Matematika I - fsb.unizg.hr · Suprotni vektor i oduzimanje vektora ... a~ ~b c~ d~ e~ Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 55. Vektorska algebra Zbrajanje

Matematika IVektori I

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 55

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Uvodenje vektora kao prosirenje pojma skalarne velicinePrepoznavanje vektora-fizikalno znacenjeZbrajanje vektoraOsnovna vektorska algebraPrimjena vektora u geometriji


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Vektorska algebraVektori-uvodZbrajanje vektoraSuprotni vektor i oduzimanje vektoraMnozenje vektora brojem

2 Razlaganje vektora

3 Vektori u geometrijiVektori i tockePravac AB i duzina ABRavnina ABC i trokut 4ABC


Vektorska algebra Vektori-uvod

Skalarna velicina-velicina odredena iznosom.-npr. skalarne velicine su masa, temperatura,. . .

Vektorska velicina-velicina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske velicine su pomak, brzina,sila. . .

Sa slike desno zakljucujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|−→a | = |−→c | ali −→a 6= −→c jer suim smjerovi razliciti.

~a ~b

~c



Skalarna velicina-velicina odredena iznosom.-npr. skalarne velicine su masa, temperatura,. . .

Vektorska velicina-velicina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske velicine su pomak, brzina,sila. . .

Sa slike desno zakljucujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|−→a | = |−→c | ali −→a 6= −→c jer suim smjerovi razliciti.

~a ~b

~c



Zadatak 1.

Koje su od sjedecih tvrdnjiistinite:

(1) −→a i ~d imaju isti smjer(2) |−→a |> |−→e |(3) |−→b |= |−→c |(4) −→e =~d

~a

~b

~c

~d

~e


Vektorska algebra Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora

~a+~b

~a

~b



Zbrajanje vektora je asocijativno:

(−→a +

−→b )+

−→c =−→a +(

−→b +−→c )

~a+~b+

~c

~a

~b

~c




−→a +−→b +−→c = (

−→a +−→b )+

−→c

~a+~b+

~c

~a

~b

~c

~a +~b




−→a +−→b +−→c =

−→a +(−→b +−→c )

~a+~b+

~c

~a

~b

~c

~ b+~c



Zbrajanje vektora je komutativno:

−→a +−→b =

−→b +−→a

~a +~b

~a

~b~b

~a


Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

Suprotni vektor

~a

−~a

|−−→a |= |−→a | ali su to vektori suprotnog smjera

−→a −−→b :=−→a +(−−→b )



Nul-vektor

Zbroj vektora i njemu suprotnog vektora je nul-vektor, u oznaci−→0 .

−→a +(−−→a ) =−→0



Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora je definirano na sljedeci nacin:

−→a −−→b :=−→a +(−−→b )

~a−~b

~a

−~b~b

~a



PRAVILO PARALELOGRAMA

~a−~b

~a+~b

~a

~b



Zadatak 2.

(a)

~a

~b(b)

~a

~b

Precrtajte vektore i skicirajte vektore:(i) −→a +

−→b (ii) −→a −−→b (iii)

−→b −−→a



Rjesenje:(a)

(i)

~a

~b~b

~a +~b

(ii)

~a

−~b ~a−~b



(iii)

−~a

~b

~b−~a



(b)(i)



(ii)~a

~b

−~b

~a− ~b(iii)

−~a

~b

~b

~b−~a



Zadatak 3.

~a

~b

~c Precrtajte vektore i skicirajtevektore:(i) −→a +

−→b

(ii) −→a +−→b −−→c

(iii) −→a −−→b −−→c


Vektorska algebra Mnozenje vektora brojem

Mnozenje vektora brojem

~a

k~a

k > 0

k < 0

k~a

|k−→a |= |k ||−→a |



Mnozenje vektora brojem

Vektori −→a i k−→a su kolinearni.Npr.

~a

3~a

12~a−2~a

~a



Distributivnost

Distributivnost: k(−→a +−→b ) = k−→a +k

−→b

~a k~a

~b

k~b

~a+~b

k(~a+

~b)



Distributivnost

Distributivnost: k(−→a +−→b ) = k−→a +k

−→b

~a k~a

~b

k~b

~a+~b

k(~a+

~b)



Zadatak 4.

Zadan je vektor −→a na slici.Skicirajte vektore

2−→a , −3−→a , −0.5−→a , 1.2−→a ~a



Zadatak 5.

Zadani su vektori −→a i−→b na slici.

Skicirajte vektore

2−→a −3−→b ,

12−→a +

−→b ,

−−→a − 32−→b .

~a

~b


Razlaganje vektora

Razlaganje vektora

Ako razlozimo vektor −→c sa slike pomocu vektora −→a i−→b

~c0.7~b

~b

~a 1.5~a

onda je −→c = 0.7−→a +1.5−→b .


Razlaganje vektora

Razlaganje vektora

Ako razlozimo vektor −→c sa slike pomocu vektora −→a i−→b

~c0.7~b

~b

~a 1.5~a

onda je −→c = 0.7−→a +1.5−→b .


Razlaganje vektora

Opcenito−→c = t1

−→a + t2−→b

t1, t2 su realni brojevi.

Primjer 1.

Razlozite vektor −→c sa slikepomocu vektora −→a i

−→b

~a

~b

~c


Razlaganje vektora

Opcenito−→c = t1

−→a + t2−→b

t1, t2 su realni brojevi.

Primjer 1.

Razlozite vektor −→c sa slikepomocu vektora −→a i

−→b

~a

~b

~c


Razlaganje vektora

Rjesenje :

~a

~b

~c−2~b

0.8~a

−→c = 0.8−→a −2−→b .


Razlaganje vektora

Zadatak 6.

Zadani su vektori −→a ,−→b i −→c . Razlozite vektor −→c u smjeru vektora

−→a i−→b (otprilike sa slike napravite razlaganje):

(a)

~a

~b

~c


Razlaganje vektora

(b)

~a

~b

~c(c)

~a

~b

~c


Razlaganje vektora

Primjer 2.Srednjica je 1/2 osnovice i s njom je paralelna.


Razlaganje vektora

Vektorski dokaz :

~a ~b

~a−~b

12~a− 1

2~b

12~a 1

2~b

12−→a − 1

2−→b = 1

2(−→a −−→b ).


Razlaganje vektora

Primjer 3.Polovista stranica bilo kojeg cetverokuta cine paralelogram.


Vektori u geometriji Vektori i tocke

Vektori i tocke

A

B

−→AB



Vektori i tocke

A

B

C

D

−→AB+

−→BC +

−→CD =

−→AD



Vektori i tocke

A

B

C

D

−→A�B+

−→�BC +

−→CD =

−→AD



Vektori i tocke

A

B

C

D

−→A�B+

−→�B��C +

−→��CD =

−→AD



Vektori i tocke

A

B

C

D

E

−→AB+

−→BC +

−→CD+

−→DE +

−→EA =

=−→AA =

−→0 (nul−vektor)



Radijvektori s ishodistem O

A

B

C

O−→rA =

−→OA

−→rB =−−→OB

−→rC =−→OC



Radijvektori s ishodistem O

Bilo koji vektor−→AB moze se izraziti preko radijvektora:

O

B

A

−→OB =

−→OA+

−→AB

⇒−→AB =−→OB−−→OA

⇒−→AB =−→rB −−→rA



Zadatak 7.

Zadane su tocke A, B, C, D.Ucrtaj radijvektore −→rA ,

−→rB ,−→rC ,−→rD . Pomocu njih izrazi vek-

tore(a)−→AB,

−→BA,

−→AC,

−→BC,

−→CD

(b) 2−→AB−−→CD, 1

2−→BC + 1

3−→AB

−→BC +

−→CD,

−→AB+

−→BC +

−→CA.

A

B

C

D

O



Rjesenje :

A

B

C

D

O

−→rA

−→rB−→rC

−→rD



(a)

−→AB =

−→rB −−→rA−→BA =

−→rA −−→rB−→AC =

−→rC −−→rA−→BC =

−→rC −−→rB−→CD =

−→rD −−→rC



(b)

2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (

−→rD −−→rC)

= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC

12−→BC +

13−→AB =

12(−→rC −−→rB )+

13(−→rB −−→rA)

=12−→rC −

16−→rB −

13−→rA

−→BC +

−→CD =

−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

=−→rD −−→rB =

−→BD

−→AB+

−→BC +

−→CA =

−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +

−→rA −−→rC =−→0



(b)

2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (

−→rD −−→rC)

= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC

12−→BC +

13−→AB =

12(−→rC −−→rB )+

13(−→rB −−→rA)

=12−→rC −

16−→rB −

13−→rA

−→BC +

−→CD =

−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

=−→rD −−→rB =

−→BD

−→AB+

−→BC +

−→CA =

−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +

−→rA −−→rC =−→0



(b)

2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (

−→rD −−→rC)

= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC

12−→BC +

13−→AB =

12(−→rC −−→rB )+

13(−→rB −−→rA)

=12−→rC −

16−→rB −

13−→rA

−→BC +

−→CD =

−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

=−→rD −−→rB =

−→BD

−→AB+

−→BC +

−→CA =

−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +

−→rA −−→rC =−→0



(b)

2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (

−→rD −−→rC)

= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC

12−→BC +

13−→AB =

12(−→rC −−→rB )+

13(−→rB −−→rA)

=12−→rC −

16−→rB −

13−→rA

−→BC +

−→CD =

−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

=−→rD −−→rB =

−→BD

−→AB+

−→BC +

−→CA =

−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +

−→rA −−→rC =−→0


Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB

Pravac AB i duzina AB

O

A

B

0 <t <

1

−→rA−→rB

−→r

t <0

t >1

−→r =−→rA + t

−→AB =

−→rA + t(−→rB −−→rA)

⇒−→r = (1− t)−→rA + t−→rB

⇒−→r = λ−→rA +µ−→rB ,

λ+µ = 1



DUZINA AB : λ, µ≥ 0

POLOVISTE OD AB :−→r =

12−→rA +

12−→rB



DUZINA AB : λ, µ≥ 0

POLOVISTE OD AB :−→r =

12−→rA +

12−→rB



Zadatak 8.Zadan je pravac

−→r =−→rA + t

−→AB.

Ucrtaj na pravcu tocke ko-jima odgovaraju vrijednosti t =0, 1, −1

2 , −2, 3 i uz svaku tockuupisi odgovarajucu vrijednost zat .

A

B

O

−→rA−→rB



Rjesenje :

A

B

t = −2

t = −12 t = 0

t = 1

t = 3

O

−→rA−→rB



Zadatak 9.Na pravcu

−→r =−→rM + t

−−→MN

odredi tocke (podebljaj) za kojevrijedi(a) −1≤ t ≤ 2(b) t ≥ 1(c) t ≤ 2

M

N

O

−→rM−→rN



Rjesenje :(a)



Rjesenje :(b)



Rjesenje :(c)


Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

Ravnina ABC trokut 4ABC

A

O

C

B

T

−→rA−→r

−→r =−→rA +

−→AT =

−→rA + t1−→AB+ t2

−→AC

=−→rA + t1(

−→rB −−→rA)+ t2(−→rC −−→rA)

= (1− t1− t2)−→rA + t1

−→rB + t2−→rC



−→r = λ−→rA +µ−→rB +ν

−→rC , λ+µ+ν = 1



4ABC :λ, µ, ν≥ 0

teziste 4ABC :λ = µ = ν =13

−→rT =13−→rA +

13−→rB +

13−→rC

Dokaz∗.

−→rT =13−→rA +

23(12−→rB +

12−→rC)

=13−→rA +

13−→rB +

13−→rC



Zadatak 10.Zadana je ravnina

−→r =−→rA + t1

−→AB+ t2

−→AC,

(a)Ucrtaj(otprilike) tockeza koje je (t1, t2) =(2,3),(0,0),(1,−2),(−1

2 ,32) i

upisi uz tocke odgovarajuci parvrijednosti (t1, t2).(b) Koji parovi pripadajutockama B i C?(c) Gdje se nalaze tocke(t1, t2) = (0, t)?

A

B

C



Rjesenje :(a), (b)

(2, 3)

(1,−2)

(−12, 32)

A(0, 0)

B(1, 0)

C(0, 1)



Rjesenje :(c)Tocke (t1, t2) = (0, t) se nalaze na pravcu koji prolazi kroz tocke A i C.


Documents

Matematika I - fsb.unizg.hr · Suprotni vektor i oduzimanje vektora ... a~ ~b c~ d~ e~ Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 55. Vektorska algebra Zbrajanje