BRYAN DAVID MORALES STACEY

3ro BACHILLERATO “A”

PRESENTACIÓN

El Plan Decenal de Educación, aprobado mediante Consulta Popular el 26 de noviembre 2006 con el 66% del total de votos, marcó desde entonces la agenda para la Política Pública en el Ministerio de Educación. La estrategia clave para la consecución de las Políticas del Plan Decenal de Educación referentes a la Universalización de la Educación General Básica de primero a decimo grados, al incremento de la población estudiantil del Bachillerato hasta alcanzar al menos el 75% de los jóvenes en la edad correspondiente, a la tasa neta de asistencia a Educación General Básica que alcanzo el 96,1% a la tasa neta de asistencia de Bachillerato que ascendió a 65,8% frente al 51,2%, está necesariamente ligada a la fuerte inversión que el gobierno Nacional ha realizado los últimos años en educación. Con el presupuesto asignado, el Ministerio de Educación despliega, desde el año 2007, varios programas dirigidos a la eliminación de las barreras económicas del acceso a la educación de los niños, niñas y adolescentes. Uno de estos programas es el referente a la entrega gratuita de textos escolares a los estudiantes y docentes Educación General Básica, Bachillerato General Unificado de la oferta intercultural e intercultural bilingüe, que asisten de manera regular a las instituciones fiscales, fiscomicionales y municipales en todo el país.

APERTURA DE LA UNIDAD

Los módulos comienzan con una doble página de

introducción que despierta la curiosidad acerca de los

temas que serán estudiados.

¿Qué sabes?

¿Qué aprenderás?

Objetivos educativos del módulo

Activación de conocimientos previos

Iniciemos

El Buen Vivir

CONTENIDO

1ro._ Probabilidad

* Repaso Probabilidad

* Función de Probabilidad Conjunta

2do._ Teorema de Bayes

Paradoja del cuervo

Inferencia bayesiana

3ro._ Eventos – Sucesos

Evento simple o suceso elemental

Otros sucesos

4to._ Aplicación a las TIC

Resumen

El uso de las TIC en educación

Conclusiones

Bibliografías

Fecha : 15/07/2015

Probabilidad REPASO DE LA PROBABILIDAD

La definición de probabilidad surge debido al deseo del ser humano por conocer con certeza los eventos que sucederán en el futuro. Es por eso que a través de lahistoria se han desarrollado diferentes enfoques para tener un concepto de la probabilidad y deter-minar sus valores.

El diccionario de la Real Academia Española define «azar» como una casualidad, un

caso fortuito, y afirma que la expresión «al azar» significa «sin orden».1 La idea de Prob-

abilidad está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras

posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas. Pierre-Simon La-

place afirmó: "Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones sobre jue-

gos de azar haya llegado a ser el objeto más importante del conocimiento humano".

Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte

necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito.2

Según Amanda Dure, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en

latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la

opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas

emprenderían o mantendrían, en las circunstancias.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas

casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango es-

tadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dumpster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mí-nimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.[cita requerida]

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una

fracción y no en porcentajes[cita requerida], por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra

parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se

denota con la letra q

¿Qué Sabes?

Antiguamente la pro-

babilidad esta liga-

da a los juegos de

azar por lo que la

probabilidad resul-

ta de algún mito

que las personas

nos creamos en

nuestro subcons-

ciente a tal punto

que pensamos que

esto nos puede dar

una información

exacta de algunos

eventos que se nos

presenten .

Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestarusando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeñ-os tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabil-ísticas un tema político.

Cálculo de probabilidades

Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:

Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles

El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.

Veamos algunos ejemplos:

a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")

Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")

Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %

b) Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado:

Casos favorables: 1 (que salga "3")

Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")

Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 %

c) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un dado:

Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados "1, 2, 3, o 4")

Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")

Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %

d) Calcular la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:

Casos favorables: 1 (sacar el número 76)

Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)

Probabilidad = (1 / 100 ) * 100

"Las matemáticas son una ciencia exacta salvo cuando te equivocas.”

En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (cara o cruz), pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.

Lo mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6, pero no sabemos cual de ellos saldrá.

Los resultados de estas acciones dependen del azar:

Sabemos cuales pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.

La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé.

Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos

una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

El teorema de Bayes, en la te-oría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes ( 1702-1761)1 en 1763,2 que expre-sa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos ma-

temáticos, el teorema de Bayes es de enor-

me relevancia puesto que vincula la proba-

bilidad de A dado B con la probabilidad de

B dado A. Es decir que sabiendo la proba-

bilidad de tener un dolor de cabeza dado

que se tiene gripe, se podría saber (si se

tiene algún dato más), la probabilidad de

tener gripe si se tiene un dolor de cabeza,

muestra este sencillo ejemplo la alta rele-

vancia del teorema en cuestión para la

ciencia en todas sus ramas, puesto que

tiene vinculación íntima con la com-

prensión de la probabilidad de aspectos

causales dados los efectos observados.

El teorema de Bayes es válido en todas las

aplicaciones de la teoría de la proba-

bilidad. Sin embargo, hay una controver-

sia sobre el tipo de probabilidades que

emplea. En esencia, los seguidores de la

estadística tradicional sólo admiten proba-

bilidades basadas en experimentos repeti-

bles y que tengan una confirmación

empírica mientras que los llamados es-

tadísticos bayesianos permiten proba-

bilidades subjetivas. El teorema puede

servir entonces para indicar cómo debe-

mos modificar nuestras probabilidades

subjetivas cuando recibimos información

adicional de un experimento. La estadísti-

ca bayesiana está demostrando su utilidad

en ciertas estimaciones basadas en el

conocimiento subjetivo a priori y el hecho

de permitir revisar esas estimaciones en

función de la evidencia empírica es lo que

está abriendo nuevas formas de hacer

conocimiento.

TEOREMA DE BAYES

3

"las matemáticas parecen dotar a uno de un nuevo sentido."

La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conoci-miento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso. Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, combinando información ex-presada en términos de densidad de probabilidad proveniente de distintos sensores.

Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.

Como aplicaciones puntuales:

1. El diagnóstico de cáncer.

2. Evaluación de probabilidades durante el desarrollo de un juego de bridge por Dan F.

Waugh y Frederick V. Waugh.

3. Probabilidades a priori y a posteriori.

Un uso controvertido en La ley de sucesión de Laplace

PARADOJA DEL CUERVO

INFERENCIA BAYESIANA

El teorema de Bayes es válido en todas las

aplicaciones de la teoría de la proba-

bilidad. Sin embargo, hay una controver-

sia sobre el tipo de probabilidades que

emplea. En esencia, los seguidores de la

estadística tradicional sólo admiten proba-

bilidades basadas en experimentos repeti-

bles y que tengan una confirmación

empírica mientras que los llamados es-

tadísticos bayesianos permiten proba-

bilidades subjetivas. El teorema puede

servir entonces para indicar cómo debe-

mos modificar nuestras probabilidades

subjetivas cuando recibimos información

adicional de un experimento. La estadísti-

ca bayesiana está demostrando su utilidad

en ciertas estimaciones basadas en el

conocimiento subjetivo a priori y el hecho

de permitir revisar esas estimaciones en

función de la evidencia empírica es lo que

está abriendo nuevas formas de hacer

conocimiento.

¿QUÉ APRENDERAS?

Aprenderás a asociar la

vida cotidiana con los

juegos de azar en fun-

ción de lo que vivimos

demostrando formulas

de aprendizaje que nos

ayude a valorar la parte

compleja que tiene es-

tos juegos con la vida

practica para que en el

futuro podamos esta-

blecer una gran dife-

rencia con los juegos de

azar y la vida diaria.

4

EJEMPLOS DE INFERENCIA

Un ejemplo de inferencia bayesiana es el siguiente:

Durante miles de millones de años, el sol ha salido después de haberse puesto. El sol se ha puesto esta noche. Hay una proba-bilidad muy alta de (o 'Yo creo firmemente' o 'es verdad') que el sol va a volver a salir mañana. Existe una probabilidad muy baja de (o 'yo no creo de ningún modo' o 'es falso') que el sol no salga mañana.

La inferencia bayesiana usa un estimador numérico del grado de creencia en una hipótesis aún antes de observar la evidencia y calcu-la un estimador numérico del grado de creencia en la hipótesis después de haber observado la evidencia. La inferencia bayesiana gen-eralmente se basa en grados de creencia, o probabilidades subjetivas, en el proceso de inducción y no necesariamente declara proveer un método objetivo de inducción.

DEFINICIONES FORMALES

A pesar de todo, algunos estadísticos bayesianos creen que las probabilidades pueden tener un valor objetivo y por lo tanto la inferen-cia bayesiana puede proveer un método objetivo de inducción. (Ver método científico.) Dada una nueva evidencia, el teorema de Bayes ajusta las probabilidades de la misma de la siguiente manera:

donde

representa una hipótesis, llamada hipótesis nula, que ha sido inferida antes de que la nueva evidencia, , resultara disponible.

se llama la probabilidad a priori de .

se llama la probabilidad condicional de que se cumpla la evidencia si la hipótesis es verdadera. Se llama

también la función de verosimilitud cuando se expresa como una función de dado .

se llama la probabilidad marginal de : la probabilidad de observar la nueva evidencia bajo todas las hipótesis mutua-mente excluyentes. Se la puede calcular como la suma del producto de todas las hipótesis mutuamente excluyentes por las corre-

spondientes probabilidades condicionales: .

se llama la probabilidad a posteriori de dado .

El factor representa el impacto que la evidencia tiene en la creencia en la hipótesis. Si es posible que se observe la evidencia cuando la hipótesis considerada es verdadera, entonces este factor va a ser grande. Multiplicando la probabilidad a priori de la hipótesis por este factor va a resultar en una gran probabilidad a posteriori dada la evidencia. En la inferencia bayesiana, por lo tanto, el teorema de Bayes mide cuánto la nueva evidencia es capaz de alterar la creencia en la hipótesis.

OBJETIVOS EDUCATI-

VOS.

1.-Analizar los juegos de azar

en base a encuestas a los

estudiantes para comprobar

el grado de conocimientos

que adquieren a lo largo de

su vida estudiantil buscando

el beneficio para si mismo y

la comunidad en la que se

desarrolla .

2.-Utilizar los juegos de azar

con un medio de interactuar

estudiantes con docentes

para lograr un conocimiento

objetivo y de fácil conoci-

miento que nos ayuden a

desarrollar nuestra capaci-

dad intelectual.

EVENTOS—SUCESOS

Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.

Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:

Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {1, 2, 3, ...} (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.

Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s, "sale cruz"), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos

elementales son todos los conjuntos {x}, donde x ∈ .

En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (cara o cruz), pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.

Lo mismo ocurre cuando lanza-mos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6, pero no sa-bemos cual de ellos saldrá.

Los resultados de estas acciones dependen del azar.

OTROS SUCESOS

EVENTOS SIMPLES O SUCESOS ELEMENTALES

Un evento compuesto es un conjunto .

Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro o cierto, y al segundo, evento imposible.

Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos excluyentes.

Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra),

y un evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.

6

1.- Sucesos

Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.

Distinguimos 3 tipos de sucesos:

Suceso posible: es un resultado que se puede dar.

Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.

Suceso imposible: es un resultado que no se puede dar.

Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).

Suceso seguro: es un resultado que siempre se va a dar.

Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).

2.- Probabilidades de los sucesos

Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:

Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:

Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz".

Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.

Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.

RESUMEN

Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político. Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los conflictos.

Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combi-

nar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consigui-

ente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se calculan

los pronósticos y las probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especial-

mente en una democracia.

Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fia-bilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.

Se puede decir que no existe una cosa llamada probabilidad. También se puede decir que la proba-

bilidad es la medida de nuestro grado de incertidumbre, o esto es, el grado de nuestra ignorancia

dada una situación. Por consiguiente, puede haber una probabilidad de 1 entre 52 de que la primera

carta en un baraja sea la J de diamantes. Sin embargo, si uno mira la primera carta y la reemplaza,

entonces la probabilidad es o bien 100% ó 0%, y la elección correcta puede ser hecha con precisión

por el que ve la carta. La física moderna proporciona ejemplos importantes de situaciones deter-

ministas donde sólo la descripción probabilística es factible debido a información incompleta y la

complejidad de un sistema así como ejemplos de fenómenos realmente aleatorios.

PENSAMIENTO MATE-

MÁTICO.

De alguna manera, la matemática

es la única actividad humana

infinita. Es concebible que even-

tualmente la humanidad conozco

toda la biología o la física. Pero

seguramente la humanidad nunca

podrá descubrir toda la matemáti-

ca, porque el tema es infinito. Los

números mismos son infinitos.

Ésta es la causa por qué la ma-

temática es realmente mi único

interés.

Para aquellos que no conocen las

matemáticas, es difícil sentir la

belleza, la profunda belleza de la

naturaleza... Si quieres aprender

sobre la naturaleza, apreciar la

naturaleza, es necesario aprender

el lenguaje en el que habla.

Título que describe la imagen o el gráfico

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La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dumpster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.[cita requerida]

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes[cita requerida], por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q

Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.

REGLA DE LA ADICIÓN

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no ex-cluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes.

Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos objetos son seleccionados sin reemplazamiento (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cúal es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos?

Solución:

Sea los eventos

A1 = {primer objeto defectuoso}, A2 {segundo objeto defectuoso}

entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:

P(A1) = 20/100 ; P(A2/A1) = 19/99

EL BUEN VIVIR

El sector avícola alcanza

alrededor de 25 mil em-

pleos directos y se calcula

que genera 500 mil pla-

zas si se toma en cuenta

toda la cadena producti-

va . Además, el sector

suministra el 100% de la

demanda de carne de po-

llo y de huevos del merca-

do nacional, razón por la

cual el país no importa

esos productos.

CONCLUSIONES

La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.

1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. 2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. 3. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es es-

tacionario. Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es: P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos. En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m

Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Cálculo de Probabilidades es de 0,15.

Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 de ellos?

P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 15!/(10!(15−10)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10−6 Generalmente existe un

interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso

debemos tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1)

P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n)

P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m)

P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n)

MINISTERIO DE EDUCACION

Transformar la educación, misión de todos

“Agradecimiento”

En primer lugar debo agradecer a mi querida institución

Unidad Educativa Nicolás Infante Díaz por la que he llegado a

concluir este trabajo a mi encomendado para llegar hacer una

persona con objetivos y metas que cumplir.

De la misma manera agradezco a mi maestra MRS. Isabel

Badillo docente de esta noble institución ya que por medio de

ella hemos podido obtener los conocimientos requeridos para

realizar dicho trabajo.