MATEMATIKA 1.

előadás jegyzet

Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára

Csomós Petra

Eötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi Kar, Matematikai Intézet

Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

2018

Tartalomjegyzék

Bevezetés 1

1. Halmazok 31.1. Halmazok megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Számhalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Intervallumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Függvények 72.1. Általános függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Valós függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Elemi függvények 13

4. Függvények határértéke 154.1. „Végesben vett véges” határérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. „Végtelenben vett” és „nem véges” határérték . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Differenciálszámítás 195.1. A differenciálhányados bevezetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2. A differenciálhányados geometriai jelentése . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3. Magasabbrendű deriváltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.4. A derivált kapcsolata a függvény tulajdonságaival . . . . . . . . . . . . 23

6. Integrálszámítás 296.1. A primitív függvény fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2. Az integrál geometriai bevezetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3. Az integrál tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4. Az integrál kiszámítása a Newton–Leibniz-formulával . . . . . . . . . . 366.5. Improprius integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7. Közönséges differenciálegyenletek 437.1. Szétválasztható típusú differenciálegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8. Többváltozós függvények 498.1. Parciális deriváltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

i

Bevezetés

• A jegyzet egy olyan egy féléves kurzus anyagát fedi le, melynek célja a különbözőérdeklődésű hallgatók matematikai tudásának azonos szintre hozása, és felkészítésüka későbbi fizika és komolyabb matematika kurzusokra.

• A későbbi tanulmányokhoz szükséges fogalmakat összefüggően, egymásra épülve, ámbizonyítások nélkül vezetjük be.

• Vizsgálatunk középpontjában a föld- és környezettudományok számára elengedhetet-lenül fontos matematikai objektum, a függvény áll. Függvénnyel írható le egy országhőmérséklete, egy bolygó domborzata, egy csillag gravitációs mezeje, de még a rész-vények árfolyamának időbeli alakulása is. És ami még fontosabb: ezek megváltozásátis egy-egy függvény adja meg.

• Az előadás jegyzet Mezei István, Faragó István, Simon Péter: Bevezetés az analízisbe(Typotex Kiadó, 2014) egyetemi jegyzet alapján készült.

• Az ábrák sajnos még hiányoznak, megtalálhatók azonban a fent hivatkozott jegyzet-ben, illetve felrajzolom majd az előadáson a táblára.

• Mindenfajta visszajelzésnek nagyon örülök: csomos@cs.elte.hu

1

BEVEZETÉS

JelölésekAz előadások során és jelen jegyzetben is előfordulhatnak olyan jelölések, melyek nemszerepeltek az eddigi tanulmányaik során. Az alábbiakban összeszedjük ezeket, és egy-egy példával illusztráljuk a használatukat.

jelölés jelentése példa

:= definiáló A := 1, a, pingvinegyenlőség az A halmaz elemei legyenek az 1, az a és a pingvin

∈ eleme x ∈ A vagy A 3 x(egy halmaznak) x eleme az A halmaznak

/∈ nem eleme x /∈ A(egy halmaznak) x nem eleme az A halmaznak

∃ létezik ∃ x ∈ R : x páros(van, található) létezik olyan valós szám, amelyik páros

∃! létezik egyetlen ∃! x ∈ R : |x| = 0egyetlen olyan valós szám létezik, amelynek abszo-lútértéke nulla

@ nem létezik @ x ∈ R : x2 = −1nem létezik olyan valós szám, amelynek négyzete−1

∀ minden x2 ≥ 0 ∀ x ∈ R(tetszőleges, bármely) minden valós szám négyzete nemnegatív

=⇒ következik x ∈ R =⇒ x2 ≥ 0⇐= ha egy szám valós, akkor (abból következik, hogy)

a négyzete nemnegatív

⇐⇒ akkor és csak akkor |x| = 0 ⇐⇒ x = 0(pontosan akkor) egy szám abszolútértéke akkor és csak akkor (pon-

tosan akkor) nulla, ha a szám a nulla szám

2

1. fejezet

Halmazok

A halmazok a matematika épületének alapkövei. Számunkra a függvények miatt lesz-nek fontosak, hiszen egy függvény egy bizonyos halmaz elemeihez rendeli hozzá egymásik halmaz elemeit. A függvények vizsgálatához ismernünk kell a halmazok alaptu-ladonságait.

1.1. Halmazok megadásaEgy halmazt akkor tekintünk adottnak/ismertnek, ha minden „dologról” el tudjuk dön-teni, hogy a halmazhoz tartozik-e vagy sem.Fontos fogalom a halmazhoz tartozás fogalma.1.1. Példa.• A teremben ülő hallgatók halmaza jól definiált.• A páros számok halmaza jól definiált.• A finom ételek halmaza azonban nem jól definiált, hiszen különböző az ízlésünk.1.2. Jelölés. Legyen A egy halmaz, x egy jól definiált „dolog”. Ekkor csak az alábbikét eset lehetséges:• x ∈ A jelentése: x eleme az A halmaznak,• x /∈ A jelentése: x nem eleme az A halmaznak.Egy halmazt többféle módon is megadhatunk:• felsoroljuk az elemeit, például A := 1, 2, a, b;• tulajdonságokkal, például B := x : x valós szám és x2 < 2;• más halmazok segítségével – lásd az alábbi definíciót.1.3. Definíció. Legyenek A és B halmazok. Definiáljuk az alábbi halmazokat.A = B egyenlők, ha ugyanazok az elemeikA ∪B únió (egyesítés): A ∪B := x : x ∈ A vagy x ∈ BA ∩B metszet (közös rész): A ∩B := x : x ∈ A és x ∈ BA \B különbség: A \B := x : x ∈ A és x /∈ B∅ üres halmaz: bármely x nem eleme az üres halmaznak

3

1. HALMAZOK

1.4. Definíció. Legyen H halmaz és A ⊂ H részhalmaz. Az A komplementer halma-zának az A := H \ A halmazt nevezzük.

1.5. Tétel (De Morgan-féle azonosságok). Legyen H halmaz, A,B ⊂ H részhalmazok.Ekkor az alábbiak teljesülnek:

A ∪B = A ∩BA ∩B = A ∪B

Vezessünk be a rendezett pár fogalmát az alábbi módon. Legyenek A,B 6= ∅ halmazok.Ekkor az a ∈ A és b ∈ B tetszőleges elemekből alkotott (a, b) párt rendezett párnaknevezzük. A rendezett pár fontos tulajdonsága, hogy (a, b) 6= (b, a), valamint hogya1, a2 ∈ A és b1, b2 ∈ B elemek esetén (a1, b1) = (a2, b2) pontosan akkor teljesül, haa1 = a2 és b1 = b2.

1.6. Példa. Legyenek A = x, y, z és B = 1, 2. E két halmaz elemeiből az alábbirendezett párok állíthatók elő: (x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2).

1.7. Definíció. Legyenek A,B 6= ∅ halmazok. Ekkor az

A×B := (a, b) : a ∈ A, b ∈ B

halmazt az A és B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük.

Az A×B tehát az összes olyan rendezett párt tartalmazza, amelyek az A és B elemeiből(ebben a sorrendben) előállíthatók.

1.8. Példa. 1. Az 1.6. Példa esetében

A×B = (x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2).

2. Legyen A := R és B := R. Ekkor A × B = R × R =: R2 = (x, y) : x ∈ R, y ∈ Rhalmaz tehát olyan rendezett párokat tartalmaz, melyek első és második tagja isegy valós szám. A R2 halmaz elemei tehát megfeleltethetők a sík pontjainak, hiszenazokat is két koordináta segítségével adjuk meg.

1.2. SzámhalmazokA továbbiakban leginkább számokat tartalmazó halmazokkal, azaz számhalmazokkal fo-gunk foglalkozni. Az alábbiakban összefoglaljuk, mely számhalmazok szerepelnek majdebben a félévben:N := 1, 2, 3, . . . természetes számok halmazaN0 := N ∪ 0 természetes számok és a nullaZ := . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . egész számok halmazaQ := x = p

q: p ∈ Z, q ∈ N racionális számok halmaza

Q∗ = pl.√

2, π, ezek racionális többszörösei, stb.1 irracionális számok halmazaR := Q ∪Q∗ valós számok halmaza

1Már a számoszi Pythagoras (kb. i.e. 570–495) és tanítványai is tudták (bár leginkább titkolták),

4

1.2. SZÁMHALMAZOK

A továbbiakban a korlátos számhalmazok fogalmával és jellemzésével ismerkedünk meg.

1.9. Definíció. 1. Az A ⊂ R halmazt alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyank ∈ R valós szám, melyre teljesül, hogy k ≤ x minden x ∈ A esetén. (Azaz azA halmaz összes eleme nagyobb a k számnál vagy egyenlő vele. Figyelem: k nemfeltétlenül eleme az A halmaznak.) Az ilyen tulajdonságú k szám elnevezése: az Ahalmaz egyik alsó korlátja (több is lehet).

2. Az A ⊂ R halmazt felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∈ R valósszám, melyre teljesül, hogy x ≤ K minden x ∈ A esetén. (Azaz az A halmaz összeseleme kisebb a K számnál vagy egyenlő vele. Figyelem: K nem feltétlenül eleme azA halmaznak.) Az ilyen tulajdonságú K szám elnevezése: az A halmaz egyik felsőkorlátja (több is lehet).

3. Az A ⊂ R halmazt korlátosnak nevezük, ha alulról és felülről is korlátos.

4. Az alulról korlátos A halmaz legnagyobb alsó korlátját az A halmaz infimumánaknevezzük. Jelölése: inf A.

5. A felülről korlátos A halmaz legkisebb felső korlátját az A halmaz szuprémumánaknevezzük. Jelölése: supA.

6. Ha inf A eleme az A halmaznak, akkor azt a számot az A halmaz minimumánaknevezzük. Jelölése: minA.

7. Ha supA eleme az A halmaznak, akkor azt a számot az A halmaz maximumánaknevezzük. Jelölése: maxA.

1.10. Példa. 1. Az A = N halmaz alulról korlátos, alsó korlátai például: 1, 0, −1, −π,−106, legnagyobb alsó korlátja: inf A = 1, amely eleme a halmaznak, tehát létezikminA = 1. Az N halmaz felülről nem korlátos, hiszen nem létezik olyan valós szám,amelynél a halmaz elemei (a természetes számok) mind kisebbek lennének (vagyegyenlők vele).

2. Az A = 11, 12, 13, 14, . . . halmaz alulról és felülről is korlátos, azaz korlátos halmaz.

Példa alsó korlátokra: 0, −1, −2, −π, −106. Példák felső korlátra: 1, 2, π, 106.Legnagyobb alsó korlátja: inf A = 0, mely nem eleme a halmaznak. Legkisebb felsőkorlátja: supA = 1, mely eleme a halmaznak, tehát létezik maxA = 1.

3. Az A = 11,−1

2, 13,−1

4, 15, . . . halmaz alulról és felülről is korlátos halmaz, azaz

korlátos halmaz. Példá alsó korlátra: −12, −1, −2, −π. Példák felső korlátra: 1, 2,

100. Legnagyobb alsó korlátja: inf A = −12, mely eleme a halmaznak, tehát létezik

minA = −12. Legkisebb felső korlátja: supA = 1, mely szintén eleme a halmaznak,

tehát maxA = 1.

hogy az egységnyi oldalhosszúságú négyzet átlójának hossza nem írható fel racionális számként, azaznincs olyan x ∈ Q, melyre igaz, hogy x2 = 2. Később kiderült, hogy jóval több ilyen tulajdonságúszám van (pl.

√3,√5, π, stb.). Ezeket gyűjtjük az irracionális számok Q∗ halmazába.

5

1. HALMAZOK

1.3. IntervallumokDefiniáljunk két új „dolgot” az alábbi tulajdonságokkal.

1.11. Definíció. Jelölje −∞ és +∞ az alábbi tulajdonságú számokat (ámde nem valósszámok):• x < +∞ minden x ∈ R esetén,• −∞ < x minden x ∈ R esetén,• −∞ < +∞.

1.12. Definíció. Legyen I ⊂ R, x1, x2 ∈ I , x1 < x2 pedig tetszőleges I-beli számok.Azt mondjuk, hogy az I halmaz egy intervallum, ha minden x ∈ R, x1 < x < x2számra teljesül, hogy x ∈ I. (Tehát akkor nevezzük az I halmazt intervallumnak, hatetszőleges x1 és x2 elemére teljesül, hogy minden közöttük levő valós szám is elemeI-nek.)

1.13. Állítás. Legyenek a, b ∈ R, a < b. Ekkor az alábbi halmazok intervallumok:

[a, b] := x ∈ R : a ≤ x ≤ b[a, b) := x ∈ R : a ≤ x < b(a, b] := x ∈ R : a < x ≤ b(a, b) := x ∈ R : a < x < b

[a,+∞] := x ∈ R : a ≤ x(a,+∞] := x ∈ R : a < x(−∞, a] := x ∈ R : x ≤ a(−∞, a) := x ∈ R : x < a

1.14. Jelölés. Vezessük be az alábbi jelöléseket:

(−∞,+∞) = R(0,+∞) = R+

[0,+∞) = R+0

(−∞, 0) = R−

(−∞, 0] = R−01.15. Megjegyzés. Legyen a ∈ R tetszőleges valós szám. Az alábbi halmazokat álta-lában nem tekintjük intervallumnak:

[a, a] = a tehát csak az a elemet tartalmazó halmaz(a, a) = ∅ tehát az üres halmaz

1.16. Definíció. Legyen x ∈ R, ε > 0. Az x pont ε sugarú környezetén a

Kε(x) := (x− ε, x+ ε)

nyílt intervallumot értjük. Azt mondjuk, hogy a K(x) az x pont egy környezete, halétezik olyan ε > 0, melyre K(x) = Kε(x).

6

2. fejezet

Függvények

A föld- és környezettudományokban előforduló legfontosabb matematikai objektum afüggvény. Ebben a fejezetben tehát bevezetjük a függvény fogalmát, megvizsgáljuk afüggvények alaptulajdonságait, és a tanultakat igyekszünk minél több példával illuszt-rálni.

2.1. Általános függvények

Legyenek X és Y tetszőleges halmazok. Képzeljünk el egy gépet, amelybe bedobunkegy x ∈ X „dolgot”, az pedig – valamilyen szabály alapján – visszaad nekünk egy y ∈ Y„dolgot”.

2.1. Példa. 1. Legyen X a magyar költők halmaza, Y pedig a női nevek halmaza.Építsük meg úgy a gépünket, hogy az általunk megadott magyar költő nevéhez azédesanyja keresztnevét rendelje hozzá. Írjunk ún. értéktáblázatot:

x Petőfi Sándor Arany János . . .y Mária Sára . . .

Megadhatjuk-e Sherlock Holmest a gépnek? Nem, hiszen nem magyar költő. A gépcsak a magyar költőkhöz tud bármit is hozzárendelni, Sherlock Holmest nem fogadjael, nem ismeri fel.

2. Legyen X megint a magyar költők halmaza és Y = N. Most azt kérjük a géptől, hogya megadott magyar költőhöz a születési évszámát rendelje hozzá. Értéktáblázat:

x Petőfi Sándor Arany János . . .y 1823 1817 . . .

Megfordíthatjuk-e a gépet, vagyis egyértelműen hozzá tudunk-e rendelni egy év-számhoz egy darab magyar költőt? Nem, hiszen egy adott évben több magyar költőis születhetett.

7

2. FÜGGVÉNYEK

3. Legyen most X = N és Y = N, és kérjük azt a géptől, hogy a kapott természetesszámok négyzetét adja vissza nekünk (azaz a gép az y = x2 szabály alapján rendelihozzá az y számot a beadott x számhoz):

x 1 2 3 4 . . .y 1 4 9 16 . . .

Bedobhatjuk-e a 0,123 számot a gépbe? Nem, hiszen nem természetes szám, a gépnem fogja tudni értelmezni, ő csak természetes számokat vár.

4. Legyen X = R és Y = R, és adjuk meg a gépnek az y = x + 5 hozzárendelésiszabályt, azaz a kapott számhoz adjon hozzá 5-öt:

x 1 2 0 π . . .y 6 7 5 π + 5 . . .

Láthattuk, hogy a gépnek két dologra volt szüksége, hogy végezni tudja a dolgát: ér-telmezési tartományra és hozzárendelési szabályra. Amennyiben ezek a rendelkezéséreálltak, minden értelmezési tartománybeli x elemhez hozzá tudta rendelni a hozzáren-delési szabály alapján a megfelelő y elemet. Vegyük észre, hogy a kapott y elem függattól, hogy melyik x elemet dobtuk be a gépbe. Az y tehát függvénye az x-nek. Fontosészrevétel volt még, hogy egy adott elemhez csak egy darab megfelelő y elemet talált agép (csak egy édesanyja van a költőknek, csak egy darab évben születettek, a számoknégyzete is egyértelmű, és a náluk 5-tel nagyobb számból is csak egy van). Az semvolt mindegy, hogy az x elemhez rendeljük-e hozzá az y elemet, vagy fordítva: az (x, y)tehát egy rendezett pár. Ez alapján már definiálni tudjuk az alábbiakat.

2.2. Definíció. Legyenek X, Y ⊂ R halmazok. Azt mondjuk, hogy az f ⊂ X × Yhalmaz függvény, ha bármely (x, y1) ∈ f és (x, y2) ∈ f esetén y1 = y2. (Azaz olyanrendezett párokat tartalmaz, melyek egy adott dologhoz nem rendelnek több különböződolgot. Vagyis egy dologhoz pontosan egy dolgot rendelnek hozzá.)

2.3. Példa. Az anyák nevéhez a gyermekeik nevét hozzárendelő „gép” nem függvény,hiszen egy anyának több gyereke is lehet, így tehát egy anya nevéhez (x) több gyermeknevét (y) is hozzárendeli.

2.4. Jelölés. Állapodjunk meg az alábbi jelölésekben.• Egy f ⊂ X×Y függvény esetén (x, y) ∈ f jelentése: az f függvény az x elemhez az y

elemet rendeli hozzá, azaz y az f függvény x helyen vett helyettesítési értéke. Jelöljeezt mostantól: y = f(x). Néha az alábbi jelölést is szoktuk alkalmazni: f : x 7→ f(x),azaz az f függvény az x elemhez az f(x) értéket rendeli hozzá (Például: f : x 7→ x2).

• Az f ⊂ X × Y függvényt jelöljük mostantól így: f : X → Y , azaz az f függvény azX halmazból az Y halmazba képez.

8

2.1. ÁLTALÁNOS FÜGGVÉNYEK

2.5. Definíció. Legyenek X, Y tetszőleges halmazok.1. Az f : X → Y függvény értelmezési tartományának az alábbi halmazt nevezzük:

D(f) := x ∈ X : ∃ y ∈ Y : y = f(x) ⊂ X.

(Az f függvény értelmezési tartománya tehát azon x ∈ X elemekből áll, melyekhezlétezik olyan y ∈ Y , amit az f az x-hez rendel, azaz y = f(x). Csak ezeket azelemeket dobhatom be a gépbe.)

2. Az f : X → Y függvény értékkészletének vagy képterének az alábbi halmazt nevez-zük:

R(f) := y ∈ Y : ∃ x ∈ X : y = f(x) ⊂ Y.

(Az f függvény értékkészlete tehát azon y ∈ Y elemekből áll, melyekhez létezikolyan x ∈ X, amit az f az y-ba képez, azaz y = f(x). A gép ezeket az elemekettudja csak kiadni.)

2.6. Definíció. Legyen f : X → Y függvény.1. Az f : X → Y függvényt szürjektívnek nevezzük, ha R(f) = Y (azaz képtere az

egész tér).

2. Az f : X → Y függvényt injektívnek nevezzük, ha f(x1) = y és f(x2) = y eseténx1 = x2 (azaz egy elemet nem rendelhet különböző elemekhez).

3. Az f : X → Y függvényt bijektívnek (kölcsönösen egyértelműnek) nevezzük, haD(f) = X, f szürjektív és f injektív. Ekkor minden x ∈ D(f) elemhez létezikegyetlen y ∈ R(f) elem, melyre y = f(x). (Azaz minden értelmezési tartománybelielemhez hozzárendel valamit az értékkészletből, méghozzá mindegyikhez különbözőelemet.)

2.7. Állítás. Az f függvény pontosan akkor injektív, ha x1 6= x2 =⇒ f(x1) 6= f(x2),azaz különbözőkhöz különbözőket rendel.

2.8. Jelölés. Legyen f injektív függvény és y = f(x). Ebben az esetben az x iskifejezhető, mint az y függvénye. Jelölje ezt a „visszafelé” függvényt f−1, azaz x =f−1(x). Ekkor f−1 : Y → X. Elnevezése: inverz függvény.

2.9. Példa. Legyen X = Y = R, D(f) = R és f(x) = 2x + 5. Ennek inverze azalábbiak szerint számítható ki. Legyen f(x) = 2x+ 5 = y. Innen kifejezhető x, mint azy függvénye: x = 1

2(y−5). Az f inverz függvénye tehát: f−1(y) = 1

2(y−5). Ellenőrizzük

le:

f−1(f(x)) =1

2

(f(x)− 5

)=

1

2(2x+ 5− 5) = x,

azaz f−1(f(x)) = x minden x ∈ D(f) esetén. (Vagyis ha bedobunk x-et, és „megfor-dítjuk” a gépet, az újra x-et ad vissza.)

9

2. FÜGGVÉNYEK

Vizsgáljuk meg az alábbi példákat.

2.10. Példa. 1. Legyen X a Földön eddig élt emberek halmaza, Y = N, és f : X → Yrendelje hozzá a teremben levő hallgatókhoz a születési évét. Ekkor f értelmezési tar-tománya a teremben levő hallgatók halmaza, értékkészlete a 2018/2019-es tanévbenkb. 1997, 1998, 1999, 2000. Az f nem szürjektív, hiszen sok olyan természetesenszám van még, amelyik nem születési éve egyik hallgatónak sem. Az f nem is injek-tív, hiszen több olyan hallgató is van a teremben, akik egy évben születtek. Az semigaz, hogy D(f) = X, hiszen nem minden eddig élt ember van most a teremben. Azf tehát nem is bijektív.

2. Tekintsük a fenti X, Y halmazokat, az f pedig rendelje hozzá a teremben ülő hall-gatókhoz a személyi igazolványuk számát. Ez a függvény injektív, hiszen különbözőhallgatókhoz különböző számokat rendel. Viszont még mindig nem bijektív.

3. Legyen most X a teremben levő hallgatók halmaza, Y pedig az ő személyi igazolvá-nyaik számának halmaza, f pedig a fenti függvény. Ekkor f bijektív.

4. Legyen X = Y = R, f : x → x. Ekkor D(f) = R = X, R(f) = R = Y (tehátszürjektív) és f injektív (f−1 = f), azaz f bijektív.

5. Legyen X = Y = R, f : x → x2. Ekkor D(f) = R = X, R(f) = R+0 (tehát nem

szürjektív) és f nem injektív, hiszen például az 1-hez és a −1-hez is 1-et rendelhozzá (12 = (−1)2 = 1).

6. Legyen X = Y = R+0 , f : x → x2. Ekkor D(f) = R+

0 = X, R(f) = R+0 = Y (tehát

szürjektív) és f injektív (inverze f−1(y) =√y), azaz bijektív.

2.11. Definíció. Legyenek X, Y, Z halmazok, g : X → Y , f : Y → Z függvények. Azf és g összetett függvényének (kompozíciójának) az alábbi f g-vel jelölt függvénytnevezzük:• f g : X → Z

• D(f g) := x ∈ D(g) : g(x) ∈ D(f)• (f g)(x) := f

(g(x)

)minden x ∈ D(f) esetén.

2.12. Példa. 1. Az f függvénynek és inverzének kompozíciója:

(f−1 f)(x) = f−1(f(x)) = x

minden behelyettesíthető x esetén.

2. Legyenek f, g : R→ R, f(x) = x2, g(x) = 2x+ 1. Ekkor f g : R→ R és

(f g)(x) = f(g(x)

)= f(2x+ 1) = (2x+ 1)2.

10

2.2. VALÓS FÜGGVÉNYEK

2.2. Valós függvényekMostantól olyan függvényekkel fogunk foglalkozni, melyek valós számokhoz valós szá-mokat rendelnek. Először az alaptulajdonságaikkal foglalkozunk.

2.13. Definíció. Legyenek f, g : R → R függvények, λ ∈ R tetszőleges valós szám, ésdefiniáljuk az alábbi valós függvényeket, azaz megadjuk az értelmezési tartományukatés a hozzárendelési szabályukat.

függvény értelmezési tartomány hozzárendelési szabály

λ · f : D(λ · f) := D(f) (λ · f)(x) := λ · f(x)

f + g : D(f + g) := D(f) ∩D(g) (f + g)(x) := f(x) + g(x)

f · g : D(f · g) := D(f) ∩D(g) (f · g)(x) := f(x) · g(x)1g

: D(1g) := D(g) \ x ∈ D(g) : g(x) = 0

(1g

)(x) := 1

g(x)

2.14. Jelölés. Legyenek f, g : R→ R függvények. Tegyük fel, hogy

H := D(g) \ x ∈ D(g) : g(x) = 0 6= ∅.

Ekkor az fgjelölés az f · 1

gfüggvényt jelenti aD(f

g) = D(f)∩H értelmezési tartománnyal.

Az alábbiakban defináljuk azokat a fogalmakat, melyek segítségünkre lesznek a függ-vények vizsgálatában.

2.15. Definíció. Legyen f : R→ R.1. Azt mondjuk, hogy az f felülről korlátos függvény, ha R(f) ⊂ R felülről korlátos

halmaz.

2. Azt mondjuk, hogy az f alulról korlátos függvény, ha R(f) ⊂ R alulról korlátoshalmaz.

3. Azt mondjuk, hogy az f korlátos függvény, ha R(f) ⊂ R korlátos halmaz.

2.16. Definíció. Legyen I ⊂ R intervallum és f : I → R függvény.1. Azt mondjuk, hogy f monoton növő az I intervallumon, ha bármely x1, x2 ∈ I,x1 < x2 esetén f(x1) ≤ f(x2).

2. Azt mondjuk, hogy f szigorúan monoton növő az I intervallumon, ha bármelyx1, x2 ∈ I, x1 < x2 esetén f(x1) < f(x2).

3. Azt mondjuk, hogy f monoton csökken az I intervallumon, ha bármely x1, x2 ∈ I,x1 < x2 esetén f(x1) ≥ f(x2).

4. Azt mondjuk, hogy f szigorúan monoton csökken az I intervallumon, ha bármelyx1, x2 ∈ I, x1 < x2 esetén f(x1) > f(x2).

11

2. FÜGGVÉNYEK

2.17. Definíció. Legyen f : R→ R.1. Az f függvényt párosnak nevezzük, ha

• minden x ∈ D(f) esetén −x ∈ D(f),• minden x ∈ D(f) esetén f(−x) = f(x).

2. Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha

• minden x ∈ D(f) esetén −x ∈ D(f),• minden x ∈ D(f) esetén f(−x) = −f(x).

3. Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p > 0 szám, melyre

• minden x ∈ D(f) esetén x+ p, x− p ∈ D(f),• minden x ∈ D(f) esetén f(x+ p) = f(x− p) = f(x).

A p szám az f függvény egyik periódusa.

A fenti tulajdonságok vizsgálatához segítséget nyújt a függvény grafikonjának ismerete.

2.18. Definíció. Legyen f : R→ R. Az alábbi

G(f) :=(x, f(x)

)∈ R2 : x ∈ D(f), f(x) ∈ R(f)

⊂ R2

halmazt az f függvény grafikonjának (gráfjának) nevezzük.

2.19. Példa. 1. f(x) = x páratlan, R-en szigorúan monoton növő függvény

2. f(x) = x2 páros, (−∞, 0]-án szigorúan monoton csökkenő, [0,+∞)-en szigorúanmonoton növő függvény

3. f(x) = |x| páros, (−∞, 0]-án szigorúan monoton csökkenő, [0,+∞)-en szigorúanmonoton növő függvény

4. f(x) = konstans páros, R-en monoton növő és monoton csökkenő, periodikus függ-vény (periódusa minden p > 0)

5. f(x) = sin(x) páratlan és periodikus függvény (legkisebb periódusa 2π)

6. f(x) = cos(x) páros és periodikus függvény (legkisebb periódusa 2π)

12

3. fejezet

Elemi függvények

Lásd fóliák!

Léptethető verzió:

www.math.elte.hu/~csomos/matek1-elemifvek.pdf

Nyomtatható verzió:

www.math.elte.hu/~csomos/matek1-elemifvek-print.pdf

13

4. fejezet

Függvények határértéke

A határérték fogalma önmagában is érdekes és hasznos, nekünk azonban leginkább aderivált bevezetésénél lesz szükségünk rá.

4.1. „Végesben vett véges” határértékTekintsük az alábbi függvényeket:

f1 : R→ R f2 : R \ 2 → R f3 : R→ R

f1(x) = x+ 2 f2(x) =x2 − 4

x− 2= x+ 2 f3(x) =

x+ 2, ha x 6= 21, ha x = 2

ábra ábra ábra

Vizsgáljuk meg, hová esnek az x0 = 2 pont körüli függvényekértékek (de x 6= 2):

• f1 : x ≈ 2 =⇒ f1(x) ≈ f1(2) = 2 + 2 = 4,

• f2 : f2 nincs értelmezve a 2 pontban, de x ≈ 2 esetén f2(x) ≈ 4,• f3 : f3 értelmezve van a 2 pontban és f3(2) = 1,

ámde x ≈ 2 (x 6= 2) esetén f3(x) ≈ 4 6= f3(2).

Láthatjuk, hogy az x0 = 2 körüli pontok függvényértékei attól függetlenül 4 körüliek,hogy az x0 = 2 pontban a függvény milyen értéket vesz fel, vagy hogy egyáltalán ér-telmezve van-e. A függvényértékek „úgy érzik”, hogy nekik a 4 érték körül kell lenniük,azaz a 4-hez tartanak, mikor az x értékeket az x0 = 2 értékhez közelítjük – vagyis 4a határértékük az x0 = 2 pontban. A fenti gondolatmenet csak olyan x0 pontok ese-tén működik, amelynek minden környezetében létezik D(f)-beli x elem, vagyis amelykörül végtelen sok D(f)-beli pont van (az nem baj, ha x0 /∈ D(f)). Ezen pontok hal-mazát a D(f) halmaz torlódási pontjainak halmazának nevezzük, és D(f)-fel jelöljük.A határérték pontos definíciója az alábbi.

4.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : R → R függvénynek létezik határértéke azx0 ∈ D(f) (torlódási) pontban, ha létezik olyan A ∈ R valós szám, melyre teljesül,hogy minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, hogy minden olyan x0-lal nem

15

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

egyenlő, de hozzá δ távolságnál közelebb levő x szám esetén f(x) szám kevesebbel térel az A értéktől, mint ε.

A 4.1. Definíció röviden: azt mondjuk, hogy az f : R → R függvénynek létezik határ-értéke az x0 ∈ D(f) pontban, ha létezik olyan A ∈ R valós szám, hogy

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀ x ∈ D(f) \ x0, |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− A| < ε.

Környezetek használatával pedig: azt mondjuk, hogy az f : R→ R függvénynek létezikhatárértéke az x0 ∈ D(f) pontban, ha létezik olyan A ∈ R valós szám, hogy

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀ x ∈ D(f) ∩Kδ(x0) \ x0 : f(x) ∈ Kε(A).

4.2. Jelölés. Tegyük fel, hogy az f függvénynek létezik A határértéke az x0 pontban.Ezt háromféleképpen is jelölhetjük:

limx0f = A vagy lim

x→x0f(x) = A vagy f(x)

x→x0−−−→ A.

4.3. Definíció. Egy f : R → R függvényt folytonosnak nevezünk az x0 ∈ D(f) pont-ban, ha

limx→x0

f(x) = f(x0),

azaz az x0 pontbeli határértéke megegyezik az x0 pontbeli helyettesítési értékével („fel-veszi a határértékét”). Jelölés: f ∈ C[x0].Legyen I ⊂ R intervallum. Ha f folytonos minden x ∈ I pontban, akkor jelölés:f ∈ C(I).

4.4. Példa. sin ∈ C(R), id2 ∈ C(R), abs ∈ C(R), tg ∈ C(−π2, π2)

A határérték tulajdonságai az alábbiak.

4.5. Állítás. Legyenek f, g : R → R függvények, λ ∈ R tetszőleges szám. Tegyük fel,hogy lim

x0f = A, lim

x0g = B. Ekkor igazak az alábbiak:

• limx0

(λ · f) = λ · A, azaz limx0

(λ · f) = λ · limx0f

• limx0

(f + g) = A+B, azaz limx0

(f + g) = limx0f + lim

x0g

• limx0

(f · g) = A ·B, azaz limx0

(f · g) = limx0f · lim

x0g

• ha B 6= 0 : limx0

1

g=

1

B, azaz lim

x0

1

g=

1

limx0g

• ha B 6= 0 : limx0

f

g=A

B, azaz lim

x0

f

g=

limx0f

limx0g

• ha f ∈ C[B] : limx0

(f g) = f(B), azaz limx0

(f g) = f(limx0g)

4.6. Példa. 1. limx→8

(x− 8) = 0

PÉLDÁK!

16

4.2. „VÉGTELENBEN VETT” ÉS „NEM VÉGES” HATÁRÉRTÉK

4.2. „Végtelenben vett” és „nem véges” határértékDefiníciók nélkül.Végesben vett végtelen határérték:

limx0f = +∞

limx0f = −∞

Végtelenben vett véges határérték:

lim+∞

f = A

lim−∞

f = A

Végtelenben vett végtelen határérték:

lim+∞

f = +∞

lim+∞

f = −∞

lim−∞

f = +∞

lim−∞

f = −∞

4.7. Példák. További példák a gyakorlaton.1. lim

x→−∞x = −∞

2. limx→0

1

x2= +∞

3. limx→+∞

1

x= 0

4. limx→0

1

|x|= +∞

5. limx→0

−1000

x2= −∞

6. limx→+∞

1

x= 0

7. limx→−∞

1

x= 0

8. limx→+∞

x3 = +∞

9. limx→+∞

−x3 = −∞

10. limx→−∞

x3 = −∞

11. limx→0

ln(x) = −∞

12. limx→+∞

ln(x) = +∞

17

5. fejezet

Differenciálszámítás

Bevezetésképpen gondoljuk végig Richard Feynman (1918–1988) amerikai fizikus tör-ténetét a gyorshajtóról, akit megállít a rendőr, és az alábbi párbeszéd zajlik le köztük:

– Álljon meg, megbüntetem! Az Ön sebessége meghaladta a maximálisanmegengedett sebességet, és 90 km/h volt.– Nem értem. Mit jelent az, hogy a sebességem 90 km/h volt?– Ez azt jelenti, hogy egy óra alatt 90 km utat tett meg.– Oh, az lehetetlen, hiszen én csak 7 perce indultam el...

5.1. A differenciálhányados bevezetéseMi vajon értjük a rendőr álláspontját?

1 óra alatt 90 km utat tett meg30 perc alatt 45 km utat tett meg20 perc alatt 30 km utat tett meg7 perc alatt 10,5 km utat tett meg1 perc alatt 1,5 km utat tett meg1 másodperc alatt 25 m-t tett meg...

......

...

Ezen időközök alatt átlagsebességet mérünk:

átlagsebesség =megtett útidőköz

.

Jelölje s(t) a t időpillanatig megtett utat. Ekkor

a t1 és t2 időpillanatok közötti átlagsebesség =s(t2)− s(t1)t2 − t1

.

Mint a fenti meséből kiderült, akármilyen közel is van egymáshoz t1 és t2, azaz akár-milyen kicsi is t2 − t1, a két időpillanat között az autós fékezhet vagy gyorsíthat –

19

5. DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁS

mindenképpen csak átlagsebességet tudunk így számítani. Márpedig mi a t1 időpilla-natbeli pillanatnyi sebességre vagyunk kíváncsiak, ami a szemléletünknek megfelelőennem más, mint az átlagsebesség határértéke, ha egyre kisebb időközöket veszünk, azazha t2 → t1.

5.1. Definíció. Legyen f : R→ R adott függvény, x0 ∈ D(f) tetszőleges (belső) pont.Az alábbi

Kfx0

(x) :=f(x)− f(x0)

x− x0, x ∈ D(Kf

x0) := D(f) \ x0

függvényt az f függvény x0 pontbeli különbségi hányados függvényének nevezzük.

A gyorshajtós példa esetén a Kfx0

különbségi hányados függvény az átlagsebességet írjale. Vizsgáljuk meg a különbségi hányados függvényt az alábbi függvények esetén.

5.2. Példa. Legyen f(x) = x2 és x0 = 0. Ekkor

Kfx0

(x) =f(x)− f(x0)

x− x0=f(x)− f(0)

x− 0=x2 − 02

x− 0=x2

x= x, x 6= 0.

Legyen g(x) = |x| és x0 = 0. Ekkor

Kgx0

(x) =g(x)− g(x0)

x− x0=g(x)− g(0)

x− 0=|x| − |0|x− 0

=|x|x

=

+1, ha x > 0−1, ha x < 0

Az f(x) = x2 függvény esetében a különbségi hányados függvénynek létezik határértékeaz x0 = 0 pontban, ám a g(x) = |x| függvény esetében nem! Mi a különbség köztük?A parabola „sima” az x0 = 0 pontban, míg az abszolútérték-függvény grafikonjának„csücske” van ugyanott.

5.3. Definíció. Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f) (belső pont). Azt mondjuk, hogy az ffüggvény differenciálható az x0 pontban, ha létezik határértéke a különbségi hányadosfüggvénynek az x0 pontban, azaz ha létezik

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0∈ R.

5.4. Jelölés. Ha f differenciálható az x0 pontban: f ∈ D[x0].Legyen I ⊂ R egy intervallum. Ha f differenciálható az összes x ∈ I pontban: f ∈ D(I).

5.5. Definíció. Ha f ∈ D[x0], akkor a limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0 valós számot az f függvény x0

pontbeli differenciálhányadosának nevezzük.

Jelölése: f ′(x0) := limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

5.6. Megjegyzés. f ∈ D[x0] =⇒ f ∈ C[x0].Fordítva nem igaz, lásd például f(x) = |x| (folytonos a 0-ban, de nem differenciálhatóa 0-ban).

20

5.2. A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS GEOMETRIAI JELENTÉSE

Vegyük észre, hogy f ′(x0) értéke minden (megfelelő) x0 pontban kiszámítható, tehátez is egy függvény. Elnevezése: derivált(függvény).

5.7. Példa. Az f(x) = x2 differenciálhányadosa egy tetszőleges x0 pontban:

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= lim

x→x0

x2 − x20x− x0

= limx→x0

(x+ x0) = 2x0,

azaz f ′(x0) = 2x0, vagyis továbbra is x-et használva változóként: ez az f ′(x) = 2xfüggvény.

Elemi függvények deriváltjának táblázata.

5.2. A differenciálhányados geometriai jelentésePéldaként rajzoljuk fel az f(x) = x2 függvény grafikonját, és jelöljük be rajta az 5.1. De-finícióban bevezetett x0 pontbeli különbségi hányadost.Ábra!A Kf

x0(x) =

f(x)− f(x0)

x− x0különbségi hányados az ábrán látható háromszögben ép-

pen a tgα értékkel egyenlő, vagyis az (x0, f(x0)) és (x, f(x)) pontokat összekötő szelőmeredekségével. Mi történik a szelővel, ha x → x0? Határértékben éppen az f függ-vény grafikonjának (x0, f(x0)) pontjabeli érintőt kapjuk, az f ′(x0) érték pedig az érintőmerekekségét adja meg.

5.8. Következmény. Az f függvény x0 pontbeli differenciálhányadosa az x0 pontbanaz f függvény grafikonjához húzható érintő meredekségét adja meg.

Az 5.2. Példában láthattuk, hogy az x 7→ x2 függvény differenciálható volt az x0 = 0pontban, míg az x 7→ |x| függvény nem. Ugyan sok mindenben hasonló a két függvénygrafikonja (mindkettő páros, R−0 -on szigorúan monoton csökkenő, R+

0 -on szigorúan mo-noton növekedő függvény), az x0 = 0 pontban a parabola sima, míg az abszolútérték-függvény grafikonjának „csücske” van. Mivel a derivált geometriai jelentése a függvénygrafikonjához húzható érintő meredeksége, „látható”, hogy az abszolútérték-függénygrafikonjának esetében az érintő „billeg” az x0 = 0 pontban, nem tudja „eldönteni”,merre álljon, így tehát egyértelmű meredeksége sincs. Az x 7→ |x| függvény tehát nemdifferenciálható az x0 = 0 pontban (megjegyezzük, hogy a többi x0 ∈ R \ 0 pontbanigen). A parabolánál azonban szépen rá tud simulni az érintő az x-tengelyre – megadvaezzel, hogy az x 7→ x2 függvény x0 = 0 pontban differenciálható, és deriváltjának értékeaz x0 = 0 pontban 0.Ábra!

21

5. DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁS

5.9. Állítás. Legyenek f, g ∈ D[x0] függvények, λ ∈ R tetszőleges szám. Ekkor igazakaz alábbiak:

• λ · f ∈ D[x0] és (λ · f)′(x0) = λ · f ′(x0)• f + g ∈ D[x0] és (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0)

• f · g ∈ D[x0] és (f · g)′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g′(x0)

• ha g(x0) 6= 0 : fg∈ D[x0] és

(fg

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f(x0) · g′(x0)g2(x0)

• ha f ∈ D[g(x0)] : f g ∈ D[x0] és (f g)′(x0) = f ′(g(x0)) · g′(x0)

• ha f ′(x0) 6= 0, ∃f−1 : f−1 ∈ D[f(x0)] és(f−1)(f(x0)

)=

1

f ′(x0)

Bizonyítás. Példaként mutassuk meg, hogy (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0):

(f + g)′(x0) = limx→x0

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x− x0=

= limx→x0

f(x) + g(x)− f(x0)− g(x0)

x− x0=

= limx→x0

(f(x)− f(x0)

x− x0+g(x)− g(x0)

x− x0

)=

= limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0+ lim

x→x0

g(x)− g(x0)

x− x0= f ′(x0) + g′(x0).

A többi hasonlóan bizonyítható.

5.3. Magasabbrendű deriváltak

Tekintsünk egy f : R → R függvényt, mely differenciálható az I ⊂ R intervallumon,azaz f ∈ D(I). Jelölje az f függvény derivált függvényét f ′. Tegyük fel, hogy f ′ is diffe-renciálható az I intervallumon, azaz f ′ ∈ D(I). Most tekintsünk úgy az f ′ függvényre,mint egy tetszőleges g függvényre, és tegyük fel, hogy g ∈ D(I). Ekkor természetesenlétezik g′ függvény, amely tehát nem más, mint az f deriváltjának deriváltja. Jelöljeezt f ′′. Látható, hogy ha f ′′ ∈ D(I), akkor létezik f ′′′, és így tovább. Tegyük fel, hogylétezik az f függvény k-dik (k ∈ N) deriváltja (azt szoktuk mondani, hogy az f függ-vény k-szor differenciálható); jelölje azt f (k). Ha f (k) ∈ D(I), akkor f (k+1) :=

(f (k))′.

Megállapodás szerint legyen f (0) := f .

5.10. Példa. 1. Legyen f(x) = ex, D(f) = R. Ekkor f ∈ D(R), sőt, f (k) ∈ D(R)minden k ∈ N esetén, és f (k)(x) = ex minden k ∈ N esetén.

2. Legyen f(x) = 3x2 + x − 6, D(f) = R. Ekkor f ∈ D(R), sőt, f (k) ∈ D(R) mindenk ∈ N esetén. Továbbá f ′(x) = 6x + 1, f ′′(x) = 6, és f (k)(x) = 0 minden k ≥ 3esetén.

22

5.4. A DERIVÁLT KAPCSOLATA A FÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAIVAL

3. Legyen f(x) = 1x

= x−1, D(f) = R+. Ekkor f ∈ D(R+), sőt, f (k) ∈ D(R+) mindenk ∈ N esetén. Továbbá f ′(x) = −x−2, f ′′(x) = 2x−3, f ′′′(x) = −6x−4, f (4)(x) =24x−5, . . . , f (k)(x) = (−1)k · k! · x−(k+1) minden k ∈ N esetén.

4. Legyen f(x) = ln(x), D(f) = R+. Ekkor f ∈ D(R+) és f ′(x) = 1x, majd lásd előző

példa.

5.4. A derivált kapcsolata a függvény tulajdonságaival

Joggal merül fel a kérdés, hogy mire használható a függvény deriváltja. Ebben a feje-zetben pár alkalmazást mutatunk be.

Az érintő egyenlete

Az 5.8. Következményben már láttuk, hogy az f ∈ D[x0] függvény x0 pontbeli deriváltjaaz x0 pontban az f függvény grafikonjához húzható érintő meredekségét adja meg. Azérintő egy y = a · x + b egyenletű egyenes, ahol a az egyenes meredeksége, b pedig azaz érték, ahol az y-tengelyt metszi. Vajon meg tudjuk-e adni az a és b számokat?

Az 5.5. Definícióban bevezetett derivált alakja

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Válasszunk most egy ε > 0 számot. Ekkor a határérték 4.1. Definíciójából tudjuk, hogyehhez a ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, hogy ha annál közelebbi x értékeketválasztunk az x0-hoz (azaz |x−x0| < δ), akkor a különbségi hányados ε-nál kevesebbeltér el a deriválttól, azaz∣∣∣∣f(x)− f(x0)

x− x0− f ′(x0)

∣∣∣∣ < ε.

Vegyünk tehát most olyan x pontokat, melyek δ-nál közelebb vannak x0-hoz (azaz|x− x0| < δ), vagyis x ≈ x0. Ekkor a fentiek miatt

f ′(x0) ≈f(x)− f(x0)

x− x0.

Ezt átrendezve kapjuk, hogy

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0) · (x− x0) = f ′(x0) · x+(f(x0)− f ′(x0) · x0

).

A fenti képlet azt jelenti, hogy az x0 közelében az f függvény közelíthető egy y = a·x+begyenletű egyenessel (az érintővel), ahol az érintő meredeksége a = f ′(x0) (ezt vártuk),és az a b = f(x0)− f ′(x0) · x0 értéknél metszi az y-tengelyt.Ábra!

23

5. DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁS

A függvény az x0 pont körül tehát közelíthető az x0 pontbeli érintőjével. Nyilván minéltávolabb vagyunk az x0 ponttól, a közelítés annál rosszabb lesz, azaz annál nagyobbhibát vétünk, ha az f(x) érték helyett az érintőből számított

y(x) = f ′(x0) · x+(f(x0)− f ′(x0) · x0

)értéket vesszük. Mivel azonban az érintő lineáris függvény, könnyű vele számolni, ésezért szokás a nemlineáris függvényeket „linearizálni” és néha a linearizáltjukkal szá-molni.

5.11. Példa. Számítsuk ki az f(x) = sin(x) függvény x0 = 0 pontbeli érintőjénekaz egyenletét! Azaz adjuk meg, melyik egyenessel közelíthető a sin(x) értéke x ≈ 0értékekre! Vagyis most linearizáljuk a nemlineáris sin(x) függvényt. Az érintő egyenlete:

y(x) = f ′(x0)·x+(f(x0)−f ′(x0)·x0

)= cos(x0)·x+(sin(0)+cos(0)·0) = 1·x+(0+0·0) = x,

azaz a sin(x) függvény az x0 = 0 pont közelében az y(x) = x egyenletű, 1 meredeksé-gű, origón átmenő egyenessel közelíthető (vagyis amikor rajzoljuk, úgy indul, mint azidentitás függvény grafikonja, az y = x egyenes).

Monotonitási szakaszok

Mint azt a rajzokon is láthatjuk, az érintő meredekségének (azaz a függvény derivált-jának) előjeléből a függvény növekedésére vagy csökkenésére következtethetünk.Legyen f ∈ D[x0] és f ′(x0) > 0. Ekkor

f ′(x0) ≈f(x)− f(x0)

x− x0minden x ≈ x0 esetén.

Tekintsünk egy tetszőleges x1 < x0 pontot az x0 környezetében, ekkor x1−x0 < 0, teháta fenti képletből azt kapjuk, hogy f(x1) − f(x0) < 0 (mivel f ′(x0) > 0). Továbbá egytetszőleges x0 < x2 pont esetén x2 − x0 > 0, tehát a fenti képletből f(x2)− f(x0) > 0.Összességében: x1 < x0 < x2 esetén f(x1) < f(x0) < f(x2), vagyis az f függvényszigorúan nő az x0 pont környezetében. Az f ′(x0) < 0 esete hasonlóan látható. Sőt,visszafelé is igaz.

5.12. Következmény.

• f ′(x0) > 0 ⇐⇒ f szigorúan monoton nő az x0 környezetében• f ′(x0) < 0 ⇐⇒ f szigorúan monoton csökken az x0 környezetében

Az is látható, hogy ha az f függvény konstans az x0 pont környezetében, akkor f ′(x) = 0minden x ≈ x0 esetén. Visszafelé azonban nem igaz: gondoljunk például az f(x) = x2

függvényre, melyre f ′(0) = 0, ám a függvény nem konstans a x0 = 0 közelében.

24

5.4. A DERIVÁLT KAPCSOLATA A FÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAIVAL

Lokális szélsőértékek

Legyen f : R→ R függvény.

5.13. Definíció. 1. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x0 ∈ D(f) (belső) pont-ban lokális maximuma van, ha az x0 pontnak létezik olyan K(x0) környezete, hogyminden x ∈ K(x0) pont esetén f(x) ≤ f(x0).

2. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x0 ∈ D(f) (belső) pontban lokális minimu-ma van, ha az x0 pontnak létezik olyan K(x0) környezete, hogy minden x ∈ K(x0)pont esetén f(x) ≥ f(x0).

3. Ha az f függvénynek az x0 pontban lokális maximuma vagy lokális minimuma van,akkor az x0 pontot az f függvény lokális szélsőértékhelyének (lokális maximumhely-nek vagy lokális minimumhelynek) nevezzük, az f(x0) értéket pedig lokális szélsőér-téknek (lokális maximumnak vagy lokális minimumnak) nevezzük.

5.14. Tétel. Ha f ∈ D[x0] és az f függvénynek az x0 pontban lokális maximuma vagylokális minimuma van, akkor f ′(x0) = 0.

Vigyázat: a tétel megfordítása nem igaz! Tekintsük például az f(x) = x3 függvényt: f ∈D[0] és f ′(x) = 3x2, tehát f ′(0) = 0, holott f -nek a 0-ben nincs lokális szélsőértéke. Egyfüggvénynek tehát azokban a pontokban LEHETNEK (de nem biztos, hogy vannak)szélsőértékei, ahol a függvény deriváltja nulla. Az alábbi tétel megmutatja, hogyantudjuk leellenőrizni, hogy a kapott pontokban valóban van-e szélsőérték.

5.15. Tétel. Tegyük fel, hogy az f függvénynek az x0 lokális szélsőértékhelye. Ekkorha létezik f ′′(x0), akkor• x0 lokális maximumhely =⇒ f ′′(x0) < 0,

• x0 lokális minimumhely =⇒ f ′′(x0) > 0.

Mi történik f ′′(x0) = 0 esetben? Többek között ezt vizsgáljuk a következő pontban.

A függvény alakja

Legyen f : R→ R függvény.

5.16. Definíció. Az f függvényt konvexnek nevezzük az I ⊂ R intervallumon, haa függvény grafikonja minden x1, x2 ∈ I, x1 < x2 esetén az (x1, f(x1)) ∈ R2 és(x2, f(x2)) ∈ R2 pontokat összekötő húr alatt halad. Konkávnak nevezzük, ha felet-te halad.

5.17. Definíció. Azt az x0 ∈ D(f) pontot, ahol az f konvexből konkávba (vagyfordítva) vált, inflexiós pontnak nevezzük.

Ábra!

5.18. Állítás. Tegyük fel, hogy f ∈ D(I). Ekkor igazak az alábbiak:• f konvex I-n =⇒ f ′ monoton növekedő I-n,• f konkáv I-n =⇒ f ′ monoton csökkenő I-n.

25

5. DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁS

5.19. Állítás. Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálható az x0 pontban. Ekkor igaz,hogy ha x0 inflexiós pont, akkor f ′′(x0) = 0.

Vigyázat: az állítás fordítva nem igaz. Tekintsük az f(x) = x4 függvényt: f ′(x) = 4x3,f ′′(x) = 12x2, azaz f ′′(0) = 0, holott az f függvény az egész R halmazon konvex.

5.20. Állítás. Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálható az I ⊂ R intervallumon.Ekkor igazak az alábbiak:• f ′′(x) > 0 minden x ∈ I esetén =⇒ f konvex I-n,• f ′′(x) < 0 minden x ∈ I esetén =⇒ f konkáv I-n.

Függvényvizsgálat

A fenti meggondolásokat összefoglaljuk az alábbi táblázatban:

x lok. min. hely lok. max. helyf ∪ ∩f ′ 0 0 + − f ′′ + − + −

Tekintsük az f(x) = 1 − x2 függvényt, és derítsünk ki róla mindent, amit csak lehet.(Természetesen tudjuk, hogy egy lefelé fordított, az origótól 1-gyel felfelé tolt parabo-láról van szó.)

TengelyekÉrdemes először megnézni, mely pontokban metszi a függvény a koordinátatengelyeket.Az x-tengellyel vett metszéspontokat zérushelyeknek nevezzük: f(x) = 1 − x2 = 0,azaz az x0 = −1 és az x2 = +1 pontokban metszi az x-tengelyt. Az y-tengelyt azy = f(0) = 1− 02 = 1 pontban metszi.

SzélsőértékekAz f függvénynek csak azokban az x pont(ok)ban lehet (de nem biztos, hogy van)lokális szélsőértéke, ahol f ′(x) = 0:

f ′(x) = −2x = 0 ⇐⇒ x = 0.

Tehát csak az x0 = 0 pontban lehet szélsőértéke, de vajon van-e? Ezt vizsgálhatjuk azf ′′(x0) szám előjelével:

f(x) = 1− x2

f ′(x) = −2x

f ′′(x) = −2

f ′′(0) = −2 < 0,

tehát az f függvénynek van lokális szélsőértéke az x0 = 0 pontban, méghozzá lokálismaximuma. Számítsuk ki a lokális maximum értékét is: f(0) = 1.

26

5.4. A DERIVÁLT KAPCSOLATA A FÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAIVAL

HatárértékekÉrdemes megvizsgálni a határértékeket a függvény „érdekes helyein”: a ±∞-ben, továb-bá minden olyan helyen, ahol például a függvény nincs értelmezve vagy nem folytonos.Jelen esetben f az utóbbiakkal nem rendelkezik, így vizsgáljuk csak:

limx→+∞

(1− x2) = −∞

limx→−∞

(1− x2) = −∞

MonotonitásVizsgáljuk meg a monotonitást minden „érdekes hely” között (pl. ahol f nincs értelmez-ve vagy nem folytonos vagy lokális szélsőértéke van). Jelen esetben f -nek egy lokálismaximumhelye van, tehát megvizsgáljuk a monotonitást tőle jobbra és balra (bár mi-vel maximumhely, ezért azt várjuk, hogy a függvény tőle balra növekszik, jobbra pedigcsökken). Mivel a különböző (növekvő/csökkenő) monotonitási szakaszokat lokális szél-sőértékek választják el egymástól, elég minden szakaszon egy pontban megvizsgálni amonotonitást. Helyettesítsünk be tehát egy-egy értéket az f ′(x) = −2x derivált függ-vénybe az x0 = 0 ponttól jobbra és balra:

f ′(−1) = −2 · (−1) = 2 > 0 =⇒ f szigorúan monoton növekedő (−∞, 0)-nf ′(+1) = −2 · 1 = −2 < 0 =⇒ f szigorúan monoton csökkenő (0,+∞)-en

Ábra!

27

6. fejezet

Integrálszámítás

Az előző fejezetben egy függvény deriváltjára voltunk kíváncsiak, azaz az egy adott ffüggvény esetén az f ′ függvényt kerestük, majd számítottuk ki és vizsgáltuk meg. Mostfordítsuk meg a gondolatmenetet: az adott f függvény esetén keressük meg azt a Ffüggvényt, amelynek f a deriváltja, azaz amelyre a F ′ = f összefüggés teljesül!

6.1. A primitív függvény fogalmaTekintsük az alábbi példát.

6.1. Példa. Legyen f : R → R, f(x) = x2 függvény. Ennek deriváltja az f ′(x) =2x függvény. De vajon melyik az a F függvény, amelynek deriváltja az f függvény?Könnyen látható, hogy a F (x) = x3/3 esetében a F ′ = f összefüggés teljesül. Találtunktehát egy olyan F függvényt, melynek f a deriváltja.

Ez alapján definiáljuk a primitív függvényt az alábbi módon.

6.2. Definíció. Legyen I ⊂ R tetszőleges intervallum. Adott f : I → R függvényesetén az olyan F ∈ D(I) függvényt, amelyre F ′ = f teljesül, az f függvény primitívfüggvényének nevezzük.

Felmerül a kérdés, hogy hány darab primitív függvénye létezik egy f függvénynek.A 6.1. Példában láttuk, hogy az f(x) = x2 függvénynek a F (x) = x3/3 függvényprimitív függvénye. Van-e azonban még olyan F függvény, amelynek deriváltja f(x) =x2? Igen, méghozzá végtelen sok: bármely konstanst hozzáadhatjuk az x3/3 taghoz, azösszegük deriválja ugyanúgy x2 marad (hiszen az összeg deriváltja a deriváltak összege,a konstans deriváltja pedig nulla):(x3

3+ c)′

=(x3

3

)′+ c′ =

(x33

)′= 3

x2

3= x2.

6.3. Következmény. Ha F primitív függvénye az f függvénynek, akkor bármely c ∈ Resetén F + c is primitív függvénye f -nek.

(Megjegyezzük, hogy a F +c · id függvény helyett az egyszerűbb F +c jelöléssel éltünk.)

29

6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS

6.4. Jelölés. Jelölje∫f az f függvény összes primitív függvényét. (Integrál f -nek

mondjuk.) Az x változóval kifejezve az∫f(x) dx jelölést alkalmazzuk.

Egyelőre nem tudjuk, hogy honnan jön az∫

és a dx jelölés, de nemsokára erre is fényfog derülni.

Emlékezzünk vissza az 5. fejezetben bevezetett differenciálás műveleti tulajdonságaira!Az 5.9. Állításban bemutattuk, hogy az összeg deriváltja a deriváltak összege, stb.Vajon érvényben maradnak-e ezek a tulajdonságok a primitív függvény esetén is? Azazigaz-e az, hogy két függvény összegének primitív függvénye a két primitív függvényösszege?

6.5. Állítás. Legyen I ⊂ R tetszőleges intervallum, f, g : I → R tetszőleges függvények,λ ∈ R pedig egy tetszőleges szám. Ekkor igazak az alábbiak:∫

(λ · f) = λ ·∫f,∫

(f + g) =∫f +

∫g.

(6.1)

Amennyiben f, g ∈ D(I) és f 6= 0, akkor igazak az alábbi összefüggések is:∫(f ′ · g) = f · g −

∫(f · g′) parciális integrálás( ∫

f) g =

∫ (f g) · g′ helyettesítéses integrálás (6.2)∫

fαf ′ =fα+1

α + 1+ c ahol α 6= −1∫

f ′

f= ln |f |+ c tulajdonképpen az α = −1 eset

ahol c egy tetszőleges valós számot jelöl.

Vegyük észre, hogy a deriválásra vonatkozó, 5.9. Állításban szereplő műveleti tulajdon-ságokhoz képest a primitív függvényre csak a két darab (6.1) tulajdonság igaz, vagyis akonstanssal való szorzásra és az összegfüggvényre vonatkozó. A primitív függvényre vo-natkozó további összefüggések már csak bonyolultan számíthatók. Ez általában is igaz:egy függvény deriváltját meghatározhatjuk csak az 5.9. Állításban szereplő műveletitulajdonságok és az elemi függvények deriváltjainak ismeretében, a primitív függvénymeghatározása azonban sok gyakorlatot igényel.Integráltáblázat!

6.6. Példa. Adjuk meg az adott függvények összes primitív függvényét! Jelöljön c egytetszőleges valós számot.1. x2 − π a (6.1) tulajdonságokkal (f(x) = x2, g(x) = π, λ = −1):∫

(x2 − π) dx =∫x2 dx−

∫π dx =

x3

3− πx+ c.

2. x · ex parciális integrálással (f ′(x) = ex ⇒ f(x) = ex, g(x) = x):∫x · ex dx = ex · x−

∫ex · 1 dx = ex · x− ex + c.

30

6.2. AZ INTEGRÁL GEOMETRIAI BEVEZETÉSE

3. x · cos(x2 + 1) helyettesítéses integrálással (f(x) = cos(x), g(x) = x2 + 1):

∫x · cos(x2 + 1) dx =

( ∫cos(x) dx

) (x2 + 1)

1

2=

1

2sin(x2 + 1) + c.

Megjegyezzük, hogy a helyettesítéses integrálást a gyakorlati órákon ugyenezen elvalapján, kicsit másképpen, de nehezebb feladatok esetén is követhető módon fogjukszámítani.

6.2. Az integrál geometriai bevezetése

Ebben a fejezetben látszólag valami egészen másról lesz szó, mint amiről eddig. Látnifogjuk azonban, hogyan kapcsolódik a témája mégis a primitív függvény fogalmához.

Az alábbiakban bevezetjük az integrál fogalmát, mint egy adott intervallumon egyfüggvény görbe alatti előjeles területét. A levezetéshez fogadjuk el, hogy az a > 0alapú és m > 0 magasságú téglalap területe előáll, mint alapszor magasság, azaz

T = a ·m. (6.3)

6.7. Példa. Legyen a,m > 0 és tekintsük az f(x) = m konstans függvény görbe alattiterületét az x ∈ [0, a] intervallumon. A függvény grafikonját felrajzolva láthatjuk, hogyaz alatta lévő terület éppen egy a alapú, m magasságú téglalap területe, azaz (6.3)alapján a ·m.

6.8. Példa. Számítsuk az f(x) = x2, x ∈ [0, 1] függvény görbe alatti T területét! Agrafikont felrajzolva egyelőre csak becslést adhatunk rá: T < 1

2.

A 6.8. Példát így fogalmazhatjuk át: mekkora a

H = (x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x2

halmaz területe? A H halmaz pontos területének kiszámítását kezdjük azzal, hogy elsőlépésben közelítjük a H halmazt egy olyan alakzattal, melynek ki tudjuk számítania területét – azaz téglalapokkal. Ehhez osszuk fel a [0, 1] intervallumot n ∈ N darabegyenlő részre! A parabola alatti területet pedig közelítsük a részintervallumokra afüggvényérték magasságában emelt téglalapok területeinek összegével.

A téglalapok területeinek számításához tudnunk kell minden egyes téglalap alapjánakhosszát és magasságát. A téglalapok hossza a részintervallumok hossza. Mivel az 1hosszúságú [0, 1] intervallumot n részintervallumra osztottuk fel, a részintervallumokhossza minden esetben 1

n. A téglalapok magasságát az f függvény osztópontokban

felvett értékei határozzák meg.

Az osztópontokat jelölje xj ∈ [0, 1], j = 0, . . . , n. Az első osztópont a bal oldali végpont,azaz x0 := 0. Már láttuk, hogy a részintervallumok hossza (a téglalapok alapja) mindenesetben 1

n. A második osztópont tehát az x1 = 1

n, és minden további 1

ntávolságra van az

31

6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS

előzőtől. Az utolsó osztópont maga a jobb oldali végpont, azaz xn = n. Összességébentehát

xj = j · 1

n

minden j = 0, . . . , n esetén. Ezen xj osztópontokban a függvény értéke az f(x) = x2

hozzárendelési szabályból számítható:

f(xj) = x2j = j2 · 1

n2.

Minden j = 1, . . . , n esetén a j-dik téglalap Tj területe tehát így kapható:

Tj = (xj − xj−1)︸ ︷︷ ︸alap

· f(xj)︸ ︷︷ ︸magasság

=1

n· j2 · 1

n2=j2

n3.

A téglalapok területeinek összege

σn =n∑j=1

Tj =n∑j=1

j2

n3=

1

n3

n∑j=1

j2 =1

n3

n(n+ 1)(2n+ 1)

6=

2n2 + 3n+ 1

6n2,

ahol felhasználtuk az első n darab négyzetszám összegére vonatkozó formulát. A fentiképlet tehát azt jelenti, hogy ha n darabra osztjuk a [0, 1] intervallumot, akkor a Hhalmaz területét a σn számmal közelítjük.

Tekintsük most azt az A halmazt, melynek elemei a fenti σn számok minden n ∈ Nindexre:

A := σ1, σ2, σ3, . . . = σn, n ∈ N =

2n2 + 3n+ 1

6n2, n ∈ N

.

Az A halmaz tehát a H halmaz területét közelítő számokat tartalmazza. Melyik leszezek közül a legjobb közelítés? Sajnos egyik n indexre sem kapunk pontos értéket,mindig csak közelítést. Mivel a téglalapok magasságait mindig a hozzátartozó részin-tervallum jobb oldali osztópontjában felvett függvényérték határozza meg, a téglala-pok területeinek összege mindig nagyobb a H halmaz területénél. Tehát a σn számokmindegyike felülről becsli a keresett területet. Úgy tűnik, hogy a legkisebb σn számotkeressük. Mivel azonban végtelen sok σn szám van, valójában az A halmaz infimumaadja meg a H halmaz T területét, azaz T = infA. (Megjegyezzük, hogy itt valójábana (σn) sorozat végtelenben vett határértékéről van szó.) Ez kiszámolható, és az alábbiérték adódik: T = 1

3.

Joggal merül fel a kérdés, hogy vajon ugyanezt kapjuk-e akkor is, ha a téglalapokmegalkotásánál a bal oldali osztópontokban vesszük a függvényértékeket. Ekkor hasonlómeggondolások és számolások után az alábbiakat kapjuk:

Tj =1

n· f(xj−1) =

1

n· x2j−1 =

1

n· (j − 1)2 · 1

n2=

(j − 1)2

n3, j = 1, . . . , n

σn =n∑j=1

Tj =n∑j=1

(j − 1)2

n3=

2n2 − 3n+ 1

6n2, n ∈ N.

32

6.2. AZ INTEGRÁL GEOMETRIAI BEVEZETÉSE

Ebben az esetben azonban a σn számok alulról közelítik a keresett T területet, tehátaz A := σn, n ∈ N halmaz szuprémumát keressük, ami pedig szintén 1

3.

Jelölje Afelső és Aalsó a felső, valamint az alsó közelítésekből kapott halmazokat. A fentipéldában teljesül, hogy

infAfelső = supAalsó. (6.4)

Amennyiben egy alakzat T területét keressük, akkor természetesen elvárjuk, hogy az aszám egyértelmű legyen, vagyis értéke ne függjön a kiszámításához alkalmazott közelí-tések módjától. Ezt fejezi ki a (6.4) összefüggés. Megjegyezzük, hogy a bal és jobb oldaliosztópontokban vett függvényértékek helyett vehetjük a bal és jobb oldali osztópontokátlagértékében (középpontokban) vett függvényértékeket is. Ekkor

Tj =1

n· f(xj + xj−1

2

)minden j = 1, . . . , n esetén. Megmutatható, hogy ebben az esetben is a T = 1

3ered-

ményt kapjuk. Az integrál fogalmának bevezetéséhez általánosítsuk a fenti ötletet!

Általánosítás

Legyen f : [a, b]→ R tetszőleges függvény (nem feltétlenül folytonos). Legyen továbbátetszőleges n ∈ N esetén

τ := x0, x1, x2, . . . , xj−1, xj, xj+1, . . . , xn

az [a, b] intervallum egy tetszőleges felosztása, ahol

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b,

azaz a részintervallumok hossza nem feltétlenül 1n. Vezessük be továbbá az alábbi jelö-

léseket minden j = 1, . . . , n esetére:

mj := inff(x) : x ∈ [xj−1, xj],Mj := supf(x) : x ∈ [xj−1, xj].

(Minden részintervallumon megkeressük tehát a legkisebb/legnagyobb függvényérté-ket, és az lesz az azon részintervallumhoz tartozó téglalap magassága.) Megjegyezzük,hogy folytonos f függvény esetén infimum helyett minimum, supremum helyett pedigmaximum vehető.1

Ekkor az f függvény τ felosztáshoz tartozó

alsó közelítő összege: σalsóτ :=

n∑j=1

mj · (xj − xj−1),

felső közelítő összege: σfelsőτ :=

n∑j=1

Mj · (xj − xj−1).

1Weierstrass tétele szerint egy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszia maximumát és a minimumát.

33

6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS

Definiáljuk az alábbi halmazokat:

Aalsó := σalsóτ számok az összes lehetséges τ felosztás esetén,

Afelső := σfelsőτ számok az összes lehetséges τ felosztás esetén.

6.9. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : [a, b] → R függvény integrálható az [a, b]intervallumon, ha az [a, b] intervallum bármely τ felosztása esetén teljesül, hogy

infAfelső = supAalsó.

6.10. Jelölés. Ha az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon: f ∈ R[a, b](Riemann-integrálható). Ebben az esetben

infAfelső = supAalsó =:

∫ b

a

f.

Az∫ baf ∈ R szám elnevezése: az f integrálja a-tól b-ig (kiolvasva: integrál a-tól b-ig f).

6.11. Következmény. Az f függvény görbéje és az x-tengely [a, b] intervalluma közöttialakzat területe tehát

∫ baf . Megjegyezzük, hogy ha az f görbéje az x-tengely alatt halad,

akkor azon rész területe negatív. Ezért előjeles területről beszélünk. Ábra!

6.3. Az integrál tulajdonságai

Az alábbiakban bizonyítás nélkül közöljük a 6.9. Definícióban bevezetett integrál tu-lajdonságait. Legyenek a, b ∈ R tetszőleges valós számok.

6.12. Állítás. Egy folytonos függvény integrálható is, azaz

f ∈ C[a, b] ⇒ f ∈ R[a, b].

6.13. Állítás. Legyen f ∈ R[a, b]. Ekkor helyettesítéses integrállal belátható az alábbiösszefüggés:∫ b

a

f = −∫ a

b

f.

Azaz ha „visszafelé” integrálunk, akkor a terület ellentettjét kapjuk.

6.14. Megjegyzés. Egy pont feletti integrál nulla, azaz∫ a

a

f = 0.

6.15. Állítás. Legyenek a < b < c valós számok és λ ∈ R. Ábrák!

34

6.3. AZ INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI

1. Ha f ∈ R[a, b] és f ∈ R[b, c], akkor f ∈ R[a, c], továbbá∫ b

a

f +

∫ c

b

f =

∫ c

a

f.

2. Ha f ∈ R[a, b], akkor λf ∈ R[a, b], továbbá∫ b

a

λ · f = λ ·∫ b

a

f.

3. Ha f, g ∈ R[a, b], akkor f + g ∈ R[a, b], továbbá∫ b

a

(f + g) =

∫ b

a

f +

∫ b

a

g.

4. Ha f, g ∈ R[a, b] és f(x) ≤ g(x) minden x ∈ [a, b] esetén, akkor∫ b

a

f ≤∫ b

a

g.

5. Ha f ∈ R[a, b], akkor |f | ∈ R[a, b], továbbá∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f |.

Ábra! Szemléletesen látható, hogy akármilyen grafikonú folytonos függvény esetén tu-dunk találni egy olyan magasságot, amit behúzva ugyanolyan területű téglalapot ka-punk, mint a függvény görbe alatti területe. És mindig létezik olyan szám, amiheztartozó függvényérték éppen ezt a magasságot adja. Erről szól az alábbi tétel.

6.16. Tétel (Integrálközépérték-tétel). Legyen f ∈ C[a, b]. Ekkor létezik olyan c ∈ [a, b]szám, melyre teljesül az alábbi összefüggés:∫ b

a

f = f(c) · (b− a).

Az f(c) =∫ baf/(b − a) számot az f függvény integrálközepének nevezzük (ez éppen a

téglalap magassága).

Most már csak azt kell megvizsgálnunk, hogyan lehet kiszámítani az∫ baf integrált, azaz

az f függvény görbe alatti előjeles területét. Ezzel foglalkozunk a következő fejezetben.

35

6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS

6.4. Az integrál kiszámítása a Newton–Leibniz-formulával

Az előző fejezetben csak azzal foglalkoztunk, milyen tulajdonságai vannak a 6.9. Defi-nícióban bevezetett integrálnak, de azt nem vizsgáltuk meg, hogyan tudjuk kiszámítaniannak értékét. Felmerül még az a kérdés is, hogy miért szerepel a primitív függvény je-lölésében is az integráljel. Esetleg van valami közük egymáshoz? Az alábbiakban adunkegy szemléletes megközelítést a kapcsolatuk levezetéséhez.

Legyen f ∈ C[a, b] és T : [a, b]→ R,

T (x) :=

∫ x

a

f

az ún. területfüggvény. A T (x) függvényérték tehát megadja, hogy mekkora az f függ-vény görbe alatti előjeles területe az [a, x] intervallumon. Látható, hogy ez az x jobboldali végpontnak függvénye (elképzelhetjük úgy, mintha egy csúszkával húznánk). Áb-ra!

Vegyük észre az alábbi összefüggéseket:

T (a) =

∫ a

a

f = 0 és

T (b) =

∫ b

a

f =

∫ b

a

f + 0 =

∫ b

a

f +

∫ a

a

f =

∫ b

a

f + T (a), tehát∫ b

a

f = T (b)− T (a). (6.5)

A (6.5) képletből kiszámítható lesz az integrál értéke, ha meg tudjuk adni a T függvényalakját. Ehhez legyen α ∈ (a, b) tetszőleges pont és x ∈ (a, b) úgy, hogy x 6= α.Vizsgáljuk az alábbi különbségi hányadost (lásd az 5.1. Definíciót):

T (x)− T (α)

x− α=

1

x− α

(∫ x

a

f −∫ α

a

f

)=

1

x− α

(−∫ a

x

f −∫ α

a

f

)=

= − 1

x− α

(∫ a

x

f +

∫ α

a

f

)= − 1

x− α

∫ α

x

f =1

x− α

∫ x

α

f =

=1

x− αf(c) · (x− α) = f(c)

valamely c ∈ [α, x] számra, ahol az utolsó lépésben felhasználtuk a 6.16. Tételt (integ-rálközépérték). Vegyük most az alábbi hatáértéket:

limx→α

T (x)− T (α)

x− α= lim

x→αf(c) = f(α),

hiszen c ∈ [α, x]. Azaz ha x tart α-hoz, akkor a jobb és bal oldali végpont határértékbenmegegyezik. Az 5.3. Definíció értelmében a fenti határérték nem más, mint a T függvény

36

6.4. AZ INTEGRÁL KISZÁMíTÁSA A NEWTON–LEIBNIZ-FORMULÁVAL

α-ban vett deriváltja, azaz T ′(α) = f(α) minden α ∈ (a, b) esetén. Ez azonban aztjelenti, hogy T ′ = f , azaz a 6.2. Definíció értelmében a T függvény az f függvény egyprimitív függvénye. A (6.5) összefüggés szerint tehát ha megtaláljuk az f függvény egyprimitív függvényét, akkor annak a határokon vett értékeinek különbsége megadja azf integrálját. Tulajdonképpen az alábbi tételt bizonyítottuk.

6.17. Tétel (Newton–Leibniz-tétel). Ha f ∈ C[a, b] és F ∈ D(a, b) olyan függvények,melyre F ′ = f teljesül, akkor igaz az alábbi összefüggés:∫ b

a

f = F (b)− F (a). (6.6)

A (6.6) összefüggést Newton–Lebniz-formulának nevezzük. Fontos, hogy a primitívfüggvény felső határon vett értékéből vonjuk ki az alsó határon vett értékét. Látható,hogy f bármelyik primitív függvényét vehetjük, hiszen azok csak egy konstansbantérnek el, a konstans pedig kiesik a kivonáskor.

6.18. Jelölés. A konkrét számolások alkalmával szoktuk az alábbi jelölést is alkalmaz-ni: ∫ b

a

f =[F (x)

]ba

:= F (b)− F (a) .

A Newton–Leibniz-tétellel összekötöttük a primitív függvény és az integrál fogalmát:az integrált a primitív függvény segítségével lehet kiszámolni. Megjegyezzük, hogy a∫f primitív függvényt szokták határozatlan integrálnak, míg az

∫ baf integrált szokták

határozott integrálnak is nevezni – utalva arra, hogy az első esetben nem adunk megintegrálási határokat, míg a második esetben igen.

6.19. Példa. Számítsuk ki újra a parabola területét 0 és 1 között. Legyen ehhez f(x) =

x2, x ∈ [0, 1], és alkalmazzuk a Newton–Leibniz-tételt. Ekkor a területet az∫ 1

0f szám

adja meg:∫ 1

0

f =

∫ 1

0

x2 dx = F (1)− F (0) =

[x3

3

]10

=x3

3

∣∣∣x=1− x3

3

∣∣∣x=0

=1

3− 0 =

1

3.

Ugyanazt az eredményt kaptuk tehát, mint a 6.8. Példa utáni levezetés szerint.

6.20. Példa.∫ 0

−1x6 dx =

[x77

]0−1

=07

7− (−1)7

7= 0− −1

7=

1

7∫ 2

−2e3x dx =

[1

3e3x]2−2

=1

3(e6 − e−6)∫ π

0

sin(x) dx =[

cos(x)]π0

= − cos(π)−(− cos(0)

)= 1 + 1 = 2

A sin függvény görbéjének 0 és π közötti része alatti terület tehát kétszer akkora, mintaz egységnégyzet területe.

További példákkal a gyakorlati órákon találkozunk.

37

6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS

6.5. Improprius integrálAz előzőekben láttuk, hogy az∫ b

a

f(x) dx

jelölés jelentése az [a, b] korlátos és zárt intervallumon értelmezett f függvény görbealatti előjeles területe. A 6.4. fejezetben azt is megmutattuk, hogyan tudjuk ezt a te-rületet kiszámítani az f egy primitív függvényének segítségével. Felmerül azonban akérdés, hogy meg tudjuk-e (és ha igen, hogyan) határozni a nyílt intervallumon értel-mezett függvények görbe alatti előjeles területét.

6.21. Példa. Vajon mennyivel egyelő a görbe alatti előjeles terület az alábbi függvé-nyek esetén?1. Az 1

xfüggvény az [1,+∞) intervallumon.

2. Az 1x2

függvény az [1,+∞) intervallumon.

3. Az 1√xfüggvény az [1,+∞) intervallumon.

4. Az 1xfüggvény az (0, 1] intervallumon.

5. Az 1x2

függvény az (0, 1] intervallumon.

6. Az 1√xfüggvény az (0, 1] intervallumon.

Ábra!Mint oly’ sokszor a matematikában, jelen esetben is az az ötletünk, hogy vezessükvissza a kérdést a már ismert fogalomhoz, vagyis a korlátos és zárt intervallumon ér-telmezett függvények görbe alatti előjeles területéhez. A végtelen intervallum helyetttehát vegyünk egy korlátos és zárt intervallumot, számítsuk ki a területet azon, majdaz intervallum végpontjával tartsunk a végtelenhez. Hasonló gondolattal élhetünk afüggvény értelmezési tartományában nem szereplő (a fenti példákban pl. 0) végpontesetén is.

6.22. Definíció. Legyen a ∈ R tetszőleges és f : [a,+∞)→ R olyan függvény, melyreminden ω > a (ω ∈ R) esetén f ∈ R[a, ω]. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvényimproprius értelemben integrálható az [a,+∞) intervallumon, ha létezik a

limω→+∞

∫ ω

a

f (6.7)

valós határérték. Jelölje ezt a tulajdonságot f ∈ R[a,+∞). Ebben az esetben az alábbijelöléssel élünk:∫ +∞

a

f := limω→+∞

∫ ω

a

f.

Amennyiben a (6.7) határérték nem létezik vagy nem véges, akkor azt mondjuk, hogyaz f függvény nem integrálható improprius értelemben.

38

6.5. IMPROPRIUS INTEGRÁL

A −∞ irányban a definíció hasonló.

6.23. Definíció. Legyen b ∈ R tetszőleges és f : (−∞, b]→ R olyan függvény, melyreminden ω < b (ω ∈ R) esetén f ∈ R[ω, b]. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvényimproprius értelemben integrálható az (−∞, b] intervallumon, ha létezik a

limω→−∞

∫ b

ω

f

valós határérték. Jelölje ezt a tulajdonságot f ∈ R(−∞, b]. Ebben az esetben az alábbijelöléssel élünk:∫ b

−∞f := lim

ω→−∞

∫ b

ω

f.

Amennyiben ez a határérték nem létezik vagy nem véges, akkor azt mondjuk, hogy azf függvény nem integrálható improprius értelemben.

És ugyanígy kell eljárni akkor is, ha olyan intervallumon vagyunk kíváncsiak a görbealatti előjeles területre, melynek egyik végpontja nincs benne a függvény értelmezésitartományában.

6.24. Definíció. Legyen f : (a, b]→ R olyan függvény, melyre minden µ ∈ (a, b) eseténf ∈ R[µ, b]. Ekkor azt mondjuk, hogy az f improprius értelemben integrálható (a, b]intervallumon, ha létezik a

limµ→a

∫ b

µ

f

valós határérték. Jelölje ezt a tulajdonságot f ∈ R(a, b]. Ebben az esetben az alábbijelöléssel élünk:∫ b

a

f := limµ→a

∫ b

µ

f.

Amennyiben ez a határérték nem létezik vagy nem véges, akkor azt mondjuk, hogy azf függvénynek nem létezik improprius integrálja az (a, b] intervallumon.

A felső végpont esete is hasonlóan kapható.

6.25. Definíció. Legyen f : [a, b)→ R olyan függvény, melyre minden µ ∈ (a, b) eseténf ∈ R[a, µ]. Ekkor azt mondjuk, hogy az f improprius értelemben integrálható [a, b)intervallumon, ha létezik a

limµ→b

∫ µ

a

f

39

6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS

valós határérték. Jelölje ezt a tulajdonságot f ∈ R[a, b). Ebben az esetben az alábbijelöléssel élünk:∫ b

a

f := limµ→b

∫ µ

a

f.

Amennyiben ez a határérték nem létezik vagy nem véges, akkor azt mondjuk, hogy azf függvénynek nem létezik improprius integrálja az [a, b) intervallumon.

Térjünk vissza a 6.21. Példában említett feladatokhoz! Ne feledjük, hogy az előjelesterület a (6.6) Newton–Leibniz-formulából, a primitív függvény segítségével számítható.

6.26. Példa.∫ +∞

1

1

xdx = lim

ω→+∞

∫ ω

1

1

xdx = lim

ω→+∞

[ln |x|

]ω1

= limω→+∞

(lnω − ln 1) =

= limω→+∞

lnω = +∞ /∈ R,

nem létezik tehát az improprius integrál∫ +∞

1

1

x2dx = lim

ω→+∞

∫ ω

1

1

x2dx = lim

ω→+∞

[− 1

x

]ω1

= limω→+∞

(− 1

ω− (−1)

)=

= limω→+∞

(1− 1

ω

)= 1,

az improprius integrál tehát létezik, és értéke 1∫ +∞

1

1√x

dx = limω→+∞

∫ ω

1

1√x

dx = limω→+∞

[2√x]ω1 = lim

ω→+∞2(√ω − 1) =

= +∞ /∈ R,nem létezik tehát az improprius integrál

6.27. Példa.∫ 1

0

1

xdx = lim

µ→0

∫ 1

µ

1

xdx = lim

µ→0

[ln |x|

]1µ

= limµ→0

(ln 1− lnµ) =

limµ→0− lnµ = −(−∞) = +∞ /∈ R,

nem létezik tehát az improprius integrál∫ 1

0

1

x2dx = lim

µ→0

∫ 1

µ

1

x2dx = lim

µ→0

[− 1

x

]1µ

= limµ→0

(− 1 +

1

µ

)= +∞ /∈ R,

nem létezik tehát az improprius integrál∫ 1

0

1√x

dx = limµ→0

∫ 1

µ

1√x

dx = limµ→0

[2√x]1µ = lim

µ→02(√µ− 1) = 2,

az improprius integrál tehát létezik, és értéke 2

(vegyük észre, hogy ha levonjuk az egységnégyzet 1 területét,akkor a fennmaradó, a többihez hasonló alakzat területejelen esetben is 1)

40

6.5. IMPROPRIUS INTEGRÁL

Általánosítsuk a fenti példákat.

6.28. Példa. Legyen α < 0, határozzuk meg az∫ +∞

1

xα dx (6.8)

területet! Tekintsük az alábbi eseteket!• α = −1:∫ +∞

1

1

xdx = lim

ω→+∞

∫ ω

1

1

xdx = lim

ω→+∞

[ln |x|

]ω1

= limω→+∞

(lnω − ln 1) =

= limω→+∞

lnω = +∞ /∈ R,

nem létezik tehát az improprius integrál.• α 6= −1:∫ +∞

1

xα dx = limω→+∞

∫ ω

1

xα dx = limω→+∞

[ xα+1

α + 1

]ω1

= limω→+∞

1

α + 1(ωα+1 − 1).

Ezen a ponton két esetet kell különválasztanunk.• −1 < α < 0:

limω→+∞

1

α + 1(ωα+1 − 1) = +∞ /∈ R,

nem létezik tehát az improprius integrál;• α < −1:

limω→+∞

1

α + 1(ωα+1 − 1) = − 1

α + 1,

ez tehát az improprius integrál értéke.A (6.8) improprius integrál tehát csak α < −1 értékre létezik. Gondoljuk végig, hogyugyanezen primitív függvények, csak a megfelelő határérték mellett az∫ 1

0

xα dx

improprius integrál csak −1 < α < 0 esetben létezik. Természetesen nem csak a hat-ványfüggvény improprius integrálját lehet kiszámítani. További példákat a gyakorlato-kon látunk.

Ábra!

41

7. fejezet

Közönséges differenciálegyenletek

Az egyenlet eddigi tanulmányaink során számok közötti kapcsolatot jelentett. Példáula

Melyik az az x-szel jelölt valós szám, amelyre teljesül, hogy x2 = 4?

kérdésre az a válasz, hogy

Az x a 2 vagy a −2 szám.

Ebben a fejezetben olyan egyenletekről lesz szó, melyekben az ismeretlen egy függ-vény. A differenciálegyenlet tehát egy kapcsolat az ismeretlen függvény és a deriváltjaiközött. Hogy a fejezetben előforduló többi függvénytől megkülönböztessük, a differen-ciálegyenlet ismeretlen függvényét y-nal, míg annak változóját x-szel fogjuk jelölni.

7.1. Példa. Melyik az az y függvény, amelyre teljesül, hogy y′ = y? Ez egy kapcsolat azismeretlen y függvény és annak y′ deriváltja között, ez tehát egy differenciálegyenlet.Könnyen megoldhatjuk, ha átfogalmazzuk: melyik az a függvény, melynek deriváltjaönmaga? Ennek a differenciálegyenletnek megoldása az y(x) = ex függvény, de meg-oldásai az 3ex és −πex függvények is, sőt, minden y(x) = cex, c ∈ R alakú függvény.Megoldása továbbá a konstans nulla függvény is.

Egy differenciálegyenlet konstans nulla függvény, azaz y(x) = 0 megoldását triviálismegoldásnak nevezzük, és a továbbiakban gyakran nem foglalkozunk vele.

Láthattuk, hogy egy differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van. Az alkal-mazások szempontjából ez nem valami kedvező tulajdonság, hiszen amikor tudni szeret-nénk, milyen idő lesz holnap, egy darab választ várunk és nem végtelen sok lehetőséget.A kérdésünket úgy kell megfogalmaznunk, hogy arra vagyunk kíváncsiak, milyen időlesz holnap, ha tudjuk, hogy ma milyen idő van – az időjárást leíró differenciálegyenletmellett megadunk tehát egy pluszfeltétel is.

A 7.1. Példa esetén megadunk most még egy feltételt az ismeretlen függvényre: keressükazt az y függvényt, melyre y′ = y teljesül, és a függvény grafikonja áthalad a (2, 27)ponton, azaz a függvény az x = 2 pontban a 27 értéket veszi fel, vagyis y(2) = 27.Láttuk, hogy az y(x) = cex, c ∈ R alakú függvények mind kielégítik az y′ = y egyenletet

43

7. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

(sőt, megmutatható, hogy csak ilyen alakú megoldása van). Ezek között keressük azt,amelyik teljesíti, hogy

y(2) = 27

ce2 = 27

c =27

e2

A fenti feltételt kielégítő megoldás tehát az y(x) =27

e2ex = 27ex−2 függvény.

7.2. Definíció. Legyen Ω ⊂ R2 tartomány (összefüggő nyílt halmaz), f : Ω → Rfolytonos függvény. Keressük az olyan y : R → R függvényeket, amelyekre teljesülnekaz alábbi feltételek:• D(y) egy nyílt intervallum,• y folytonosan differenciálható az értelmezési tartományán, azaz y′ ∈ D(D(y)),• (x, y(x)) ∈ Ω teljesül minden x ∈ D(y) esetén,• y′(x) = f(x, y(x)) minden x ∈ D(y) esetén,• adott x0 ∈ D(y) és y0 ∈ R számok esetén y(x0) = y0 teljesül (ún. kezdeti feltétel).Ekkor az alábbi problémát

y′(x) = f(x, y(x)

), x ∈ D(y)

y(x0) = y0(7.1)

elsőrendű közönséges differenciálegyenlet kezdeti érték problémájának nevezzük.

Megmutatható, hogy „szép” tulajdonságú f függvény esetén létezik megoldása a (7.1)problémának, és az a megoldás egyértelmű (azaz pontosan egy megoldása létezik).A továbbiakban mi csak ilyen „szép” f jobb oldalú differenciálegyenletekkel fogunkfoglalkozni.

Könnyen látható, hogy bonyolult f függvény esetén a differenciálegyenlet megoldásanehezen vagy egyáltalán nem állítható elő ceruzával papíron. Az alábbiakban egy, agyakorlatban gyakran előforduló, egyszerű alakú egyenlettel foglalkozunk.

7.1. Szétválasztható típusú differenciálegyenletLegyenek g, h : R→ R folytonos és sehol sem nulla függvények, és legyen a (7.1) prob-lémában szereplő f függvény az alábbi speciális alakú:

f(x, y) = g(x) · h(y),

azaz (7.1) probléma az alábbi alakú:y′(x) = g(x) · h

(y(x)

), x ∈ D(y)

y(x0) = y0.

44

7.1. SZÉTVÁLASZTHATÓ TíPUSÚ DIFFERENCIÁLEGYENLET

Mivel a g, h függvények sehol sem vesznek fel nulla értéket, elvégezhetjük az alábbiátalakítást (mindkét oldalt osztjuk a h(y(x)) taggal, majd keressük mindkét oldal összesprimitív függvényét):∫

y′(x)

h(y(x))dx =

∫g(x) dx.

Ez az f ≡ y, g ≡ 1h„szereposztással” a helyettesítéses integrál (6.2) képlete alap-

ján azt jelenti, hogy az 1hfüggvény primitív függvénye egyenlő a g függvény primitív

függvényével:∫1

h(y)dy =

∫g(x) dx. (7.2)

A primitív függvényeket meghatározva kifejezhető y mint az x függvénye, azaz y(x).Megjegyezzük, hogy a (6.6) Newton–Leibniz-formulából és a fenti levezetésből megkap-juk az alábbi megoldóképletet az y(x0) = y0 kezdeti feltétellel kiegészített kezdeti értékproblémára is:∫ y

y0

1

h(t)dt =

∫ x

x0

g(t) dt. (7.3)

7.3. Példa. Adjuk meg azt az y függvényt, amely kielégíti, hogy

y′(x) = x · y(x)

minden x ∈ D(y) esetén! Ez egy szétválasztható típusú differenciálegyenlet, ahol g(x) =x és h(y) = y. A (7.2) megoldóképletből kapjuk, hogy∫

1

h(y)dy =

∫g(x) dx∫

1

ydy =

∫x dx

ln |y| = x2

2+ c, c ∈ R

|y(x)| = ex2

2+c = e

x2

2 ec = cex2

2 , c = ec > 0

y(x) = cex2

2 , c ∈ R,

ahol a ±c számot is c-nek neveztük. Legyen a kezdeti feltétel: y(2) = 3e2, ekkor:

3e2 = y(2) = ce2 ⇒ c = 3,

azaz a megoldás y(x) = 3ex2

2 . A (7.3) képletből a (6.6) Newton–Leibniz-formula alkal-

45

7. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

mazásával ugyanez a megoldás adódik:∫ y

y0

1

h(t)dt =

∫ x

x0

g(t) dt∫ y

3e2

1

tdt =

∫ x

2

t dt

[ln |t|

]y3e2

=[t2

2

]x2

ln |y| − ln(3e2)

=x2

2− 22

2

ln |y| − ln 3− 2 =x2

2− 2

ln |y| = x2

2+ ln 3

|y(x)| = ex2

2+ln 3 = e

x2

2 · eln 3 = ex2

2 · 3 > 0

y(x) = 3ex2

2 .

7.4. Példa. Legyenek k, y0 ∈ R adott számok. Adjuk meg azt az y függvényt, melyre

y′(x) = k · y(x)

minden x ∈ D(y) esetén, továbbá

y(0) = y0

teljesül! Ez egy szétválasztható típusú differenciálegyenlet, ahol g(x) = k konstansfüggvény és h(y) = y. A (7.3) megoldóképlet szerint:∫ y

y0

1

h(t)dt =

∫ x

x0

g(t) dt∫ y

y0

1

tdt =

∫ x

x0

k dt[ln t]yy0

=[kt]x0

ln |y| − ln |y0| = kx

ln∣∣∣ yy0

∣∣∣ = kx∣∣∣ yy0

∣∣∣ = ekx > 0

y

y0= ekx

y(x) = ekxy0.

Tekintsük a 7.4. Példában bemutatott probléma két alkalmazását.

46

7.1. SZÉTVÁLASZTHATÓ TíPUSÚ DIFFERENCIÁLEGYENLET

Baktériumtenyészet

Legyenek k > 0 és y0 ≥ 0 adott számok, jelölje x ≥ 0 az eltelt időt és y(x) az xidőpillanatban a tenyészetben a baktériumok számát. Tegyük fel, hogy a baktériumokszámának változása (azaz y deriváltja) minden pillanatban egyenesen arányos a bakté-riumok pillanatnyi számával, azaz y kielégíti az alábbi kezdeti érték problémát:

y′(x) = ky(x), x > 0

y(x0) = y0,(7.4)

ahol y0 ≥ 0 a baktériumok kezdeti számát jelenti. A 7.4. Példában megmutattuk, hogyennek megoldása az

y(x) = ekxy0

függvény. Látható, hogy ha y0 = 0, akkor y(x) = 0 a triviális megoldás, azaz hakezdetben nem volt baktérium a tenyészetben, akkor az idő előrehaladtával sem lesz.Az is látható, hogy mivel az exponenciális függvény mindig pozitív értékeket vesz fel,a baktériumok kezdeti y0 száma soha nem fog csökkenni, sőt, mivel k > 0, y0 > 0esetben mindenvégig (exponenciálisan) nőni fog. Ez megfelel az elvárásunknak, hiszena baktériumok osztódással való szaporodásuk során egyre többen lesznek az idővel.

Radioaktív bomlás

Tekintsük a (7.4) problémát k < 0 esetben, és jelölje y(x) egy radioaktív anyag tömegétaz x időpillanatban. Tegyük fel, hogy a radioaktív anyag bomlási sebessége minden pil-lanatban egyenesen arányos a maradék radioaktív anyag pillanatnyi tömegével. Ekkory kielégíti a (7.4) problémát, ahol y0 ≥ 0 a radioaktív anyag kezdeti tömegét jelöli. Amegoldás most is y(x) = ekxy0 alakban áll elő. Mivel azonban ebben az esetben k < 0,az y0 > 0 kezdeti tömeg exponenciálisan csökkenni fog, ami megfelel az elvárásunknak,hiszen a radioaktív anyag az idővel más anyaggá alakul át, tömege tehát csökken.

Eddig csak elsőrendű differenciálegyenleteket láttuk, vagyis amelyben az y ismeretlenfüggvény és annak y′ első deriváltja szerepel. Természetesen felírhatunk olyan kapcso-latot is y és a deriváltjai között, melyben nem csak y′, de a magasabb rendű deriváltjaiis szerepelnek (y′′, y′′′, . . . ). Tekintsük például az alábbi másodrendű differenciálegyen-letet (amelyben tehát y′′ a legmagasabb derivált).

7.5. Példa. Legyen ω > 0 egy adott szám. Keressük azt az y függvényt, melyreteljesül, hogy y′′ + ω2y = 0. Sejtésünk, hogy az y(x) = A · sin(ωx) függvény mindenA ∈ R paraméter esetén megoldás. Ennek belátásához helyettesítsük be a függvényt adifferenciálegyenletbe, és vizsgáljuk meg, kielégíti-e azt:

y′′(x) + ω2y(x) = −Aω2 · sin(ωx) + ω2A · sin(ωx) = 0,

hiszen y′′(x) = −Aω2 sin(ωx). Tehát y valóban megoldás. Hasonló módon látható, hogyaz y(x) = A·cos(ωx) alakú függvény is megoldás, sőt, az y(x) = A1·sin(ωx)+A2·cos(ωx)is valamely A1, A2 ∈ R számok esetén.

47

7. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

Megjegyezzük, hogy a fenti probléma y(x) megoldása megfelel egy rugóval falhoz erő-sített testnek a rugó nyugalmi hosszától való kitérésének az x időpillanatban. A fentidifferenciálegyenlet tehát az ω frekvenciájú harmonikus rezgőmozgás egyenlete, aholω2 a rugóállandó és a test tömegének hányadosa, A1 a test kezdeti kitérése és A2 a testkezdeti sebességének és az ω frekvenciának a hányadosa. Az egyenlet felírásakor csaka rugóerő hatását vettük figyelembe (tehát pl. a súrlódást nem).

48

8. fejezet

Többváltozós függvények

Az előző fejezetekben olyan függvényekkel foglalkoztunk, melyek egy darab valós szám-hoz egy darab másik valós számot rendeltek hozzá. Mivel ezeknek a függvényeknek csakegy változójuk van, ezeket az f : R → R függvényeket egyváltozós függvényeknek ne-vezzük. A 7.4. Példában látott y(x) függvény például egy radioaktív anyag tömegétadja meg az x időpillanatban. Ennek értéke csak az időtől függ, egyetlen változója te-hát az x idő. A tanteremben mérhető hőmérséklet azonban nem csak attól függ, hogymikor (télen, nyáron, stb.) mérjük, hanem attól is, hogy hol (a fűtőtest mellett, azablak mellett, stb.). A tanterem hőmérsékletét leíró függvénynek tehát rögtön négyváltozója is van: az idő és a három térkoordináta (pl. a terem egyik sarkától számított„előre”, „ jobbra” és „fel”). Ezen függvények értelmezéséhez vezessük be az n-dimenziósvektorok fogalmát.

Jelölje szokásos módon R a valós számok halmazát. Vegyük most az R halmaznakaz 1.7. Definícióban bevezetett Descartes-szorzatát önmagával. A kapott R2 := R× Rhalmaz elemei tehát olyan (x1, x2) alakú rendezett párok, melyek mindkét tagja egyvalós szám. Ezek tulajdonképpen a sík pontjainak koordinátáit adják meg, és kétdimen-ziós vektoroknak is szoktuk nevezni őket. Az R3 := R2×R halmaz elemei ((x1, x2), x3)alakú rendezett párok. Ezek tulajdonképpen a tér pontjainak koordinátáit adják meg.A rendezett párok tulajdonsága miatt (nevezetesen, hogy nem felcserélhetők az eleme-ik) az R3 halmaz elemeit (x1, x2, x3) alakban is írhatjuk, és háromdimenziós vektornakis szoktuk nevezni őket. Az R4 := R3 × R halmaz elemei tehát az (x1, x2, x3, x4) alakúnégydimenziós vektorok. Tovább folytatva a gondolatmenetet kapjuk az alábbi fogal-mat.

8.1. Definíció. Valamely n ∈ N, n 6= 1 esetén tekintsük az Rn := Rn−1 × R halmazt,melynek (x1, x2, . . . , xn) alakú elemeit n-dimenziós vektoroknak nevezzük. Az n = 1esetben R1 ≡ R.

Vegyük észre, hogy n = 1, n = 2 és n = 3 esetben visszakapjuk a már ismert fogalmakat(egyenes, sík és tér pontjai). Az n-dimenziós vektorok rendelkeznek ugyanazokkal atulajdonságokkal, mint az eddig megismert „rövidebb” vektorok.

8.2. Definíció. Legyenek x, y ∈ Rn és λ ∈ R. Értelmezzük az alábbi műveleteket:

49

8. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

• az x vektor λ számmal való szorzatát koordinátánként számítjuk, azaz

λ · x := λ · (x1, x2, . . . , xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn),

• az x és y vektorok összegét koordinátánként számítjuk, azaz

x+ y := (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Ekkor λ · x és x+ y is egy-egy n-dimenziós vektor, azaz λ · x ∈ Rn és x+ y ∈ Rn.

Megjegyezzük, hogy hasonlóan a sík- és térbeli vektorokhoz, két n-dimenziós vektorakkor egyenlő, ha a megfelelő koordinátáik egyenlők, azaz bármely x, y ∈ Rn esetén:

x = y ⇐⇒ xj = yj, j = 1, . . . , n.

8.3. Definíció. Legyenek m,n ∈ N. Ekkor• az f : R→ Rn típusú függvényeket egyváltozós vektorfüggvényeknek nevezzük,• az f : Rm → R típusú függvényeket többváltozós függvényeknek nevezzük,• az f : Rm → Rn típusú függvényeket többváltozós vektorfüggvényeknek nevezzük.

8.4. Példa. Néhány példa a fenti függvénytípusokra.• Az f : R → R3, f(t) =

(x(t), y(t), z(t)

)függvény például egy szálló porszem térbeli

(x, y, z) koordinátáit adja meg a t idő függvényében.• Az f : R3 → R, f(x, y, z) függvény például a levegő hőmérsékletét adja meg az

(x, y, z) pontban.• Az f : R4 → R3, f(t, x, y, z) =

(u(t, x, y, z), v(t, x, y, z), w(t, x, y, z)

)függvény példá-

ul a tanterem (x, y, z) koordinátájú pontjában uralkodó t időpontbeli 3-dimenziósszélvektort adja meg.

Megjegyezzük, hogy az f : Rm → Rn típusú többváltozós vektorfüggvények az alábbimódon írhatók fel. Legyen x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ Rm, ekkor

f(x) =

f1(x)f2(x)f3(x)...

fn(x)

=

f1(x1, x2, x3, . . . , xm)f2(x1, x2, x3, . . . , xm)f3(x1, x2, x3, . . . , xm)

...fn(x1, x2, x3, . . . , xm)

∈ Rn.

Az fj : Rm → R, j = 1, . . . , n többváltozós függvényeket az f függvény koordináta-függvényeinek nevezzük.

Felmerül a kérdés, hogy mit mondhatunk az ilyen típusú függvények határértékéről,hogyan számíthatjuk a deriváltját, primitív függvényét – azaz hogyan alkalmazhatóakaz eddig tanultak.

50

8.1. PARCIÁLIS DERIVÁLTAK

Többváltozós vektorfüggvények határértéke

Legyen f : Rm → Rn, x ∈ Rm, fj : Rm → R, tehát fj(x) ∈ R, j = 1, . . . , n, legyentovábbá a ∈ Rm egy adott vektor.

8.5. Definíció. Egy f : Rm → Rn függvénynek pontosan akkor létezik határértékeaz a ∈ Rm pontban, ha minden fj : Rm → R, j = 1, . . . , n, koordinátafüggvényéneklétezik határértéke az a ∈ Rm pontban. Ekkor az f függvény a pontbeli határértékétígy definiáljuk:

limaf :=

limaf1

limaf2

limaf3...

limafn

∈ Rn.

8.6. Definíció. Egy f : Rm → Rn függvényt az a ∈ Rm pontban folytonosnak ne-vezünk, ha lim

af = f(a) (azaz a határértéke megegyezeik a helyettesítési értékével,

vö. 4.3. Definícióval).

8.7. Példa. Legyen a = (5, π) ∈ R2 és f : R2 → R3 az alábbi többváltozós vektorfügg-vény:

f(x, y) =

x · sin(y)x+ yx2

.

Ekkor

limaf = lim

(x,y)→af(x, y) = lim

(x,y)→(5,π)

x · sin(y)x+ yx2

=

lim

(x,y)→(5,π)x · sin(y)

lim(x,y)→(5,π)

x+ y

lim(x,y)→(5,π)

x2

=

=

5 · sin(π)5 + π

52

=

05 + π

25

.

Vegyük észre, hogy (x, y)→ (5, π) jelentése hasonlóképpen az, hogy x→ 5 és y → π.

8.1. Parciális deriváltakEgy egyváltozós f : R→ R függvény deriváltja az adott pontban a függvény grafikon-jához húzható érintő meredekségét adja meg. Mit jelenthet a derivált egy többváltozósf : Rm → R függvény esetében, melynek grafikonja az m + 1 dimenziós térben egy mdimenziós felület?

51

8. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

Gondoljunk egy f : R2 → R függvényre, mely egy kétdimenziós vektorhoz egy szá-mot rendel hozzá. Ennek grafikonja egy kétdimenziós felület a háromdimenziós térben(pl. egy gyűrött alufólia felszíne vagy kirándulás közben a domborzat). Ennek a fe-lületnek minden pontjában végtelen sok irány szerint vizsgálhatjuk a meredekséget.Melyiket válasszuk? Későbbi tanulmányaink során az összes irány szerinti meredeksé-get vizsgálni fogjuk, most azonban csak az m darab kitüntetett irány: a koordináta-tengelyek iránya szerinti ún. parciális deriváltakkal foglalkozunk.

Először az f : R2 → R függvények esetével foglalkozunk, majd azt fogjuk általánosítaniaz f : Rm → R, m > 2 esetre is.

Mint már láttuk, egy f : R2 → R függvény grafikonja egy kétdimenziós felület a há-romdimenziós térben. Ábra! Legyen a = (a1, a2) ∈ R2 egy tetszőleges pont a síkban.Tekintsük az a ponton áthaladó, x1-tengellyel párhuzamos egyenest! Ezen egyenes pont-jainak a koordinátái mind (a1 + t, a2) alakúak, ahol t ∈ R egy paraméter, mely befutjaaz összes valós számot. Az ezen egyenesen fekvő pontokban az f függvény az f(a1+t, a2)értékeket veszi fel. Mivel az a = (a1, a2) pont rögzített, ezek a függvényértékek csak at paramétertől függnek – ez egy egyváltozós függvény.

Jelölje Φ: R → R, Φ(t) := f(a1 + t, a2). Az f függvény grafikonjához az a pontbanhúzható, x1-tengellyel párhuzamos érintőjének a meredekségét éppen az f(a1 + t, a2)függvény a pontbeli meredeksége, azaz a Φ(t) függvény 0 pontbeli meredeksége adjameg.

Az x2-tengellyel párhuzamos érintő meredekségét hasonlóképpen a Ψ: R→ R, Ψ(t) :=f(a1, a2 + t) függvény 0 pontbeli meredeksége adja meg. Vegyük észre, hogy a Φ,Ψfüggvények már csak egyváltozós függvények. Esetükben tehát tudjuk, hogy az érintőmeredekségét a függvények adott pontban számított deriváltja adja meg. Ábra!

8.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : R2 → R függvény az a ∈ R2 pontbanparciálisan deriválható az első változója szerint, ha a Φ: R→ R,

Φ(t) := f(a1 + t, a2), t ∈ R

függvény differenciálható a 0 pontban, azaz Φ ∈ D[0]. Ekkor az f függvény első változó-ja szerinti parciális deriváltjának jelölése az a pontban ∂1f(a), és azt az alábbi módonszámítjuk:

∂1f(a) := Φ′(0).

Hasonlóképpen: azt mondjuk, hogy az f : R2 → R függvény az a ∈ R2 pontban parci-álisan deriválható a második változója szerint, ha a Ψ: R→ R,

Φ(t) := f(a1, a2 + t), t ∈ R

függvény differenciálható a 0 pontban, azaz Ψ ∈ D[0]. Ekkor az f függvény első vál-tozója szerinti parciális deriváltjának jelölése az a pontban ∂2f(a), és azt az alábbimódon számítjuk:

∂2f(a) := Ψ′(0).

52

8.1. PARCIÁLIS DERIVÁLTAK

Hogyan tudjuk tehát kiszámítani a parciális deriváltakat?

∂1f(a) = Φ′(0) = limt→0

Φ(t)− Φ(0)

t− 0= lim

t→0

f(a1 + t, a2)− f(a1, a2)

t

∂2f(a) = Ψ′(0) = limt→0

Ψ(t)−Ψ(0)

t− 0= lim

t→0

f(a1, a2 + t)− f(a1, a2)

t

Látható, hogy az első változó szerinti parciális derivált esetében a második változóváltozatlan marad. Az első változó szerinti deriváláskor a második változót tehát úgytekintjük, mint ha konstans lenne. A második változó szerinti parciális deriválás ese-tében pedig az első változó marad változatlan. A második változó szerinti deriváláskoraz első változót tekintjük konstansnak.

8.9. Példa. Számítsuk ki az alábbi függvények első és második változó szerinti parciálisderiváltjait!1. f(x, y) = x2y3 + 2x+ y

∂1f(x, y) = 2xy3 + 2 (úgy tekintjük, mintha egy szám állna y helyén)∂2f(x, y) = x2 · 3y2 + 1 (úgy tekintjük, mintha egy szám állna x helyén)

2. f(x, y) = sin(x+ 2y)

∂1f(x, y) = cos(x+ 2y) (y-t konstansnak tekintjük)∂2f(x, y) = cos(x+ 2y) · 2 (fontos a belső függvény deriváltja y szerint)

8.10. Jelölés. Egyéb jelöléseket is szoktak alkalmazni a parciális deriváltakra:

∂1f = ∂xf =∂f

∂x= fx = D1f

∂2f = ∂yf =∂f

∂y= fy = D2f

Általánosítás

Mostantól nem csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk, hanem általánosítjuk aparciális deriváltak ötletét az m-változós függvények esetére is.

8.11. Definíció. Tetszőleges m ∈ N esetén tekintsük az f : Rm → R függvényt, éslegyen a ∈ D(f) ⊂ Rm adott pont. Ekkor az f függvény parciálisan deriválható a j-dikváltozója szerint az a pontban, ha a χ : R→ R,

χ(t) := f(a1, a2, . . . , aj−1, aj + t, aj+1, . . . , am), t ∈ R

függvény differenciálható a 0 pontban. Ebben az esetben az f függvény j-dik változószerinti parciális deriváltja az a pontban:

∂jf(a) := χ′(0) =

= limt→0

f(a1, a2, . . . , aj−1, aj + t, aj+1, . . . , am)− f(a1, a2, . . . , aj−1, aj, aj+1, . . . , am)

t.

53

8. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

Maga a deriválás ugyanúgy történik, mint kétváltozós esetben: minden olyan változót,amely szerint éppen nem deriválunk, konstansnak tekintünk.

8.12. Példa. Számítsuk ki az f(x, y, z, w) = 2x+sin y+z√w függvény összes változója

szerinti parciális deriváltját!

∂xf(x, y, z, w) = 2

∂yf(x, y, z, w) = cos y

∂zf(x, y, z, w) =√w

∂wf(x, y, z, w) =z

2√w

Zárójeles megjegyzés: hasonlóan az egyváltozós függvények magasabb rendű derivált-jaihoz a parciális deriváltakból is létezhetnek magasabb rendűek. Ebben az esetbenazonban bonyolítja a helyzetet, hogy különféle változó szerint is deriválhatunk. Te-kintsük újra a 8.12. Példát. Az ebben szereplő f függvény w változó szerinti parciálisderiváltja ∂wf(x, y, z, w) = z

2√w

=: g(x, y, z, w) ismét egy négyváltozós függvény. Enneka g függvénynek tehát további négy parciális deriváltja van:

∂xg(x, y, z, w) = 0 = ∂x∂wf(x, y, z, w)

∂yg(x, y, z, w) = 0 = ∂y∂wf(x, y, z, w)

∂zg(x, y, z, w) = − 1

2√w

= ∂z∂wf(x, y, z, w)

∂wg(x, y, z, w) =w−3/2

2√w

= ∂w∂wf(x, y, z, w)

ahol az utolsó lépésekben figyelembe vettük, hogy g = ∂wf . A ∂x∂w típusú deriváltakatmásodrendű parciális deriváltaknak nevezzük. Könnyen látható, hogy bármelyik parci-ális deriváltat bármelyik változó szerint deriválhatjuk, és ezt egészen addig folytathat-juk, amíg a megfelelő parciális derivált létezik. Magasabb rendű parciális deriváltakbóltehát „sokféle” létezik, de róluk majd a következő félévben tanulunk részletesebben.

Felmerül a kérdés, hogy beszélhetünk-e mégis „az” első deriváltról egy többváltozósfüggvény esetében. Amennyiben az f : Rm → R függvény differenciálható egy pontban,az abban a pontban vett első deriváltján a parciális deriváltjaiból összeállított vektortértjük. Ez tehát az adott pontbeli meredekségek vektorát jelenti.

8.13. Definíció. Legyen m ∈ N és a ∈ Rm tetszőleges. Ha az f : Rm → R többvál-tozós függvény differenciálható az a pontban1, akkor az f függvény a pontbeli f ′(a)deriváltján az alábbi vektort értjük:

f ′(a) :=(∂1f(a), ∂2f(a), ∂3f(a), . . . , ∂mf(a)

)∈ Rm. (8.1)

1Az f : Rm → R függvény a ∈ Rm pontbeli differenciálhatóságát a következő félévben vezetjük be.

54

8.1. PARCIÁLIS DERIVÁLTAK

Vegyük észre, hogy az f : Rm → R típusú függvények pontbeli deriváltja egy m-dimenziós vektor. Amennyiben a deriváltat, mint függvényt tekintjük (azaz a különbözőpontokban számított deriváltakat a pontok függvényében), akkor f ′ egy m-dimenziósa vektorhoz egy m-dimenziós derivált-vektort rendel hozzá, vagysis f ′ : Rm → Rm.

Megjegyezzük, hogy a (8.1) képlettel definiált f ′(a) derivált másik elterjedt elnevezésea gradiens (vagy gradiens-vektor). A deriváltat (gradienst) az alábbi módokon szoktákmég jelölni:

f ′ = grad f = ∇f,

ahol a ∇ szimbólum neve nabla. Az f ′(a) gradiens-vektor iránya az f függvény a pont-beli legnagyobb emelkedésének iránya.

8.14. Példa. Egy hegység domborzatát az alábbi képlettel definiált f függvény adjameg minden (x, y) ∈ R2 \ (x, y) : x2 + y = 0 pontban:

f(x, y) =1

x2 + y.

Merre a legnagyobb az emelkedés az a = (1, 9) ∈ R2 pontban levő pihenőhelynél? Ésesőzéskor merre folyik le a víz ebben a pontban?

Tudjuk, hogy az adott pontban mérhető legnagyobb emelkedés irányát az f ′ (gradi-ens)vektor adja meg:

f ′ = (∂xf, ∂yf) =(− 2x

(x2 + y)2,− 1

(x2 + y)2

).

Az emelkedés mértékét pedig az f ′(a) ∈ R érték adja meg:

f ′(a) = f ′(1, 9) =((∂xf)(1, 9), (∂yf)(1, 9)

)=(− 2

100,− 1

100

).

A víz természetesen éppen a legnagyobb emelkedéssel ellentétes irányban folyik le, azaza −f ′(a) vektor irányában:

−f ′(a) =( 2

100,

1

100

).

Eddig csak az f : Rm → R többváltozós függvények deriváltjával foglalkoztunk (azm = 1 egyváltozós esettel külön az 5. fejezetben is). Hogyan értelmezhetjük vajonegy f : Rm → Rn többváltozós vektorfüggvény deriváltját? Ez maradjon a jövő félévanyaga.

55