Matematika na šachovnici doc. PHDr. Marta Volfová, CSc.

Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010

MATEMATIKA NA ŠACHOVNICI Šachovnice lze využít k formulování a řešení překvapivě široké řady matematických i logických problémů, které rozvíjejí významně kombinační myšlení a prostorovou představivost. Šachovnicemi budeme rozumět pravoúhelníky s různými počty polí (kromě nejznámější šachovnice 8 × 8 polí např. i 3 × 3, 4 × 4, 4 × 5 polí atd.). K řešení úloh je vhodné využívat čtverečkovaný papír. Budeme postupně rozebírat následujících 9 okruhů:

I. Velká čísla na šachovnici Využití pověsti o vynálezu hry šachové a odměně tvůrci v podobě obilných zrn

II. Dělení šachovnice (různých typů) na 2 či 4 shodné části Hledáme všechna řešení. (Dělení na 2 shodné části lze provádět i u šachovnic s lichým počtem polí domluvíme-li se, že prostřední pole se dělení neúčastní.)

III. Pokrývání šachovnic a) tvary domina b) tvary domina, chybí-li na šachovnici 2 políčka (sousedící políčka nebo políčka

z protilehlých rohů) c) tvary tetramina d) kostkami domina (určení způsobu pokrytí, známe-li počty teček na každém

políčku šachovnice) IV. Hledání strategií u her typu Cesta krále V. Počty čtverců na šachovnici

VI. Geometrické křížovky na šachovnici VII. Domino na šachovnici

VIII. Klasické úlohy šachovnice Předkládáme zde celkem 40 úloh. (Většinou jsou výsledky uvedeny vzadu za souborem úloh.) I. Velká čísla na šachovnici Lze využít známou legendu o hře šachové, která pochází asi z roku 1000 př. n. l. „Před mnoha a mnoha lety odešel dobrý vládce – šach – na zasloužený odpočinek. Aby mu při něm čas zajímavě ubíhal, přinesl mu neznámý mudrc dar: hru na desce rozdělené do čtverců, kterou nazval podle svého milostivého pána „šachy“. Když si vládce osvojil pravidla hry a poznal krásu a zajímavost šachů, rozhodl se mudrce za jeho dar odměnit: „Řekni si co chceš, dám ti zlato, drahokamy, koně, co jen budeš žádat, vše ti vyplním, vždyť jsem nesmírně bohatý.“ Mudrc se usmál a řekl: „Přál bych si dostat zrnka pšenice. Za první políčko šachovnice 1 zrnko, za druhé dvě, za třetí čtyři, za čtvrté osm a tak dále, vždy dvakrát víc než je za předchozí políčko.“ Šach se rozzlobil: „Tvé přání není hodno mé dobrotivosti. Jdi tedy a počkej u vrat paláce, než ti přinesou žádané – tvůj šátek se zrnky obilí.“ Mudrc se opět usmál, poklonil se a odešel. – Večer si šach vzpomněl, zda mudrcovi byla dána jeho odměna. S překvapením vyslechl zprávu, že zatím stále jeho dvorní matematici počítají, kolik zrnek má být vydáno. A tak to bylo i druhý den, i třetí. Až k večeru se dostavil hlavní dvorní matematik

a sdělil vládci, že není v moci žádného vladaře takové přání splnit: „Dej rozorat celou zem, vše osít obilím … ani pak nemůžeš – i když dáš celou úrodu – splnit mudrcovo přání …““ Jde o součet 1 + 2 + 22 + 23 + …. + 263 = 264 – 1 (tj. zrn by bylo 18 446 073 709 551 615). Úloha I/1: Předpokládejme, že do 1 cm3 se vejde asi 20 zrn – kolik m3 by odměna zaujímala? (Počítejte na 2 platné cifry.) Úloha I/2: – kdyby byla zrna v sýpce 4 m vysoké a 10 m široké- jaká délka sýpky by byla potřeba? Úloha I/3: – Byla by délka taková, že by sýpka mohla obtočit celou zeměkouli? Úloha I/4: – Kdyby byla zrna rovnoměrně nasypána nad celou ČR (a kdyby ČR byla celá v rovině) – do jaké výšky by zrna dosahovala? Úloha I/5: – A kdyby se do 1 cm3 vešlo zrn jen 15? II: D ělení šachovnice na shodné části Zajímavým problémem je dělení šachovnice na shodné části, přičemž platí, že dělení smí probíhat jen po hranicích políček. A) Dělení šachovnice na dvě shodné části Na dvě shodné části lze dělit pouze desky se sudým počtem políček. U šachovnice s lichým počtem polí lze však vynechat prostřední políčko a řešit úlohu pro zbylou část. Při řešení lze dobře využít středovou souměrnost. Se vzrůstajícím počtem polí šachovnice roste i obtížnost úlohy. U šachovnice 2 × 3 i 3 × 3 máme vždy jen jediné řešení, u šachovnice 4 × 4 je možností 6. (Řešení, která jsou na sebe převeditelná překlopením nebo otočením nepokládáme za různá.) U šachovnice 5 × 5 lze získat 15 různých řešení. Pro šachovnici 6 × 6 se uvádí 225 možností a u 9 × 9 dokonce 1 972 653. Pro desku 7 × 7 je 1 897 řešení, pro 8 × 8 92 263. Úloha II/1: Najděte všechna rozdělení šachovnice a) 4 × 4, b) 5 × 5 na dvě shodné částí. B) Dělení šachovnice na čtyři shodné části Úloha II/2: Rozdělte tak šachovnici a) 4 × 4, b) 5 × 5. U šachovnice 4 × 4 dostaneme šest možností dělení, u 5 × 5 (po vynechání prostředního políčka) sedm možností. Úloha II/3: Dá se každá šachovnice rozdělit na čtvrtiny? (U těch s lichým počtem polí vyřazujeme střední pole.)

III: Pokrývání šachovnice Při řešení těchto úloh využíváme vhodně vybarvení šachovnice. Úloha III/1:

a) Lze pokrýt šachovnici 6 × 6 kostkami domina? b) Lze pokrýt šachovnici 6 × 6 kostkami domina, jestliže z ní vyřadíme dvě protilehlá

políčka (z diagonály)? c) Totéž, nyní vyřazujeme dvě políčka ležící vedle sebe (tj. mají společnou jednu stranu). d) Totéž, vyřazujeme dvě políčka téže barvy. e) Totéž, vyřazujeme dvě políčka různých barev.

Úloha III/2:

a) Vytvořte všechny tvary tetramina (tj. obrazce vytvořené ze 4 čtverců tak, že každý čtverec souvisí aspoň jednou stranou aspoň s jedním dalším čtvercem obrazce).

b) Protože jich je 5, zaujímají celkovou plochu 20 čtverců. Podaří se sestavit je do nějakého obdélníku? Lze-li, sestavte je. Nelze-li, dokažte.

Úloha III/3:

a) Vytvořte všechny tvary pentamina (tj. obrazce tvořené pěti čtverci tak, že každý má aspoň s jedním dalším čtvercem jednu společnou stranu).

b) Doplňte tvary tetramina jedním tvarem pentamina (kromě řady, „kříže“; tvaru T, „pravého úhlu“) a ukažte, že pak vždy lze pokrýt těmito šesti obraci šachovnici 5 × 5.

Úloha III/4: Pokryjte tvary tetramina šachovnice a) 4 × 4, b) 6 × 6 Úloha III/5: Vyberte pět tvarů pentamina a pokryjte jimi šachovnici 5 × 5. Úloha III/6: Pokryjte tvary pentamina šachovnici 8 × 8. (Protože 12 tvarů pentamina zakryje 12 . 5 = 60 čtverečků, zbudou 4 volné čtverečky.) Řešení je poměrně snadné, pokud není poloha oněch 4 čtverečků předepsaná. Úloha III/7: Složte tvary pentamina do šachovnice 5 × 12, 6 × 10, 4 × 15 nebo dvou obdélníků 5 × 6. IV: Hledání strategií u her typu Cesta krále Hra „Cesta krále“ se hraje např. na šachovnici 6 × 6. (Označení políček na obr.) Král stojí na poli a1, může vždy táhnout o jedno pole buď vpravo nebo nahoru nebo úhlopříčně vpravo nahoru. Hrají dva hráči, každý vždy dělá právě jeden tah. Kdo svým tahem dovede krále do pravého horního rohu, a) zvítězí, b) prohraje. Existuje pro některého hráče vítězná strategie?

U těchto her je vhodné volit postup odzadu. Hra a): 1) Poslední (vítězný) tah lze provést z polí, která označím jako vyhrávajíc (V). Budou to pole e5, e6, f5. 2) Pole, ze kterého lze táhnout jen na pole V, označíme jako prohrávající P. Budou to pole d6 a f4. 3) Pole, ze kterého lze (aspoň jedním způsobem) táhnout na pole P (tam bude na tahu soupeř) označíme jako vyhrávající V (zde e3, e4, f3 a c5, c6 a d5). 4) Takto označíme i všechna zbývající pole šachovnice – viz obr.

Vidíme, že i výchozí pole a1 je označeno V jako vyhrávající. Můžeme-li volit, kdo zahájí hru, budeme začínat a táhneme na pole označené P, z nichž nám soupeř musí posunout krále na nějaké pole V, a proto nakonec zvítězíme.

Obr. Obdobně tomu bude u hry b): 1) Pole, odkud musíme táhnout na f5 (a prohrát) označím jako P – prohrávající. Zde to budou pole e6 a f5. Nyní uplatníme předchozí kroky 3), 2) a 4). Šachovnice bude vyznačena jako na obr.

I v tomto případě existuje vyhrávající strategie pro začínajícího. Posune krále v tomto (i všech dalších) tazích na pole P. Soupeř prohrává.

Obr.

Úloha IV/1: Hrajeme nyní na stejné šachovnici s figurou „Prince“, který může táhnout vždy o jeden nebo o dva tahy doprava nebo nahoru nebo šikmo vpravo nahoru. Napište vítěznou strategii pro případ

a) kdo dovede Prince na pole f6, vítězí. b) kdo dovede Prince na pole f6, prohrává.

Úloha IV/1: Stejné jako v předchozích případech, ale hrajeme s figurou Pachole, které může poskočit (opět vpravo nebo nahoru nebo šikmo vpravo nahoru) o 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 pole. Najděte nyní vítězné strategie:

a) kdo svým tahem dovede Pachole na f6, vítězí, b) kdo svým tahem dovede Pachole na f6, prohrává.

6 V P V P V 5 V V V V V V 4 V P V P V P 3 V V V V V V 2 V P V P V P 1 V V V V V V a b c d e f

6 P V P V P 5 V V V V V P 4 V P V P V V 3 V V V V V P 2 V P V P V V 1 V V V V V P a b c d e f

V: Kolik lze najít na šachovnici čtverců Úloha V/1: Najděte na šachovnici 5 × 5 všechny čtverce, jejichž vrcholy leží na průsečících sítě. (Uvažujme jednotkovou síť.) Jaké mají strany? Kolik jich lze umístit? Úloha V/2: Najděte na šachovnici 5 × 5 všechny obdélníky, jejichž vrcholy leží v průsečících sítě. (Uvažuje opět jednotkovou síť.) Jaké mají strany? Kolik jich lze najít? (Řešení v příloze.) Úloha V/3: Kolika způsoby lze položit na šachovnici 5 × 5 čtyři kostky tak, aby tvořily vrcholy čtverce? VI: Geometrické křížovky Je dána nějaká šachovnice a pro všechny sloupce i všechny řádky je předepsaný počet čtverečků, které budou vybarveny, např. 1 – 2 – 3. Znamená to, že v dané řadě je někde vybarveno jedno políčko, za ním je aspoň jedno pole volné, pak jsou vybarvena 2 políčka, dále je opět mezera (alespoň o jednom poli) a následují 3 vybarvená políčka. Pořadí je závazné, tj. nelze zaměnit předpis 1 – 2 a 2 – 1. Některé křížovky mohou mít i více řešení. Úloha VI/1: Vyplňte křížovku podle předpisu na obr. 1 4 2 4 2 1 1 6 3 1 – 1 1 – 1 a b c d e f Úloha VI/2: Vyplňte křížovku 7 × 9, kde označení sloupců je 1; 3 – 2; 9; 5; 9; 3 – 2; 1 a řad (shora dolů): 1 – 1; 3; 3; 5; 5; 5; 1 – 1; 2 – 2; 3 – 3. V jiné variantě křížovek jsou pole označena písmeny. Čísla nad řadami (tj. sloupci a řádky) určují, která písmena mají být vybrána. Lze tak zašifrovat nějaký vzkaz. Jednoduchý příklad udává další úloha. Úloha VI/3: Na šachovnici 6 × 5 vyberte písmena podle legendy nad sloupci a řádky šachovnice 6 × 5 (viz obr.) a přečtěte (zleva doprava, shora dolů) vzkaz.

2 2 0

1 2 1 2 2 2 – 1 – 1 A Ž U V O P 1 – 1 – 1 R Á M T L E 1 N A K L I K 1 – 1 A V T O M A 1 – 1 P S O M É M

Další variantou geometrických křížovek je jedna podoba hry Lodě. Hrají dva hráči. Každý z nich umístí na svou šachovnici schématické vyznačení jednoho křižníku, dvou parníků, tří ponorek a třech člunů (viz obr.). Soupeři dá jen prázdnou šachovnici s označením počtu čtverečků, které je třeba v daném sloupci či řádku vybarvit. Kdo z hráčů jako první najde postavení všech lodí soupeře, vyhrává. (Někdy lze najít více řešení – za každé může hráč získat bod.) (Ani v této variantě se „lodě“ nesmí dotýkat, a to ani svými vrcholy.) křižník parník ponorka člun Obr. Úloha VI/4: Najděte na šachovnici všechny lodě. Legenda ke sloupcům (zleva doprava): 1; 1 – 3 – 1; 1 – 2; 2 – 1; 1 – 2; 1 – 2 – 1; 1; 1 – 1 – 2 Legenda k řádkům (shora dolů): 2 – 1 – 1 – 1; 1; 1 – 1; 2 – 1; 1 – 3; 0; 1 – 1 – 1; 5 – 1 Úloha VI/5: Najděte na šachovnici 8 × 8 všechny lodě. Legenda ke sloupcům (zleva doprava): 1 – 1 – 1; 3 – 1 – 1; 0; 1 – 5; 1 – 1 – 1; 1; 1 – 1 – 2; 1 – 1 Legenda k řádkům (shora dolů): 1 – 2 – 1; 2; 1 – 1 – 1; 2; 2 – 1 – 1; 2; 2 – 1 – 1; 3 Kolik je možných řešení? Úloha VI/6: Najděte na šachovnici 8 × 8 všechny lodě. Legenda ke sloupcům (zleva doprava): 2 – 1; 2 – 1; 2 – 1 – 2; 2 – 1; 1 – 1; 1; 1 – 3; 1 – 1 – 1 Legenda k řádkům (shora dolů): 1 – 1 – 1 – 2; 1 – 1; 1 – 1; 1 – 1; 5; 1; 3 – 2; 1 – 1 Řešení je zde jen jediné. VI: Domino na šachovnici Kostky domina lze rozložit do nějakého obdélníkového schématu, zapsat pak do něj jen čísla (tj. počty bodů na dominové kostce) bez vyznačení hranic kostek a nechat druhému hráči vyvodit, kde ony hranice budou. Jedná se o zajímavou kombinatoricko – logickou problémovou úlohu, která ovšem může mít až překvapivě velký počet řešení. Úloha VII/7: Vezměme dominové kostky 0 – 0, 0- 1, 0 – 2 atd. až po 5 – 5 a srovnejme je do šachovnicového schématu 7 × 6 (máme 6 čísel, totiž 0, 1, 2, 3, 4, 5, každé se vyskytne na sedmi polích: na pěti dominových kostkách se zbývajícími pěti čísly a na jedné samo se

sebou). Vypišme si jen čísla, která leží na jednotlivých polích šachovnice. Získáme např. takové rozmístění (obr.)

0 0 0 0 4 1 1 0 3 2 2 3 1 1 0 5 2 1 4 1 4 3 2 2 2 3 0 4 5 4 2 5 5 4 4 5 3 3 5 3 5 1

Obr.

Úkolem je najít hranice kostek. Na závěr ještě stručně připomeňme tzv. klasické matematické úlohy šachovnice a procházky po šachovnici. VII: Klasické matematické úkoly šachovnice (Kolik lze umístit figur tak, aby …) Jde o velice přitažlivé problémové úlohy, které lze obměňovat, zjednodušovat či ztížit volbou figurky, velikostí šachovnice, požadavkem nalezení aspoň jednoho řešení – nebo všech řešení atd. Ukážeme několik úloh. A) Úlohy o minimálním počtu figur Úloha VIII/1: (snadná): Jaký nejmenší počet královen (dam) potřebujeme k tomu, aby (při vhodném rozmístění) obsadily či ohrožovaly všechna pole šachovnice (zvažujte po řadě šachovnice 8 × 8; 2 × 2; 3 × 3; 4 × 4; 5 × 5; 6 × 6; 7 × 7). Úloha VIII/2: Jaký nejmenší počet a) králů, b) střelců, c) koňů potřebujeme na šachovnici 8 × 8, aby všechna pole byla obsazena nebo ohrožena? Úloha VIII/3: Jaký nejmenší počet královen je třeba, aby obsadily či ohrožovaly všechna pole – ale ne sebe navzájem? B) Úlohy o maximálním počtu figur Nejznámější úloha, která nechybí snad v žádné publikaci o hlavolamech na šachovnici, je úloha VIII/4: a) Kolik lze na šachovnici (8 × 8) maximálně umístit královen, aniž by se vzájemně ohrožovaly? b) Zkuste nejdřív snadnější úlohu: na šachovnici 4 × 4 postavte čtyři královny, které se vzájemně neohrožují. Úloha VIII/5: Kolik lze na šachovnici 8 × 8 umístit maximálně figurek šachových koníčků, aby se vzájemně neohrožovaly?

C) Další „klasické úlohy“ Úloha VIII/6: Postavte na šachovnici 8 × 8 čtyři dámy tak, aby napadaly co nejvíce polí. Úloha VIII/7: Postavte na šachovnici osm dam tak, aby útočily na minimální počet polí. Úloha VIII/8: Určete minimální počet dam na šachovnici 8 × 8, aby a) ohrožovaly všechna pole, ale ne sebe navzájem, b) ohrožovaly všechna pole a vzájemně se chránily. (Najděte pro každý případ aspoň jedno vhodné rozestavení figurek.) D) Procházení šachovnice krokem šachového koně a jiných figur Úloha VIII/9: Projděte krokem šachového koně na šachovnici 3 × 3 všechna pole mimo prostředního. Úloha VIII/10: Projděte krokem šachového koně všechna pole šachovnice 4 × 3. Úloha VIII/11: a) Projděte s králem všechna pole šachovnice (8 × 8) tak, aby do žádného pole nevstoupil vícekrát, aby se jeho (neuzavřená) cesta nikde neprotínala a aby obsahovala maximální počet úhlopříčných kroků (král může jít všemi směry, pouze však o jedno pole): Kolik udělá kroků diagonálním směrem? b) Najděte (za stejných podmínek) nejdelší možnou uzavřenou dráhu krále na šachovnici 8 × 8. Úloha VIII/12: Projděte s královnou všechna pole šachovnice tak, aby do žádného pole nevstoupila vícekrát. Podmínky pohybu:

a) cesta patnácti tahy, neuzavřená, b) uzavřená cesta z 16 tahů.

Úloha VIII/13: Na každém políčku šachovnice stojí kůň. Mohou si šachoví koně vyměnit místa (každý s nějakým jiným) na šachovnici a) 4 × 4, l b) 5 × 5?

PŘÍLOHA – ŘEŠENÍ ÚLOH Úloha I/1 – řešení: Předpokládáme-li, že se vejde do 1 cm3 20 zrn, tedy do 1 m3 20 . 106 zrn, pak by odměna zaujímala 922 337 203 685 m3, tedy přibližně 920 . 109 m3. Úloha I/2 – řešení: Představíme-li si sýpku 4 m vysokou, 10 m širokou a x m dlouhou, pak 4 . 10 . x (m3) = 902 . 109 (m3) , x = 23 . 109 (m) Úloha I/3 – řešení: Délka sýpky by byla 23 . 106 km, tedy (protože délka rovníku je asi 40 000 km) sýpka by mohla být 575 krát obtočená kolem rovníku.) Úloha I/4 – řešení: Nad ČR by zrna sahala do výše 12 m. Úloha I/5 – řešení: (Jak by se změnil výpočet, kdyby byla zrna větší a do 1 cm3 by se jich vešlo jen 15?) Celkově by zaujímala 1,2 . 1012 m3 , sýpka by byla dlouhá 30 . 106 km a mohla by obtočit zeměkouli 750 krát. Nad celou ČR by zrna tvořila vrstvu 15 m vysokou. Úloha II/1a – řešení:

Úloha II/1b – řešení:

Úloha II/2a – řešení:

Úloha II/2b – řešení:

Úloha II/3 – řešení:

a) n = 2k, je n2 = 4k2; 4|n2 ; počet polí je dělitelný číslem 4, b) Je-li n = 2k + 1, je n2 = 4k2 + 4k + 1; 4|(n2 – 1); počet polí je dělitelný číslem 4.

Tedy rozdělit lze vždy. Úloha III/1 – řešení:

a) Ano, lze. Řešení je snadné – použijeme 18 dominových kostek. b) Zdá se, že řešení neexistuje. Uvažujeme: původně bylo na šachovnici 18 políček bílé a

18 černé barvy. Vyřadíme-li protilehlá políčka na diagonále, bude jedné barvy stále 18 políček, druhé jen 16. Každou kostkou domina pokryjeme jedno bílé a jedno černé políčko. Řešení tedy neexistuje.

d) Stejná úvaha jako b). c); e) Nyní získáme 17 bílých a 17 černých políček. Mělo by je pokrýt 17 dominových kostek. Vytvořme na šachovnici souvislou uzavřenou cestu („hada“), kde se střídá bílé a černé pole. Jsou-li ona dvě políčka na této cestě vedle sebe, získáme souvislou (neuzavřenou) cestu se sudým počtem políček, kterou můžeme pokrýt dominovými kostkami. Nesousedí-li ona dvě políčka, pak jejich vyřazením získáme 2 souvislé (neuzavřené) cesty, obě se sudým počtem polí, obě lze pokrýt kostkami domina. [Je-li první vyřazené

políčko černé a druhé vyřazené bílé, pak cesta od 1. ke 2. začíná bílým políčkem a končí černým, cesta od 2. k 1. začíná černým a končí bílým.]

Úloha III/2 – řešení: b) Přicházejí v úvahu obdélníky 5 × 4 nebo 2 × 10. Řešení se ale nedaří nalézt.

Pro důkaz neexistence řešení si představme, že tvary jsou vyřezány z nějaké šachovnice, tj. jsou černo-bíle vybarveny. (obr.)

Obr.

První čtyři tvary mají stejný počet černých a bílých čtverečků; poslední tvar má ale tři čtverce jedné a jeden druhé barvy. Dohromady mají 11 čtverců jedné barvy a 9 druhé; každý obdélník však má stejný počet čtverců jedné i druhé barvy. Pokrytí tedy provést nelze. Úloha III/3 – řešení: Uvádíme řešení pro jeden tvar pentamina (obr.).

(Na podobných skládáních je založena komerční hra UBONGO.) Úloha III/4 – řešení:

a) Jednoduché – jistě se podařilo. b) Zdá se, že nemá řešení: tvarů by mělo být devět (36 : 4 = 9).

Vypomozme si představou, že opět jsou tvary vyřezány z nějaké šachovnice; dostaneme dva typy tvarů: první typy (bude jich x) mají tři černé čtverečky a jeden bílý; druhé typy (bude jich 9 – x) mají tři bílé čtverečky a jeden černý. Na šachovnici je osmnáct černých polí. Má platit x . 3 + (9 – x) . 1 = 18 3x + 9 – x = 18 2x = 9 x = 4,5 SPOR! (x je počet tvarů, musí tedy jít o celé číslo)

Úloha III/5 – řešení: Jedno z možných:

Úloha III/6 – řešení: Dvě z možných. (Existuje asi 10 000 způsobů, jak všechny tvary pentamina vložit do čtverce 8 × 8 (s tím, že budou čtyři pole neobsazena).) Úloha je dosti snadná, pokud nepředepisujeme polohu oněch čtyř polí.

Úloha III/7 – řešení: 5 × 12 6 × 10 4 × 15 5 × 6

Úloha IV/1 – řešení: a) b)

V V P V V P V V P V V V P V V P V V V P V V P P V V P V V V P V V P V

V P V V P V V P V V P P V V P V V V P V V P V V V P V V P P V V P V V

Úloha IV/2 – řešení: a) b)

Úloha V/1 – řešení: čtverců o straně 1 . . . . . . . 25 čtverců o straně 2 . . . . . . . 16 čtverců o straně 3 . . . . . . . 9 čtverců o straně 4 . . . . . . . 4 čtverců o straně 5 . . . . . . . 1

čtverce nad trojúhelníky s odvěsnami 1; 1 (o stranách 2 ) . . . . . . . 16

čtverce nad trojúhelníky s odvěsnami 2; 2 (o stranách 22 ) . . . . . . . 4

čtverce nad trojúhelníky s odvěsnami 1; 2 (o stranách 5 ) . . . . . . 2 . 9

čtverce nad trojúhelníky s odvěsnami 1; 3 (o stranách 10 ) . . . . . 2. 4

čtverce nad trojúhelníky s odvěsnami 1; 4 (o stranách 17 ) . . . . . 2 . 1

čtverce nad trojúhelníky s odvěsnami 1; 1 (o stranách 13 ) . . . . . 2 . 1 Všech čtverců je 25 + 16 + 9 + 4 + 1 + 16 + 4 + 2 . 9 + 2 . 4 + 2 . 1 + 2 . 1 = 105. Úloha V/2 – řešení: obdélníky se stranami 1, 2: počet 2 . 4. 5 = 40 obdélníky se stranami 1, 3: počet 2 . 3. 5 = 30 obdélníky se stranami 1, 4: počet 2 . 2. 5 = 20 obdélníky se stranami 1, 5: počet 2 . 1. 5 = 10

obdélníky se stranami 22,2 : počet 2 . 3. 3 = 18

obdélníky se stranami 23,2 :1, 2: počet 2 . 2. 2 = 8

obdélníky se stranami 24,2 :počet 2 .1. 1 = 2

obdélníky se stranami 33,22 :: počet 2 . 1. 1 = 2

obdélníky se stranami 52,5 : počet 2 . 2 = 4 Úloha V/3 – řešení: Celkem 50 čtverců. Úloha VI/1 – řešení: Začneme 2. řádkem shora: předpis přikazuje vyplnit všech 6 políček. Tím je zřejmé, že všechna zbylá políčka v sloupci a) a f) budou volná. Ve sloupci b) mají být vybarvena čtyři políčka za sebou (mohou být v řádcích 1. – 4. nebo 2. – 5.; určitě bude vybarveno políčko

P V V V V V V V P V V V V V V P V V V V V V V V V V V V V P V V V V P

V V V V P P V V V V P V V V P V V V V V V V V V V V V V V V V V V P V

v řádku třetím a protože pro tento řádek je předpis 3, budou vyplněny i čtverečky ve sloupcích c) a d) tohoto řádku, ale ve sloupci e) bude políčko nevybarvené). Z toho plyne, že ve sloupci e) musí být vyplněna první dvě políčka shora, tudíž zbytek prvního řádku bude nevybarvený (předpis pro 1. řádek uvádí jen jedno vybarvené pole) a ve sloupci b) budou vybarvena pole v 2. – 5. řádku shora. Sloupec c) i e) má již dvě vybarvená pole – zbývající budou nevybarvená. Zbývají již jen 2 pole ve sloupci d) – obě budou vybarvená. Tím je křížovka vyřešena – získali jsme obraz (schématické zobrazení dlouhonohého psa).

1 4 2 4 2 1 1 6 3 1 – 1 1 – 1 a b c d e f

Úloha VI/2 – řešení:

1 3 – 2 9 5 9 3 – 2 1

1 – 1 0 0 x 0 x 0 0 3 0 0 x x x 0 0 3 0 0 x x x 0 0 5 0 x x x x x 0 5 0 x x x x x 0 5 0 x x x x x 0

1 – 1 0 0 x 0 x 0 0 2 – 2 0 x x 0 x x 0 3 – 3 x x x 0 x x x

Úloha VI/3 – řešení: Vzkaz zní AŽ V PÁTEK V OSM Úloha VI/4 – řešení: Pro snadnější orientaci označíme řádky a sloupce tak, jak je na šachovnici obvyklé (sloupce zleva doprava a, b, c, d, e, f, g, h, řady zdola nahoru 1 až 8. Plné pole označíme „zásah“.

• 3. řádek (zdola) je volný, • 8. řádek (tj. první shora) je úplný (2 zásahy, mezera, zásah, mezera, zásah, mezera,

zásah – to je celkem 8 polí), • sloupec a) má již vyplněno pole a8; všechna ostatní budou volná, • nyní je jednoznačně určen 1. řádek (zdola): volné pole, 5 zásahů, mezera, zásah, • vidíme, že dole je umístěn křižník – zásahy musí být na polích c2, e2, pole b2, d2, f2,

g2 musí být volná; zásah bude na h2,

• sloupec d) musí mít zásah i na poli d7; d6, d5, d4, d3 a d2 jsou volná; také řádek 7 má kromě pole d7 všechna ostatní pole volná,

• sloupec b) má zásahy b6, b5, b4, • v sloupci c) je zásah na c5, zbylá pole jsou volná (kromě výše určených zásahů c1, c2), • nyní uvažujme řádek 4., na který je třeba umístit 3 sousedící zásahy. Určitě budou na

polích f4 a g4 (k nim pak patří buď e4 nebo h4), • ze sloupce g) vidíme, že pole g5 bude volné (již je v sloupci g obsazeno g4, tedy

všechna ostatní musí být volná) – zásah (pro „parník“) bude na f5 a e4 – zbývající pole v řádku 5 jsou volná, i f6 je volné, i h4 i e6 (lodě nesmí sousedit ani „přes roh“),

• zbývá umístit poslední zásah – na h6. Umístění je jednoznačné; udává ho obrázek.

8 7 6 5 4 3 2 1 a b c d e f g h

Obr.

Úloha VI/5 – řešení: Je trojí možné umístění

Úloha VI/6 – řešení:

Úloha VII/1 – řešení: Uvažme, pro které dominové kostky existuje jen jedno umístění (jistě ne pro 1 – 1, tam je pět možností; pro kostku 5 – 3 je možností dokonce osm), ale pro kostky 1 – 0, 1 – 3, 1 – 5 a 0 – 5 je jen jedna poloha. Vyznačme ji. Pak získáme jen jedno možné umístění pro 0 – 4 a 0 – 2. Z hlediska možné podoby kostek lze nyní vyznačit i 1 – 1, 1 – 4, 4 – 4, 5 – 4, 5 – 3, 2 – 1 a 4 – 3. Všude, kde by tyto dvojice stály vedle sebe, oddělíme je výrazně – a opět můžeme vyznačit další kostky. Fáze řešení ukazují obrázky. Podobných úloh lze lehce vytvořit mnoho. Vyznačíme dvojice, pro něž je jen jediné umístění (1 – 0, 1 – 3, 1 – 5, 0 – 5), tím získáme jedinou možnost i pro 0 – 4 a 0 – 2.

Vidíme, že lze uzavřít i dvojice 1 – 1, 1 – 4, 4 – 4, 4 – 5, 2 – 1, 4 – 3, 5 – 3. Všude, kde čísla z uzavřených dvojic stojí vedle sebe, oddělíme je výraznou čarou.

Zbývá dokončit – uzavřít dvojice 5 – 5, 3 – 3, 4 – 2 a 3 – 2. V levém horním rohu jsou dvě možnosti pro dvojice 0 – 0 a 0- 3 (vodorovně nebo svisle). Úloha VIII/1 – řešení: Pro šachovnici 8 × 8 je potřeba osm královen. Jedno z jejich umístění (kterých je 638) je a6; d1; e5; f8; h3. Pro šachovnice 2 × 2 i 3 × 3 stačí královna jedna; pro desku 4 × 4 jsou třeba královny dvě (jejich umístění např. a1; c3 nebo a2; d2 nebo b2, b3). (Další možnosti získáme užitím překlopení nebo otočením šachovnice.)

Úloha VIII/2 – řešení: Králů devět (např. a1, a4, a7; d1, d4, d7; g1, g4, g7), střelců osm (např. d1, d2, d3, d4, d5, d6, d7, d8), koňů dvanáct (např. b6, c2, c3, c5, c6, d3, e6, f3, f4, f6, f7, g3), věží osm (lze je umístit na diagonálu).

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Obr.

Na obr. na šachovnici 8 × 8 je jedno z možných umístění šachových koňů tak, aby byla všechna pole obsazena nebo ohrožována (tyto úlohy pro různé šachovnice mají zajímavá, esteticky přitažlivá, symetrická řešení – viz obr.). Šachovnice 4 × 4

Šachovnice 5 × 5

Šachovnice 6 × 6

Šachovnice 7 × 7

Úloha VIII/3 – řešení: Na šachovnici 4 × 4 . . . . . 3 královny, např. a1, b3, d2 (dvě základní možnosti), na šachovnici 5 × 5 . . . . . 3 královny, např. a1, b4, d3 (dvě základní možnosti), na šachovnici 6 × 6 . . . . . 4 královny, např. a3, c6, d1, f4 (sedmnáct základních možností), na šachovnici 7 × 7 . . . . . 4 královny, např. a2, b6, d1, e5 (jedna základní možnost). Úloha VIII/4 – řešení: Počet dam, které lze umístit na šachovnici, aniž by se vzájemně ohrožovaly, lze řešit pro šachovnice s různým počtem polí: 3 × 3: dvě dámy (a1, b3) 4 × 4: čtyři dámy (a3, b1, c4, d2) 5 × 5: pět dam (a1, b4, c2, d5, e3 nebo a2, b5, c3, d1, e4) 6 × 6: šest dam (a2, b4, c6, d1, e3, f5) 7 × 7: sedm dam (např. a1, b3, c5, d7, e2, f4, g6) 8 × 8: osm dam (a6, b3, c7, d2, e4, f8, g1, h5; a1, b6, c8, d3, e7, f4, g2, h5; a4, b6, c8, d2, e7, f1, g3, h5; a2, b6, c1, d7, e4, f8, g3, h5; a2, b4, c6, d8, e3, f1, g7, h5; a3, b6, c8, e4, f1, g7, h5; a6, b3, c1, d8, e4, f2, g7, h5; a8, b4, c1, d3, e6, f2, g7, h5; a2, b6, c8, d3, e1, f4, g7, h5; a7, b2, c6, d3, e1, f4, g8, h5; a3, b6, c2, d7, e1, f4, g8, h5). Pozn.: Lze využít odvozená řešení. Např. na šachovnici 5 × 5 postavíme pět dam do základního rozložení a1, b4, c2, d5, e3. Pomocí otočení o 90° získáme rozmístění a4, b2, c5, d3, e1. Otočením původní pozice o 180° dostaneme pole a3, b1, c4, d2, e5 a otočením původní pozice o 270° dostaneme a5, b3, c1, d4, e2. Doplníme-li druhé základní rozestavení a2, b5, c3, d1, e4, vyplníme tak celou šachovnici. Lze tedy na ni umístit 25 dam pěti různých barev tak, že se královny téže barvy neohrožují. Úloha VIII/5 – řešení: Na šachovnici 8 × 8 lze umístit 32 šachových koňů. Všechny budou stát na polích jedné barvy a budou ohrožovat jen pole druhé barvy. Úloha VIII/6 – řešení: Při umístění c5, d1, g6, h2 – zbudou jen 2 nenapadnutá pole. Úloha VIII/7 – řešení: Při umístění b1, b2, f2, g1, g3, g7, h2, h7.

Úloha VIII/8 – řešení:

a) 5 královen, např. a1, b3, c7, f2, g6, b) Také pět královen, např. b4, c4, d4, e4, h4.

Úloha VIII/9 – řešení:

Úloha VIII/10 – řešení: Lze využít graf, v němž spojíme čísla polí, která lze jedním krokem koně spojit.

Pak vybereme cestu, která spojí všechna pole (nebude uzavřená). Na obrázku jsou dvě možnosti cesty přes všechna pole.

Úloha VIII/11 – řešení:

Kroků diagonálním směrem bude 49. Každý takový krok totiž vede přes uzel šachovnice (bod společný čtyřem polím). Úloha VIII/12 – řešení: a1) a2) b)

Úloha VIII/13 – řešení:

a) Po menším úsilí zjistíme, že na šachovnici 4 × 4 si mohou vyměnit vzájemně místa koně, např. označení na obr. týmž písmenem

a b c d e f g h b a d c f e h g

b) Případ 5 × 5 se vzpírá experimentálnímu nalezení řešení. Uvažme, že na šachovnici 5 × 5 je vždy 13 polí jedné barvy a 12 druhé. Kůň svým tahem přejde vždy na pole druhé barvy. Pro 13 koní, stojících na polích jedné barvy však existuje 13 polí druhé barvy, kam by mohli „doskočit“.

Literatura: GARDNER, M.: Mathematical puzzles and Diversions. V ruském překladu Matěmatičeskije govololomki i razvlečenija. Moskva, Mir, 1971. MAREK, V. – Kalendovský, J.: Dáma a šach jako zábava, trénink ducha a sport. Portál, Praha 2001.