Matematik på Spil - tilst-skole.dk dag - matematik... · 84 4 bankoplader 2 sekssidede terninger Dækbrikker fx centicubes Undersøg Skriv hver gang, hvilken plade der blev nr. 1,

81

Banko 97

3511

MatematikpaSpil-CMYKtilTRYK.pmd 11-07-2012, 12:5781

82

Simpelt søjlediagram op til 12

Sum af to terningerKast to terninger.Udregn summen og sæt X i den rigtige kolonne.

1 + 3 = 4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

97

3

511

Banko træning med to terninger

Variationer over kast

To sekssidedeterningerOptællingsskemaet til sumaf to terninger

UndersøgHvilken sum komflest gange?

Prøv igen med 50 nye kast

Hvilken sum komflest gange?

I skal arbejde sammento og to.

Kast to terninger.

Find summen ved at læggeterningernes “øjne“ sammen.

Sæt kryds i skemaet.

Gentag 50 gange.

97

3511

1 + 3 = 4


83


Sum af to terningerKast to terninger.Udregn summen og sæt X i den rigtige kolonne. 1 + 3 = 4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

97

3511


84

4 bankoplader2 sekssidede terningerDækbrikker fx centicubes

UndersøgSkriv hver gang, hvilken plade der blev nr. 1, 2, 3 og 4.

Hvilke bankoplader, synes I, er bedst?

Hvorfor tror I, det er sådan?

Er spillepladerne retfærdige?

IdeerHvis I får tid, kan I lavenye spilleplader, der ermere retfærdige.

I kan også undersøge spilmed tre terninger, men såskal I bruge oplægget,Banko op til 18.

Banko op til 12

Bankospil med fire spilleplader

Spil bankoKast 2 terninger - læg “øjnene“sammen. Læg en spillebrik påtallet, hvis det er på din plade.Der er banko, når alle tal påpladen har en spillebrik.

Spil mindst fire gange.Byt plader hver gang.

97

3511

Spilleplade

GruppearbejdeHver gruppe skal arbejde sam-men om fire bankoplader.I skal have en bankoplade hver.

97

511

Spilleplade

97

45

12

Spilleplade

97

3511

Spilleplade

97

3511


85

Bankoplader op til 12

På CD’en findes syv forskellige sæt med hver fire spillepladerForstør eventuelt bankopladerne til A3, når de printes. Laminer siden inden pladerne klippes ud.

476

10 8

57 2

8 9

63

4

5

12

Spilleplade ASpilleplade C

Spilleplade D

97

35 11Spilleplade B

97

3511


86


Sum af tre terningerKast tre terninger.Udregn summen og sæt X i den rigtige kolonne.

1 + 3 + 6 = 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

97

3

511

Bankotræning med tre terninger

Variationer over kast

Tre sekssidedeterningerOptællingsskemaet til sumaf tre terninger

UndersøgHvilken sum komflest gange?

Prøv igen med 50 nye kast

Hvilken sum komflest gange?

I skal arbejde sammento og to.

Kast tre terninger.

Find summen ved at læggeterningernes “øjne“ sammen.

Sæt kryds i skemaet.

Gentag 50 gange.

1 + 3 + 6 = 10

97

3511


87


Sum af tre terningerKast tre terninger.Udregn summen og sæt X i den rigtige kolonne. 1 + 3 + 6 = 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

97

3511


88

pkl

ipp

es u

d.

7

0

5

0

18

0

0

4 17

8

15 13

Spilleplade A

Banko op til 18

Terningespil med fire spilleplader

4 bankoplader3 sekssidede terningerDækbrikker fx centicubes

UndersøgSkriv hver gang, hvilken plade, der blev nr. 1, 2, 3 og 4.

Hvilke bankoplader, synes I, er bedst?

Hvorfor tror I, det er sådan?

Er spillepladerne retfærdige?

IdeerHvis I får tid, kan I lavenye spilleplader, der ermere retfærdige.

Spil bankoKast 3 terninger - læg “øjnene“sammen. Læg en spillebrik påtallet, hvis det er på din plade.Der er banko, når alle tal påpladen har en spillebrik.

Spil mindst fire gange.Byt plader hver gang.

GruppearbejdeHver gruppe skal arbejde sam-men om fire bankoplader.I skal have en bankoplade hver.

68

516

13

0

9

0 11

00 17

Spilleplade D

0

14

10

0

16

0

0

7 12

9

11 8

Spilleplade B

0

3 7

0

3

15

0

18

12

0 17

0

13 0

0

Spilleplade C

pn

e kl

ipp

es u

d.

7

0

5

0

18

0

0

4 17

8

15 13

Spilleplade A S


89

Bankoplader op til 18

På CD’en findes syv forskellige sæt med hver fire spillepladerForstør eventuelt bankopladerne til A3, når de printes. Laminer siden inden pladerne klippes ud.

70 5

0 18

0 0

417

815

13

014 10

0 16

0 0

712

911

8 Spilleplade A

Spilleplade B

70 3

15 0

18 12

017

013

0

68 5

16 13

0 9

011

00

17

Spilleplade C

Spilleplade D

pkl

ipp

es u

d.

7

0

5

0

18

0

0

4 17

8

15 13

Spilleplade A


90

4 spilleplader2 sekssidede terningerDækbrikker fx centicubes

Undersøg spillepladerne

Banko op til 12 - Retfærdighed

Er spillet retfærdigt?I skal arbejdesammen fire og fireI skal bruge 4 fire spillepladerog to terninger.

Kast 2 terninger - læg ”øjnene”sammen.

Hele pladen skal være fuld.

Efter hver banko skal I byttespilleplader.

Spil spillet mindst fire gange.Notér hver gang, hvilken pladeder blev nr. 1, 2, 3 og 4.

Er spillepladerne tilsyneladendelige gode?Er spillet retfærdigt?

I skal kaste to terninger oglægge ”øjnene” sammen.

Kast terningerne 50 gange,og notér summen af hvertkast i et skema.

Skriv typetallet, størsteværdien,mindsteværdien, variations-bredden og middeltallet for de50 kast.Bagefter skal alle gruppernesresultater samles i et fællessøjlediagram.Find igen typetallet, største-værdien, mindsteværdien,variationsbredden og middel-tallet for klassens søjlediagram.Kan jeres undersøgelse for-klare, hvorfor nogle af spille-pladerne virker uretfærdige?

97

3511

Tegn et søjlediagram over de50 kast.

Sum Hyppighed34567

15

13

11

9

7

5

3

12 “øjne“ 3 “øjne“ 4 “øjne“ 5 “øjne“ osv.


91

Udfyld en tabel som denne

IdeerHvad nu hvis• I kaster terninger i et

regneark. Hvor mangekast skal I udføre, påcomputeren før etsøjlediagram ligner det,man får ud fra tælletræeteller tabellen med de toterninger?

• I bruger en anden slagsterning fx en 4-sidet,en 8-sidet, en 10-sidet?

Hyppighed

Teoretiske overvejelser

UndersøgUdregn summen af ”øjnene”på terningerne.

Hvilken sum har den størstehyppighed?

Hvilken sum har mindstehyppighed?

Sammenlign tabellens ogtælletræets tal med deresultater, I fik, da I kastedemed terninger.

Sammenlign med klassenssamlede statistiske under-søgelse.

Hvordan passer den medjeres beregning?

Hvad kan I sige om statisti-ske undersøgelser i forholdtil beregninger?

97

3511

Kast

1

2

3

4

5

6

1

12

3 45

6

123

456

1 2 3

45

6

23 4

56

123

4 5 6

123

4 5 6 4

56 7 8 9

10

Fremstil ettælletræ

2 3

3

4


92

I kan beregne chancen for at vinde for hver af de fire spilleplader.

Banko op til 12 - Teori

Chancer og sandsynlighed

Udregn antal kombinationerog sandsynligheder for hversum.

Beregn sandsynligheden forhver af de fire spilleplader.

Udfyld et skema med jeres beregninger. Begyndelsen afskemaet er vist her.

Angiv chancen for at vindepå de enkelte spilleplader.

Hvordan passer det meddet, I fandt ud af, da Ispillede Banko op til 12?

UndersøgNår to terninger viser 2ens, fx 1, 1 er der kun enmåde at kombinere dempå, nemlig

1, 1.

Når to terninger viser 2forskellige, fx 1, 2 er der tomåder at kombinere dempå.

1, 2 og 2, 1.

97

3511

I alt

Beregning af sandsynlighed

Udfyld skemaetSum

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

De tre terninger viser Antalkombinationer

Sand-synlighed

pkl

ipp

es u

d.

7

0

5

0

18

0

0

4 17

8

15 13

Spilleplade A

I alt

1

3

6

10

1,1,1

1,1,2

1,1,3 og 1,2,2

2,2,2 og 1,1,4 og 1,2,3

1,1,5 og 1,3,3 og 2,2,3 og1,2,4

1

3

3+3

1+3+6

3+3+3+6

1216

3216

6216

10216

Et tælletræ

Kast

1

2

3

4

5

6

1

12

3 45

6

654

321

1 2 3

45

6

23 4

56

1

2

23 4 5 6

7 3 45


93

4 spilleplader3 sekssidede terningerDækbrikker fx centicubes

Undersøg spillepladerne

Banko op til 18 - Teori

Vinderchancer på de fire spillepladerI skal arbejde sammenfire og fire, og I skalbruge fire spillepladerog tre terninger.

Kast 3 terninger - læg “øjnene“sammen.

Efter hver banko bytter I spille-plader. Spil spillet igennemmindst fire gange.Notér hver gang, hvilken plade,der blev nr. 1, 2, 3 og 4.

Er spillepladerne tilsyneladendelige gode?Er spillet retfærdigt?

I skal kaste 3 terninger oglægge “øjnene“ sammen.Gentag 50 gange.

Udarbejd en statistiskoversigt, hvor I angivertypetal, størsteværdi,mindsteværdi, median ogmiddeltal.

Sammenlign jeres resultat med resultatet af 1000 “computer-kast“ med tre terninger.

Hvilken sum forekommer flest gange (typetallet)?Hvilken summer er blandt de fire hyppigste?

Angiv ud fra jeres statistiske undersøgelse den statistiske vinder-chance for hver af de fire spilleplader.

1000 “computerkast“ med treterninger.

pkl

ipp

es u

d.

7

0

5

0

18

0

0

4 17

8

15 13

Spilleplade A

Sum Hyppighed34567


94

I alt

tSum

3

4

5

6

7

8


Sand-synlighed

I alt

1

3

6

10

1,1,1

1,1,2

1,1,3 og 1,2,2

2,2,2 og 1,1,4 og 1,2,3

1,1,5 og 1,3,3 og 2,2,3 og1,2,4

1

3

3+3

1+3+6

3+3+3+6

1216

3216

6216

10216

UndersøgUdregn antal kombinationer og dereftersandsynligheden for hver sum.

Ud fra det, I nu ved om de mulige kombi-nationer, skal I beregne den samlede sand-synlighed for hver af de fire spilleplader.

Hvis I har undersøgt den statistiskesandsynlighed, så kan I se forskellen på deto undersøgelser.

Banko op til 18 - Sandsynlighed

UdfaldsrumDet er muligt at beregne vinderchancen for hver af defire spilleplader.

FaktaUdfaldsrummetUdfaldsrummet ved sum af3 terninger er 6 . 6 . 6 = 216 , fordi der erseks muligheder på hver terning.

Man kan slå 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 med en 6-sidet terning.

IdeerHvad nu hvis• I kaster terninger i et regneark.

Hvor mange kast skal I udføre, før resul-tatet tilnærmelsesvis bliver som det, I harberegnet i skemaet?

• Hvis spillet skal være retfærdigt, hvordanbør tallene på spillepladerne så være?

• I bruger en anden slags terning fx en4-sidet, en 8-sidet, en 10-sidet, hvordanskal spillepladerne da være?

Tegn et skema til jeresberegninger. Begyndelsenaf skemaet er vist her.

ForklaringNår tre terninger viser 3 ens fx 1, 1, 1, erder kun denne måde at kombinere dem på1, 1, 1

Når tre terninger viser 2 ens fx 1, 2, 2, erder disse tre måder at kombinere dem på1, 2, 2 og 2, 1, 2 og 2, 2, 1

RegnearkLommeregner

pkl

ipp

es u

d.

7

0

5

0

18

0

0

4 17

8

15 13

Spilleplade A


95


Samlet oversigt

Sum

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

I alt

I alt

1

3

6

10

15

21

25

27

27

25

21

15

10

6

3

1

216

De tre terninger viser

1,1,1

1,1,2

1,1,3 og 1,2,2

2,2,2 og 1,1,4 og 1,2,3

1,1,5 og 1,3,3 og 2,2,3 og1,2,41,1,6 og 2,2,4 og 2,3,3 og1,2,5 og 1,3,43,3,3 og 1,4,4 og 2,2,5 og2,3,4 og 1,3,5 og 1,2,62,4,4 og 3,3,4 og 2,2,6 og1,3,6 og 1,4,5 og 2,3,51,5,5 og 3,3,5 og 3,4,4 og1,4,6 og 2,3,6 og 2,4,54,4,4 og 4,5,3 og 5,5,2 og6,5,1 og 6,4,2 og 3,3,64,4,5 og 5,5,3 og 6,6,1 og4,3,6 og 6,5,24,4,6 og 4,5,5 og 2,6,6og3,5,6

5,5,5 og 3,6,6 og 4,5,6

4,6,6 og 5,5,6

5,6,6

6,6,6

Antalkombinationer

Sand-synlighed

1

3

3+3

1+3+6

3+3+3+6

3+3+3+6+6

1+3+3+6+6+6

3+3+3+6+6+6

3+3+3+6+6+6

1+3+3+6+6+6

3+3+3+6+6

3+3+3+6

1+3+6

3+3

3

1

12163

2166

21610

21615

21621

2162521627216272162521621

21615

21610

2166

2163

2161

216

pkl

ipp

es u

d.

7

0

5

0

18

0

0

4 17

8

15 13

Spilleplade A


96


Udfyld skemaet

Sum

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

I alt


Sand-synlighed

pkl

ipp

es u

d.

7

0

5

0

18

0

0

4 17

8

15 13

Spilleplade A

I alt


97

Lærervejledning

Bankomed

terninger

Matematiske emner og Matematik i anvendelse

Matematiske arbejdsmåder

· Eksperimentere,systematisere,ræsonnere,generalisere

· samarbejde omproblemløsning

Matematiske kompetencer

· Problembehandlings-kompetence

· Kommunikations-kompetence

· Hjælpemiddel-kompetence

· Statistik og sandsynlighedsregning

Banko med terninger

Banko henvender sig til alle trin.Aktiviteterne omkring spillene er tilpassetde enkelte trin.

FormålFormålet er - gennem leg og eksperimenter - atgive eleverne mulighed for at bygge videre påderes intuitive sandsynlighedsbegreb, så begre-ber inden for statistik og sandsynlighed kan bliveen del af deres viden.

Eleverne skal - tilpasset de tre niveauer - kendetil begreberne eksperiment, dataindsamling,optælling, udfaldsrum, tabeller, diagrammer,tilfældighed og chance.

Det er også formålet, at eleverne bliver opmærk-somme på, at spil kan tilrettelægges, så de bliverretfærdige eller uretfærdige.

FaktaBankoAlmindelig Banko har været spillet i Danmarksiden begyndelsen af 1900 tallet. Oprindeligvar præmien en levende gås eller and. I dagspilles bankospil på mange forskellige måderog med mange forskellige typer gevinster.

I “Banko med terninger“, hvor tallene tilpladen fås ved terningekast, får tilfældigheden anden betydning, idet man på forhånd kanberegne sig til en plades gevinstmulighed.

Trin i arbejdet med BankoEleverne• spiller banko flere gange. Der byttes plader for

hvert nyt spil• observerer chancen for de enkelte plader• vurderer, hvilken plade, der har størst chance

for at vinde og størst risiko for at tabe• udfører eksperimenter med terningekast og

laver statistik.• undersøger den statistiske sandsynlighed ved

at kaste terninger mange gange evt. simuleretpå computer, se oplæg på side 104

• udfører sandsynlighedsberegninger ud frakombinatoriske betragtninger

• beregner de enkelte pladers chance. Dette eren udfordring for mellemtrinnet

• planlægger evt. nye spilleplader og bestemmer,om spillet skal være mere eller mindre retfærdigt.Dette skal differentieres i relation til klassetrin

• eksperimenterer evt. med de fremstilledespilleplader eller med andre typer terninger

97

3511

Bankotræning med to terninger, Simpelt søjlediagram op til 12, Banko op til 12,Bankoplader op til 12, Bankotræning med tre terninger, Simpelt søjlediagram op til18, Banko op til 18, Bankoplader op til 18, Banko op til 12 - Retfærdighed, Hyppig-hed, Banko op til 12 - Teori, Banko op til 18 - Teori, Banko op til 18 - Sandsynlighed.


98

Om spillepladerneEt sæt spilleplader består af 4 plader medsamme symboler.Der er 7 sæt spilleplader til kast med to 6-sidede terninger og 7 sæt spilleplader til kastmed tre 6-sidede terninger.

Spilleplader med samme tegninger på de talfriefelter hører til samme sæt. Se side 85 for toterninger og side 89 for tre terninger. Resten afsættene findes kun på CD’en.Banko-spilleplader-2terninger.docBanko-spilleplader-3terninger.doc

Spillepladerne er fremstillet, så der ikke er ligestor vinderchance på alle fire plader. Det erhensigten, at eleverne bringes i en situation,hvor de umiddelbart forundres.

ArbejdsformDet anbefales, at eleverne arbejder i grupper affire, når der spilles, og i makkerpar når derkastes terninger, registreres og optælles. For deelever, der magter udfordringen med de teoreti-ske dele, kan det anbefales, at der med den delaf opgaven arbejdes i makkerpar.

Specielt forbegyndertrinnetKast med to terninger og sumPå begyndertrinnet starter eleverne med at kasteto terninger og finde summen, som registreres iet diagram.Hensigten med de mange kast er, at eleverneskal få øje på, at nogle summer er nemmere at fåend andre.

En klassesamtale kan føre til, at eleverne bliverbevidste om de forskellige udfald.

Bankospil med to terningerDer spilles i grupper med fire elever. Andre ver-sioner af fire spilleplader findes på bogens CD.Navnet er Banko-spilleplader-2terninger.doc

Eleverne spiller flere spil og bytter plader. Spilletskal føre til, at eleverne skal opdage, at chancenfor at vinde ikke er den samme for hver plade.

Lærervejledning Fortsat 97

3511

KlassesamtaleKlassesamtalen er vigtig for at få eleverne til atreflektere over de enkelte pladers chance.I samtalen må der meget gerne bruges ord somretfærdig, udfald, chance og sandsynlighed.Evt. kan en klassesamtale indledes med at spilleMonsterløb, der findes på side 72-75.

Eleverne kan eventuelt også fremstille nye ogmere retfærdige spilleplader og afprøve dem.

DifferentieringDer er muligheder for givende aktiviteter ligefra at spille og samtale om terningebanko til selvat udregne sandsynligheder på hjemmelavedeplader.

Arbejde med udviklingaf nye spillepladerNye – eventuelt mere retfærdige spilleplader –kan udvikles, uanset om elevernes baggrunds-viden omfatter det statistiske sandsynligheds-begreb eller det teoretiske sandsynlighedsbegreb,der bygger på kombinatoriske beregninger.


99

Specielt for ældste trinBanko op til 18De tilhørende spilleplader findes på bogens CD.Navnet er Banko-spilleplader-3terninger.doc

Teoretiske overvejelserom sandsynlighedAlt efter, hvad eleverne har arbejdet medtidligere, skal læreren afgøre, om der skal væreet fælles oplæg til denne aktivitet.

Det kan tænkes, at elever, der ikke er så højtpræsterende, skal have ekstra støtte til nogle afspørgsmålene. Måske skal enkelte eleverarbejde med banko-oplæggene med laverenummer eller med to terninger. Dette vilsamtidig give klassen mulighed for sammenat drage flere konklusioner fx om normalfor-deling.

Da der er mange udregninger, kan de enkeltegrupper dele sig op i to par og fordele udreg-ningerne mellem sig.

På side 95 findes en samlet oversigt over sand-synligheder for sum af tre terninger. Der erogså et tomt skema på side 96, men elevernekan med fordel udvikle deres eget skema i etregneark.

Specielt for mellemtrinnetBanko op til 12De tilhørende spilleplader findes på bogens CD.Navnet er Banko-spilleplader-2terninger.docNår eleverne efter bankospillet foretager de 50kast, er det en god idé, at de arbejder sammenparvis. De to resultater i gruppen sammenlignes.

SøjlediagrammerneEleverne skal nå til en forståelse af, at der skalmange kast til for at opnå en rimelig statistisksikkerhed. Derfor foreslås det, at alle gruppernessøjlediagrammer samles til et fælles diagram medalle klassens observationer.Klassens samlede resultat over hyppighedernekan eventuelt illustreres på IWB.

Teoretiske overvejelser om hyppighedØvelserne med kompositionstavlen eller tælle-træet danner grundlag for, at eleverne kanskønne over chancen for hver af de fire spille-plader. Hvorvidt samtalen om chance skal foregåsom en klassesamtale eller en gruppesamtaleberor på, hvordan klassen arbejder i det daglige.

Teoretiske overvejelser om spille-pladerne til banko op til 12Denne aktivitet er lagt på et særligt bilag, somfindes på side 92. Det er beregnet som enudfordring til højt præsterende elever.

Lærervejledning Fortsat 97

3511


Documents

Matematik på Spil - tilst-skole.dk dag - matematik... · 84 4 bankoplader 2 sekssidede terninger Dækbrikker fx centicubes Undersøg Skriv hver gang, hvilken plade der blev nr. 1,