MATEMATIKA 2

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB

1

PICARDOVA ITERACIJSKA METODA Numerična metoda za reševanje DE 1.reda, ki obenem daje zadostne pogoje za rešljivost DE 1.reda.

(Podobno smo pri Newtonovi metodi enačbo f(x)=0 preoblikovali v x=g(x).)

0

0 0

0

( , )

( )

( ) ( , ( )) ,

Rešitev začetnega problema

zapišemo kot integralsko enačbo

ki je primerna za reševanje z metodo iteracij.

x

x

y f x y

y x y

y x y f t y t dt

Tvorimo zaporedje funkcij y0(x), y1(x), y2(x),... po rekurzivnem pravilu:

0

0 0 1 0( ) , ( ) ( , ( ))x

n nx

y x y y x y f t y t dt

0 0 1( ) , ( ) ( , ( )), ( ) lim ( )Za vse je za limito pa velja:n n n nnn y x y y x f x y x y x y x

(če je f zvezna in če smemo odvajati limito)0 0 0( ) lim ( , ( )) ( , lim ( )) ( , ( )) ( ) lim ( )in n n nn n n

y x f x y x f x y x f x y x y x y x y

limitna funkcija y(x) je rešitev začetnega problema.

MATEMATIKA 2


2

......

Taylorjeva vrsta za funkcijo y(x)=ex.

(0) 1

y y

y

1

0

( ) 1 1 1 x

y x dt x 0 ( ) 1y x

2

2

0

( ) 1 (1 ) 12

x x

y x t dt x 2 2 3

3

0

( ) 1 (1 ) 12 2 6

x t x x

y x t dt x

0 1

0

( ) 1, ( ) 1 ( )x

n ny x y x y t dt

2

(0) 1 y x y

y

MATEMATIKA 2


3

Če so izpolnjeni določeni pogoji, Picardove iteracije konvergirajo proti rešitvi začetnega problema, dobljena rešitev pa je enolična.

Če sta f(x,y) in fy’(x,y) zvezni na neki okolici točke (x0,y0)

potem začetni problem ima natanko eno rešitev

y=y(x) na neki okolici točke x0.0 0

( , )

( ) y f x y

y x y

( ) tgy x x21

(0) 0 y y

y

Rešitve ni zmeraj mogoče podaljšati na celo realno os!

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA

4

LINEARNE DIFERENCIALNE ENAČBE 2. REDA

( ) ( ) splošna LDE 2. reday a x y b x y c x

: ( ) ( ) je linearna funkcija (na prostoru dvakrat zvezno odvedljivih funkcij)L y y a x y b x

1. ( ) rešitve linearne enačbe so oblike , kjer je neka rešitev enačbe, pa element ničelne množice za

P

P H

HL y c x

L

y

y

y

y

y

2.

( ) 0 : 0

ničelno množico za tvorijo rešitve enačbe

homogena LDE 2. reda

L

L y y a x y b x y

Iz rezultatov o rešljivosti diferencialnih enačb sledi, da je ničelna množica dvodimenzionalna.

Elementi ničelne množice so oblike yH=c1y1+c2y2 , kjer sta y1in y2 linearno neodvisni rešitvi homogene enačbe.

3. Splošna rešitev enačbe je oblike y=yP+c1y1+c2y2.

Glavna težava pri LDE 2. reda je, v splošnem ni mogoče rešiti homogene enačbe.

MATEMATIKA 2


5

Dovolj je, če poznamo eno rešitev homogene enačbe: potem lahko izračunamo še eno neodvisno rešitev homogene enačbe ter partikularno rešitev nehomogene enačbe.

1 2 1( ) ( ) 0 :Naj bo rešitev enačbe drugo rešitev iščemo kot y y a x y b x y y u y

1

1

(2 )y

u a uy

( )

21( )

A xeu

y

(A(x) primitivna funkcija za a(x))

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

0 2

2

y a y b y u y uy uy

auy auy

buy u y u y ay

=0

( )

2 1 21

( ) ( )( ( ))

A xey x y x dx

y x

MATEMATIKA 2


6

1 2Py vy wy

1 1 2 2Py v y vy w y wy 1 2 0dodatni pogoj: v y w y

1 2vy wy

1 1 2 2Py v y vy w y wy

1 2 1 1 1 2 2 2

1

( ) ( )P P Py ay by v y w y vy avy bvy wy awy bwy

v y w y

= 0 = 0

1 2

1 2

0v y w y

v y w y c

1 2Py uy vy

1 2

1 2

, ( ) ( ) 0.

( ) ( ) ( )

Naj bosta rešitvi enačbe Partikularno rešitev enačbe iščemo kot P

y y y a x y b x y

y a x y b x y c x y v y w y

2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

,cy cy

v wy y y y y y y y

MATEMATIKA 2


7

( ) ( ) ( )y a x y b x y c x

1. Poiščemo vsaj eno rešitev homogene enačbe

2. Druga rešitev homogene enačbe je dana z

REŠEVANJE LDE 2.REDA

( )

2 1 21

( ) ( )( ( ))

A xey x y x dx

y x

3. Partikularno rešitev dobimo v obliki

kjer sta v,w določena z

1 2Py vy wy

2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

,cy cy

v wy y y y y y y y

2 2 2(1 ) 2 2 (1 )x y xy y x

2 12

2 20 :

(1 ) (1 )Uganemo rešitev homogene enačbe

xy y y

xx

xy

22

2( ) ln(1 )

(1 )

xA x dx x

x

2

22 2

11 1x

x dxy xx xx x

2 2 21 2 2

3 2

(2 ) 1 ( 1 ,3 2

) 1 1 ,y y y y x x x x v x w xx x

v x w

42 2322 2( ) ( 1) ( 1)

2( 1

6)

3 2

x xy x x

x xAx B xx x Ax B x

MATEMATIKA 2


8

preprosto rešljiva homogena enačba lažje računanje posebne rešitve

Primeri uporabe: nihanja električna vezja modeliranje metabolizma .......

( )y ay by f x

LDE 2. REDA S KONSTANTNIMI KOEFICIENTI

HOMOGENA ENAČBA

Poskusimo z nastavkom: y=erx (po zgledu z LDE 1.reda)

par realnih ničel

dvojna realna ničla

par konjugiranih kompleksnih ničel

0y ay by

2( ) 0rxr ar b e

2

rx

rx

rx

y e

y re

y r e

2 0r ar b

2

1,2

4

2

a a br

2 4 0a b 2 4 0a b 2 4 0a b

MATEMATIKA 2


9

1. primer: par realnih ničel r1,r2:

splošna rešitev:

2. primer: dvojna realna ničla r

splošna rešitev:

1 21 2( ) , ( )bazični rešitvi r x r xy x e y x e

1 21 2( ) r x r x

Hy x ce c e

1 2( ) ( ) rxHy x c c x e

1 2( ) , ( )bazični rešitvi rx rxy x e y x xe

3. primer: par konjugirano kompleksnih ničel: α+iβ, α-iβ

splošna rešitev

( )i x x i xe e e potrebujemo rešitve, ki so realne funkcije

1 2( ) cos , ( ) sinbazični rešitvi x xy x e x y x e x

1 2( ) ( cos sin )xHy x e c x c x

MATEMATIKA 2


10

Diferencialna enačba

Karakteristična enačba Ničle Splošna rešitev

0y y

0y y

4 4 0y y y

4 5 0y y y

0y y y

2 1 0r

2 1 0r

2 4 4 0r r 2 4 5 0r r

2 1 0r r

1 21, 1r r

1 2,

0, 1

r i r i

1,2 2r

1 25, 1r r

1

2

1 3

2 2

1 3

2 2

r i

r i

1 2x xce c e

1 2cos sinc x c x

21 2( )xe c c x

51 2

x xce c e

2 3 31 22 2( cos sin )

x

e c x c x

Documents

MATEMATIKA 2