» Comprender las aplicaciones de la trigonometría en la solución de situaciones problema,

tanto en contextos matemáticos como de su entorno.

» Relatarelpapelimportantejugadoporlatrigonometríaenlaresolucióndeproblemas

impuestos por necesidades humanas.

de aprendizaje

a. ¿Cómo utilizar el teodolito casero para medir alturas horizontales?b. ¿Cómo se usa la trigonometría en la determinación de distancias a puntos distantes?

1 Investigar el uso de la trigonometría en las ciencias exactas

Grado 10 Tema

Matematicas - Unidad 3¡Un mundo de relaciones a partir del triángulo!

Investigar el uso de la trigonometría en las ciencias exactas

Nombre: Curso:

La trigonometría desde sus inicios ha permitido ofrecer solución a problemas impuestos por necesidades humanas. En la solución a dichos problemas fue necesario la construcción de instrumentosdemedición,quesibien,conlatecnologíaactualhanmejoradolaaproximaciónensusmediciones,laesenciadealgunosdeelloseslamisma.Comoporejemplo:elteodolito.

Después de observar el video, en conjunto con tu profesor y compañeros de clase, realiza un foro en dónde el tema central sea dar respuesta a las siguientes preguntas:

Actividad Introductoria: ¿Y cómo medirlo?

Actividad 1: Teodolito casero

Construye un teodolito caseroConstruir un teodolito casero. Solo necesitas unos cuantos materiales y tu disposición.

Materiales:Losmaterialesquerequieressonlossiguientes.Tenencuentaqueesposiblesustituir algunos, depende de tu ingenio y tus recursos.

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Vas a necesitar los siguientes materiales

Un transportador de 180°1Un tubo de plástico (pitillo) o cartón

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Una plomada (algo que sirva para pender)

3

Hilo o cuerda para la plomada4Pegamento fuerte5Un clavo o puntilla6

Instrucciones:Sigueatentamentelasinstruccionesyrealizaloqueencadaunadeellassedescribe.Utiliza las imágenes como referentes.

Instrucción Imagen de referencia

Tomaeltransportadoryconsumocuidadolerealizasunagujerosuvértice(centro).Tencuidadode no lastimarte.

Listo para utilizar !

Tomas15cm(aproximadamente)dehiloyenunodesusextremosajustaslaplomada.

Introducesporelagujerodeltransportadorelextremo libre del hilo de la plomada, realiza un nudo para que no se salga.

Discute con tu profesor y compañeros cuáles sonlosobjetivosamedir(distanciasverticalesyhorizontales).

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3 Investigar el uso de la trigonometría en las ciencias exactas

Unavezterminesdeconstruirelteodolito,discutecontuprofesorycompañeroscuálessonlosobjetivosamedir(alturas(distancias)verticalesyhorizontales).Luego,analizaelprocedimientosugeridoparautilizarelTeodolito.¡Yamedirsedijo!

Primero

Segundo

Tercero

Identificarladistanciaamedir(h:altura),yladistancia(d)ylugaren donde se ubicará la persona que utilizará el teodolito. Con ayuda de lacintamétricaestimalamedidade la distancia d.

Con ayuda del teodolito estima la medidadelángulo

Incluyelosdatosyresuelvelasecuaciones propuestas.

d

h

d

h

Q

S

P

Q’P’

Actividad 2: Mediciones sobre objetos inaccesibles: Sol - Tierra - Luna

Actividad 3: Maqueta: Sol - Tierra - Luna

a. ¿Elmétododescritoenelvideoaplicaparaotroscuerposcelestes?b. ¿Cómo se usó la trigonometría en la determinación de distancias entre el sol, la tierra, la

luna?

1. ¿PorquécreesqueAristarcodedujoqueenuneclipsesolarlaLunayelSoltienenelmismotamaño aparente?

2. ¿PorquéAristarcopudoconcluirapartirdelosdíasenquelaLunatardaendarunavueltacompletaalaTierra,queelánguloconquevemoslaLuna(oelSol)esaproximadamentede0.51°?

3. Conelánguloanterioryconociendoelconceptodetangentedeunángulo,¿cuántasveceselradioRdelSoldebeserladistanciaDhastaél?

4. ¿CuántasveceselradiordelaLunadebesersudistanciadhastaella?

Después de observar el video, en conjunto con tu profesor y compañeros de clase, realiza un foro en dónde el tema central sea dar respuesta a las siguientes preguntas:

Analiza la información descrita en cada una de las tres imágenes propuestas y responde las preguntas planteadas.

INTERROGANTES

INFORMACIÓN - INDAGACIÓN

Eclipse de Sol:DesdelaTierra,laLunaocultaalSolcasiconcompletaprecisiónenuneclipsetotal.Aristarcodedujoqueentoncesvemosambosastrosconelmismoángulo, es decir, tienen el mismo tamaño aparente. ¿Por qué?

Eclipse de Luna:Aristarcoobservóquedesdequecomenzaba un eclipse de Luna hasta que la sombra delaTierracubríaporcompletolaLunapasabaunahora, aproximadamente. Es decir, en una hora la Luna recorretodosudiámetro.Aristarcosabía,observandolaperiodicidaddelasfaseslunares,quelaLunatarda29,5díasendarunavueltacompletaalaTierra.AsídedujoqueelánguloconquevemoslaLuna(oelSol)esde0.51°, aproximadamente.¿Porqué?

Tamaño aparente de la luna y el sol

4 Investigar el uso de la trigonometría en las ciencias exactas

1. ObservaquelaTierraylaLunaestánalrededordelamismadistanciadelSol,¿cuántosehabráreducidoeldiámetrodelasombradelaTierracuandointerceptelaLuna?

2. ¿AcuántasveceseldiámetrodelaLunaestimaríasqueequivaleaproximadamenteeldiámetrodelasombradelaTierracuandoseencuentraasualtura?

3. ¿CuántasvecescreesqueconsideróAristarcoqueeramásgrandelaTierraquelaLuna?TenencuentalareduccióndelasombradelaTierracuandollegaalaLuna.

4. Teniendoencuentaelsenodelángulomitad(0.255°)conquevemoslaLuna,ytomandocomoradiodelaLunaelcalculadoporAristarco,¿aquédistanciadeberíaestarentonceslaLunadelasuperficieterrestre?

INTERROGANTES

INFORMACIÓN - INDAGACIÓN

Eclipse de Sol:Observaque,apesardelagrandistanciaquenosseparadelSol,sutamañoestangigantescocomparadoconeldelaLunaolaTierraquelasombrade la Luna no es cilíndrica, sino cónica. El diámetro delasombradelaLunasevareduciendohastacasidesaparecer(enuneclipsetotal)justoalinterceptarlaTierra.Esdecir,lasombradelaLunareducetodosudiámetroenladistanciaquelaseparadelaTierra.

Eclipse de Luna:ComolaTierraylaLunaestánaproximadamentealamismadistanciadelSol,¿cuántosehabráreducidoeldiámetrodelasombradelaTierracuando intercepte la Luna?

INFORMACIÓN - INDAGACIÓN

Cuarto menguante:Tambiénvaldríaelcuartocreciente,enesaposición,loscentrosdelSolylaLunaformancon nuestra posición un triángulo rectángulo. En la aplicación,elvalorquesemuestradeeseángulo,83.34º,no es el real, sino el propio del esquema que usamos. Vamosaresolverprimeroesetriángulodelesquemaydespuésloharemosconlasmedidasreales.SabiendoqueelcatetoLuna-Tierramide0.84,¿cuántomidelahipotenusa?

ComoAristarcoyahabíacalculadoladistanciaalaLunaenunos409milkm(enrealidad,sonunos378milkm),soloteníaquemedirelánguloconelqueveíaelcatetoSol-Lunapararesolvereltriángulorectángulo.

Triángulos rectángulos:Teniendoencuentaelsenodelángulomitad(0.255°)conquevemoslaLuna,ytomandocomoradiodelaLunaelcalculadoporAristarco,¿aquédistanciadeberíaestarentonceslaLunadelasuperficieterrestre?

Tamaño aparente de la luna y el sol

Tamaño aparente de la luna y el sol

83.34° 0.84

5 Investigar el uso de la trigonometría en las ciencias exactas

1. ConociendoelvalordelcatetoLuna-Tierra(0.84)yelángulo83.34°,hallaelvalordelahipotenusa.

2. ¿AquédistanciacreíaAristarcoqueseencontrabaelSol?

3. ¿CuántasvecesmáslejoscreíaquequedabaelSoldelaLuna?

4. ¿AquédistanciaseencuentrarealmenteelSol?

5. ¿CuántasvecesmáslejosquedarealmenteelSoldelaLuna?

6. ¿QuéradiocreíaAristarcoqueteníaelSol?

7. ¿QuéradiotienerealmenteelSol?

Palabras:

• Ángulo• Aristarco• Eclipse• Luna• Distancias• Observación• Sol• Teodolito• Trigonometría

a. ¿AquédistanciacreíaAristarcoqueseencontrabaelSol?

b. ¿CuántasvecesmáslejoscreíaquequedabaelSoldelaLuna?

c. ¿AquédistanciaseencuentrarealmenteelSol?

d. ¿CuántasvecesmáslejosquedarealmenteelSoldelaLuna?

INTERROGANTES

Aquífuedondecometióunconsiderableerrordemedición,puesvaloróeseánguloen87°, muy lejos(considerandosudiferenciade3°conelángulorecto)delvalorrealde89.85°(quesolodifiere0.15°delángulorecto).Resuelveeltriánguloparaesosdosvalores:

Resuelve la sopa de letras. Luego, incluye las palabras correspondientes en el lugar adecuado de cada frase.

6 Investigar el uso de la trigonometría en las ciencias exactas

• Unesuninstrumentoparamedirhorizontalesyvericales

• El matemático griego consiguió medir el tamaño aparente de la

• AristarcoconsiguiócalculareltamañodelaLunayladistanciaaellamediantela

• La se utiliza para medir y es muy útil para poder realizar

y el con la simple .

del

en el horizonte.

medicionessobreobjetosinaccesibles.

deSolyel de Luna.

NJEJXKWEMWOYMOUOA

FXKMNQXENULNEBGHN

EFWLOOAVIYWI

WSEYG

TWYKIVVOIAYMOEEXU

FTOPHWIARISTARCOL

TRIGONOMETRIAVLFO

FVOECNROITFUMAUPY

UIOTRCHUEENYSCNYY

VIEEVREUELNHYIALB

APGOVOADDOETCOWSE

WBVDEHTEIDPFONOJO

AGCOMEPSEMFRZNCAR

GYILJIIPOECLIPSEF

SWSIOYINVLEDUEYHR

CGETOHCYVXMAHUIFE

FBIOJIIITOAEACDBX

QYMOOOIZOYBPENOBZ

Uso de la trigonometría

7 Investigar el uso de la trigonometría en las ciencias exactas

1. Losestudiantesseleccionanunodelosproblemas(encontexto–propuestosenlaactividad1)querequierancalculardistanciasapuntosdistantes.Luego,conayudadel teodolito casero, realiza el proceso de medición y describen paso a paso este proceso.

2. Losestudiantessocializaneldesarrollodelasinvestigacionespropuestasenlasactividades1y3(“cómoseusalatrigonometríaenladeterminacióndedistanciasapuntosdistantes”y“cómoseusólatrigonometríaenladeterminacióndedistanciasentreelsol,latierra,laluna.”).

3. Losestudiantesrealizanelsiguienteexperimento(pensadoparatrespersonas:A,ByC).Requierequeseaunanochedelunallenayteneralamanounacintamétricayunamonedade50pesos(COP).Eldiámetrodeestamonedaesde17mm.Mientrasalguien(PersonaB)mantieneenaltolamoneda,dirigesusmovimientosylostuyos(PersonaA)hastaqueveas,porunojo,quelamonedaeclipsajustolalunallena.Enesaposición,pidealatercerapersona(PersonaC)quemidaladistanciaentretuojoylamoneda.Esadistanciaserádeunos180cm(aunquenoloparezca).¿Porqué?

Nota:nuncarealicesesteexperimentoconelSolenvezdeconlaLuna,puessisiempreresultapeligrosodirigirlavistadirectamentealSol,elriesgoestodavíamayorcuandoseencuentra parcialmente oculto, como en los eclipses. Puedes realizarunexperimentosimilarconelSolsustituyendolamonedaporunacartulinaalaquelehashechopreviamenteunpequeñoagujeroconunalfiler.Nomiresalacartulinasinoasusombra:enmediodeellaverásunaimagendelsolqueharálasvecesdemoneda.

8 Investigar el uso de la trigonometría en las ciencias exactas

Lista de referencias

MinisteriodeEducación,CulturayDeporte.(20de10de2014).GobiernodeEspaña.ObtenidodeProyectoGauss:http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/trigonometria/sol_luna/actividad.html