Matematicas Resueltos (Soluciones) Trigonometria Nivel II 2º Bachillerato

1

Lo primero, antes de comenzar el tema, vamos a recordar alguna de las

propiedades de los triángulos.

TRIÁNGULO

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres

segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que

limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados,

vértices.

En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por

dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).

Consideraciones :

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos

interiores no adyacentes.

Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos

adyacentes.

Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo

comprendidos.

Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.

En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también

iguales.

En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

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Según sus lados

Equiláteros (sus tres lados iguales) Isósceles (dos lados iguales y uno desigual) Escaleno (tres lados desiguales)

Según sus ángulos

Rectángulos (un ángulo recto) Acutángulos (tres ángulos agudos) Obtusángulos (un ángulo obtuso)

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

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Hipotenusa : a

Catetos : b y c

Proyección del cateto b : Pb

Proyección del cateto c : Pc

Altura : h

Ángulo recto : = 90º

Ángulos agudos : β y γ

RELACIONES MÉTRICAS RELACIONES

TRIGONOMÉTRICAS

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

2R = Diámetro de la circunferencia circunscrita

º grados sexagesimales

rad radianes

g grados centesimales

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Razones Trigonométricas de la Suma de Ángulos:

OB = 1

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sen (a+b) = PB = MN = AN + AM = OA. sen a + AB. cos a =

sen a . cos b + cos a . sen b

cos (a+b) = OP = ON-PN = ON – BM = OA. cos a – AB . sen a =

cos a . cos b – sen a . sen b

Razones trigonométricas de la Diferencia de ángulos:

Basta sustituir en las expresiones anteriores el ángulo b por el ángulo (-b) y

recordar que:

sen (-b) = - sen b

cos (-b) = - cos b

tg (-b) = - tg b

Comenzamos el proceso de sustitución:

6

Razones trigonométricas del ángulo doble:

El criterio a seguir, es sustituir el ángulo por el ángulo

Razones trigonométricas del ángulo mitad:

Para calcularlas, partiremos de la fórmula del coseno del ángulo doble

El siguiente paso, es ir a la fórmula de la razón fundamental de trigonometría:

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En esta fórmula fundamen Vamos a despejar:

Este valor que hemos obtenido, vamos a sustituirlo en la fórmula del coseno del ángulo

2a.

Pero queremos calcular las relaciones del ángulo mitad, por tanto sustituimos el ángulo

a, por el ángulo a/2

Donde tengamos a sustituimos por a/2

Donde tenemos 2a sustituimos por 2a/2 = a

Por tanto:

Ahora vamos a calcular las razones del coseno:

Procederemos de la misma forma que en el apartado anterior.

Para calcularlas, partiremos de la fórmula del coseno del ángulo doble

El siguiente paso, es ir a la fórmula de la razón fundamental de trigonometría:

sen2a cos2a + = 1

8

Vamos a despejar de esta formula fundamental:

Este valor que hemos obtenido, vamos a sustituirlo en la fórmula del coseno del ángulo

2a.

Si ahora despejamos obtenemos:

Pero como queremos calcular las razones del ángulo mitad, vamos a sustituir a por

a/2, y donde esté 2a lo sustituimos por 2ª/2 = a

Por tanto:

Ahora vamos a calcular la tangente del ángulo mitad.

Como ya sabemos:

Basta con sustituir los valores obtenidos, en esta fórmula:

sen2a cos2a + = 1

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Transformación de suma de ángulos en productos:

Vamos partir de las igualdades: sen (a+b) y sen (a-b)

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos:

sen (a+b) + sen (a-b) = 2 sen a . cos b Despejamos:

Restando ambas ecuaciones, obtenemos:

sen (a+b) - sen (a-b) = 2 sen b . cos a Despejamos:

- Ahora vamos a partir de las igualdades cos(a+b) y cos (a-b)

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos:

cos (a+b) + cos (a-b) = 2 cos a . cos b Despejamos:

Restando ambas ecuaciones, obtenemos:

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cos(a+b) – cos (a-b) = - 2 sen a . sen b Despejando:

Hasta aquí hemos llegado, y tenemos un montón de fórmulas para poder efectuar

cálculos.

Bien, esto es un lío de siete estallos. Deberíamos hacer algo para simplificar nuestra

memoria, y no ocuparla con todo este mogollón de fórmulas.

Por ejemplo, vamos a hacer la siguiente transformación, para simplificar un poquito

estas fórmulas:

Vamos primero a sumar este sistema de ecuaciones:

Ahora nos toca restar en este sistema de ecuaciones:

Y deducimos las siguientes fórmulas:

Debemos de memorizarlas, para efectuar los cálculos que se nos planteen en todos los

problemas, que nos puedan exigir su resolución,

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1.- Transformar en suma: cos 2 a . cos a.

Tan solo nos basta con aplicar la fórmula de transformar una suma en un producto.

¿Cuál elegimos?

La del cos a. cos b, es la única que podemos utilizar:

a b

Paso siguiente: Datos cos 2 a . cos a.

¿Cuál es el ángulo a? En este caso es 2 a

¿Cuál es el ángulo b? En este caso es a

A continuación procedemos a sustituir estos valores en la fórmula que vamos a aplicar:

El paso siguiente, consiste en efectuar operaciones dentro de los paréntesis:

Y listo el ejercicio.

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2.- Simplificar la siguiente expresión:

Lo primero que vamos a hacer, va a ser transformar las sumas del numerador y

denominador en productos.

No tenemos otra alternativa, para poder hacer operaciones.

¿Qué formula aplicaremos? La única que nos encaja es alguna que sea sen A + sen B.

Vamos a nuestra memoria, y encontramos la que nos encaja, para el numerador.

a b

Paso siguiente: Datos

¿Cuál es el ángulo a? En este caso es 4 a

¿Cuál es el ángulo b? En este caso es 2 a


El numerador nos queda:

¿Qué formula aplicaremos? La única posible es cos A + cos B

¿Nos acordamos? Si. Entonces fenomenal, la escribimos:

a b

Paso siguiente: Datos

a b

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¿Cuál es el ángulo a? En este caso vuelve a ser 4 a

¿Cuál es el ángulo b? En este caso vuelve a ser 2 a.


El denominador nos queda:

Hemos obtenido, los valores del numerador y denominador. Por tanto en este

momento, ya vamos, digamos a “montar” estos datos, en el enunciado:

¿Qué se nos ocurre, para continuar haciendo operaciones?

1º.- Vamos a efectuar operaciones dentro de los paréntesis:

2º.- Para seguir, lo primero que debemos hacer es simplificar.

Observando, vemos que tenemos en el numerador y denominador:

Entonces vamos a suprimirlo y nos queda la expresión:

Seguimos operando, y tenemos 2 en el numerador y denominador:

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Y ejercicio resuelto.

Estamos viendo, que todos consisten en recordar las fórmulas de ángulos dobles,

transformaciones de sumas en productos y sumas de ángulo A más ángulo B.

Se trata tan solo de recordar fórmulas, y ser muy cuidadosas/cuidadosos con las

operaciones.

Por tanto:

3.- Calcular: sen 75º , cos 15º

Si observamos los datos, tenemos un producto de sen a . cos b.

¿Cuál es la fórmula que los liga entre si?

Hala!!!!!!!!! Otra volvemos a darle vueltas al coco, para de entre toda la maraña de

fórmulas que hemos aprendido, saber la que tenemos que usar.

Y pensado, nos viene de vuelta, la siguiente:

a b

Paso siguiente: Datos sen 75º . cos 15º

¿Cuál es el ángulo a? En este caso es 75º

¿Cuál es el ángulo b? En este caso es 15º


El paso siguiente, consistirá en hacer operaciones con los paréntesis:

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¿Por qué alto? Puesto que tenemos que traer a la memoria algún valor que hemos visto

en el curso anterior, y se trata de acordarse, cuanto valía el sen 90º y el sen 60º.

Ahora ya nos acordamos: sen 90º = 1

Entonces el paso siguiente, consistirá en sustituir estos valores, en la parte del

problema, al que hemos llegado:

Ahora continuamos haciendo operaciones, hasta llegar al resultado final:

Ahora vamos a operar don los denominadores:

Y ya tenemos el problema resuelto.

En este hay una mezcla de transformación de un producto en una suma, con un

añadido nuevo, el que recordemos las razones trigonométricas de los ángulos de 60º y

90º.

Por tanto:

4.- Calcular: sen 105º + cos 75º

Ahora como siempre, antes de empezar, tenemos que comernos un poco el coco. Y nos

surge la siguiente pregunta:

¿Conocemos alguna fórmula del tipo sen A + cos B? Vamos a nuestro almacén

particular

La respuesta es NO.

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Entonces, ¿qué podemos hacer?

Lo único es adaptar alguno de estos valores, a las fórmulas que hemos estudiado. De

otra manera no podemos solucionar este problema.

Estamos pensando en algo. Ah!!!!!!!!!!!! Podemos hacer un cambio. ¿Qué

cambio? Transformar el coseno de 75º en forma de seno.

¿Cómo podemos hacerlo? Recordándonos de que en el primer cuadrante, la parte que

no es seno, ES COSENO.

¿Nos vamos enterando? Vamos a verlo dibujado:

La parte dibujada en rojo es el: COSENO

La parte dibujada en verde es el: SENO.

Sumando seno + coseno = ángulo de 90º

Por tanto el coseno, digamos a nuestra manera:

Es lo que le falta el seno de este ángulo, para medir 90º.

Finalmente pensamos una cosa: Si todo el ángulo mide 90º y el coseno que nos dicen

en el enunciado del problema, mide 75º.

¿Podemos calcular el seno de este ángulo de 75º? SI.

Es la única forma que tenemos para poder resolverlo. Ya lo hemos dicho

anteriormente.

Por tanto Ángulo total = 90º

Entonces: sen 90º - sen 75º = sen 15º

Por tanto hemos llegado a deducir cos 75º = sen 15º.

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Ahora si sustituimos los datos el enunciado del problema, nos quedará para resolverlo,

la siguiente expresión:

sen 105º + sen 15º

Ahora si tenemos en la memoria guardada una fórmula que nos ligue la suma de dos

ángulos. Es la siguiente:

a b

Paso siguiente: Datos sen 105º . sen 15º




El paso siguiente, deberá ser hacer operaciones en los paréntesis del numerador, para

ir simplificando cálculos y evitar errores.

¿Por qué alto? Puesto que tenemos que traer a la memoria algún valor que debemos

conocer, y se trata de acordarse, cuanto valía el sen 60º y el cos 45º.

Sabemos que:



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En el paso anterior; hemos multiplicado raíces, que tienen el mismo radical, asimismo

hemos multiplicado los denominadores entre si.

El paso siguiente, deberá ser hacer simplificar cálculos, para evitar errores:

Con el resultado anterior, ya hemos resuelto el problema.

¿Dónde estaba el truco? En un principio no encontrábamos de “forma directa” la

posibilidad de aplicar formula alguna que conociésemos para poder seguir.

De ahí esa transformación del coseno de 75º en sen 75º.

Por tanto:

5.- Demostrar que se cumple siempre la igualdad:

Antes de empezar os quiero advertir a todas/todos una cosa, para que vayamos

tomando un poquito el tilín de estos ejercicios:

Siempre que nos pidan que demostremos si se cumplen ciertas igualdades

trigonométricas, lo que pretenden los “profes” es que nos acordemos de las razones

fundamentales de la trigonometría. Y además quieren que nos acordemos de todas.

Porque nos van a poner ejercicios a resolver, en donde entren todas las variantes.

Estoy con vosotras y vosotros en que es un coñazo esta parte de las “mates”

pero……….. tenemos que aprenderlos. No nos queda más remedio, porque en la primera

evaluación que nos hagan, nos van a machacar con ejercicios de este tipo.

Por tanto, debemos de llevarlo con calma y tranquilidad. Todos sabemos que

estábamos mejor en el cine, o viendo un poco la TV, o con la Play o con el PSP,

pero……… a mazarse a ejercicios. Ya tendremos nuestros ratitos de ocio. Todo es

cuestión de organizarnos bien. En este momento estamos trabajando.

Además os voy a adelantar otra cosa: Este tema es fundamental, porque vamos a

volver a usarlo con mucha frecuencia, en un tema que llegará más adelante, y son los

Números Complejos.

Por tanto, tenemos que estar muy al loro con éste tema en particular.

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Ah!!!!!!!!! Se me olvidaba. Lo que pretenden los citados “profes” es otra cosa. Pretenden

que seamos muy precavidos a la hora de hacer operaciones.

Porque son muy liantes, y hay que prestar excesiva atención, a la hora de “operar”, y

al mismo tiempo, otra cosa, tratan de que seamos “listos” para hacer muchas

transformaciones a la vez, porque es una forma de darnos otra vuelta de tuerca, para

provocar nuestros errores.

Por tanto “ojito” con todo lo que tenemos delante.

Me estoy enrollando, vamos a comenzar a efectuar el ejercicio,

1º.- Paso ¿A ver qué se nos ocurre a cada uno de nosotros?

Por ejemplo: Vamos a pasar al 2º miembro de la igualdad:

Y la expresión dad en el enunciado nos queda de la siguiente forma:

2º.- Paso ¿A verrrrrrrrrrrrrr………………… qué se nos ocurre? Deshacer el lío del 1º

miembro de la igualdad, creemos que puede ser un buen camino.

Bueno, pues allá vamos: Acordarse que es una diferencia de cuadrados.

Por tanto suma por diferencia = Diferencia de cuadrados.

La/el que no esté de acuerdo, que lo haga en un papel, esta operación.

- Cuidado, para no liarnos, vamos a ver como nos quedo toda la igualdad. Esto que

hacemos ahora, es para ir pasito a pasito y no enredarnos.

Si echamos un vistazo a esto que tenemos delante, para seguir, además de ser un

bodrio, ¿qué podemos hacer para seguir hacia delante?

“…….¿Os acordáis de las razones fundamentales de la trigonometría?

Vuelta a nuestra memoria, a ver que tenemos allí guardado, cada uno de nosotros.

Razón fundamental:

3º.- Paso: Vamos a sustituir este valor en la expresión que tenemos:

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Ahora todas/todos estamos pensando, bueno y ¿quéeeeeeeeeeeeeeeeeeeee?

A seguir estrujándonos el coco. La eterna pregunta ¿qué hacemos? porque tenemos

que seguir.

¿Qué es lo que no nos encaja mucho, para seguir avanzando? Ah!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! La

expresión:

¿Qué podremos hacer?

Pensad un poquito: al principio, antes de resolverlo comentamos: Liar operaciones y

razones fundamentales, y muchas transformaciones ¿ os acordáis ahora?.

Entonces sigamos con nuestras transformaciones, para deshacer el galimatías:

Y recurrimos de nuevo a la razón fundamental de la trigonometría:

Aquí la tenemos delante nuestra.

¿Cómo vamos a jugar con ella.

Se nos puede ocurrir una cosa: Destrozarla.

¿Cómo la destrozamos? Sencillamente, despejando “algo” que nos pueda venir bien.

Por ejemplo, vamos a despejar:

Y nos queda:

¿Qué hacemos con este destrozo? ¿Y si sustituimos este valor en la expresión en

donde estamos parados, qué pasa? Veamos:

Hemos dado un paso importante.

Vamos a efectuar operaciones en el 1º miembro de la igualdad:

Y ya tenemos resuelto el dichoso problemita.

Los secretos: Transformaciones, fórmulas de las razones trigonométricas, operar con

cuidado y nada más, excepto la transformación de una suma por un producto.

Por tanto demostrado queda:

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Vamos a echar un vistazo antes de empezar, para olernos esta tostada.

Hummmmm!!!!!!!!!!!!!!!!! Vemos algo raro, raro, raro. Nos dan como dato cotangente de un

ángulo.

¿Para qué será? De entrada para liarnos. Y continuando pensando mal, para que nos

acordemos que la cotangente es la inversa de la tangente.

Por tanto al loro: Nos quieren ver transformando expresiones de entrada, y

seguramente que, nos liemos a la hora de hacer operaciones y, seguramente también

quieren que usemos las razones fundamentales de la trigonometría.

El asunto de toda esta quincalla por parte del “profe” es que utilicemos el coco a

tope.

Aquí tenemos al profe. Parece que con la varita mágica de los lios.

Diciendo: No se lien, no se lien. Y encima, se ríe.

Claroooooooo…………………………………………. A él no lo van a examinar. A nosotros si, y va a

ser precisamente este “profe”, el que nos va a evaluar.

Vamos a comenzar a resolver el ejercicio. ¿por dónde comenzamos?

Si hemos hablado de cotangentes, vamos aponerlas en forma de tangentes.

1º.- Paso

El siguiente paso, será efectuar operaciones, en

el

el numerador y denominador, a ver que nos queda:

2º.- Paso

Podemos simplificar en el numerador y denominador

tg a. Vamos a efectuar esta operación, y tenemos:

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¿Qué se nos ocurre para continuar?

Acordarnos de lo que venimos repitiendo a

menudo, y no es otra cosa que: razones fundamentales de la trigonometría.

Y para aplicarla, vamos a echar un vistazo al numerador:

Nos aparece la expresión:

¿Qué razón fundamental, nos puede permitir usar esta expresión?

Conocemos ésta:

Tal cual está, no nos sirve. Ahora es el momento de volver a pensar, y nos acordamos

de que a los “profes” le gustan mucho las transformaciones.

Si queremos calcular una tangente, y tenemos por un lado seno y por otro coseno,

¿qué conocemos nosotros que las puedan ligar?

Siendo lógicos y pensando un poquito sabemos que:

Vamos a la fórmula fundamental, y dividamos entre Obtenemos:

Hagamos operaciones y “muy atentas/atentos”.

¡Ojito!!!!!La inversa del coseno es la secante

Vamos a recordar donde estamos, para no perder el hilo del problema:

Sustituimos los valores calculados en esta expresión:

Esta expresión, es justamente el valor del numerador. Vamos a sustituirla ahora

mismo:

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Nos queda:

¿Qué hacemos, cómo podemos continuar? Socorrooooo…… … no veo nada claro. Estoy

atascado.

¿Comemos un bocata? ¿Bebemos un trago de agua? Noooooooooooooo, seguimos.

A romperse un poco más el coco. Con calma.

Y si decimos: No queremos ver secantes ni tangentes. Bien,¿entonces cómo vamos a

actuar?

La secante es la inversa del coseno.

La tangente es el seno partido por el coseno.

Vamos a transformar la expresión obtenida, en función de las dos razones anteriores:

Parece que en vez de avanzar, retrocedemos.

Da la sensación de tener más lio, que cuando hemos

hecho la transformación.

Pero tranquilas/tranquilos, no es así. Ya veréis como lo vamos a hacer de forma

sencilla. Siempre con la historia de las transformaciones a vueltas:

¿Qué os parece, si antes de seguir hacemos operaciones, para ver si podemos facilitar

un poquito más la expresión?

A primera vista, parece que no hemos hecho nada

que entendamos un poquito mejor.

Pero vamos a dar una vuelta a nuestra cabeza, a ver si se nos ocurre algo, para poder

continuar.

Esta transformación que viene, no es fácil de percibir:

Nos acordamos de la fórmula del coseno del ángulo doble(esta es la clave)

Echad un vistazo al denominador de la última

expresión que hemos obtenido.

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Probablemente, no era fácil de percibir esta transformación, pero recordad que

estamos haciendo un montón de ejercicios, para percatarnos de todas las posibilidades

que nos puedan aparecer. Estamos cogiendo práctica para manejarnos lo mejor que

podamos.

Vamos a sustituir esta última transformación en la expresión obtenida:

Antes de seguir, si echamos un vistazo, observamos que podemos simplificar una

expresión, que es; y la expresión nos quedará:

Simplificamos

Tenemos que seguir, para ello debemos de dar otra transformación. Debemos tener

presente, que ya casi estamos llegando al final del ejercicio, por tanto veremos con

amplitud o al menos eso trataremos, para en conjunto ver lo que tenemos delante:

Observando, la expresión tenemos la inversa del coseno por un lado y la secante por

otro. ¿Cómo las podemos ligar entre si?

La inversa del coseno es la secante. Nos va a servir, puesto que tenemos secante por

un lado y secante por el otro.

Vamos a sustituir esta transformación en la expresión obtenida;

Ya hemos resuelto este problema, no sin antes hacer un buen número de

transformaciones y de acordarnos del coseno del ángulo doble. No es sencillo de

resolver este ejercicio.

Por tanto:

7.- Resolver la siguiente ecuación:

¿A simple vista se nos ocurre algo?

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Personalmente, para empezar, haría una cosa, pasaría al 2º miembro de la ecuación,

la expresión:

Y nos quedaría, la expresión dada, con la forma siguiente:

Paso siguiente: Tenemos que seguir. Si observamos atentamente el 1º miembro,

podemos hacer algo, como sacar factor común 2 sen x.

Vamos a efectuar esta operación, a ver que obtenemos:

Llegado a este punto, siempre estamos utilizando el mismo procedimiento, que consiste

en simplificar para evitar errores.

Tenemos 2 cos x + 1, en el primer y en el segundo miembro, por tanto:

Ahora despejamos sen x y ya hemos resuelto el ejercicio;

Aquí vamos a introducir una nueva variante, atendiendo al signo, y se refiere a que el

seno es positivo en el 1º y en el 2º cuadrante, por tanto la solución de este apartado

será:

Ahora vamos a calcular el coseno del ángulo solicitado:

Podremos proceder de dos maneras diferentes:

1ª Parte del enunciado

2ª parte del enunciado

Vamos a resolver, una de las dos ecuaciones propuestas:

Aquí vamos a introducir una nueva variante, atendiendo al signo, y se refiere a que el

coseno es negativo en el 2º y en el 3º cuadrante, por tanto la solución de este

apartado será:

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8.-Sea un ángulo situado en el 2º cuadrante, tal que tg a = - ¾ , calcular las

razones trigonométricas del ángulo mitad a/2

Una vez hemos echado un vistazo ¿qué se nos ocurre? Por donde metemos mano a este

odioso galimatías.

Grrrrrrrrrrrr………. nos estamos empezando a cabrear, pero debemos de seguir, ahora

no es le momento de rajarse.

¿Qué dato conocemos? Tan solo uno, la tangente de un ángulo y el cuadrante en donde

está situado.

Tenemos que usar el coco, debemos de acudir a nuestro

almacén particular(nuestra memoria) y nos preguntamos ¿qué

formula conozco para obtener una razón trigonométrica, a

partir de otra dada.

Sencillo: Ninguna otra puede ser, que las razones fundamentales de la trigonometría.

1º.- Paso vamos a utilizar esta:

1º Paso: En la fórmula anterior, sustituimos el valor de la tangente, por el dato del

enunciado:

2º Paso: Ya estamos con el rollo de las transformaciones. Vamos a transformar sec x:

La secante es la inversa del coseno.

Seguimos haciendo operaciones.

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El coseno de x, toma dos valores posibles ± 4/5

¿Cuál de las dos soluciones nos vale? Vengaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, a romperse la

cabecita un momento.

¿Ya está? ¿Cuál es el valor que puede tomar?

Muy bien. Y ahora pregunto ¿por qué con signo negativo?

Y me contestaís; Porque el coseno es negativo en el 2º

cuadrante, y el enunciado del problema, nos pide soluciones correspondientes a este

cuadrante.

Muy bien. Excelente. Os dais cuenta de que siempre os pido “excesivo cuidado” para

evitar errores.

Todas estas variantes, son para liarnos. Es preciso estar muy atentos.

Bien y ahora que pasa. Hasta aquí hemos llegado, ¿qué hacemos? Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii,

¿Cómo seguimos? Porque hasta ahora no hemos deducido ninguna razón del ángulo

mitad que nos pedían que calculásemos.

Otra vez, y van más de un millón de veces, tenemos que volver a nuestro almacén

personal de conocimientos, y separar todo lo que allí tenemos, para elegir

acertadamente la fórmula o fórmulas que tenemos que usar:

Si efectivamente, aquí vuelve a estar nuestro almacén:

A mi tan sólo me viene de vuelta, las fórmulas del ángulo

mitad. No hay otras. Pues las vamos a traer al papel.

¿Os dais cuenta ahora por qué hemos calculado el valor del coseno?

Entonces, ya estamos en situación, de dar la primera solución del problema, bastará

con sustituir el valor del coseno en la expresión anterior:

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Ahora lo de siempre, para “tolearnos la cachola” ¿Por qué el signo más?

Y respondemos: Porque el seno es POSITIVO en el segundo cuadrante.

El siguiente paso, es calcular el valor del coseno, como ya habíamos estado antes en

el almacén de nuestra memoria, escribimos en nuestro papel, el valor de esta fórmula:

Ya estamos en situación, de dar la segunda solución del problema, bastará con

sustituir el valor del coseno en la expresión anterior:

Por tanto:

Repetimos lo de siempre, para “tolearnos la cachola” ¿Por qué el signo menos?

Y respondemos: Porque el coseno es NEGATIVO en el segundo cuadrante.

El siguiente paso, es calcular el valor de la tangente, como ya habíamos estado antes

en el almacén de nuestra memoria, escribimos en nuestro papel, el valor de esta

fórmula:

Por tanto:

Otra vez lo de siempre, para “tolearnos la cachola” ¿Por qué el signo menos?

Y respondemos: Porque la tangente es NEGATIVA en el segundo cuadrante.

Y con esto habremos solucionado el problema.

El secreto: razones fundamentales y al mismo tiempo signos de las razones pedidas.

29

9.- Transformar en productos la siguiente expresión: sen 52º - cos 8º

¿Conocemos alguna fórmula del tipo Sen A + cos B? Vamos a nuestro almacén

particular

La respuesta es NO.

Entonces, ¿qué podemos hacer?

Lo único es adaptar alguno de estos valores, a las fórmulas que hemos estudiado. De

otra manera no podemos solucionar este problema.

Estamos pensando en algo. Ah!!!!!!!!!!!! Podemos hacer un cambio. ¿Qué

cambio? Transformar el coseno de 8º en forma de seno.

¿Cómo podemos hacerlo? Recordándonos de que en el primer cuadrante, la parte que

no es seno, ES COSENO.

¿Nos vamos enterando? Vamos a verlo dibujado:

La parte dibujada en rojo es el: COSENO

La parte dibujada en verde es el: SENO.

Sumando seno + coseno = ángulo de 90º

Por tanto el coseno, digamos a nuestra manera:

Es lo que le falta el seno de este ángulo, para medir 90º.

Finalmente pensamos una cosa: Si todo el ángulo mide 90º y el coseno que nos dicen

en el enunciado del problema, mide 8º.

¿Podemos calcular el seno de este ángulo de 8º? SI.

Es la única forma que tenemos para poder resolverlo. Ya lo hemos dicho

anteriormente.

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Por tanto Ángulo total = 90º

Entonces: sen 90º - sen 8º = sen 82º

Por tanto hemos llegado a deducir cos 8º = sen 82º.

Ahora si sustituimos los datos el enunciado del problema, nos quedará para resolverlo,

la siguiente expresión:

sen 52º - sen 82º

¿Tenemos en la memoria guardada una fórmula que nos ligue la suma de dos ángulos?.

Si. Es la siguiente:

a b

Paso siguiente: Datos sen 52º . sen 82º




Paso siguiente: Efectuamos operaciones:


Por tanto:

El único secreto de este ejercicio, consistía en transformar el coseno en función del

seno.

10.- Transformar en suma la siguiente expresión: cos 54º. cos 36º

Creemos que este es sencillo, y efectivamente, ¿conocemos alguna fórmula que nos

permita aplicar el producto de un seno por un coseno?

Si observamos los datos, tenemos un producto de sen a . cos b.

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Hala!!!!!!!!! Otra volvemos a darle vueltas al coco, para de entre toda la maraña de

fórmulas que hemos aprendido, saber la que tenemos que usar.

Y pensado, nos viene de vuelta de nuestro almacén, la siguiente:

a b

Paso siguiente: Datos cos 54º . cos 36º




El paso siguiente, consistirá en hacer operaciones con los paréntesis:

¿Por qué alto? Puesto que tenemos que traer a la memoria algún valor que hemos visto

anteriormente, y se trata de acordarse, cuanto valía el cos 90º.

Ahora ya nos acordamos: cos 90º = 0



Y


Por tanto:

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El truco, consistía, en traer de la memoria el valor del coseno de 90º. Es un

ejercicio, para que nos acordemos de los valores de las razones trigonométricas de los

ángulos de 90º

11.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) sen x . cos x = ½

Para ser la primera, es muy sencilla.

1º Paso: Vamos a sacar denominadores:

Es un burro

Aquí no quiero que ninguna/ninguno de vosotros me seáis unos:

Pregunta ¿qué es esta fórmula?

Tras, tras, tras, tras, ya oigo el rugir de la cabeza de cada una/uno de vosotros:

¿Os acordáis, ya? Pues efectivamente es el sen de 2 x.

Entonces vamos a sustituir este valor, en la expresión obtenida:

No tenemos, más que seguir haciendo operaciones:

¿Qué pasa ahora? ¿Encontráis algo raro, algo que no os encaja? Posiblemente no os

encaje esto: arc sen 1.

Es debido a que no estáis acostumbrados a manejar esta expresión. Y debemos de

estar alertas, porque nos puede surgir en cualquier momento.

En nuestro lenguaje, que a partir de ahora lo vamos a llamar “made in feito en casa”

(esta expresión, la aprendí de una señora) quiere decir: arco cuyo seno vale 1.

Vamos a nuestra memoria, a aquella tabla, en la que tenemos memorizada y le

preguntamos: ¿Cuál es la razón trigonométrica cuyo seno = 1?

Es el seno de 90º.

Entonces este valor, lo sustituimos en la ecuación anterior y tenemos:

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Y ya tenemos solucionado esta primera ecuación. Pero cheeeeeeeeeeeeeeeeeeee,

tranquisssssssssssssssssss colegas.

Nosotras/nosotros somos unas tias/tios elegantes, y nos gusta hacer las cosas con

precisión, por tanto la solución real, pensando un poquito es la siguiente:

Porque estamos hablando del círculo unitario, es decir circunferencias, por eso

añadimos esa notación.

Por tanto:

Ya que el seno es positivo en el primero y en el segundo cuadrante.

El truco, estaba en acordarse de la fórmula del sen de 2 x.

b) cos x . tg x = ½

Bueno, ya estamos con otra ecuación. El rollo de siempre ¿Qué hacemos tras echar un

vistazo?

Pensando mal, para acertar, nos damos cuenta de que tenemos una razón

trigonométrica, que es la tangente. Se me ocurre, expresarla en forma de seno y de

coseno, para ver que obtenemos.

Y se me ocurre, porque pienso: tenemos un coseno multiplicando y en la tangente, el

coseno va a estar dividiendo, ¿la podremos eliminar? Vamos a probar, porque os

gustan mucho las transformaciones, para ir practicando y, no nos liemos haciendo

operaciones.

Uuyyyyyyy, creo que podemos simplificar. Tiene toda la pinta de que vamos por buen

camino:

¿Qué pasa ahora? ¿Encontráis algo raro, algo que no os vuelve a encajar?

Posiblemente no os encaje esto: arc sen ½.

En nuestro lenguaje, que a partir de ahora lo vamos a llamar “made in feito en casa”

significa: arco cuyo seno vale ½

34

Vamos a nuestra memoria, a aquella tabla, en la que tenemos memorizada y le

preguntamos: ¿Cuál es la razón trigonométrica cuyo seno = ½?

Es el seno de 30º.

Entonces este valor, lo sustituimos en la ecuación anterior y tenemos:

Y ya tenemos solucionado esta primera ecuación. Pero, tranquilos todos.

Nosotras/nosotros seguimos siendo unas tías/tíos elegantes, y como nos gusta seguir

siendo precisos, vamos a dar la solución completa:

Ya que estamos hablando del círculo unitario, es decir circunferencias, añadimos estas

notaciones, ya que el seno es positivo en el primero y en el segundo cuadrante:

El truco consistía, en expresar la tangente en función del seno y del coseno, para

poder calcular la razón del seno de un ángulo


A ver borricas/borricos ¿qué se nos va a ocurrir de entrada? ¿A estas alturas,

alguien pone en duda que lo primero que nos encontramos es con el seno de un ángulo

doble, en es caso 2 a?

Ya sabía que nadie tenía dudas. Pues vamos a escribir esta fórmula:

sen 2 a = 2 sen a . cos a

1º Paso.- Vamos a sustituir esta fórmula en la expresión dada en el enunciado:

Pues venga, vamos a comenzar a hacer

operaciones, a ver que pasa. Pensad un poquito

Observando, tenemos cos a que multiplica y divide. Por tanto vamos a simplificar,

como siempre, para evitar confusiones y líos.

35

Por consiguiente, ahora la expresión, nos queda de la siguiente forma:

Ya no podemos hacer nada más, por tanto afortunadamente, ejercicio resuelto. Ya era

hora, de que nos pusiesen un ejercicio sencillo, como este, ¿o no?

Por tanto:


Buenooooooooooooooooooooooo, hasta luego Lucas, ¿qué haremos, por donde vamos a

meter mano a este melocotón?

Vosotras/vosotros veis algo por ahí, Yo de momento nada. A mí lo primero que se me

ocurre es:

Tirar libros, apuntes, etc. a la basura, y dedicarme a esto que

se dedica el paisano. Es decir a otra cosa.

El paisano al menos, no se come mucho el tarro, ya es algo.

Pero si hemos llegado hasta aquí, nos vamos a rajar ahora ¿y que los demás nos

llamen acojonadas/acojonados? Noooooooooooo. Vamos a ver en esa linda “cacholita”

que tenemos guardado.

Hummmmmmmmmmmmmmm, nos está costando mogollón ver por donde arrancar.

¿Qué todavía, nada? Bueno, vamos allá.

- ¿Nos acordamos ahora que os había comentado, qué les gusta mucho a los profes,

las transformaciones? Vamos a pensar en una:

¿Y si damos el coseno en función del seno, qué os parece? Vamos a probar:

Vamos a despejar de esta formula fundamental:

sen2a cos2a + = 1

36

El valor anteriormente obtenido, vamos a sustituirlo en el enunciado:

Como siempre, vamos a proceder a efectuar las operaciones, pero con cuidado, que

aquí tenemos operaciones con radicales. Debemos de acordarnos como proceder:

1º- Paso: Vamos a efectuar trasposición de términos:

vamos a sacar factor común: sen x

Ahora vamos a pensar un poquito, como somos capaces de continuar, puesto que

aparentemente, no tenemos muchas salidas. Pensando, haremos lo siguiente:

Tenemos un producto de dos expresiones:

Por un lado

Por otro

Y el producto de ambas expresiones, es igual a O.

Entonces vamos a hacer una cosa. Tomamos el primer producto y lo igualamos a 0.

Vamos a comprobar, si con estos valores obtenidos, se cumple la igualdad:

Sen 0º=0 cos 0ª = 0 Por tanto demostrado queda.

Sen 180º = 0 cos 180º = - 1 (El coseno es negativo en el 2º cuadrante)

- Ahora nos queda igualar la segunda expresión a 0

37

Ya nos vamos a recordar de algo importante: El seno es positivo en el 1 y 2º

cuadrante.

Vamos a comprobar, si con estos valores obtenidos, se cumple la igualdad:

El coseno es negativo en el segundo cuadrante.

Resumiendo, ¿cuáles son las soluciones válidas en este problema?

Sencillo: Las que cumplen las condiciones.

Por tanto :

13.- Demostrar la siguiente igualdad:

¿Qué haremos?, es lo primero que nos preguntamos:

No nos queda otra alternativa, que comenzar a trabajar por el primero miembro, a

ver a donde nos lleva. Pensemos siempre en que este tipo de problemas, son siempre

para hacer transformaciones y liarnos con las operaciones. Así que ¡¡¡¡ alerta !!!!!!!!!!

38

1º.- Paso, vamos a comenzar a efectuar haciendo operaciones en el 1º miembro:

Entonces, vamos a sustituir este valor en la fórmula dada:

De momento, vamos a dejar el primer miembro, y fijarnos en el 2º, vamos a operar

con él.

Fijaos en el numerador de esta expresión.

Recordad que estamos machacando siempre lo mismo: les gusta mucho las

transformaciones.

Debemos de ir a nuestra memoria rápidamente, a ese almacén particular y darnos

cuenta, de esta fórmula:

Aquí está el secreto de este problema. Ahora tan solo nos queda tener cuidado con

todas las operaciones que vayamos a efectuar.

Antes de seguir, y para no liarnos, debemos de hacer una cosa: Ver como tenemos el

1º miembro y como tenemos, también el 2ª. Vamos a escribirlos, a verlos:

1º Miembro:

2º Miembro:

Este paso, repito, es para no perder de vista, en que situación del problema estamos:

Vamos a sacar denominador:

39

Bien, tenemos que llegar a demostrar, que esta igualdad se cumple, para resolverlo.

1º Paso: en el numerador, no podemos hacer nada más

2º.- Vamos a comenzar efectuando operaciones con el segundo miembro. Cuidado..!!!!!

y atención, seguramente volveremos a las transformaciones. No liarse en las

operaciones.

¿Nos acordamos de ésta fórmula?

Vamos a sustituirla en el 2º miembro de la ecuación:

Siguiente paso: Operamos tan sólo con la 1º parte de este dominador, para ir

despacito y evitarnos errores, puesto que con el cos 2 a no podemos hacer nada.

Vamos a continuar haciendo operaciones, pero ya veo otra transformación que vamos a

tener que hacer, pero primero vamos a sacar el denominador: cos2 a.

¿Alguna/alguno veis la transformación que debemos hacer? Creo que sí, por que el que

no la vea, la/le vamos a decir que es, una/un poco:

Es la misma, que hemos hecho hace un momentito, arriba:

Vamos a sustituirlo en el denominador:

40

¿Qué mas podemos hacer para seguir?

Acordaos siempre, el secreto, siempre es el mismo, transformaciones y más

transformaciones.

Vamos a efectuar otra transformación. Mirad en el numerador, y nos aparece tg a.

Vamos a expresarla en forma de cociente

Entonces, no nos queda otro camino que sustituir este valor en el numerador:

¿Y ahora, un DETALLAZO importante, os dais cuenta, de que hemos hecho tan solo

operaciones, con uno de los términos del segundo miembro?.

Entonces cual es el segundo miembro? Pues será, esta expresión anterior multiplicada

por cos 2 a, que lo habíamos dejado aparcado………

El 2º miembro es:

Ahora vamos a ver que teníamos en el primer término de la ecuación dada en el

enunciado. Habíamos llegado a:

En el primer miembro. En el segundo miembro

Por tanto ejercicio resuelto ¿Quéeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee?, tan

solo son transformaciones y cuidado en las operaciones. Nada más. Acordaos siempre,

que la solución, pasa por transformaciones y mucho cuidado con las operaciones.

Todos son más o menos parecidos.

41


Bien, hasta aquí bien. Oerrrrrrrrrr, que expresión más rara, pensamos de entrada

¿verdad?

Es otra forma de darnos las razones trigonométricas, hasta ahora lo habíamos visto

en contadas ocasiones, pero nos dan las fórmulas en radianes.

Entonces deberemos acordarnos de las razones trigonométricas, expresadas en

radianes.

Vamos a recordar una pequeña tabla:

Entonces, echando un vistazo a la figura, sabemos que estamos

hablando de un ángulo de 45º

¿Ahora como seguimos? Vamos a efectuar una pequeña operación, para ver como nos

queda la ecuación dada:

Esto que quiere decir, pues lo siguiente:

Que el seno de Y ya hemos visto, en el dibujo de arriba que

1º.- Cuadrante: En este momento, nos conviene, estar muy alerta, porque, lo mismo

que siempre, vamos a tratar de da la solución, con el ángulo referido al 1º cuadrante.

Vamos a retomar la ecuación del enunciado:

42

Seguimos efectuando operaciones, sin miedo alguno.

Ahora despejando x, ya tenemos la 1ª solución del problema:

En este momento, mucho cuidado. Si echáis un vistazo a la solución, vemos que tan

solo damos . Hemos dividido, también entre dos.

Por tanto 1º solución:

2º.- Cuadrante. La ecuación dada, nos queda de la siguiente forma:

Ya tenemos la ecuación armada, por tanto vamos a efectuar operaciones

Ahora despejando x, ya tenemos la 2ª solución del problema:

Por tanto 2º solución:

16.- Resolver la ecuación:

Vamos a echar un vistazo al 1º miembro ¿Qué observamos? Que una vez hayamos ido

a nuestra memoria, tendremos que aplicar la fórmula de Cos A- Cos B

Entonces, vayamos ya a esa fórmula y sustituyamos los datos que tenemos en este

enunciado:

43

Vamos a continuar haciendo operaciones con este primer miembro:

Ojo, no perder de vista, que tan solo hemos llegado a un resultado parcial, haciendo

operaciones con el 1º miembro de la ecuación. No perderlo de vista, para en cuanto

tengamos el 2º miembro listo, igualar ambos, para resolver.

De momento tan SOLO ESTAMOS HACIENDO OPERACIONES.

Ahora, vamos a comenzar echando un vistazo, al 2º miembro de la ecuación dada:

Una vez hemos ido a nuestra memoria, tan solo podemos aplicar una fórmula que

conocemos:

Sen A + sen B.

Entonces, vayamos ya a esa fórmula y sustituyamos los datos que tenemos en este

enunciado:

Vamos a continuar haciendo operaciones con este 2º miembro:

Bien, ya hemos terminado de hacer operaciones, con ambos miembros de la ecuación,

ahora es el momento de igualar ambas expresiones, y ver que obtenemos:

=

El enunciado dado, nos ha quedado de la forma que tenemos arriba.

Antes de continuar, vamos a repetir algo que venimos haciendo, desde que

comenzamos a solucionar este tipo de ejercicios:

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡Cuidado con las operaciones!!!!!!!!!!!!!!!!! Prudencia, estos ejercicios, vemos que no

tienen transformaciones, tan solo aplicar fórmulas de sumas y diferencias de ángulos,

y muchas, muchísimas operaciones para tratar de confundirnos a todas/todos.

Así que, estad ¡¡¡¡¡¡¡ al loro!!!!!!!!!!!!!!

1º Paso: Podemos simplificar el 2, ya que está multiplicando en ambos miembros:

2º Paso: tan sólo vamos a efectuar un cambio, para poder continuar el ejercicio, y

consiste, en pasar al primer miembro, la expresión del segundo.

44

3º Paso: Vamos a sacar factor común sen 4 x:

4º.- Paso: Vamos a resolver esta ecuación obtenida. ¿Y cómo?

¿Os acordáis en un ejercicio anterior, en el que teníamos, otra ecuación de este tipo,

y habíamos hecho:

Igualábamos el primer término a 0 y resolvíamos.

A continuación igualábamos el segundo término y resolvíamos.

Aquí vamos a hacer lo mismo. Para todos los ejercicios de este tipo, siempre

repetiremos lo mismo.

a) Igualamos el primer término a 0.

De entrada, ya debemos de pensar que el seno vale 0 en 0º y en 180º.

Entonces en este apartado vamos a dar dos soluciones, referidas a ambos cuadrantes:

Por tanto ya podemos dar la primera solución del ejercicio:

1ª Solución:

Vamos a dar la solución, para el segundo cuadrante:

Por tanto ya podemos dar la segunda solución del ejercicio:

2ª Solución:

Ojo!!!!!!!!!!! No hemos terminado con el ejercicio. Tan solo hemos dado las soluciones,

correspondientes al primer término de la ecuación.

Ahora vamos a comenzar, a trabajar con el 2º término de la misma.

45

Atención antes de seguir: ¿Qué veis? Paraos un momentito, es una de las claves.

Sabemos todos que es raro que no haya un ejercicio en donde no aprovechen para

ponernos una transformación. Era raro, pero ya la tenemos delante.

Entonces sabemos que: sen 2 x = 2 sen x. cos x

Lo primero que vamos a hacer, es aplicarla, sustituyendo este valor en la ecuación que

tenemos delante de nuestros morros.

Es el resultado de haber sustituido el valor del sen 2x.

En un principio, parece que no vamos a ser capaces de avanzar, pero creo que ya

estamos pensando en algo que vemos:

En esta resta, tenemos cos x, en los dos términos de la ecuación, por tanto, se nos

ocurre una cosa. ¿Por qué no sacamos factor común a ver qué pasa?

Ya tenemos dentro de este segundo término de la ecuación dada, otra vez, otra

ecuación con dos términos.

Igualábamos el primer término a 0 y resolvíamos.

A continuación igualábamos el segundo término y resolvíamos.

Por tanto, vamos a tener más soluciones de las previstas. Pero es lo mismo. Este

ejercicio, es para hacer un montón de operaciones y darnos cuenta de igualar por

separado, cada uno de los términos de una ecuación a 0, para poder resolver.

¡¡¡ Con su transformación correspondiente, que ya hemos visto!!!!!!!!!!!!! Es completito.

a) Igualamos el primer término a 0.

De entrada, ya debemos de pensar que el coseno vale 0 en 90º y en 270º.

Entonces en este apartado vamos a dar dos soluciones, referidas a ambos cuadrantes,

de este primer término

1ª Solución:

Otra solución, será cuando el ángulo, valga 270º

2ª Solución:

46

a) Igualamos el segundo término a 0.

¿De cuanto es el valor de un ángulo, cuyo seno es igual a ½ ? De 30º

Como el seno es positivo en el 1º y en el 2º cuadrante, vamos a dar ambas soluciones

1ª Solución:

2ª Solución:

17.- Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 15º

Como siempre, más de lo mismo. A ver que comos capaces de pensar todos.

Creo, que lo único que nos puede ocurrir, es transformar de alguna manera este ángulo

de 15º, en función de otros, cuyas razones conozcamos.

Ejemplo: ¿Podemos hacerlo como una suma de 2 ángulos?

8º+7º …………………..Creo que NO.

Y ahora pensamos ¿y cómo diferencia? Ah !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Puede que si. Vamos a verlo:

sen 60º - sen 45º = sen 15º. Bueno, creo que ya tenemos camino andado.

Y nos encontramos con una diferencia de dos ángulos ¿Qué formula podremos aplicar?

Tenemos que ir a nuestro almacén particular(nuestra memoria) y nos encontramos con:

1º Paso Vamos a calcular el seno de 15º, para ello, tan solo nos basta aplicar en la

fórmula anterior, los valores de las razones que conocemos:

47

Por tanto ya hemos calculado las razones del seno de 15º

2º Paso Vamos a calcular el coseno de 15º, para ello, tan solo nos basta aplicar en la

fórmula de abajo, los valores de las razones que conocemos:

¿Qué fórmula tenemos en nuestro almacén y podamos aplicar? Vamos a nuestro coco:

Por tanto ya hemos calculado las razones del coseno de 15º

3º Paso Vamos a calcular la tangente de 15º, para ello, tan solo nos basta aplicar en

la fórmula que escribimos a continuación, los valores de las razones que conocemos:

¿Qué fórmula tenemos en nuestro almacén y podamos aplicar? Vamos a nuestro coco:

Bien, tenemos que hacer operaciones, para deshacer

este super-lio.

Vamos a hacer operaciones con radicales ¿nos acordamos como sacamos las raíces del

denominador?

Racionalizar. ¿Nos acordamos de racionalizar? Recordamos: para racionalizar

radicales, multiplicamos el numerador y el denominador por la expresión conjugada del

denominador.

¿Cuál es la expresión conjugada del denominador? En lenguaje casero, es el

denominador cambiado de signo.

48

En este caso el conjugado del denominador es:

Vamos a comenzar con las operaciones de una vez.

Vamos a efectuar el producto del numerador. Lo vamos a hacer de forma gráfica,

para recordarnos:

¿Alguna dificultad, después de haberlo hecho?

Numerador

Ahora vamos a efectuar operaciones en el denominador:

¿Alguna dificultad, después de haberlo hecho?

Denominador

Entonces es el momento de colocar estos resultados obtenidos en la expresión, para

llegar a la solución:

Acordaos: menos entre menos = más ( -/-) = +

Y ya tenemos resuelto el ejercicio.

49


Lo primero que debemos hacer, es echar un vistazo a la tabla de conversiones de

ángulos a radianes:

Ya tenemos que saber que el coseno es positivo en el 4º cuadrante.

Por el eso cos 360º = 1.

A continuación, vamos a sustituir este valor, en la ecuación dada en el enunciado,

obteniendo:

1 + 5 cos x + 3 = 0 5 cos x = - 4

Por tanto x = arc cos

Como el signo era negativo, tenemos que estar atentos y para dar las soluciones al

ejercicio, pensar que e coseno es negativo en el 2º y en el 3º cuadrante.

Por tanto las soluciones son:

En el 2º Cuadrante:

En el 3º Cuadrante:



Ya tenemos otro a la vista. Lo primero, echemos un vistazo a la ecuación dada.

Yo veo algo. Y es lo de siempre, veo una transformación, que debemos hacer:

50

Es el coseno del ángulo doble: sen 2x.

Vamos allá. ¿Nos acordamos del sen 2x?

-Vamos a repetir las cosas, si, si llamarme pesado, pero al final os voy a arreglar a

todas y a todos vuestras vidas, ayudando a resolverlos.

Siempre nos van a poner lo mismo: Hacer transformaciones, y a liarnos con la

operatoria. Es que tampoco pueden amargarnos más la vida.

1º Paso: Sustituyamos el valor del ángulo doble, en la ecuación dada:

¿Ahora como seguimos con la ecuación?

Aparentemente tenemos un parón. No sabemos que hacer en este momento, es la hora

de pensar en transformaciones:

De todas formas y bien pensado, para ser prudentes y seguir siempre con el mismo

método, creo que se nos ha olvidado hacer una operación, y es multiplicar, en la

ecuación que tenemos:

2º Paso: ¿Para seguir, qué transformación debemos de usar?

Vamos a probar con alguna de las razones fundamentales:

3º Paso: Obviamente, no nos queda otro remedio, que sustituir este valor en la

ecuación. Vamos a efectuar este paso:

4º Paso: llegados a este punto, para poder seguir, vamos a efectuar una operación,

que no habíamos hecho hasta este momento, y es factorizar.

¡¡¡¡¡¡¡ Ojo ¡!!!!!!!!!! No lo habíamos llamado nunca de esta manera. En realidad lo que

vamos a hacer es sacar factor común 2 sen x.

Seguramente, os parece un tanto raro. Creo que lo que deberíais de hacer es coger

un papel y efectuar la operación, para que os quede claro, que es cierto.

¿Por qué este paso? Es sencillamente para poder continuar resolviendo.

51

¿Si no hiciésemos ésta transformación, podríamos seguir? La contestación es: NO.

Si echamos un vistazo, a ¿qué hemos llegado?

A lo de siempre, es decir, a un producto con 2 factores, y es igual a 0.

Nosotros, tenemos un método que seguimos, para evitarnos sustos y proceder siempre

de la misma forma, para evitar errores.

Entonces como tenemos una ecuación, en la que tenemos dos términos, y su producto

es 0, siempre comenzamos por:

Tomar el primer factor e igualarlo a 0.

Tomar el segundo factor e igualarlo a 0.

Llegado ese momento, es cuando comenzamos a dar las soluciones pedidas.

1º Paso: Vamos a igualar el primer factor a 0.

Como estamos siguiendo, siempre el mismo método, ya tenemos que automáticamente

pensar en lo de siempre:

¿Cuándo el seno vale 0º?

En dos posiciones. Y las vamos a escribir, ya que son la primera de las soluciones:

2º Paso: Vamos a igualar el segundo factor a 0.

Aquí, para apretarnos, tenemos dos soluciones, en función del

signo que elijamos: Positivo y Negativo.

Estas/estos profes, por complicar, que no sea. Y se ríen.

Vamos a comenzar, trabajando con el resultado positivo es decir:

Ya sabemos que el sen 30ª = ½

En el primer cuadrante:

Ahora vamos a trabajar con el resultado negativo, es decir x = - ½

Ojo, el seno es negativo en el 3º y en 4º cuadrante. Vamos allá.

52

Y con esto hemos terminado el problema, por fin. Uno de los secretos, consistía, en

hacer aquella factorización de “marras” para poder continuar.

20.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, dando soluciones

correspondientes, tan solo al primer cuadrante:

Maruja, apaga y vamos. Tan solo con ver este enunciado, me gustaría hacer esto:

Jaaaaaaaaaaaaaaaaaa, pero no vale, colegas. Hay que echarle morro al asunto y

resolverlo. Lo siento, pero toca currarrrrrrrrrrrrrrrrr. Vamos a empezar con calma.

¿Qué se os ocurre? Ya seeeeeeeeeeeeeeeee. Nadaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa….

Bueno, os voy a dar una pequeña pista, para comenzar, pero tendréis en lo sucesivo

que “amueblar” vuestra linda cabecita.

1º.- En la primera ecuación: cos………. = ½ ¿es cierto verdad?

¿Cuál es el ángulo del primer cuadrante, cuyo coseno es ½? El de 60º

Ya tenemos algo en claro. Vamos a seguir con este método.

1º.- En la segunda ecuación: sen ………. = ½ ¿es cierto verdad?

¿Cuál es el ángulo del primer cuadrante, cuyo seno es ½? El de 30º

¿Y os preguntáis, cómo seremos capaces de seguir hacia delante?

YYYooo mmmeee pppiiirrrooo,,, qqquuueee lllooo

rrreeesssuuueeelllvvvaaa DDDiiiooosss...

53

Es lógico, este tipo de problemas, no los habíamos visto ahora, y que yo sepa, nadie

nació aprendido.

Pero si quiero, que penséis en algo importante, que ya debemos de manejar con cierta

soltura. Esto es un aviso para navegantes.

QQuuee nnoo ssee nnooss oollvviiddee aa nniinngguunnaa//nniinngguunnoo..

SSiieemmpprree qquuee nnooss ppoonnggaann aa rreessoollvveerr eeccuuaacciioonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass,, tteenneemmooss qquuee ppeennssaarr,, eenn

qquuee ddeebbeemmooss ddee ddaarr rreessuullttaaddooss,, eexxpprreessaaddooss eenn ffoorrmmaa GGrraaddooss ++ 22 ПП kk,, ppoorr ttaannttoo

““eennccuubbiieerrttaammeennttee”” eessttaammooss hhaabbllaannddoo ddee nnoottaacciioonneess eenn ffoorrmmaa ddee RRAADDIIAANNEESS,,

Dicho esto, lo que podemos hacer es una cosa: Pasar de Grados a Radianes.

Para ello, basta con establecer una simple regla de tres:

Si a 360º corresponden 2 П

A 60º corresponden x

Por tanto en Radianes

Ahora establecemos otra simple regla de tres, referida al ángulo de 30º

Si a 360º corresponden 2 П

A 30º corresponden x

Por tanto en Radianes

Lo único que hemos hecho es expresar los grados del enunciado en radianes, para

coger un poquito de práctica.

Ahora vamos a resolver el problema. Vamos a establecer el sistema de ecuaciones:

Vamos a sumar, y ver que nos queda:

1ª Solución:

54

2ª Solución. Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones obtenidas:

Por tanto:

Por tanto ya tenemos el ejercicio resuelto.


correspondientes, tan solo al primer cuadrante:

Ahora creo, estamos en disposición de no asustarnos, para resolver un sistema de

ecuaciones trigonométricas.

Para empezar, y después de haber echado un vistazo, creo que lo más sencillo, es

empezar a trabajar con la segunda ecuación. Veremos el porque.

¿Cuál es el ángulo del primer cuadrante, cuyo coseno es? El de 30º

Vamos a sustituir este valor en la segunda ecuación:

Ahora nos toca el turno de hacer operaciones en la 1ª ecuación dada.

1º Paso: sustituir el valor de x, anteriormente obtenido:

Para seguir ¿qué podemos hacer? Nos tenemos que acordar de la cantinela de

siempre, la historieta de las transformaciones:

¿Veis alguna? Creo que sí: (sen 60º +y).

¿Qué fórmula recordamos, una vez que vamos a nuestro almacén particular(memoria)?

Ah!!!!!!!!!!!!!! ya la encontramos, es esta:

sen (a+b) = sen a . cos b + cos a . sen b

Entonces, vamos a sustituir valores en esta formula:

55

Seguimos efectuando operaciones en esta ecuación: Sacamos denominadores.

Llegado este punto, personalmente encuentro una dificultad para poder seguir. Me

encuentro con una ecuación en donde tengo 2 incógnitas.

¿Qué es lo “único” que se nos hacer para avanzar?

Forzosamente, tiene que ser una “famosa” transformación. Nos da una razón en

función de otra.

Una de las fórmulas fundamentales de la trigonometría, es:

En nuestro ejemplo, la incógnita no es la letra x, sino que es la letra y.

Por consiguiente, la fórmula antedicha, nos queda:

Vamos a sustituir este valor, en el sistema que tenemos, para poder seguir resolviendo

el ejercicio:

De entrada, hemos resuelto el problema de las 2 incógnitas, tan solo nos queda 1

incógnita.

Seguimos haciendo operaciones, vamos a separar radicales, de la parte que no lo

tienen, pasando el sumando 3 sen y al 2º miembro.

Paso siguiente: Elevamos los dos miembros al cuadrado, para hacer desaparecer las

raíces.

Continuamos haciendo más operaciones. Ya notáis que este ejercicio, es para pillarnos

en fallos a la hora de efectuar operaciones.

56

Continuamos, sin cansarnos, despacio para procurar no cometer errores.

El paso siguiente, es simplificar para ahorrar cálculos y disminuir la posibilidad de

cometer errores. Vamos a simplificar dividiendo todos los términos entre 6.

Ahora ya resolvemos la ecuación, para dar la primera de las soluciones: sen y

Ahora muchísima atención: La primera solución X1 = 1 NO ES VÁLIDA.

¿Por qué? Pues vamos a ser rápidos y precisos.

Cuando hemos despejado en la 1º ecuación, hemos llegado a lo siguiente:

x = 60º + y

Vamos a sustituir la y por el valor del ángulo de 90º.

X = 60º + 90º = 150ª

Esta solución no es válida, porque el enunciado del problema, nos pide las soluciones

referidas tan solo al 1º cuadrante.

¿Nos enteramos colegas?

Por tanto

Como teníamos en su momento:

Por tanto:

Por tanto problema resuelto. Era todo para liarnos con las operaciones, y hacer 2

transformaciones: Suma de 2 ángulos y una razón fundamental.

57

22.- Calcular Aparentemente, no vemos nada de nada. ¿qué haremos para meter mano a este

asunto?

Marcharse y tirar todo, no es la mejor solución.

Tenemos que resolverlo. Pongamos, como nos

pongamos.

Por tanto vamos allá.

Siempre, toca la misma canción en mi reproductor, y se titula: Transformaciones.

Es la única solución a nuestro alcance, transformar.

Echar un vistazo, ¿qué tenemos?

sen 3 a ¿qué transformación podemos efectuar?

Ponerla en forma de un ángulo doble:

¿Verdad qué ahora, podemos aplicar alguna fórmula qué conocemos?

Bien, tenemos la suma de dos ángulos.

Pero tranquilas/tranquilos. Vamos a ir paso a paso:

Por cierto, nos acordaremos de la fórmula de la suma de 2 ángulos ¿verdad?

Por si acaso, alguien ha perdido la memoria de forma temporal, porque está mirando

en este momento para algún niño o alguna niña, es esta:

Para seguir siempre con el mismo método, vamos a sustituir en esta fórmula, el paso

de haber descompuesto en suma de 2 ángulos, nuestro enunciado:

¿Os dais cuenta, de por que anteriormente, habíamos escrito las formulas el seno de

2 a y del coseno de 2 a?

Porque siempre les gusta tocarnos el violín con las transformaciones. Y ahora nos

volvemos a encontrar con estas dos nuevas.

Sen 3 a

58

La fórmula fundamental de trigonometría, ya sabemos todos, ES:

La vamos a sustituir en vez de en la ecuación obtenida, en la fórmula del cos de 2 a.

Efectuando la última operación con este término, nos queda:

Vamos a volver a escribir la expresión en donde, nos habíamos detenido, antes de

empezar con las transformaciones de marras.

Sustituyamos lo valores obtenidos, en esta fórmula, para poder seguir haciendo

operaciones con el problema dado:

Vamos a seguir haciendo operaciones:

Tenemos que seguir operando, vamos por buen camino, nos estamos acercando al final,

vamos a sacar factor común sen a, puesto que aparece en todos los sumandos:

Por tanto

Y ya hemos resuelto el ejercicio.

23.- Calcular:

Lo primero es leerlo con calma, y ver que leches tenemos. Sin cabreos. No es difícil,

tenemos que ir como siempre a nuestro almacén y aplicar sencillamente las fórmulas

que nos indican.

Es un ejercicio, a simple vista, para que recordemos las formas de sumas de senos y

cosenos de 2 ángulos y que hagamos operaciones.

59

Y como ya estamos obre aviso, deberemos ser muy cuidados a la hora de hacer

operaciones. Uno de los objetivos es que nos confundamos, al ser operaciones largas.

Vamos a comenzar.

1º Paso: En el numerador, tenemos:

a).- cos(a+b) Bien, vamos a escribir esta fórmula:

b).- cos (a-b) Escribamos, también la fórmula:

2º Paso: en el denominador, tenemos:

a).- sen(a+b) Lo mismo que antes, escribimos la fórmula:

b).- sen(a-b) Volvemos a escribir la fórmula correspondiente:

Bueno, esto no tiene ninguna ciencia. Nos llega con sustituir en la ecuación dada,

estas fórmulas. Vamos a ello:

Ahora tenemos un lío montado de mucho “lerele”, como no simplifiquemos, nos vamos a

meter en un lío que manda leches para poder salir. Por tanto vamos a simplificar.

Vamos a escribir otra vez la fórmula, para que lo veáis, por si alguna/alguno se hernia

pensando.

¿Quéeeeeeeeeeeeeeeeee, alguna o alguno de vosotros, que ya sois mayorcitos, le

habéis perdido el miedo a la hernia mental? Coño, hay que gastarse un poquitín.

¿Cómo nos queda la expresión, una vez hemos simplificado?

60

¿Alguna o alguno de vosotras o vosotros, os habéis perdido a la hora de sumar?

Me supongo que no es así.

Paso siguiente: Si echamos un vistazo, podemos volver a simplificar, ya que tenemos

en el numerador y denominador cos b. Vamos a efectuarlo:

El resultado del ejercicio es:

24.- Calcular las razones trigonométricas de 60º a partir de las de 30º.

¿En qué estáis pensando? Ah!!!!!!!!!!!!!! Las niñas en los niños, y claro, los niños en las

niñas. Bueno alto, ahora echar un vistazo a lo que tenemos delante. Más tarde,

cuando hagáis un alto para descansar un ratito, ya os pasareis algún mensaje al móvil.

Ahora al curro.

¿Tendríamos la tentación de pensar en las fórmulas del ángulo mitad?

Y os digo:

No,noooooooooooooooooo pensar que

es una cabronada.

El enunciado nos obliga a trabajar con las razones trigonométricas del ángulo de 30º.

Es la condición que nos imponen.

Claro, el pensar de forma lógica está el quid de la cuestión.

¿Entonces y de una p…… vez, qué hacemos?

Dando el ángulo de 60, en función de uno de 30º

¿Y como somos capaces de expresarlo?

Para que siga sin haber hernias mentales, hacemos 60º = 2. 30º.

Aquí, está el secreto, para dar soluciones sin equivocarnos. El ángulo de 60º nos

queda de la siguiente forma:

Sen 60º = sen (2 . 30º)

Jaaa

a……

61

Cuidado, con lo que hemos hecho, es decir con la transformación anterior. Fijaos en

que se nos ha transformado:

sen 2.30º es un ángulo doble.

Por tanto, tenemos que obligatoriamente utilizar la forma del seno del ángulo doble.

Si sustituimos a por su valor, que en este caso vale 30º, ya tenemos un paso adelante

dado:

Vamos a sustituir las valores de las razones del ángulo de 30º y ya está.

1ª Respuesta:

Ahora vamos a calcular el coseno del ángulo de 60º.

Lo mismo que en el apartado anterior, utilizaremos la fórmula del coseno del ángulo

doble:


dado:


2ª Respuesta:

Ahora vamos a calcular el tangente del ángulo de 60º.

Lo mismo que en el apartado anterior, utilizaremos la fórmula del tangente del ángulo

doble:

62


dado:


Seguimos haciendo operaciones:

3ª Respuesta:

Y ya tenemos el problema resuelto. Estos problemas, son para hacernos recordar los

valores de las razones de los ángulos, al mismo tiempo recordar las fórmulas de los

ángulos dobles y sobre todo hacer muchas operaciones.

Por ello debemos ser muy cuidadosos con todo esto, y sobre todo, para resolverlos,

ver en el enunciado, que limitación nos ponen. Es decir que condiciones exigen.

25.- Calcular las razones trigonométricas de 90º a partir de las de 45º.

Este ejercicio, es del mismo corte que el anterior.

El enunciado nos obliga a trabajar con las razones trigonométricas del ángulo de 45º.

Es la condición que nos imponen

Hacemos 90º = 2. 45º.

Aquí, está el secreto, para dar soluciones sin equivocarnos. El ángulo de 90º nos

queda de la siguiente forma:

Sen 90º = sen (2 . 45º)

Cuidado, con lo que hemos hecho, es decir con la transformación anterior. Fijaos en

que se nos ha transformado:

63

sen 2.45º es un ángulo doble.

Por tanto, tenemos que obligatoriamente utilizar la forma del seno del ángulo doble.


dado:

Vamos a sustituir los valores de las razones del ángulo de 45º y ya está.

1ª Respuesta:

Ahora vamos a calcular el coseno del ángulo de 90º.

Lo mismo que en el apartado anterior, utilizaremos la fórmula del coseno del ángulo

doble:

Si sustituimos a por su valor, que en este caso vale 90º:


2ª Respuesta:

Ahora vamos a calcular el tangente del ángulo de 90º.

Lo mismo que en el apartado anterior, utilizaremos la fórmula del tangente del ángulo

doble:

Si sustituimos a por su valor, que en este caso vale 45º:

64


3ª Respuesta:

Y ya está el ejercicio resuelto.

26.- Demostrar:

Vamos a efectuar operaciones con la primera parte de la igualdad.

Acordarse siempre, que la única forma para avanzar en este tipo de problemas, es

hacer de entrada transformaciones, y luego ser cuidadosos con las operaciones:

La transformación que vamos a efectuar es el sen 2 x.

sen 2 x = 2 sen X . cos X y sustituimos estos valores:

Nos quedaría:

Para poder avanzar, lo único que podemos hacer, es sacar factor común sen x:

Con lo cual ya queda demostrado.

27.- Sabiendo que cos 78º = 0,2, calcular sen 78º y tg 78º. Calcular las

razones trigonométricas del ángulo de 39º.

Se trata, sencillamente de que recordemos las fórmulas del seno y coseno de cualquier

ángulo.

Partiendo de la razón fundamental de la trigonometría:

Basta con sustituir el valor del coseno, que nos facilita el enunciado:

65

1º Respuesta:

Sabemos que la tangente de un ángulo, su fórmula es;

Sustituyamos valores conocidos en esta fórmula:

2ª Respuesta:

La segunda parte del problema, se reduce simplemente a aplicar las fórmulas del

ángulo mitad.

1º Respuesta:

Vamos a calcular el coseno del ángulo de 39º

2º Respuesta:

Vamos a calcular la tangente del ángulo de 39º

66

3ª Respuesta:

Y ya hemos resuelto el problemita.

28.- Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 30º a partir

conociendo el coseno de 60º = ½

Quieren que recordemos de nuevo, las razones del ángulo mitad.

Nos ponen la condición de trabajar con el coseno de un ángulo de 60º

1ª Respuesta:

2ª Respuesta:

3ª Respuesta:

Ya está resuelto.

29.- Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 90º a partir

conociendo el coseno de 90º = 0

67

Quieren que recordemos de nuevo, las razones del ángulo mitad.

Nos ponen la condición de trabajar con el coseno de un ángulo de 90º

1ª Respuesta:

2ª Respuesta:

3ª Respuesta:

30.- Demostrar:

Primero, haremos lo de siempre, echar un vistazo, y ver que información tenemos en

el enunciado.

Siempre hablaremos de lo mismo, en este tipo de problemas, las claves están en las

dichosas transformaciones y en el cuidado a la hora de hacer operaciones.

1º.- Paso: Creo que podemos transformar el seno del ángulo mitad.

Vamos a sustituir este valor de x, en la fórmula del enunciado, y ver que nos queda:

2º.- Paso: Creo que podemos transformar la tangente de x, en función del seno y del

coseno.

¿Para qué? Para ir eliminando las distintas razones, y ver de que forma nos podemos

ir quedando con las mínimas posibles.

68

Si os fijáis, haciendo esta segunda transformación, tan solo nos van a quedar dos

razones trigonométricas, que van a ser el seno y el coseno.

Vamos por tanto, a efectuar esta 2ª transformación, y ver como nos queda la fórmula

anterior a la cual hemos llegado:

3º.- Paso: Creo que observando, debemos de hacer algo prioritario, para evitar

errores, y es simplificar.

Echando un vistazo, tenemos 2 multiplicando, y 2 dividiendo. Vamos a eliminarlos:

4º.- Vamos a ordenar un poquito mejor esta expresión, para que nos sea fácil ver lo

que vamos a efectuar a continuación:

5º.- Bien, fantástico, ahora a la vista de ello, ¿qué os parece si sacamos factor

común sen x. Vamos allá:

6º.-Os digo algo, aparentemente no veo nada, parece que volvemos a estar

atascados, vamos como el cangrejo en vez de adelante, hacia atrás. Pero, pero………….

atentas/atentos, la única forma, es hacer operaciones dentro del paréntesis. Es que

no podemos hacer nada más. No podemos transformar nada más, tan solo hacer

operaciones.

Buenoooooooooooooo, aleluya, algo hemos conseguido, vamos a efectuar operaciones:

Demostrado, por tanto problema resuelto ¿fácil o difícil? Sencillo.

69

31.- Demostrar:

Vamos a efectuar operaciones con la primera parte de la igualdad.

Acordarse siempre, que la única forma para avanzar en este tipo de problemas, es

hacer de entrada transformaciones, y luego ser cuidadosos con las operaciones:

La transformación que vamos a efectuar es el sen 2 x.

sen 2 x = 2 sen X . cos X y sustituimos estos valores:

Nos quedaría:

Para poder avanzar, lo único que podemos hacer, es sacar factor común sen x:

Ahora no nos queda más remedio, que ir a nuestro almacén particular, y echar un

vistazo en nuestra memoria, alguna fórmula. Ya la tenemos, creo:

Y otro problema resuelto.

32.- Transformar en producto y calcular: a) sen 75º- sen 15º

b) cos 75º+ cos 15º y por último c) cos 75º - cos 15º

Sin romperse mucho la cabeza, estamos ante un problema, en el que tan sólo quieren

que nos acordemos de las fórmulas de transformación de sumas y restas en productos.

Tan solo ello y es fácil, sustituir valores y a otra cosa.

a) sen A - sen B

Acordaos que nos ponen la condición de transformar en productos las sumas o

diferencias, por tanto estamos obligadas/obligados a usar estas fórmulas.

70

Bueno, tan solo nos queda efectuar las operaciones correspondientes:

Como conocemos los valores de las razones de los ángulos de la expresión anterior,

sustituimos estos valores en la fórmula y ya está:

b) cos A + cos B




Me supongo que os acordáis de los productos de radicales que tienen el mismo índice:

c) cos A – cos B

71





Ya estamos otra vez, con la carallada de las ecuaciones. Vamos a salir todos

licenciados en mates.

QQuuee nnoo ssee nnooss oollvviiddee aa nniinngguunnaa//nniinngguunnoo..

SSiieemmpprree qquuee nnooss ppoonnggaann aa rreessoollvveerr eeccuuaacciioonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass,, tteenneemmooss qquuee ppeennssaarr,, eenn

qquuee ddeebbeemmooss ddee ddaarr rreessuullttaaddooss,, eexxpprreessaaddooss eenn ffoorrmmaa GGrraaddooss ++ 22 ПП kk,, ppoorr ttaannttoo

““eennccuubbiieerrttaammeennttee”” eessttaammooss hhaabbllaannddoo ddee nnoottaacciioonneess eenn ffoorrmmaa ddee RRAADDIIAANNEESS,,

Bueno, esta es muy sencilla, tenemos una sola incógnita cos x, por tanto se trata

sencillamente de resolver una ecuación de 2º grado.

Pero ojito, con las soluciones y lo signos en función de los cuadrantes, ¿vale?

Ahora, como siempre la preguntita de marras ¿cuál es el ángulo cuyo coseno tiene por

valor ½? El ángulo de 60º

Tenemos: Por un lado el coseno con signo positivo Y sabemos que el coseno es positivo

en el 1º y en el 4º cuadrante, para dar las dos soluciones.

1ª Solución:

En el primer cuadrante: En el cuarto cuadrante:

72

Ahora, otra vez la preguntita de marras ¿cuál es el ángulo cuyo coseno tiene por valor

- 1? El ángulo de 180º

Por un lado el coseno con signo negativo. El coseno es negativo con valor -1, tan solo

cuando el ángulo mide 180º

3ª Solución:

Ya tenemos la ecuación resuelta.


Ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, tranquilas/tranquilos. ¿Os habéis quedado así?

Pues no va a pasar nada del otro mundo.

Que nadie se asuste. Con temblar un poco, ya llega.

Lo se, ¿cómo comenzamos?

Venga todas y todos a comerse el coco un ratito. De entrada una pista, que es buena,

tan solo tenemos una incógnita, es tangente de x.

¿Quéeeeeeeeeeeeeeeeeeee hacemos? Oooooooooooooño, sacar de una vez factor

común tg x.

No era tan difícil. Pero cuidaros la “cachola”, es conveniente que no os gastéis mucho,

así llegareis a los 500 años, por falta de actividad cerebral.

Tenemos un producto de 2 factores igual a cero.

Por tanto vamos a igualar cada uno de los dos factores a 0 y resolver, por separado.

1º.-

Ahora, como siempre la preguntita de marras ¿cuál es el ángulo cuya tangente tiene

por valor 0? En 0º y en 180º

1ª Solución:

En el primer cuadrante: En el segundo cuadrante:

73

2º.-

Ahora, otra vez la preguntita de marras ¿cuál es el ángulo cuya tangente tiene por

valor ½ ?

Por un lado la tangente con signo positivo. La tangente es positiva con valor 1, cuando

el ángulo mide 45º

2ª Solución:

En el primer cuadrante: En el tercer cuadrante:


Esta ecuación, es muy sencilla, tan solo tenemos una incógnita, por tanto con hacer

cálculos, es más que suficiente.

Ahora, como siempre la preguntita de marras ¿cuál es el ángulo cuyo seno tiene por

valor ? El ángulo de 45º

Tenemos: Por un lado el seno con signo positivo Y sabemos que el seno es positivo en

el 1º y en el 2º cuadrante, para dar las dos soluciones.

1ª Solución:


Tenemos: Por un lado el seno con signo negativo Y sabemos que el seno es negativo en

el 3º y en el 4º cuadrante, para dar las dos soluciones.

2ª Solución:

En el tercer cuadrante: En el cuarto cuadrante:

74


En esta ecuación, ya observo algo diferente y raro, raro, raro, de entrada. Y es que

tenemos una ecuación tan sólo con 2 incógnitas.

¿Entonces, quéeeeeeeeeeeeeeee? Amigas/amigos, lo de siempre. Les gusta mucho las

transformaciones.

Por tanto al coco, a ver que encontramos. Ah!!!!!!!!!!!!!!!! ya está. Expresar el seno en

función del coseno, o bien el coseno en función del seno. Cualquiera nos vale.

Nosotros vamos a optar, por dar el seno en forma de coseno: ¿Qué fórmula

conocemos? La razón fundamental de la trigonometría, para no dar más vueltas.

Además con la ventaja de que en la ecuación tenemos sen2 x

Vamos a sustituirlo en el enunciado del problema:

¿Con esta transformación qué hemos conseguido? Sencillamente, tener 1 ecuación con

tan solo 1 incógnita.

Ahora ya es cuestión de resolver una ecuación de 2º grado. Vamos a hacer

operaciones. Como siempre despacio, paso a paso para evitar errores:

Vamos a resolver la ecuación de 2º grado:

Ya tenemos la primera historieta montada, es decir preguntarnos, ¿cuál es el ángulo

cuya razón trigonométrica vale 1? El ángulo de 0º



75

1ª Solución:


Ya tenemos la primera historieta montada, es decir preguntarnos, ¿cuál es el ángulo

cuya razón trigonométrica vale ½ ? El ángulo de 60º



2ª Solución:

En el primero: En el cuarto cuadrante:


Entiendo que a estas alturas, ya sabremos desenvolvernos con cierta soltura, para

resolver ecuaciones trigonométricas.

Echando un vistazo, ¿qué observamos?

1º:- Que tan solo tenemos una incógnita. Por este motivo no necesitamos hace

transformaciones.

¿Pero no os extraña, que no tengamos qué hacer ninguna.

2º.- Tenemos en el 1º término: cos 2x. Aquí ya apareció la transformación.

Por tanto, y sin esperar más, vamos a nuestra almacén de memoria.

Vamos a sustituir en la ecuación dada:

Oñooooooooooooooo, ¿qué pasó? Viendo lo que nos apareció, parece como si hubiésemos

retrocedido a la Edad Media.

76

¿Y vosotras o vosotros, qué observáis viendo la expresión anterior.?

No seamos: lo que está en el dibujo. Al menos

vamos a procurar que no nos lo llamen.

¿Os habeís dado cuenta, ya de lo qué tenemos?

Resulta, que ahora después de la transformación, nos aparece una ecuación con dos

incógnitas. ¿Qué hacemos?

Lo de siempre. Y lo único que podemos hacer. Tenemos que ser capaces de volver a

poner la ecuación con una sola incógnita, para poder resolverla.

Y la única forma, es hacer TRANSFORMACIONES. ¿Cuál haremos en este caso?

Como tenemos 2 términos con cosenos y uno con el seno. Nosotros, vamos a expresar

el seno en forma de coseno.

Si no nos acordamos de memoria, la podemos deducir, pero ya os suponéis: la fórmula

fundamental de trigonometría:

Vamos a sustituir esta transformación en la ecuación a la que habíamos llegado

anteriormente:

Continuamos haciendo operaciones, con calma y paso a paso:

Ahora ya resolvemos, para comenzar a dar

soluciones, como

Es un resultado, un tanto raro, pero debemos acostumbrarnos. No pasa nada, con la

calculadora, vemos que el ángulo cuyo coseno es 0,625 corresponde a: 52º 19’

77



1ª Solución:



- 1? El ángulo de 180º

Por un lado el coseno con signo negativo. El coseno es negativo con valor -1, tan solo

cuando el ángulo mide 180º

3ª Solución:

Ya tenemos la ecuación resuelta.


Lo de siempre, ¿Qué observamos en el enunciado? Me imagino, que para complicarnos

un poquito la vida, nos proponen tan solo una ecuación, pero con dos incógnitas.

Por consiguiente ¿qué quieren que hagamos? Sencillo hermanas/hermanos, lo único que

podemos aplicar para salvar este mogollón de dudas, es aplicar una TRANSFORMACIÓN..

¿Cuál será? La única, la genuina, la mejor, la que nos permite seguir avanzando, ES:

Vamos a seguir el camino trazado, es decir a seguir el método de siempre:

1º Paso: Vamos a sustituir a ver con que nos vamos encontrando.

A mi esto no me gusta nada.

Sigo con una ecuación y 2 incógnitas.

Una idea: ¿Por qué no sacamos factor común 2 y simplificamos?

Este paso que he dado, es para que lo veáis

de forma más sencilla, como simplificamos:

Una vez simplificada, la expresión nos quedaría:

78

Grrrrrrrrrrrrrr……………….. seguimos con la misma historieta, una ecuación y 2

incógnitas.

Venga a lo de siempre: La única forma es volver a transformar:

¿Qué podemos transformar? Grrrrrrrrrrrrr……….. ¿nos cabreamos? Pues ajo y agua.

Vamos a expresar la tangente, en función del coseno. Venga, porfa, vaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaammmmmmmmmooooooooooooooooosssssssss.

¿Nos acordamos? Alguna o alguno, seguramente Nooooooo.

Entonces vamos a sustituir este valor en la ecuación, a la que hemos llegado.

Vamos a efectuar este paso con cuidado, me parece que va ser un lío de la leche.

¿Qué, os gusta? A mí, personalmente, nada.

Vamos a tratar de deshacer este marrón.

Sigue sin gustarme un pelo. Me parece un jaleo

de cuidado. Vamos a efectuar operaciones, ¿a ver

que leches pasa. Nos estamos…… mosqueando

Bueno, esto ya es otra cosa. Va tomando algo de

forma. Ahora vamos a simplificar, para evitar

errores.

Os lo escribo, para que lo veáis de manera, de

manera sencilla. ¿Os habéis dado cuenta?

79

Ya estamos todas y todos echando pestes, nos estamos quedando sin papel de

borrador, para seguir haciendo operaciones. ¿Hacemos un pausa, nos levantamos,

damos una vueltecita por casa, miramos en el “frigo” tomamos una Coca Cola? Vale,

vamos allá.

¿Ya estamos sentados otra vez? Entonces vamos a seguir con calma. Pero con mucha

calma, sin cabrearnos más.

Vamos a colocar la expresión obtenida, de forma más clara, antes de hacer más

operaciones, para evitar sobresaltos.

Porque como nos equivoquemos…………. hasta luego…………………….. no lo arregla ni Einstein.

En realidad, es lo que tenemos.

Ahora es cuando vamos a efectuar operaciones:

Hasta aquí hemos llegado. Echando un vistazo a la expresión obtenida, me dan ganas

de hacer esto:

Si, así mismo: agarrarlo por el cuello y apretar. Pero……

¿qué ocurriría? Nos meterían en el talego. Y……………………

además, siempre habría un sustituto, para amargarnos.

Por tanto, obviamente nos preguntamos ¿qué hacemos? Seguirrrrrrrrrrrrrr.

¿Por qué nos cabreamos tanto? Porque después de hacer mogollón de operaciones, nos

encontramos con una ecuación, y siguen apareciendo dos incógnitas.

80

Parece que nos están tomando de coña. Pero ahí que seguir. Ya imaginamos lo que

tenemos que hacer.

Simplificar, para evitar errores. Bueno, vamos a ello.

Pero antes de simplificar, vamos a tratar de sacar denominador:

AAnntteess ddee sseegguuiirr,, uunn AAVVIISSOO iimmppoorrttaannttee:: YYaa ssee qquuee eessttááiiss vviieennddoo uunnaa eexxpprreessiióónn

ffaammiilliiaarr,, yy qquuee eenn uunn pprriinncciippiioo ppaarreeccee qquuee ddeebbeerrííaammooss uussaarrllaa,, PPeerroo nnoo eess aassíí,, ppoorrqquuee

nnooss mmeetteerrííaammooss eenn uunn ccaalllleejjóónn ssiinn ssaalliiddaa.. EEssttaammooss hhaabbllaannddoo ddeell ccoosseennoo ddee 22 xx,, qquuee

eessttáá aallllíí aarrrriibbaa.. NNoo ttooccaarrllaa.. YYaa vveerrééiiss ccoommoo nnoo hhaaccee ffaallttaa..

NNooss llaa ppoonneenn ppaarraa eennggaaññaarrnnooss,, eess uunn ttrruuccoo.. NNoo ccaaeerr eenn eellllaa,, ¿¿qquuéé hhaacceemmooss ccoonn uunn

áánngguulloo ddoobbllee?? NNaaddaa..

Observando, la última expresión, podemos sacar factor común: cos x:

Hummmmmmmmmmmm, no me gusta nada. Otra vez no veo nada claro. ¿Qué?

No creo, que seamos capaces de evitar las dos incógnitas en esta única ecuación.

Bien, no va a ser obstáculo, porque podemos hacer algo, que hemos hecho con

frecuencia, en muchos ejercicios anteriores.

¿Qué tenemos delante de nuestros morros?

Un producto de 2 factores, igual a 0. ¿Podemos resolverlo? Claro que sí. Igualamos

cada factor a 0, a ver que obtenemos:


0? El ángulo de 0º y 270º

1ª Solución:


Ya tenemos la primera parte del problema resuelto.

Vamos a igualar el segundo factor a 0.

81

Esta es la expresión que teníamos. La

escribo para no perderla de vista.

Por tanto el segundo factor es:

La vamos a igualar a 0:

Si observamos, con mucha calma, tenemos una sola ecuación,

Pero con dos incógnitas. NO la podemos resolver de esta forma.

¿Entonces, qué? Respuesta: Transformaciones al canto.

¿Y cuál aplicamos? El coseno(”no nos encaja mucho”) lo podemos

expresar en forma de seno.

Y vuelta a machacarnos: Fórmula fundamental de la trigonometría:

Vamos a sustituir el valor del coseno obtenido, en la ecuación propuesta:

Ya es el momento de empezar con las operaciones. Como siempre ¡¡¡ precaución !!!!!!!

Ahora ya estamos en condiciones de resolver la ecuación de 2º grado:

Lo de siempre: ¿cuál es el seno del ángulo, cuya razón trigonométrica, tiene por valor

1? Es el ángulo de 90º

¿Qué signo tiene la solución obtenida? Positivo.

¿En qué cuadrantes, el seno es positivo? En el primero y en el segundo.

82

2ª Solución:

En el primer cuadrante:

¿Qué signo tiene la solución obtenida? Negativo.

¿En qué cuadrantes, el seno es negativo? En el tercero y en el cuarto.

Lo de siempre: ¿cuál es el seno del ángulo, cuya razón trigonométrica, tiene por valor

1/2 ? Es el ángulo de 30º

En el tercer cuadrante:

En el cuarto cuadrante:

Ya está el problema terminado. No era fácil. Tenía muchas vueltas, muchas

transformaciones y se introduce una nueva variante, el llegar a solucionar la ecuación,

teniendo dos incógnitas.

Y tenía un “truco cabrito” nos enseñaron el coseno de un ángulo doble, a ver si

caíamos en la trampa.

Os aseguro a todas y todos, si hemos ido capaces de resolverlo(que efectivamente así

es) nos pueden “echar” lo que quieran. Ya no nos acojonan.


Me cago en la leche. Ya estamos, otra vez, con las “peguitas” Joooooooooooooo, no

hay derecho. Nos están mazando a todas y todos. ¿ Vamos a ser licenciados en

Ciencias Exactas? ¿No? Pues parece que síiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii.

No bien terminas una “ecuacioncita” y, ¡¡¡¡¡ zás !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! aparece otra de nueva.

¿Y en ésta, qué truco nos guardan, esos sabiondos?

No nos van a enganchar. A nosotros, nooooooooooooooooooooooooooooooooo……..

Ah!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ya vemos: el coseno del ángulo mitad. Es decir, quieren que

practiquemos con las fórmulas del ángulo mitad. Pues, ¡¡¡¡¡¡¡ hala !!!!!!!!! vamos.

83

1º Paso: Vamos a escribir la fórmula del coseno del ángulo mitad:

Venga, cogemos el coche, y cada una de vosotras

el bolso. Miramos dentro, y sacamos la fórmula

ante antes escrita.

Sustituimos el valor obtenido en el enunciado.

Para que ninguna o ninguno de vosotros,

tengáis que hacer un esfuerzo mental,

mínimo, os voy a escribir esta expresión de otra manera. No vaya a ser que os de a

cualquiera un “jamacuco” de tanto pensar que hemos hecho en el siguiente paso:

Es para que veáis, como vamos a simplificar.

¿Alguna o alguno se ha traumado con este paso?

Por tanto, ahora mismo, la expresión nos queda:

Bueno, otra peguita ¿qué hacemos? Os digo una cosa, como no intentéis eliminar la

raíz, estáis apañadas y apañados? ¿Os acordáis, cómo se hace?

Nooooooooooooooo? Estáis de coña todas y todos.

Bien procedamos de una vez: Vamos a dejar en el primer miembro la raíz. El cos x, lo

vamos a cambiar al 2º miembro de la ecuación:

Vamos a elevar al cuadrado, ambos términos de la ecuación.

84

Vamos a ordenar todo este jaleo, y preparar la ecuación de 2º grado, para poder

resolverla, y ya dar soluciones:

Oh !!!!!!!!!!!!!!! cielos, Leoncio, ¿cómo seguimos? ¿Qué difícil, no es cierto? Mirar que sois

burras y burros si no sabéis seguir. Os veo a todas y a todas así:

A alguna o alguno de vosotros, se os ha ocurrido, hacer

lo más sencillo, como por ejemplo sacar factor común,

¿o algo por el estilo?

Tenéissssssssssssssssssssssssssss que intentarlo, YA.

Jooooooooooooo, ¿qué difícil verdad?

Bueno, siguiente pregunta: Ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, no pasa nada. Que no se

largue nadie. Es sencillo, lo hemos hecho con mucha frecuencia:

Tenemos el producto de 2 factores igual a 0.

Seguimos con nuestro método de siempre, igualar cada uno de los factores a 0.

Empezamos con el primero(para que no haya mosqueos)

cos x = 0 Por tanto x = 0

¿Pero otra vez? Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii ¿qué pasa, eh!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?

Preguntita de marras: Cual es el coseno del ángulo, cuya razón trigonométrica es 0?

Esta condición la cumplen los ángulos de 90º y de 270º

Entonces, ya estamos en disposición de dar las primeras soluciones:

1ª Solución:


No es valida

Si comprobáis, no satisface la condición propuesta en el enunciado.

85

Preguntita de marras: Cual es el coseno del ángulo, cuya razón trigonométrica es -1?

Esta condición la cumple tan solo el ángulo de 180º

2ª Solución:


Bueno, echando un vistazo, creo que lo primero que se nos debe ocurrir a cualquiera,

para dar el primer paso, es sacar factor común sen x.

De no ser así ¿se os ocurre alguna otra cosa? Venga, decid, si hay otra forma.

Entonces, vamos a comenzar por lo que hemos dicho al principio.

Si volvemos a echar otro vistazo, nos damos cuenta de otra cosa, que últimamente se

viene repitiendo, tenemos una ecuación y dos incógnitas.

Siempre procedemos con nuestro método. La única forma para procurar llegar a una

ecuación con una incógnita, pasa por transformaciones.

¿Cuál nos viene bien en este caso?

Creo, que expresando el coseno de x, en función del seno.

Vamos a efectuarlo, partiendo de la fórmula fundamental de la trigonometría:

Vamos a sustituir en la ecuación arriba obtenida, y nos quedaría:

Al menos, ya hemos conseguido, el llegara tener una sola ecuación, con una sola

incógnita.

Ahora vamos a comenzar haciendo operaciones, a ver a donde nos lleva:

¿Pregunta de siempre, qué tenemos delante de nosotras/nosotros? Lo de siempre, una

ecuación, compuesta por 2 factores, igual a 0.

Procederemos como venimos haciendo hasta ahora, es decir, igualamos cada factor a 0

y resolvemos:

1º Factor:

86

Ahora ya comenzamos, con las preguntas de siempre, una vez hemos obtenido el valor

de la incógnita.

¿Cuál es el seno de un ángulo, cuya razón vale 0? Lo cumplen los ángulo se 0º y de

180º

Ya estamos en condiciones para dar la primera solución al problema

1ª Solución:


2º Factor:

¿Cuál es el seno de un ángulo, cuya razón vale 1/2? Lo cumplen los ángulo se 30º

Ya estamos en condiciones para dar la segunda solución al problema.

Tengamos en cuenta que hay dos signos es fundamental.

2ª Solución: Signo positivo y ángulos que cumplan ½ de valor de su razón:


2ª Solución: Signo negativo y ángulos que cumplan ½ de valor de su razón:

En el tercer cuadrante:

En el cuarto cuadrante:

Y ya tenemos la ecuación resuelta, con todos los valores posibles. Y todos se cumplen.

41.- Transformar en producto sen 3x - sen x y resolver, a continuación la

ecuación: sen 3x – sen x = 0

87

Está claro, que la pretensión del ejercicio, es hacernos recordar la fórmula de

transformación de una diferencia e ángulos en un producto.

Vamos a sustituir los valores del enunciado, en la fórmula anteriormente escrita:

Haciendo operaciones, nos queda lo siguiente:

Ya tenemos resuelta la primera parte del ejercicio. Ahora nos piden, que resolvamos

esta ecuación:

Y pensamos todas y todos: tenemos 1 sola ecuación, con dos incógnitas. No es ninguna

novedad, ya nos había pasado en un ejercicio anterior.

Por tanto tenemos delante de nosotras/nosotros una ecuación, con dos factores igual a

0. Para poder resolverla, tenemos que igualar cada uno de los factores a 0 para poder

darle solución.

Vamos a comenzar por el:

1º Factor:

Llegados a este punto: ALTO tenemos que pausarnos un

momento, puesto que tenemos, una novedad, no vista hasta este

ejercicio. Esta novedad, se llama:

Lo primero que vamos a hacer, es continuar a nuestra manera, preguntándonos, ¿El

coseno de que ángulo tiene como valor la razón trigonométrica de 0º?

Sabemos que lo cumple el ángulo de 90º, y el de 270º

Por tanto vamos a estar alertas, pero vamos a comenzar a dar soluciones, a esta

primera parte del problema:

88

En el 1º cuadrante: En el 2º cuadrante:

2x = 90º Por tanto x = 45º 2x = 270º Por tanto x = 135º

Pero como el ángulo no es x, sino 2 x, esto indica que viene dando una segunda vuelta

a la circunferencia:

Aquí es donde entra esta nueva variante: Dar soluciones, correspondientes al 2º giro

que efectúa el coseno de este ángulo.

¿Y cómo podemos hacer?

Bien, este ángulo, supongamos viene girando, y termina a 1ª vuelta a la

circunferencia. Por tanto llega a tomar el valor de 360º, pero sigue girando, hasta

dar la segunda.

Por tanto, ¿cómo continuamos midiendo el recorrido, para dar valores?

Pues de forma que al primer valor obtenido, es decir a los 45º y a los 270º, le

sumaremos, los 360º que ya tiene recorridos.

De tal forma, nos queda:

Vamos a comenzar a dar soluciones, a esta segunda parte del problema:


2x = 90º+360º Por tanto x = 225º 2x = 270º+360º Por tanto x = 315º

Y ya hemos terminado de dar soluciones, correspondientes al primer factor de la

ecuación.

2º Factor:

Lo primero que vamos a hacer, es continuar a nuestra manera, preguntándonos, ¿El

seno de que ángulo tiene como valor la razón trigonométrica de 0º?

Sabemos que lo cumple el ángulo de 0º, y el de 180º

En este caso, el ángulo es x. Por tanto:


Por tanto, problema resuelto, y con 6 soluciones. Todas válidas.

42.- Escribir en radianes, la expresión de todos los ángulos que verifican, lo

siguiente: a)

89

En este tipo de ejercicios, lo que pretenden es que recordemos la equivalencia entre

grados sexagesimales y radianes.

Para ello, vamos a traer la imagen, a nuestra vista, para tener una idea más clara:

Vamos a comenzar a resolverlo. Para ello, tenemos que saber una cosa. ¿La tangente

de qué ángulo, tiene por valor

Cuando el ángulo es de 60º.

¿Y en qué cuadrantes, la tangente tiene el signo negativo?

En el 2º y en el 4º.

Vamos a dar soluciones:

En el 2º cuadrante:


b) sen x = cos x

¿Cuándo el seno, tiene el mismo valor que el coseno?

Cuando el ángulo es de 45º

Solución:

90

c)

¿Cuándo el seno, tiene por valor 1?

Cuando el ángulo, mide 90º


d)

En este caso, tiene que ocurrir, o bien el seno de x = 0 ó el coseno igual a 1.

Si el cos x = 1, el seno tiene que ser 0, forzosamente.

¿Qué ángulo, tiene el seno con el valor de razón trigonométrica de 0?

Es el ángulo de 0º.

¿Qué ángulo, tiene el coseno con el valor de razón trigonométrica de 1?

Es el ángulo de 90º

Soluciones:


43.-Calcular, sin utilizar la calculadora:

Otra vez quieren que conozcamos la correspondencia entre grados sexagesimales y

radianes, para ello, echaremos un vistazo a nuestra “rueda de la fortuna” que no deja

de ser el círculo con las citadas correspondencias, que tenemos en el ejercicio

anterior.

Vamos a ver la correspondencia que existe entre ellos:

91

90º 180º 270º 360º

Ahora tenemos que prestar excesiva precaución con los signos correspondientes.

Vamos a proceder a sustituir valores, y a colocar el valor de sus razones

trigonométricas:

Por tanto:

44.-Calcular, sin utilizar la calculadora:

Es más de lo mismo, relaciones entre radianes y grados sexagesimales.

Vamos a proceder de la misma manera, que en el ejercicio anterior:

180º 90º 0º 270º 360º

Ahora tenemos que prestar excesiva precaución con los signos correspondientes.

Vamos a proceder a sustituir valores, y a colocar el valor de sus razones

trigonométricas:

Por tanto:

45.-Prueba que:

Más de lo mismo, que los ejercicios anteriores:

Con lo cual queda demostrado.

92

46.-Resolver la siguiente ecuación:

Estamos ante lo de siempre, es decir, para poder avanzar, quieren hurgarnos e

nuestro coco, para ver que transformaciones, somos capaces de hacer.

En este problema ¿qué os parece si transformamos el seno en función del coseno?

Allá vamos, entonces. Como siempre partimos de la formula de la razón fundamental

de la trigonometría:

Ahora, tenemos que ser todas y todos un poquito “listos” estando al loro y mirar loque

tenemos delante.

Ah!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! si echamos un vistazo al enunciado, vemos que son justamente,

los dos últimos factores. Es decir, sustituyendo el valor obtenido en esa deducción de

la fórmula, tenemos casi todo el camino andado.

Vamos a efectuar esta sustitución:

¿Qué ángulos tienen como valor de la razón trigonométrica, del coseno 0?

Son los ángulos de 90º y 270º

Por tanto:



¿Qué se os ocurrirá a cada una/uno de vosotros? A veces tan solo de pensarlo, ya me

da miedo.

A verrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr………………….¿qué, por dónde metemos mano?

Por ejemplo, para poder arrancar, se os ocurre sacar factor común sen x.

Hemos dado un paso importante, tenemos una ecuación con una incógnita.

Por tanto volvemos a estar ante el típico problema, en donde se nos presente una

ecuación con dos factores igual a 0.

Por tanto, vamos a igualar el 1º factor a 0.

93

1º Factor:

¿El seno de qué ángulo, tiene como valor 0?

El ángulo de 0º.

Por tanto, primera solución:

2º Factor:

Vamos a igualarlo a 0.

¿El seno de qué ángulo, tiene como valor 1?

El ángulo de 90º y el de 180º. Además tienen signo positivo en el 1º y en el 2º

cuadrante.

Por tanto, segunda solución:

En el 1º cuadrante En el 2º cuadrante:

Problema resuelto, y se cumplen para las tres soluciones.


Otra historieta montada, del corte de las anteriores. Entiendo que ahora, ya estamos

todos seguros de que debemos de hacer, para poder arrancar.

Claro que siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii sacar factor común cos x:




1º Factor:



94

Por tanto:


2º Factor:

¿Qué ángulos tienen como valor de la razón trigonométrica, del coseno ?

Son los ángulos de 30º y 330º. Además con signo positivo.

Por tanto:


Problema terminado.


Tenemos delante de los morros, una ecuación con dos incógnitas. Ya estamos

acostumbrados, a que nos ocurran cosas de este tipo.

Tenemos que buscarnos la vida. Buscar una alternativa, para poder arranca a resolver

la citada ecuación.

Siempre hablamos de lo mismo, a estos “profes” les gusta mogollón las

transformaciones. Vamos allá.

¿Qué os parece, si damos el seno n función del coseno, partiendo de la fórmula de la

relación fundamental de la trigonometría:

Ahora ya estamos en condiciones de sustituir este valor en el enunciado



Por tanto:


95


Coñooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo, lo de siempre. Por favor, ya está

bien de lo mismo. Socorroooooooooooooooooooooooo, no queremos más ecuaciones.

Y responde el “tío que da clase”: El que no quiere sopa, siete tazas.

Dejaros de coñas, y empezar a resolverla. Es para aprender, no es una máquina de

torturas. Porfaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, vamos allá.

¿Y si para empezar expresamos el coseno en función del seno, para arrancar en

condiciones, medianamente bien?

Para ello, siempre recurrimos al mismo baúl de los recuerdos. A la fórmula de la

relación fundamental de la trigonometría.

Lo de siempre, para recordar nuestro método. A sustituir en el enunciado:

Por cierto, alguna o alguno de vosotras o vosotros, os estáis comiendo el coco, de

porque este cambio: Hemos multiplicado por -1, ambos miembros, burras y

burrossssssssssssssssssssssssss, porque alguien estaba inquieta o inquieto, se nota.

Preguntita de marras: ¿El seno de que ángulo, tiene como valor la expresión obtenida:

De entrada el ángulo de 45º

Entonces, en función del signo y del valor obtenido, podemos comenzar a dar

soluciones:

De entrada el seno es positivo en el 1º y en el 2º cuadrante.

Por tanto:


El seno es negativo en el 3º y en el 4º cuadrante.


96


¿Y en éste, qué haremos? ¿Difícil, eh!!!!!!!!!!!!!!!! ? Haremos más de lo mismo, lo que

venimos repitiendo continuamente.

Para quedarnos con un incógnita, deberemos de transformar una expresión en forma

de otra, partiendo de la relación fundamental de la trigonometría.

Por ejemplo, vamos a expresar el coseno en función del seno:

¿Sabéis por qué damos el coseno en fundón del seno?

Porque en el enunciado el coseno está elevado al cuadrado, y de esta forma, tan solo

tenemos que sustituir de forma pura y dura. Y no nos comemos más el tarro.

Vamos a resolver esta ecuación de 2º grado, para dar soluciones:

¿Cuál es el seno de un ángulo, cuya razón trigonométrica es 1 con signo positivo?


Por tanto:

2ª Solución:

¿Cuál es el seno de un ángulo, cuya razón trigonométrica es 1/2 con signo negativo?


Por tanto:

En el 3º Cuadrante En el 4º Cuadrante:

Y problema resuelto.


Ya estamos con la misma canción de siempre. Y no son los 40 principales, ni mucho

menos.

97

¿Qué hacer, hermanas y hermanos?

Por lo menos, tenemos algo importante a la vista, y es que tan solo tenemos una

incógnita, por tanto de transformaciones nada de nada. Ya es algo.

¿Qué os parece si sacamos factor común tg x? Decís, que sí. Vamos a ello.

No pasa nada. Tranquisssssssssssssssssssssssssss colegas. No herniaros pensando. La

cabeza usarla tan solo para peinaros y estar guapas y guapos. El resto no tiene

importancia.

Tan solo hemos sacado factor común y al mismo tiempo, le hemos dado orden a los

factores. Nada másssssssssssssssssssssssss.




1º Factor:

¿Cuál es la tangente de un ángulo, cuya razón trigonométrica es 0?

Es el ángulo de 0º y de 180º

Por tanto:

En el 1º Cuadrante En el 2º Cuadrante

2º Factor:

¿Cuál es la tangente de un ángulo, cuya razón trigonométrica es con signo

positivo?


La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante.

Por tanto:

En el 1º Cuadrante En el 3º Cuadrante

Y ejercicio terminado.

98

53.- Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 15º considerando:

15º = 45º -30º

Evidentemente, se trata de que recordemos la transformación de una diferencia en un

producto.

Ya es el momento de sustituir valores en esta fórmula:

Ahora vamos a sustituir por los valores de las razones trigonométricas:

Por tanto:

Ahora vamos a calcular el coseno de 15º

La fórmula a aplicar, es la siguiente:

Ya es el momento de sustituir valores en esta fórmula:

Ahora vamos a sustituir por los valores de las razones trigonométricas:

Por tanto:

Ahora vamos a calcular la tangente de 15º

Por tanto:

99

54.- Calcula el valor exacto de estas expresiones:

a)

Vuelven otra vez a obligarnos a recordar la correspondencia entre grados

sexagesimales y radianes.

Vamos a sustituir directamente los valores de las

razones trigonométricas, en las fórmulas y asunto

resuelto.

b)

Vamos a sustituir directamente los valores de las razones trigonométricas, en las

fórmulas y asunto resuelto.

c)

Vamos a sustituir directamente los valores de las razones trigonométricas, en las

fórmulas y asunto resuelto.

55.- Demuestra que:

Indudablemente, tendremos que aplicar las fórmulas de transformación de sumas y

diferencias en productos.

Este ejercicio, es para que recordemos las citadas fórmulas.

Vamos a trabajar solamente, con la primera parte de la igualdad, para tratar de

llegar al resultado de segundo miembro.

Comenzamos a efectuar operaciones.

100

1º.- en el numerador, tenemos que transformar una suma de dos ángulos en un

producto.

2º.- En el denominador, tenemos que transformar una diferencia de dos ángulos en un

producto.

Vamos a aplicar la fórmula:

¿A ver burrancanes, qué se os ocurre hacer para seguir operando? Pensad un ratito,

Solo un ratitooooooooooooo, tenéis que molestaros algo en pensar.

¿Ya está? ¿ Y bien, qué…………………………..hacer?

Pues efectivamente, vamos a dividir entre

Ya veréis el porque de esta división. Y atentas/atentos, quedaros con ese paso, para

cualquier ejercicio de este estilo. Que os vayan sonando estos pasos, en lo sucesivo.

Es el truco del ejercicio.

Vamos a efectuar esta división:

VVaammooss aa eeffeeccttuuaarr ooppeerraacciioonneess..

TTaann ssoolloo hhaayy qquuee ddiivviiddiirr..

PPoorr ttaannttoo::

Ya queda demostrado, que es cierta.

56.-Prueba que

¿Os acordáis de la fórmula del coseno del ángulo mitad? Si no os viene a la memoria,

estáis apañadas/apañados todos. ¿A ver como sois capaces de seguir?

Bueno para todas y todos los que no se acuerden, la vamos a escribir:

101

Ah!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Claro, ahora siiiiiiiiiiiiii, ahora se acuerda todo el personal,

claroooooooooooooooooo, así también me apuntaba yo. Tendría a alguien que me

recordase todas estás fórmulas, mientras estaba tumbado en el sofá de casa,

comiendo un bocata y viendo una peli.

Bueno, vamos a sustituir valores. Pero antes, si nos damos cuenta resulta que tenemos

la expresión elevada al cuadrado, por tanto, la fórmula a aplicar la elevamos al

cuadrado, para a continuación, sustituir valores.

Bien, ahora vamos a sustituir este valor, en el enunciado del problema:

Hummmmmmmmmmm, no percibo ningún gran avance. Peroooooooooooo, y si la tangente

la expresamos en forma de seno/coseno, ¿qué pasará? Sencillo, hagámoslo:

Bueno, más transformaciones, no podemos hacer. Por tanto vamos a comenzar con las

operaciones. Vamos a ver que pasa:

Lo primero que vamos a hacer es simplificar el 2 que multiplica y divide. Nos queda:

Vamos a continuar, haciendo operaciones con el numerador:

Ahora vamos a sacar factor común sen x. Atentas y atentos todos, no pasar un mal

rato.

¿Queeeeeeeeeeeeeeeeeeé todo Dios repuesto del susto de este paso. Seguimos:

102

Por tanto, ya damos la solución, ahora mismo, y queda demostrada la igualdad:

57.-Demostrar que:

Hala, ya se montó la de Dios. No veo a nadie delante de este papel, ¿hubo

desbandada general? ¿Por qué os asustáis? No pasa Naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.

Quietas y quietos todos, tranquilizaros un ratito. No vale cagarse en nadie, ni

maldecir a nadie. Tal vez algún capullo que no tiene nada que hacer, se está

encargando de inventar estos ejercicios. Si fuera a tomar una garimba, era mejor

para todas y todos nosotros……………………, no nos rompería el coco.

Bueno pensando un poco, vemos que tenemos delante de nuestros morros, unas

diferencias de ángulos.

Lo que pretenden es que recordemos la transformación de restas en productos. Es así

de sencillo. Vamos a ello:

Procedamos a sustituir estos valores y a desarrollar:

Ahora vamos a eliminar:

Y nos queda:

Ahora viene el “truco del ejercicio” ¿Mirando atentamente esta expresión, se os

ocurre algo?

Creo que si. Efectivamente, sacar factor común cos β

Buenoooooooooooooooo, a donde hemos llegado. Ahora el otro truco es sencillo de ver,

¿o no?

¿Qué es esta expresión? Si, la fórmula de la relación fundamental de trigonometría:

Sustituyendo su valor, que es 1, ya tenemos demostrado que se cumple la condición

del enunciado.

103

Por tanto:

Con lo queda demostrado.

58.-Demostrar que:

De nuevo con otra trangallada típica, para complicarnos la vida y rompernos la cabeza.

No queda más remedio, que hincarle el diente, y ver como se pone el asunto.

Como siempre, el objetivo de estos problemas, es que estemos al loro en recordar

fórmulas y hacer transformaciones, muchas transformaciones.

Vamos a comenzar por desarrollar la formula del sen de 2 α

El paso siguiente, que vamos a dar, consistirá en sustituir este valor en el enunciado

del ejercicio,

¿Quéeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee?

Sacar factor común, yaaaaaaaaaaaaaaaaaa.

Y ahoraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa? Quéeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee.

Simplificar:

Ahora ya viene el “truco” aquí no hay ninguno. Tan solo, escribir la fórmula de la

tangente del ángulo mitad.

Con lo cual queda demostrado. (c.q.d)

59.-Simplifica:

Oñoooooooooooooooooooooooo, ¿qué tenemos aquí delante? Hummmmmmmmmmm… algo

raro, seguro. Esto es lo mismo que deshuesar un jamón, lo más difícil, siempre es

saber por donde vamos a comenzar.

Más de lo mismo, si miramos rápidamente el numerador, tenemos que

104

Recordar la fórmula de transformar una suma y una diferencia de cosenos, en

producto. No hay nada más. Ni trucos, ni nada. De momento, luego veremos.

Y aviso: en el numerador tenemos el coseno de un ángulo doble. Por tanto al ¡¡¡¡¡ loro!!!!

Vamos con el numerador:

Vamos a sustituir en éstas fórmulas, el enunciado:

La lecheeee, menudo lío tenemos montado. Bueno para simplificarlo, vamos a hacer

una cosa. Saquemos paréntesis:

Vamos a sustituir los valores del seno y el coseno de 45º, por el valor de su razón.

Continuamos haciendo operaciones. Es decir sacando raíces:

Nos falta hacer una transformación, que habíamos hablado de ella, al comienzo del

ejercicio, es desarrollar el coseno del ángulo doble en esta última expresión:

Ya estáis viendo, algo ¿no es cierto?

Vamos a sustituirla en la expresión obtenida, y tenemos el resultado listo:

= 1

105

60.- Demostrar:

Volvemos a estar delante de un problema, en donde se nos pide que sigamos con las

transformaciones. En este caso, tenemos que aplicar las fórmulas para convertir una

suma y una diferencia de cosenos, en un producto.

Como siempre, recordemos estas fórmulas:

Como siempre, vamos a continuar con nuestro método personal, es decir, trabajando

tan solo con la primera parte de la igualdad, para demostrar que el resultado es el

mismo que la segunda.

Ahora mismito, vamos a sustituir en las fórmulas antedichas, los valores del

enunciado:

Pues efectivamente, vamos a dividir entre

Ya veréis el porque de esta división. Y atentas/atentos, quedaros con ese paso, para

cualquier ejercicio de este estilo. Que os vayan sonando estos pasos, en lo sucesivo.

Es el truco del ejercicio.

Vamos a efectuar esta división:

Vamos a efectuar operaciones.

Tan solo hay que dividir.

Ordenando, nos queda:


106

61.- Simplifica la expresión y calcula su valor para α = 90º

Este ejercicio, es para gente un poquito “lista y hábil” es muy sencillo, pero es

necesario estar concentrado, para tener ese destello de “ver”

¿Sorprendidas y sorprendidos?

Bueno, probadme que tenéis algo más que serrín en el coco.

Lo primero, que vamos a hacer es transformar la expresión del numerador, que no

deja de ser el seno de un ángulo doble:

Sustituyamos este valor en el enunciado dado:

Hasta aquí todo normal, ahora las y los listos, que me digan algo ¿cómo seguimos?

Ahhhhhhhhh!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Aquí “justamente” está el truco del problemita. A verrrrrrrrrr

estoy esperando por alguno de vuestros consejos u órdenes para continuar.

Hummmmmmmmm no oigo el chirrido del coco de ninguna ni de ninguno.

¿Os rajáis, ya o bien espero un poquito? Bueno espero un ratito más.

Gracias, y muy bien, si señora, esto que dices es la clave:

Porque:

Yaaaaa taaaaa…………………. Ahora sustituimos este valor en el denominador y nos queda:

Por tanto:

107

La segunda pregunta del problema, se limita, a darle valores a las razones

trigonométricas, nada más.

Problema resuelto.

61.- Resuelve la siguiente ecuación:

La primera operación que vamos a efectuar, es trabajar con el primer término de la

ecuación, puesto que siempre tenemos que pensar que los problemas no se resuelven

solos, es necesario que pongamos interés y estar “vivos” para ver que hacer en cada

momento.

¿Y qué tenemos delante del “morro”? Lo de siempre, una transformación. Creo que

alguien no se había dado cuenta de ello.

Es la transformación de una suma de 2 ángulos en un producto. Vuelta a las andadas,

escribimos para recordarnos la citada fórmula:


Vamos a sustituir estos valores en la ecuación que tenemos a la vista:

Vamos a continuar haciendo, operaciones:

Bueno, me supongo que en este momento, alguna y alguno, por no decir todas y todos,

tenéis la cara en forma de botijo. ¿Cómo ha llegado este loco que escribe a esa

expresión?

Para evitar “accidentes cerebrales de tanto pensar” os lo voy a hacer a continuación:

108

Puaffffffffffffffff !!!!!!!!!!!!!!!!! ¿qué difícil, verdad? Bueno pues ya estáaaaaaaaaaaaaa.

Si volvemos a la expresión anteriormente obtenida, resulta:

¿Y ahora una preguntita, de “aquella manera”? ¿Cuándo el seno, tiene el mismo valor

qué el coseno? Cuando el ángulo es de 45º.

Por tanto, estamos en disposición de dar soluciones a esta ecuación;

NOTO al paisano, un poco sorprendido ¿os imagináis a qué puede

ser debido. Está muy mosqueado y preocupado por vosotros.

¿Qué le pasará?

Ya está: No valen todos los cuadrantes para las soluciones,

Echad un vistazo a la circunferencia que estamos usando para

transformar grados sexagesimales en radianes y lo veréis con más claridad.

Por tanto:

En el 1º cuadrante en: Grados Sexagesimales En Radianes:

O bien:



109

Otra parecida, a la que acabamos de hacer. Y recordando, habíamos hecho una transformación, para poder arrancar. En este caso haremos lo mismo, solo que en vez

de una, para tocarnos las “narices” tenemos dos.

Y tenemos en el primer término: Una resta del seno de 2 ángulos para transformar en

producto.

Y en el segundo término: Una resta del coseno de 2 ángulos para, asimismo,

transformar en producto.

Utilizando, como siempre, nuestro método, que parece nos da buenos resultados,

vamos a escribir, ambas fórmulas, para recordarlas teniéndolas a la vista.

Lo mismo que hasta ahora, vamos a sustituir valores del enunciado:

Tendremos que echar un vistazo a la circunferencia de conversión de grados a

radianes:

Vamos a sustituir estos valores en la expresión, a la cual habíamos llegado:

Llegados a este punto, debemos de simplificar, rápidamente. Mirar:

Nos queda la ecuación, así de sencilla:

110

Y como siempre, la pregunta que nunca nos libramos en trigonometría. ¿El coseno de

que ángulo tiene por razón trigonométrica ½?


El coseno es positivo en el 1º y en el 4º cuadrante.

Por tanto: El coseno




Observando los datos del enunciado, vemos que la primera transformación que

debemos de dar, es desarrollar el valor del seno del ángulo doble.

Vamos a sustituir este valor obtenido en los datos que nos proponen:

Me supongo, que a estas alturas ninguna/ninguno tendréis dudas, de que deberemos

sacar factor común 2 cos x:




1º Factor:

Atentas todas y todos.

Importante: Los signos.

No olvidaros nunca de

ellos.

111

Lo de siempre, es decir más de lo mismo ¿Cuándo el coseno de un ángulo toma por

valor 0º? Cuando el ángulo mide 90º y 270º.

Entonces, ya estamos en disposición de dar soluciones para este 1º factor:

2º Factor:

Por tanto:

O bien:


Observando los datos del enunciado, vemos que la primera transformación que

debemos de dar, es desarrollar el valor del coseno del ángulo doble.

Vamos a sustituir este valor obtenido en los datos que nos proponen en el enunciado:

Su padreeeeeeeeee, lo que aquí tenemos. Seguimos con una ecuación y dos incógnitas.

Nada de nada, ¿estamos atascados o no? Parece que sí, pero siempre hemos visto,

que la única forma de salir de estos atolladeros, es buscar alguna otra

transformación, para seguir avanzando en la resolución. Veamos, dijo Nerón, y vio solo

el muy cabrón.

¿A alguien le suena la fórmula de la relación fundamental de la trigonometría?

Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii………………………..bueno tranquisssssssssssssssssssss……………. al

menos hasta ahora hemos aprendido una fórmula, no es mucho, pero

buenooooooooooooooooooo, no es poco.

Nos interesa hacer la transformación de esta manera, puesto que en el resto de

términos de la ecuación, tenemos valores de sen x.

Ordenando este lío:

Ahora, ya resolvemos la ecuación de 2º grado, para comenzar a dar soluciones:

112

Ahora es el momento de plantearnos la pregunta de siempre. ¿Cuál es el ángulo cuyo

seno tiene como valor de su razón ½ ? El ángulo de 30º.

Ahora ya es el momento de comenzar a dar soluciones:

Cuidado con los signos: el seno es positivo en el 1º y en el 2º cuadrante.


¡¡¡ IIIIII---AAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHH !!!!!!!!!

eee El seno, nunca puede tener como

valor -2. Porque tan sólo, oscila

entre -1 y + 1

Por tanto esta solución, es inválida.

Hala !!!!!!!!!!!!, problema resuelto, con este matiz de última hora. Es algo que no se nos

había mostrado hasta este ejercicio. Tener en cuenta este pequeño detalle, porque a

veces para jugarnos una mala pasada, nos lo cuelan, a ver si nosotras/nosotros

hacemos el favor de no “tragar con ruedas de molino”

65.-Demuestra la siguiente igualdad:

Como podemos apreciar, tratan de que nos acordemos de las fórmulas de la suma y

diferencia del coseno de 2 ángulos, y su transformación en productos.

Como siempre, vamos a escribir las fórmulas, y después sustituir en ellas, los valores

del enunciado.

113

Ahora es el momento de sustituir los datos

Ahora comenzamos a efectuar operaciones en los paréntesis:

Es el momento oportuno de hacer alguna transformación, para poder salir del

atolladero, por ejemplo, vamos a escribir la formula de la relación fundamental de la

trigonometría:

Vamos a sustituir a nuestra conveniencia los datos del seno y del coseno obtenidos.

Vamos a sustituirlos ahora mismo:

Vamos a efectuar operaciones en los paréntesis:

Ahora es el momento de simplificar:



Este ejercicio, es para gente despierta y atenta. Lo más difícil, es darse cuenta cual

es el 1º paso que debemos de acometer.

Repito, no es muy fácil, el darse cuenta. Pero es la única solución, para poder dar un

paso y poder resolverlo.

Vamos a dividir la ecuación dada entre cos2 x

Vamos a efectuar la división, para ver como nos queda la ecuación:

Como os habéis dado cuenta, el “truco” del ejercicio, estaba justamente en esta

transformación.

114

No era fácil darse cuenta, pero para eso son los ejercicios, para ver distintas

posibilidades de resolverlos.

Ahora ya teneos una ecuación de 2º grado normal y corriente.

Ahora ya estamos con la pregunta de siempre, puesto que vamos a dar soluciones:

¿Qué ángulo tiene por tangente el valor qué hemos calculado?

Es el ángulo de 36º 52´ 12´´

Y la siguiente ¿En qué cuadrantes es positiva, la tangente? En el 1º y en el 3º

1º Solución:


2ª Solución:



Es el ángulo de 45º. Ojo que el signo es negativo.

Y la siguiente ¿En qué cuadrantes es negativa, la tangente? En el 2º y en el 4º


67.-Expresar

Vamos a efectuar la siguiente transformación:

Hemos aplicado la transformación del seno de un ángulo doble.

¿Os viene a la memoria ?

Vamos a continuar haciendo operaciones: Ahora ya interviene todo lo que tenemos

dentro el paréntesis:

115

Pero, pero antes, vamos a efectuar una nueva transformación, para ir preparando

todo este mogollón, y consiste en escribir la formula del coseno del ángulo doble.

Ahora, ya es el momento de hacer operaciones:

Por tanto:

Ahora vamos con e coseno de 4 α

Vamos a efectuar la siguiente transformación:

Hemos aplicado la transformación del coseno de un ángulo doble.

¿Os viene a la memoria ?

Vamos a continuar haciendo operaciones: Ahora ya interviene todo lo que tenemos

dentro el paréntesis:

¿Todas y todos de acuerdo? tan solo hemos sustituido seno y coseno de ángulos

dobles, por su fórmula.

Vayamos ya con las operaciones. Con cuidado. Este ejercicio, como siempre, es para

que nos liemos un poquito.

Por tanto:


Dios mío, qué difícil, ¿verdad? Es tan sencillo, que con tan solo acordarse de la

formula del coseno del ángulo mitad, está solucionado.

Como siempre, para recordarla, vamos a escribirla, para después sustituir en el

enunciado.

116

Ahora es el momento de sustituir este valor en la ecuación dada:

La siguiente operación, consistirá en sacar denominadores:


¿Qué ángulo tiene por coseno el valor qué hemos calculado, es decir 0? Cuando el

ángulo mide 90º y 270º

Por tanto, soluciones:


Es tan sencillo, que con tan solo acordarse de la formula de la tangente del ángulo

mitad, está solucionado.

Como siempre, para recordarla, vamos a escribirla, para después sustituir en el

enunciado.

Ahora es el momento de sustituir este valor en la ecuación dada:

Comenzamos a efectuar operaciones, sacando denominadores:

Ahora vamos a simplificar, para ver que nos va quedando:

Se trata de resolver una ecuación de 2º grado, sencillamente.

117

1ª Solución:


¿Qué ángulo tiene por coseno el valor 1?


2ª Solución:

¡¡¡ IIIIII---AAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHH !!!!!!!!!

eee El coseno, nunca puede tener como

valor -2. Porque tan sólo, oscila

entre -1 y + 1


Este, viene tirado con muy mala leche. ¿Os habéis dado cuenta, de que es necesario

hacer dos transformaciones?

Una el seno del ángulo mitad y otra, el coseno de un ángulo doble.

Vamos a escribir el seno del ángulo mitad:

Ahora vamos a escribir el coseno del ángulo doble:

Es el momento de sustituir valores:

Ahora ya es el momento de comenzar a efectuar operaciones:

Lo primero que vamos a hacer, es simplificar el 2 que multiplica, y el 2 que divide:

118

En este instante, nos encontramos, con una ecuación y 2 incógnitas, ¿qué estamos

haciendo como en todos nuestros ejercicios? Aplicando siempre el mismo método.

Creo, y repito, creo que la única solución, para poder ir avanzando es recurrir ala

fórmula de la relación fundamental de la trigonométrica, para dar el seno en función

del coseno, puesto que en este caso es lo que más nos interesa.

En ese momento, nos quedaremos con una ecuación y tan solo 1 incógnita.

Vamos a efectuar esta nueva transformación:

Sustituyamos este valor en la expresión, anteriormente obtenida:

Ordenamos, y nos queda la siguiente ecuación, para resolver:

Ya nos encontramos, como la mayoría de las veces, con un producto de 2 factores

igual a 0.

Entonces vamos a igualar cada factor a 0 y resolver. Pero lo primero, es lo primero,

vamos a sacar factor común cos x, para poder resolver.

1º Factor:



ángulo mide 90º y 270º

Por tanto, soluciones:

2º Factor:


¿Qué ángulo tiene por coseno el valor qué hemos calculado, es decir 1/2? Cuando el

ángulo mide 60º.

Y además el coseno tiene signo positivo en el 1º y en el 4º cuadrante.

Fundamental, para dar las respuestas correctas.

119

Por tanto:



71.-Simplificar:

Si somos un poquito pacientes y observadores, vemos que tenemos el coseno de un

ángulo mitad.

Vamos a escribirlo:

Vamos a sustituir este valor obtenido, en los datos dados en el enunciado.

Ahora tenemos, seno, coseno y tangente. Tendremos que pensar en algo para avanzar.

Se me ocurre jugar con la tangente, puesto que lleva implícito tanto el seno como el

coseno:

Vamos a sustituir este valor, en la expresión anterior:

Es el momento oportuno, para simplificar: 2 que multiplica y 2 que divide.

El siguiente paso: vamos a efectuar operaciones con el segundo término

Vamos a sacar factor común sen x:

Tranquilas y tranquilos todas y todos. Seguro que no os entra en la cachola, lo que

acabo de hacer. Os lo voy a escribir, para que nadie se tire por la ventana, o al

metro.

120

Teníamos esta expresión:

Si sacamos factor común, sin tirar un “machetazo”, nos queda:

Si hacéis operaciones, obtenéis la expresión

anterior.

Entonces ahora ya podemos seguir, haciendo operaciones, a ver a donde llegamos:

Por tanto:


A simple vista, echando un vistazo, ya el anunciado, nos da la primera indicación, de

que tenemos la primera transformación a la vista. Es el coseno del ángulo doble.

Lo primero, como siempre, vamos a escribirlo.

Vamos a sustituirlo en el enunciado, a ver a donde nos lleva este paso:

Hummmmmmmmmmm, no nos gusta un pelo. Tenemos una ecuación y dos incógnitas.

Pero tenemos a nuestro alcance, recursos para poder resolver.

Siguiendo nuestro método establecido, partiendo de la fórmula de la relación

fundamental de la trigonometría, vamos a dar el coseno en función del seno, porque es

lo que mejor se adapta.

Ya va siendo jora, de sustituir, este valor del coseno obtenido , en la última

expresión, a la cual hemos llegado.

Vamos allá.

121

Haciendo operaciones y ordenando, llegamos a la siguiente ecuación de 2º grado:


¿Qué ángulo tiene por seno el valor qué hemos calculado, es decir 1? Cuando el ángulo

mide 90º.

1ª Solución:

2ª Solución:



mide 30º.

Y además el coseno tiene signo positivo en el 1º y en el 2º cuadrante.


Por tanto:


Y ejercicio resuelto. Es el mismo ejercicio que el número 30, pero matizando un

poquito más como hemos dado los pasos finales.

73.-Demostrar que:

Sin nada más que echar un vistazo al enunciado, lo que pretender, es que hagamos un

“porrón” de operaciones, a ver si nos equivocamos, y no somos capaces de aclararnos.

Puede ser que haya que hacer alguna transformación, así que tenemos que estar

atentos a la “pista de baile”

Vamos a comenzar haciendo operaciones. Vamos a unificar denominadores. Agarraros,

porque vienen operaciones largas, aunque sencillas. Atentas y atentos todas y todos.

Es muy importante estar concentrado, para no equivocarnos con lo signos,

122

Os voy a ayudar un poquito más, para que no tengáis que rascaros mucho vuestra

hermosa cabecita, así la podéis peinar y engominar mucho mejor, sin gastarla

pensando.

Os voy a efectuar de forma gráficas, los productos, para que los veáis:

cos x + sen x

cos x + senx

cos2

x + sen x cos x

+ sen x cos x + sen2 x

cos2 x + 2 senx cos x + sen

2 x

cos x - sen x

cos x - sen x

cos2 x – sen x cos x

- sen x cos x + sen2 x

cos2 x – 2 sen x cos x + sen

2 x

¿Quéeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee os ha parecido? ¿Muy difícil, tal vez? Mirar que sois

una panda de burras y burros. Si no lo hago yo, vosotras y vosotros no sois capaces

de hacerlo. Echar un vistazo y ver si hay algún error.

Ahora vamos a sustituir todo esto y………… vamos a ver un numerador, que le ronca el

nabo, por lo largo que va a resultar, así que atentas y atentos todos.

Vamos a sacar paréntesis en el numerador:

123

Ahora llega el momento de simplificar:

La expresión nos queda de la siguiente forma:

¿Alguna o alguno veis algo que os llame la atención? No se trata de una sortija,

vestido, peinado o pantalón, ni tampoco ningún móvil, ni nada por el estilo.

Se trata de alguna fórmula conocida, ¿podemos hacer alguna transformación?

Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii, tanto en el numerador como en el denominador.

En el numerador tenemos: 2. 2 sen x cos x = 2 sen 2 x

En el denominador tenemos: cos2

x – sen2 x = cos 2 x

Es el momento de sustituir estos valores calculados en la expresión por nosotros

obtenida:

Con lo cual queda demostrado(c.q.d.) y ejercicio resuelto. Vuelvo a insistiros, en estos

ejercicios, siempre se trata de buscar transformaciones y liarnos con la operatoria.


Creo, que sin esperar ni un minuto más, es obvio que tenemos que hacer una primera

transformación, que consiste en aplicar la fórmula de la tangente del ángulo doble.

Vamos a escribir la citada fórmula, para que nos sirva de recordatorio:

Sustituyámosla en los datos del enunciado, y a verrrrrrrrrr que pasa:

124

Vamos a comenzar a efectuar operaciones, a ver que camino toma el asunto:

Ahora vamos a ordenar, para ver a que resultado llegamos:



Cuando el ángulo mide 30º.

Y además la tangente tiene signo positivo en el 1º y en el 3º cuadrante.

Y negativo en el 2º y en el 4º


Por tanto:

1ª Solución:


2ª Solución:



Lo mismo que en los ejercicios anteriores, se me antoja, que lo primero que tenemos

que hacer es transformar el coseno del ángulo doble.

Siguiendo nuestro mismo método, vamos a sustituir en los valores del enunciado.

Ya estamos con la parranda de siempre, hay que fastidiarse. Tenemos una ecuación

con 2 incógnitas.

Buenoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo, tenemos

recursos en nuestras manos, para dar un pasito hacia delante.

125

Siguiendo con la misma monserga, tenemos que recurrir a la fórmula de la relación

fundamental de la trigonometría, para dar una razón en función de otra.

Como tenemos “muchos” cosenos, vamos a dar la fórmula del seno en función de la del

coseno.

Vamos a “pegar” otra sustitución, para avanzar otro poquito más.

El siguiente paso, debe ser sacar el paréntesis:

Arreaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, éramos pocos y se ha hecho pis la abuela. Tenemos una

ecuación cúbica, que hasta este momento, nunca nos había aparecido.

¿Hummmmmmmmm, qué haremos? ¿Nos rajamos y lo dejamos? ¿O bien tratamos de

continuar el ejercicio y terminarlo.

Valeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee, ya he oído, seguimos, biennnnnnnnnnnnn:

¿Y si se nos ocurre sacar factor común cos x:

Por fin, algo es algo, ya empezamos a ver la luz de salida del túnel, en donde

estábamos metidas y metidos.

Como muchas otras veces, tenemos delante del “morro” una ecuación, con dos factores

igual a 0.

Vamos a igualar cada uno de los factores a 0 y resolver, sin más.

1º Factor:



ángulo mide 90º y 270º.

Por consiguiente, estamos en disposición de dar las 2 primeras soluciones:

Ahora ya vamos a igualar, el segundo factor a 0 y resolver:

126

Se trata sencillamente de resolver una ecuación de 2º grado:

Peligro.

Si hay un burro,¿qué

podrá ocurrir con la

solución que acabamos de dar.

Santiñas y santiños, el valor

del coseno oscila entre -1 y

+1. Esta solución NO VALE.


¿Qué ángulo tiene por coseno el valor qué hemos calculado?

Cuando el ángulo mide 68º 31´ 51’’

Y además el tangente tiene signo positivo en el 1º y en el 4º cuadrante.

Os estaréis preguntando, este tío que listo es, sabe las razones de todos los ángulos

de memoria?

No, si así fuese, seguro que estaría currando para la NASA.

Es más sencillo, que todo esto. Lo se, porque acabo de utilizar una calculadora.

Por tanto:



Para comenzar, ¿observáis alguna transformación, para arrancar con el problemita de

marras?

Yo siiiiiiiiiiiii, veo en el 2º miembro de la ecuación la tangente de un ángulo doble.

Siguiendo con nuestro método habitual, vamos a escribirla, para memorizarla.

127

Bien, el paso siguiente, consistirá en sustituir los datos del ejercicio en ésta fórmula:

Continuaremos, sacando este denominador, para ver que expresión nos queda, porque

me da la sensación, de que tendremos que hacer más transformaciones, ya que veo

una ecuación, pero dos incógnitas.

Como la tangente, es la relación entre seno y coseno, vamos a dar esta

transformación: tg x = sen x/ cos x

Pero, una cosita, ¿qué os parece si simplificamos toda la expresión? De esta forma,

eliminamos los 2 de cada uno de los factores.

Seguimos haciendo operaciones, despacio para no equivocarnos, que es la pretensión

del profe.

Sacamos denominadores, lo primero, para facilitar nuestros cálculos:

Pasamos todo al 1º miembro de la ecuación:

Veo que puedo hacer otra operación, y es sacar factor común sen x

Echad un vistazo dentro del paréntesis. Algo hay que podamos

hacer para poder seguir resolviendo.

Podemos expresar el seno de x en función del coseno, partiendo

como siempre de la relación fundamental.

128

Vamos a continuar haciendo operaciones, para ordenar un poquito, todo este lio.

Como muchas otras veces, tenemos delante de nuestros morritos una ecuación, con dos

factores igual a 0.

Vamos a igualar cada uno de los factores a 0 y resolver, sin más.

1º Factor:



mide 0º y 180º.

Por consiguiente, estamos en disposición de dar las 2 primeras soluciones:

2º Factor:

Vamos a resolver esta ecuación de 2º grado:



ángulo mide 0º.


¿Qué ángulo tiene por coseno el valor qué hemos calculado, es decir 1/2? Cuando el

ángulo mide 60º.

Y además el coseno tiene signo negativo en el 2º y en el 3º cuadrante.


129

Por tanto:


Y ya tenemos el ejercicio resuelto.


Como siempre en este ejercicio, lo que pretenden, es que nos acordemos del seno de

un ángulo mitad.

Vamos a escribir su fórmula correspondiente:

Es el momento de sustituir en el enunciado:

Comenzamos a efectuar operaciones, sacando la raíz y pasando cos x al segundo

miembro:

“Para sacara raíces, vamos a elevar todo al cuadrado:

Vamos a seguir haciendo operaciones:

Hemos elevado, todo al cuadrado y pasado cos2 x al 2º miembro:

Vamos a continuar efectuando operaciones:

B

Tan solo nos queda por resolver esta ecuación de 2º grado, para comenzar a dar

soluciones:

130

Ahora nos preguntamos, ¿cuál es el ángulo cuyo coseno tiene por razón trigonométrica,

el valor que hemos calculado, es decir 1.


Podemos dar la primera solución:


el valor que hemos calculado, es decir 1/2.


Pero atención a los signos, para dar las respuestas correctas:

El coseno es negativo en el 2º y en el 3º cuadrante.

Podemos dar la segunda solución:


Ejercicio resuelto.


Este tiene un “truco de entrada” es una cabronada, pero hay que darse cuente muy

rápido:

Vamos a sustituir este dato en la ecuación propuesta:

A sacar denominadores, para continuar:

Inmediatamente, vamos a sacar factor común tg x

Ya nos encontramos con una ecuación, en la cual tenemos 2 factores, y es igual a 0.

Vamos a igualar cada uno de los factores a 0, para resolver.

1º Factor:

tg x = 0 x = 0

131

Ahora nos preguntamos, ¿cuál es el ángulo cuya tangente tiene por razón

trigonométrica, el valor que hemos calculado, es decir 0.

Son los ángulo de 0º y de 180º

Primera solución:

Vamos a iguala el segundo factor a 0 y resolver:



Es el ángulo de 71º 33´ 54´´ Por calculadoraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.


La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante.

Segunda solución:

En el 1º Cuadrante En el 3º cuadrante:


No hace falta se muy listas/listos, para darse cuente, de que como no hagamos

ninguna transformación, no podemos avanzar.

Vamos a transformar las sumas o diferencias en productos.

Ahora ya hacemos operaciones:

Estas son las operaciones que hemos hecho, para que no haya sobresaltos.

Bueno, ¿dónde estábamos?

132

Seguimos efectuando operaciones. Vamos a simplificar el cos 2 x:

Ahora nos preguntamos, ¿cuál es el ángulo cuyo seno tiene por razón trigonométrica,




El seno es positivo en el 1º y en el 2º cuadrante.

Primera solución:

En el 1º Cuadrante En el 3º cuadrante:

Ejercicio resuelto.


Otro del mismo corte que el anterior, es necesario transformar las sumas de los

ángulos del numerador y denominador en productos.

Lo primero que vamos a hacer, es escribir las fórmulas de la suma de 2 ángulos y su

transformación en producto.

Para el numerador:

Para el denominador:

Numerador:

Vamos a comenzar, a efectuar las sustituciones correspondientes:

Denominador:

133

Llegó el momento de sustituir estos valores obtenidos, en el enunciado del problema:

La expresión la hemos transformado en esto que tenemos

Ahora seguimos haciendo operaciones, lo primero es simplificar:

Buenoooooooooooooo, echando un vistazo, a ¿dónde hemos llegado?

Bufffffffffffffffff……… ¿qué hacer? Mi no comprender. Ahhhhhhhhhhhhhhhhhh

¿Qué os parece si el seno de 4 x le damos una vuelta y lo “amañamos” un poco a

nuestra conveniencia?

Por ejemplo: sen 4x = sen (2 . 2x) = 2 sen 2 x

Entonces, la expresión anterior, nos quedaría de la siguiente forma:

Me cago en su leche ¿será posible……, hay un lío de 7 estallos? ¿Por dónde atacamos?

Oñooooooooooo, no es tan difícil, y si en el numerador hacemos la transformación de

la fórmula del ángulo doble 2x:

Sustituyamos en ésta fórmulas, los datos obtenidos por nosotros:

Creo que estamos salvador por la campana, ahora vamos a simplificar:

134

Bueno, ya tenemos la solución, eso parece, por tanto, me huele raro esto de ahí

arriba:






AAhhoorraa lllleeggaa eell mmoommeennttoo ddee hhaabbllaarr ddeell rreessuullttaaddoo oobbtteenniiddoo.. EEss oottrraa vvaarriiaannttee,,

qquuee hhaassttaa eell mmoommeennttoo,, nnoo ssee hhaabbííaa pprroodduucciiddoo eenn nniinnggúúnn eejjeerrcciicciioo..

SSii eell vvaalloorr ddee llaa rraazzóónn ttrriiggoonnoommééttrriiccaa oobbtteenniiddaa,, eess vváálliiddaa ppaarraa eell áánngguulloo ddee

3300ºº,,¿¿qquuéé ooccuurrrree?? QQuuee eessttaammooss hhaabbllaannddoo ddeell sseennoo((22xx)) sseennoo ddee uunn áánngguulloo

ddoobbllee.. PPoorr ttaannttoo eell áánngguulloo ddeessccrriittoo ppaarraa ddaarr ssoolluucciioonneess,, ssee rreeffiieerree aall ddee 1155ºº

Por tanto, vamos a estar “muy vivos” a la hora de dar soluciones. Si caemos en la

rutina, se habrá “chingao” el problemita.

¿Sabéis a qué me refiero? Sencillo, a que el movimiento del ángulo, es doble: Es decir

pasa dos veces por el mismo sitio. Da dos vueltas a la circunferencia.

Soluciones:

En la 1ª vuelta del ángulo a la circunferencia:


Y ahora mismito, viene la variante de “marras” tenemos que dar soluciones, en el 2º

paso por el mismo sitio

¿¿SSeenn 22xx??

HHaabbllaarreemmooss

ddee eelllloo..

135




80.-Demostrar que:

Habíamos observado, que todos estos problemas de demostraciones, llevan aparejadas

muchas transformaciones. Ese es su objetivo, hacernos recordar fórmulas y que

vayamos haciendo operaciones, para tomar soltura.

Lo primero que tenemos que hacer es transformar el sen 3 x = sen(2x+x), es decir en

una suma de ángulos.

Vamos a escribir la fórmula que deberemos de utilizar:


En nuestro caso ángulo a = 2 x y ángulo b = x. Sustituimos datos del enunciado:

Hasta aquí fenómeno, pero y ¿ahora quéeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee?

Más de lo mismo, tenemos que seguir transformando. Tenemos el seno de un ángulo

doble y el coseno del ángulo doble. Tenemos un “completo” de ángulos dobles.

Vamos a escribir fórmulas:

Entonces, procedamos con esta transformación, sustituyendo valores:

Bien, tenemos una expresión muy “guapa”, vamos a efectuar operaciones:

Son iguales, las podemos sumar:

Por tanto:

Con lo cual queda demostrado(c.q.d) y ejercicio resuelto.

136


En el ejercicio anterior, hemos demostrado, a que equivale el seno de 3 x.

Por tanto lo vamos a utilizar en este nuestro problema:

Vamos a sustituir este valor en los datos dados, al mismo tiempo, que pasamos 2 sen

x al 1º miembro de la ecuación.

Ya se que estáis así de cabreadas/cabreados, porque

vuelven siempre a tendernos la misma trampa, y se

trata de que tenemos tan solo una ecuación con 2

incógnitas, pero todo Dios tranquilo. Tenemos el

“truco” pillado y es la fórmula de la relación

fundamental de la trigonometría, para dar una razón en función de otra.

Vamos a continuar efectuando operaciones:

No cabrearos otra vez. Porque estoy seguro de que todos ya estáis dando los pasos

correctos, para resolver esta tanda de ejercicios.


Y claro, ya estamos con la “serenata diaria” una ecuación, consistente en un producto

de 2 factores iguala a 0.

Como siempre, siguiendo nuestro método particular, vamos a igualar el 1º factor a 0

1º Factor:

137



mide 0º y 180º.

1ª Solución:

2º Factor:





El seno es positivo en el 1º y en el 2º cuadrante. Y negativo en el 3º y en el 4º.

Por tanto, tenemos que dar cuatro soluciones.

2ª Solución:



Ejercicio resuelto.


Jopeeeeeeeeeeeeeeeee..

Me supongo que estáis un

poco aburridas/aburridos,

tenemos que seguir, para

dominarlos. Así que, todo

el mundo a sentarse

Ya tenemos algo de camino andado, y es que seguimos teniendo a mano el seno de 3 x,

que habíamos calculado anteriormente y nos vuelve a servir en este ejercicio.

138

En el ejercicio anterior, hemos demostrado, a que equivale el seno de 3 x.

Por tanto lo vamos a utilizar en este nuestro problema:

Vamos a sustituir este valor en los datos dados.

El paso siguiente, consistirá en una nueva transformación: El coseno del ángulo doble:

Ahora es el momento de efectuar operaciones, despacio, sin apuro, se trata de evitar

errores. Atentas/atentos:


¿Sabéis para que os la pongo así? Para que simplifiquéis el 2.

Ahora el siguiente paso, consiste en sacar factor común sen x:

Supongoooooooooo que yaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa estaaaaaaaaaaaaaamos al loro de

lo que tenemos delante de las “napias” otra vez.


de 2 factores igual a 0.


1º Factor:



mide 0º y 180º.

1ª Solución:

139

2º Factor:

¿Alguna o alguno de vosotras/vosotros, sabéis lo que

tenéis delante? ¿Se os hace una fórmula conocida? Venga a pensar un ratito, a

molestarse todo el personal.

Bueno, tampoco es para tanto. Una cosa es pensar

y otra sacar brillo a nuestras cacholas.

Creo que habréis pensado en está formula:

Pero tiene una variante, está multiplicada por -1.



Es el ángulo de 90º y 270º

AAhhoorraa lllleeggaa eell mmoommeennttoo ddee hhaabbllaarr ddeell rreessuullttaaddoo oobbtteenniiddoo.. EEss oottrraa vvaarriiaannttee,,

qquuee hhaassttaa eell mmoommeennttoo,, ttaann ssoolloo ssee hhaabbííaa pprroodduucciiddoo eenn uunn eejjeerrcciicciioo.. SSii eell

vvaalloorr ddee llaa rraazzóónn ttrriiggoonnoommééttrriiccaa oobbtteenniiddaa,, eess vváálliiddaa ppaarraa eell áánngguulloo ddee

9900ºº,,¿¿qquuéé ooccuurrrree?? QQuuee eessttaammooss hhaabbllaannddoo ddeell ccoosseennoo((22xx)) sseennoo ddee uunn áánngguulloo

ddoobbllee.. PPoorr ttaannttoo eell áánngguulloo ddeessccrriittoo ppaarraa ddaarr ssoolluucciioonneess,, ssee rreeffiieerree aall ddee 4455ºº

¿Sabéis a qué me refiero? Sencillo, a que el movimiento del ángulo, es doble: Es decir

pasa dos veces por el mismo sitio. Da dos vueltas a la circunferencia.

Soluciones:



140


Aparece un término nuevo: cos(П –x)

¿Os acordáis del curso anterior, a qué corresponde este valor? Creo que no.

Entonces, vamos a escribir la relación de fórmulas correspondientes a estas

expresiones:

Vamos a calcular el cos 3x. Para ello debemos de hacer una transformación,

expresarlo como suma de un ángulo doble, como siempre.

Ahora transformaremos esta suma en un producto:

cos (a+b) = cos a . cos b – sen a . sen b

Vamos a continuar haciendo transformaciones: Tenemos por una parte el coseno del

ángulo doble, y por otra el seno de también, otro ángulo doble:

Sus fórmulas, para sustituir en la expresión, son:

Vamos a sacar factor común cos x:

¿Qué más podremos hacer en este momento? Aquí está el “truco” de este problema.

Pensad un ratito. Mirad con atención lo que tenemos dentro del paréntesis. Ese va a

ser el paso próximo.

Recurrimos a la relación fundamental de la trigonometría, como siempre:

141

Entonces ahora una vez enseñado este paso, retomamos la expresión, donde nos

habíamos quedado, para no olvidarnos. Era ésta:

Bien, nada más con este término.

El otro término, habíamos quedado que valía:

Es hora de sustituir estos valores en el enunciado del problema:

Esta es la ecuación que nos queda, una vez sustituidos los valores obtenidos.

Vamos a continuar efectuando operaciones.

Tenemos la oportunidad de sacar factor común cos x:

Yaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa estaaaaaaaaaaaaaamos al loro de lo que tenemos delante

de “nuestro careto” otra vez.


de 2 factores igual a 0.


1º Factor:




1ª solución:

2º Factor:

142


el valor que hemos calculado, es decir .



El seno es positivo en el 1º y en el 2º cuadrante. Y negativo en el 3º y en el 4º.

Por tanto, tenemos que dar cuatro soluciones.

2ª solución:



Ejercicio resuelto.


Del ejercicio anterior, podemos aprovecharnos del valor del coseno de 3x y traerlo

para este problema.

Y además, nos queda una transformación, consistente en el seno del ángulo doble.

Vamos a escribir esos dos pasos anteriores para después sustituir:

Ya es la hora de sustituir estos valores en el enunciado propuesto:

Aprovechamos para sacar factor común en toda la ecuación cos x:

Ya nos encontramos con una ecuación, en la cual tenemos 2 factores, y es igual a 0.

Vamos a igualar cada uno de los factores a 0, para resolver.

1º Factor:




1ª solución:

2º Factor:

143


Aprovechamos y volvemos a sacar factor común sen x, con lo cual nos volvemos a

encontrar con: Una ecuación como producto de 2 factures igual a o.

Por tanto igualaremos cada uno de los factores a 0, para resolver:

1º Factor:

Ahora ya estamos con la pregunta de siempre, puesto que vamos a dar

soluciones:¿Qué ángulo tiene por seno el valor qué hemos calculado, es decir 0?

Cuando el ángulo mide 0º y 180º.

1ª Solución:

2º Factor:

¿Qué ángulo tiene por seno el valor qué hemos calculado, es decir 1/2? Cuando el

ángulo mide 30º.



2ª Solución:


Ejercicio resuelto.


Es un problema típico de aplicar fórmulas para transformar sumas y diferencias en

productos, Es decir nos obligan a memorizar las fórmulas.

Son éstas que escribimos a continuación:

sen (a+b) + sen (a-b) = 2 sen a . cos b

cos(a+b) – cos (a-b) = - 2 sen a . sen b

144

Si sustituimos en ellas, nos quedarían de la forma siguiente:

sen (2x+x) + sen x = 2 sen 2x . cos x

cos(2x+x) – cos x = - 2 sen 2x . sen x

Creo que ahora es buen momento, para sustituirlas en la ecuación dada:

Nos queda así, después de haber

Simplificado

Vamos a seguir con nuestras operaciones:


trigonométrica, el valor que hemos calculado.



La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante.

Por tanto:


Ejercicio resuelto.


¿Habéis pillado ya, el truco?

Todavía ¿noooooooooooooooooooooooo?

A ver si alguien tiene la osadía de

ordenar el 1º y el 2º miembro de

la igualdad, para poder continuar.

Nos quedaría de esta manera:

Ahora ya podemos continuar.

145

¿Os preguntareis qué hacer? Coño, aplicar las fórmulas de transformaciones de sumas

y diferencias en productos

Ahora vamos a sustituir datos en estas fórmulas:

1º miembro de la ecuación.

2º miembro de la ecuación.

La ecuación propuesta, nos queda:

Ahora es buen momento, para sacara factor común: tenemos por un lado el “2” y por

otro el sen x. Por tanto sacamos factor común: 2 sen x:

Es la hora de simplificar:

Vamos a multiplicar por (-1)

Ahora nos preguntamos, ¿cuál es el ángulo cuyo tangente tiene por razón



Ahora llega el momento de hablar del resultado obtenido. Es otra variante,

que hasta el momento, tan solo se había producido en dos ejercicios.

Si el valor de la razón trigonométrica obtenida, es válida para el ángulo de

45º,¿qué ocurre? Que estamos hablando de la tangente(2x) de un ángulo

doble. Por tanto el ángulo descrito para dar soluciones, se refiere al de 45º

146

El movimiento del ángulo, es doble: Es decir pasa dos veces por el mismo sitio. Da dos

vueltas a la circunferencia.

Pero todavía, tenemos que apretar un poquito más la tuerca de nuestro coco. Tenemos

el resultado con signo negativo.

La tangente tiene signo negativo en el 2º y en el 4º cuadrante.

Soluciones:








Ejercicio resuelto.

87.- Demostrar que:

Bueno, bueno, bueno, ¿qué tenemos aquí delante? Sencillo hermanas/hermanos, como

siempre transformaciones.

Y transformaciones del ángulo mitad, para comenzar.

Entonces, no queda otro remedio, queeeeeeeeeeeee escribir la fórmula de la tangente

del ángulo mitad, para a continuación sustituir.

147

Bueno, aquí la tenemos delante.

Esto en cuanto al numerador.

Para el denominador, tenemos la tangente al cuadrado, por tanto su fórmula es:

Bien, es hora de sustituir en el enunciado del problemita de marras

Nos quedaría, esto que viene a continuación:

La pregunta del millón, ¿por dónde le arreamos estaca

y comenzamos por hacer todo este embrollo, un poco

más cristiano?

Se me ocurre una idea,¿comenzamos a deshuesar esta expresión arreglando un poquito

el denominador, qué aparentemente en más sencillo?

¿Bueno cómo estáis de operatoria? Creo que bien. Vamos a hacer una cosa y es

simplificar el 2 que multiplica en el numerador y el 2 que está en el numerador, para

ir abreviando cálculo y cometer el menor número de errores.

Siguiente paso: Producto de extremos = Producto de medios.

Por tanto la expresión: (1 + cos x) pasa al numerador multiplicando. Vamos a ver como

nos queda este lío momentáneo:

148

¿Y ahora cómo seguimos?

Aquí está el “truquete” y consiste en meter dentro de la raíz, la expresión(1+cos x)

Hummmmmmmmmmmmm…………….. y si dividimos entre (1+cos x) ¿a dónde nos lleva?

Tened en cuenta que estamos buscando alternativas, es necesario probar, para ir

dando pasos hacia delante. No olvidaros nunca de probar, ahí está la razón de todo.

Buenoooooooooooooooo, parece que va tomando camino el asunto.

Siguiente paso: Vamos a multiplicar lo que hay dentro de la raíz:

¿Qué es esta expresión a la cuál hemos llegado?

Alguna o alguno se acuerda de la fórmula de la relación fundamental de la

trigonometría:

Ahoraaaaaaaaaaaaaa coño, ahora si nos acordamos. Entonces ¿qué pasa colegasssss?

Con lo cual queda demostrado(c.q.d)

88.- Demostrar que:

¿Ya sabéis lo quieren de vosotras y de vosotros? Entonces, os lo voy a decir. Quieren

que os acordéis de transformar sumas den ángulos en productos, y al mismo tiempo

quieren que os acordéis de la correspondencia de los ángulos en radianes, con los

expresados en grados sexagesimales.

En estos casos, lo mejor es escribir la fórmula que vamos a utilizar, nos ayuda a

memorizarla y nos va bien este método personal que estamos desarrollando.

149

Aquí tenemos la correspondencia de los

ángulos expresados en radianes y en

grados sexagesimales.

Esto por un lado, por otro, escribir la

Fórmula para transformar sumas de

ángulos en productos.

cos (a+b) = cos a . cos b – sen a . sen b

Bieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeennnnnnnnnnnnnnnnnnn, llega el momento de sustituir.

Ahora, creo que el paso siguiente, será sustituir los ángulos en radianes en ángulos

sexagesimales.

¿Por qué? Porque si los ángulos son conocidos, que por cierto lo son, podemos sustituir

el valor de su razones, y efectuar operaciones numéricas.

Matiz: Coseno de 120º = Coseno de 60º, Signo negativo. El coseno es – en el 2º

Seno de 120º = Seno de 60º. Positivo porque el seno es + en el 2º cuadrante.

Seguimos efectuando operaciones:

Ahora, ya llega el momento de hacer las operaciones que tenemos delante, para llegar

al final:

150


89.- Demostrar que para cualquier ángulo α se verifica:

Ya estáis al loro, de que siguen queriendo, es muy sencillo, quieren lo mismo que en el

ejercicio anterior, es decir transformar ángulos expresados en radianes a grados

sexagesimales y transformar una diferencia de ángulos en un producto.

Vamos a escribir la fórmula, y la “rueda de la fortuna” la tenemos a la vista en el

ejercicio anterior:

Ahora, creo que el paso siguiente, será sustituir los ángulos en radianes en ángulos

sexagesimales.

¿Por qué? Porque si los ángulos son conocidos, que por cierto lo son, podemos sustituir

el valor de su razones, y efectuar operaciones numéricas.

Vamos a sacar factor común, dentro del paréntesis:


90.- Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo

α

a).-

151

La pretensión de este ejercicio, es que nos

recordemos de las relaciones entre ángulos

cuyo valor sea 180º-

b).-

Al revés que el apartado anterior, es para

recordar las relaciones entre ángulos cuyo

valor sea 180º+

c).-

Como 2П equivalen a 360º, igual a 0º, sirve

para recordarnos las relaciones entre ángulos

cuyo valor sea opuesto al 1º cuadrante, es decir,

que se encuentren situados en el 4º cuadrante.

91.- Demostrar que:

Me temo, que estamos delante de otro problema, en donde vuelven a querer que

recordemos las fórmulas del ángulo mitad, que hagamos “mogollón” de

transformaciones y que nos embarullemos con las operaciones.

Vamos a procurar no liarnos y hacer el menor número de operaciones, para

demostrarlo, lo antes posible.

Siguiendo con nuestro método establecido, volvemos a escribir la fórmula de la

tangente del ángulo mitad.

152

Creo que es el momento de sustituir el valor de estas fórmulas en el enunciado:

Vamos a continuar haciendo operaciones.

Creo que es un buen momento para simplificar, de

esta forma, nos quedará más sencilla la expresión



correspondientes tan solo al 1º cuadrante.

Así me gusta todas/todos tan valientes. No hace falta que se escape todo el

personal. No va a pasar nada de nada. Tranquissssss

153

¿A ver quién tiene miedo, a resolver un sistema de ecuaciones?

¿Algunaaaaaaaaaaaaaaaaa ó bien algunooooooooooooooooooooooo? Comenzamos yaaaaa.

Y comenzamos con criterio, fijándonos que es lo más sencillo que podemos hacer.

Por ejemplo vamos a fijarnos en la 2ª ecuación:

¿Qué observamos? Que tenemos una diferencia de dos ángulos, y lo debemos de

transformar en un producto, para comenzar a resolver.

Como siempre con nuestro método, escribimos la fórmula para a continuación sustituir:

Veis como no hay nunca ni miedos, ni misterios. Tan solo usar la cachola, e ir a

nuestro “almacén particular de conocimientos ”memoria” y ver que es lo que mejor se

nos adapta en cada momento. No hay nada másssssssssssssssssssssssssssssss que ser

lógico y gastarse un poquito.

Vamos a comenzar a sustituir valores:

Vamos a comenzar con nuestros “trucos de magia personal”

Echad un vistazo a la primera ecuación: x + y = 120º

Ahora nuestro”TRUCO”: vamos a sustituir aquí mismo:

NNoo mmiirree hhaacciiaa aarrrriibbaa..

NNooss llaarrggaammooss aa ttooddaa

ppaassttiillllaa..

EEssee hhoommbbrree eessttáá llooccoo,,

¿¿HHaa vviissttoo eell eennuunncciiaaddoo??

CCoorrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrraaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa……………………..

154

¿Conocemos cuando vale el coseno de 60º? Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii, ¿cuánto vale?

Ahora vamos y lo sustituimos en la fórmula a la que habíamos llegado. Nos queda:

Creo que es un buen momento, para simplificar, y simplificar cálculos al mismo tiempo

que evitamos errores. Pero antes, vamos a ordenar un poquito, para que nos sea más

fácil de ver este paso:

Mirad bien: Estamos viendo el seno de una expresión igual a ½

¿Conocemos de cuánto es un ángulo, cuya razón vale ½?

Siiiiiiiiiiiiiiiiiiii.

Entonces vamos a escribir este cambio, y veamos lo que nos va quedando:

¿Qué os pareció a donde hemos llegado? Seguro que nadie contaba con esto, pero

nadie nació aprendido. Nos tenemos que ir familiarizando con estos pasos.

Ahora estamos en condiciones de establecer un sistema de 2 ecuaciones con 2

incógnitas para resolver,

Y el nuevo sistema, al cual hemos llegado es el siguiente:

Nos queda así de sencillo. Por tanto deberemos ir siempre en

Esta dirección. Ahora vamos a resolver. Para ello, nos basta

con sumar ambas ecuaciones, para poder dar la primera respuesta:

155

Por tanto: 1ª Solución:

Ahora es el momento de sustituir este valor, en una de las ecuaciones del sistema y

dar la segunda solución.




correspondientes tan solo al primer cuadrante:

Creo que ahora, ya nadie se tiene porque asustar para resolver sistemas.

En este caso, quieren que nos demos cuenta que las transformaciones que tengamos

que hacer sean expresar una incógnita en función de otra.

Partiendo como siempre de la razón fundamental de la trigonometría:

Ahora vamos a sustituir estas fórmulas en el sistema dado, a ver que nos queda:

Ordenemos este lío, lo primero:

Vamos a sumar este sistema, al cual hemos llegado:




Sustituyamos por ejemplo en la segunda ecuación dada:

156


La solución del coseno = -1 No nos vale, porque el coseno es negativo en el 2º

cuadrante, y en el enunciado tan solo nos piden soluciones referidas al 1º.

Ejercicio resuelto.


correspondientes tan solo al primer cuadrante:

Este es muy sencillito, pero tiene un “truco inicial” ¿A ver si nos damos cuenta rápido

de cuál es?

Ojito, eh!!!!!!!!!!!!!!!!!!, que nadie se confunda, y piense

Que los ángulos miden 45º cada uno, NOOOOOOO.

complementarios: Son aquellos ángulos, que sumados

entre si, da como resultado 90º

Vamos entonces, a efectuar esta sustitución en el sistema dado:

Releches, ya se han dado

cuenta del truco.

Si x + y = 90º, los ángulos son

complementarios. Por tanto

sen x = cos y

157






Ejercicio resuelto.

95.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Bueno, este ya es un poquito más difícil. Aquí quieren que hagamos un montón de

transformaciones y de operaciones, para que nos liemos como pulpos.

Parece que hay que echar una mano. Estáis muy

sorprendidos por lo que se puede observar.

¿Despejamos cos x en la 2ª ecuación?

cos x = 1 – cos y

Hay otro pequeño “truco” que ya podemos ir viendo, y proceder en consecuencia, y es

que vamos a trabajar con una ecuación, y para ello, necesitamos tener a ser posible,

tan solo una incógnita.

Creo que ya estáis pensando en la fórmula fundamental de la trigonometría, para dar

una razón en función de otra.

Por ejemplo:

Por tanto: Ahora sustituimos dentro de la raíz el cos2 x

Vamos a sustituir este valor en la primera ecuación:

158

Tenemos que prestar mucha atención y andar con cuidado, para no equivocarnos.

Estamos trabajando con radicales. Es un poco liante.

Por tanto vamos a pasar todos los términos con raíces al 2º miembro de la ecuación.

Siempre que tratemos de quitar radicales, debemos en principio a elevar al cuadrado,

ambos miembros de la ecuación.

¿Qué tal vais? Esto lo encuentro un lío horroroso y aburrido. Pero tenemos que seguir,

ahora no es el momento de “achicarse”

Ahora un AVISO y un truco para todas/todos, vamos a ordenar ”con coherencia” el 1º

miembro de esta ecuación. Nos va a “enseñar” algo importante, ya veréis:

Si miráis con atención, ¿qué veis?

¿Qué carga lleva el carro?

Efectivamente, la fórmula de la

razón fundamental de la

trigonometría.

Vayamos pues a sustituir este valor en la fórmula que tenemos a la vista:

En el primer miembro, vamos a sacar factor común 2:

Otro “pequeño truco” vamos a multiplicar por (-1) el primer miembro de la ecuación:

159

Todas y todos tranquilas/tranquilos, ahora veremos el porque de esta multiplicación:

Es el momento de “simplificar”, tenemos (-2) en ambos miembros de la ecuación. ¿Os

dais ahora cuenta del porque de este cambio de signo?.

Siempre que tratemos de quitar radicales, debemos en principio a elevar al cuadrado,

ambos miembros de la ecuación.

Por fin, hemos llegado a una expresión lógica, para poder resolver. Basta con buscar

las soluciones a esta ecuación de 2º grado, para dar la 1ª respuesta del ejercicio.

¿Cuál es el ángulo, que tiene por razón trigonométrica como coseno el valor calculado?









96.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

160

Este es otro ejercicio parecido al anterior, es decir hay un pequeño truco, que

podemos ver si efectuamos una suma de ambas ecuaciones. Vamos a ello:

Si miráis con atención, ¿qué veis?

¿Qué carga lleva el carro?

Efectivamente, la fórmula de la

razón fundamental de la

trigonometría.

Vamos a sustituir este valor en la expresión, por nosotros obtenida, a ver como

queda:

Nos encontramos con el mismo dilema de siempre, tenemos una ecuación con 2

incógnitas. ¿Qué haremos? Lo de siempre, es decir recurrir a la fórmula fundamental

de la trigonometría, para expresar una razón en función de otra.






Sustituyamos por ejemplo en la primera ecuación dada:

161

Tenemos que acordarnos de que habíamos llegado a la solución de:

Nos conviene de esta forma, para sustituir.

¿Cuál es el ángulo, que tiene por razón trigonométrica como seno el valor calculado?



Tan solo damos soluciones referentes al 1º cuadrante.

Ejercicio resuelto.

97.- Demostrar que: tg x =

Como siempre, lo que primero haremos, será, memorizar las fórmulas de la tangente

del ángulo mitad.

Ahora vamos a sustituir estos valores obtenidos, en el enunciado:

Vamos a comenzar haciendo operaciones con el

denominador de esta ecuación

Seguimos haciendo operaciones

en el denominador.

162

Ahora vamos a efectuar la operación

de producto de medios igual a producto

de extremos. Además simplificamos

Simplificando:

Ahora es cuando hacemos ese famoso

producto de medios igual al de extremos

Ahora es el momento de estar muy atentos

con estos pasos que vamos a dar.

Ojito, eh!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! de momento es la misma expresión que la anterior, tan solo, la

hemos colocado a nuestra manera, porque nos interesa.

¿Por qué nos interesa? Porque como somos juguetonas juguetones vamos a vacilar un

ratito con ella.

Vamos a introducir(tranqui todo el personal) el término ( 1 + cos x) dentro de la raíz.

Para ello recordar: elevamos esta expresión al cuadrado, y nos quedaría, antes de

hacer la operación:

Este es el término(visto) para introducir en la raíz:

Empezamos con nuestros experimentos particulares:

Este es el truco del ejercicio.

163

Parece ser que ya empezamos a ver el posible final.

De entrada podemos simplificar. Vamos a efectuarlo rápidamente, de esta manera, los

cálculos van a ser más sencillos y con menos posibilidades de error.

Ahora, la pregunta de “marras” ¿alguna o alguno de vosotros, sabe lo que hay en el

interior de la raíz? Pensarrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr un ratito.

Andaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa……

Por tanto:


Es difícil y liante, pero una vez se sepa hacer, ya no tendremos casi ningún problema

para afrontar lo que nos echen.

98.- Simplificar:

1º.- Vamos a comenzar por ejemplo, comenzando por el divisor, es decir por el

segundo término de la expresión.

Fórmula relación

fundamental de la

trigonometría

164

Muy despacito para hacer las transformaciones oportunas y procurar no equivocarnos y

alertas, para dar esos “cambios”

Lo primero, para no andar dando palos de ciego:

Fórmula fundamental de la trigonometría:

Vamos a comenzar a operar con ese divisor de marras, tan solo con el numerador,

puesto que al denominador no le vamos a tocar:

¿Se nos ocurrirá algo importante, para poder seguir?

Claro, sustituimos el 2º término de este producto, ya que es la forma de la relación

fundamental de la trigonometría y vale 1.

Entonces, nos queda:

Bien, listooooooooooooo aparcamos aquí, hasta más tarde.

2º.- Vamos a trabajar con el primer término, es decir con el dividendo. No olvidemos

que es una división.

Sabemos algo importante: La cosecante es la inversa del seno. Vamos a efectuar esta

transformación, porque nos conviene y mucho, por cierto.

Bien, muy bien. Vamos a hacer una cosita, vamos a sustituir este valor en el primer

término de la expresión dada y comenzar a operar con él.

Cojonudamente. Y ahora os preguntaréis, y ¿ahora cómo seguimos comiendo todo este

melocotón?

Socorro, no se continuar, llamen a Protección Civil, para que me

ayudennnnnnnnnnnnnnnnnnnnn. Mis neuronas no dan para másssss

165

Buenooooooooooooooooooo, tranquissssssssssssssssss todas y todos. Vamos a echaros

una manita, no queremos que haya jamacucos ni yu-yus.

No hay que ser ni acojonadas/acojonados sin tampoco es necesario, ser unos:

Uuyyyyyyyyy que cara de buenas/buenos tienen.

Bueno, sin cachondeos, vamos a intentar seguir con esta historieta.

Aquí tenemos que ser un poco vivas/vivos para dar el paso siguiente el que más nos

interese. Ahí va el truco:

¡Fijaos! Tenemos un 2º término en el numerador que es – 1.

Entonces, de forma rápida, pensemos en la fórmula fundamental:

¿O no es así? ¿A alguien le queda alguna dudaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?

Lo vamos a sustituir en el numerador y la expresión anterior, para que la veáis nos

queda:

Vamos a hacer operaciones:

Bueno, lo que hemos llegado después de andar dando trasquilazos por todos lados.

Cono, se me ocurre una idea nueva. Vamos a mirar el apartado 1º como nos había

quedado aquella fórmula que habíamos aparcado.

Y resulta que era:

Buenooooooooooooooooooooo, buenoooooooooooooooooooooooooooooooo,

buenooooooooooooooooooooooooooooooooo, vamos a igualar ambos términos, con las

fórmulas finales a las cuales hemos llegado:

166

Ahora mismo vamos a quitar denominadores y, obtenemos:

Y después de tantas vueltas y mariconadas, nos encontramos, que todo ese girigay que

nos montaron al principio, vale 1. Hay que tener mala leche, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhh.

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Matematicas Resueltos (Soluciones) Trigonometria Nivel II 2º Bachillerato