionen el resultado necesariocomo salida. De igual modo, un algoritmodebe proporcionar el mismo resultado si re-petimos el valor para la entrada. Esto suce-de cuando la lista de instrucciones es tal quecada resultado intermedio proveniente de laejecucin de cada instruccin es nico y slodepende de la entrada (inicial) y de cualquierresultado que se pudiera haber obtenido encualquier de las instrucciones precedentes.

Este captulo describe un conjunto de mto-dos distintos para un mismo objetivo. Elanlisis matemtico de algunos de estosalgoritmos muestra sus ventajas e inconve-nientes y hace consciente al estudiante de laimportancia del anlisis en la eleccin debuenas soluciones para un problema dado.La divisin en mtodos para realizar la orde-nacin interna y externa pone de relieve lainfluencia crucial de la representacin de losdatos en la seleccin de algoritmos aplica-bles y en su complejidad. El espacio asigna-do a los algoritmos de ordenacin no seratan amplio en este manual si no fuera porque este tipo de algoritmos constituye unvehculo idneo para ilustrar muchos princi-pios de programacin.

34Informtica


Informtica

AUTOEVALUACIN DE CONOCIMIENTOS

1. Qu es el lgebra Booleana?

2. Cules son las operaciones bsicas del lgebra boolena?

3. Qu es un algoritmo?

4. Qu es una funcin?

5. Qu es una combinacin?

6. Qu es una permutacin?

7. Cul es el procedimiento para realizar circuitos combinatorios?

8. Qu es una tabla de verdad?

9. Qu la induccin matemtica?

10. Qu procedimiento se sigue para hacer una induccin matemtica?


35Informtica


Informtica

2CAPTULO 2 LGICA Y CONJUNTOS

Al finalizar el captulo, el alumno realizaroperaciones aplicando algebra de conjuntos parala solucin de problemas.

36Informtica


Informtica

MAPA CURRICULAR DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE





10 hrs.

30 hrs.

72 hrs.

1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o yrecursin a partir del clculo deln m e r o d e e l e m e n t o s e n u nconjunto finito para el desarrollo dea l g o r i t m o s e n l a s o l u c i n d eproblemas 10 hrs.


10 hrs.


42 hrs.

37Informtica


Informtica

SUMARIO

Conjunto finito

Operaciones con conjuntos

Relaciones

Funciones

Proposiciones

Proposiciones condicionales y equivalen-cia lgica

Cuantificadores

Circuitos combinatorios

lgebra booleana

Funciones booleanas


2.1. Realizar operaciones mediante la utili-zacin de los conceptos bsicos del l-gebra de conjuntos para la solucin deproblemas.

2.1.1.CONJUNTO FINITO

Un conjunto puede designarse enumerandosus elementos dentro de llaves. Por ejemplosi A es el conjunto formado por los cincoprimeros enteros positivos, escribimos A={1,2,3,4,5}. En este caso 2 E A pero 6 nopertenece a A.

Otra notacin comn para este conjunto esA= { x | x es un entero y 1

38Informtica


Informtica

C, podemos describir los conjuntos en tr-minos de las propiedades que deben satis-facer sus elementos o enumerar los elemen-tos suficientes para indicar, esperemos, unpatrn evidente. Para cualquier conjunto fi-nito A, |A| denota el nmero de sus ele-mentos y se conoce como el cardinal, o ta-mao, de A. En este ejemplo, tenemos que|A| = 9 y |B| = 4.

En este caso, los conjuntos B yA son talesque todo elemento de B es tambin un ele-mento de A. Esta importante relacin apa-rece en toda la teora de conjuntos y susaplicaciones, y conduce a la siguiente defini-cin.

2.1.2.OPERACIONES CONCONJUNTOS

Conjunto.- Llamamos conjunto a una colec-cin de objetos y a los objetos que lo for-man se les llama elementos del conjunto.

Proposiciones.- Una expresin que deba serverdadera o falsa pero no ambas, la llama-remos una proposicin.

Funcin.- Es una regla de correspondenciaque asocia a cada objeto x de un conjuntollamado dominio un valor nico f(x) de unsegundo conjunto. El conjunto de valores asobtenidos se llama rango de la funcin.

Esto se escribe : I=A n B

Que se lee a Interseccin con B

La adicin y la multiplicacin de enterospositivos son operaciones binarias cerradasen Z+.

Por ejemplo, cuando calculamos a + b , para

a, b E Z+ , hay dos operandos , a y b; porello, la operacin se llama binaria. Como a+ b E Z+ , decimos que la operacin binariaadicin ( en Z+ ) es cerrada. Sin embargo, laoperacin binaria de la divisin ( con divisordistinto de cero ) no es cerrada en Z+ , yaque, por ejemplo , ( = 1 / 2) no perteneceZ+ , aunque 1,2 E Z+ . Pero esta operacin ses cerrada cuando consideramos el conjuntoQ+ en lugar del conjunto Z+

PERTENENCIA.- Para indicar que un elemen-to a pertenece a un conjunto E debes escri-bir:

a E E

y lo lees: a pertenece a E

o bien: a es un elemento de E

Lo anterior podra indicarte, por ejemplo, queAlfredo (a) pertenece a la familia Escandn(E).

Si b no pertenece a E, escribes:

A E E

CONJUNTO VACIO.- Si un conjunto carece deelementos , es decir, si no tiene ningn ele-mento, es un conjunto vaco y se denotacomo:

CONJUNTO UNITARIO.- Es un conjunto quepuede contar exclusivamente de un solo ele-mento.

CONTENCIN.- Todo conjunto M compues-to de elementos que pertenecen a un con-junto E, est incluido en el conjunto E, y cons-tituye un subconjunto o una parte de E.

Se considera adems:

39Informtica


Informtica

1) Todo conjunto E est incluido en si mis-mo.

E C E

2) El conjunto vaco est incluido en todoconjunto E: C E

3) A C B y B C A => A=B En efecto todoelemento de A pertenece a B y todo ele-mento de B pertenece a A,, slo si A =B.

4) A C B y B C C => A C C Si todoelemento de A pertenece a A, y todo ele-mento de B pertenece a C, entonces, todoelemento de A pertenece a C.

SUBCONJUNTO.- El conjunto S de los ros sud-americanos est totalmente incluido en elconjunto A de los ros de Amrica. Se diceque entonces que est incluido en A, que Ses un subconjunto de A, o que S es una par-te de A y se escribe:

S C A

RELACIN.- Cuando tienes una proposicinque es verdadera para ciertos pares de unproducto cartesiano de dos conjuntos, se diceque hay una relacin binaria de un conjuntohacia el otro conjunto.

INTERSECCIN.- El conjunto I formado porlos elementos comunes a dos conjuntos A yB, se llama interseccin de esos dos conjun-tos.

Operaciones con conjuntos:

a) A U B ( la unin de A y B ) = { x | x E A

V x E B }.

b) A B ( la interseccin de A y B) = { x |x E A x E B }.

c) A B ( la diferencia simtrica de A yB ) = { x | x E A V x E x A B} = {x|x EA U B x A B }Ejemplo

Si U = { 1,2,3,...,9 ,10}, A = {1,2,3,4,5} y C = {7,8,9},tenemos:

a) A B = {3,4,5}b) B C = {7}c) A B = { 1,2,6,7}d) A C = { 1,2,3,4,5,7,8,9}e) A U B = { 1,2,3,4,5,6,7}f) A C = g) A U C = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9}

2.1.3 RELACIONES

Con A, B, U como en este ejemplo las rela-ciones de A en B.

a)

b) {(2,4)}

c) { (2,4), (2,5)}

d) { ( 2,4) , (3,4), (4,4)}

e) {(2,4), (3,4),(4,5)}

f) A X B

Como | A X B | = 6, se sigue de la defini-cin que 26 posible relaciones de A en B.

En general, para conjuntos finitos A, B con |A | = m y | B | = n , existen 2mn relaciones

40Informtica


Informtica

de A en B, incluyendo la relacin vaca y lapropia relacin A X B .

Tambin existen 2nm (=2mn ) relaciones de Ben A, una de las cuales es tambin y otraes B X A. La razn por la que obtenemos elmismo nmero de relaciones de B en A quede relaciones de A en B es cualquier relacinR1 de B en A puede obtenerse a partir deuna nica relacin R2 de A en B, invirtiendosimplemente las componentes de cada parordenado en R2 .

Sea B= {1,2} N, U = P ( B ) y A = U = { ,{1}, {2}, {1,2}}. El siguiente es un ejemplode una relacin binaria en A: R = {(,),(,{1}), (,{2}), (,{1,2}), ({1},{1}),({1},{1,2}), ({2},{2}),({2},{1,2},({1,2},{1,2})}.

Podemos decir que la relacin R es la rela-cin inclusin, donde ( C, D) E R si y slo siC, D B y C D.

2.1.4.FUNCIONES

Para los conjuntos no vacos A, B, una fun-cin, o aplicacin, f de A en B, que se deno-ta con f: A B, es una relacin de A en Ben la que cada elemento de A aparece exac-tamente una vez como la primera compo-nente de un par ordenado en la relacin.

Con frecuencia escribimos f(a) = b cuando(a,b) es un par ordenado en la funcin f. Si(a,b) E f, b se conoce como la imagen de amediante f, mientras que a es una preimagende b. Adems, la definicin sugiere que f esun mtodo para asociar a cada a E A unanica b E B; denotamos este proceso con f(a) = b. En consecuencia , (a , b), ( a ,c) E f

implica b=c.

DOMINIO.- Es el conjunto de objetos a losque la funcin asigna valores.

RANGO.- Es el conjunto de valores obteni-dos.Ejemplo

Si F es la funcin cuya regla es F(x)= x2 +1 y si seespecifica que el dominio es {-1, 0, 1, 2, 3 } entoncesel rango es: { 1, 2, 5, 10}

Consideremos la funcin f: R R tal quef(x) = 3x + 7 para todo x E R. Entoncespara cualesquiera x1, x2 E R, tenemos que

f(x1) = f(x2) 3x1 + 7 = 3x2 + 7 3x1 = 3x2 x1 = x2

por lo que la funcin dada f es uno a uno.

Por otro lado, supongamos que g: R Res la funcin definida como g(x) = x4 xpara cada nmero real x. Entonces

g(0) = (0)4 0 = 0 y g(1) = (1)4 (1) = 1-1=0

En consecuencia , g no es uno a uno, ya queg(0) = g(1) pero 0 1, es decir, g no es unoa uno ya que existen nmeros reales x1, x2tales que g(x1) = g2(x) x1 x2.

3 10 2 5 1 2 0 1 -1 dominio Rango

41Informtica


Informtica


Recopila informacin sobreconjunto, pertenencia, con-tencin, subconjunto, con-junto vaco, conjunto univer-sal e igualdad de conjuntos.

Trabajo en equipo

Elabora por equipos de uncuadro comparativo entre lasrelaciones de las operacionesde unin, interseccin y com-plemento.

Realiza en grupo losdiagramas de Venn Euler conlas leyes de Morgan.

Ejemplifica en grupo del con-cepto de relacin especifican-do puntos en el productocartesianm.

Explica por equipos las rela-ciones de equivalencia: pro-piedades reflexiva, simtricay transitiva.

Explica por equipos sobre lasdiferencias entre una relaciny una funcin.

Localiza el dominio ycontradominio de una fun-cin.

Revisa en grupo funcionesinyectiva, suprayectiva ybiyectiva.

Realiza operaciones de com-posicin de funciones.

Estudio individual

Localiza el dominio y rangode una relacin.

Recopila informacin sobre elconcepto de funcin comomapeo.


2.2. Generar tablas de verdad, utilizandoconectivos y cuantificadores para la de-terminacin del valor de verdad de pro-posiciones lgicas.

2.2.1. PROPOSICIONES

Conectivos elementales

En el desarrollo de cualquier teora, se ha-cen afirmaciones en forma de oraciones. Ta-les afirmaciones, llamadas enunciados ( oproposiciones ), son oracione declarativasque son verdaderas o falsas ( pero no am-bas ). Por ejemplo, las siguientes son propo-siciones y, para representarlas, utilizaremoslas letras minsculas ( como p, q y r ).

p: La combinatoria es un curso obligatorio

42Informtica


Informtica

para el segundo ao de bachillerato.

q: margaret Mitchel escribi Lo que el vien-to se llev

r: 2 + 3= 5

Por otro lado, no consideramos como pro-posiciones algo como la exclamacin Qubonita tarde! o el mandato Levntate y haztus ejercicios.

Las proposiciones anteriores, representadaspor las letras p,q y r , se consideran propo-siciones primitivas, ya que no hay forma dedescomponerlas en algo ms sencillo. Esposible obtener nuevas proposiciones , apartir de otras existentes, de dos maneras.

1) Transformando una proposicin p en laproposicin p , que denota su negaciny se lee como no p .

2) Combinando dos o ms proposicionesen una proposicin compuesta mediantelas siguientes conectivas lgicas.

a) Conjuncin: La conjuncin de dos propo-siciones p,q se denota como p q, quese lee como p y q. En nuestro ejem-plo, la proposicin compuesta p q selee como la combinatoria es un cursoobligatorio para el segundo ao de ba-chillerato y Margaret Mitchell escribi loque el viento se llev

b) Disyuncin: La expresin p V q denota ladisyuncin de cualquier par de proposi-ciones p, q y se lee como p o q . Porlo tanto, la combinatoria es un cursoobligatorio para el segundo ao de ba-chillerato o Margaret Mitchell escribi loque el viento se llev.

c) Implicacin: Decimos que p implica qy escribimos p q para designar laproposicin que es la implicacin de qpor p.

Tablas de verdad

TABLAS DE VERDAD

Las funciones booleanas se representan envarias formas. Las dos formas ms popula-res son las tablas de verdad y los diagramasde Venn. Las tablas de verdad representanlas funciones en forma tabular, mientras quelos diagramas de Venn proporcionan una re-presentacin grfica. Adems hay dos repre-sentaciones algebraicas conocidas como laforma estndar ( o normal ) y la forma can-nica.

Ejemplo

Dibuje la tabla de verdad para Z = AB + AC + A B C

Hay tres variables componentes : A, B y C.Entonces, habr 23 = 8 combinaciones devariables.

Estas ocho combinaciones se muestran enlas primeras tres columnas de la tabla, estascombinaciones corresponden a los nmerosbinarios de 000 hasta 111, o ( 0 )10 hasta(7)10 .

Para evaluar Z en la funcin del ejemplo, co-nociendo los valores d A, B, Y C en cadarengln de la tabla de verdad, primero ob-tendramos valores para A Y B y luego ge-neraramos valores para AB , AC Y ABC almultiplicar los valores en las columnas apro-piadas para cada rengln. Finalmente, deri-

43Informtica


Informtica

varamos el valor de Z al sumar los valoresen las tres ltimas columnas para cada ren-gln. Observe que evaluar A BC correspon-de a multiplicar los valores de A y B yenseguida multiplicar el valor

De manera similar, si ms valores han de su-marse, se suman de dos en dos. Las colum-nas que corresponden a A,B , AB, AC YABC por lo general no se muestran en latabla de verdad final.

Tabla de verdad para Z = AB+AC+ABC

2.2.2.P R O P O S I C I O N E SCONDICIONALES YEQUIVALENCIA LGICA

Para las proposiciones primitivas p y q , pro-porciona las tablas de verdad de las propo-siciones compuestas p V q y p q.Aqu vemos que las tablas de verdad corres-pondientes de las dos proposiciones p V yq y q son exactamente iguales.

Dos proposiciones s1, s2 son lgicamenteequivalentes, y escribimos s1 s2 cuando laproposicin s1 es verdadera ( respectivamen-te, falsa) si y slo si la proposicin s2 es

verdadera ( respectivamente, falsa ).

Observe que cuando s1 s2 las proposicio-nes s1 y s2 dan lugar a las mismas tablas deverdad ya que s1 y s2 tienen los mismos valo-res de verdad para todas las opciones devalores de verdad de sus componentes pri-mitivas.

2.2.3. CUANTIFICADORES

Comenzaremos con el universo de todos loscuadrilteros que hay en el plano e intente-mos identificar los que se denominan rec-tngulos.

Una persona podra decir que Si un cua-driltero es un rectngulo entonces tiene cua-tro ngulos iguales.

Otro podra identificar estos cuadrilterosparticulares sealando que si un cuadrilte-ro tiene cuatro ngulos iguales, entonces esun rectngulo.

En este caso, ambas personas estn hacien-do proposiciones cuantificadas en formaimplcita, con un cuantificador universal.

p(x) : x es un rectngulo

q(x) : x tiene cuatro ngulos iguales.

Podemos expresar lo que dice la primerapersona como

x [ p(x) q(x) ],

A B C A B AB AC ABC Z 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

P q p p V q p q 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1

44Informtica


Informtica

mientras que para la segunda escribiramos

x [ p(x) q(x) ]

Estudio individual

Elabora tablas de verdadpara la determinacin de lavalidez de proposiciones sim-ples y compuestas.

Recopila informacin sobre eltema.

Trabajo en equipo

Valida por equipos de tauto-logas, utilizando tablas deverdad.

Elabora en grupo conclusio-nes.

Revisa en grupo conectivoscondicional y bicondicional.

Define por equipos de pro-posiciones condicionales y lacontrapositiva de una propo-sicin condicional.

Discute por equipos sobre ladiferencia entre una condi-cin necesaria y una condi-cin suficiente.

Explica en grupo decuantificadores universal yexistencial.

Obten la negacin de propo-siciones que contienencuantificadores.

Comparacin de resultados con otros com-paeros

Soluciona argumentos vli-dos e invlidos explicandosus fallas.

Resumen

Elabora un resumen sobre eltema.


Realiza la prctica de ejerci-cio nm.2 Multiplicacin dedos matrices cuadradas.


2.3. Solucionar problemas mediante el l-gebra booleana para la construccin decircuitos combinatorios.

2.3.1. C I R C U I T O SCOMBINATORIOS

Supongamos que se tienen n objetos queson suficientemente distintos para que po-

45Informtica


Informtica

damos reconocer cada uno: diremos que es-tos objetos son distinguibles. Para facilitarla exposicin supongamos que estn rotula-dos con las letras a, b, y as sucesivamente,teniendo cada objeto un rtulo distinto. Deahora en adelante aludiremos simplementea a, por ejemplo, cuando queremos decir elobjeto cuyo rtulo es a.

Nuestra primera definicin concierne al n-mero de formas en que se pueden ordenarestos n objetos.

Definicin . Una permutacin n objetos esuna disposicin ordenada de los objetos

Por ejemplo, si tenemos cuatro objetos a, b,c y d, podemos disponerlos por orden de24 maneras distintas

El primer objeto de la permutacin se pue-de seleccionar de n manera; una vez que seha seleccionado el objeto, el segundo se pue-de seleccionar de n 1 formas distintas; unavez que se han seleccionado el primero y elsegundo, el tercero se puede seleccionar den 2 formas distintas, y as sucesivamente.Hay dos posibilidades cuando se ha selec-cionado el penltimo objeto, y solamente hayuna forma de seleccionar el ltimo objeto.El nmero total de permutaciones de n ob-jetos es por tanto

n (n 1) (n 2) ...2 . 1 =n!

A continuacin consideraremos el nmero deformas de seleccionar un cierto nmero de

estos objetos, independientemente del or-den en el cual hagamos nuestras seleccio-nes.

Definicin. Una combinacin de r objetos deentre n objetos es una seleccin de r objetossin tener en cuenta el orden

Por ejemplo, si tenemos cinco objetos a, b,c, d y e, podemos seleccionar tres de ellosde 10 maneras distintas si no se tiene encuenta el orden:

Una seleccin tal como eba no aparece enesta lista, puesto que es lo mismo que abecuando no se tiene en cuenta el orden de losobjetos.

Cuando hacemos nuestra seleccin de r ob-jetos de entre n, hay n formas de efectuar laprimera opcin. Cuando se ha seleccionadoel primer objeto, quedan n 1 formas paraseleccionar el segundo, y as sucesivamente.Cuando se seleccionan el ltimo de los r ob-jetos, quedan n r + 1 posibilidades.

2.3.2. LGEBRA BOOLEANA

Los lados derechos de las ecuacionesbooleanas son expresiones booleanas. Unaexpresin est formada por operadores com-binados ( +, . , /) con operandos, que sonvariables o constantes booleanas , ( 1, 0 ).Cada variable puede tomar un valor de 0 o1. Conociendo el valor de las variables com-ponentes de una expresin, uno puede en-

abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcda bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba

abc abd abe acd ace ade bcd ace bde cde

46Informtica


Informtica

contrar el valor de la expresin misma.

La jerarqua de operaciones es importanteen la evaluacin de expresiones. Siempre eje-cutamos la operacin NOT primero, seguidade AND y luego de OR, en ausencia de pa-rntesis. Si hay parntesis, las expresionesdentro de ellos se evalan primero (obser-vando la jerarqua de operaciones indicada )y, por ltimo, se evalan las expresiones res-tantes.

Evale la funcin Z= A B C + ( A B ) ( B +C), dada A = 0 , B = 1 y C=1

Z = ( A * B * C )+ ( A * B ) * ( B + C )

= ( 0 * 1 * 1) + ( 0 * 1 ) * (1 + 1 )

= ( 0 * 0 * 1) + ( 1* 1) + (1 + 0 )

= ( 0 ) + (1) * (1)

= 0 +1

= 1

IGUALDAD DE EXPRESIONES

Se dice que dos expresiones son equivalen-tes si una puede ser reemplazada por la otra.Es decir, para que dos expresiones sean equi-valentes, deben obtener valores idnticospara todas las combinaciones de valores desus variables componentes.

DUALIDAD

El dual o doble de una expresin se obtieneal reemplazar cada + en la expresin por*, cada * por + , cada 1 por 0 ycada 0 por 1 , y conservando la existencia detodos los parntesis, ya sea que estn pre-sentes o implcitos.

El principio de dualidad establece que si unaecuacin es siempre vlida en lgebrabooleana, su dual es tambin vlida.Ejemplo

Dado X + YZ = ( X +Y ) * ( X+ Z ) , su dual es X * ( Y +Z ) = ( X + Y ) + ( X *Z )

Note que la parte b) de cada postulado dado anterior-mente, es el dual de la parte a)correspondiente.

47Informtica


Informtica

POSTULADOS

P1. Existencia de 0 y 1 1. X + 0 = X

2. X * 1= X P2. Conmutativa 1 X + Y = Y + X

2 X * Y = Y * X P3. Asociatividad 1 X + ( Y +Z ) = ( X + Y ) + Z

2 X * ( Y * Z ) = ( X * Y ) * Z P4. Distributividad 1) X + ( Y * Z ) = ( X + Y ) * ( X + Z )

2) X * ( Y + Z ) = ( X * Y ) + ( X * Z ) P5. Complemento a) X + X = 1

b) X * X = 0

TEOREMAS

T1.Idempotencia. a) X + X = X

b) X * X = X T2. Propiedades de 1 y 0. a) X + 1 = 1

b) X * 0 = 0 T3. Absorcin. a) X + XY = X

b) X * ( X+ Y ) = X T4. Absorcin. a) X + XY = X + Y

b) X * ( X + Y ) = X * Y T5. Ley de DeMorgan. a) ( X * Y) = X * Y

b) ( X * Y) = X + Y T6. Consenso. a) XY + XZ +YZ = XY

b) (X + Y ) * (X + Z) * ( Y + Z ) = (X+Y ) * (X + Z )

T7. Involucin. a) (X)= X

2.3.3.FUNCIONES BOOLEANAS

POSTULADOS Y TEOREMAS

48Informtica


Informtica

Representa grfica en formagrupal de funcionesbooleanas: en forma normaldisyuntiva y forma normalconjuntiva.

Construye circuitos que su-men nmeros binarios.


Realiza la prctica de ejerci-cio nm.3 Aplicar el teore-ma 1 y 2 del lgebrabooleana.

Realiza la prctica de ejerci-cio nm.4 Resolucin deproblemas de combinacin ypermutacin.

Trabajo en equipo

Define en grupo el conceptode las compuertas y, o, no;circuito combinatorio y ex-presin boolena.

Comprueba en grupo de lasleyes asociativas,conmutativas, distributiva deidentidad y decomplementacin de expre-siones booleanas.

Revisa en grupo el lgebrabooleana y sus leyes.

Disea por equipos de circui-tos semisumador y sumador.

Comparacin de resultados con otros com-paeros

Representa circuitoscombinatorios por medio deexpresiones booleanas y vi-ceversa.

Estudio individual

Resuelve circuitoscombinatorios.

Recopila informacin sobre elconcepto de funcinbooleana.


Informtica 49

PRCTICAS DE EJERCICIO Y LISTAS DE COTEJO



Unidad de Aprendizaje: 2 Prctica Nm. : 2

Nombre de la Prctica: Multiplicacin de dos matrices cuadradas. Propsito: Al finalizar la prctica, el alumno realizar la multiplicacin de dos matrices cua-dradas tomando en cuenta los ndices para su multiplicacin Escenario: Aula Duracin: 2 hrs.



Informtica 50

Procedimiento

1. Escribir la matriz A que tiene los siguientes ndices (a11=5, A12=3,A13=-1, A21=0, A22=1, A23=-3).

2. Escribir la matriz A que tiene los siguientes ndices (a31=-2, A32=0, A33=-1, A41=1, A42= -1, A43=-3).

3. Escribir la matriz B que tiene los siguientes ndices (a11=2, A12= 0, A21= -3, A22=4, A31= -1, A32= 3).

4. Multiplicar AB, P11 = (5) (2)+(3) (-3)+ (-1) (-1)= 10-9+1=2 5. Multiplicar AB, P12 = (5) (0)+(3) (4)+ (-1) (3)= 0+12-3=9 6. Multiplicar AB, P21 = (0) (2)+(1) (-3)+ (-3) (-1)=0-3+3=0 7. Multiplicar AB, P22 = (0) (0)+(1) (4)+ (-3) (3)=0+4-9=-5 8. Multiplicar AB, P31 = (-2) (2)+(0) (-3)+ (1) (-1)=-4+0-1=-5 9. Multiplicar AB, P32 = (-2) (0)+(0) (4)+ (1) (3)=0+0+3=3 10. Multiplicar AB, P41 = (1) (2)+(-1) (-3)+ (3) (-1)=2+3-3=2 11. Multiplicar AB, P42 = (1) (0)+(-1) (4)+ (3) (3)=0-4+9=5 12. Escribir el resultado AB = (a11=2, a12=9, a21= 0, a22=-5, a31=-5, a32=3, a41= 2,

a42=5).


Informtica 51


Multiplicacin de dos matrices cuadradas Fecha:

Nombre del alumno:


Desarrollo S No No

aplica 1. Escribi la matriz A que tiene los siguientes ndices

(a11=5, A12=3, A13=-1, A21=0, A22=1, A23=-3).

2. Escribi la matriz A que tiene los siguientes ndices (a31=-2, A32=0, A33=-1, A41=1, A42= -1, A43=-3).

3. Escribi la matriz B que tiene los siguientes ndices (a11=2, A12= 0, A21= -3, A22=4, A31= -1, A32= 3).

4. Multiplic AB, P11 = (5) (2)+(3) (-3)+ (-1) (-1)= 10-9+1=2

5. Multiplic AB, P12 = (5) (0)+(3) (4)+ (-1) (3)= 0+12-3=9

6. Multiplic AB, P21 = (0) (2)+(1) (-3)+ (-3) (-1)=0-3+3=0 7. Multiplic AB, P22 = (0) (0)+(1) (4)+ (-3) (3)=0+4-9=-5

8. Multiplic AB, P31 = (-2) (2)+(0) (-3)+ (1) (-1)=-4+0-1=-5

9. Multiplic AB, P32 = (-2) (0)+(0) (4)+ (1) (3)=0+0+3=3

10. Multiplic AB, P41 = (1) (2)+(-1) (-3)+ (3) (-1)=2+3-3=2

11. Multiplic AB, P42 = (1) (0)+(-1) (4)+ (3) (3)=0-4+9=5

12. Escribi el resultado AB = (a11=2, a12=9, a21= 0, a22=-5, a31=-5, a32=3, a41= 2, a42=5).


Informtica 52

Observaciones:




Informtica 53



Nombre de la Prctica: Aplicar el teorema 1 y teorema 2 del lgebra bolean. Propsito: Al finalizar la prctica, el alumno realizar dos ejercicios del lgebra booleana para comprobar cada una de estas Escenario: Aula Duracin: 2 hrs.



Informtica 54

Procedimiento

TEOREMA 1 1. Comprobar x+x=x 2. Escribir x+x= (x+x) por 1 3. Escribir (x+x)(x+x). 4. Escribir x+xx 5. Escribir x+0 6. Escribir x TEOREMA 2 7. Adquirir una hoja de papel 8. Comprobar x+1=1 9. Escribir x+1=1 por (x+1). 10. Escribir = (x+x) (x+1) 11. Escribir = x+x por 1 12. Escribir x+x 13. Escribir 1


Informtica 55


Aplicar el teorema 1 y teorema 2 del lgebra boolena Fecha:

Nombre del alumno:


Desarrollo S No No

aplica TEOREMA 1 1. Comprob x+x=x

2. Escribi x+x= (x+x) por 1

3. Escribi (x+x)(x+x)

4. Escribi x+xx

5. Escribi x+0

6. Escribi x

TEOREMA 2 7. Adquiri una hoja de papel

8. Comprob x+1=1

9. Escribi x+1=1 por (x+1)

10. Escribi = (x+x) (x+1)

11. Escribi = x+x por 1

12. Escribi x+x

13. Escribir 1


Informtica 56

Observaciones:




Informtica 57



Nombre de la Prctica: Resolucin de problemas de combinacin y permutacin. Propsito: Al finalizar la prctica el alumno realizar dos ejercicios de combinaciones y permutaciones. Escenario: Aula Duracin: 4 hrs.



Informtica 58

Procedimiento

PERMUTACIN 1. - Escribir De cuntas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila? 2. - Escribir La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha

situado en uno de ellos 3. - Escribir La segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc. 4. - Escribir Se podrn colocar de 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120 5. - Escribir P5 = 5! = 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120 COMBINACIN 6. - Escribir Cuntos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 qumicos y 5 bi-

logos de manera que en cada uno se encuentren 4 qumicos? 7. - Escribir Cada grupo de 4 qumicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 bi-

logos de los 5 8. - Escribir Por lo tanto el nmero de grupos es = 6C4 por 5C3 = 15 por 10 = 150


Informtica 59


Resolucin de problemas de combinacin y permutacin Fecha:

Nombre del alumno:


Desarrollo S No No

aplica PERMUTACIN 1. Escribi De cuantas maneras distintas se pueden orde-

nar 5 personas en una fila?

2. Escribi La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos

3. Escribi La segunda puede ocupar uno de los 4 restan-tes, etc.

4. Escribi Se podrn colocar de 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120

5. Escribi P5 = 5 " "= 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120

COMBINACIN 6. Escribi Cuntos grupos de 7 miembros se pueden

formar con 6 qumicos y 5 bilogos de manera que en ca-da uno se encuentren

7. Escribi cada grupo de 4 qumicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 bilogos de los 5

8. Escribi Por lo tanto el nmero de grupos es = 6C4 por 5C3 = 15 por 10 = 150


Informtica 60

Observaciones:



61Informtica


Informtica

RESUMEN

La lgica es pues muy importante; ya quepermite resolver incluso problemas a los quenunca se ha enfrentado el ser humano utili-zando solamente su inteligencia y apoyn-dose de algunos conocimientos acumulados,se pueden obtener nuevos inventos innova-ciones a los ya existentes o simplemente uti-lizacin de los mismos.

El orden en que se presenta el documentoes el siguiente: Primeramente se establece laimportancia de la lgica matemtica, des-pus definimos el concepto de proposicin.Se establece el significado y utilidad deconectivos lgicos para formar proposicio-nes compuestas. Ms tarde abordamos lasproposiciones condicionales ybicondicionales. Definimos tautologa, con-tradiccin y contingente, y proporcionamosuna lista de las tautologas ms importan-tes, as mismo explicamos a que se le llamaproposiciones lgicamente equivalente apo-yndonos de tablas de verdad. Para finali-zar; abordamos los mtodos de demostra-cin: directo y por contradiccin, en dondeincluye reglas de inferencia.

En este trabajo se trata adems de presen-tar las explicaciones con ejemplos que le seanfamiliares. Nuestro objetivo es que el alum-

no aprenda a realizar demostraciones for-males por el mtodo directo y el mtodopor contradiccin. Ya que la mayora de loslibros comerciales nicamente se quedan enexplicacin y demostracin de reglas de in-ferencia. Consideramos que s el alumnoaprende lgica matemtica no tendr pro-blemas para aprender ciencias exacta y sercapaz de programar computadoras, ya queun programa de computadora no es otra cosaque una secuencia de pasos lgicos, que lapersona establece para resolver n problemadeterminado.

Es importante mencionar que en las demos-traciones no hay un solo camino para llegaral resultado. El camino puede ser mas largoo ms corto dependiendo de las reglas deinferencia y tautologas que el alumno selec-cione, pero definitivamente deber llegar alresultado. Puede haber tantas solucionescomo alumnos se tenga en clase y todas es-tar bien. Esto permite que el estudiante ten-ga confianza en la aplicacin de reglas y fr-mulas. De tal manera que cuando llegue aponer en practica esto, el sea capaz de in-ventar su propia solucin, porque en la vidacada quien resuelve sus problemas aplican-do las reglas de inferencia para relacionarlos conocimientos y obtener el resultado.

62Informtica


Informtica

AUTOEVALUACIN DE CONOCIMIENTOS

1. Cules son las caractersticas principales en un rbol?

2. Qu es diagrama de flujo?

3. Qu es una matriz?

4. Qu es rbol binario?

5. Qu es una ordenacin por burbuja?

6. Qu es una ordenacin?

7. Qu es un conjunto?

8. Qu operaciones se realizan en los conjuntos?

9. Qu caractersticas tiene un diagrama de Ven Euler?

10. Con qu tipo de relaciones cuentan las funciones?


63Informtica


Informtica

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIN DE CONOCIMIENTOS PORCAPTULO

CAPTULO 1

1. Es una estructura algebraica definida en variables y el resultado un conjunto de elemen-tos B con dos operaciones.

2. AND, OR y NOT

3. Consta de un nmero finito de pasos de procedimiento que especifican como obteneruna solucin a un problema.

4. Es una relacin que existe con cada uno de los elementos de A y con cada uno de loselementos de B.

5. Una combinacin de nmeros de entes es una disposicin de una parte de ellos prescin-diendo del orden, a diferencia de una variacin.

6. Una permutacin de un cierto nmero de entes es una disposicin en la que entran todosen un orden determinado.

7.

Se enuncia el problema

Se determina a nmero de variable de entrada y salida

Se asignan smbolos de letra a las variables de entrada y salida

Se deriva la tabla de verdad

Se obtiene la funcin booleana

Se dibuja el diagrama lgico

8. Es una tabla de todos las combinaciones posibles de las variables, que muestra la relacinentre los valores que pueden tomarlas y el resultado de la operacin.

9. Es un procedimiento que sirve para demostrar un teorema general, o una frmula, apartir de casos particulares.

10.

Se comprueba por simple sustitucin

Se supone un cierto valor para n=k

64Informtica


Informtica

CAPTULO 2

1. Existe un nodo especial llamado raz los restantes nodos se dividen en M > = 0 conjuntosdisjuntos T1, T2,..., Tn, cada uno de los cuales es un rbol.

2. Es la secuencia de pasos de procesos y trayectorias de decisin para algoritmos.

3. Es una tabla o arreglo rectangular de elementos que usualmente son nmeros reales ocomplejos.

Derecho. Un rbol binario de cero nodos se dice que est vaco.

4. Es un conjunto finito de m nodos, que es bien vaco o consta de un nodo raz con dossubrboles binarios llamados subrbol izquierdo y subrbol

5. Se basa en la comparacin de elementos adyacentes de la lista e intercambiar sus valoressi estn desordenados.

6. Es una operacin que consiste en disponer un conjunto de datos en algn determinadoorden con respecto a uno de los campos de elementos del conjunto.

7. Es una coleccin de objetos que tienen una relacin en comn.

8. En los conjuntos se realizan las siguientes operaciones:

Complemento

Conjuncin

Interseccin

Disyuncin

9. Entre sus caractersticas se encuentran las de tener grficamente la representacin de unconjunto.

10.

Inyectiva

Suprayectiva

Biyectiva

65Informtica


Informtica

GLOSARIO

Lgica Es una secuencia de operaciones realizadas por el hardware o porel software.

Son los circuitos y Chips que realizan las operaciones de controlde la computadora.

Es la secuencia de instrucciones en un programa.

Conjunto de sentencias / instrucciones en lenguaje nativo, los cua-les expresan la lgica de un programa.

Son aquellos que resolver un problema no ejecuta operacionesmatemtica en el desarrollo de algoritmo.

Son aquellos algoritmos que ejecutan operaciones numricas du-rante su ejecucin.

Son un conjunto de registros lgicos.

Es un almacenamiento colectivo de las bibliotecas de datos queson requeridas y organizaciones para cubrir sus requisitos de pro-cesos y recuperacin de informacin.

(dgito binario ) un dgito simple de un numero binario (1 0) enel computador.

Grupo de bits adyacentes operados como una unidad, ( gruposde 8 bits ).

Memoria intermedia, una porcin reservada de la memoria, quese utiliza para almacenar datos mientras son procesados.

Lenguaje de instrucciones simblicas de propsito general paraprincipiantes, esta disponible en modo compilador e interprete,siendo este ultimo el mas popular para el usuario circunstancial ypara el programador principiante.

Es la representacin grfica de una secuencia de instrucciones de

Lgica del hadware

Lgica del software o l-gica del programa

Algoritmo

Algoritmo cualitativo

Algoritmo cuantitativo

Archivo

Base de datos

Bit

Byte

Buffers

Basic: (Biginners allpurpus Simbolicinstrution code)

Diagrama de flujo

66Informtica


Informtica

un programa que ejecuta un computador para obtener un resultadodeterminado.

Programa en su forma original, tal y como fue escrito por el programa-dor, el cdigo fuente no es ejecutable directamente por el computa-dor, debe convertirse en lenguaje de maquina mediante compiladores,ensambladores o interpretes.

Es el espacio en la memoria que sirve para almacenar temporalmenteun dato durante el proceso, Su contenido varia durante la ejecucindel programa.

El que solo puede almacenar valores ( dgitos ).

El que puede almacenar cualquier carcter ( dgito, letra, smbolo es-pecial ).

Cdigo fuente

Campo

Campo numrico

C a m p oalfanumrico

Programa de computadora que produce un programa en lenguaje demaquina, de un programa fuente que generalmente esta escrito por elprogramador en un lenguaje de alto nivel.

Dispositivo o programa que recibe una por una las sentencias de unprograma fuente, la analiza y la convierte en lenguaje de maquina sino hay errores en ella. Tambin se puede producir el listado de lasinstrucciones del programa.

En programacin es una estructura que contiene datos y recibe unnombre nico dado por el programador, mantiene los datos asigna-dos a ella hasta que un nuevo valor se le asigne o hasta que el progra-ma termine.

Valor o conjunto de caracteres que permanecen invariables durante laejecucin del programa.

Campo o variable que sirve para llevar una suma o cuenta de diferen-tes valores.

El termino que usamos para describir las seales con las cuales trabajala computadora es dato; Aunque las palabras dato e informacin mu-chas veces son usada indistintamente, si existe una diferencia impor-tante entre ellas. En un sentido estricto, los datos son las sealesindividuales en bruto y sin ningn significado que manipulan lascomputadoras para producir informacin.

Compilador

Interprete

Variable

Constante

Acumulador

Dato

67Informtica


Informtica

Es la parte tangible del computador.

Conjunto de programas, documentos, procesamientos y rutinasasociadas con la operacin de un sistema de computadoras, esdecir, la parte intangible de computador.

Es lo que se obtiene del procesamiento de datos, es el resulta-do final.

Es una coleccin de instrucciones que indican a la computadoraque debe hacer. Un programa se denomina software, por lotanto , programa, software e instruccin son sinnimos.

Instruccin escrita por el programador en un lenguaje de pro-gramacin para plantear al computador el proceso que debeejecutar.

Instrucciones en lenguaje maquina producida por el computa-dor.

Memoria de acceso aleatorio cuyo contenido permanecer pre-sente mientras el computador permanezca encendido.

Memoria de solo lectura. Chip de memoria que solo almacenapermanentemente instrucciones y datos de los fabricantes.

Es un grupo de campos relacionados que se usan para almace-nar datos acerca de un tema ( registro maestro ) actividad(registro de transaccin ).

Herramienta de anlisis de programacin. Versiones falsificadasy abreviadas de las actuales instrucciones de computadora queson escritas en lenguaje ordinario natural.

Programa ( conjunto de instrucciones ), que desde otro progra-ma se pueden llamar a ejecucin bien se puede, decir grupode instrucciones que realizan una funcin especifica, tal comouna funcin o marco. Una subrutina grande se denomina usual-mente * * MODULO * * * * PROCEDIMIENTO * *, pero todoslos trminos se utilizan de manera alternativa.

Hardware

Software

Informacin

Programa

Subrutina

Programa fuente

Programa objeto

Memoria Ram (RadomAccess Memory)

Memoria Rom

Registro

Pseudocdigo

68Informtica


Informtica

En programacin, una rutina que hace una tarea particular. Cuan-do el programa pasa el control a una funcin, sta realiza la tareay devuelve el control a la instruccin siguiente a la que llamo.

Es el conjunto de instrucciones dentro del mismo programa, quese puede llamar a ejecucin desde diferentes partes del mismoprograma.

Una conexin e interaccion entre hardware, software y usuario, esdecir como la plataforma o medio de comunicacin entre usuarioo programa.

Cualquier individuo que iteracta con la computadora a nivel deaplicacin. Los programadores, operadores y otro personal tcni-co no son considerados usuarios cuando trabajan con la computa-dora a nivel profesional.

Un individuo que disea la lgica y escribe las lneas de cdigo deun programa de computadora.

Individuo que escribe programas de aplicacin en una organiza-cin usuaria. La mayora de los programadores son programado-res de aplicacin.

En el departamento de procesamiento de datos de una gran orga-nizacin, tcnico experto en parte o en la totalidad de software desistema de computadora, tal como el sistema operativo, el pro-grama de control de red y el sistema de administracin de basede datos. Los programadores de sistemas son responsables delrendimiento eficiente de los sistemas de computacin.

Es un dispositivo que se construye para trabajar como otro.

Es el conjunto de registros de hardware cantidad reservada dememoria principal que se usa para clculos aritmticos o para elseguimiento de las operaciones internas. Las pilas se usan pararealizar el seguimiento de la secuencia de rutinas que se llamen enun programa.

La memoria interna de la computadora ( RAM ).

Para que se pueda ejecutar un programa, debe estar en lenguaje

Funcin

Rutina

Interfaz

Usuario

programador

Programador deaplicaciones

Programador de sis-temas

Emulador

Pila

Almacenamientoprimario

Cdigo mquina

69Informtica


Informtica

de maquina de la computadora que lo esta ejecutando.

Los archivos de programa a menudo se denominan programasejecutables, puesto que, al teclear su nombre al hacer clic sobreel icono que le corresponda en un entorno grfico, logra que lacomputadora cargue y corra, o ejecute las instrucciones del archi-vo.

Es un programa que asiste en la depuracin de un programa.

Es una tcnica que simula mas memoria que la que realmenteexiste y permita a la computadora ejecutar varios programas si-multneamente, sin importar su tamao.

Es un programa de computador preparado por un programadorque toma las instrucciones que no estn en lenguaje de maquinay las convierte en una forma que puede ser usada por el compu-tador.

Cualquier dispositivo de hardware conectado a una computado-ra.

Conjunto de caracteres que se utilizan para dirigir un sistema deprocesamiento de datos en la ejecucin de una operacin .

Es la salida directa de un ensamblador un compilador.

Es un software empleado para crear y manipular archivos detexto, tales como programas en lenguaje fuente, lista de nom-bres y direcciones.

Programa ejecutable

Depurador

Almacenamiento vir-tual

P r o g r a m aensamblador

Perifricos

Instruccin o senten-cia

Mdulo objeto

Editor

70Informtica


Informtica

Campo de aplicacin Parte constitutiva de una Norma Tcnica de Competencia Laboralque describe el conjunto de circunstancias laborales posibles enlas que una persona debe ser capaz de demostrar dominio sobreel elemento de competencia. Es decir, el campo de aplicacindescribe el ambiente laboral donde el individuo aplica el elemen-to de competencia y ofrece indicadores para juzgar que las de-mostraciones del desempeo son suficientes para validarlo.

Competencia laboral Aptitud de un individuo para desempear una misma funcinproductiva en diferentes contextos y con base en los requerimien-tos de calidad esperados por el sector productivo. Esta aptitudse logra con la adquisicin y desarrollo de conocimientos, habili-dades y capacidades que son expresados en el saber, el hacer y elsaber-hacer.

Criterio de desempeo Parte constitutiva de una Norma Tcnica de Competencia Laboralque se refiere al conjunto de atributos que debern presentartanto los resultados obtenidos, como el desempeo mismo de unelemento de competencia; es decir, el cmo y el qu se espera deldesempeo. Los criterios de desempeo se asocian a los elemen-tos de competencia. Son una descripcin de los requisitos decalidad para el resultado obtenido en el desempeo laboral; per-miten establecer si se alcanza o no el resultado descrito en elelemento de competencia.

Elemento decompetencia

Es la descripcin de la realizacin que debe ser lograda por unapersona en al mbito de su ocu

Documents

matematicas discretas(2)