La proporcin muestra los tamaos relativos de dos o ms valores.

Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando el ":" para separar los valores, o como un solo nmero dividiendo un valor para el total.

Ejemplo: si hay un nio y tres nias la proporcin podra escribirse as:

1:3 (por cada nio hay 3 nias)1/4 son nios y 3/4 son nias0.25 son nios (dividiendo 1 por 4)25% son nios (0.25 como porcentaje)

Usando proporcionesEl truco con las proporciones es multiplicar siempre los nmeros en la proporcinpor un mismo valor.Ejemplo:4 : 5es lo mismo que42: 52= 8 : 10Razn y proporcin numricaRazn entre dos nmerosSiempre que hablemos deRaznentre dos nmeros nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.Entonces:Raznentre dos nmerosaybes el cociente entre

Por ejemplo, laraznentre 10 y 2es 5, ya que

Y la razn entre los nmeros 0,15 y 0,3 es

Proporcin numricaAhora, cuando se nos presentandos razonespara ser comparadas entre s, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de unaproporcin numrica.Entonces:Los nmerosa, b, cydforman unaproporcinsi la razn entreaybes la misma que entrecyd.

Es decir

Se lee aes abcomoces ad

Los nmeros 2, 5 y 8, 20 forman una proporcin, ya que la razn entre 2 y 5 es la misma que la razn entre 8 y 20.Es decir

En la proporcinhay cuatro trminos;aydse llamanextremos,cybse llamanmedios.

La propiedad fundamental de las proporciones es:en toda proporcin, el producto de los extremos es igual al de los medios.

As, en la proporcin anterior

se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40

Comprendido el concepto de proporcin como una relacin entre nmeros o magnitudes, ahora veremos que esa relacin puede darse en dos sentidos:Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos deMagnitudes directamente proporcionales.Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos deMagnitudes inversamente proporcionalesMAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALESSi dos magnitudes son tales que adoble, triple...cantidad de la primera correspondedoble, triple...cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes sondirectamente proporcionales.

EjemploUn saco de papas pesa20 kg. Cunto pesan 2 sacos?Un cargamento de papas pesa520 kg Cuntos sacosde20 kgse podrn hacer?Nmero de sacos123...26...

Peso en kg204060...520...

Para pasar de la 1 fila a la 2 basta multiplicar por 20Para pasar de la 2 fila a la 1 dividimos por 20Observa que

Las magnitudesnmero de sacosypeso en kgsondirectamente proporcionales.Laconstante de proporcionalidadpara pasar de nmero de sacos a kg es 20.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALESSi dos magnitudes son tales que adoble, triple...cantidad de la primera corresponde lamitad, laterceraparte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes soninversamente proporcionales.EjemploSi 3 hombres necesitan 24 das para hacer un trabajo, cuntos das emplearn 18 hombres para realizar el mismo trabajo?En este caso a doble nmero de trabajadores, el trabajo durar la mitad; a triple nmero de trabajadores, el trabajo durar la tercera parte, etc. Por tanto, lasmagnitudessoninversamente proporcionales (tambin se dice que son indirectamente proporcionales).Formamos la tabla:Hombres369...18

Das24128...?

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72Por tanto 18 por x = 72O sea que los 18 hombres tardarn 4 das en hacer el trabajoNtese que aqu la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto ser siempre igual.Importante:Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre s, y el resultado se mantendr constante.

EscalaProporcin de la longitud en un dibujo (o modelo) de la longitud real.

Ejemplo: en este dibujo cualquier cosa del tamao de "1" tendr un tamao de "10" en el mundo real, as una medida de 150mm en el dibujo sera 1500mm en el caballo real.

Es una referencia para tomar medidas. Por ejemplo la escala 1:1 toma el tamao real para ambas dimensiones x y y. La escala 2:1 Toma dos veces el tamao de x, pero el tamao de y lo deja igual.

La escala 4:5 toma 4 veces el tamao de x y 5 veces el tamao de y.

Si se usa esto en un plano cartesiano, 0.5: 3 quiere decir que cada rayita en el eje de las x vale 1/2 y que cada rayita en el eje de las y vale 3.SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANASLas coordenadas cartesianas se pueden usar para decir dnde ests exactamente en un mapa o grficoCoordenadas cartesianasCon las coordenadas cartesianas sealas un punto en un grfico dando ladistancia de ladoyhacia arriba:

El punto (12,5) est 12 unidades a la derecha y 5 arriba.

Ejes X e YLa direccinizquierda-derecha(horizontal) se suele llamarX...... yarriba-abajo(vertical) se suele llamarY.Las lneas de referencia (desde donde se miden distancias) se llamanejes.Hay uneje Xy uneje Y.

El eje X pasa por cero horizontalmenteEl eje Y pasa por cero verticalmente

DireccionesCuandox(la primera coordenada) aumenta, el punto se mueve a laderecha. (Si disminuye, el punto va a la izquierda.)

Cuandoy(la segunda coordenada) aumenta, el punto se muevearriba. (Si disminuye, el punto va abajo.)

Escribir coordenadasLas coordenadas siempre se escriben en el mismo orden: la direccin horizontal primero, despus la vertical. Esto se llama un "par ordenado".Y normalmente los nmeros se separan con una coma, y se rodean con parntesis as:(3,2)Ejemplo: (4,9) significa 4 unidades a la derecha y 9 arribaEjemplo: (0,5) significa 0 unidades a la derecha y 5 arriba. En otras palabras, slo 5 unidades arriba.

Se llamancartesianasporque las ide el matemtico y filsofoRen Descartesa quien tambin se llamabaCartesio. Es famoso por la frase"Pienso, luego existo".

CuadrantesQu pasa cuando x o y es negativo? Pues que empezamos en cero y vamos en la direccin contraria!Esto significa que es posible tener combinaciones como x positivo e y negativo, o los dos negativos. De hecho hay cuatro combinaciones, y en un grfico se llamancuadrantes:X(horizontal)Y(vertical)EjemploCuadrante

PositivoPositivo(3,2)I

NegativoPositivo(-4,3)II

NegativoNegativo(-2,-1)III

PositivoNegativo(2,-3)IV

La palabracuadranteviene decuadque significacuatro. Por ejemplo, cuatro bebs que nacen a la vez se llamancuatrillizos, y un animal de cuatro patas se llamacuadrpedo)

Aqu tienes los cuatro cuadrantes en un grfico:

Ejemplo: el punto "A" (3,2) est 3 unidades a la derecha y 2 arriba. Como x e y son positivos, el punto est en el "cuadrante I"Ejemplo: el punto "C" (-2,-1) est 2 unidades horizontalmente en direccin negativa,y 1 abajo (tambin direccin negativa). Como x e y son los dos negativos, el punto est en el "cuadrante III"

El origenEl punto (0,0) tiene el nombre especial de "el origen", y a veces se le llama con la letra "O".

FUNCIN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Cuando lasvariables independiente y dependiente son proporcionales, es decir cuando aumenta la variable independiente la variable dependiente lo hace en la misma proporcin, y cuando disminuye la variable independiente la variable dependiente lo hace tambin en la misma proporcin, entonces lafuncinque las relaciona se dice que es deproporcionalidad directa.Ejemplo: supongamos la funcin y = 2x

Este tipo de funciones en los que la variable dependiente es igual a la variable independiente multiplicada por un coeficiente,su representacin grfica es una recta.Lapendientede la recta es igual alcoeficiente de la variable independiente.En el ejemplo, este coeficiente es el 2, luego la variable dependiente se incrementa (o disminuye) el doble de lo que lo haga la variable independiente.Si el coeficiente es mayor la pendiente de la recta aumenta, si es menor la pendiente disminuye.Ejemplo con y = 4x

Ejemplo con y = 0,5x

Si este coeficiente tiene valor negativo la pendiente es negativa, por lo que sera una recta decreciente.Ejemplo con y = -2x(pendiente = -2)

Si la funcin no lleva trmino independiente la recta pasa por el origen de coordenadas. Tal como hemos visto en los ejemplos anteriores.Si la funcin lleva un trmino independiente, por ejemplo y = 2x + 5, la representacin grfica tambin es una recta pero no pasa por el punto de coordenadas sino quecorta el eje vertical en el valor del trmino independiente, en este caso en el punto 5 (para x = 0, y = 5).

Ejemplo con y = 2x - 5

Si la funcin es del tipo y = 3, quiere decir que el valor de y no depende de la x, sino que siempre vale 3, con independencia del valor que tome la x. Su representacin es unalnea horizontalque corta el eje vertical por el punto 3.

Calcular la funcin de una rectaDe igual manera que a partir de la funcin podemos calcular los pares de valores que definen la recta.A partir de un par de punto podemos deducir la funcin que origina dicha recta.

Por una parte sabemos que cuando x=0, y =-2, luego eltrmino independiente es -2.

Por otra parte podemos calcular la pendiente o coeficiente de la variable independiente:Si x=0, y =-2Si x = 5, y=13Es decir, que si x se incrementa en 5 (pasa de 0 a 5), y se incrementa en 15 (pasa de -2 a 13), luego la pendiente es igual:Pendiente= Incrementoy / Incremento x = 15 / 5 =3Luego la funcin que define esta recta es:y = 3x 2

Cuando lasvariables independiente y dependientesoninversamente proporcionales, es decir cuando aumenta la variable independiente la variable dependiente disminuye en la misma proporcin, y cuando disminuye la variable independiente la variable dependiente aumenta en la misma proporcin, entonces lafuncinque las relaciona se dice que es deproporcionalidad inversa.Lasfuncionesde este tipo tienen la siguiente forma:y = a / x, siendo a un coeficiente.Por ejemplo: y = 3 / x

Si el valor del coeficiente fuera negativo, por ejemplo y = -3 / x, la grfica tendra la siguiente forma:

.Si la variable independiente x tomara valores positivos y negativos, la funciny = 3 / xsera discontinua, con un punto de ruptura para x = 0.