Álgebra de Boole

Contenido

Leyes y propiedades del Algebra de Boole

Simplificar funciones utilizando el Algebra de Boole

Analizar circuitos mediante Algebra de Boole y simplificarlos

Pasar de una tabla de verdad a Suma de Productos y Producto de Sumas

Utilizar Mapas de Karnaugh para simplificar funciones lógicas

Algebra de Boole binaria

En 1860 George Boole desarrolló un Algebra en la que los valores de A y

B sólo podían ser “verdadero” o “falso” (1 ó 0). Se llama Algebra de

Boole y se utiliza en Electrónica Digital

Elementos: {0,1}

Operadores:

Suma Booleana: es la función lógica OR

X=A + B

Producto Booleano: es la función lógica AND

X = AB

Axiomas

Compuertas lógicas

Una compuerta es un dispositivo electrónico que

produce un resultado en base a un conjunto de

valores de valores de entrada

– En realidad, están formadas por uno o varios

transitores, pero lo podemos ver como una

unidad.

– Los circuitos integrados contienen colecciones

de compuertas conectadas con algún propósito

Compuertas Lógicas

Las más simples: AND, OR, y NOT.

Se corresponden exactamente con las funciones booleanas que vimos

Compuertas lógicas

Una compuerta muy útil: el OR exclusivo (XOR)

La salida es 1 cuando los valores de entrada difieren.

Usamos el simbolo para

el XOR.

NAND y NOR son dos compuertas muy importantes.

Con la identidad de De Morgan se pueden implementar con AND u OR.

Son más baratas y ambas por sí solas son un conjunto adecuado para la lógica proposicional. Es decir que cualquier operador se puede escribir usando cualquiera de ellas.

Compuertas lógicas

NAND y NOR

Ejercicio

Ejemplo: NOT usando NAND

Utilizando solo NAND o

NOR realizar circuitos con la

misma funcionalidad que el

AND y OR

Circuitos booleanos

Las computadores digitales contienen circuitos que implementan funciones booleanas

Cuando más simple la función más chico el circuito

– Son más baratos, consumen menos, y en ocasiones son mas rápidos!

Podemos usar las identidades del algebra de Boole para reducir estas funciones.

Funciones booleanas

Tabla de verdad de esta

función:

El NOT tiene más

precedencia que el resto de

los operadores

Y el AND más que el OR

Identidades del Algebra de Boole

Identidad 1.A=A 0+A=A

Nula 0.A=0 1+A=1

Idempotencia A.A=A A+A=A

Inversa A.˜A=0 A+˜A=1

Conmutativa A.B=B.A A+B=B+A

Asociativa (A.B)C=A.(B.C) (A+B)+C=A+(B+C)

Distributiva A+B.C=(A+B).(A+C) A.(B+C)=A.B+A.C

Absorción A.(A+B)=A A+A.B=A

De Morgan ˜(A.B) = ˜A+˜B ˜(A+B) = ˜A.˜B

Ejemplo

Usando identidades booleanas podemos reducir esta función:

(X+Y)(X+Y)(X+Z) DeMorgan

(XX + XY+YX+YY)(X+Z) Distributiva

(X + XY+YX + 0) (X+Z) Indempotencia e Inversa

(X + X(Y+Y)) (X+Z) Nula y Distributiva

(X) (X+Z) Inversa, Identidad y Nula

XX+XZ Distributiva

XZ Inversa e Identidad

Componentes digitales

Combinando compuertas se pueden

implementar funciones booleanas

Este circuito implementa la siguiente

función:

Simplificando las funciones se crean

circuitos más chicos!

A +B +C + D = A • B • C • D

Leyes de De Morgan (más de 2 variables)

Ejemplo: La función Mayoría

A B C M

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

ABCCABCBABCAC)B,M(A,

Análisis Booleano de

Funciones Lógicas

El propósito de este apartado es obtener

expresiones booleanas simplificadas a partir

de un circuito

Se examina puerta a puerta a partir de sus

entradas

Se simplifica usando las leyes y propiedades

booleanas.

Cálculo de la expresión algebraica de salida

(ejemplo 1)

(A + B) (CD) = (A + B) + (CD) = A + B + CD

X e Y son

iguales

X = (A+B) C + CD + B

= (A+B) C · CD + B

= (A+B) C · (CD + B)

= A B C · (C +D +B)

= A B C C + A B C D +A B C B

= A B C D

Cálculo de la expresión algebraica de salida

(ejemplo 2)

Los

circuitos

son

iguales

Puerta a puerta a partir de sus entradas

X= AB+(C+D)

X= AB + C+ D

Ejemplo 3

X = (AB)(CD)

X = ABCD

Ejemplo 4

Ejemplo 5

X = ABCD +A

Simplificando:

X = A + BCD

Ejemplo 6

X = (AB+B)BC

Usando la propiedad

distributiva:

X = ABBC +BBC

X = ABC + BBC

X = ABC + 0•C

X = ABC + 0

X = ABC

En la siguiente

transparencia se ve

cómo las dos cosas son

lo mismo

Ejemplo 7

X = (A +AB) +(B(C+D))

X = (A + B) + (B(C + D))

X = (A + B) + (BC + BD)

X = A + B + BC + BD

X = A + B + C + BD

X = A + B + C + D

Fórmulas equivalentes

Varias fórmulas pueden tener la misma tabla de verdad

– Son lógicamente equivalentes

En general se suelen elegir formas normales

– Suma de productos:

F(x,y,z) = xy + xz +yz

– Producto de sumas:

F(x,y,z) = (x+y) . (x+z) .(y+z)

Sumas de Productos (SP)

F= ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD F es suma de productos

Sea una función F(ABCD) que sólo es 1 para los casos:0011, 1011, 1110, 1111

Cuando ABCD=0011, únicamente la

expresión producto ABCD es 1.

Cuando ABCD=1011, únicamente la

expresión producto ABCD es 1

…y así sucesivamente… resultando que

Productos de Sumas (PS)

F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

Cuando ABCD=0010, sólo la

suma A+B+C+D es 0.

Cuando ABCD=0100, sólo la

suma A+B+C+D es 0, …

…y así sucesivamente…

La función F es 0 (o bien F es 1)

cuando ABCD=0010

o cuando ABCD=0100

o cuando ABCD=0111

o cuando ABCD=1010

o cuando ABCD=1101

y en ningún otro caso más.

F=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)

F es producto de sumas

De Morgan

Sea una función F(ABCD) que

sólo es 0 para los casos:0010, 0100, 0111,

1010, 1101

Circuito de una expresión

booleana

Reconocedor

– circuito que genera un 1 para exactamente una

combinación particular de señales de entrada y

salidas 0 para las demás combinaciones.

Circuito de una expresión

booleana

Construya circuitos para las siguientes

expresiones booleanas.

Determinación de un circuito que corresponde

a una tabla dada de entrada/salida

Simplificación de circuitos

combinacionales

Dos circuitos lógicos digitales son

equivalentes si y sólo si, sus tablas de

entrada/ salida son idénticas.

Ejercicios Tarea: Los pares, entre

2 personas