MATEMATIKA

nacionalni ispit za učenike drugoga razreda gimnazije u školskoj godini

2006./2007.

ispitni katalog za nastavnike

u siječnju 2007.

Struktura ispita Ispit traje 90 minuta i sastoji se od dvaju dijelova. Oba su dijela pismena. Tijekom rješavanja II. dijela ispita dopuštena je upotreba džepnoga računala.

Ispit sadrži tri vrste zadataka: zadatke višestrukoga izbora, zadatke kratkih odgovora i zadatke kratkih odgovora s potpitanjima.

Zadatci višestrukoga izbora nude četiri odgovora. Učenik zaokružuje slovo ispred točnoga odgovora.

Zadatci kratkih odgovora za rješavanje zahtijevaju nekoliko povezanih koraka koje učenik treba prikazati.

Zadatci kratkih odgovora s potpitanjima također zahtijevaju da učenik prikaže postupak rješavanja: sastoje se od više pitanja vezanih uz istu problemsku situaciju. Situacija može biti apstraktna ili iz svakodnevnoga života. Potpitanja ne moraju biti međusobno zavisna.

Detaljna struktura ispita prikazana je u tablici.

Trajanje Tip zadataka Broj zadataka

I. dio 30 minuta zadatci višestrukoga izbora 12 – 16

II. dio 60 minuta zadatci kratkih odgovora 4 – 8

Zadatci kratkih odgovora s potpitanjima 2 – 3

Način bodovanja i određivanje rezultata U I. dijelu (zadatci višestrukoga izbora) boduju se samo točni odgovori. Nema djelomičnoga (polovičnoga) bodovanja. Svaki ispravno riješen zadatak donosi jedan bod, a neispravni odgovori ne donose negativne bodove. Učenici bilježe svoje odgovore na posebnome listu koji se potom obrađuje strojno.

U II. dijelu (zadatci kratkih odgovora i zadatci kratkih odgovora s potpitanjima) boduje se učenikovo postavljanje zadatka, prikazani postupak i točni odgovori. Učeničke uratke obrađuju uvježbani ocjenjivači po standardiziranoj shemi za ocjenjivanje.

Uspješnost učenika na ispitu određuje se tako da ostvareni bodovi prvoga dijela u ukupnom rezultatu sudjeluju s jednom trećinom, a ostvareni bodovi drugoga dijela s dvjema trećinama. (Ti su omjeri u skladu s predviđenim vremenom pisanja testa.) Ukupan se rezultat prikazuje kao postotak zaokružen na dvije decimale.

Primjerice: učenik koji na prvom dijelu postigne 8 od ukupno 14 bodova, a na drugom 20 od

ukupno 38 bodova postiže ukupan rezultat: 1 8 2 20 54.14%3 14 3 38⋅ + ⋅ =

Pribor Na nacionalnom ispitu iz Matematike učenici smiju koristiti pribor za pisanje i brisanje. Učenici smiju koristiti i geometrijski pribor (nije obavezan).

Upotreba džepnoga računala na I. dijelu ispita nije dopuštena, a na II. dijelu jest. Za potrebe nacionalnoga ispita iz Matematike za učenike 2. razreda gimnazija potrebno je džepno računalo s kojim je moguće određivati vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Udio sadržaja u strukturi nacionalnoga ispita za 2. razrede gimnazija 2006./2007.

Brojevi i algebra

10% Funkcije

30% Jednadžbe i nejednadžbe

30%

Geometrija 20%

Modeliranje 10%

• razlikovati skupove

, , ,N Z Q R (*) • elementarno računati

( , , , :+ − ⋅ korjenovati, potencirati, određivati apsolutne vrijednosti, zaokruživati) (*)

• poznavati i koristiti znanstveni zapis realnog broja (*)

• koristiti postotke i omjere (*)

• zapisivati skupove realnih brojeva intervalima i prikazivati ih na brojevnom pravcu (*)

• provoditi operacije s potencijama i korijenima (*)

( )• znati formule za: ;

; ;

2a b±

( )3a b± 2 2a b− 3 3a b± i znati ih koristiti (*)

• znati računati s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima (*)

• iz zadane algebarske formule izraziti jednu

• poznavati pojam

funkcije i načine njezinoga zadavanja

• određivati i tablično prikazivati funkcijske vrijednosti

• poznavati linearnu funkciju i njezin graf (*)

• poznavati funkciju apsolutne vrijednosti (*)

• poznavati kvadratnu funkciju i njezin graf

• znati ulogu vodećega koeficijenta kvadratne funkcije

• poznavati pojam i značenje, te znati odrediti tjeme, diskriminantu i nul-točke kvadratne funkcije

• odrediti minimum/maksimum kvadratne funkcije

• određivati tijek kvadratne funkcije

• prepoznavati svojstva kvadratne funkcije

• rješavati linearne

jednadžbe i nejednadžbe i jednadžbe i nejednadžbe koje se na njih svode (*)

• rješavati i diskutirati kvadratnu jednadžbu

• poznavati pojam diskriminante kvadratne jednadžbe i njezin značaj

• poznavati i primjenjivati Vièteove formule

• prepoznati i rješavati jednadžbe koje se svode na kvadratne (bikvadratne i slične jednadžbe)

• odrediti kvadratnu jednadžbu iz zadanih uvjeta

• rješavati jednostavnije jednažbe s (*)

• rješavati sustave linearnih i kvadratnih jednadžbi algebarski i

• znati elementarnu

geometriju trokuta, uključujući Pitagorin poučak i njegov obrat (*)

• znati elemente kružnice i kruga (*)

• razlikovati mnogokute i znati njihova svojstva (*)

• odrediti mjere ravninskih likova (duljina, opseg, površina) (*)

• poznavati trigonometriju pravokutnoga trokuta

• koristiti džepno računalo za određivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija šiljastoga kuta i obrnuto

• primjenjivati trigonometriju pravokutnoga trokuta u planimetriji

• koristiti koordinatni sustav na pravcu i u ravnini (očitati koordinate točaka u koordinatnom sustavu)

• prikazivati kompleksne brojeve u Gaussovoj ravnini

• geometrijski interpretirati apsolutnu vrijednost

Rješavati zadatke koji se svode na primjenu kvadratne jednadžbe, kvadratne funkcije ili trigonometrije pravokutnoga trokuta koristeći • brojeve • algebru • geometriju • funkcije • jednadžbe • nejednadžbe • grafički prikaz

veličinu pomoću drugih (*) • poznavati skup

kompleksnih brojeva i kompleksne brojeve zapisane u standardnom obliku

C

• poznavati pojam konjugirano kompleksnoga broja i njegova svojstva

• poznavati pojam apsolutne vrijednosti (modula) kompleksnoga broja

• računati (+, −, ⋅ , :) u skupu C

• znati cjelobrojne potencije broja i

• koristiti džepno računalo za računske operacije

• računati s jedinicama za duljinu, površinu, obujam, vrijeme, masu i novac (*)

zadane u nekom od oblika

20 0

2

1 2

( ) ( )

( )( ) ( )( )

f x a x x y

f x ax bx cf x a x x x x

= − +

= + += − −

• iz zadanih svojstava, elemenata ili grafa moći odrediti kvadratnu funkciju i obrnuto

grafički • rješavati kvadratne

nejednadžbe • rješavati sustave

kvadratnih nejednadžbi • grafički prikaz

interpretirati jednadžbama, nejednadžbama i sustavima

(modul) kompleksnog broja

NAPOMENA: U ispitu će se provjeravati usvojenost sadržaja dijela gradiva drugog razreda gimnazija (cjeline: Skup kompleksnih brojeva,

Kvadratna jednadžba, Polinom drugoga stupnja i njegov graf, Trigonometrija pravokutnoga trokuta), ali se pretpostavlja usvojenost

sadržaja gradiva osnovne škole i prvoga razreda gimnazije. Ti su sadržaji označeni (*).

Nacionalni ispit iz Matematike – I. dio (ogledni primjerak)

Svoje odgovore upišite u poseban list za odgovore. Vrijeme rješavanja: 30 minuta. 1.

Apsolutna vrijednost (modul) kompleksnog broja 5 2i+ je: A. 7B. 5C. 29 D. 21

2. Ako je jedno rješenje jednadžbe jednako 2, tada je m jednako:

0123 2 =−+ mxx

A. 4

11

B. 25

C. 4

11−

D. 25

−

3. Funkcija ima: 2( ) 3f x x= +

A. nula nultočaka B. jednu nultočku

C. dvije nultočke

D. tri nultočke

4.

4 cm

3 cm5 cm

α

U pravokutnom trokutu sa slike, sinα jednak je:

A. 34

B. 35

C. 43

D. 45

5.

Koja od ovih jednadžbi ima rješenja 1 2x = − i 2 3x = ?

A. 2 6 0x x+ + =B. 2 6 0x x− + =C. 2 6 0x x+ − =D. 2 6 0x x− − =

6.

U kompleksnoj ravnini zadan je broj z. Broj 1z

jednak je:

0 1

1

Im z

Re z

z

A. 3 25 5

i+

B. 3 25 5

i− −

C. 3 213 13

i− +

D. 3 213 13

i−

7.

Jednadžba ima samo jedno rješenje ako je: 22 3x x k− + = 0

A. 6 4 0k− =B. 6 8 0k+ =C. 9 4 0k+ =D. 9 8 0k− =

8.

Na kojoj je slici prikazan graf funkcije 2( )f x x x= − − ?

A.

0

1

1

y

x

B.

0

1

1

y

x

C.

0

1

1

y

x

D.

0

1

1

y

x

9.

Skup , 1 3,−∞ − ∪ +∞ je rješenje nejednadžbe:

A. 2( 1)( 3) 0x x− + >B. 2( 1)( 3) 0x x+ − >C. 2( 1)( 3) 0x x− − + >D. 2( 1)( 3) 0x x− + − >

10.

U pravokutnom trokutu sa slike je b = 10 cm, a za kut α vrijedi 24 7 24sin , cos , tg25 25 7

α α α= = = . Kateta a jednaka je:

a

b

α

A. 24025

cm

B. 7250

cm

C. 2407

cm

D. 7240

cm

11.

Na slici su grafovi funkcije i funkcije g. Funkcija

g zadana je sa:

2( ) 2( 1) 3f x x= − +

0

1

1

y=g (x)

y=f (x)y

x

A. 2( ) 2( 1) 3g x x= − − +B. 2( ) 2( 1) 3g x x= − + −C. 2( ) 2( 1) 3g x x= + +D. 2( ) 2( 1) 3g x x= − −

12.

Ako je z a bi= + kompleksan broj koji nije 0, a njemu konjugiran

broj, tada je :

_z

_z z⋅

A. imaginaran broj B. pozitivan realan broj C. negativan realan broj D. 0

13.

Putanja lopte opisana je funkcijom 21 2 1100 5

h x x= − + + , gdje je h

visina lopte iznad zemlje, a x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja. Veličine h i x izražene su u metrima. Visina najvišeg položaja lopte iznad zemlje je:

A. 4.5 m B. 5 m C. 9 m D. 10 m

14. Za graf funkcije 2( )f x ax bx c= + + sa slike vrijedi:

0 x

y

A. a pozitivno c pozitivno diskriminanta pozitivna

B. a negativno c 0 diskriminanta 0

C. a negativno c negativno diskriminanta 0

D. a pozitivno c 0 diskriminanta negativna

Nacionalni ispit iz Matematike – II. dio (ogledni primjerak) Za rješavanje koristite predviđeni prostor uz svaki zadatak. Prikažite čitav postupak rješavanja.

Vrijeme rješavanja: 60 minuta.

1. Izračunajte . 2007 2(1 )i+

Rješenje: Odgovor: __________________

3 boda

2. Riješite jednadžbu . 22 5 12x x+ − = 0Rješenje:

Odgovor: __________________

3 boda

3. Odredite najmanji kut pravokutnoga trokuta kojemu su katete 12 cm i 17 cm. Rješenje: Odgovor: _____°_____'_____''

3 boda

4. Opseg pravokutnika je 15 cm, a površina mu je 14 cm2. Odredite duljine njegovih stranica. Rješenje:

Odgovor: Duljine stranica pravokutnika su _____ cm i _____ cm.

4 boda

5. Izračunajte nultočke funkcije Odredite koordinate tjemena 2( ) 2 6 2.5.f x x x= − +

njezinoga grafa, te nacrtajte graf. Rješenje:

0 1

1

y

x

Odgovor: Nultočke:____________ Tjeme: ______________

6 bodova

6. Odredite koeficijente a, b, c kvadratne funkcije 2( )f x ax bx c= + + čiji je graf prikazan

na slici.

y

x0-2 1

1

Rješenje: Odgovor: a = _____, b = _____, c = _____.

5 bodova

7. Napišite 5 kao umnožak nekih dvaju kompleksnih brojeva kojima su i realni i imaginarni dijelovi različiti od 0. Rješenje: Odgovor: ________________________

3 boda

8. NIZ BRDO, UZ BRDO Odmorišta A i B nalaze se na dvama susjednima brežuljcima. Put između njih prikazan je na slici:

27 m

20 m 16 m45°25'

68°

AB

Koliki put treba prijeći da bi se iz mjesta A stiglo do mjesta B? (Zaokružite konačan rezultat na cijeli broj metara). Rješenje: Odgovor:__________m

4 boda

9. DIJAGONALE

Ukupan broj dijagonala konveksnoga n-terokuta dan je formulom ( 3( )2

n nd n −=

) .

Za konveksne mnogokute odredite: a) ukupan broj dijagonala 10-erokuta

Rješenje: Odgovor: __________________

1 bod

b) n-terokut u kojem je ukupan broj dijagonala jednak 119, a zatim n-terokut u kojem je ukupan broj dijagonala jednak 185

3 boda

Rješenje: Odgovor: ______________________________ ______________________________ c) za koje je sve vrijednosti prirodnoga broja nbroj dijagonala konveksnoga 3 boda n-terokuta manji od 50. Rješenje: Odgovor: __________________