Upload
christianaagaard
View
360
Download
45
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Pis god
Citation preview
l. udgave Erhvervsskolernes
TEKNISK
lEMATIK P. MADSEN
FORMELS LIN G
Erhvervsskolernes h Ja
Teknisk matematik - Formelsamling 7. udgave, l. oplag © Erhvervsskolernes Forlag 2007
Forlagsredaktør: Michael B. Hansen, [email protected] Omslag: Kurt Latt/Stig Bing Grafisk tilrettelæggelse: Kurt Latt Dtp: Ebbe Lastein Tryk: Narayana Press ISBN: 978-87-7881-911-6
Bestillingsnummer: 31259-1
Bogen er sat med Palatino Bogen er trykt på 115 g Silk
Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Alle rettigheder forbeholdes.
Erhvervsskolernes Forlag Munkehatten 28 5220 Odense SØ [email protected]
www.ef.dk Tlf. +45 63 15 17 00 Fax +45 63 15 17 28
Cl ...J
o I Cl z
INDHOLD Tal og algebra . ...... .. ... .......... .. . . .... . .. . . . . ... 5
Addition Subtraktion Multiplikation Division - Brøkregning Potens Rod
Ligninger og uligheder .. . .......................... .. 7 Regneregler for løsning af ligninger 2ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden 2. gradsligningen Numerisk værdi Intervaller Regneregler for løsning af uligheder
Geometri . .... ... . ................ ... ............... . 9 Retvinklet trekant Ensvinklede trekanter Højder i en trekant Medianer i en trekant Vinkelhalveringslinjer i en trekant Trekantens indskrevne cirkel Trekantens omskrevne cirkel Firkanter Polygoner
Trigonometri ................ ........ . ... .. ...... .. . 12 Den retvinklede trekant Den vilkårlige trekant
Cirklen ...... . . ..... .. ....... ........... ...... . .... . 13 Omkreds - buelængder Arealer mv.
Overflader - urlfoldninger . ... . .... . . . . ..... .. . .. . . . .. 15 Overflader mv.
Rumfang . .............. ..... . ........... .......... . 17 Retvinklet prisme Kasse Cylinder Cylinderrør Pyramide Kegle Keglestub Guldins l. regel Guldins 2. regel Kugle Kugleudsnit Kugleafsnit
Analytisk plangeometri. . . ... ....... ......... .. . . .... 20 Plangeometri
Vektorer i planet . ........ . .. . .. ..... . ........... . . . . 21 Vektor koordinater Vektorkoordinater i et koordinatsystem Multiplikation af skalar med vektor Addition af to vektorer Vektorer i ligevægt Subtraktion af vektorer Enhedsvektor Skalarprodukt Tværvektor Trekantens tyngdepunkt Trekantens areal
Projektion Afstand fra punkt til ret linje
Funktioner . .. . . . ............. . .. . . . ........ . .. .. .. . 24 Definition på en funktion Lineær funktion Funktioner af 2. grad (parabler) Sammensatte funktioner Omvendte funktioner Proportionalitet
Eksponentielle funktioner . ........ . ..... . ...... ..... 25 Logaritmefunktioner Eksponentialfunktioner
Trigonometriske funktioner ......... ....... . . ....... 26 Trigonometriske definitioner og grundformler Ad di tionsforrnlerne Formler for den dobbelte vinkel Svingninger
Differentialregning .. . .. . ......... .. . ..... . .... . . ... 28 Symboler for differentialkvotient Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter Bestemmelse af lokale maksimums- og
minimumspunkter Implicit differentiation
Integralregning . . . . . ............ . . ... ......... . . ... . 30 Integral- stamfunktion - integrationsprøven Bestemmelse af stamfunktioner Regneregler for integration Bestemt integral Partiel integration (delvis integration) Arealberegning Rumfangsberegning
Vektorer i rummet ..... . ...... . ......... . .. . . . .. . .. . 32 Vektorkoordinater og vektorlængder Enhedsvektor Skalarprodukt Projektion Parameterfremstilling af re t linje Vektorprodukt Parameterfremstilling af plan Planets ligning på normalform Afstand e mellem punkt P0 og plan a Afstand e mellem punkt Po og linje Kugle med radius r og centrum i (a,b,c)
Vektorfunktioner . .. ... ....... .. . .......... . .... .... 34 Vektorfunktioner Bevægelser
Grænseværdier . . . ...... . ..... ..... .. ..... .. ... .. . . . 35 Regneregler mv. for grænseværdier
Funktionsundersøgelse ............................. 36 Definitionsmængde Skæringspunkter med x-aksen Skæringspunkter med y-aksen Monotoniforhold Asymptoter Vendepunkter Værdimængde
Differentialligninger . . .. .... . . . . . ... ..... . .. ........ 38 Ligningstype / Løsning
Matematiske tegn og symboler . ... .... . ........ .. .. .. 39
Tal og algebra
Addition
i+f=c
a+b=b+a a + (b + c) = a +b+ c
Subtraktion
a-b=c
a- (b + c) = a- b - c
Multiplikation
a· b= c l l
a·b=b · a
a· a· a· a= a4
a(b + c) = ab + ae a(b - c)= ab- ae (a+ b)(c +d)= ae+ ad+ bc + bd
(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a- b)2 = a2 + b2 - 2ab
(a+ b)(a- b)= a2 - b2
Division- Brøkregning
a :b= c
l l
r-~ = c b l
a a·c - = b b · c
a a:c - = b b:c
~+~+~ a+b+c =
n n n n
Sum Addender
Addendernes orden er ligegyldig. En parentes med fortegn + kan hæves og sæt-tes, uden at leddenes fortegn ændres.
Differens
En parentes med fortegn- kan hæves, når leddene i parentesen ændrer fortegn.
Produkt Faktorer
Faktorernes orden er ligegyldig
Regneregler
"Tre vigtige formler"
Kvotient Divisor Dividend
Kvotient Nævner Tæller
Regneregler
..., )> r-
c c;; )> r-c;; m o:l Al )>
...J
<(
a a -·c=-b " b . c
a c a·c b"d=b-·-d
Potens
a· a· a· a= a4
-n a l n
a aP . a q= aP+q
:: = ( ~y (a· b)P = aP. bP
aP = ap - q
a q
(aP)q = aP · q
Rod
~ = nJa .nJb
Regneregler
Regneregler
Regneregler
Regneregler for løsning af ligninger
Du må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at skifte fortegn på leddet.
Du må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet - dog ikke med O. Du må dividere på begge sider af lighedstegnet med samme tal- dog ikke med O.
Du må kvadrere på begge sider af lighedstegnet.
a· b= O a = O eller b = O
a b
= c d
ad= bc
Nul-reglen: Et produkt er O, hvis mindst en af faktorerne er O.
Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes ligningen en proportion. I en proportion må du gange over kors.
2 ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden
a1x + b1y=c1 azx + bzy= cz
D= al bl
az bz
D = al cl
y az cz
D = cl bl
x cz bz
D x x = og
D
=al bz- azbl
= alcz- azcl
=cl bz- czbl
D y = =:..I
D
G L
L G n A
c G c r
G J n c n A
~ UJ o UJ I 0 ...J
::::>
0 o ~ UJ
0 z z 0 ...J
•
2.gradsligningen
ax2 + bx +c= O
x = -b ± J b2
-4ac 2a
d= b2 - 4ac
Numerisk værdi
lal = { a, når a ~ O - a, når a < O
Intervaller
{x E R ib < x < a } = l b; a [
{x E Rib < x s a} = ]b ; a]
{x E R ia s x } = [a; ro [
{x E R lx< a} =] - ro ;a[
Regneregler for løsning af uligheder
- Du må flytte et led fra den ene side af ulighedstegnet til den anden side ved at skifte fortegn.
- Du må gange med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.
- Du må dividere med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.
- Du må gange med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet.
- Du må dividere med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet.
2.gradsligningens løsningsformel
Diskriminanten, d Hvis d = O, har 2.gradsligningen en rod. Hvis d > O, har 2.gradsligningen to rødder. Hvis d < O, har 2.gradsligningen ingen rødder.
x b a
x b a
x a
x a
Geometri
Retvinklet trekant
I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kateternes kvadrater.
Ensvinklede trekanter
For ensvinklede trekanter gælder:
al = bl = cl a2 b2 c2
Højder i en trekant
En højde i en trekant er en linje, der udgår fra en vinkelspids og står vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse.
Medianer i en trekant
En median i en trekant er en linje, der forbinder en vinkelspids med den modstående sides midtpunkt.
Medianerne går gennem samme punkt og deler hinanden i forholdet 1:2.
Vinkelhalveringslinjer i en trekant
En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje, der halverer en af trekantens vinkler.
Trekantens indskrevne cirkel
Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel.
G r c .. < ~
B
c a
~ A/L..__----'..l___"b-------'""' C
A~~ b c
B
~ A C
•
Trekantens omskrevne cirkel
Midtnormalernes skæringspunkt er cen-trum for trekantens omskrevne cirkel.
Firkanter
Kvadrat: En firkant, hvor alle vinkler er
·D rette, og alle sider lige lange. Areal = a2
a
Rektangel: En firkant, hvor alle vinkler er rette. Diagonalerne er lige lange og halve- {><l rer hinanden. Areal = a · b
b
Rombe: En firkant, hvor alle sider er lige
A~l'"'~ c lange. De modstående vinkler er lige store. Diagonalerne halverer hinanden, står vinkelret på hinanden og halverer
~v rombens vinkler.
Areal= ~ . d1 . d2
Parallelogram: En firkant, hvor de modstå- B c ende sider er parallelle og lige lange. De
A\/ modstående vinkler er lige store, og dia-gonalerne halverer hinanden. Areal= g. h
A D g
Trapez: En firkant, hvor to sider er paral-B c
l elle.
/f \ Areal = ~ · h · (BC + AD)
A D
•
Polygoner
Vilkårlige polygoner: En vilkårlig n-kant kan inddeles i n - 2 trekanter. Vinkelsummen = (n- 2) · 180°
Regulære polygoner: En regulær polygon er en n-kant med lige store sider og lige store vinkler. Alle regulære polygoner har en indskreven og en omskreven cirkel. Forbindes centrum med polygonens vinkelspidser, fremkommer n ligebenede trekanter.
v= 360°
n
G r ( .. < ..
•
Ck:: 1-UJ
~ o z o 0 Ck:: 1-
•
Trigonometri
Den retvinklede trekant
modstående katete sinv = hypotenusen
cos v _ hosliggende katete - hypotenusen
tanv = modstående katete hosliggende katete
Areal = ! · h · c = ! · a · b 2 2
Den vilkårlige trekant
a sin A
cos A
= b sin B
c sin C
Areal = ! · a · b · sin C 2
Areal a·b · c 4·R
Areal = r· s
2 ·R
Areal = J s · (s - a) · (s - b) · (s - c)
s = a+b+c 2
R: Radius i trekantens omskrevne cirkel. r: Radius i trekantens indskrevne cirkel.
B
c a
AL.,_-----=------------' C b
B:~-------~
c
Cirklen
Omkreds - buelængder
0=n · d=2·n ·r
b
Arealer mv.
Cirkel:
Areal= n·/
Cirkelring:
{
1t 2 1t 2
Areal = 4 . D - 4 . d
2 2 n · R -n·r
i--- --D= 2 · R------+1
(
;;t i i n L
z w ...J
~ 0::
u
•
Cirkeludsnit:
2 n· r ·v
Areal= 360
o
Cirkelafsnit:
2 r (n·v . ) Areal=- --- smv 2 180°
Korde:
k = 2 ·r· sin~ 2
Pilhøj de:
h = r · (l - cos~ )
Overflader mv.
Den krumme overflade af en cylinder:
A= n·d·h = 2·n·r·h
Den krumme overflade af en kegle: A= 1t·r·s
Vinklen v:
360° ·r v = s
Korden k:
k = 2 ·s· sin~ 2
Den krumme overflade af en keglestub:
A = n· s· (R+ r)
Vinklen v:
v = 360° · R s z
Korden k:
k = 2 · s2 · sin~ 2
c
h
D
7t·d=2·7t·r
A
h
•
Ck'! Den krumme overflade af en UJ
0 kugle:
A = 4·n · r 2 = n. d2 a
Kuglekalot h
Den krumme overflade af en kuglelcalot:
A=n·d · h h
2 2 A=n·(a+h)
Kugleskive
Den krumme overflade af en kugleskive:
A=n·d · h ...J u. Ck'! UJ
> o
•
Rumfang
Retvinklet prisme
V=G·h G = grundarealet
Kasse
V=a·b·h
Cylinder
2 n 2 V=n·r · h=-·d · h
4
Cylinderrør
2 2 V= (n ·R -n·r )· h
D = ydre diameter d = indre diameter R = ydre radius r = indre radius
l l l
/""/-----G
......... -... -:.-:..~-:..-=-:..:..~ ..... \..... .",.-'
h
j
h
j
•
i\ c 3 , ): 2 c
•
Pyramide
V=! · G·h 3
G = grundarealet
Pyramidestub
V = ! · h( G +g+ ~) 3
g = areal af topflade G = areal af bundflade
Kegle
n 2 n 2 V=-·d ·h=V=- · r ·h
12 3
Keglestub
n 2 2 V = -·h · (R +r +R· r)
3
Guldins l. regel
A= 2·n·a · L·~ 360°
d=2 · r
Guldins 20 regel
V= 2onoaoAo~ 360°
Kugle
1( 3 4 3 V=-od =-onor 6 3
Kugleudsnit
1( 2 V=-odoh
6
Kugleafsnit
1( 2 h v = - o h o (3d - 2 ) 6
1( 2 2 V = - o h o (3 o a +h )
6
A
d
d
•
i c .. < .. ) J.
G
~ lw ~ o w (j z <( ...J a.. ~ (/)
1->-...J
<( z <(
•
Plangeometri
_ ( x2 + x l Y 2 + Y 1) M( x, y) -2
, 2
xl Y1
A = 1. x2 Y2 2
x3 Y3
xl Y1
y=a
x =b
y =ax
y = ax +b
y -y a = tanv = -2
--1
x2 -xl
Afstandsformlen
Midtpunkt på et linjestykke
Determinant-formlen for areal af trekant
Vandret linje gennem punktet (O,a)
Lodret linje gennem punktet (b,O)
Ret linje med stigningstal a, som går gennem (0,0) og (l,a)
Ret linje, som går gennem (O,b) og (l,a+b)
Ret linje med stigningstal a som går gennem (x l, Y l)
Forhold mellem stigningstal, vinkel mellem vandret og linjen og to punkter.
Når to linjer har samme stigningstal, er de parallelle.
Når produktet af to linjers stigningstal er -l, står de vinkelret på hinanden.
Cirklens centrumsligning. Centrum er (a,b) og radius er r .
Vektorkoordinater
Vektorkoordinater i et koordinatsystem
Multiplikation af skalar med vektor
n·-;:= (n ·x) n·y
Addition af to vektorer
--7 --7 --7 r = a +b
--7 --7 ( xl + Xz ) a+ b = Y1 +yz
Ll x
y
-+--------------------------_.x
L} x
-a
-n ·a
n·y
n·x
L::} p -a
•
< r i
( i r i
r ) J. r
1-UJ
z <{ ...J a..
C! UJ C!
o 1-~ UJ
>
•
Vektorer i ligevægt
---7 ---7 ---7 ---7 ( o ) a+b+c+d= 0
Subtraktion af vektorer
---7~ ---7 ---7 a-b = a+(-b)
Hvis -;= ( ;J og b = (;:) er
Enhedsvektor
x - x og Ye = _y_lv' l e - 1-;1 --,
Skalarprodukt
-;.b = 1-:l.lbl· cosv
---7 ---7
a•b =x1 · x2+Y1"Y2
x l · X2 + Y 1 · Y 2
cosv = 1-:l.lbl
---7 ---7 Skalarproduktet a • b = O, når vekto-rerne står vinkelret på hinanden .
u d
-b b -~----------
x
Tværvektor
Hvis~ = (;) er
A (-!) a =
Trekantens tyngdepunkt
_ cl+ x2 + x3 Y1 + Y2 + Y3) T(x, y) - 3 ' 3
Trekantens areal
~ (xl) ----7
( ;:) er Hvis AB = Yl og AC =
l xl Y1 Areal = - · 2 x2 Y2
l = 2 ·lxl · Y2- X2 · Y1l
Projektion
1~ 1 = l"bl. cosv
1~1 l~. "bl =
1~ 1
--7
1 ~1 - ~ b = a
Afstand fra punkt til ret linje
z= lad+ be +cl
Ja2 + b2
-y y
\ Vc l y
x x
y
B(xz,yz)
T( x, y) A(xvyl)
C(x3,y3)
y
J\
.D C A
y ba -7
a
/1 -7 a
-+ b a
y
P(d,e) ...__ ~ax+by+c=O
x
x
x
•
r l
( l r l
r ) J.
r
Funktioner
Definition på en funktion
En funktion er en forskrift f, hvor der til ethvert element x i en mængde A kan f
knyttes et og kun et tal y. l x y
A: Definitionsmængde B: Værdimængde A B
Lineær funktion
f(x) =a · x+ b a: stigningstal/hældningskoefficient b: konstantled
Funktioner af 2. grad (parabler)
f(x) = ax2 Toppunkt: (0,0)
f(x) = a(x - x0)2 Toppunkt: (xo,O)
f(x) = ax2+ y0 Toppunkt: (O,yo)
f(x) = a(x- x0)2+ Y o Toppunkt: (x0,y0)
f(x) = ax2 + bx + c ( -b d) Toppunkt: 2a' - 4a d= b2 - 4ac
f(x) = ax2 + bx + c Kan omskrives til a( x - a.)(x- ~)
hvis a. og ~ er rødder i ligningen
ax2 + bx +c= O
Sammensatte funktioner
f(x) = 3x -l og g(x) = -2x + 5 Eksempel
(f o g)(x) = 3(-2x + 5) -l Den sammensatte funktion
Omvendte funktioner
f(x) = 2x Eksempel
x= 2y eller -1 l Den omvendte funktion f (x) = -x
2
Proportionalitet
Ligefrem proportionale størrelser y y0
y= a.. x
/ l x
Omvendt proportionale størrelser y
k y=-x
y =k x
x
•
Logari tinefunktioner
lO-tals logaritmen
f( x) = log x, x > O
Den naturlige logaritme
f( x) = ln x, x > O
Eksponentialfunktioner
Eksponentialfunktionen
f(x) = ax, a > O og x E R
Eksponentielle vækstfunktioner
f(x) = b · ax , b > O , a > O og x E R
T _ log 2 2 - log a
T =_log 2 ~ log a
Renteformlen
Kn = K(l + rt
Regneregler: log 10 =l log a · b = log a + log b
log ~ = log a - log b
log an = n · log a
lognJa = .! · log a n
Regneregler: ln e= l lna · b=lna+lnb
ln ~ =lna - lnb
ln an= n ·ln a
lnnJa = .! · ln a n
Fordoblingskonstant for eksponentielt voksende funktion
Halveringskonstant for eksponentielt aftagende funktion
Kapitalen, når grundbeløbet K har stået i n terminer ved rentefoden r.
•
n 7 (j i c L n L
n r r n , c L 7
c L n ;A
C! UJ
z o l~
z :::> Ll..
UJ ~ (/)
C! 1-UJ
~ o z o (j C! l-
•
Trigonometriske definitioner og grundformler
sin v
cos v
tan v
(cos vf +(sin v)2 =l
sin v tan v= --cos v
Additionsformlerne
sin(a +b) =sin a· cos b+ cos a· sin b sin(a- b) =sin a· cosb-cos a· sin b cos(a +b)= cos a· cosb-sin a· sin b cos(a- b)= cos a· cos b+ sin a · sin b
Formler for den dobbelte vinkel
sin(2a) = 2 · sin a· cos a
. cos(2a) = (cos a)2
- (sin a/
= 1- 2(sina)2
2 = 2( cos a) -l
tan 2a = 2tan a 2
1- ( tan a)
f(t) =a · sin(co ·t)
a: amplitude co: vinkelhastighed i rad / sekund t: tid i sekunder
T = 2rc CO
f = CO 2rc
l -T
f(t) =a sin(cot +<p), hvor <p kaldes faseforskydningen. (Vektoren danner til tiden t= O vinklen (p med vandret).
f( t) = a sin cot +k, som er en svingning, der er forskudt konstanten k i y-aksens retning.
Periodetid
Frekvens
a
T
•
~
G c 2 c 3 n
~
u 7' n ., c L 7'
c L n ~
0 z z 0 w ~ ...J
<l: lz w ~ w LL. LL.
o
•
Symboler for differentialkvotient
lim ~ = ~ = df(x) = f'(x) = y' /).x ~ ot.x d x d x
Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter
Funktion f( x) Differentialkvotient f ' (x)
Konstant k o Potensfunktion a· xn n· a · xn-l
Sum u+v u' +v'
Differens u - v u'-v'
Produkt U·V u'v +v'u
Brøk u U1 ·V - U · V
1
-v 2 v
Trigonometriske sin x cos x funktioner
cos x -sin x
2 l tanx l+(tanx) = 2
(cos x)
Eksponentialfunktioner a x ax · ln l a l ..
ex ex
Logaritmefunktioner lnx l -
x
log x l x · lnlO
Sammensat funktion ~ = ~.du.dz d x du d z d x
Bestemmelse af lokale maksimums- og minimumspunkter
l. Løs ligningen f' (x) =O 2. Fortegnsbestemmelse for f'(x)
a) lokalt maksimum forekommer, når fortegnet for f'(x) går fra+ til-
b) lokalt minimum forekommer, når fortegnet for f'(x) går fra- til+
c) Vandret vendetangent forekommer, når fortegnet for f' (x) er: 11 +0+11 eller 11-0-11
3. Beregning af Y max og Y min sker ved indsættelse af de fundne x-værdier i f(x) .
Implicit differentiation
x2 + y2 - l= O Eksempel 2 2
dx + 9.Y_ . ~_dl = 0 dx dy dx dx
2x+2y· ~=O d x
~ = -~ d x y
•
"T "T rT ;;:t rT 2
)> r ;;:t rT ~ z z ~
0 z z 0 UJ ~ ...J
<( ~
0 UJ l-z
Integralregning
Integral - stamfunktion - integrationsprøven
JfCx)dx = F(x) +k når F'(x) = f(x)
Bestemmelse af stamfunktioner
Funktion f( x)
Konstant k
Potensfunktioner xn
l - l -=x x
Trigonometriske sin x funktioner
cos x
tanx
sin2x = (sin x)2
cos2x =(cos x)2
2 l l+tan x= -2-
cos x
Eksponentialfunktioner a x
ex
Logaritmefunktioner lnx
log x
Regneregler for integration
Ju(x) + v(x)dx = Ju(x)dx + Jv(x)dx
Ju(x)-v(x)dx = Ju(x)dx - Jv(x)dx
Bestemt integral
b b J f(x)dx = [F(x)]a = F(b)-F(a) a
Partiel integration (delvis integration)
Ju(x) · v(x)dx = U(x) · v(x)- JU(x) · v'(x)dx
Stamfunktion F(x) = Jf(x)dx
k·x
n+l x --n+l
ln x
-cos x
sin x
-ln l cos x l
~ (x- sin x · cos x)
~ (x+ sin x · cos x)
tanx
x l a ln ja j ex
x·lnx-x
x x -logx- --lnlO
Sum
Differens
"
Arealberegning
b A= f f(x)dx
a
b A = f f( x)- g(x)dx
a
c Al f f(x)- g(x)dx
a
b A2 f g( x)- f(x)dx
c
c A3 = f g(x)dx
a
b A4 = J f(x)dx
c
Rumfangsberegning
Rumfanget af omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om x-aksen af det viste, farvede areal:
b 2 V x = 1t · f f( x) dx
a
Rumfanget af omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-aksen af det viste, farvede areal:
b V = 2 · 1t · f x · f(x)dx
y a
Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-aksen af det farvede areal på figuren
Længde af kurve
f(b) 2 v Y= n . f x dy
f (a)
b (d )2 b L = i l + d~ dx =Ja ~l+f'(x)2 dx
f(x)
A
a
f( x)
a c
y
o
y
L
b
f( x)
x
b
x
x
y= f( x)
x
•
z ~ m CJ ;iO )> r ;iO m Q z z Q
~ w ~
o 1-~ w >
•
Vektorkoordinater og vektorlængder
~ = (~] 1--:1 = Jx2+/+i
Givet: A(x1,y2,z1) og B(x2,y2,z2)
[ x2 -x1] AB = Y2-Yl
z2- zl
IA.BI = Jcx2- xll + CY2- Y1)2
+ Cz2- z1l
Enhedsvektor
~ = (~] x
J 2 2 2 x +y +z
--7 y e a= J 2 2 2 x + y +z
z
J 2 2 2 x + y + z
Skalarprodukt
--;; • b = 1--:.1 .1b1· COSV = x1x2 +y1y2 +zlz2
cosv = x l x2 + Y 1 Y 2 + z l z2
1--:.l·lbl
Projektion
1~1 = lå ·bl a lål
Parameterfremstilling af ret linje n [xo +t x,] ~ = ~:: : : ~:
C:J a: ' ~
b,
Vektorprodukt
l~ x "bl = l~~ -l "bl · sin v
Parameterfremstilling af plan n [ X0 J [ X l - XO J l X2 - X0: y = Yo +s· Y1-Yo +t · Y2 - Yo
z _ z0 z1 - z0 z2 - z0
Planets ligning på normalform
a(x- x0) + b(y- y0) + c(z- z0) + d = O
eller
; ~ [ ~] ax + by + cz + d = O med
Afstand e mellem punkt Po og plan a
Punkt P0: (xo,yo,zo) Plan a: ax + by + cz + d = O
e = la · x0 +b · y0 +c · z0 +dl
J 2 2 2 a +b +c
Afstand e mellem punkt P 0 og linje
Punkt P0: (x0,yo,zo)
17x~l e =
171
Kugle med radius r og centrum i (a,b,c)
(x- a)2 +(y- b)2 +(z- c)2 = r2
al bl
la2 bJ x = = a2 · b3- a3 · b2 ~ l a3 b l a x b: y= = a3 . bl - al . b3
lal bd z = = a1 · b2- a2 · b1 a2 b
a3 b3
Po(XQ,yo,zv)
e k
v ~
r p
y
------~ ...--;;j/___ ---<r~~
x (a,b,c) "---r---_ J ~ r /; (x,y;z)
-
•
< rT 7'
c it rT it
it c s s rT
•
Vektorfunktioner
Ret linje
7 (t) = ( ; ) = ( ~~ : : ·. :J
-7 ( x ) ( x0 + t · cos v J r (t) = = .
Y y0 +t· smv
Cirklen
-7 ( ) = ( a + r · c~s t) r (t) = ; b + r · s m t
Ellipsen
7 (t) = ( yx) = ( a · c~s t ) b· smt
Bevægelser
7ct)= (x(t) ) y( t)
~ -7 (x'(t) ) v (t) = r '(t) =
y'(t)
1-: cd = Jcx'(t))2 + (y'(t)l
-7 --7 -7 (x"(t) ) a (t) = v '(t) = r "(t) =
y" (t)
Længde af kurve givet ved vektorfunktion
/b, (XQ,yo) ./'1 1
y
a·t x
y (x,y)
(x,yo)A x
y (x,y)
r t
(a,b)'
x
Banekurven
Hastighedsvektor
Farten
Accelerationsvektor
y
x
Grænseværdier
Regneregler mv. for grænseværdier
lim l= o y
x -7 ±oo X f(x) = ~
lim l = +oo l \_ x x -7 o+ x
l l
lim l - = - 00
X-70 x
Når lim f( x) =F og lim g( x) =G gælder: X-7a x-7a
lim f(x) + g(x) =F+ G x-7a
lim f( x) - g(x) =F- G X-7a
lim f(x) · g(x) =F· G x-7a
lim f(x) = .!::, x-7a g(x) G
G :;t: O
•
UJ (/) ...J UJ
~ (S) (/) ~ UJ o z :J (/)
2 o 1-~ z :J LL.
•
Definitionsmængde
f(x) = Jx - 4
Dm(f) = {xERI(x2':4)}
Skæringspunkter med x-aksen
f(x) =O
Skæringspunkter med y-aksen
f(O) =y
Monotoniforhold
Eksempel f er voksende i [a;b] og [c;oo[ f er aftagende i [b;c]
Lokale maksimums- og minimumspunk-ter bestemmer du ved at sætte f' (x) =O og løse den fremkomne ligning.
Asymptoter
Lodret asymptote Er funktionsudtrykket formet som en brøk, skal du undersøge for asymptoter.
Du bestemmer de x-værdier, der gør brø-kens nævner lig med O. Eksempel: x = a l) Du bestemmer grænseværdien for brø-
ken, når x~ a+ og x~ a-2) Hvis grænseværdien bliver plus-
uendelig eller minus-uendelig, er linjen x = a lodret asymptote .
Definitionsmængden vælger du alminde-ligvis så stor som mulig. Har du en opgave, hvor du kun har behov for at arbejde inden for et bestemt inter-val, kan du fastlægge dette interval som definitionsmængde. Du kan også møde eksempler, hvor regne-forskriften udelukker nogle tal i definiti-onsmæ.ngc\l:'.n.
1
Du sætter f( x) = O og løser den fremkomne ligning.
Du sætter x = O i regneforskriften for f( x) og bestemmer skæringspunkterne med y-aksen.
y f
,-----~
( x
a b c
y
L. (0,0)
\
x=a
Vandret asymptote l ) Du bestemmer grænseværdien for brø-
ken, når x ~ ±oo 2) Hvis grænseværdien blive en konstant
f.eks. b, er linjen y= b vandret asyrnp-tote.
Skrå asymptote Hvis tællerens polynomium er en grad højere end nævnerens, kan du bestemme en evt. skrå asymptote således: l) Du dividerer nævneren op i tælleren. 2) I resultatet af denne division lader du
x~±oo
Den skrå asymptote vil da fremkomme som en ligning af formen y=ax+b
Vendepunkter
Vandret vendetangent vil forekomme, når fortegnsvariationen for f' (x) er: "+0+" eller "-0-" x-værdier for en skrå vendetangent kan du bestemme ved at sætte f" (x) =O og løse den fremkomne ligning.
Værdimængde
Eksempel Har du grafen for en funktion f med mini-mum i (a,b), vil du kunne beskrive værdi-mængden således: Vm(f) = [b;oo[
Y L_
\ y=b
x (0,0)
y
(0,0) V=~·b
v v
~
y
~ ~ x
•
.,. c 2 i'
c 2 u c 2 c: rr iC u ~ c rr r u rr
...J
...J
4: lz w ~ w LL. LL.
o
•
Ligningstype
y'= g(x)
y' = h(x ) · g(y)
y' =k·y
y'= g(y)
y'= y(b - ay)
y"= g(x)
Løsning
y = Jg(x)dx
Jg(ly) dy = Jh(x)dx
y=c·ekx
Jgty)dy = x+k
b -a
y = -b x
l +k · e
y' = Jg(x)dx
- herefter som den første type
Tegn, anvendelse
E
~
{ l l -
ø
N
z Q
R
(,)
=
* ~
<
>
:s;
~
00
+
-
a · b a x b ab
a ab ab-l
b
a P
l alh 2 Ja a
l 1/ n n rtJa a a
lal
f
x E A
y~A
{x E Alp(x)}
(a,b)
a=b
a* b
a:::::b
a<b
a>b
a:s;b
a~b
a+b
a-b
Betydning, læsning
x tilhører mængden af A, x er element i mængden A
y tilhører ikke mængden A, y er ikke ele-ment i mængden A
Mængden af elementer x tilhørende A, for hvilke udsagnet p(x) er sandt
Den tomme mængde
Mængden af naturlige tal og nul
Mængden af hele tal
Mængden af rationale tal
Mængden af reelle tal
Ordnet par
a er ligmed b
a er forskellig fra b
a er tilnærmet lig med b
a er mindre end b
a er større end b
a er mindre end eller lig med b
a er større end eller lig med b
Uendelig
Summen af a og b, a plus b
Differensen mellem a og b, a minus b
a multipliceret med b, a ganget med b
a divideret med b, a delt med b
a opløftet til potensen p, a i p 'ne
Kvadratroden af a
Den n ' te rod af a
Absolut værdi af a, numerisk værdi af a
Funktion f. Kan angives ved x~ f( x) eller også ved f(x)
~ )> -i m ~ )> -i -Ul i\ m -i m ø z o ø Ul -< ~ O:J o r m ;iO
0:: w --' o ca ~ >(/')
"' o z
"' w l-w ~ (/')
1-4: ~ w 1-4: ~
•
Tegn
go f
X---*a
lim f(x) x~ a
tlx
d f -d x
f'
dnf -dxn
Jf(x)dx
b
Jf(x)dx a
e
ex
lnx
lg x
n
sin x
cos x
tanx
--7 a a
j-;j a A
a
--7
e a
--7 --7
ex ' e y
i, j
--7 ----* a • b
--7 --7 a x b
Betydning, læsning
Den af f og g sammensatte funktion (g o f)= g(f(x))
x gårmod a
Grænseværdi for f(x), når x går mod a I stedet for lim f( x) = b kan skrives f(x) ----* b for x----* a
x~a
Grænseværdier "fra højre" og "fra venstre" kan betegnes ved henholdsvis lim f(x) = b og lim f(x) = b
x~a+ x ~ a -
Tilvækst i x
df/ dx Afledede funktion af en variabel x
D f 0 o df(x)
d(f(x)) / dx f'(x) Df(x) gsa--d x
Den n-te afledede af funktionen f af en variabel x
For n = 2 eller 3 bruges også f" henholdsvis f"' i stedet for f(n)
Et ubestemt integral (en stamfunktion) eller mængden af stamfunktioner til funktionen f
Det bestemte integral af funktionen f fra a til b
Grundtallet for den naturlige logaritme
expx Eksponentialfunktionen (med grundtallet e) af x
loge x Naturlig logaritme af x
log10 x Titalslogaritme af x
Forholdet mellem en cirkels perimeter (omkreds) og diameter
Sinus til x
Cosinus til x
Tangens til x
-a Vektor a
l al Længden af vektor a
Tværvektor a
e a Enhedsvektor i retning af vektor a
ex, ey Enhedsvektorer i koordinataksernes retning
a·b Skalarproduktet af vektor a og vektor b
a x b Krydsproduktet af vektor a og vektor b
anvendelse inden for de grund
læggende erhvervsuddannelser,
htx-uddannelsen og de videregående
teknikerud d a nn eiser.
Ud over de matematiske formler
findes der bagerst en oversigt over
matematiske tegn og symboler.
Bestillingsnummer 31259-1
www.ef.dk
ISBN 978-87-7881 -911 -6
111111111111111111111111 9 788778 819116
TEC
III f1i1\i1i 1mfl11\[\i1 11 42265