Matematika 1 arhitektura

Sveučilište u Splitu Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Preddiplomski studij arhitekture

Matematika 1 - nastavni materijali -

S. Pavasović

Split, 2010./2011.

Sadržaj

0. Napomene o predmetu (koje, naravno, nećete pažljivo pročitati) ..................................................1

1. Uvod (ili odnekud moramo početi) .....................................................................................................5 1.0 Sud, ekvivalencija, implikacija.......................................................................................................................5 1.1 Skupovi..........................................................................................................................................................6 1.2 Skupovi brojeva.............................................................................................................................................7 1.3 Priče o skupu R .............................................................................................................................................8

1b Vježbe..................................................................................................................................................13

1c Rješenja...............................................................................................................................................14

2. Funkcije...............................................................................................................................................15 2.1 Definicija......................................................................................................................................................15 2.2 Pojmovi i svojstva........................................................................................................................................16 2.3 Graf funkcije ................................................................................................................................................19 2.4 Temeljne elementarne funkcije ...................................................................................................................21 2.5 Neke elementarne funkcije..........................................................................................................................25

2b Vježbe..................................................................................................................................................30

2c Rješenja...............................................................................................................................................31

3. Limes i neprekidnost funkcije...........................................................................................................32 3.0 Priprema......................................................................................................................................................32 3.1 Limes funkcije..............................................................................................................................................33 3.2 Neprekidnost funkcije ..................................................................................................................................38

3b Vježbe..................................................................................................................................................41

3c Rješenja...............................................................................................................................................42

4. Derivacija funkcije..............................................................................................................................44 4.1 Definicija......................................................................................................................................................44 4.2 Geometrijsko i fizikalno tumačenje derivacije .............................................................................................44 4.3 Tablica nekih osnovnih derivacija ...............................................................................................................46 4.4 Pravila deriviranja........................................................................................................................................46 4.5 Tangenta i normala .....................................................................................................................................47 4.6 L'Hospitalovo pravilo ...................................................................................................................................47 4.7 Derivacije višeg reda...................................................................................................................................48 4.8 Monotonost i derivacija funkcije ..................................................................................................................48 4.9 Ekstremi, točke infleksije.............................................................................................................................49 4.10 Asimptote, još jednom.................................................................................................................................52 4.11 Ispitivanje tijeka i crtanje grafa funkcije.......................................................................................................53

4b Rješenja...............................................................................................................................................56

5. Vektori .................................................................................................................................................60 5.1 Operacije s vektorima..................................................................................................................................61 5.2 Koordinatizacija prostora.............................................................................................................................63

5b Vježbe..................................................................................................................................................65

5c Rješenja...............................................................................................................................................66

6. Analitička geometrija .........................................................................................................................67 6.1 Ravnina u prostoru ......................................................................................................................................67 6.2 Pravac u prostoru ........................................................................................................................................69 6.3 Međusobni položaj pravca i ravnine............................................................................................................71

6b Vježbe..................................................................................................................................................72

6c Rješenja...............................................................................................................................................74

Napomene o predmetu

1

0. Napomene o predmetu (koje, naravno, nećete pažljivo pročitati)

Osnovno Najosnovnije: Ja sam Slobodan Pavasović, držat ću vam nastavu iz predmeta Matematika 1.

Prema rasporedu, nastava je srijedom od 10-12h (zapravo, 10.15-12.00 s pauzom u vremenu 11.00-11.15) u predavaonici C8.

Moja soba je na 2. katu zgrade A (A201), tel. 303-383, e-mail [email protected]. Iznimno, ni broj mobitela nije neka posebna tajna, ali o tom potom. Budući da ionako nećete ovaj tekst pročitati do kraja, dok ste još budni osnovna napomena: za sve što vas muči i što biste htjeli reći (pa čak i ako nema izravne veze s mojim predmetom), obratite mi se kad god želite (na Fakultetu, ali ako imate neki stvarno ozbiljan problem nemojte se ustručavati ni izvan Fakulteta). Iz iskustva (hm, iz davnog iskustva ) znam da su ljudi poprilično izgubljeni na početku studiranja, pogotovo kad nastava krene punim intenzitetom pa ih zatrpa. Jedino što vam ne mogu obećati je da ću istog trena imati vremena za vas – dogovorit ćemo neki termin i onda sam samo vaš.

Predmet obuhvaća 15 nastavnih sati predavanja i 15 nastavnih sati vježbi. "Težina" predmeta je 2 ECTS boda; u prijevodu, to znači da je ukupni angažman studenta na ovome predmetu 60 "sunčanih" sati (sunčani sat traje 60, a nastavni 45 minuta). Pritom se podrazumijeva da je student donio iz srednje škole potrebno predznanje – u protivnom je moguće potrebno i više vremena (plaćanje "minulog nerada"). U ove sate uračunava se sav studentski angažman vezan uz predmet (prisustvovanje nastavi, pohađanje demonstratura, samostalan rad kod kuće, različiti oblici provjere znanja).

Gruba podjela ovoga angažmana je: predavanja i vježbe: 22,5 demonstrature i konzultacije s predmetnim nastavnikom 11,5 pisanje parcijalnih pismenih ispita i polaganje ispita; 2 samostalan rad: usvajanje materije predstavljene na predavanjima i

vježbama, pisanje domaćih radova, itd. 24

Preporučam vam da zapisujete vaš stvarni angažman oko predmeta. Nakon semestra studenti će u sklopu programa za osiguranje kvalitete studija biti u prigodi dati svoje mišljenje o predmetu i predmetnom nastavniku, kao i o utrošenom vremenu na predmet.

Nastava se izvodi kroz 2 povezana sata tjedno. Zbog jako male satnice nećemo strogo odvajati predavanja od vježbi, nego ću gradivo izložiti "u paketu".

Osim nastave, organizirat ćemo i demonstrature (dvaput tjedno po jedan sat), i to na sljedeći način: u terminu krajem tjedna, demonstratorica će rješavati zadatke i na kraju termina podijeliti

domaći rad; u terminu početkom tjedna donijet ćete rješenja (i pokušaje rješenja), i zajedno s

demonstratoricom javno riješiti zadatke. Riješene domaće radove ostavljate demonstratorici koji ih predaje meni a ja ih čuvam u Vašem "dosjeu" i zadržavam pravo razgovarati o njima na ispitu.

Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture

2

Demonstrature i domaći radovi će prvih mjesec dana biti posvećeni krpanju srednjoškolskih rupa, potom će biti strukturirani prema onome što vas bude mučilo. Pohađanje demonstratura nije obvezno, ali je u vašem interesu.

Popis literature za predmet je (brojevi u zagradama se kasnije koriste pri citiranju literature): [1] S. Pavasović, Matematika 1 – nastavni materijali, Split, 2008. (koje upravo čitate); [2] T. Bradić, J.Pečarić, R. Roki i M. Strunje, Matematika za tehnološke fakultete, Element,

Zagreb,1998.; [3] B. P. Demidovič, Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenom na tehničke

nauke, Tehnička knjiga, Zagreb, 2003.; [4] S. Pavasović, T. Radelja, S. Banić i P. Milišić, Matematika 1 – riješeni zadaci, Građevinski

fakultet, Split, 1999.

Preporučam vam i konzultiranje materijala koje je priredio prof.dr. Ivan Slapničar na mrežnoj adresi http://lavica.fesb.hr/mat1/. Posebno preporučam PDF-verzije predavanja i vježbi dostupne na ovoj stranici. Budući da mi se čini kako je osnovni problem studentima u ovakvome predmetu prevesti suhi matematički rječnik u neformalniji ali razumljiv, u nastavku ovih bilješki naći ćete neformalne komentare koji će vam (nadam se) pomoći da shvatite "o čemu se tu zapravo radi". Materijali su detaljniji u dijelovima koje studenti najčešće nauče napamet bez razumijevanja, a oskudniji u formalnim zapisima (kojih ima dovoljno u raspoloživoj literaturi).

Nastavni materijali i sve obavijesti o predmetu nalazit će se na mrežnim stranicama Katedre za matematiku i fiziku (http://www.gradst.hr, potom slijedite poveznice s početne fakultetske stranice). Posebno razmotrite Izvedbeni plan nastavnog programa, u kojem detaljno piše što od vas tražim i što vam obećavam. Tijekom semestra svratite povremeno na ovu stranicu i provjerite ima li kakvih nastavnih materijala/obavijesti/želja/pozdrava/poruka.

Smisao nastavnih materijala je u tome da se nastava ne pretvori u vaše prepisivanje mojih nečitkih bilješki s ploče – u tom slučaju ljudi se koncentriraju isključivo na to da točno prepišu, a ja sam prisiljen zapisati sve što mislim da vam treba; to onda i nije neka nastava. Ovdje ćete (u vrlo neformalnom obliku) imati zapisane osnovne stvari, a tijekom predavanja i vježbi bilježit ćete napomene i pojašnjenja. Zadatke ćemo rješavati zajedno, u materijalima su samo tekstovi zadataka.

Per aspera ad astra, ili kako do ocjene Pohađanje nastave je obvezno! Nemojte donositi opravdanja liječnika, roditelja, sportskih klubova, skupa stanara, humanitarnih udruga... Pogotovo mi nemojte doći s antologijskom rečenicom "ne mogu danas bit na nastavi jer imam vožnju". Jednostavno, ili jeste ili niste na nastavi – nema "opravdanih" i "neopravdanih" izostanaka. Pohađanje (štoviše, "aktivno" pohađanje) nastave jedna je od komponenti konačne ocjene.

Do ocjene možete doći na dva načina: Teži način: polaganjem ispita nakon završetka semestra (ukupno 4 ispitna termina, od toga

četvrti put pred tročlanim ispitnim povjerenstvom); Lakši način: ocjenu možete steći tijekom semestra, sakupljanjem (ukupno 100) bodova.

Tijekom semestra imat ćete dva kolokvija od kojih će svaki imati pismeni i usmeni dio. Na svakom kolokviju moći ćete steći 40 bodova (pismeni dio 25, usmeni dio 15 bodova). Da biste se kvalificirali za usmeni dio, na pismenome morate dobiti barem 5 bodova. Da biste stekli pravo na ocjenu ovim putem, na svakom od kolokvija morate zaraditi barem 15 bodova. (Ovdje namjerno ne najavljujem kriterij transformacije osvojenih bodova u ocjene – na kraju semestra svakom će studentu biti ponuđena ocjena koju može prihvatiti ili odbiti,

Napomene o predmetu

3

na tragu tzv. "relativnog ocjenjivanja"). Ostali oblici provjere znanja (kvizovi, blic-provjere, domaće zadaće, ...) mogu vam donijeti do 15 bodova, a redovito pohađanje nastave 5 bodova. Dodatno, student može po želji/potrebi (ako je na granici između dviju ocjena, a zainteresiran je za pokušaj stjecanja veće ocjene) dobiti još 10 bodova na ispitu.

Ispit, kako to gorko zvuči Ispit, ako se odlučite za takav način stjecanja ocjene, je kombinirani (pismeno-usmeni). To znači da grupa (najviše 7) studenata dobiva ispitna pitanja, imaju nekih 30-45 minuta za napisati koncept odgovora nakon čega ćemo malo popričati. Na ispitu nemate prava (a ni potrebe) koristiti bilo kakva pomagala (dopuštam jedino tablicu "osnovnih" derivacija).

Na prva dva ispitna termina priznaju se rezultati postignuti na kolokvijima, tj. moguće je polaganje samo onog dijela koji nije položen preko kolokvija. Na preostala dva ispitna termina polaže se cijelo gradivo.

Posebna opcija na ispitu je „Ispit za dovoljan“. Ukoliko odaberete ovu opciju, dobivate deset elementarnih zadataka/pitanja, i točnim odgovorima/rješenjima 75% zadaće stječete ocjenu dovoljan (2). Volio bih da se što manje studenata opredijeli za ovu opciju: gradivo nije toliko teško da biste se ograničili na tako nisku ocjenu, a nekako je šteta započeti studiranje sakupljanjem dvojki.

Polaganje ispita nakon odslušanog predmeta teži je način polaganja jer onda čovjek obično prespava semestar i misli da će uspjeti spremiti ispit za tjedan-dva "ozbiljnog" rada. Onda po gradu slušate kako "mali po cili dan uči, tri dana nije izaša iz kuće". Razmislite malo: ako ste prespavali predavanja i vježbe, pa još propustili demonstrature i domaće zadaće, koliko vam vremena treba da biste uopće pohvatali konce, a kamoli dobro spremili ispit?

Na svim oblicima provjere znanja morate pokazati: sposobnost primjene elementarnih tehnika (od zbrajanja razlomaka, preko sređivanja

algebarskih izraza do deriviranja i izračunavanja limesa); sposobnost rješavanja jednostavnih zadataka iz gradiva obuhvaćenog predmetom; razumijevanje pojmova predstavljenih tijekom nastave.

Je, jako je općenito, ali kroz samo odvijanje nastave postat će jasnije što se i kako od vas traži. Ispitna pitanja za ovaj predmet neću sastaviti. Naime, obično neki student sastavi listu "odgovora" na pitanja s liste i onda se javljaju barem dva problema: prvo, dio "odgovora" na tim listama je "ajmemajko" kvalitete. Drugo, studenti nabubaju napamet "odgovore" i takvi dođu na ispit uvjereni da su spremni i da moraju proći.

Kolokviji su i lakša i mudrija varijanta iz nekoliko razloga: svaki kolokvij obuhvaća samo dio gradiva (otprilike polovicu); drže vas "u treningu" tijekom semestra; omogućavaju vam da ocjenu dobijete neposredno nakon završetka nastave i tijekom

ispitnih rokova se posvetite drugim predmetima;

Primjeri kolokvija i ispita postavljeni su na mrežnu stranicu predmeta

Ovo je trebalo biti na početku Evo nekih napomena iz kojih ćete razumjeti što od vas očekujem i što vam preporučam: Osnovno što od vas očekujem i zahtijevam za bilo koju prolaznu ocjenu jest razumijevanje

pojmova. Nemojte štrebati napamet definicije, to je beskoristan trud i nikakvo znanje.


4

Jednako je "korisno" učiti napamet telefonski imenik. S druge strane, kad shvatite što se iza pojedinog pojma stvarno krije, vidjet ćete da je cijeli predmet u biti malo teža plesna škola. Na primjer, tražit ću od vas da "razumijete" što je funkcija, da znate prokomentirati graf neke funkcije, da razumijete što znače neka osnovna svojstva funkcija – ne da mi otpjevate definicije nego da to ispričate "svojim riječima", i da ste u stanju razmisliti i doći do odgovora na postavljeno "problemsko" pitanje o funkciji.

Elementarne matematičke tehnike (srednjoškolsko gradivo) bi se trebale podrazumijevati; ja bih, u biti, trebao nastaviti tamo gdje je srednja škola stala, ali to nije dobra ideja. Na samoj nastavi nećemo imati puno vremena za prisjećanje na srednju školu (osim na samome početku semestra), ali će tome biti posvećen početni dio demonstratura.

Olakšajte si život, primite se posla od početka semestra. Upamtite, ja imam pravo samo na 60 sati vašeg života – ako to ravnomjerno rasporedite, to je oko 4 sata tjedno za sve oblike nastave. Sigurno je da će vam biti lakše ako vas netko uzme za ruku i provede kroz predmet, nego da poslije sami pokušavate nekako skrpati o čemu se tu zapravo radi.

Jedan od osnovnih postulata Bolonjske deklaracije je partnerski odnos u procesu studiranja. Pokušajte se što prije otresti srednjoškolskog pogleda na svijet, podjele na "mi" i "oni". U istom smo brodu, i ako vi počnete tonuti tonem i ja s vama. Ako vam se čini da samo vi veslate, ljuto se varate – moj je angažman na predmetu u najmanju ruku jednak vašemu. Za partnerski odnos potrebni su partneri!

Potrudite se da na nastavi budete "dušom i tijelom", ne samo zbog eventualnog stjecanja bonus-bodova, nego i zbog toga što je to daleko najlakši put do položenoga ispita. Sudjelujte u nastavi, razmišljajte, pitajte, recite što imate!

Lijepo vas molim, ne pokušavajte "igrati prljavo". Naravno da mi je jasno da možete sjesti na zidić i prepisati domaći rad, možete pokušati na listu evidencije potpisati prijatelja/icu, znam za milijun tehnika kojima se možete pokušati poslužiti ne biste li "lakše" došli do ocjene. Nitko (pa ni ja) ne voli da ga se pokušava napraviti budalom, ali to čak nije najvažniji razlog: mislim da imate previše godina a da se pri prepisivanju domaćeg rada ne biste osjećali iznimno blesavo; drugo, ponuđena vam je iskrena i poštena suradnja, nudim vam svu moguću pomoć u svladavanju ovoga predmeta – mislim da je i pametno i pošteno odraditi svoj dio posla isto tako iskreno i pošteno.

Na kraju, nekoliko banalnosti. Dakle, nemojte (dovršite rečenicu): kasniti na nastavu. Imamo malo vremena za nastavu, ako ćemo pola potrošiti na

čekanje spavača, nije dobro. Ako već zakasnite, nemojte se ispovijedati o zloj budilici, podivljalim autobusima, teškom djetinjstvu... uđite, sjednite, uhvatite se posla;

jesti i/ili piti za vrijeme nastave. Ništa kava, ništa čaj, boce s vodom, sendvič, jogurt...; baviti se nečim drugim (drugim predmetom, novinama, koeficijentima, ...) za vrijeme

nastave. Zaboravite na srednjoškolsku "tih(a) sam pa ne smetam" logiku; ako ste s nama onda budite s nama. Ako vas zateknem u bavljenju nečim drugim, bit ćete udaljeni s nastave i taj termin se tretira kao izostanak;

ostaviti mobitel upaljen; protezati se ni zijevati bez ruke na ustima (je, smiješno je, ali živi bili pa vidjeli da ne

govorim bez razloga); nikad, nikad, NIKAD pitati "hoće li to biti na ispitu".

1. Uvod

5

1. Uvod (ili odnekud moramo početi) Vječiti problem u izlaganju gradiva "Matematike 1" je odakle početi; naime, svako spominjanje nekog pojma ili oznake zahtijeva barem kratku raspravu o tome pojmu i njegovome kontekstu. U ovako koncipiranom predmetu za to nemamo vremena (a dijelom ni potrebe), pa će neki pojmovi i oznake biti prokomentirani tek onoliko koliko nam to treba u okviru predmeta. Predmet je kao jednodnevno razgledavanje Pariza autobusom: vidjet ćemo najvažnije, naučiti dosta, ali se nećemo zadržavati na pojedinim detaljima.

1.0 Sud, ekvivalencija, implikacija Prije samoga početka, pokušat ćemo se "obračunati" s pričom o implikaciji i ekvivalenciji; ova je priča vrlo jednostavna ako se o njoj malo razmisli – u protivnom, ona je izvor trajne konfuzije.

Implikacija i ekvivalencija su tzv. binarne logičke operacije, koje postavljaju dva suda u izvjestan međuodnos. Sud je "izjava" kojom se nešto tvrdi ili poriče, tj. koja je u određenom trenutku istinita ili lažna. "Danas je srijeda" jest sud, koji je jedan dan u tjednu istinit. "Crveni cincilator fluksira onomatopeju" iz razumljivih razloga nije sud.

Implikacija: što, dakle, znači izjava "A implicira B" (A ⇒ B) pri čemu su A i B sudovi?

Najčešći "odgovori" su u biti pokušaj izbjegavanja ("metoda sitnog šverca"): "to znači da B slijedi iz A", "to znači da A povlači B", "to znači da ako je A, onda je i B" i slično. Ne može se reći da su ovi odgovori netočni, ali nam ni najmanje ne pomažu u razumijevanju implikacije.

"Životni" primjer: "Ako dobijem na lotu, bit ću bogat". Osnovna poruka ove implikacije je jasna: (dobitak na lotu ⇒ bogatstvo). Ali, to nije sve; da bi se potpuno razumjelo implikaciju, potrebno je znati i razumjeti odgovore na pitanja "Što je s bogatstvom ako ne dobijem na lotu?" i "Što je (bilo) s dobitkom na lotu ako nisam postao bogat?"

Srećom, postoje i drugi načini stjecanja bogatstva – moguće je da se netko obogati i ako nije dobio na lotu. S druge strane, nije moguće (za ljubav matematike ćemo preskočiti mogućnosti mizernoga dobitka ili puno dobitnika) da netko dobije na lotu i ne bude bogat.

Poopćimo stvar na "suhi" matematički zapis: implikacija A ⇒ B ("ako jest A, onda jest B") jamči istinitost tvrdnje B ako je tvrdnja A istinita ("iz istine slijedi istina") i neistinitost tvrdnje A ako je tvrdnja B neistinita ("iz istine ne može slijediti laž"); međutim, ako je tvrdnja A neistinita, ne znamo ništa o istinitosti tvrdnje B ("iz laži može slijediti bilo što").

Zadatak: Smislite sami nekoliko primjera implikacije i protumačite ih. Posebno razmotrite slučajeve "laž ⇒ istina" i "laž ⇒ laž".

Ekvivalencija je daleko jednostavnija i za razumijevanje i za objašnjenje. Izjava "A je ekvivalentno B" (A ⇔ B, "B jest ako i samo ako jest A") znači da su A i B "jednakovrijedni", tj. čim poznajemo jednog od njih znamo i drugoga: ili su obje tvrdnje istinite ili su obje tvrdnje laž.

"Životni" primjer: iskustvo nas uči da roditeljska rečenica "Ako budeš dobar, kupit ću ti sladoled" nije ekvivalencija nego "samo" implikacija – kombinacijom umiljatosti i/ili gnjavljenja sladoled se može dobiti i ako nismo bili dobri. Kada bi roditelji govorili "Kupit ću ti sladoled ako i samo ako budeš dobar", stvari bi se zakomplicirale.

Zadatak: Smislite sami nekoliko primjera ekvivalencije i protumačite ih.


6

1.1 Skupovi Skup je jedan od pojmova koji su nam razumljivi nekako "sami po sebi", ali kad počne dublja rasprava o njima (koju mi nećemo provoditi), stvari ubrzo postaju komplicirane i apstraktne.

Zgodno je na početku nastave postaviti pitanje "Što je to skup?" – naime, svi imamo nekakvu intuitivnu ideju o tome, ali kad tu ideju treba pretočiti u definiciju, eto nas u problemu. Najčešći pokušaj je "definicija" po kojoj "skup čine objekti koje povezuje neko zajedničko svojstvo". Slijedi obvezno pitanje mogu li elementi jednog skupa biti krava, telefon i lopta, i uobičajeni niječan odgovor. Naravno da mogu; ako ja iz nekih čudnih razloga želim napraviti skup čiji će elementi biti krava, telefon i nogometna lopta, definicija skupa mi to ne smije zabraniti. Pritom je jedino "zajedničko svojstvo" ova tri elementa činjenica da pripadaju tome skupu.

"Službena" definicija skupa zvuči kao prijevara: naime, skup je jedan od fundamentalnih matematičkih pojmova i ne definira se. Eventualno, možemo dati poprilično filozofsku definiciju "Skup je množina objekata", kojom, pošteno rečeno, baš i nismo rekli nešto određeno. U svakom slučaju, skup je određen ako se točno zna tko/što jest a tko/što nije njegov element – zvuči kao "otkrivanje tople vode", ali nije: razmislite malo o "skupovima" pametnih, mladih, lijepih... ljudi; ovo nisu dobro definirani skupovi.

Napomena: kad govorimo o skupovima, studenti najčešće nehotice razmišljaju o skupovima brojeva. Istina je da ćemo se u ovom predmetu najviše baviti skupovima brojeva (točnije, skupom realnih brojeva), ali treba imati na umu da elementi skupa mogu biti vrlo raznoliki.

Nekoliko osnovnih naznaka, koje bi vam trebale biti poznate: Skup možemo zadati nabrajanjem elemenata ili navođenjem svojstva koje njegovi elementi

moraju zadovoljavati: 1, 3, 7, 9, parni brojevi manji od 72, ljudi mlađi od 25 godina. Dva skupa su jednaka ako sadrže iste elemente. Broj elemenata skupa A zovemo kardinalni broj skupa A i označavamo s c(A). Skup bez elemenata nazivamo prazan skup, i označavamo sa ∅. Prazan skup je podskup

svakog skupa, a njegov kardinalni broj je 0. Ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B, kažemo da je A podskup od B

(pritom razlikujemo tzv. "pravi podskup", BA ⊂ , i "podskup" BA ⊆ , ovisno o tome smije li skup A biti jednak skupu B – u slučaju pravog podskupa ne smije).

Među skupovima definiramo presjek BA ∩ (zajednički elementi), uniju BA ∪ (svi elementi iz barem jednog od skupova A i B, skupovnu razliku BA \ (elementi skupa A koji nisu u skupu B) i Kartezijev produkt BA× (uređeni parovi oblika (a,b) gdje je a∈A, b∈B).

Zadatak: Što je dovoljno pa da skup A ne bude podskup skupa B? Smislite još neki primjer "loše zadanog skupa". Što možete reći o kardinalnom broju presjeka, unije, skupovne razlike i Kartezijevog

produkta dvaju skupova (u odnosu na kardinalne brojeve tih skupova)? Je li ∅ isto što i ∅? Savjet: prisjetite se da dva jednaka skupa moraju imati iste kardinalne

brojeve.

1. Uvod

7

1.2 Skupovi brojeva

Skupovi N, Z, Q, R Naznačili smo da će nas posebno zanimati skupovi brojeva, a najviše skup realnih brojeva. Za početak, razmotrimo skup prirodnih brojeva N. Kao i obično, svaki početak je težak pa i ovdje imamo problema definirati najjednostavniji i najpoznatiji skup brojeva (kojeg intuitivno doživljavamo otprilike kao "ma to je ono jedan, dva, tri..."). Definiciju skupa prirodnih brojeva možete pogledati u [2], a za naše potrebe samo ćemo spomenuti da skup N gradimo definiranjem elementa koji zovemo "jedinica" i funkcije sljedbenika koja svakom prirodnom broju pridružuje njegov sljedbenik (koji je također prirodan broj). Tako je broj 2 sljedbenik broja 1, broj 3 sljedbenik broja 2 (odnosno, "sljedbenik sljedbenika broja 1"), itd.

Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa N: Zbroj i umnožak dvaju prirodnih brojeva je prirodan broj; Razlika i kvocijent dvaju prirodnih brojeva nije nužno prirodan broj; Skup N je beskonačan, ima najmanji i nema najveći element.

Sada je lakše; "dokopali" smo se osnovnoga skupa brojeva, kojega ćemo po potrebi proširivati. Motivi za proširivanje su dvojaki: "matematički" – željeli bismo skup brojeva u kojem bi bile definirane sve računske operacije, i "životni" – željeli bismo skup brojeva kojima bismo mogli iskazati različite primjere iz života.

Za početak, definiramo N0 na sljedeći način: N0 = N ∪ 0.

Prvo "pravo" proširenje skupa N je skup cijelih brojeva Z = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... – sada npr. možemo zapisivati negativne temperature zraka i slično.

Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa Z: Zbroj, razlika i umnožak dvaju cijelih brojeva je cijeli broj; Kvocijent dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj, a dijeljenje s nulom nije definirano.

(Važna napomena: nemojte izjavljivati da je "neki broj podijeljen s nulom jednak beskonačno" jer to nije istina! Jedina istinita izjava o dijeljenju s nulom je da ono nije definirano. Na ovu napomenu ćemo se vratiti kada budemo razmatrali limes funkcije);

Skup Z je beskonačan, nema najmanji ni najveći element. Cijelih brojeva ima jednako koliko i prirodnih, tj. cijeli brojevi se mogu prebrojiti (to, naravno

ne znači da je N = Z, ali imaju jednake kardinalne brojeve – očito, pojam "beskonačnosti" nije jednostavan).

Sljedeće proširenje je skup racionalnih brojeva Q. Najjednostavnije (i ne sasvim precizno), racionalni brojevi su razlomci. Potreba za razlomcima očita je iz niza svakodnevnih primjera: od kupovine kruha do pripravljanja napitaka.

"Službena" definicija skupa racionalnih brojeva je:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∈= 0,,: qZqpqpQ

Uočite da smo i ovdje zabranili nulu u nazivniku (dijeljenje s nulom nije definirano). Još jednom naglašavamo da se ne radi o tome da ćemo, nakon što definiramo beskonačnost, "dopustiti" da 1/0 bude beskonačno – dijeljenje s nulom neće biti definirano ni tada.


8

Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa Q: Zbroj, umnožak, i razlika dvaju racionalnih broja je racionalan broj. Kvocijent a/b racionalnih

brojeva je racionalan broj ako je b ≠ 0, inače nije definiran; Skup Q je beskonačan, nema najmanji ni najveći element; Za razliku od skupova N i Z, podskup skupa Q može imati i najmanji i najveći element a

imati beskonačno mnogo elemenata. Racionalni brojevi mogu se prebrojiti, odnosno racionalnih brojeva ima jednako koliko i

prirodnih (ovo je malo teže uočiti na prvi pogled od prebrojavanja cijelih brojeva).

Sljedeće proširenje možemo motivirati pitanjem: "Kolika mora biti stranica kvadrata da bi mu površina bila 2?", odnosno traženjem rješenja jednadžbe 22 =x . U knjizi [2], str. 11, predstavljen je dokaz da 2 nije racionalni broj (kažemo da je iracionalan), tj. ne može se prikazati kao razlomak – dokaz je samo naizgled kompliciran, jedini problem za njegovo razumijevanje je nenaviknutost na matematički tekst.

Ovim proširenjem (dopunjavanjem skupa Q skupom iracionalnih brojeva) došli smo do skupa realnih brojeva R. Sjetite se da i dalje imamo potrebu za proširenjem; u skupu realnih brojeva ne možemo riješiti jednadžbu 12 −=x . Međutim, u ovom predmetu nećemo razmatrati skup kompleksnih brojeva C u kojem je i ova jednadžba rješiva.

1.3 Priče o skupu R

Priča prva: geometrijski prikaz (realnih) brojeva Brojeve koje smo definirali u prethodnom poglavlju možemo prikazati na tzv. brojevnom pravcu – pravcu na kojem smo odredili dvije točke i njima pridružili brojeve 0 i 1 (nakon čega možemo jednostavno svakome broju jednoznačno pridijeliti njemu pripadajuću točku brojevnog pravca). Intuitivno je jasno da prirodni i cijeli brojevi ne prekrivaju cijeli brojevni pravac, tj. da postoji beskonačno mnogo točaka brojevnog pravca kojima nismo pridijelili nijedan prirodni (cijeli) broj. Nešto je manje očita činjenica da ni racionalni brojevi ne prekrivaju cijeli pravac – intuitivno nam izgleda da razlomaka ima "jako puno" i da prekrivaju cijeli pravac. Na slici vidimo jednostavan način kako se iracionalnom broju 2 pridjeljuje točka na brojevnom pravcu (dijagonala kvadrata stranice 1 preslika se na brojevni pravac) – time se pokazuje da tek skup realnih brojeva potpuno prekriva brojevni pravac.

Napomena: Budući da je pridruživanje točaka brojevnog pravca realnim brojevima jednoznačno (svaka točka pridružena je točno jednom broju, svaki broj ima točno jednu pridruženu točku), pojednostavnjeno govorimo npr. o "točki 1", iako bi zapravo trebalo reći "točka na brojevnom pravcu pridružena broju 1". Slično ćemo pojednostavnjenje kasnije koristiti kod razmatranja dvodimenzionalnog koordinatnog sustava i grafova funkcija.

1. Uvod

9

Priča druga: podskupovi skupa R, intervali Kao i za svaki drugi skup, podskupove skupova N, Z i Q označavali smo tako da u vitičastim zagradama nabrojimo njihove elemente ili navedemo svojstvo koje elementi zadovoljavaju. Na isti način, naravno, možemo označavati i podskupove skupa R, no ovdje definiramo posebnu vrstu podskupova, tzv. intervale. Za realne brojeve a i b, gdje je a < b, definiramo:

( ) [ ] [ ) ( ] interval poluotv.,,

interval poluotv.,,interval zatvoreni ,,

interval otvoreni,,

bxaRxbabxaRxbabxaRxbabxaRxba

≤<∈=<≤∈=≤≤∈=<<∈=

.

Ovakav zapis podskupova skupa R praktičan nam je jer ćemo se intervalima često koristiti, pa bi bilo naporno svaki put ispisivati "puni" zapis skupa. Osim toga, zapis intervala nas vizualno podsjeća da se u geometrijskom prikazu radi o dijelu brojevnoga pravca od točke a do točke b. Prisjetimo se: racionalni, cijeli ili prirodni brojevi x za koje je a < x < b ne prekrivaju sve točke brojevnog pravca između a i b.

Za neki realni broj x0, često će nam (npr. u razmatranju svojstava funkcija) trebati interval oblika (x0-ε, x0+ε), gdje je ε neki realni broj, ε>0. Ovakav interval zovemo okolina broja x0.

Napomena 1: Pojam okoline je izuzetno jednostavan – uzeli smo neki simetričan interval oko točke (odnosno, oko broja) x0. Međutim, budući da nam se ovdje po prvi put u zapisu pojavljuje slovo ε, zapis izgleda vrlo "znanstveno".

Napomena 2: Općenito, ε iz definicije okoline broja x0 može biti bilo koji pozitivan realni broj. Međutim, u praksi najčešće promatramo "male" okoline – one u kojima je ε jako mali (ali još uvijek strogo veći od 0).

Zadatak: Razmotrite okoline rubnih točaka otvorenog, zatvorenog i poluotvorenog intervala, tj. u kojim su slučajevima te okoline podskupovi intervala za svaki odabir ε, za neki odabir ε, a u kojim slučajevima nisu podskupovi ni za jedan odabir ε.

Posebno, razmotrite svojstvo otvorenog intervala da za svaku njegovu točku postoji okolina koja je cijela u tome otvorenom intervalu. Koje točke poluotvorenih i zatvorenih intervala nemaju to svojstvo?

Priča treća: ograničenost (ograđenost, omeđenost) skupa realnih brojeva Primijetimo: definirali smo intervale kojima su rubovi realni brojevi; takva definicija nam ne omogućava zapisati u obliku intervala npr. skup svih realnih brojeva manjih ili jednakih 1, ili cijeli skup R. Da bismo mogli u obliku intervala zapisati i ovakve skupove realnih brojeva (dakle, radi jednostavnijeg zapisivanja izraza), skup R proširujemo s dva elementa koje zovemo "minus beskonačno" (oznaka: ∞− ) i "beskonačno" (oznaka: ∞ ). Ove elemente definiramo kako slijedi (oznaka ∀ čita se "za svaki"):

−∞>∈∀∞<∈∀

xRxxRx

,,

.

Koristeći ova dva elementa, sada npr. možemo zapisati skup svih realnih brojeva manjih ili jednakih 1 kao interval ( ]1,∞− , a skup R kao ( )∞∞− , .


10

Napomena: ∞− i ∞ nisu realni brojevi i za njih ne vrijede računske operacije definirane u skupu realnih brojeva (zbog toga se uz ∞− i ∞ kao granicu intervala uvijek stavlja obla zagrada). Skup R je ostao kakav je bio i do sada, nema ni najmanji ni najveći element. Nažalost, nerijetko se pokušava improvizirati nekakvo "računanje s beskonačnošću": na primjer, česta je (i pogubna) zabluda kako je 0=∞−∞ . U poglavlju o limesu funkcije mi ćemo govoriti o tzv. "računanju s beskonačnošću", ali ćemo jasno odrediti što pod time podrazumijevamo.

Priča o (ne)ograničenosti skupova realnih brojeva je silno jednostavna, a ipak stvara probleme. Naime, čim se u nekakvom matematičkom tekstu počnu pojavljivati (uvjetno rečeno) "ekskluzivno matematički" pojmovi i oznake, stječe se pogrešan dojam da je tekst jako težak. Kao posljedica, umjesto pokušaja razumijevanja tekst se pokušava "svladati" učenjem napamet. Tako će nam i ovdje pojmovi kao što su "gornja (donja) granica", "infimum", "supremum", "najveća donja (najmanja gornja) granica", stvoriti dojam kako je priča koju pričamo teška i nerazumljiva.

Promotrimo pojam ograničenosti općenito: što znači da je nešto ograničeno? Odgovor izgleda lakonski: znači da to "nešto" ima granicu. Pokušajte sami izreći: što bi mogla značiti izjava da je neki podskup skupa realnih brojeva ograničen odozgo (ili odozdo)? Naravno, to znači da ima neku gornju ili donju granicu. Preostaje nam samo još definirati što je to gornja (donja) granica nekog skupa realnih brojeva. Razmotrimo najprije pojam gornje granice, od intuitivnog "osjećaja" za njezino (ne)postojanje pa do formalne definicije.

Zadatak: Za koje od sljedećih skupova intuitivno smatrate da imaju gornju granicu? Odredite gornju granicu tim skupovima: 1, ≤∈ xRx ; 1, −≥∈ xRx ;

2, 2 <∈ xRx .

Gornju granicu imaju prvi i treći skup: nijedan element ovih skupova nije veći od npr. 1.000 (niti od 10.000, niti od 32.538). Jednostavno, skup S ⊆ R ograničen je odozgo ako postoji realan broj M takav koji je veći od svih elemenata skupa S. Broj M zovemo gornja granica skupa S.

Zadatak: Sami iskažite analognu definiciju odozdo ograničenog skupa S realnih bojeva.

Konačno, neki skup S⊆ R je ograničen ako je ograničen odozdo i odozgo.

Vjerojatno ste kao gornju granicu za prvi skup postavili 1, a za treći skup 2 . Naime, prvi se skup može zapisati kao interval ( −∞ , 1], a treći kao ( 2− , 2 ) pa onda izgleda prirodno uzeti desnu granicu intervala kao gornju granicu (odnosno, ako postoji, lijevu granicu intervala kao donju granicu). To jest točno, odnosno to jesu gornje granice (štoviše, to su u izvjesnom smislu "najljepše" gornje granice), ali nisu jedine: svaki broj veći od 1 također je gornja granica prvog skupa. Ako skup ima gornju (donju) granicu, onda ih ima beskonačno.

Spomenuta "ljepota" granica 1 i 2 je u tome što su to najmanje gornje granice i kao takve najbolje opisuju "ponašanje" članova toga skupa (više znamo o članovima skupa, tj. o njihovoj veličini, ako kao gornju granicu promatramo 1 nego 10.000, a čini se razumnim da su nam "ljepše" one granice koje bolje opisuju skup). U čemu je razlika između njih? Broj 1 jest, a broj

2 nije element skupa kojemu je gornja granica, pa kažemo da je broj 1 maksimum prvog

1. Uvod

11

skupa a broj 2 supremum trećeg skupa. Analogno se najveća donja granica naziva infimum, a ako je element skupa minimum.

Nakon opširne (i dijelom matematički "neprecizne") rasprave, evo i "službenih" definicija opisanih pojmova.

Definicija: Skup S ⊆ R je ograničen odozdo ako postoji realni broj m koji je manji ili jednak od svih

elemenata iz S. Svaki ovakav broj m zovemo donja granica skupa S; Ako je realni broj m najveća donja granica skupa S⊆ R i ako je m∉S, kažemo da je m

infimum skupa S; Ako je realni broj m najveća donja granica skupa S⊆ R i ako je m∈S, kažemo da je m

minimum skupa S; Skup S⊆ R je ograničen odozgo ako postoji realni broj M koji je veći ili jednak od svih

elemenata iz S. Svaki ovakav broj M zovemo gornja granica skupa S; Ako je realni broj M najmanja gornja granica skupa S⊆ R i ako je M∉S, kažemo da je M

supremum skupa S; Ako je realni broj M najmanja gornja granica skupa S⊆ R i ako je M∈S, kažemo da je M

maksimum skupa S; Skup S⊆ R je ograničen ako je ograničen odozgo i odozdo.

Konačno, čemu ovoliko priče oko tek nekoliko jednostavnih pojmova? Prije svega, iskustvo pokazuje da studenti s ovim pojmovima imaju problema (uglavnom zbog toga što ih pokušavaju naučiti napamet bez razumijevanja). Nadalje, pojam ograničenosti će nam trebati u razmatranju funkcija.

Priča četvrta: apsolutna vrijednost realnog broja Evo još jedne "silno jednostavne priče" (ne bojte se, neću za sve priče do kraja predmeta tvrditi da su silno jednostavne). Dakle, manje-više svi znamo napisati da je apsolutna vrijednost realnog broja:

⎩⎨⎧

<−≥

=0 je ako,0 je ako,

xxxx

x

Problem ponekad nastaje u pravilnom čitanju ove definicije, što se vidi kada treba u istoj formi zapisati čemu je jednako, npr. |2x – 3|. Nerijetko se i ova apsolutna vrijednost (pogrešno!) definira ovisno o tome je li x veći ili manji od nule.

Kod definicija poput ove (kao ni kod nekih drugih izraza koji nas tek očekuju) važno je ne shvaćati x "doslovno". Definicija apsolutne vrijednosti zapravo definira apsolutnu vrijednost bilo kakvog "realnog izraza". Nije jako matematički, ali nije ni pogrešno govoriti o "krumpirima" (u namjeri da se eliminira "robovanje" x-u), pa u ovom slučaju reći da je apsolutna vrijednost "krumpira" definirana ovako:

⎩⎨⎧

<−≥

=0 je ako,0 je ako,

krumpirkrumpirkrumpirkrumpir

krumpir


12

Osnovna svojstva apsolutne vrijednosti lako se provjere "zdravorazumski":

yxyx

yxyx

+≤+

⋅=⋅

U ovim svojstvima govorima o "ponašanju" apsolutne vrijednosti pri množenju i zbrajanju, a x i y su realni brojevi (ili izrazi – dakle, opet "krumpiri") koji mogu biti pozitivni ili negativni – prema tome, uz malo razmišljanja može se lako zaključiti što apsolutna vrijednost "radi" umnošku ili zbroju.

Geometrijska interpretacija apsolutne vrijednosti |x| je udaljenost broja x od nule na brojevnom pravcu. Geometrijska interpretacija izraza |x–y| je udaljenost točaka x i y na brojevnom pravcu.

Napomena: Bez obzira u kojem kontekstu se u zadatku pojavljuje apsolutna vrijednost, u rješavanju zadatka najprije ju treba na "zakonit" način ukloniti – to najčešće znači da se razmatra nekoliko slučajeva ovisno o tome je(su) li argument(i) apsolutne vrijednosti veći ili manji od 0.

Digresija: Vrlo često (ne samo vezano uz apsolutnu vrijednost, nego i inače) studenti ulete u zamku pitanja "kakvog je predznaka –x?", i uredno izjave da je –x negativan ("jer ima minus"). Naravno, ne možemo ništa reći o –x ako ne poznamo koju vrijednost (ili koje sve vrijednosti) može poprimiti x. Dakle, točan odgovor je "ne znamo". Međutim, slijedi trik-pitanje "a kakvog je predznaka –x2?" Poučeni prethodnim pitanjem, studenti često nude isti odgovor "ne znamo". Nažalost opet krivo: budući da je x2 uvijek veći ili jednak nuli, to je –x2 uvijek manji ili jednak nuli. Pouka: Razmišljajte, nemojte lupati!

1. Uvod

13

1b Vježbe 1. Je li 70: ≤≤= xxA dobro zadan skup?

2. Odredite presjek, uniju i skupovnu razliku skupova: A=neparni brojevi manji od 24 i B=djelitelji broja 24.

4. Odredite BA ∩ , BA ∪ i BA \ za skupove: a) A=[0,1), B=(1/2, 2); b) A=[0,1), B=(-1, 0]; c) A=[0,1), B=(-1, 0);

5. Odredite (intuitivno, bez cjelovitog dokazivanja) supremum, infimum, minimum, maksimum (ako postoje), za skupove: a) 2: 2 ≤∈= xRxS b) 2: 2 ≤∈= xQxS

c) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈= Nn

nS ,1

d) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈

+= Nn

nnS ,

1.

6. Analogno definiciji za |x|, zapišite definiciju za |2x-3|.

7. Riješite: a) |3x–2|=1; b) |3x–2|≤1; c) |x+1|–|2x–3|=2;

8. Grafički (geometrijskom interpretacijom apsolutne vrijednosti), riješite nejednadžbu:

111<

+−

xx .


14

1c Rješenja

1. Nije, jer ne znamo iz kojeg skupa brojeva je x.

2. 31,BA =∩ ; ABA =∪ ; 23211917151311975 ,,,,,,,,,B\A =

4. a) ( )121 ,/BA =∩ ; [ )20,BA =∪ ; [ ]210 /,B\A = b) 0=BA ∩ ; ( )11,BA −=∪ ; ( )10,B\A = c) ∅=BA ∩ ; ( )11,BA −=∪ ; [ )10,B\A =

5. a) min(S)= 2− ; max(S)= 2 b) inf(S)= 2− ; sup(S)= 2 c) inf(S)=0; max(S)=1 d) min(S)=1/2; sup(S)=1

6. ⎩⎨⎧

<<−+−≥≥−

=−23032 je ako322303-2x je ako32

32/xtj,x,x/xtj,,x

x .

7. a) x=1/3, x=1 b) 1/3 ≤ x ≤ 1 c) Razmatramo sljedeće slučajeve:

2x4/3x =−−+

>

=−+

<<−

=−+−

−<2 = 3) (2·x 1)(x

232 = 3) (2·x + 1)(x

231

valja ne6x2 = 3) (2·x + 1)(x

1 /x/xx

8. x>0 (nejednadžba opisuje točke koje su bliže 1 nego -1).

2. Funkcije

15

2. Funkcije

2.1 Definicija Pojam funkcije središnji je pojam cijeloga predmeta, i jedan od osnovnih pojmova matematike uopće. Upravo zbog toga ćemo, prije iskazane "službene" definicije funkcije ponešto neformalnijim rječnikom pokušati "prepoznati" što je to funkcija.

Kao i obično, i ovdje ćemo napomenuti da je pojam funkcije iznimno jednostavan (ako se o njemu razmisli a ne uči ga se napamet i bez razumijevanja), a jednostavni su i ostali naglasci ovoga poglavlja: svojstva funkcije i graf funkcije. Jedinu poteškoću može stvarati nešto veći broj pojmova vezanih uz funkcije, ali su svi ti pojmovi lako razumljivi pa ih je lako i upamtiti.

Digresija: Definicije nisu "suha teorija". Definicija nekog objekta/pojma je snažni alat koji omogućava raspoznavanje "tko jest a tko nije". Nemojte definicije učiti napamet; ako ih ne znate primijeniti posve je beskorisna sposobnost "recitiranja".

Na pitanje što je funkcija, najčešći ponuđeni odgovor je "to je zakon pridruživanja", bez ikakvoga pojašnjenja koga pridružujemo kome i na koji način izvodimo to pridruživanje. Isto tako, podsvjesno se razmišlja o funkcijama definiranim nad skupovima brojeva, iako je funkcija daleko općenitiji pojam (toliko općenit da možemo čuti i besmislene izjave poput "trebamo poljoprivredu staviti u funkciju turizma"). Pogledajmo najprije nekoliko primjera preslikavanja između dva skupa:

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

I

II

III

I

II

III

IV

I

II

III

a

b

c

a

b

c

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

a

b

c

D

D

D

D

D

D

K

K

K

K

K

K

1

4

2

5

3

6

Zadatak: Razmotrite sliku i pokušajte intuitivno (na osnovi "vaše" definicije funkcije) odrediti koja od preslikavanja na dijagramima 1-6 jesu funkcije, a koja nisu. Argumentirajte odgovor.

Uobičajeni pogrešni odgovori su "dijagram 1 prikazuje funkciju" i eventualno izjava da dijagrami 3 i 4 ne prikazuju funkcije – razmatranja se svedu na "argument" "lijepi dijagrami prikazuju funkcije, a ružni ne". No, nakon što se kao neslužbena definicija funkcije ponudi izjava "preslikavanje mora biti takvo da svaki element polaznog skupa zna gdje se preslika", lako se


16

dođe do ispravnog zaključka da su funkcije prikazane na dijagramima 2, 3, 4 i 6. Dijagram 1 ne prikazuje funkciju jer element IV nije nigdje preslikan, a na dijagramu 5 element III se preslikava u dva elementa skupa K.

Definicija: Neka su D i K dva neprazna skupa. Preslikavanje koje svakom elementu skupa D pridružuje točno jedan element skupa K zove se funkcija sa D u K, oznaka f : D → K.

Skup D nazivamo domena funkcije (područje definicije). Skup K nazivamo kodomena funkcije (područje vrijednosti). Zanimat će nas i slika funkcije (skup funkcijskih vrijednosti). Slika je podskup kodomene, a čine je oni elementi kodomene u koje se preslikao barem jedan element domene. Na primjer, slika funkcije na dijagramu 2 je a, b, c, a slika funkcije na dijagramu 3 je b.

U definiciji smo istakli tri ključna elementa: postojanje dva neprazna skupa i svojstvo koje preslikavanje mora zadovoljiti da bi funkcija bila definirana. Pritom je spominjanje nepraznih skupova D i K "tehnički argument", tj. iskazivanje banalne činjenice da moramo imati elemente koje ćemo preslikati i elemente koje ćemo im pridružiti, dok su svojstva preslikavanja bitna za prepoznavanje što jest a što nije funkcija.

Ponovimo još jednom, funkcija je jednoznačno određena s tri podatka: domenom, kodomenom i pravilom preslikavanja! Da bi dvije funkcije bile jednake, moraju imati jednake i domene i kodomene i pravilo preslikavanja (ovo nije formalnost: u zadacima ćemo vidjeti da promjena domene i/ili kodomene uz isto pravilo preslikavanja, rezultira novom funkcijom drukčijih svojstava).

Zadatak: Razmotrite međuodnos između kodomene funkcije i slike funkcije. Navedite primjer funkcije kojoj je slika jednaka kodomeni, i funkcije kojoj su slika i kodomena različite.

2.2 Pojmovi i svojstva Nakon što definiramo neki pojam, najčešće tragamo za posebno "lijepim" predstavnicima toga pojma. U slučaju funkcija, razmotrit ćemo dva "lijepa" svojstva: ako se različiti elementi domene preslikaju u različite elemente kodomene (odnosno, ako se

nijedna dva elementa domene ne preslikaju u isti element kodomene), funkcija je injekcija (dijagrami 2 i 6 na prethodnoj stranici);

ako je slika funkcije jednaka kodomeni (odnosno, ako se u svaki element kodomene preslikao barem jedan element domene), funkcija je surjekcija (dijagrami 4 i 6 na prethodnoj stranici).

Injekcije i surjekcije su, dakle, "lijepe" funkcije. Uočimo da je samo dijagram 6 ujedno i surjekcija i injekcija. Uočimo nadalje da je ovo "jako, jako lijepa" funkcija: skupovi D i K imaju jednak broj elemenata i imamo tzv. "1-1" preslikavanje. Funkcija koja je surjekcija i injekcija naziva se bijekcija.

Napomena: Funkcija koja nije bijekcija može se "popraviti", od nje se može dobiti funkcija koja jest bijekcija, i koja čuva preslikavanje koliko je to god moguće: ako funkcija nije injekcija, iz domene uzimamo samo jedan od elemenata koji imaju istu

funkcijsku vrijednost; ako funkcija nije surjekcija, kao kodomenu nove funkcije uzimamo sliku izvorne funkcije.

2. Funkcije

17

Napomena: Naravno, funkcija dobivena od polazne promjenom domene i/ili kodomene nije jednaka izvornoj funkciji (iako nismo mijenjali pravilo preslikavanja). Štoviše, upravo ovaj postupak je najbolji primjer da funkcija nije samo "preslikavanje", jer uz zadržano preslikavanje mijenjanjem domene i/ili kodomene dobivamo novu funkciju različitih svojstava.

Primjer: Razmotrimo f(x)=x2, f : R → R. Ova funkcija nije injekcija (jer je, npr. (–1)2 = 12), ni surjekcija (jer je slika funkcije interval [0, ∞), tj. nijedan broj nema negativnu funkcijsku vrijednost). Ako želimo "lijepu" funkciju (dakle, bijekciju) koja će biti "što sličnija" funkciji f tj. koju ćemo dobiti uz što manje "zahvate" na definiciji funkcije f, postupamo kako slijedi: da bismo postigli injektivnost, provodimo restrikciju domene: definiramo funkciju g(x)=x2,

g : [0, ∞) → R. Funkcija g je injekcija (ali još uvijek nije surjekcija); da bismo postigli surjektivnost, provodimo restrikciju kodomene: definiramo funkciju

h(x)=x2, h : [0, ∞) → [0, ∞). Funkcija h je i injekcija i surjekcija, pa je bijekcija. Primijetimo da u izbor funkcija g i h nije jedinstven; na isti smo način mogli definirati funkcije p(x)=x2, p : (–∞, 0] → R, i q(x)=x2, q : (–∞, 0] → [0, ∞), ili r(x)=x2, r : (1, 3] → (1, 9].

Spomenuli smo već da se funkcije mogu definirati nad bilo koja dva neprazna skupa. Ipak, budući da ćemo se u daljnjim razmatranjima baviti funkcijama oblika f : D → K, gdje su D i K podskupovi skupa realnih brojeva, preostale pojmove i svojstva predstavit ćemo na primjerima takvih funkcija. Ovakve funkcije zovemo realne funkcije realne varijable ("realne funkcije" zbog toga što im je kodomena podskup skupa realnih brojeva; "realne varijable" zbog toga što im je domena podskup skupa realnih brojeva).

Funkcija f : D → K može se zadati na razne načine. Mi ćemo najčešće koristiti eksplicitno zadavanje, tj. zadavanje izrazom y=f(x). Pritom dogovorno (ako nije drukčije naznačeno) podrazumijevamo da funkciju razmatramo na njezinom prirodnom području definicije (to je skup svih realnih brojeva za koje se može izračunati funkcijska vrijednost, tj. za koje funkcija poprima realnu vrijednost), a kao kodomenu uzimamo cijeli skup R;

Definicija: Neka su zadane funkcije f : D → R i g : K → R. Ako je slika funkcije f podskup domene funkcije g, definiramo kompoziciju funkcija, odnosno funkciju h : D → R takvu da je h(x)=g[f(x)]. Kompoziciju funkcija f i g u kojoj na x najprije djeluje funkcija f a potom na f(x) funkcija g, označavamo sa g°f(x).

Nije teško razumjeti kako kompozicija funkcija djeluje na x; možda je jedino na prvi pogled nejasan zahtjev da slika funkcije f bude podskup domene funkcije g, no to je jednostavno preduvjet da bi kompozicija bila dobro definirana. Naime, funkcija g djeluje samo na elemente skupa K i ako bi postojao neki x za koji je f(x) izvan skupa K, za takav x ne bi bila definirana kompozicija g[f(x)] (jer funkcija g "ne zna što bi" s vrijednošću f(x)).

Primjer: Odredite g°f(x) ako je f(x)=2x+3, g(x)=x2 – 2. Rješenje: Moramo odrediti čemu je jednak g[f(x)], odnosno g(2x+3). Jedini problem koji se može pojaviti je "doslovno" shvaćanje argumenta x u definiciji funkcije g. Ovdje opet možemo posegnuti za "krumpirima" i definirati funkciju g kao g(krumpir)=(krumpir)2+2, gdje "krumpir" označava bilo koji realni izraz. Slijedom "logike krumpira":

g°f(x) = g(2x+3)= (2x+3)2 – 2 = 4x2+12x+7.


18

Definicija: Neka je f : D → K bijekcija. Definiramo f –1

: K → D takvu da je ∀x∈D, f–1°f(x)=x.

Funkciju f–1 zovemo inverzna funkcija funkcije f.

Promotrimo li dijagrame 1-6 na početku poglavlja, lako je razumjeti zbog čega f mora biti bijekcija da bi imala inverznu funkciju: samo u tom slučaju sve elemente kodomene "znamo" vratiti u izvorne elemente domene. Ako funkcija nije surjekcija, znači da je neki element kodomene nepokriven funkcijskom vrijednošću (pa se nema kamo vratiti), a ako nije injekcija znači da se u barem jedan element kodomene preslikalo više od jednog elementa domene (pa taj element kodomene "ne zna" u koji bi se od preslikanih elemenata vratio).

Primjer: Odredite inverznu funkciju za f(x)=2x+1. Rješenje: Lako se vidi da je funkcija f definirana na cijelom skupu R i bijekcija je. Vrijedi:

2112

−=

+=yx

xy

Prema tome, ( )2

11 −=− xxf .

Definicija: Nekoliko "brzopoteznih" definicija uz realne funkcije realne varijable f : D → K: Dvije su funkcije jednake ako su im jednake domene, kodomene i pravilo preslikavanja

(odnosno, ako su im jednaka sva tri elementa koja jednoznačno određuju funkciju); nul-točka funkcije je svaki x0 iz domene funkcije f za koji je f(x0)=0; Funkcija je ograničena odozgo (odozdo) ako je njena slika odozgo (odozdo) ograničen skup; Funkcija je rastuća ako x1<x2 ⇒ f(x1)≤ f(x2); Funkcija je padajuća ako x1<x2 ⇒ f(x1) ≥f(x2); Funkcija je strogo rastuća (strogo padajuća) ako su nejednakosti u prethodnim

definicijama stroge; Funkcija je monotona (strogo monotona) ako je rastuća (strogo rastuća) ili padajuća

(strogo padajuća); Funkcija je parna ako je f(x)=f(–x), ∀x∈D; Funkcija je neparna ako je f(x)= – f(–x), ∀x∈D.

Napomena: Svojstvo monotonosti može se razmatrati na dijelovima prirodnog područja definicije funkcije; u tom slučaju govorimo o funkciji koja je po dijelovima monotona.

Nešto detaljnije razmotrit ćemo pojam periodičnosti:

Definicija: Funkcija f je periodična ako postoji broj P takav da je ∀x∈D, ako je x+P∈D, f(x+P)=f(x). Pritom se najmanji takav pozitivan broj P zove osnovni period funkcije f.

Lako se vidi da smo u osnovi zapisali ono što intuitivno smatramo periodičnošću, tj. činjenicu da se "funkcija ponavlja". Ako je područje definicije funkcije cijeli skup R, ne treba nam upit je li x+P unutar područja definicije funkcije, ali za funkcije definirane na nekom podskupu skupa realnih brojeva ovaj upit nam osigurava da ne "iskočimo" iz područja definicije funkcije. Spominjanje "najmanjeg takvog pozitivnog broja" kao osnovnog perioda nužno je zbog toga što je za periodičnu funkciju bilo koji višekratnik od P također period (ali nije osnovni period).

2. Funkcije

19

2.3 Graf funkcije

Definicija: Graf funkcije f : D → K je skup uređenih parova (x, f(x)), x∈D.

Ova definicija vrijedi za svaku funkciju, pa tako i za realne funkcije realne varijable. Graf je, dakle, skup uređenih parova iz kojeg se može "pročitati" kako funkcija djeluje na pojedine elemente domene. Za realne funkcije realne varijable prirodno je ove uređene parove prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini; zbog toga ćemo pod "grafom funkcije" podrazumijevati skup točaka ravnine (x, f(x)), x∈D.

Zadatak: Samostalno ponovite priču o koordinatnom sustavu u ravnini. Provjerite znate li prikazati zadanu točku u ravnini, gdje leže točke s istom apscisom ("prvom koordinatom"), gdje točke s istom ordinatom ("drugom koordinatom"), itd.

(Ne)razumijevanje grafa funkcije, tj. (ne)sposobnost opisivanja svojstava funkcije razmatranjem njenoga grafa, najbolji je pokazatelj (ne)razumijevanja funkcija uopće. Nakon uvodnih razmatranja nekih elementarnih funkcija, mi ćemo se "naoružati" s dva osnovna alata za obradu funkcija – limesom i derivacijom – i pomoću njih biti u stanju nacrtati tzv. kvalitativni (približni) graf funkcije. Ukoliko nakon silnoga truda nismo u stanju opisati kako se to funkcija "ponaša" razmatranjem njenoga grafa, sav trud nam je uzaludan. Jednako je pogubno ne znati grafički interpretirati neke elementarne definicije i svojstva, tj. prikazati ih na primjeru neke funkcije. Možda je korisna sljedeća preporuka: zamislite koordinatne osi kao "šetnicu" – po x-osi šetate kada želite razmatrati područje definicije i pojmove vezane uz njega, po y-osi kada želite razmatrati funkcijske vrijednosti i pojmove vezane uz njih. Funkcijske vrijednosti za neki x očitavate na y-osi kao "očitavanje vodostaja", gledate na kojoj je visini funkcijska vrijednost f(x).

Što bi, dakle, trebalo "pročitati" promatrajući graf funkcije? Za početak, sljedeće: Za neki x0 ∈ D, točka (x0 y0) je:

na grafu ako je y0=f(x0); ispod grafa ako je y0<f(x0); iznad grafa ako je y0>f(x0);

Uspravni pravac može sjeći graf funkcije u najviše jednoj točki (ako neki uspravni pravac x=x0 ne siječe graf, to znači da x0 nije u domeni funkcije);

Vodoravni pravac može sjeći graf u proizvoljno mnogo točaka (uključujući i "nula točaka", tj. ne mora uopće sjeći graf – ako neki vodoravni pravac y=y0 ne siječe graf, to znači da y0 nije u slici funkcije);

Prirodno područje definicije funkcije čine svi x0∈R u kojima uspravni pravac x=x0 siječe graf; Sliku funkcije čine svi y0∈R u kojima vodoravni pravac y=y0 siječe graf; Ako je funkcija injekcija, svaki vodoravni pravac siječe graf u najviše jednoj točki; Ako je funkcija surjekcija, za svaki y0 iz kodomene vodoravni pravac y=y0 siječe graf

(barem u jednoj točki); Funkcija je ograničena odozgo ako postoji vodoravni pravac y=y0 takav da je cijeli graf

ispod njega.

Zadatak: Skicirajte u koordinatnom sustavu primjere funkcija kojima ćete ilustrirati svaku od ovih definicija i napomena o grafu funkcije.

Na osnovi definicije za ograničenost odozgo, sami iskažite analogiju za ograničenost odozdo.


20

Definicija: Funkcija f : D → R je na intervalu (a, b):

konveksna ako za svaki x1, x2 ∈(a, b) vrijedi ( ) ( )22

2121 xfxfxxf +≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

konkavna ako za svaki x1, x2 ∈(a, b) vrijedi ( ) ( )22

2121 xfxfxxf +≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Točku u kojoj funkcija mijenja način zakrivljenosti zovemo točka infleksije.

Definicija naizgled nije najjasnija, no radi se o jednostavnome svojstvu: ako je na intervalu (a, b) graf funkcije ispod spojnice bilo koje dvije točke grafa, funkcija je konveksna na tom intervalu; ako je pak iznad svake spojnice, funkcija je konkavna. Još jedan način utvrđivanja konveksnosti: ako je funkcija konveksna na intervalu (a, b), graf funkcije u okolini točke c∈(a, b) je iznad tangente na graf funkcije u točki c; ako je funkcija konkavna na intervalu (a, b), graf funkcije u okolini točke c∈(a, b) je ispod tangente na graf funkcije u točki c.

y

x1

1

0x1

(f( )+f(x ))/22x1

f(( +x )/2)2x1

(x +x )/21 2 x2

Konveksna funkcija

y

1

1

0x1 (x +x )/21 2 x2

x

(f( )+f(x ))/22x1

f(( +x )/2)2x1

Konkavna funkcija

y

x1

1

0

konkavna

konveksna

T.inf.

Točka infleksije

Primjer: Svaku od ovih definicija zgodno je povezati s nekim primjerom koji će vas podsjetiti "o čemu se tu radi". Najbolji primjeri za konveksnost/konkavnost funkcije i točku infleksije su: funkcija f(x)=x2 je konveksna na cijelom području definicije; funkcija f(x)= –x2 je konkavna na cijelom području definicije; funkcija f(x)= x3 je konkavna za x<0, konveksna za x>0 a u x=0 ima točku infleksije.

Zadatak: Skicirajte u koordinatnom sustavu proizvoljnu konveksnu funkciju, konkavnu funkciju i funkciju koja je na jednom dijelu područja definicije konveksna, a na drugom dijelu konkavna.

Još jedan pojam koji nam govori o tome kako se funkcija "ponaša" jest pojam (lokalnog) ekstrema. Uočite bitnu razliku između lokalnog ekstrema i ekstrema.

Definicija: Funkcija f : D → R ima u točki x0∈D: lokalni minimum, ako postoji ε >0 takav da je (x0–ε, x0+ε) ⊆ D i za svaki x∈(x0–ε, x0+ε)

vrijedi: f(x0)<f(x); lokalni maksimum, ako postoji ε >0 takav da je (x0–ε, x0+ε) ⊆ D i za svaki x∈(x0–ε, x0+ε)

vrijedi: f(x)<f(x0); lokalni ekstrem, ako ima lokalni minimum ili lokalni maksimum; (globalni) minimum, ako za svaki x∈D vrijedi: f(x0)≤f(x); (globalni) maksimum, ako za svaki x∈D vrijedi: f(x)≤f(x0); (globalni) ekstrem, ako ima (globalni) minimum ili (globalni) maksimum.

2. Funkcije

21

Zadatak: Odgovorite na sljedeća pitanja: Koliko najmanje, a koliko najviše lokalnih minimuma (maksimuma) može imati funkcija?

Koliko najmanje, a koliko najviše globalnih? Ako je x0 lokalni minimum, a x1 lokalni maksimum funkcije, što znamo o f(x0) i f(x1)? Ako funkcija ima lokalni minimum (maksimum), je li nužno ograničena odozdo (odozgo)?

Kakva je veza ograničenosti i globalnih ekstrema?

2.4 Temeljne elementarne funkcije Prije nego što započnemo razmatranje tzv. elementarnih funkcija, navedimo sljedeće podjele. Sljedeće funkcije definiramo kao tzv. temeljne elementarne funkcije (naziv "osnovne elementarne funkcije" nije najsretniji jer su pojmovi "osnovne" i "elementarne" manje-više istoznačni):

Konstantna funkcija; Potencija; Eksponencijalna funkcija; Logaritamska funkcija; Trigonometrijske funkcije; Ciklometrijske (arkus) funkcije.

U ovom poglavlju razmotrit ćemo temeljne elementarne funkcije (njihovu definiciju, prirodno područje definicije i svojstva), potom ćemo razmotriti neke elementarne funkcije.

Budući da još nismo definirali pojam limesa (granične vrijednosti) funkcije, ponašanje funkcija ćemo opisivati preko opisivanja njihovog grafa.

Konstantna funkcija Ovo je najjednostavnija elementarna funkcija. Oblika je f(x)=c, gdje je c∈R. Prirodno područje definicije je cijeli skup R. Graf je vodoravni pravac y=c.

Potencija Razmotrimo najprije potenciranje prirodnim brojem, tj. funkciju oblika f(x)=xn, n∈N: prirodno područje definicije je cijeli skup R; za neparne n, funkcija je neparna i bijekcija (pa možemo definirati inverznu funkciju); za neparne n, funkcija nije ograničena. Jedina nul-točka je x=0. Slika je cijeli skup R; za parne n, funkcija je parna i nije bijekcija. Međutim, ako se područje definicije i

kodomena ograniče na [0,∞), tako ograničena funkcija je bijekcija (pa možemo definirati inverznu funkciju);

za parne n, funkcija je ograničena odozdo, ima minimum i jedinu nul-točku u x=0. Slika funkcije je skup [0,∞).

Napomena: Kao što smo već savjetovali, zgodno je razmotriti graf i svojstva potencija f(x)=x2 (kao "predstavnika" parnog stupnja), odnosno f(x)=x3 (kao "predstavnika" neparnog stupnja): razmotrite grafove funkcija f(x)=x2, f(x)=x3, f(x)= –x2, f(x)= –x3; funkcija f(x)=x2 je konveksna, funkcija f(x)=x3 je konkavna za x<0, konveksna za x>0 a za

x=0 ima točku infleksije.


22

Potenciranje cijelim brojem definiramo tako da je x –n = 1/xn za svaki prirodan broj n. Prirodno područje definicije ovakvih funkcija je R\0.

x

y

10

y=1/x

x

y

10

y=1/x2

Posebno su "poučni" grafovi funkcija y=1/x i y=1/x2, posebice njihovo ponašanje na lijevoj i desnoj strani grafa (za jako male i jako velike vrijednosti x-a), kao i neposredno uz y-os (za vrijednosti x-a bliske nuli). Razumijevanje ovih grafova bit će korisno i kasnije, kod razmatranja limesa.

Potenciranje racionalnim brojem oblika 1/n (gdje je n prirodan broj) definiramo kao inverznu funkciju funkcije f(x)=xn (pri čemu u slučaju parnoga n ograničimo domenu i kodomenu),

označavamo nn xx =1

. Vrijedi: ako je n neparan, područje definicije i slika je cijeli skup R; ako je n paran, područje definicije i slika je skup [0,∞).

Drugim riječima, "neparni" korijeni su definirani za sve realne brojeve a "parni" za x≥0.

Potenciranje racionalnim brojem definiramo na sljedeći način: m

nnm

xx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

(ili ( )nmnm

xx1

= , oznaka: n mnm

xx = ).

ako je m negativan, moramo izbaciti nulu iz područja definicije.

Eksponencijalna i logaritamska funkcija Za realni broj a>0, a≠1 definiramo opću eksponencijalnu funkciju f(x)=ax. Prirodno područje definicije ove funkcije je R, slika je (0,∞). Ako je a>1 funkcija strogo raste, ako je a<1 funkcija strogo pada. Vrijedi:

ax+y = ax⋅ay; ax-y = ax

/ ay.

Posebno je (zbog svojih "lijepih" svojstava) značajna funkcija ex, gdje je e beskonačan decimalni broj, približno 2,71.

Inverznu funkciju eksponencijalnoj funkciji f(x) = ax zovemo logaritamska funkcija baze a, oznaka ( ) xxg alog= . Posebno, inverznu funkciju za f(x) = ex označavamo s ln(x) i zovemo prirodni logaritam.

Svojstva logaritamske funkcije slijede iz svojstava eksponencijalne funkcije, i lako ih je očitati s grafa funkcija koje dajemo kao primjer ponašanja sličnih funkcija: f(x)=2x – primjer ponašanja ekponencijalne funkcije kad je a>1; f(x)=(1/2)x – primjer ponašanja ekponencijalne funkcije kad je a<1; f(x)=lnx – primjer ponašanja logaritamske funkcije kad je baza veća od 1; ( ) xlogxf

21= – primjer ponašanja logaritamske funkcije kad je baza manja od 1.

Budući da je slika eksponencijalne funkcije skup (0,∞), to je ujedno i prirodno područje definicije logaritamske funkcije.

2. Funkcije

23

Napomene: grafovi ovih funkcija beskonačno se približavaju koordinatnim osima, ali ih nikad ne dodiruju! Nadalje, izbjegnite uobičajenu pogrešnu izjavu da je "logaritam uvijek pozitivan". Razmotrite gdje su ove funkcije definirane i kakve vrijednosti poprimaju.

Zadatak: Provjerite poznavanje ovih funkcija na pitanjima poput ovih: Kako se ponaša graf funkcije f(x)=ex na svojem lijevom (desnom) dijelu? Kako graf funkcije

f(x)=(3/5)x? Kako grafovi funkcija ( ) xxf53log= i ( ) xxf 2log= ?

Koje su od temeljnih elementarnih funkcija ograničene odozdo i/ili odozgo? Koje su od temeljnih elementarnih funkcija surjekcije, injekcije, bijekcije?

Trigonometrijske funkcije "Šećer ostaje za kraj" – na kraju razmatranja temeljnih elementarnih funkcija, došli smo i do trigonometrijskih funkcija. Dva su osnovna problema pri usvajanju ovih funkcija: "izbacivanje iz glave" trigonometrije pravokutnog trokuta, i pokušaj da se funkcije i njihova svojstva nauče napamet, bez razumijevanja.

Za početak, zaboravimo na pravokutni trokut i definiciju sinusa kao omjera nasuprotne katete i hipotenuze. Dakako da je ovo valjana definicija sinusa kuta, ali pri razmatranju sinusa kao funkcije čini više štete nego koristi. Trigonometrijske funkcije, poput svake druge funkcije, "uzimaju" neke realne brojeve i kao funkcijsku vrijednost im pridružuju neke druge realne brojeve.

Nadalje, pokušaj da se umjesto razumijevanja ovih funkcija njihova definicija i svojstva jednostavno "naštrebaju" napamet, nije nimalo mudar: funkcije su jednostavne za razumijevanje, mnoga svojstva lako se izvedu iz definicije funkcija, pa je učenje napamet daleko neugodniji posao.

Trigonometrijske funkcije definiramo na sljedeći način: u koordinatnoj ravnini postavimo jediničnu kružnicu, a pravac x=1 označimo kao brojevni pravac.


24

y

x0 1

xx

sin

x

cos x

Namotajmo pravac na kružnicu, i pritom zamislimo da je pravac beskonačno tanak, tj. da se pri njegovome namatanju na kružnicu jedinična kružnica "ne deblja". Uočimo: ovo preslikavanje je funkcija sa R u R, tj. svakoj točki pravca (odnosno svakom realnom broju) pridružena je točno jedna točka kružnice.

Zadatak: Razmotrite je li namatanje pravca na jediničnu kružnicu surjekcija i injekcija.

Definicija: Sinus realnoga broja definiramo kao ordinatu, a kosinus kao apscisu njemu pridružene točke na jediničnoj kružnici. Tangens realnoga broja x definiramo kao omjer sinx/cosx, a kotangens kao omjer cosx/sinx.

Zadatak: na grafovima trigonometrijskih funkcija naznačite "karakteristične točke" – nul-točke, točke prekida područja definicije, točke u kojima se postižu ekstremne vrijednosti, itd.

2. Funkcije

25

Priča o jediničnoj (u ovom kontekstu tzv. trigonometrijskoj) kružnici, namatanju pravca na kružnicu i definiciji trigonometrijskih funkcija jednostavna je, razumljiva i nadasve silno korisna. Za početak, iskoristite trigonometrijsku kružnicu (ili graf funkcije f(x)=sin(x)) da biste odgovorili na trik-pitanje "koliko je sin(1)?"

Zadatak: Razmatranjem trigonometrijske kružnice odgovorite na sljedeća pitanja (obrazložite odgovor): Što je prirodno područje definicije, a što slika svake od trigonometrijskih funkcija? Za koje su dijelove područja definicije trigonometrijske funkcije pozitivne/negativne? Koje su od trigonometrijskih funkcija injekcija? Koje su surjekcija? Kako treba reducirati prirodno područje definicije i kodomenu trigonometrijskih funkcija da bi

reducirane funkcije bile bijekcije? Jesu li trigonometrijske funkcije periodične? Koliki im je osnovni period? Jesu li trigonometrijske funkcije parne (neparne)? Kako se pomoću trigonometrijske kružnice jednostavno može dokazati jednakost

sin2x + cos2x = 1? Jesu li trigonometrijske funkcije ograničene odozdo/odozgo? Ukoliko jesu, koliki im je

minimum/maksimum (infimum/supremum)?

Definicija: Inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama (odnosno, njihovim redukcijama na bijektivne funkcije) nazivamo ciklometrijske ili arkus funkcije. Tako imamo arcsin(x), arccos(x), arctg(x) i arcctg(x).

Zadatak: Odredite prirodno područje definicije, sliku, svojstva arkus funkcija. Koristeći svojstvo simetričnosti grafa funkcije i inverzne funkcije, skicirajte grafove arkus funkcija.

2.5 Neke elementarne funkcije Elementarne funkcije su funkcije koje se dobivaju zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem, dijeljenjem i kompozicijom temeljnih elementarnih funkcija.

Polinomi Definicija: Funkciju oblika P(x)=anxn+an-1xn-1+ ... + a1x+a0, gdje je n∈N0, ai realni brojevi i an≠0 nazivamo polinom n-tog stupnja.

Polinomi su "najjednostavnije" funkcije (navodnici zbog toga što nema definicije što bi to bile "jednostavne" a što "nejednostavne" funkcije). Nekoliko osnovnih svojstava i značajki: prirodno područje definicije polinoma je cijeli skup R; po ponašanju u beskonačnosti razlikujemo polinome parnoga i neparnog stupnja: ako je

an>0, polinomi parnog stupnja ograničeni su odozdo, a za jako male i za jako velike x-ove (tj. na lijevom i desnom kraju grafa) funkcijske vrijednosti neograničeno rastu, a za polinome neparnog stupnja funkcijske vrijednosti neograničeno padaju na lijevom a neograničeno rastu na desnom kraju grafa. Ako je an<0, polinomi parnog stupnja ograničeni su odozgo, funkcijske vrijednosti neograničeno padaju na lijevom i desnom rubu grafa; za polinome neparnog stupnja funkcijske vrijednosti neograničeno rastu na lijevom i neograničeno padaju na desnom kraju;


26

polinom n-tog stupnja ima najviše n realnih nul-točaka (prije nego izustite čestu zabludu da ima točno n realnih nul-točaka, sjetite se polinoma P(x)=x2+1 i Q(x)=(x+1)2; koliko ti polinomi drugog stupnja imaju realnih nul-točaka?);

polinom neparnog stupnja ima barem jednu realnu nul-točku.

Zadatak: Ponovite srednjoškolsku lekciju o zbrajanju, oduzimanju, množenju i dijeljenju polinoma.

Racionalne funkcije

Definicija: funkciju oblika ( ) ( )( )xQxPxR

m

n= , gdje su Pn(x) i Qm(x) polinomi stupnja n i m, nazivamo

racionalna funkcija.

Racionalne funkcije ("polinom kroz polinom") po tvorbi su nalik racionalnim brojevima ("cijeli broj kroz cijeli broj"). Slijedom te sličnosti se definiraju prave i neprave racionalne funkcije (kao što je 3/4 pravi, a 7/2 nepravi razlomak).

Definicija: racionalna funkcija ( ) ( )( )xQxPxR

m

n= je prava ako je n<m, u protivnom je neprava.

Analogno s izdvajanjem cijeloga broja iz nepravog razlomka, nepravoj racionalnoj funkciji se dijeljenjem brojnika nazivnikom može izdvojiti cijeli dio, polinom stupnja (n–m).

Osnovna svojstva i značajke:

Prirodno područje definicije racionalne funkcije ( ) ( )( )xQxPxR

m

n= je R \ x∈R, Q(x)=0, tj.

prirodno područje definicije su svi realni brojevi osim nul-točaka nazivnika. Ako je n<m, graf racionalne funkcije na lijevom i desnom kraju se približava osi x

(funkcijske vrijednosti se približavaju nuli); Ako je n=m, i ako sa an i bm označimo vodeće koeficijente polinoma P(x) i Q(x), graf

racionalne funkcije na lijevom i desnom kraju se približava vodoravnom pravcu y=an/bm (funkcijske vrijednosti se približavaju broju an/bm);

Ako je n>m, graf racionalne funkcije se na lijevom i desnom kraju ponaša slično grafu

polinoma ( ) mn

m

n xbaxP −= .

Ako je x0 nul-točka nazivnika racionalne funkcije, graf funkcije se blizu x0 približava pravcu x=x0 (tj. funkcijske vrijednosti neograničeno rastu ili neograničeno padaju).

2. Funkcije

27

Algebarske i transcendentne funkcije Funkcije koje su dobivene primjenom zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i kompozicije racionalnih funkcija i potenciranja racionalnim eksponentima zovu se algebarske funkcije. Funkcije koje nisu algebarske zovu se transcendentne funkcije.

Pojednostavnjeno, algebarske funkcije smiju sadržavati samo potencije (uključujući i razlomljene, odnosno korijene). Trigonometrijske, ciklometrijske, eksponencijalne i logaritamske funkcije su transcendentne.

Linearna transformacija grafa, g(x)=A⋅f(Bx+C)+D Još jedna priča koja je – a kakva bi bila – jednostavna. Iza ovog zlokobnog naslova krije se tema koja se u osnovi zasniva na (ne)razumijevanju funkcije, posebice (ne)razumijevanju grafa funkcije. Razmotrit ćemo vezu grafa funkcije f(x) i funkcije g(x)=A⋅f(Bx+C)+D, tj. o utjecaju koeficijenata A, B, C i D na promjene "osnovnoga" grafa funkcije f(x). Često se linearna transformacija grafa pogrešno vezuje isključivo uz trigonometrijske funkcije, točnije uz graf funkcije A⋅sin(Bx+C)+D, pa se umjesto logike koristi prisjećanje na "one formule, kako ono glase, amplituda, period...". Upravo zbog toga ćemo osim sinusa razmotriti i djelovanje ovih koeficijenata na primjeru kvadratne funkcije.

Odnos f(x) i (f(x)+D)

Što znači "izračunati (sinx+1) ili (x2+1)", odnosno, u općem slučaju, kako od grafa f(x) dobivamo graf g(x)=(f(x)+D)? Jednostavno, za svaki x iz područja definicije najprije izračunamo vrijednost polazne funkcije f(x) i potom pribrojimo vrijednost D. Drugim riječima, svakoj točki grafa funkcije ordinatu povećavamo za vrijednost D – dakle, graf funkcije f(x) translatiramo (pomičemo) za vrijednost D paralelno s y-osi (Napomena: D, naravno, može biti i negativan, pa "pribrajanje" D ne znači nužno i zbrajanje, odnosno translaciju grafa "prema gore").

Odnos f(x) i f(x+C)

Uloga koeficijenata C i D (tj. njihov utjecaj na graf funkcije) najčešće se pomiješaju kod učenja napamet. Što, dakle, radimo pri konstruiranju grafa funkcije g(x) = f(x+C)? Za svaki x iz domene funkcije g, na graf nanosimo "vrijednost susjeda", tj. pogledamo kolika je funkcijska vrijednost funkcije f(x) u vrijednosti "susjeda" x+C. Ako je, npr., C pozitivan (naravno da ne mora biti), mi u svakome x-u "pogledamo" kako izgleda graf funkcije f za "desnoga susjeda" x+C, tj. graf funkcije g(x) nastaje kao graf funkcije f(x) pomaknut ulijevo; drugim riječima, translatiramo graf funkcije f(x) paralelno x-osi za –C. (Napomena: ako niste sigurni treba li translatirati "ulijevo" ili "udesno", najlakše je razmotriti čiju vrijednost f(x+C) nanosite da biste nacrtali g(0)).


28

Odnos f(x) i A⋅f(x)

Ukoliko je koeficijent A različit od 1, u svakoj točki x iz domene funkcije f funkcijsku vrijednost množimo brojem A i tako dobivamo g(x). Lako se vidi da ova transformacija deformira graf funkcije f u smjeru y-osi: (izdužuje graf ako je A>1 ili ga "stišće" ako je 0<A<1). Posebno, ako je A negativan, dodatno imamo simetriju (zrcaljenje) s obzirom na x-os.

Napomena: Utjecaj koeficijenta A puno se bolje vidi na primjeru sinusoide – naime, na grafu kvadratne funkcije nije jasno je li deformacija nastala "stiskanjem" u smjeru y-osi ili širenjem u smjeru x-osi. S druge strane, na sinusoidama se vidi da se nul-točke nisu pomaknule, tj. nema deformacije u smjeru x-osi.

Odnos f(x) i f(B⋅x)

Utjecaj koeficijenta B na graf funkcije jednako je jednostavan za razumijevanje, ali nešto nezgodniji za očitavanje s grafa. Budući da su i kvadratna funkcija i sinus parne funkcije, djelovanje ovoga koeficijenta za slučaj B<0 razmotrit ćemo na funkciji f(x)=x3.

Da bismo dobili funkcijsku vrijednost g(x), pri čemu je g(x)=f(B⋅x), za svaki x iz domene funkcije g kao funkcijsku vrijednost nanosimo vrijednost koju f pridružuje broju B⋅x. Djelovanje koeficijenta B najlakše je uočiti na sinusoidi: krenemo li od x=0, vidimo da je sinusoida prošla cijeli svoj osnovni lik ("potrošila" temeljni period) za x=2π/B (na primjer, ako je B=2, osnovni lik sinusoide iscrtali smo već za x=π, za vrijednost B=1/2, za cijeli osnovni lik trebamo crtati graf do x=4π).

Očito, koeficijent B deformira graf funkcije f(x) u smjeru x-osi, odnosno "širi" ga ako je B>0, i "sužava" ako je 0<B<1. Posebno, ako je B negativan, dodatno imamo simetriju (zrcaljenje) s obzirom na y-os.

2. Funkcije

29

I ovdje vrijedi napomena da je djelovanje koeficijenta B lakše uočiti na primjeru sinusoide nego na grafu polinoma.


30

2b Vježbe

1. Koja svojstva (surjekcija, injekcija, parna, neparna, rastuća, padajuća, lokalni ekstremi, globalni ekstremi,...) ima f(x)=x2+1, f : R→R ? Definirajte funkciju g, takvu da je g(x)=x2+1, a da g bude bijekcija. Zapamtite, f ≠ g !

2. Nacrtajte po jedan graf funkcije za svako od sljedećih svojstava: po dijelovima monotona; rastuća a nije strogo rastuća; ograničena odozdo; ograničena.

3. Koliki je ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xf 1 ako je ( )

213

2 ++

+=x

xxxf ?

4. Koliki je ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xf 1 ako je

11

11

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

xx

xxf ? Možemo li ovo zaključiti razmišljanjem, bez

računanja?

5. Zadana je funkcija ( )⎩⎨⎧

∈∈

=QRx

Qxxf

\10

. Kolike su sljedeće funkcijske vrijednosti:

( ) ( )( ) ( )5,0

32

4,3sin,4log,

−ffff π ?

6. Nađite kompoziciju f°f°f(x), ako je ( )x

xf−

=1

1 .

7. Izračunajte: (2x3+3x-1)⋅(x+1) (x3-2x2+4x-3):(x-1)

8. Izdvojite cijeli dio racionalne funkcije: ( )1

332

23

−+−

=x

xxxR

9. Odredite prirodno područje definicije funkcija: ( ) 342 +−= xxxf

( )42ln

−−

−=xxxf

( ) ( )xxf −= 4ln

( ) 212

xxxf

−+

=

10. Skicirajte grafove funkcija: ( ) 1+= xxf ( ) xxf −= 1

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2sin2 πxxf ( ) ( )π−−= xxf cos

( ) ( )2

sin2 π+= xxf ( ) ( ) π−−= xxf cos

2. Funkcije

31

2c Rješenja

1. Nije ni surjekcija ni injekcija, parna je, lijevo od nule pada, desno od nule raste g(x)=x2+1, g:[0,∞) → [1,∞)

3. 12

31

21

1311

2

2

2 ++

+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

xxx

xx

xxx

f

4. xx

f =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1 . Iz definicije funkcije vidi se da je funkcijska vrijednost recipročna argumentu.

5. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 021413

0324150

32

======

− /ffsinf/flogff

,π

6. ( ) ( ) x

xxx

xfxfff;x

x

xx

fxff =−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

=

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= 11

111

111

11

1

7. (2x3+3x-1)⋅(x+1) = 2x4+2x3+3x2+2x-1; (x3-2x2+4x-3):(x-1) = x2-x+3

8. 1

31

3322

23

−+−=

−+−

xxx

xxx

9.

( ) 342 +−= xxxf Rj.: (–∞, 1] U [3,∞) ( )42ln

−−

−=xxxf Rj.: (–∞, 2)

( ) ( )xxf −= 4ln Rj.: x < 4 ( ) 212

xxxf

−+

= Rj.: x ≤ -2 U -1 ≤ x ≤ 1

10.


32

3. Limes i neprekidnost funkcije Vjerojatno bi prikladniji naslov ovoga poglavlja bio "Vežite se, polijećemo!" – upravo smo zašli u najzahtjevniji dio predmeta u kojem ćemo razmotriti osnovne pojmove vezane uz realne funkcije realne varijable: limes funkcije i neprekidnost funkcije (kasnije i derivaciju funkcije). Koliko god zvučali "teško" i "komplicirano", u osnovi se radi o jednostavnim pojmovima koji se intuitivno mogu lako usvojiti. Naravno, kao i do sada, ključna riječ je "razmišljanje".

Osnovni problemi u razumijevanju neprekidnosti i limesa su: ne možete ih razumjeti ako niste s razumijevanjem usvojili pojam funkcije i grafa funkcije; limes i neprekidnost su u vrlo uskoj vezi. Ova veza je u osnovi dobra vijest, ali u slučaju

površnog razmatranja ili učenja napamet postaje poteškoća, a ne prednost – student ima dojam "šibicarenja", tj. definicije i svojstva izgledaju kao da se stalno vrtimo u krug ili ponavljamo jedan te isti iskaz;

budimo iskreni pa navedimo i jedan problem čiji izvor nije neodgovarajući pristup gradivu: u definiciji ovih pojmova javlja se tzv. "epsilon-delta" terminologija, tj. zapis koji je na prvi pogled nečitak. Naravno da ćemo i ovdje ustvrditi da je nečitak samo na prvi pogled i da nije jako težak za razumijevanje, ali treba priznati da su, za studenta nenaviklog na nešto "tvrđi" matematički zapis, razumljive teškoće u njegovu usvajanju.

"trčanje na zadatke" – zadaci iz ovoga područja (uključujući i derivacije, s izuzetkom zadataka na temu neprekidnosti funkcije) najčešće su poprilično tehnički i tipski zadaci. Zbog toga je naizgled jako privlačno upustiti se u rješavanje zadataka bez razumijevanja onoga što se tim zadacima doista i rješava.

Zapamtite: Izračunata vrijednost limesa neke funkcije posve je bezvrijedna ako se ne zna i protumačiti!

3.0 Priprema Nekoliko laganih napomena kao priprema za definiranje limesa i neprekidnosti funkcije.

Prije svega, prisjetimo se pojma okoline realnog broja – ranije smo definirali okolinu realnog broja x0 kao otvoreni interval (odnosno dio brojevnog pravca) oblika (x0–ε , x0+ε) – ovaj interval zovemo i "ε-okolina točke x0" (Uočite: kolika je širina ε-okoline?). Pritom oznaka ε sugerira da će nam biti zanimljive "male" okoline, tj. "mali" pomak oko točke x0. Nadalje, za okolinu je važna njena simetričnost oko točke x0, tj. "obveza" da se od x0 udaljimo jednako i ulijevo i udesno.

Razmotrimo pojam približavanja točki x0. Intuitivno, pojam "približavanja" nam je jasan; na primjer, student se svakoga radnog dana (nadam se) približava fakultetu. Razumije se da "približavanje točki x0" itekako ima sličnosti s približavanjem nekoj točki u stvarnome životu, ali uz jednu posebnost: osim načina na koje se nekoj točki približavamo u stvarnome životu, u razmatranju funkcije mi se točki x0 možemo približavati i na neke "neprirodne" načine; možemo "hodati" po brojevnom pravcu prema točki x0, ali i "skakutati" oko točke x0 tako da smo joj sve bliže. Ovo objašnjenje zvuči komplicirano jer ga je lako pokazati a nešto teže izreći riječima, ali u osnovi se radi o tome da se, npr., broju 1 možemo približavati tako da redom "stanemo" na brojeve 0,9; 0,99; 0,9999; 0,9999; itd. (ovo je slično "hodanju" prema jedinici), a možemo i "stati" na brojeve 0,9; 1,09; 0,99; 1,009; 0,999; 1,0009, itd. U oba slučaja smo sa svakim sljedećim brojem sve bliže jedinici. Uočite također da ćemo se u svakome od ovih približavanja približiti jedinici proizvoljno blizu (slikovito, prije ili kasnije probit ćemo svaku granicu koju netko pokuša postaviti oko broja 1), ali nikad nećemo doći točno u jedinicu.

3. Limes i neprekidnost funkcije

33

Konačno, razmotrimo pojam bliskih točaka u kontekstu razmatranja realne funkcije realne varijable. Naravno, bliske su one točke koje su "blizu" na brojevnom pravcu, i tu nema potrebe za nekim posebnim objašnjenjima. Problemi (naizgled) počinju kada se "bliskost" razmatra u kontekstu razmatranja funkcije, funkcijskih vrijednosti i grafa funkcije. U primjeru na sljedećoj slici, f je neka realna funkcija realne varijable i f(x0)=y0. Oko točke y0 (dakle, na y-osi!) odredili smo neku okolinu (y0–ε, y0+ε).

y

x1 x0 x3x2x1

y0

y +0 ε

y -0 ε

1

0

Odgovorite: Koja se okolina od x0 preslikava u interval (y0–ε, y0+ε)? Koji su dijelovi područja definicije "praslika" intervala (y0–ε, y0+ε), tj. čije su funkcijske

vrijednosti unutar toga intervala? Općenito, moraju li točke čije su funkcijske vrijednosti bliske y0 biti bliske x0? Općenito, moraju li za svaku funkciju funkcijske vrijednosti točaka koje su bliske nekom x0

biti bliske njegovoj funkcijskoj vrijednosti y0 (za odgovor na ovo pitanje nije dovoljna priložena slika – pokušajte smisliti primjere funkcija kojima ćete obrazložiti odgovor)?

Napomena: Usporedno spominjanje broja x0 i točke x0 ne bi smjelo zbunjivati – radi se o "dogovornom poistovjećivanju" broja i njemu pridružene točke na brojevnom pravcu.

3.1 Limes funkcije

Motiv Limes (granična vrijednost) funkcije koristit ćemo na dva načina: da bismo razmatranjem formule kojom je funkcija zadana doznali neke od informacija

značajnih za izgled grafa te funkcije; da bismo ponašanje neke funkcije lakše opisali riječima.

Da bismo intuitivno "osjetili" pojam limesa, razmotrimo ponašanje sljedećih funkcija (pritom ćemo promatrati samo grafove i zanemariti formule koje su naznačene na grafovima):


34

Kako biste nekome bez crtanja (recimo, u telefonskom razgovoru) opisali ove grafove? Dakako, najprije trebate opisati područje definicije, potom neke druge karakteristike koje smo već upoznali (monotonost, ograničenost, nul-točke, ekstreme, ...). No, to nam nije dovoljno za potpuno opisivanje grafa – vjerojatno biste upotrijebili i izraze poput ovih: "kada se x približava točki toj-i-toj, funkcijske vrijednosti se približavaju vrijednosti toj-i-toj"; "kada se x približava točki toj-i-toj, funkcijske vrijednosti neograničeno rastu"; "funkcijske vrijednosti na lijevoj strani koordinatnog sustava teže prema..."; "funkcijske vrijednosti na desnoj strani koordinatnog sustava neograničeno padaju..."; "kada se x približava s lijeve strane točki toj-i-toj, funkcijske vrijednosti se približavaju

vrijednosti toj-i-toj".

Napomena: ovi izrazi služe kao motiv i ilustracija značenja limesa, i njima nisu obuhvaćene sve vrste limesa koje ćemo razmatrati.

Jednako tako, vjerojatno biste znali grafički prikazati kada biste izjave poput gornjih čuli o nekoj nepoznatoj funkciji.

Uočimo da u ovim opisima s obzirom na razmatranje područja definicije razlikujemo dva osnovna slučaja: razmatranje funkcijskih vrijednosti kada se vrijednosti argumenta približavaju nekom

realnom ("konačnom") broju x0 iz područja definicije funkcije; razmatranje funkcijskih vrijednosti kada vrijednosti argumenta neograničeno padaju ("teže

prema ∞− "), odnosno neograničeno rastu ("teže prema ∞ ") – jasno, ako je područje definicije neograničeno odozdo, odnosno neograničeno odozgo.

Nadalje, pritom razlikujemo dvije vrste mogućeg "lijepog ponašanja funkcije": funkcijske vrijednosti se približavaju nekom ("konačnom") realnom broju; funkcijske vrijednosti neograničeno padaju ("teže prema ∞− "), odnosno neograničeno

rastu ("teže prema ∞ ").

Kombinacija prva dva slučaja i ove dvije vrste daje nam ukupno četiri različite mogućnosti razmatranja ponašanja funkcije.

Gdje nam je (na kojim dijelovima područja definicije funkcije) uopće zanimljivo ovako opisivati ponašanje funkcije? Očito, ukoliko je područje definicije neograničeno moramo razmotriti "ponašanje u beskonačnosti". Nadalje, iako nam nitko ne brani razmatrati ponašanje funkcijskih vrijednosti u okolini svake točke unutar područja definicije (pod uvjetom da je i okolina u području definicije), zapravo nas zanima ponašanje u okolini "zanimljivih" točaka, tj. točaka u kojima se s funkcijom događa nešto "zanimljivo". To su najčešće rubovi područja definicije, a posebno naglašavamo pretposljednji od šest ponuđenih primjera (grafova), u kojem funkcija jest


35

definirana u nuli, ali se očito u nuli ne ponaša jednako kao i u okolini nule – stoga nam je i nula (odnosno okolina nule) "zanimljiva" za razmatranje.

Pri ovakvim opisivanjima ponašanja funkcije u okolini nekih točaka ili na nekim dijelovima područja definicije, zapravo smo intuitivno upotrijebili limes. Preostaje nam samo formaliziranje svih nepreciznih formulacija koje smo iskazali.

Definicije

Napomena: Za razumijevanje sljedećih definicija bitno je uočiti da, na primjer, |x-x0|<δ znači isto što i x∈(x0–δ, x0+δ), tj. da je x element tzv. "δ-okoline" od x0.

Definicija 1 ("konačan limes u konačnosti"): Neka je x0∈R i f funkcija definirana na skupu Ω. Kažemo da je realni broj L limes funkcije f u točki x0 (pišemo Lxf

xx=

→)(lim

0

) ako:

∀ε>0, ∃δ>0, (x∈Ω i 0<|x-x0|<δ) ⇒(|f(x)-L|< ε).

Drugim riječima, koliko god mali ε odaberemo, tj. koliko god "stisnemo" L zadavanjem "jako jako male" ε-okoline oko L, još uvijek možemo pronaći "jako jako jako malu" δ-okolinu oko x0 koju funkcija f u cijelosti preslika u ε-okolinu oko L.

Definicija 2 ("beskonačan limes u konačnosti"): Neka je x0∈R i f funkcija definirana na skupu Ω. Kažemo da funkcija f u točki x0 ima beskonačan limes (pišemo ∞=

→)(lim

0

xfxx

) ako:

∀M∈R, ∃δ>0, (x∈Ω i 0<|x-x0|<δ) ⇒(f(x)>M).

Drugim riječima, ako se približimo dovoljno blizu x0, funkcijske vrijednosti neograničeno rastu. Analogno se definira slučaj kada je limes jednak -∞.

Definicija 3 ("konačan limes u beskonačnosti"): Neka je f funkcija definirana na cijelome R ili na intervalu (x0, ∞) za neki x0. Kažemo da je realni broj L limes funkcije f u beskonačnosti (pišemo Lxf

x=

∞→)(lim ) ako:

∀ε>0, ∃M∈R, (x>M) ⇒(|f(x)-L|< ε).

Dakle, ako se odmaknemo dovoljno daleko prema beskonačnosti (dovoljno udesno na grafu), funkcijske vrijednosti se beskonačno približavaju graničnoj vrijednosti L (odnosno, taj dio grafa funkcije u cijelosti je između vodoravnih pravaca y=L-ε i y=L+ε). Analogno se definira limes funkcije u -∞.

Definicija 4 ("beskonačan limes u beskonačnosti"): Neka je f funkcija definirana na cijelome R ili na intervalu (x0, ∞) za neki x0. Kažemo da funkcija f ima beskonačan limes u beskonačnosti (pišemo ∞=

∞→)(lim xf

x) ako:

∀K∈R, ∃M∈R, (x>M) ⇒(f(x)>K).

Dakle, ako se odmaknemo dovoljno daleko prema beskonačnosti, funkcijske vrijednosti neograničeno rastu. Analogno se definira slučaj kada je limes u beskonačnosti jednak -∞.

Unatoč (iz čisto tehničkih razloga) čak četiri definicije, opisujemo jedan te isti pojam. Mi razmatramo kako se funkcija "ponaša" kada se argument proizvoljno približava nekom realnom


36

broju (definicije 1 i 2), odnosno kad argument neograničeno raste, odnosno neograničeno pada (definicije 3 i 4). Pritom razlikujemo slučajeve kad je vrijednost limesa konačan broj (definicije 1 i 3) ili kad je vrijednost limesa beskonačna (definicije 2 i 4).

Napomena: Za razumijevanje limesa važan je detalj koji je sam po sebi očit iz definicije, ali kojega studenti često previđaju: iako govorimo o "limesu funkcije u točki x0", mi razmatramo ponašanje funkcije u proizvoljnoj blizini točke x0, ali ne i u samoj točki x0! Prema tome, kad razmatramo postojanje i vrijednost limesa u nekoj točki, posve nam je nevažno je li funkcija uopće definirana u x0 i ako jest kolika joj je funkcijska vrijednost u x0 (tj. je li funkcijska vrijednost jednaka vrijednosti limesa ili ne).

Napomena: Iz definicije limesa funkcije u točki x0 očito je da se funkcija mora jednako ponašati na cijeloj okolini oko x0, tj. s obje strane x0. Kao zgodan primjer (i čestu zabludu) zapamtite: funkcija f(x)=1/x nema limes u nuli (jer se ne ponaša jednako na okolini nule)!

Svojstva limesa Navedimo (bez dokaza) teorem o jedinstvenosti limesa (koji je intuitivno sasvim jasan: naime, funkcija se ne može u okolini neke točke ponašati na dva različita načina).

Teorem: Ako limes postoji, jedinstven je.

U sljedećem teoremu objedinjeno je nekoliko važnih svojstava limesa. Uočite da iskaz teorema ne vrijedi za slučaj beskonačnih limesa! Kasnije ćemo zasebno razmotriti "računanje" s beskonačnošću, s naglaskom na oprez koji pri takvom "računanju" treba imati.

Teorem: Neka je 1)(lim0

Lxfxx

=→

, 2)(lim0

Lxgxx

=→

, gdje su L1 i L2 realni brojevi. Tada je

( ) 21)(lim0

LLxgfxx

+=+→

( ) 21)(lim0

LLxgfxx

⋅=⋅→

2

1)(lim0 L

Lxgf

xx=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

, ako je L2≠0.

Pogledamo li primjere grafova na početku priče o limesu, vidimo da nam limes nije dovoljan za opisivanje svih slučajeva "lijepog" ponašanja funkcije. Naime, iako npr. funkcija f(x)=1/x nema limes u nuli, ona se ipak oko nule ponaša "lijepo" (u smislu da se njeno ponašanje dade iskazati riječima). Jedini je problem u tome što je to ponašanje različito lijevo od nule (gdje funkcijske vrijednosti teže prema -∞) i desno od nule (gdje funkcijske vrijednosti teže prema ∞). Ovo je motiv za uvođenje jednostranog limesa.

Jednostrani limesi Definicija 1: Neka je x0∈R i f funkcija definirana na skupu Ω. Kažemo da je realni broj L limes slijeva (lijevi limes) funkcije f u točki x0 (pišemo Lxf

xx=

−→)(lim

0

) ako:

∀ε>0, ∃δ>0, (x∈Ω i 0<x0-x<δ) ⇒(|f(x)-L|< ε).

Uočite: jedina razlika u iskazu limesa i jednostranog (u ovom slučaju, lijevog) limesa je u tome što smo uklanjanjem apsolutne vrijednosti ograničili razmatranje samo na brojeve lijevo od x0.


37

Zadatak: Prema primjeru definicije lijevog limesa i definicijama odgovarajućih limesa, zapišite definicije limesa zdesna (desnog limesa), kao i beskonačnih limesa slijeva i zdesna.

U kakvoj su vezi limes funkcije u točki i jednostrani limesi u toj točki? Očito, ako funkcija ima limes u nekoj točki, ima i oba jednostrana limesa. S druge strane, uobičajen je pogrešan odgovor kako funkcija u točki x0 ima limes ako postoje oba jednostrana limesa u toj točki. Međutim, to nije dovoljan uvjet; razmotrite posljednji primjer na početku poglavlja – to je funkcija koja u nuli ima i lijevi i desni limes, ali oni nisu jednaki pa limes ne postoji. Dakle, funkcija u točki x0 ima limes ako i samo ako postoje lijevi i desni limes u x0 i jednaki su.

Asimptote funkcije Kako geometrijski interpretirati vrijednost limesa? Najprije definirajmo pojam asimptote (kojeg namjerno ostavljamo razmjerno "labavo" definiranim).

Definicija: Asimptota funkcije f je pravac kojem se graf funkcije beskonačno približava. Funkcija može imati vertikalne (uspravne), horizontalne (vodoravne) i kose asimptote: Pravac x=x0 je vertikalna asimptota funkcije f(x) ako je ∞=

→)(lim

0

xfxx

ili −∞=→

)(lim0

xfxx

.

Posebno, ako ne postoji limes u x0 ali postoji i beskonačan je lijevi (desni) limes, kažemo da imamo vertikalnu asimptotu slijeva (zdesna).

Pravac y=y0 je horizontalna asimptota u beskonačnosti (u desnoj strani) funkcije f ako je 0)(lim yxf

x=

∞→. Analogno se definira horizontalna asimptota u minus beskonačnosti (u

lijevoj strani). Pravac y=kx+l je kosa asimptota u beskonačnosti (u desnoj strani) funkcije f ako je

xkxflxxfk

xx⋅−==

∞→∞→)(lim;)(lim . Analogno se definira kosa asimptota u minus

beskonačnosti (u lijevoj strani).

Zadatak: Razmotrite geometrijsku interpretaciju definicije asimptota, posebice kose asimptote (vertikalna i horizontalna su očite iz razmatranja grafa).

Neodređeni izrazi. "Računanje" s beskonačnošću Teorem o limesu zbroja, razlike, umnoška i kvocijenta opisao nam je ponašanje "lijepih" (konačnih) limesa pri izvođenju ovih računskih operacija. Što u slučaju beskonačnih limesa, tj. kako "računati" s beskonačnošću?

Napomena: Upitnik kao rezultat "računanja" s beskonačnošću znači da se radi o neodređenom obliku koji zahtijeva daljnje razmatranje.

c>0, c·∞ = ∞ c<0, c·∞ = -∞ c/∞ = 0 c>0, c/0+ =∞, c/0– = -∞ c<0, c/0+ = -∞, c/0– = ∞

0<a<1, a∞ = 0 a>1, a∞ = ∞ 1∞ = ? ∞0 = ?

∞+∞ = ∞ -∞ -∞ = -∞ ∞·∞ =∞ ∞·(-∞) = -∞

0·∞ = ? 0/0 = ? ∞/∞ = ? ∞-∞ = ?


38

Napomena: Ova pravila treba "čitati" na pravilan način; tako npr. oznaka "∞+∞=∞" ne označava zbrajanje u smislu zbrajanja realnih brojeva (što je logično, jer bismo onda oduzimanjem ∞ s lijeve i desne strane došli do "jednakosti" ∞=0), nego skraćeni zapis izjave: Neka su funkcije f i g takve da je ∞=

→)(lim

0

xfxx

, ∞=→

)(lim0

xgxx

(pri čemu je x0 realni broj ili

jedna od beskonačnosti). Tada je i ( ) ∞=+→

)(lim0

xgfxx

Isto tako, oznaka 1∞=? ne znači da ćemo ustrajnim množenjem jedinicom u jednom trenutku kao rezultat početi dobivati broj različit od 1, nego skraćeno zapisujemo izjavu: Neka su funkcije f i g takve da je 1)(lim

0

=→

xfxx

, ∞=→

)(lim0

xgxx

(pri čemu je x0 realni broj ili

jedna od beskonačnosti). Tada je ( ) )()(lim0

xg

xxxf

→ neodređen izraz.

Napomena: Prikazani podsjetnik nipošto nije materijal za učenje napamet – razmotrite naznačene izraze i uvjerite se da se vrijednost svih izraza iz tablice koji nisu neodređeni može zaključiti i "metodom zdravoga razuma".

Neki "poznati" limesi U izračunavanju limesa često se koristimo sljedećim limesima kao "poznatima" (primjenjujemo ih ne dokazujući svaki put iznova njihovu valjanost). Uočite da se treći limes lako dobije iz drugoga zamjenom 1/x=t. I ovdje imamo "krumpire", tj. x označava neki realni izraz:

1sinlim0

=→ x

xx

kx

xe

xk

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→1lim ( ) ex x

x=+

→

1

01lim

3.2 Neprekidnost funkcije

Definicija Definicija: Funkcija f: Ω→R je neprekidna u točki x0∈Ω ako:

∀ε>0, ∃δ>0, (x∈Ω i |x-x0|<δ) ⇒(|f(x)-f(x0)|< ε).

Neprekidnost možemo definirati i preko limesa:

Definicija: Funkcija f: Ω→R je neprekidna u točki x0∈Ω ako je

)()(lim 00

xfxfxx

=→

.

Fino, i ovdje smo izrekli definiciju, štoviše dvije definicije, izreknimo još nekoliko svojstava i lekcija gotova:) Naravno, to bi bilo odveć surovo. Krenimo redom.

Definicija (nešto nježnija): Funkcija f: Ω→R je neprekidna u točki x0∈Ω ako točke bliske točki x0 preslikava u točke bliske točki f(x0).

Definicija: Funkcija f: Ω→R je neprekidna na intervalu (a, b) ⊆ Ω ako je neprekidna u svakoj točki toga intervala. Funkcija f: Ω→R je neprekidna na intervalu [a, b] ⊆ Ω ako postoji interval (c, d) ⊆ Ω takav da je [a, b] ⊆(c, d) i da je f neprekidna na (c, d). Funkcija je neprekidna ako je neprekidna u svakoj točki područja definicije.


39

Rasprava

Napomena: Neprekidnost funkcije nema veze s činjenicom može li se graf funkcije nacrtati u jednom potezu (slikica uz naslov trebala bi vas podsjetiti na to)!

Napomena: Neprekidnost funkcije (a poslije i derivacija) razmatra se u točki iz područja definicije. Tek kasnije se razmatrano svojstvo "proširuje" na dijelove područja definicije (ili na cijelo područje definicije) na kojima vrijedi. Uobičajena greška je na uobičajeno trik-pitanje o neprekidnosti funkcije f(x)=1/x odgovoriti da "ta funkcija ima prekid u nuli" (jer se ne može nacrtati u jednom potezu); x=0 nije u području definicije ove funkcije, ne možemo razmatrati neprekidnost funkcije tamo gdje ona uopće nije definirana!

Uočimo da se funkcija mora "poprilično potruditi" da ne bi bila neprekidna – malo ozbiljnije formulirano, prekid može nastupiti na jedan od sljedećih načina:

uklonjivi prekid "skok" funkcije

uklonjivi prekid: ovo je slučaj kada funkcija u točki x0 ima lijevi i desni limes koji su međusobno jednaki ali nisu jednaki funkcijskoj vrijednosti u x0. Kažemo da je prekid uklonjiv zato što redefiniranjem funkcijske vrijednosti, tj. uzimanjem )(lim)(

00 xfxf

xx→=

(grubo rečeno, "premještanjem" crne točke s grafa na trenutni položaj bijele točke) dobivamo funkciju koja jest neprekidna;

skok: ovo je slučaj kada funkcija u točki x0 ima lijevi i desni limes koji su međusobno različiti. Pritom je svejedno je li funkcija uopće definirana u x0 i, ako jest, kolika je funkcijska vrijednost u x0.

prekid druge vrste: prva dva slučaja zovemo prekidima prve vrste. Postoji još jedna mogućnost prekida, ako su jedan ili oba limesa oko x0 beskonačni ili ne postoje.

Napomena: sve elementarne funkcije su neprekidne!


40

Prekid druge vrste Prekid druge vrste (sin(1/x), -1,5 za x=0)

Svojstva Iskažimo bez dokaza nekoliko svojstava neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu koja je lako usvojiti intuitivno, ukoliko se razumije pojam neprekidnosti (štoviše, budući da f mora biti neprekidna na cijelom intervalu, to znači i da je definirana na cijelom intervalu pa se svojstva mogu ilustrirati grafom nacrtanim "u jednom potezu" – nema prekida područja definicije).

Teorem: Neka je f neprekidna na intervalu [a, b]. Tada vrijedi: f je ograničena na intervalu [a, b], i na tom intervalu postiže najveću i najmanju vrijednost; f na intervalu [a, b] postiže sve vrijednosti između najveće i najmanje vrijednosti; ako su f(a) i f(b) suprotnog predznaka, f postiže vrijednost nula u barem jednoj točki tog

intervala.

Nadalje, iskažimo bez dokaza nekoliko teorema od kojih će nam prvi bitno pomoći pri izračunavanju limesa.

Teorem: Ako je funkcija f neprekidna u točki x0, a funkcija g neprekidna u točki f(x0), tada je

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→)(lim)(lim

00

xfgxfgxxxx

. Kažemo da limes i neprekidna funkcija komutiraju.

Teorem: Neka su funkcije f i g: Ω→R neprekidne u točki x0∈Ω. Tada su u x0 neprekidne i funkcije f+g, f-g, f⋅g. Funkcija f/g je također neprekidna, uz uvjet da je g(x)≠0.

Teorem: Ako je funkcija f neprekidna u x0, i ako je funkcija g neprekidna u y0=f(x0), tada je kompozicija g°f neprekidna u točki x0.


41

3b Vježbe Riješite sljedeće zadatke tako da najprije prepoznate o kojem se neodređenom obliku

radi (ukoliko je izraz uopće neodređen), a potom: "uklonite" član koji je "krivac" za neodređenost izraza (najčešće za oblike 0/0), ili podijelite izraz "dominantnim" članom (za oblike ∞/∞), ili dopunite izraz do razlike kvadrata (za oblike ∞-∞).

1. 6x

3x2xlim2

2x +++

→ 2.

2x3x1xlim 2

2

1x ++−

−→ 3.

6x23x2xlim 4

4

x +++

∞→

4. 62

32lim 4

3

+++

−∞→ xxx

x 5.

xxx

x

32lim2 ++

∞→ 6.

xxx

x

32lim2 ++

−∞→

7. 42lim 22 −

++→ x

xx

8. 42lim 22 −

+−→ x

xx

9. 3

3lim3 −

−→ x

xx

10. →

+ −

+ −

2

20

1 1lim3 3x

x

x 11.

1lim

2 +∞→ x

xx

12. 1

lim2 +−∞→ x

xx

13. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

∞→xxx

x41lim 22

Riješite sljedeće zadatke tako da, po potrebi, iskoristite "poznati" limes 1sinlim0

=→ x

xx

:

14. x

xx 2

2sinlim0→

15. x

xx 3

2sinlim0→

16. xx

x 5sin2sinlim

0→

17. xtgx

x 2sinlim

0→ 18.

xx

x cos1lim

2

0 −→ 19.

xxx

x 2cos1sinlim

0 −→

20. 30

sintglimx

xxx→

21. tgx1

xcosxsinlim4x −

−π→

Riješite sljedeće zadatke tako da iskoristite ( ) ex xx

=+→

1

01lim , k

x

xe

xk

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→1lim :

22. x

x xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

∞→ 11lim 23.

x

x xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

∞→ 3212lim 24.

xx

x

)1ln(lim0

+→

Raspravite neprekidnost funkcija:

25. ⎩⎨⎧

≥<

=00,

)( 2 xxxx

xf 26. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

=3

3,39

)(2

xA

xxx

xf 27. ⎩⎨⎧

≥+<+

=00,32)(

xxAxexxf

x


42

3c Rješenja

1. 811

811

6x3x2xlim

2

2x=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

+++

→

2. 22x1xlim

00

2x3x1xlim

1x2

2

1x−=

+−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

++−

−→−→

3. 21

x62

x3

x21

lim6x2

3x2xlim4

43

x4

4

x=

+

++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞

=+++

∞→∞→

4. 020

x62

x3

x2

x1

lim6x2

3x2xlim4

43

x4

3

x=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

+

++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞

=+++

−∞→−∞→

5. ∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞

=++

∞→∞→ 01

x1

x3

x21

limx

3x2xlim2

x

2

x

6. −∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=

++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∞−∞

=++

−∞→−∞→ 01

x1

x3

x21

limx

3x2xlim2

x

2

x

7. ∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

−+

+→ 04

4x2xlim 22x

8. −∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=

−+

−→ 04

4x2xlim 22x

9. 32

13x

13x3xlim

3x3x

3x3xlim

00

3x3xlim

3x3x3x=

+⋅

−−

=++

⋅−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

−−

→→→

10.

( ) ( )( )( )

→ →

→ →

+ − + − + +⎡ ⎤= = ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦+ − + − + +

⋅ + ++ += ⋅ = =

+ ++ − ⋅ + + ⋅ + +

=

2 2 2

2 2 20 0

2 22 2

20 02 2 2 2

1 1 0 1 1 1 1lim lim03 3 3 3 1 1

3 33 3lim lim3 33 3 1 1 1 1

3

x x

x x

x x x

x x x

x xx x

xx x x x

11. 1

x11

1lim1x

xlim

2

x2x=

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞

=+ ∞→∞→

12. 1

x11

1lim1x

xlim

2

x2x−=

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞−

=+ ∞−→∞−→

13.

2

x411

x1

1x4limx4x1x

x4x1xlim

x4x1x

x4x1xx4x1xlimx4x1xlim

22

x22

22

x

22

2222

x

22

x

=−++

+=

−++

+−+=

=−++

−++⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

∞→∞→

∞→∞→


43

14. 1x2

x2sinlim0x

=→

15. 32

x223

x2sinlim00

x3x2sinlim

0x0x=

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→

16. 52

x5x5sin5

x2x2sin2

lim00

x5sinx2sinlim

0x0x=

⋅

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→

17. 21

x2cosxcosxsin2

xsinlim

x2cosx2sinxsinlim

00

x2tgxsinlim

0x0x0x===⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→→

18. ( ) 2xsin

xcos1xlimxcos1xcos1

xcos1xlim

00

xcos1xlim 2

2

0x

2

0x

2

0x=

+⋅=

++

⋅−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

− →→→

19. ( ) 21

xsinxsin

xsinx

21lim

xsin2xsinxlim

xsinxcos1xsinxlim

00

x2cos1xsinxlim

0x20x220x0x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅==

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

− →→→→

20. limesa nemax1

xxsinlim

xxcosxsinlim

00

xxsinxtglim 2

2

0x3

2

0x30x=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→→

21. ( )22xcoslim

xcostgx1

1tgxlimxcosxcos:

00

tgx1xcosxsinlim

444 xxx−=−=

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−−

πππ →→→

22. [ ]( ) ( )

221x

x

11x

x

x

xe1e

1x21

1x21lim

1x21lim1

1x1xlim =⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ −

∞→

+−

∞→

∞

∞→

23. [ ]( )

( )( ) 22

142

321

3x2

x

233x2

21

x

x

x

ee3x2

413x2

41lim

3x241lim1

3x21x2lim

−−−+

∞→

−+⋅

∞→

∞

∞→

==⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

24. ( ) [ ] 1eln)x1(limln1)x1ln(lim)x1ln(x1lim

x)x1ln(lim x

1

0xx1

0x0x0x==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==+=+⋅=

+→

∞

→→→

25. ⎩⎨⎧

≥<

=00,

)( 2 xxxx

xf Funkcija je neprekidna na cijelom R (jedini mogući problem je u nuli, gdje su lijevi i desni limes jednaki).

26. ⎩⎨⎧

≥+<+

=00,32)

xxAxex x

Funkcija je neprekidna za svaki x ≠ 0, a u nuli je neprekidna ako je A = 3 (tada je limes u nuli jednak funkcijskoj vrijednosti).

27. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

=3

3,39

)(2

xA

xxx

xf Funkcija je neprekidna za svaki x ≠ 3, a za x=3 je neprekidna ako je A = 6 (tada je limes jednak funkcijskoj vrijednosti).


44

4. Derivacija funkcije Derivacija je još jedan u nizu važnih matematičkih pojmova koje upoznajemo u sklopu ovoga predmeta. Ovaj pojam je jednostavan za razumijevanje ukoliko je s razumijevanjem usvojen pojam limesa funkcije. Efektivno izračunavanje derivacije funkcije također je razmjerno jednostavan postupak (koji, doduše, iziskuje nešto vježbanja), između ostaloga i zbog toga što je deriviranje eksplicitno zadane funkcije jedne varijable poprilično "pravocrtan" posao, tj. ne iziskuje nikakve dosjetke ili "trikove" (za razliku, na primjer, od integriranja).

4.1 Definicija Definicija: Neka je funkcija f: Ω→R definirana u nekoj okolini točke x0∈Ω. Derivacija funkcije f u točki x0 (oznaka f '(x0)) je (ukoliko limes postoji):

( ) ( ) ( )0

00

0

limxx

xfxfxfxx −

−=′

→.

Komentari: Nekoliko osnovnih napomena uz pojam derivacije: Derivacija funkcije je (kao i neprekidnost) svojstvo koje se razmatra u točki. Mi ćemo

naučiti da je "cos(x) derivacija funkcije sin(x)", što treba ispravno interpretirati: za svaki x0 iz područja definicije funkcije sin(x) (a to znači, za svaki realan broj x0), sin'(x0) = cos(x0).

Ukoliko limes iz definicije ne postoji, funkcija nema derivaciju u točki x0; Analogno lijevom i desnom limesu, možemo definirati i derivaciju slijeva, odnosno

derivaciju zdesna (lijevu i desnu derivaciju). Tumačenje lijeve i desne derivacije dat ćemo nakon grafičke interpretacije derivacije.

4.2 Geometrijsko i fizikalno tumačenje derivacije Promotrimo najprije dio grafa desno od y-osi na priloženoj slici. Za odabranu točku x0 nacrtali smo sekantu koja prolazi točkom A(x0, f(x0)) i nekom susjednom točkom B(x0+∆x, f(x0+∆x)). Sa slike se lako vidi da je omjer prirasta funkcije (∆y) i promjene argumenta (∆x) upravo koeficijent smjera sekante (ujedno i tangens kuta β).

Ako fiksiramo sekantu u točki A i počnemo neizmjerno smanjivati ∆x, u graničnom slučaju kada ∆x teži nuli sekanta će "težiti" ka tangenti na graf funkcije f u točki x0. S druge strane, omjer ∆y/∆x će po definiciji limesa težiti ka derivaciji f '(x0). Dakle, koeficijent smjera tangente na graf funkcije u nekoj točki jednak je derivaciji funkcije u toj točki.

4. Derivacija funkcije i primjene

45

Važno: Pri svakom spominjanju derivacije dobro je sjetiti se tangente (naime, geometrijsko tumačenje derivacije je snažan alat za ispitivanje ponašanja funkcije), ali nije točna izjava "derivacija je tangenta".

Lijevo od y-osi na slici su dva bitna detalja: Promotrimo izgled grafa funkcije u točki C. U toj točki funkcija ima "šiljak" i vidimo da na

graf ne možemo položiti tangentu – ovo je tipičan primjer kada funkcija nema derivaciju u točki (uočite da ima lijevu i desnu derivaciju – odnosno "tangentu zdesna" i "tangentu slijeva", ali one nisu jednake).

Funkcija u točki x2, također nema derivaciju, ali ima lijevu i desnu derivaciju.

Već smo najavili derivaciju kao snažan alat za ispitivanje ponašanja funkcije. Dakle, što nam derivacija funkcije govori o funkciji?

Prije svega, samo postojanje derivacije u točki x0 znači da je funkcija "glatka" u x0, odnosno graf funkcije je "gladak" pri prolasku kroz točku (x0, f(x0)). Pojam "glatkoće" ostavit ćemo na intuitivnoj razini; intuitivno je jasno da funkcija na gornjoj slici prolazi glatko kroz točke A i B, a ne prolazi glatko kroz točku C.

Prisjetimo se: koeficijent smjera pravca "govori" nam raste li pravac ili pada, kao i koliko strmo (koliko brzo) raste ili pada. Jednako tako, derivacija funkcije u točki x0 govori nam kako se funkcija ponaša u neposrednoj okolini x0, odnosno pri prolasku kroz točku (x0, f(x0)) funkcija: raste, ako je derivacija u točki x0 pozitivna; pada, ako je derivacija u točki x0 negativna; raste/pada brzo (strmo) ako je apsolutna vrijednost derivacije velika; raste/pada sporo (blago) ako je apsolutna vrijednost derivacije mala.

Napomena: u gornjem nabrajanju namjerno smo izostavili razmatranje ponašanja funkcije pri prolasku kroz točku u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli. Ovu posebnu situaciju razmotrit ćemo kasnije u poglavlju o lokalnim ekstremima funkcije.

Fizikalno gledano, promatramo li nejednoliko gibanje tijela po pravcu po nekom pravilu s=f(t) (prevaljeni put kao funkcija vremena), trenutna brzina u nekom trenutku t0 bit će jednaka f '(t0).

Teorem (veza neprekidnosti i derivabilnosti): Ako funkcija ima derivaciju u točki x0, tada je neprekidna u x0.

(Dokaz ovoga teorema nećemo detaljno iskazati; uočite kako je za dokaz dovoljno primijetiti kako je za postojanje derivacije nužno da ∆y teži prema 0, a to je upravo definicija neprekidnosti funkcije u točki. Nadalje, teorem iskazuje implikaciju, a ne ekvivalenciju: na primjeru točke x2 na gornjoj slici vidimo da funkcija može biti neprekidna u nekoj točki, a nemati derivaciju u toj točki).


46

4.3 Tablica nekih osnovnih derivacija

Zadatak 1: Koristeći definiciju derivacije, dokažite valjanost izraza za derivaciju konstantne funkcije i linearne funkcije (izračunajte odgovarajući limes).

f(x) f '(x) f(x) f '(x) C 0 sinx cosx xa, a∈R, a≠0 axa-1 cosx -sinx

ex ex tgx x2cos

1

ax axlna ctgx x2sin

1−

lnx x1 arcsinx 21

1

x+

logax ax ln

1 arccosx 21

1

x−−

arctgx 211x+

arcctgx 211x+

−

Napomena: Za razliku od nekih dosadašnjih definicija, ovdje definicije treba čitati "doslovno", tj. ova tablica vrijedi samo za deriviranje f(x). Na primjer, derivacija funkcije sin(2x) nije jednaka cos(2x). Drugim riječima, ovdje ne prolazi priča o "krumpirima".

4.4 Pravila deriviranja

Teorem: Neka su funkcije f i g derivabilne u točki x0. Tada su derivabilni i zbroj (razlika), umnožak, kvocijent i kompozicija ovih funkcija i vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )000

00

20000

0

00000

000

0000,

xfxfgxfg

xgxg

xgxfxgxfxgf

xgxfxgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

′⋅′=′

≠′⋅−⋅′

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′⋅+⋅′=′⋅

′−′=′−

′+′=′+

Pravila deriviranja su jednostavna za primjenu, uz iznimku pravila za deriviranje kompozicije funkcija čiji zapis redovito izaziva zabunu. Ukratko, kompoziciju deriviramo tako da redom deriviramo funkcije koje u toj kompoziciji sudjeluju. Najbolje je razmotriti primjer: derivirajmo funkciju f(x)=(sin2x)2; U ovoj kompoziciji redom ("izvana prema unutra") sudjeluju

kvadratna funkcija (pritom ne gledamo koji izraz kvadriramo, imamo "nešto na kvadrat");

sinus (opet, ne gledamo argument sinusa, imamo "sinus nečega"); linearna funkcija.

Deriviranje, korak po korak, izgleda ovako:


47

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )xx

xxxxx

xxx

2cos2sin4funkciju) linearnu o(deriviram22cos2sin2

kosinus) o(deriviram22cos2sin2funkciju) kvadratnu o(deriviram2sin2sin22sin2

⋅=⋅⋅=

′⋅⋅=

′⋅=′

Zadatak 2: Derivirajte sljedeće funkcije:

( ) 5

51 xxf = ( )

21 x

xxf+

= ( )xxxf

+−

=11

( ) 3 5xxf = ( ) 21 xxxf−

= ( ) 21 xxf −=

( ) xxxf cossin += ( ) xxf 3sin= ( ) xexf2sin−=

( ) xxxf cossin ⋅= ( ) ( )xxf cosln=

( ) arctgxxxxf ⋅⋅= sin

Zadatak 3: Odredite derivaciju funkcije ( ) 3 2xxf = , razmotrite vrijednost derivacije u nuli i ponašanje oko nule i zaključite kako izgleda graf funkcije u nuli i oko nule.

4.5 Tangenta i normala Već smo napomenuli da je koeficijent smjera tangente na graf funkcije f u točki x0 jednak derivaciji funkcije f u točki x0. Neka je zadana točka T(x0, f(x0)). Koristeći jednadžbu pravca kroz zadanu točku s poznatim koeficijentom smjera, dobivamo jednadžbu tangente na graf funkcije f u točki T:

( ) ( ) ( )000 xxxfxfy −⋅′=−

Normala (pravac okomit na tangentu) u točki T ima jednadžbu:

( ) ( ) ( )00

01 xxxf

xfy −⋅′

−=−

Zadatak 4:

a) Nađite jednadžbu tangente i normale na parabolu y=x2+2x u točki s apscisom 1. b) Na paraboli y=x2+3x-4 nađite tangentu paralelnu pravcu y=3x-3. c) Odredite vrijednost koeficijenta a tako da pravac y=x bude tangenta funkcije y=aex.

4.6 L'Hospitalovo pravilo

Teorem: Neka su funkcije f i g definirane u nekoj okolini točke c∈R i ( ) ( ) 0limlim ==→→

xfxfcxcx

. Ako

f i g imaju neprekidne prve derivacije u toj okolini točke c, i ako je u toj okolini g '(x)≠0, Tada je ( )( )

( )( )xgxf

xgxf

cxcx ′′

=→→

limlim .

(Teorem vrijedi i kada f i g teže u neku od beskonačnosti, kao i kada x teži u neku od beskonačnosti).


48

Napomena: Obratite pozornost da se pri primjeni l'Hospitalova pravila ne radi o deriviranju kvocijenta, nego se zasebno derivira brojnik, a zasebno nazivnik.

Zadatak 5: Pomoću l'Hospitalovog pravila izračunajte:

xx

x

sinlim0→

2limxex

x ∞→

xx

x ln1lim

1

−→

xx

x 2costg1lim

4/

−→π

xxxx

x sintglim

0 −−

→

4.7 Derivacije višeg reda Kao što smo vidjeli, deriviranjem funkcije dobivamo ponovno funkciju, pa možemo razmatrati "derivaciju derivacije", tj. derivaciju višeg reda.

Definicija: Derivacija n-tog reda funkcije f definirana je kao derivacija derivacije (n-1)-og reda:

( ) ( )( )′= − xfxf nn )1()( .

Napomena: Kažemo da smo u ovoj definiciji n-tu derivaciju definirali rekurzivno.

Zadatak 6: Odredite sljedeće derivacije: ( ) ( ) xxfxf ln, =′′

( ) ( ) 5, xxfxf =′′′

( )( ) ( ) xxfxf cos,25 =

( ) ( ) xexfxf 2)100( , =

4.8 Monotonost i derivacija funkcije Sljedeći teorem već smo neformalno iskazali pri geometrijskom tumačenju derivacije; predznak i apsolutna vrijednost derivacije funkcije u točki "govore" nam o ponašanju funkcije pri prolasku kroz tu točku. Pritom iz predznaka vidimo raste li funkcija ili pada, a iz apsolutne vrijednosti koliko brzo raste/pada.

Formalizirajmo ovaj iskaz (uočite da ni sljedeći teorem ne govori što se s funkcijom događa u nul-točkama prve derivacije):

Teorem: Neka je funkcija f derivabilna na intervalu (a,b). Tada vrijedi: f(x) raste na intervalu (a,b) ⇔ f '(x) ≥ 0 na intervalu (a,b); f(x) pada na intervalu (a,b) ⇔ f '(x) ≤ 0 na intervalu (a,b).

Ako su nejednakosti na desnim stranama ekvivalencije stroge, funkcija strogo raste (pada).

Zadatak 7: Odredite intervale na kojima su sljedeće funkcije monotone:

( ) ( )2ln xxf =

( )x

xxf 12

2

+=

( ) ( )xxxf arctg−=

( )x

xxfcos

2sin −=


49

4.9 Ekstremi, točke infleksije Osim do sada iskazanih informacija koje razmatrajući derivaciju spoznajemo o ponašanju funkcije, pomoću derivacije ćemo utvrditi i lokalne ekstreme funkcije. Za početak, prisjetite se definicije lokalnih ekstrema i (globalnih) ekstrema funkcije, koju smo iskazali u poglavlju 2.3.

U traženju lokalnih ekstrema funkcije, najprije ćemo odrediti tzv. kritične točke ili "kandidate za ekstrem". Pritom se služimo sljedećim teoremom.

Definicija: Kažemo da je x0 kritična točka funkcije f ako je f '(x0)=0 ili f '(x0) ne postoji.

Teorem: Ako funkcija f ima lokalni ekstrem u točki x0, tada je x0 kritična točka funkcije f.

Napomena: Uočite da iskaz teorema nije ekvivalencija, tj. nul-točka derivacije ne mora biti točka lokalnog ekstrema (dobro je imati na umu funkciju f(x)=x3 za koju je f '(0)=0, ali u nuli nema lokalni ekstrem).

Na samome početku razmatranja funkcija definirali smo konveksnost i konkavnost funkcije; definirali smo i točku infleksije kao točku u kojoj funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu (ili obrnuto). Sljedeći teoremi povezuju konkavnost/konveksnost funkcije i vrijednost druge derivacije.

Teorem: Funkcija je konveksna na intervalu (a,b) ako je f "(x)>0, ∀x∈(a,b); Funkcija je konkavna na intervalu (a,b) ako je f "(x)<0, ∀x∈(a,b).

Teorem: Ako u točki infleksije x0 funkcija f ima drugu derivaciju, onda je f "(x0)=0.

Drugim riječima, funkcija može imati točke infleksije ili u nul-točkama druge derivacije ili na mjestima gdje graf ima "šiljak";

Napomena: I ovdje iskaz teorema nije ekvivalencija, tj. nul-točka druge derivacije ne mora biti točka infleksije (razmotrite f(x)=x4 za koju je f ''(0)=0, ali u nuli nema točku infleksije).

Teorem: Ako je u točki x0 f "(x0)=0, i ako druga derivacija mijenja predznak pri prolasku kroz x0, onda funkcija f ima točku infleksije u x0.

Napomena: Kao zgodan podsjetnik za sve vezano uz konkavnost/konveksnost, dobro je imati na umu da je f(x)=x2 konveksna, a da je f(x)=x3 konkavna lijevo, a konveksna desno od y-osi.

Konačno, iskažimo teorem koji iskazuje način na koji utvrđujemo ekstreme funkcije.

Teorem: ako funkcija f u točki x0 ima neprekidnu prvu, drugu, ..., n-tu derivaciju, i ako vrijedi f '(x0)= f ''(x0)=...= f (n-1)(x0)=0, f(n)(x0)≠0, tada:

ako je n neparan funkcija ima točku infleksije u x0; ako je n paran, funkcija ima lokalni ekstrem u x0, i to lokalni minimum ako je

f(n)(x0)>0, odnosno lokalni maksimum ako je f(n)(x0)<0.


50

Napomena: Teorem je najlakše zapamtiti (i primijeniti) tako da se prisjetite funkcija f(x)=x3 i f(x)=x4, od kojih prva u nuli ima točku infleksije a druga lokalni minimum.

Iz ovog teorema možemo očitati postupak određivanja ekstrema funkcije: najprije odredimo "kandidate za ekstrem", tj. nul-točke prve derivacije i točke u kojima prva

derivacija ne postoji; u svakoj od nul-točaka prve derivacije funkciju dalje deriviramo dok ne dođemo do

derivacije različite od nule. Ovisno o (ne)parnosti reda derivacije koja je različita od nule, konstatiramo da u toj točki funkcija ima lokalni ekstrem ili točku infleksije;

u točkama gdje prve derivacije nema, dodatnim razmatranjima funkcije utvrdimo radi li se o lokalnom ekstremu (ovakvi su slučajevi u zadacima razmjerno rijetki).

Uočite da ovim postupkom dobivamo sve ekstreme, ali ne nužno i sve točke infleksije. Naime, funkcija može imati točku infleksije i u točki gdje prva derivacija nije nula (dakle, u točki koju nismo "prepoznali" kao kandidata za ekstrem).

Primjer: Na slikama su redom prikazane funkcija ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xarctgxf 11 , njena prva derivacija

( )122

12 ++

−=′xx

xf i druga derivacija ( ) ( )( )22 122

122

++

+⋅−=′′

xx

xxf . S grafova vidimo da funkcija za

21

−=x ima točku infleksije (druga derivacije je u toj točki nula, i mijenja predznak pri prolasku),

iako je vrijednost prve derivacije negativna, dakle različita od nule. Prema tome, bez dodatnih razmatranja našim postupkom dobivamo samo one točke infleksije koje su "neuspjeli ekstremi".

Kako ne bismo "otkrivali toplu vodu", razmotrit ćemo primjer u kojem su sjajno prikazani i komentirani mogući slučajevi lokalnih i globalnih ekstrema funkcije (primjer je preuzet s mrežne adrese http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node119.html, autor prof.dr. Ivan Slapničar). Primjer je vrlo poučan, posebice ako razmislite o tome koje od nabrojanih informacija o lokalnim i globalnim ekstremima (ne) biste dobili razmatranjem derivacije funkcije. Nadalje, uočite naizgled paradoksalnu situaciju da točke globalnog minimuma nisu i točke lokalnog minimuma.


51

ni jedna točka u intervalu [a,b] nije ni lokalni, niti globalni ekstrem; u točki c funkcija ima lokalni minimum, ali ne i globalni minimum; u točki d funkcija ima lokalni maksimum, ali ne i globalni maksimum; sve točke u intervalu [e,f] su točke globalnog minimuma, a ni jedna nije točka lokalnog

minimuma; u točki g funkcija istovremeno ima lokalni i globalni maksimum; u točki i funkcija ima lokalni minimum.

Zadatak 8: Odredite lokalne ekstreme funkcija:

( ) 212

xxxf

+= ( )

xxxf

2ln=

Riješit ćemo prvi dio zadatka da bismo predstavili jedan jednostavan (bolje rečeno, skraćeni) način za utvrđivanje naravi ekstrema, tj. utvrđivanje predznaka druge derivacije u kritičnim točkama.

Dakle, za funkciju ( ) 212

xxxf

+= prva derivacija je ( ) ( )

( )22

2

1

12

x

xxf+

−⋅=′ . Nul-točke prve derivacije su

točke x1= –1 i x2=1. Uočite da je prva derivacija definirana na cijelom skupu R.

Prvi, "školski" način: Odredit ćemo drugu derivaciju funkcije: ( ) ( )( )32

2

1

34

x

xxxf+

−=′′ . Potom ćemo

utvrditi da je druga derivacija pozitivna u x1 i negativna u x2, tj. da funkcija postiže lokalni minimum za x1= –1 (minimum je f(–1)= –1) i lokalni maksimum za x2=1 (maksimum je f(1)=1).

Drugi, brži način: Ponašanje funkcije f u točkama koje su kandidati za ekstrem može se utvrditi i brže, uz izbjegavanje (ponekad neugodnog) određivanja druge derivacije. Postupak je možda na prvi pogled nejasan, stoga ćemo ga izložiti vrlo detaljno kroz nekoliko koraka: uočimo da nas ne zanima druga derivacija funkcije f, nego samo predznak druge derivacije

u kandidatima za ekstrem;

uočimo da se derivacija f ' može napisati u obliku: ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅−⋅=′

222

1

112x

xxf . Zagrade

su nepotrebne, ali želimo naglasiti da smo derivaciju prikazali kao umnožak dva faktora;


52

kandidati za ekstreme su nul-točke prvog faktora; drugu derivaciju možemo dobiti prema pravilima za deriviranje umnoška:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

CBA

xx

xx

xx

xxxf

CB

A

+⋅=

′

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅−⋅+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅−=

′

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅−⋅+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅′

−⋅=′′

222

22

222

222

1

1121

14

1

1121

112

ovaj izraz je naizgled ružan, ali upravo nam on omogućava jednostavno utvrđivanje predznaka druge derivacije u točkama koje su kandidati za ekstrem. Naime: izraz C je u kandidatima za ekstrem jednak nuli, pa ne utječe na predznak koji tražimo; izraz B je uvijek pozitivan.

Prema tome, predznak druge derivacije u točkama koje su kandidati za ekstrem jednak je predznaku izraza A, tj. predznaku derivacije brojnika od f ' u tim točkama (Važno: Još jednom naglašavamo da ovako možemo dobiti samo predznak, a ne i vrijednost druge derivacije, i to samo u kandidatima za ekstrem a ne općenito! Međutim, nas i zanima samo predznak druge derivacije – njena vrijednost nam ne treba.)

Zadatak 9: Odredite lokalne ekstreme funkcija:

( ) ( )21ln xxf += ( ) xxexf −= 1

4.10 Asimptote, još jednom Pojam asimptote i vrste asimptota već smo obradili u poglavlju o limesima. Ipak, kao završnu pripremu pred crtanje grafa funkcije, još jednom ćemo razmotriti asimptote i nešto detaljnije pojasniti formulu za kosu asimptotu.

Vertikalna (uspravna) asimptota je pravac x=x0 ako je ∞=→

)(lim0

xfxx

ili −∞=→

)(lim0

xfxx

.

Ukoliko ne postoji limes, ali postoji neki od jednostranih limesa, imamo vertikalnu asimptotu slijeva/zdesna. Vertikalnu asimptotu "tražimo" na rubovima područja definicije (ako je područje definicije ograničeno slijeva i/ili zdesna), i/ili u točkama prekida područja definicije. Horizontalna (vodoravna) asimptota je pravac y=y0 ako je 0)(lim yxf

x=

∞→ ili 0)(lim yxf

x=

−∞→.

Očito, horizontalne asimptote "tražimo" tako da razmotrimo ponašanje funkcije u obje beskonačnosti (ako je funkcija tamo definirana).

Kosa asimptota u beskonačnosti je pravac y=kx+l ako je xkxflxxfk

xx⋅−==

∞→∞→)(lim;)(lim .

Analogno se definira kosa asimptota u minus beskonačnosti. Kosu asimptotu "tražimo" ako funkcija u nekoj od beskonačnosti ima beskonačan limes; u tom slučaju ispitujemo ponaša li se funkcija u toj beskonačnosti kao pravac.

Pojasnimo značenje koeficijenta smjera i odsječka na y-osi kose asimptote: koeficijent smjera dobivamo razmatranjem kako se funkcija f ponaša u usporedbi s

pravcem y=x; ako f raste u beskonačnost (ili pada u minus beskonačnost) bitno sporije od pravca, limes će biti 0; ako raste (pada) bitno brže, limes će biti beskonačan;


53

odsječak na y-osi dobivamo kao posljedicu pretpostavke da se u beskonačnosti funkcija f ponaša kao pravac y=kx+l; ako je f(x) ≈ kx+l, tada je l ≈ f(x)-kx, odnosno l dobivamo izračunavanjem limesa xkxfl

x⋅−=

∞→)(lim .

Zadatak 10: Odredite asimptote funkcija:

( )2

4+

+=x

xxf ( ) xexf −= 11

( )x

xxf2ln

= ( ) xxexf1

−=

4.11 Ispitivanje tijeka i crtanje grafa funkcije Došao je trenutak da zaključimo naše putovanje koje je započelo definicijom pojma funkcije i tijekom kojega smo upoznali elementarne funkcije, potom se naoružali alatima (limes, derivacija) za upoznavanje ponašanja funkcije. Ispitivanjem tijeka i crtanjem grafa funkcije okrunit ćemo sva dosadašnja razmatranja.

Ako želimo nacrtati graf funkcije zadane eksplicitno sa y=f(x), moramo redom utvrditi: prirodno područje definicije funkcije; eventualna "lijepa" svojstva funkcije: parnost, periodičnost; nul-točke funkcije; lokalne ekstreme i intervale monotonosti, točke infleksije i intervale zakrivljenosti; asimptote funkcije.

Utvrđene elemente naznačit ćemo u koordinatnoj ravnini i povezati u kvalitativni graf funkcije.

Napomena: Primijetite da postupak ispitivanja tijeka i crtanja grafa funkcije ne sadrži ništa novoga; radi se o primjeni do sada usvojenih definicija i alata kako bismo nacrtali kvalitativni graf funkcije. Govorimo o "kvalitativnom grafu" a ne o "grafu": graf koji nacrtamo sadržavat će sve informacije relevantne za upoznavanje ponašanja funkcije, ali je i dalje približan graf (u smislu da ne možemo nacrtati graf koji će u svakoj točki područja definicije prikazati točnu funkcijsku vrijednost).

Napomena: Preporučljivo je svaki utvrđeni element grafa odmah nanijeti na koordinatni sustav, jer se tako jednostavno i na vrijeme može uočiti eventualna nedosljednost, tj. greška u izračunavanju. Na primjer, ako pogrešno "pronađemo" sve lokalne ekstreme, a utvrdimo da dobivene elemente grafa ne možemo povezati bez dobivanja još nekih lokalnih ekstrema, očito smo negdje pogriješili u izračunavanju. U nastavku dajemo primjer situacije u kojoj nam graf u nastajanju ukazuje na pogrešku.


54

Razmotrite primjer na sljedećoj slici: nakon razmatranja elemenata grafa funkcije naznačeni su sljedeći elementi:

funkcija je definirana na skupu R\x0; jedini lokalni ekstrem je lokalni maksimum u x1; u obje beskonačnosti ima kosu asimptotu; ∞=

−→)(lim

0

xfxx

; −∞=+→

)(lim0

xfxx

.

U ovom primjeru postoje barem dvije očite pogreške u utvrđivanju elemenata grafa: nemoguće je povezati dijelove grafa lijevo od x0 a da pritom ne dobijemo još barem dva

lokalna ekstrema (a pronašli smo sve lokalne ekstreme); nemoguće je povezati dva dijela grafa desno od x0 a da pritom ne dobijemo još barem

jedan lokalni ekstrem.

U ovakvim slučajevima (umjesto nažalost čestoga "nasilnog" povezivanja pogrešno izračunatih elemenata grafa) treba još jednom razmotriti izračunavanje elemenata i pronaći grešku. U ovom primjeru razumno je pretpostaviti da je pogrešno utvrđena narav lokalnog ekstrema u x1, tj. da funkcija u x1 ima lokalni minimum, te da je ∞=

+→)(lim

0

xfxx

(naime, rijetko se dogodi da se izostavi

neki lokalni ekstrem; puno je češća pogreška pogrešno izračunavanje nekog limesa).

Upamtite: Graf nije dodatna gnjavaža nego pomoć, kontrola i korektiv izračunavanju elemenata funkcije!


55

Zadatak 11: Ispitajte tijek i skicirajte graf funkcija (grafovi su priloženi kako biste mogli provjeriti vaše rezultate):

( )2

4+

+=x

xxf ( ) xexf −= 11

( )x

xxf2ln

= ( ) xexxf1

−⋅=

( )123

792 2

+++

=x

xxxf ( )x

xxf ln1+=


56

4b Rješenja 1. Ako je f(x)=c, imamo: ( ) ( ) ( ) 0

xxcclim

xxxfxflimxf

0xx0

0xx0

00=

−−

=−−

=′→→

Ako je ( ) baxxf += , imamo:

( ) ( ) ( ) ( ) axx

xxalimxx

baxbaxlimxx

xfxflimxf0

0xx0

0xx0

0xx0

000=

−−⋅

=−

−−+=

−−

=′→→→

.

2.

( ) 5x51xf = ( ) 415 xx5

51xf =⋅=′ −

( ) 3 5xxf = ( ) 3 232

35

x35x

35xxf ⋅=⋅=

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′

( ) xcosxsinxf += ( ) xsinxcosxf −=′

( ) xcosxsinxf ⋅= ( ) ( ) x2cosxsinxsinxcosxcosxf =−⋅+⋅=′

( ) arctgxxsinxxf ⋅⋅= ( ) 2x11xsinxarctgxxcosxarctgxxsin1xf+

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=′

( )2x1

xxf+

= ( ) ( ) ( )3222

22

2

22

x1

1

x1x1

xx1x1

x1xxx11

xf+

=+⋅+

−+=

++

⋅−+⋅=′

( ) 2x1xxf−

= ( ) ( ) ( )( ) ( )22

2

22

2

x1

1x

x1

x2xx11xf−

+=

−

−⋅−−⋅=′

( ) x3sinxf = ( ) ( ) x3cos3x3x3cosxf =′⋅=′

( ) ( )xcoslnxf = ( ) ( )xcosxsinxcos

xcos1xf −=′⋅=′

( )x1x1xf

+−

= ( )( )2x1

2

x1x12

1x1x1

x1x12

1xf+

−⋅

+−

⋅=

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⋅

+−

⋅=′

( ) 2x1xf −= ( ) ( )2

22 x1

xx1x12

1xf−

−=

′−⋅

−⋅=′

( ) xsin2exf −=

( ) ( ) ( ) ( )( ) xcosxsin2e

xsinxsin2exsinexfxsin

xsin2xsin

2

22

⋅−⋅=

=′⋅−⋅=′

−⋅=−

−−

3. ( )3

32

x32xxf⋅

=

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′ . Derivacija nije definirana u nuli –graf funkcije u nuli ima "šiljak".

4a. T(1,3); ( ) ( ) ;41f;2x2xf =′+=′ Pravci kroz jednu točku: ( ) ( )1x413y;1x43y −−=−−⋅=− .

Jednadžba tangente je 1x4y −= , a jednadžba normale 4

13x41y +−= .


57

4b. ( ) 3x2xf +=′ , Zbog paralelnosti tangente i pravca, ražimo x0 takav da je ( ) 3xf 0 =′ . Lako vidimo da je 0x0 = , 4y0 −= . Pravac kroz jednu točku: x34y =+ , odnosno: 4x3y −= .

4c. Uočite da u točki dodira funkcije i tangente mora biti 0x00 exy == . Nadalje, mora biti

( ) 0xeaxf1 ⋅=′= . Onda mora biti i 1yx 00 == , odnosno mora biti e/1a = .

5.

11

xcoslimH'L,00

xxsinlim

0x0x==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→ ∞==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∞∞

=∞→∞→∞→ 2

elimH'L,x2

elimH'L,xelim

x

x

x

x2

x

x

1

x11limH,L,

00

xlnx1lim

1x1x−=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−→→

1

x2sin2xcos

1

limH'L,00

x2cosxtg1lim

2

4/x4/x=

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−π→π→

( ) 2xcosxcos1lim

xcos1xcosxcos1lim

xcos1

1xcos

1

limH'L,00

xsinxxxtglim 20x2

2

0x

2

0x0x=

+=

−⋅−

=−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−−

→→→→

6.

( )

( ) 2x1xf

xlnxf

−=′′

=

( ) ( )( ) ( ) 23

45

x60xf,x20xf

x5xf,xxf

=′′′=′′

=′=

( )( )( ) xcosxf

xcosxf25 =

= ( )

( ) x2100)100(

x2

e2xf

exf

=

=

7a. ( ) ( ) ( )x2xf,xlnxf 2 =′= . Funkcija pada za x<0 i raste za x>0.

7b. ( ) ( ) 2

2

x1xxf,

x1

2xxf −=′+= . Funkcija pada za x<1 i raste za x>1.

7c. ( ) ( ) ( ) 2x111xf,xarctgxxf+

−=′−= . Derivacija je pozitivna za sve x-ove različite od nule; za

te x-ove funkcija raste.

7d. ( ) ( ) ( ) ( )xcos

xsin21xcos

xsin2xsinxcosxf,xcos

2xsinxf 22

2 −=

−⋅−−=′−

= . Nazivnik derivacije je uvijek

pozitivan, a brojnik je pozitivan na intervalima oblika ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

ππ+

π∈ k2

65,k2

6x . Na tim

intervalima funkcija raste (osim u točkama za koje je cos x = 0, gdje nije definirana), a na ostatku područja definicije pada.

8b. ( ) ( ) 2

2

2

22

xxlnxln2

x

xlnxx1xln2

xf,x

xlnxf −=

−⋅⋅=′= . Nul-točke derivacije su x0 = 1, x1 = e2.

Promatramo li derivaciju brojnika prve derivacije xlnxln2 2− ,u kritičnim točkama imamo:

( ) 0e/2)e(B,02)1(B;x

xln22xB 22 <−=′>=′−=′ . Prema tome, x0 = 1 (odnosno, točka

T0(1, 0)) je točka lokalnog minimuma, a x1 = e2 (odnosno, točka T1(e2, 4e–2)) točka lokalnog maksimuma funkcije.

9a. ( ) ( ) ( ) 22

x1x2xf,x1lnxf

+=′+= . Jedina kritična točka je x0 = 0. Derivacija brojnika prve

derivacije je ( ) 02)0(B;2xB >=′=′ . Prema tome, x0 = 0 (odnosno, točka T0(0, 0)) je točka lokalnog minimuma.


58

9b. ( ) ( ) ( )x1xexee1xf,xexf x1x1x1x1 −⋅=−⋅=′= −−−− . Jedina kritična točka je x0 = 1. Derivacija izraza u zagradi prve derivacije je ( ) 01)1(B;1xB <−=′−=′ . Prema tome, x0 = 1 (odnosno, točka T0(1, 1)) je točka lokalnog maksimuma.

10. Asimptote ovih funkcija izračunate su kao dio rješavanja sljedećeg zadatka (zadatka 11).

11a. Područje definicije funkcije je R \ –2.

( ) ( )( ) ( )2

2

2 2xx4x

2x41xf,

2x4xxf

+

+=

+−=′

++= , Kritične točke su x0 = – 4, x1 = 0.

Derivacija brojnika prve derivacije je ( ) 04)0(B;04)4(B;4x2xB >=′<−=−′+=′ . Dakle, točka (– 4, –6) je točka lokalnog maksimuma, a točka (0, 2) je točka lokalnog minimuma.

∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++−=

++−∞=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−+−=

++

+−→−−→ 042

2x4xlim;

042

2x4xlim

2x2x. Dakle, x = – 2 je vertikalna

asimptota slijeva i zdesna.

∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞+∞=

++−∞=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∞−+∞−=

++

∞→−∞→

42x

4xlim;42x

4xlimxx

. Dakle, funkcija nema

horizontalnih, a možda ima kose asimptote.

0x12x

4xlim;1x2x

41limx

2x4x

limx2xx

=⋅−+

+=+

+=++

−∞→−∞→−∞→. isti se rezultat dobije i kada x

raste u beskonačnost. Dakle, pravac y = x je kosa asimptota.

11b. Područje definicije funkcije je R \ 1.

( ) ( )( )

x11

2x1

1

e1x

1xf;exf −−

−=′= . Prva derivacija je uvijek pozitivna, tj. funkcija stalno raste.

0eelim;eelim 01

x11

1x01

x11

1x=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=∞=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= −−

+→+−

−→. Funkcija ima vertikalnu asimptotu slijeva x = 1.

1eelim;1eelim1

x11

x

1x1

1

x=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∞−−

∞→∞−

−∞→. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 1.

11c. Područje definicije funkcije je (0, ∞). U zadatku 8b. odredili smo ekstreme: x0 = 1 (odnosno, točka T0(1, 0)) je točka lokalnog minimuma, a x1 = e2 (odnosno, točka T1(e2, 4e–2)) točka lokalnog maksimuma funkcije.

∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+∞

=+→ 0x

xlnlim2

0x – y-os je vertikalna asimptota zdesna.

0x2limH'L,

1x

xln2

limH'L,x

xlnlimxx

2

x==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∞∞

=∞→∞→∞→

– x-os je horizontalna asimptota

zdesna.

11d. Područje definicije funkcije je R \ 0.

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⋅⋅+⋅=′⋅=

−−−−

x11e

x1exe1xf;exxf x

1

2x1

x1

x1

. Jedina kritična točka je x0 = – 1.

Derivacija zagrade u prvoj derivaciji je 2x1

x11 −=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + , pa je u kritičnoj točki vrijednost

derivacije negativna – točka T(–1. –e) je točka lokalnog maksimuma.


59

( ) −∞=−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∞∞

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−=

−

−→

−

−→+

−

−→

2

x1

2

0x

x1

0x01

x1

0x

x1

ex1

limH'L,

x1

elime0xelim ( ) 0e0xelim 01

x1

0x=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+= −

−

+→

Dakle, y-os je vertikalna asimptota slijeva.

( )[ ] ( )[ ] ∞=⋅∞=−∞=⋅∞−=−

∞→

−

−∞→

0x1

x

0x1

xexelim;exelim . Dakle, nema horizontalnih, ali možda

ima kosu asimptotu.

[ ] 1H'L,00

x1

1elim1exlimx1xelim;1ex

xelimx1

xx1

xx1

x

0x1

x−==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−==

−

−∞→

−

−∞→

−

−∞→

−

−∞→… .

Na isti se način dobivaju koeficijenti kada x teži u beskonačnost. Dakle, pravac y = x – 1 je kosa asimptota.

11e. Područje definicije funkcije je R \ –4.

( ) ( )( )2

22

4x329x16x2xf;

12x37x9x2xf

+⋅

++==′

+++

= … . Nul-točke prve derivacije (tj. nul-točke

brojnika) su x0 = 22,542/6 −≈−− , x1 = 78,242/6 −≈− . Derivacija brojnika prve derivacije je: ( ) ( ) ( ) 062xB;062xB;16x4xB 10 >=′<−=′+=′ . Prema tome,

x0 = 22,542/6 −≈−− (odnosno, točka ( )( ) ( )97,3,22,53/762,42/6T0 −−≈−−−− ) je

točka lokalnog maksimuma, a x1 = 78,242/6 −≈− (odnosno, točka ( )( ) ( )7,0,78,23/762,42/6T0 −−≈−− točka lokalnog minimuma funkcije.

∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

+++

−∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=

+++

+−→−−→ 03

12x37x9x2lim;

03

12x37x9x2lim

2

4x

2

4x. Dakle, x = –4 je vertikalna

asimptota slijeva i zdesna. ( ) ( ) ∞=−∞=

∞→−∞→xflim;xflim

xx. Nema horizontalnih, ali možda ima kosu asimptotu.

( ) 31

12x37xlimx

32

12x37x9x2lim;

32

12x3x7x9x2lim

x

2

x

2

x=

++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++

=+⋅++

−∞→−∞→−∞→. Istim se postupkom

utvrdi kosa asimptota kad x teži u beskonačnost. Dakle, pravac 31x

32y += je kosa

asimptota.

11f. Područje definicije funkcije je (0, ∞).

( ) ( )3x2

xln1xf;x

xln1xf −==′+

= … . Jedina kritična točka je x0 = e. Derivacija brojnika prve

derivacije je ( ) ( ) 0e1xB;

x1xB 0 <−=′−=′ . Prema tome, točka ( ) ( )21,1,72,2e/2,eT0 ≈ je

točka lokalnog maksimuma.

−∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+∞−

=+

+→ 0xxln1lim

0x. Dakle, y-os je vertikalna asimptota zdesna.

0

x21x1

limH'L,x

xln1limxx

===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∞∞

=+

∞→∞→… . Dakle, x-os je horizontalna asimptota zdesna.


60

5. Vektori U ovom ćemo poglavlju upoznati pojam vektora, njihova osnovna svojstva i operacije definirane nad vektorima.

Krenimo od pojma dužine. Neka su P i Q dvije točke. Znamo da tim dvjema točkama prolazi točno jedan pravac. Dio toga pravca omeđen točkama P i Q (uključujući i te točke) nazivamo dužinom PQ . Pritom ne razlikujemo početnu i krajnju točku dužine, tj. QPPQ = .

Ako nam je iz nekog razloga važno razlikovati početnu i završnu točku, tj. ako nas osim pravca nositelja (pravca na kojem dužina leži) i njene duljine zanima i smjer, definiramo vektor PQ s

početnom točkom P i završnom točkom Q. Duljina vektora (označavamo ju s PQ ) je duljina

dužine PQ .

Prokomentirat ćemo prvi (i manje-više jedini) detalj koji može izazvati konfuziju. Naime, naši vektori se (za sada) nalaze "slobodni" u trodimenzionalnom prostoru, tj. nismo ih "fiksirali" nikakvim koordinatnim sustavom; stoga ima smisla smatrati ekvivalentnima dva vektora jednake duljine koji leže na paralelnim pravcima i "gledaju u istom smjeru" (uskoro ćemo formalno definirati smjer vektora, no intuitivno je jasno o čemu govorimo). Prema tome, mi zapravo razmatramo razrede (klase) ekvivalencije, i to tako da je vektor kojeg razmatramo predstavnik svojega razreda ekvivalencije. Lako vidimo da razred ekvivalencije čine svi vektori koje možemo dobiti tako da predstavnika razreda translatiramo u prostoru.

Definicija: Vektori 11QP i 22QP su ekvivalentni ako se dužine 21QP i 12QP međusobno raspolavljaju.

P1 P2

Q1 Q2

m

mn

n

Definicija: Nul-vektor je vektor PP sa istom početnom i završnom točkom (oznaka 0 ); Jedinični vektor je vektor duljine 1; Dva su vektora kolinearna ako leže na istome ili na paralelnim pravcima; Dva kolinearna vektora a i b mogu imati isti

smjer ili suprotne smjerove, što definiramo na sljedeći način: uzmemo njihove predstavnike tako da imaju zajedničku početnu točku P. Smjer je isti ukoliko su im završne točke s iste strane točke P, a imaju suprotne smjerove ukoliko su završne točke na suprotnim stranama točke P. Slika prikazuje kada dva vektora 1PQ i 2PQ imaju isti, a kada suprotne smjerove.

P

P

Q2

Q1

Q2

Q1

Iz do sada izloženoga, zaključujemo: dva su vektora jednaka (ekvivalentna) ako su kolinearni, iste duljine i istog smjera.

5. Vektori

61

5.1 Operacije s vektorima

Zbrajanje vektora Vektore možemo zbrajati po tzv. pravilu trokuta ili po tzv. pravilu paralelograma. U prvom slučaju zbrajamo predstavnike tako da je početna točka drugog vektora jednaka završnoj točki prvoga, a u drugom slučaju zbrajamo predstavnike koji imaju zajedničku početno točku. Pravilo trokuta je praktično za zbrajanje više od dva vektora: u tom slučaju vektore možemo jednostavno "ulančati" i zbroj dobiti kao vektor od početne točke prvoga do završne točke posljednjeg pribrojnika.

Pravilo trokuta Pravilo paralelograma Zbrajanje više vektora

Lako se vidi da zbrajanje vektora ima sljedeća svojstva: komutativnost: a + b = b + a asocijativnost: (a + b ) + c = a + ( b + c ) neutralnost nul-vektora s obzirom na zbrajanje: a + 0 = a .

Množenje vektora skalarom (brojem) Za vektor a ≠ 0 i realni broj λ ≠0 definiramo umnožak λa kao vektor:

kolinearan vektoru a ; ako je λ>0 ima smjer jednak, a ako je λ<0 ima smjer suprotan smjeru vektora a ; duljina mu je jednaka |λ||a |.

Ako je a = 0 ili λ =0, umnožak je nul-vektor.

Množenje vektora skalarom ima sljedeća svojstva: 1⋅a = a λ( a + b ) = λa +λb (λµ) a = λ(µa )

Teorem: Vektori a i b su kolinearni ako i samo ako je a = λb .

Definicija: Neka je zadan vektor a ≠ 0 . Jedinični vektor (ort) vektora a je vektor aaa =0 .

Napomena: Nemojte miješati pojmove "jedinični vektor" (bilo koji vektor duljine 1) i "jedinični vektor

vektora a " (vektor duljine 1 u smjeru vektora a ); Neformalno možemo reći da jedinični vektor vektora a "nosi" prostornu informaciju o

vektoru a , a da nije "opterećen" duljinom vektora a .


62

Množenje vektora

Definicija: Kut između vektora a i b je kut između njihovih predstavnika sa zajedničkom početnom točkom.

Napomena: U definiciji kuta između dva vektora ne razlikujemo "prvi" i "drugi" vektor, tj. ne govorimo o smjeru kuta. Stoga kut između dva vektora može poprimiti vrijednosti između 0 i π.

Upoznat ćemo se s dva osnovna načina na koje množimo vektore – skalarnim i vektorskim umnoškom – kao i s njihovom kombinacijom, tzv. mješovitim umnoškom. Ove su operacije prilično jednostavne ako se vodi računa o tome koja od njih kao rezultat daje skalar (broj), a koja vektor.

Definicija: Neka su zadani vektori a , b i c . Definiramo:

Skalarni umnožak (dva) vektora: bababa ,cosϕ⋅=⋅ ;

Vektorski umnožak (dva) vektora: cba =× , gdje je: vektor c okomit na vektore a i b ; babac ,sinϕ⋅= ;

vektori a , b i c čine tzv. desni (pozitivan) sustav, tj. vektor c nalazi se na onoj strani na koju bi napredovao desni ("normalan") vijak kada ga se zakreće od vektora a prema vektoru b .

Mješoviti umnožak (tri) vektora je umnožak ( ) cba ⋅× . Uočite da je mješoviti umnožak broj a ne vektor. Apsolutna vrijednost mješovitog umnoška jednaka je volumenu paralelepipeda kojeg razapinju vektori a , b i c .

Neka svojstva skalarnog umnoška su: komutativnost: abba ⋅=⋅ ; distributivnost: ( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅ ; ( ) ( ) baba ⋅=⋅ λλ ; ako su dva vektora različita od nul-vektora, okomiti su ako im je skalarni umnožak 0;

baba

ba⋅

⋅=,cosϕ ;

aaa ⋅=2 .

Neka svojstva vektorskog umnoška su: antikomutativnost: abba ×−=× ; distributivnost: ( ) cabacba ×+×=+× ; ( ) ( ) baba ×=× λλ ; prisjetimo se: jedna od formula za površinu trokuta sa stranicama a i b je

2sin ,baba

Pϕ⋅⋅

=∇ . Iz definicije vektorskog umnoška vidimo da je površina trokuta

kojeg određuju vektori a i b jednaka polovini duljine vektorskog umnoška ba × .

5. Vektori

63

Napomena: Skalarni i vektorski umnožak će biti osnovni alati u razmatranju pravaca i ravnina u prostoru. Zgodno je upamtiti da je skalarni umnožak "alat za ispitivanje kuta između vektora" (posebno, za utvrđivanje okomitosti dvaju vektora) a vektorski umnožak je "alat za postizanje okomitosti" (u smislu da pomoću njega dobivamo vektor koji je okomit na oba zadana vektora).

5.2 Koordinatizacija prostora Do sada smo govorili o vektorima kao predstavnicima razreda ekvivalencije, pri čemu smo trodimenzionalni prostor promatrali bez ikakvoga referentnog sustava koji bi nam omogućavao razmatranje (međusobnog) položaja točaka (pa onda i objekata) u prostoru. Analogno koordinatnom sustavu na pravcu, a potom i u ravnini (koje ste upoznali tijekom dosadašnjeg školovanja), trodimenzionalni prostor ćemo koordinatizirati tako da odaberemo jednu točku kao ishodište i tri međusobno okomita brojevna pravca (koordinatne osi) koji prolaze ishodištem. Pravce ćemo imenovati kao x-os, y-os i z-os tako da tvore tzv. desni koordinatni sustav, tj. tako da se z-os nalazi u smjeru napredovanja desnog vijka kada ga se zakreće od pozitivnoga dijela x-osi prema pozitivnome dijelu y-osi. Ovako definiran koordinatni sustav nazivamo Kartezijev pravokutni koordinatni sustav (ovo nipošto nije jedini način koordinatizacije prostora; štoviše, brojne su situacije u kojima nije ni najprikladniji).

U koordinatiziranom prostoru svaka točka A jedinstveno je određena svojim trima koordinatama, pišemo A(xA, yA, zA). Definirajmo na koordinatnim osima jedinične vektore i , j i k kao vektore koji imaju početnu točku u ishodištu, a krajnju u točkama (redom) (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1). Lako se vidi da je svakoj točki A jednoznačno pridružen vektor OAa = , kao i da vrijedi jednakost kzjyixa AAA ++= (kažemo da smo vektor a prikazali kao linearnu kombinaciju vektora i , j i k ). Zbog toga možemo vektor a također označavati preko njegovih "koordinata": ( )AAA zyxa ,,= .

Napomena: Oznaka ( )AAA zyxa ,,= upotrijebljena je kako bi se naglasila veza vektora a i točke A. Ubuduće ćemo koristiti oznaku vektora ( )zyx aaaa ,,= .

z

y

x

1

1

10

A

xA

yA

zA

a→

→

→→

i

kj

U ovako definiranome koordinatnom sustavu svaki razred ekvivalencije vektora ćemo predstavljati onim njegovim predstavnikom kojemu je početna točka u ishodištu, tj. takozvanim radij-vektorom.


64

Lako se vide sljedeća svojstva jediničnih vektora i , j i k :

i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅k = 1; i × i = j × j = k × k = 0 ; i × j = k ; j × k = i ; k × i = j .

Nadalje, lako se vidi da u koordinatiziranome prostoru vrijedi:

( )ABABAB zzyyxxAB −−−= ,, a + b = (ax+bx, ay+by, az+bz) λ⋅a = (λax, λay, λaz) vektori a i b su kolinearni ako su im koordinate proporcionalne, tj. ax=λbx, ay=λby, az=λbz a ⋅ b = ax⋅bx+ ay⋅by+ az⋅bz

222zyx aaaa ++=

222222,cos

zyxzyx

yzyyxxba

bbbaaa

bababa

++⋅++

++=ϕ

Za izračunavanje vektorskog umnoška dva vektora koristi se determinanta, struktura koju u okviru ovoga predmeta nećemo detaljnije razmatrati. Vektorski umnožak izračunavamo na sljedeći način:

( ) ( ) ( )xyyxxzzxyzzy

zyx

zyx babakbabajbabaibbbaaakji

ba −+−−−==×

Kažemo da smo determinantu "razvili po prvome retku". Uočite da se u ovome naizgled ružnome izrazu krije izračunavanje koje se lako zapamti: u svakome od tri pribrojnika uzimamo po jedan jedinični vektor, prekrižimo redak i stupac determinante u kojem je taj jedinični vektor i izračunamo razliku umnožaka dijagonalnih elemenata.

Na sličan se način računa vrijednost mješovitog umnoška:

( ) ( ) ( ) ( )xyyxzxzzxyyzzyx

zyx

zyx

zyx

cbcbacbcbacbcbacccbbbaaa

cba −+−−−==⋅×

5. Vektori

65

5b Vježbe 1. Gdje su u koordinatnome sustavu vektori (točke) kojima je:

točno jedna koordinata jednaka nuli? točno dvije koordinate jednake nuli?

2. Zadani su vektori a =(-1,1,0), b =(1, -2, 2) i c =(0, 3, 4). Nacrtajte ove vektore u koordinatnom sustavu i izračunajte: 2a - 4 b ; a ⋅ b ; |c |; kut između vektora a i b ; a × b ; (a × b ) ⋅c .

3. Zadani su vektori a =(-1,1,0) i b =(1, -2, 2). Odredite bilo koji vektor paralelan vektoru a ; Odredite bilo koji vektor okomit na vektor a ; Odredite opći oblik koordinata svih vektora koji su okomiti na a i b ; Odredite koordinate jediničnih vektora 0a i 0b ; Odredite koordinate vektora koji je paralelan vektoru b a duljina mu je 10.

4. Izračunajte a ⋅ b ako je: a =2 m - n ; b = m -2 n ; | m |=2; | n |=4; kut između m i n je π/3.

5. Kolika je površina trokuta određenog vektorima m =(a -2 b ) i n =(3a +2 b ) ako je |a | = | b | = 5; Kut između a i b je π/4.


66

5c Rješenja 1. Ako je jedna koordinata vektora jednaka nuli, vektor leži u koordinatnoj ravnini određenoj s

preostale dvije koordinate (npr. vektor a =(-1,1,0) leži u xy-koordinatnoj ravnini). Ako su dvije koordinate vektora jednake nuli, vektor leži na koordinatnoj osi određenoj trećom koordinatom (npr. vektor a =(-2,0,0) leži na x-osi).

2. ( ) ( ) ( )8,10,62,2,140,1,12b4a2 −−=−⋅−−⋅=− ( ) 3202111ba −=⋅+−⋅+⋅−=⋅

5430c 222 =++=

43;

22

923

babacos b,a

π=ϕ−=

⋅−

=⋅

⋅=ϕ

( ) ( ) ( ) kj2i212k02j02i221011kji

ba ++=−+−−−−=−

−=×

( ) ( ) ( ) 104132024,3,01,2,2cba =⋅+⋅+⋅=⋅=⋅×

3. Vektoru a bit će paralelan svaki vektor s proporcionalnim koordinatama, npr. c (–2, 2, 0).

Na vektor a bit će okomit svaki vektor čiji je skalarni umnožak s a jednak nuli. Jednu od koordinata biramo proizvoljno – npr., neka prva koordinata bude 0. U slučaju konkretnog vektora a , možemo uzeti bilo koji vektor na z-osi, npr. c (0, 0, 1). Općenito, imali bismo jednu jednadžbu s dvije nepoznanice, čije bi svako rješenje davalo valjani par koordinata.

Na dva vektora bit će okomiti svi vektori kolinearni njihovom vektorskom umnošku. U prethodnom zadatku izračunali smo ( )1,2,2ba =× . Prema tome, svaki vektor oblika (2t, 2t, t) bit će okomit na a i b .

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−⋅==

32,

32,

312,2,1

31

bbb;0,

21,

210,1,1

21

aaa 00

Postoje dva takva vektora. Međusobno su suprotni su, a iznose 10 0b i –10 0b :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅==

320,

320,

310b10c;

320,

320,

310

32,

32,

3110b10c 0201

4. ( ) ( )

201622142542

n2cosnm5m2

nn2nm5mm2n2mnm2ba22

=⋅+⋅⋅⋅−⋅=

=+ϕ⋅−=

⋅+⋅−⋅=−⋅−=⋅

5. Iskoristit ćemo formulu za površinu trokuta pomoću dvije stranice i kuta između njih:

2sinnm

P n,mϕ⋅⋅=∇ . Iz definicije vektorskog umnoška vidimo da je površina trokuta kojeg

određuju vektori m i n jednaka polovini duljine vektorskog umnoška nm × :

( ) ( )2100sinba8ba8nm

0ba80bb4ba2ab6aa3b2a3b2anm

=ϕ=×⋅=×

+×+=×−×+×−×=+×−=×.

Prema tome, tražena površina je 250 .

6. Analitička geometrija

67

6. Analitička geometrija Došli smo do posljednjeg poglavlja u našim razmatranjima Matematike 1, u kojem ćemo "upoznati" pravac i ravninu u prostoru. Namjerno stavljamo navodnike uz pojam upoznavanje, jer su i pravac i ravnina itekako poznati i intuitivno jasni. Osim toga, trodimenzionalni prostor itekako je razmatran u okviru nekih drugih predmeta, da ne spominjemo činjenicu da je sposobnost trodimenzionalnoga zora bila jedan od eliminacijskih preduvjeta za upis na studij arhitekture.

U čemu je onda problem u usvajanju ovoga dijela predmeta?

Uglavnom u dva osnovna razloga. Prije svega, bliži se kraj semestra, tek što su prošli praznici a većina neodrađenih obveza "dolazi na naplatu". Drugi je razlog "robovanje formulama" (uglavnom doneseno na studij kao loša navika) – umjesto da pojmovima, svojstvima i rješavanju zadataka pristupe "zdravorazumski" i analitički, i da iskoriste osjećaj (koji nedvojbeno imaju) za 3D-prostor, studenti se nerijetko skrivaju tražeći utočište u "čarobnoj formuli" koja će riješiti konkretan problem.

Prema tome, situacija je sljedeća: predstoji nam razmatranje struktura koje su nam poprilično poznate (pravci i ravnine); alati koje ćemo pritom koristiti su jednostavni i malobrojni (vektori, operacije s vektorima,

trodimenzionalni koordinatni sustav).

Nisu li ovo dostatni argumenti za tvrdnju kako je ovo najlakši dio predmeta?

6.1 Ravnina u prostoru Prije bilo kakvih "formula", razmotrimo neformalno što zapravo intuitivno znamo o ravnini u prostoru: ravnina dijeli trodimenzionalni prostor na dva poluprostora; dvije se ravnine ili sijeku (u tom im je slučaju presjek pravac), ili su paralelne, ili se

podudaraju.

Prisjetimo li se osnovno- i srednjoškolskih razmatranja pravca u dvodimenzionalnom prostoru, možemo zaključiti: u izvjesnom smislu ravnina u 3D-prostoru ponaša se analogno pravcu u 2D-prostoru.

Od ranije znamo da je ravnina jednoznačno određena s tri nekolinearne točke, pravcom i točkom koja mu ne pripada ili pak dvama pravcima koji se sijeku. Dakako da će ovo vrijediti i u razmatranjima ravnine i pravca u sklopu analitičke geometrije, no ovdje najprije želimo odrediti jednadžbu ravnine koristeći se vektorima i 3D-koordinatnim sustavom.

Ponovimo jednu banalnu činjenicu: što zapravo znači "odrediti jednadžbu ravnine (pravca)" (zapravo, što znači odrediti jednadžbu bilo kojeg skupa točaka u prostoru)? Jednostavno, želimo postaviti jednakost koju će točke koje pripadaju ravnini (pravcu) zadovoljavati, a one koje ne pripadaju je neće zadovoljavati.

U slučaju ravnine postupamo na sljedeći način: neka je T0(x0, y0, z0) bilo koja točka ravnine π, i neka je kCjBiAn ++= bilo koji vektor okomit na ravninu π (tzv. vektor normale). Za bilo koju

točku P ravnine π, vektor n okomit je na vektor PT0 , što znači da je ( ) 00 =⋅nPT . Za bilo koju

točku Q koja ne pripada ravnini π, vektor n nije okomit na vektor QT0 , što znači da je

( ) 00 ≠⋅nQT .


68

z

y

x

1

1

10

P

Q

→

→

n

n

T0

Prema tome, točke ravnine π su one i samo one za koje je ( ) 00 =⋅nPT , odnosno:

A·(x-x0) + B·(y-y0) +C·(z-z0) = 0.

Sredimo li gornju jednakost, tj. označimo li sa D broj –(A·x0+B·y0+C·z0), dobivamo opći oblik jednadžbe ravnine:

A·x + B·y + C·z + D = 0

Napomena: Na crtežu je vektor normale namjerno naznačen dvaput: koordinate (A, B, C) vektora normale zadanog sa kCjBiAn ++= zapravo su koordinate radij-vektora, tj. vektora s početkom u ishodištu; pri motiviranju jednadžbe ravnine vektor n prikazujemo "na ravnini" samo radi lakšeg razumijevanja izvođenja jednadžbe.

Napomena: Iako je očito i trivijalno, ponovimo još jednom: točka P pripadat će ravnini π ako njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu ravnine; sve točke za koje je Ax+By+Cz+D>0 ležat će s jedne, a točke za koje je Ax+By+Cz+D<0 s druge strane ravnine π.

Ponovimo: za jednadžbu ravnine treba nam bilo koji vektor okomit na tu ravninu i bilo koja točka koja pripada toj ravnini.

Lako se vidi: jednadžba ravnine nije jednoznačna: npr. jednadžbe x+y+z+1=0 i 2x+2y+2z+2=0 (kao i bilo

koja jednadžba proporcionalna ovim dvjema) određuju istu ravninu; ravnina prolazi kroz ishodište ako i samo ako je koeficijent D jednak nuli. dvije ravnine su paralelne ako su im vektori normale kolinearni, tj. dvije ravnine

A1x+B1y+C1z+D1=0 i A2x+B2y+C2z+D2=0 su paralelne ako je A1/A2=B1/B2=C1/C2; dvije ravnine su okomite ako su im vektori normale okomiti (tj. ako je skalarni umnožak

vektora normale jednak nuli), tj. dvije ravnine A1x+B1y+C1z+D1=0 i A2x+B2y+C2z+D2=0 su okomite ako je A1A2+B1B2+C1C2=0;

kut između dviju ravnina jednak je kutu između pripadajućih vektora normale, tj za kut između ravnina A1x+B1y+C1z+D1=0 i A2x+B2y+C2z+D2=0 vrijedi:

22

22

22

21

21

21

212121

21

21cosCBACBA

CCBBAAnnnn

++++

++=

⋅⋅

=ϕ .


69

Razmotrimo još jedan oblik jednadžbe ravnine: neka su A(k, 0, 0), B(0, l, 0) i C(0, 0, m) točke u kojima ravnina π siječe koordinatne osi. Znamo da je ravnina jednoznačno određena trima nekolinearnim točkama; prema tome, svaka jednadžba koju zadovoljavaju ove tri točke bit će jednadžba ravnine π. Lako se vidi da ove tri točke zadovoljavaju jednadžbu:

1=++mz

ly

kx ,

pa je ovo jedna od mogućih jednadžbi ravnine π. Ovaj se oblik naziva segmentni oblik jednadžbe ravnine. (Primijetite da se radi o proširenju segmentnog oblika jednadžbe pravca u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.)

Konačno, za dvije ravnine A1x+B1y+C1z+D1=0 i A2x+B2y+C2z+D2=0, jednadžba pramena ravnina kojeg ove dvije ravnine određuju je:

A1x+B1y+C1z+D1 + λ·(A2x+B2y+C2z+D2)=0,

gdje je λ bilo koji realni broj. Pramen ravnina je vrlo zgodna (a s druge strane, vrlo jednostavna) struktura za rješavanje cijelog niza zadataka.

6.2 Pravac u prostoru Nakon što smo postavili jednadžbu ravnine pomoću točke u ravnini i vektora normale, na sličan ćemo način doći do jednadžbe pravca.

Neka je je T0(x0, y0, z0) bilo koja točka koordinatnog prostora, i neka je kcjbias ++= bilo koji

vektor paralelan pravcu p (tzv. vektor smjera). Za bilo koju točku P na pravcu p, vektor PT0

kolinearan je vektoru s , što znači da je ( ) sPT λ=0 . Za bilo koju točku Q koja ne pripada pravcu

p, vektor QT0 nije kolinearan vektoru s , odnosno ( ) sQT λ≠0 .

z

y

x

1

1

10

Q

P

→

→

s

s

T0

Prema tome, točke pravca p su one i samo one za koje je ( ) sPT λ=0 . Ako je točka P zadana

kao P(x, y, z), vektor PT0 ima koordinate (x-x0, y-y0, z-z0), pa izraz ( ) sPT λ=0 po koordinatama glasi:

czzbyyaxx

⋅=−

⋅=−

⋅=−

λλλ

0

0

0

.


70

Ove se tri jednakosti mogu izjednačiti po λ, odakle slijedi ulančana jednakost (tzv. kanonska jednadžba pravca):

czz

byy

axx 000 −

=−

=− .

Prema tome: za jednadžbu pravca treba nam bilo koji vektor kolinearan tome pravcu i bilo koja točka koja pripada tome pravcu. Nadalje, svojstva pravca i međuodnos pravaca promatrat/utvrđivat ćemo uglavnom preko svojstava i međuodnosa vektora smjera.

Napomena: Kanonsku jednadžbu pravca ne treba "čitati" strogo kao jednakost triju razlomaka. Naime, (a, b, c) su koordinate vektora smjera, pa jedna ili više njih smije biti i 0. Stoga je u kanonskoj jednadžbi pravca moguće imati nulu u "nazivniku" nekog od izraza.

Napomena: razliku od dvodimenzionalnog prostora u kojem su se pravci sjekli u jednoj točki ili bili paralelni ili se podudarali, u trodimenzionalnom prostoru pravci mogu biti i mimosmjerni.

Kao i kod ravnine, lako se vidi: jednadžba pravca nije jednoznačna: za postavljanje jednadžbe pravca može se iskoristiti

beskonačno mnogo (međusobno kolinearnih) vektora smjera i beskonačno mnogo točaka koje pripadaju pravcu;

dva pravca su paralelni ako su im vektori smjera kolinearni, tj. a1/a2=b1/b2=c1/c2; dva pravca su okomiti ako su im vektori smjera okomiti (tj. ako je skalarni umnožak vektora

smjera jednak nuli), tj. ako je a1a2+b1b2+c1c2=0; kut između dvaju pravaca je kut između dvaju vektora smjera, tj vrijedi:

22

22

22

21

21

21

212121

21

21coscbacba

ccbbaassss

++++

++=

⋅⋅

=ϕ .

Napomena: Uočite da je kut između dva pravca valjano definiran i za dva mimosmjerna pravca.

Pravac je jednoznačno definiran i kao presjek dviju neparalelnih ravnina. Pišemo:

⎩⎨⎧

=+++=+++

≡00

2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

p .

Čitatelju naviknutom na objekte zadane "egzaktnom" jednadžbom, ovaj zapis je poprilično zbunjujući, no radi se jednostavno o zapisu koji kaže da pravac p čine sve točke koje pripadaju objema ravninama (pa onda i pravcu p kao njihovom presjeku). Naravno, ni ovaj zapis nije jedinstven jer postoji beskonačno mnogo ravnina koje prolaze pravcem p.

Napomena: Uočite analogiju između dvo- i trodimenzionalnog prostora, tj. uočite da nam za jednoznačno određenje (n-k)-dimenzionalne strukture treba točno k jednadžbi:

3D-prostor 2D-prostor (n-1) dimenzionalna struktura Ravnina Pravac Broj jednadžbi za (n-1)-dim str. 1 1 (n-2) dimenzionalna struktura Pravac Točka Broj jednadžbi za (n-2)-dim str. 2 2 (presjek dva neparal. pravca) (n-3) dimenzionalna struktura Točka Nema Broj jednadžbi za (n-3)-dim str. 3 (presjek triju ravnina)


71

6.3 Međusobni položaj pravca i ravnine Razmatranje međusobnog položaja pravca i ravnine u prostoru svodi se na primjenu do sada izloženih činjenica o pravcima i o ravninama. Pritom treba imati na umu da je ravnina određena vektorom normale i točkom, a pravac vektorom smjera i točkom. Odatle slijedi: pravac i ravnina su paralelni ako je vektor smjera pravca okomit na vektor normale

ravnine; pravac je okomit na ravninu ako mu je vektor smjera kolinearan vektoru normale ravnine; kut između pravca i ravnine određen je kao komplement kuta između vektora smjera

pravca i vektora normale ravnine, tj. izrazom:

222222sin

CBAcba

cCbBaAnsns

++++

++=

⋅⋅

=ϕ .


72

6b Vježbe 1. Razmotrite položaje ravnine u koordinatnom prostoru:

ako je jedna koordinata vektora normale jednaka nuli; ako su dvije koordinate vektora normale jednake nuli.

2. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M(0, -1, 3) i okomita je vektoru MN , gdje je N(1, 3, 5). [Rješenje: x+4y+2z-2=0]

3. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M(1, -5, 3) a paralelna je ravnini 2x+3y+z+1=0. [Rješenje: 2x+3y+z+10=0]

4. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama M1(1, 2, 0), M2(2, 0, -2) i M3(0, 1, 3). [Rješenje: 8x+y+3z-10=0].

5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M(2, -1, 3) i: na koordinatnim osima odsijeca jednake odsječke; [Rješenje: x+y+z-4=0] prolazi kroz x-os. [Rješenje: 3y+z=0]

6. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M(2, -1, 1) i okomita je ravninama 3x+2y-z+4=0; x+y+z-3=0. [Rješenje: 3x-4y+z-11=0]

7. Odredite jednadžbu skupa točaka u prostoru jednako udaljenih od M(2, -1, 2) i N(0, 1, 0). [Rješenje: x-y+z-2=0]

8. Koristeći pramen ravnina, kroz presjek ravnina 4x-y+3z-1=0; x+5y-z+2=0 položite ravninu: koja prolazi točkom M(1, 2, -3); [Rješenje: λ=1/2; 9x+3y+5z=0] koja je paralelna y-osi. [Rješenje: λ=1/5; 21x+14z-3=0]

9. Razmotrite položaje pravca u koordinatnom prostoru: ako je jedna koordinata vektora smjera jednaka nuli; ako su dvije koordinate vektora smjera jednake nuli.

10. Odredite jednadžbu pravca kroz točke M(1, 0, -2) i N(1, -1, 3).

[Rješenje: 5

210

01 +

=−−

=− zyx ]

11. Napišite kanonsku jednadžbu pravca ⎩⎨⎧

=++−=−−−

≡03209332

zyxzyx

p .

[Rješenje: 1

35

09

0 +=

−=

− zyx ]

12. Pravac 5

210

01 +

=−−

=− zyx prikažite kao presjek dviju ravnina. [Rješenje: x=1; 5y+z+2=0]

13. Točkom M(1, -2, 1) položite pravac:

koji je paralelan x-osi; [Rješenje: 0

10

21

1 −=

+=

− zyx ]

koji je paralelan pravcu 33

12

02

−+

=+

=− zyx ; [Rješenje:

31

12

01

−−

=+

=− zyx ]

koji je paralelan pravcu ⎩⎨⎧

==

≡32

yx

p . [Rješenje: 1

10

20

1 −=

+=

− zyx ]

14. Nađite točku u kojoj se sijeku pravci 3

112

11 −

=−−

=− zyx i

34

23

12 −

=−

=− zyx .

[Rješenje: T(4/3, 5/3, 2)]


73

15. Odredite vrijednost parametra D za koju pravac ⎩⎨⎧

=+−−=++−

≡03201

Dzyxzyx

p siječe os z.

[Rješenje: D=-1. Napomena: nije potrebno prebacivati pravac u kanonski oblik!]

16. Provjerite sijeku li se pravci 1

121

−==

zyx , 21

12

zyx=

−= . [Rješenje: Ne sijeku se.]

17. Odredite sjecište pravca 1

121

1 +==

− zyx i ravnine x-2y+z+5=0. [Rješenje: (7/2, 5, 3/2)]

18. Odredi jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T(-1, 2, -3) i okomita je na pravac

12

211 +

==− zyx . Odredite sjecište pravca i ravnine.

[Rješenje: x+2y+z=0: S(7/6, 1/3, -11/6)]

19. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T(0, 1, 0) i sadrži pravac 3

112

1 +==

− zyx .

[Rješenje: 2x-y-z+1=0]

20. Odredite projekciju T1 točke T(-1, 0, -1) na ravninu 2x+y-z+7=0, i točku T2 koja je simetrična točki T s obzirom na tu ravninu. [Rješenje: T1(-3, -1, 0); T2(-5, -2, 1)]

21. Odredite projekciju T1 točke T(1, 2, 8) na pravac 112

1 zyx=

−=

− , i točku T2 koja je

simetrična točki T s obzirom na taj pravac. [Rješenje: T1(3, -1, 1); T2(5, -4, -6)]

22. Odredite jednadžbu projekcije pravca ⎩⎨⎧

=+−+=−+−

≡01050634

zyxzyx

p na ravninu 2x-y+5z-5=0.

[Rješenje: ⎩⎨⎧

=−+−=++

≡0552024147

1 zyxyx

p . Iz pramena odaberemo okomitu na 2x-y+5z-5=0]

[Druga opcija: dvije bilo koje točke pravca projicirati na 2x-y+5z-5=0.]


74

6c Rješenja 1. Ako je jedna koordinata vektora jednaka nuli, vektor leži u koordinatnoj ravnini određenoj s

preostale dvije koordinate (npr. vektor a =(-1,1,0) leži u xy-koordinatnoj ravnini). Ako su dvije koordinate vektora jednake nuli, vektor leži na koordinatnoj osi određenoj trećom koordinatom (npr. vektor a =(-2,0,0) leži na x-osi).

2. ( )2,4,1MN = . Jednadžba ravnine s poznatim vektorom normale kroz zadanu točku: x+4y+2z+D=0; Točka M pripadat će ravnini za D = –2, pa je rješenje x+4y+2z–2=0.

3. Paralelne ravnine imaju isti vektor normale. Jednadžba ravnine s poznatim vektorom normale kroz zadanu točku: 2x+3y+z+D=0. Točka M pripadat će ravnini za D = 10, pa je rješenje 2x+3y+z+10=0.

4. ( ) ( )3,1,1MM;2,2,1MM 3121 −−=−= . Vektor normale tražene ravnine dobit ćemo kao

vektorski umnožak ova dva vektora: ( ) ( ) ( )21k23j26i311221

kjin −−+−−−−=

−−−−= . Radi

jednostavnosti (sve tri koordinate su negativne, što nam je „ružno“), kao vektor normale uzet ćemo vektor (8, 1, 3). Jednadžba ravnine s poznatim vektorom normale kroz zadanu točku: 8x+y+3z+D=0. Točka M1 pripadat će ravnini za D = –10, pa je rješenje 8x+y+3z–10=0.

5a. Koristimo segmentni oblik jednadžbe ravnine: 1=++mz

ly

kx . Jednaki odsječci znače da je

k = l = m, pa jednadžba ravnine glasi x+y+z+D=0. Točka M pripadat će ravnini za D = –4, pa je rješenje x+y+z–4=0.

5b. Ravnina prolazi kroz x-os ako prolazi kroz ishodište (pa će biti D = 0), i vektor normale je okomit na OM i PM, gdje je O ishodište O(0, 0, 0), a P bilo koja točka x-osi (radi

jednostavnosti, mi ćemo uzeti P(1, 0, 0)): ( ) ( ) ( )12k36j33i311312kji

n +−+−−+−=−−= .

Radi jednostavnosti (sve tri koordinate su negativne, što nam je „ružno“), kao vektor normale uzet ćemo vektor (0, 3, 1). Rješenje je ravnina 3y+z=0.

6. Vektor normale tražene ravnine je okomit vektorima normale zadanih ravnina:

( ) ( ) ( )23k13j12i111123

kjin −++−+=−= . Jednadžba ravnine s poznatim vektorom

normale kroz zadanu točku: 3x–4y+z+D=0. Točka M pripadat će ravnini za D = –11, pa je rješenje 3x–4y+z–11=0.

7. Tražimo ravninu koja je okomita na vektor ( )2,2,2MN −−= , koja prolazi točkom P koja je polovište dužine MN . Koordinate točke P su poluzbrojevi koordinata točaka M i N: P(1, 0, 1). Radi jednostavnosti, za vektor normale uzimamo polovicu vektora MN : –x+y–z+D=0. Jednadžba ravnine s poznatim vektorom normale kroz zadanu točku: –1+0–1+D=0. Točka P pripadat će ravnini za D = 2, pa je rješenje –x+y–z+2=0.


75

8a. Ravnina koju tražimo pripada pramenu oblika ( ) ( ) 02zy5x1z3yx4 =+−+⋅λ+−+− . Da bi prolazila točkom M, mora biti λ=1/2, pa je rješenje ravnina 9x+3y+5z=0 (radi jednostavnosti, vektor normale smo pomnožili sa 2 i izbjegli razlomke u jednadžbi ravnine).

8b. Ravnina koju tražimo pripada pramenu oblika ( ) ( ) 02zy5x1z3yx4 =+−+⋅λ+−+− . Da bi bila paralelna y-osi, mora biti λ=1/5, pa je rješenje ravnina 21x+14z–3=0 (radi jednostavnosti, vektor normale smo pomnožili sa 5 i izbjegli razlomke u jednadžbi ravnine).

9. Ako je jedna koordinata vektora smjera jednaka nuli, pravac je paralelan koordinatnoj

ravnini određenoj drugim dvjema koordinatama (npr., 5

210

01 +

=−−

=− zyx je paralelan

yz-koordinatnoj ravnini). Ako su dvije koordinate vektora smjera jednake nuli, pravac je

paralelan koordinatnoj osi određenoj preostalom koordinatom (npr., 0

2z10y

01x +

=−−

=− je

paralelan y-osi).

10. Vektor smjera traženog pravca je ( )5,1,0MN −= . Kao točku kroz koju pravac prolazi uzet

ćemo točku M (mogli smo uzeti i točku N), pa je rješenje 5

210

01 +

=−−

=− zyx .

11. Vektor smjera traženog pravca je vektorski umnožak vektora normala dviju ravnina:

( ) ( ) ( )34k32j63i121332

kjin +−++−−−=

−−−= . Radi jednostavnosti, uzet ćemo suprotan

vektor (izbjeći ćemo minuse u koordinatama). Kao točku kojom prolazi pravac uzet ćemo, npr., točku kojoj je prva koordinata jednaka nuli (ovo možemo napraviti uvijek, osim u slučaju da je pravac paralelan yz-koordinatnoj ravnini, tj. ne siječe ju). Za ovu točku T(0, b, c) vrijedi: –3b–3c–9=0; –2b+c+3=0. Rješenje ovog sustava je b = 0, c = –3, pa je traženi pravac

13

50

90 +

=−

=− zyx .

12. Jednadžbu pravca „rastavit“ ćemo na dvije jednadžbe: 10y

01x

−−

=− i

52z

10y +=

−− . Ovo,

zapravo, već jesu tražene ravnine (napomena: razumije se da ovo nije jedino rješenje): x = 1; 5y+z+2=0.

13a. Ako je pravac paralelan x-osi, druga i treća koordinata vektora smjera su mu jednake nuli,

pa je jednadžba traženog pravca 0

10

21

1 −=

+=

− zyx .

13b. Ako je pravac paralelan pravcu 33

12

02

−+

=+

=− zyx , ima isti vektor smjera pa je traženi

pravac 31

12

01

−−

=+

=− zyx .

13c. Traženi pravac je, kao i pravac p, paralelan z-osi, pa je traženi pravac 1

10

20

1 −=

+=

− zyx .

14. Za prvi pravac vrijedi: 13z;2y;1x 111 +λ=+λ−=+λ= , a za drugi: 43z;32y;2x 222 +λ=+λ=+λ= . U točki presjeka moraju parovi koordinata biti jednaki –

imamo sustav od tri jednadžbe s dvije nepoznanice, koji će imati rješenje ako se pravci


76

sijeku: 21 21 +λ=+λ , 322 21 +λ=+λ− , 4313 21 +λ=+λ . Rješenje ovog sustava su 3/2;3/1 21 −=λ=λ− , odnosno točka presjeka T(4/3, 5/3, 2).

15. Ako pravac siječe z-os, postoji točka T(0, 0, k) koja leži na pravcu, odnosno koja pripada objema ravninama. To znači da vrijedi k+1=0, –k+D=0. Znači, mora biti D = –1.

16. Za prvi pravac vrijedi: 1z;2y;x 111 +λ=λ=λ= , a za drugi: 222 2z;1y;2x λ=+λ=λ= . U točki presjeka moraju parovi koordinata biti jednaki – imamo sustav od tri jednadžbe s dvije nepoznanice, koji će imati rješenje ako se pravci sijeku: 21 2λ=λ , 12 21 +λ=λ , 21 21 λ=+λ . Ovaj sustav nema rješenja, tj. pravci se ne sijeku.

17. Za pravac vrijedi: 1z;2y;1x −λ=λ=+λ= . Uvrštavanjem tih uvjeta u jednadžbu ravnine, dobivamo: ( ) ( ) ( ) 051221 =+−λ+λ⋅−+λ , odakle slijedi λ=5/2, pa je sjecište točka T(7/2, 5, 3/2).

18. Vektor normale tražene ravnine je vektor smjera zadanog pravca. Jednadžba ravnine s poznatim vektorom normale kroz zadanu točku: x+2y+z+D=0; Točka M pripadat će ravnini za D = 0, pa je rješenje x+2y+z=0. Za pravac vrijedi: 2z;2y;1x −λ=λ=+λ= . Uvrštavanjem tih uvjeta u jednadžbu ravnine, dobivamo: ( ) ( ) ( ) 02221 =−λ+λ⋅++λ , odakle slijedi λ=1/6, pa je sjecište točka T(7/6, 1/3, –11/6).

19. Budući da ravnina sadrži pravac, možemo uzeti bilo koje dvije točke M1 i M2 tog pravca i onda postaviti ravninu kroz tri točke kao u zadatku 4. Za pravac vrijedi:

13z;y;12x −λ=λ=+λ= . Svakim odabirom vrijednosti za λ dobivamo neku od točaka pravca. Jedan od mogućih odabira je M1(1, 0, –1) za λ = 0, M2(3, 1, 2) za λ = 1. Na isti način kao u zadatku 4, dobivamo rješenje, ravninu 2x+5y–3z–5=0.

20. Projekciju ćemo dobiti kao sjecište ravnine i pravca koji prolazi točkom T i okomit je na ravninu. Vektor smjera pravca je vektor normale ravnine, pa je jednadžba pravca:

11z

1y

21x

−+

==+ . Za pravac vrijedi: 1z;y;12x −λ−=λ=−λ= . Uvrštavanjem tih uvjeta u

jednadžbu ravnine, dobivamo: ( ) ( ) ( ) 071122 =+−λ−−λ+−λ⋅ , odakle slijedi λ = –1, pa je sjecište točka T1(–3, –1, 0). Koordinate točke T2 dobivamo iz jednadžbe polovišta dužine:

2xxx 2TT

1T+

= , 2

yyy 2TT1T

+= ,

2zzz 2TT

1T+

= . Slijedi: T1T2T xx2x −= , T1T2T yy2y −= ,

T1T2T zz2z −= , odnosno, koordinate točke T2 su T2(–5, –2, 1).

21. Eventualni pokušaj postavljanja pravca kroz T okomitog na zadani pravac nije dobra ideja, jer takvih pravaca ima beskonačno mnogo, pa bismo morali tražiti upravo onoga koji siječe zadani pravac. Daleko jednostavnije je postaviti ravninu kroz T okomitu na zadani pravac. Točka T1 bit će presjek ravnine i pravca. Jednadžba ravnine s poznatim vektorom normale kroz zadanu točku: 2x–y+z+D=0. Točka T pripadat će ravnini za D = –8, pa je rješenje 2x–y+z–8=0. Za pravac vrijedi: λ=λ−=+λ= z;y;12x . Uvrštavanjem tih uvjeta u jednadžbu ravnine, dobivamo: ( ) ( ) ( ) 08122 =−λ+λ−−+λ⋅ , odakle slijedi λ = 1, pa je sjecište točka T1(3, –1, 1). Koordinate točke T2 dobivamo iz jednadžbe polovišta dužine kao i u prethodnom zadatku, i dobivamo T2(5, –4, –6).

22. Jedna (dosadna) mogućnost rješavanja je odabir dviju točaka pravca p i njihovo projiciranje na ravninu – projekcija pravca p bit će pravac kroz dvije projicirane točke. Postupak možemo skratiti odabirom sjecišta pravca p i ravnine kao jedne od tih točaka (ona je sama sebi projekcija pa imamo nešto manje posla).


77

Riješit ćemo zadatak na način koji je bitno jednostavniji, ali zahtijeva malo razmišljanja i razumijevanje pramena ravnina. Traženi pravac-projekciju prikazat ćemo kao presjek dviju ravnina, od kojih jednu već imamo (ravninu na koju projiciramo), a druga je ravnina koja sadrži pravac p i okomita je na ravninu projekcije. Ta druga ravnina pripada pramenu ravnina koje određuje pravac p: ( ) ( ) 010zy5x6z3yx4 =+−+⋅λ+−+− , i njen vektor normale je ( )λ−λ+−λ+ 3,51,4n . Od svih ravnina ovog pramena, tražimo onu koja je okomita na ravninu projekcije – dakle, vektori normale moraju im biti okomiti:

( ) ( ) ( ) 03551142 =λ−⋅+λ+−⋅−λ+⋅ , odakle slijedi λ = 3, pa je tražena ravnina

7x+14y+24=0, odnosno pravac-projekcija je ⎩⎨⎧

=−+−=++

≡0552024147

1 zyxyx

p .


78

Documents

Matematika 1 arhitektura