Matematika összefoglaló

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

1

Matematika összefoglaló

A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése,gyakorló feladatok

Összeállította:

Deák Ottó mestertanárÁltalános- és Felsőgeodézia Tanszék


2

A bemutató vázlata

• Bemutatkozás, a konzultáció célja• Tapasztalatok a matematika középiskolai

oktatásáról• A középiskolai tananyag vázlatos és gyors

áttekintés• A Matematika Tanszék mintadolgozatának

megoldása• További mintapéldák megoldása• Tanácsok a matematika tanulásához


3

Bemutatkozás

• Deák Ottó mestertanár, BME Építőmérnöki Kar, Általános- és Felsőgeodézia Tanszék

• ELTE TTK Matematikus diploma• 33 év egyetemi oktatói tapasztalat• Kb. 40 év matematika korrepetálás

középiskolásoknak• Az I. évf. 7. tankör osztályfőnöke a 2010/2011.

tanévben• Segítőim az évfolyam mentorai (diák patrónusai)• Letöltés: http://www.agt.bme.hu/staff_h/deak


4

Tapasztalatok I.

• A BME-n a matematika kiemelt fontosságú alaptárgy– A felvételin döntő jelentősége van– Minden műszaki szaktárgy rá épül– Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít– Az egyik első szűrő a mérnökké válás folyamatában

• Szerepe és súlya a középiskolában– Megnövekedett tananyag– Csökkenő követelmények– Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában


5

Tapasztalatok II.

• Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi oktatásban:– egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel

érkeznek a hallgatók az I. évre;– a lexikális ismeretek nagy része hiányzik („benne van

a függvény-táblában”!);– gyenge számolási készség (számológépek

használata);– a feladat-megoldási rutin hiánya (időhiány, más

elfoglaltság miatt);– a felvételinél nem követelmény az emelt szintű

matematika érettségi.


6

Következmények

• Az előbb felsorolt tényezők hatása az egyetemi oktatásra:– az alapozó tárgyakban magas bukási arány;– az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is

tanítani kell;– a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy

lemorzsolódás (pl. geodézia).

• Védekezési mechanizmusok az egyetem részéről:– matematika-felmérő íratása;– felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás

anyag megtanítása).


7

Matematika összefoglaló

• Tematikus összeállítás• A középiskolai tananyag fontos fejezetei• Alapfogalmak, definíciók, főbb képletek, fontos

tételek• Nem pótolja a tankönyveket!• Szerepe: – gondolatébresztés, – hiány-feltárás, – figyelmeztetés


8

Matematikai jelölések az anyagban

• Szimbolikus jelölések az anyagban:– : a megadott értékek közelítően egyenlőek– : minden olyan elem, amely…– : létezik olyan elem, amely…– : az előzőekből következik– : eleme a magadott halmaznak– : nem eleme a halmaznak– : a megadott halmaz részhalmaza (valódi)– : halmazok egyesítése (uniója)– : halmazok közös része (metszete)– : a megadott elemek összege


9

Algebrai kifejezések I.

• Algebrai kifejezés fogalma, elemei– Számok– Változók– Paraméterek– Műveleti jelek– Zárójelek

• Számok a kifejezésekben, számítási élesség– Természetes számok– Egész számok– Racionális számok– Valós számok (irracionális szám fogalmával)


10

Algebrai kifejezések II.

• Műveletek algebrai kifejezésekkel– Zárójelek szerepe, felbontása– Racionális kifejezések, műveletek törtekkel– Kiemelés, összevonás, egynemű kifejezés fogalma– Fontosabb algebrai azonosságok

páratlannNnbbabaababa

párosnNnbbabaababa

Nnbbabaababa

bababa

bbabaaba

bbaaba

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

,,

,,

,

33

2

1221

1221

1221

22

32233

222


11

Hatványozás

• Ismételt szorzás, egyszerűbb jelölés• Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése

mn

m

n

mnnmmn

mnmn

n

aa

a

aaa

aaa

aaaa

q pq

p

nnnn

n

n

aa

aa

aaa

a

aa

1

1

00

0

n

nn

nnn

b

a

b

a

baba


12

Gyökvonás

• Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma

• Műveletek gyökös kifejezésekkel

nn yaya

xaxa

2

mnn m

nn

aa

aa

b

a

b

a

baba


13

Törtek gyöktelenítése

• Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik

cb

ccbba

ccbb

ccbb

cb

a

cb

a

cb

cba

cb

cb

cb

a

cb

a

b

ba

b

b

b

a

b

a

n nnn n nn

n nnn n nn

n nnn n nn

nnnn

121

121

121


14

Oszthatóság I.

• Az egész számok körében értelmezzük:– Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma– Maradék nélküli és maradékos osztás– Összetett és prím szám

• Az algebra alaptételeMinden egész szám (sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára

• Prímfelbontás előállítása

• Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

prímszámp,pppn ikr

kk r 2121


15

Oszthatóság II.

• Oszthatósági szabályok– 2: páros számok– 3: számjegyek összege osztható 3-mal– 4: utolsó két jegy osztható 4-gyel– 5: utolsó számjegy 0 vagy 5– 6: páros és osztható 3-mal– 7: 3-as csoportok váltakozó előjelű összege osztható 7-tel– 8: utolsó három jegye osztható 8-cal– 9: számjegyek összege osztható 9-cel– 10: utolsó jegye 0– 11: páros helyiérték összege – páratlan helyiérték összege

osztható 11-gyel


16

Függvények I.

• Kapcsolat 2 halmaz elemei között

• Általában számhalmazok közötti művelet– Alaphalmaz, képhalmaz– Értelmezési tartomány

• Df A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f értelmezhető

– Értékkészlet • Rf B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f az Rf-beli

pontokban felvesz értékként

• Függvény inverze (megfordítása)

By,Axahol),x(fy;BA:f

AB:fBA:f 1


17

Függvények II.

• Függvények tulajdonságai– Monotonitás

• Szigorúan monoton növő, monoton növő

• Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó

– Korlátosság• Felülről korlátos

• Alulról korlátos

• Korlátos

)x(f)x(filletve),x(f)x(fxx,Dx,x f 21212121

)x(f)x(filletve),x(f)x(fxx,Dx,x f 21212121

11 K)x(fDx,K f

22 K)x(fDx,K f

2121 K)x(fKDx,KK f,


18

Függvények III.

• Függvények tulajdonságai– Paritás

• Páros

• Páratlan

– Határérték

– Folytonosság• Az függvény folytonos az pontban, ha

,

– Periodikusság

xfxfDx,:f f

xfxfDx,:f f

A)x(fxx,Dx,,AA)x(flim f

xx000

0

:f fDx 0

00

xf)x(flimxx


19

Függvények IV.

• Függvények megjelenítése, grafikonja

• Függvények megadása– táblázattal– kifejezéssel– egyenlettel– grafikonnal

))x(f,x(P)x(fyDx,:f f


20

Függvények V.

• Függvények transzformációja– f(λ·x) - széthúzás λ-szorosra az X tengely

irányába– f(x+a) - eltolás balra a-val az X tengely irányába– c·f(x) - széthúzás c-szeresre az Y tengely

irányába– f(x) + t - eltolás t-vel az Y tengely irányába


21

Elemi függvények

• Tulajdonságok ismerete: a korábbi fogalmak értelmezése az adott függvényre

• Fontosabb függvények:– Konstans függvény;– Lineáris függvény;– Abszolutérték függvény;– Másodfokú (parabola) függvény;– Egészrész, törtrész függvény;– Lineáris törtfüggvény;– Logaritmikus, exponenciális függvények;– Trigonometrikus függvények.


22

Elsőfokú (lineáris) egyenletek

• Olyan algebrai kifejezések, amelyeket = jel kapcsol össze, és benne betűvel jelzett mennyiségek is szerepelnek.

• Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is.• Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon

értékének meghatározása, amelyeket az egyenletbe helyettesítve, az egyenlőség két oldala azonosságot fejez ki.

• A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk meg (mi az?).


23

Lineáris egyenlőtlenségek

• Megoldásuk: mint az egyenleteknél• Eltérés: ha negatív számmal osztunk vagy

szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik• A megoldás általában egy halmaz (intervallum)


24

Többismeretlenes egyenletek

• Megoldási módszerek:– kiküszöböléssel– helyettesítéssel

• Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk) vagy összefüggőek (végtelen sok megoldásuk van).


25

Másodfokú egyenletek

• Általános alakjuk:

• Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendő• Megoldóképlet:

• Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényező):

02 cxbxa

a

cabbx

2

42

2,1

a

bxx 21 a

cxx 21 021 xxxx


26

Exponenciális egyenletek

• Az ismeretlen a kitevőben található• Azonosságok használatával:– átalakítás alakra, amiből az fv

szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható;

– új ismeretlen bevezetésével visszavezetés másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.

21 kifejezéskifejezés aa

21 kifejezéskifejezés

xa

xa xa


27

Logaritmikus egyenletek

• Az ismeretlen a logaritmus alatt található• Azonosságok használatával:– átalakítás alakra, amiből

a fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható;

– új ismeretlen bevezetésével visszavezetés első- vagy másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.

21 kifejezéskifejezés xa xa

2log1log kifejezéskifejezés aa xalog


28

Szögfüggvények I.

• Derékszögű háromszögekben értelmezzük

• Néhány elemi összefüggés:

c

bc

a

cos

sin

a

bctg

b

atg

cos

sin

cossin

tg

ctgtg

1cossin 22


29

Szögfüggvények II.

• Addíciós azonosságok:

• Kétszeres szögek:

• Egyszerű átalakítások:

tgtg

tgtgtg

1

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

2

22

1

22

sincos2cos

cossin22sin

tg

tgtg

2

2cos1cos

2

2cos1sin


30

Szögfüggvények III.

• További összefüggések:

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

2cos

2sin2sinsin

2cos

2sin2sinsin

s


31

Trigonometrikus egyenletek

• Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus azonosságokat!

• Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy szögfüggvény szerepeljen benne.

• A kapott egyenletet megoldjuk vagy visszavezetjük új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre.

• A megoldás értelmezése:– periódikusság miatti additív konstansok alkalmazása;– a megoldás általában párban jelenik meg (két

szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke).


32

Sorozatok I.

• Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más szóval egy leképezés a természetes számok halmazáról a valós számok halmazára:

• Jellemző mennyiségei:– : a sorozat első tagja– : a sorozat n-dik tagja– : az első n tag összege

• Definiálása– explicit képlettel– implicit (rekurzióval)

n,...,,i,a,N:a i 21

1a

na

nS


33

Sorozatok II.

• Fontosabb számsorozatok:– Számtani

• a szomszédos tagok különbsége állandó

– Mértani• a szomszédos tagok hányadosa állandó

– Fibonacci• minden tag az előző kettő összege

n

dnan

aaS;dnaa nnn

2

12

21 11

1

1

11

11

q

qaS;qaa

n

nn

n

,...),n(aaa;a;a nnn 4311 1221


34

Vektorok• Irányított szakasz a síkban vagy a térben• Jellemzői:

– állása (melyik egyenessel párhuzamos);– iránya (merre mutat);– hossza (távolság a kezdő- és a végpont között).

• Nem jellemző:– kezdő- vagy támadási pontjának helye

• Műveletek vektorokkal– Számmal való szorzás– Összeadás, kivonás– Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám)– Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy újabb vektor)

• Ábrázolása koordinátarendszerben– helyvektor (kezdőpontja az origóI


35

Geometria I.

• Fontosabb geometriai témák és fogalmak:– Síkidomok osztályozása– Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei:

• Thalesz tétel, Pithagorasz tétel• Számítási módszerek: sinus- és cosinus tétel

• Szögfelező tétel• Derékszögű háromszögben befogó- és magasság tétel• Súlypont, magasságpont, oldalfelező, szögfelező tulajdon-

ságai

cosbabac:tételinuscos

sin

c

sin

b

sin

a:tételussin

2

2

222


36

Geometria II.

• A kör és fontosabb tulajdonságai:– A kör részei: középpont, sugár, átmérő, körív,

körszelet, körcikk– Középponti- és kerületi szögek tétele– Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok tétele– Húrnégyszög, érintőnégyszög tétele– Háromszögbe, háromszög köré írt kör


37

Geometria III.

• További fontosabb fogalmak és tételek:– Párhuzamos szelők tételei és megfordításuk– Síkidomok, háromszögek hasonlósága és

egybevágósága– Síkidomok, háromszögek kerülete, területe– Szabályos sokszögek tulajdonságai– Síkbeli transzformációk


38

Koordinátageometria I.

• A geometria számszerűsítése, geometriai alakzatok egyenletekkel történő megadása

• Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus megoldást nyernek (egyenletek használata, megoldása)

• Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan azonosság, amelyet csak az objektum pontjai elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk)


39

Koordinátageometria II.

• Az egyenes egyenletei:– Irány vektoros egyenlet

• Adott:• Egyenlet:

– Normál vektoros egyenlet• Adott: • Egyenlet:

– Két pontos átmenő egyenes egyenlete• Adott: • Egyenlet:

– Meredekségével adott egyenes egyenlete• Adott: • Egyenlet:

010212

00021

yvxvyvxv

y;xP,v;vv

00

000

yBxAyBxA

y;xP,B;An

112112

222111

yyxxxxyy

y;xP,y;xP

00

000

xxmyy

y;xP,m


40

Koordinátageometria III.

• A kör egyenlete• Adott:• Egyenlete:

• A kör egyenletének általános alakja

222 rvyux

r,v;uC

022 DyCxByAxA


41

Polinomok I.

• A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek.

• A polinomban a számokkal szorzott hatvány-szorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük.

• A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk.

• A polinomokkal műveletek végezhetők– összeadás, kivonás, szorzás, osztás

http://hu.wikipedia.org/wiki/Monom


42

Polinomok II.

• Polinomok (maradékos) osztása:– Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának

és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük

– Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból

– A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást

– A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó

– Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk


43

Polinomok III.

• Polinomok (maradékos) osztása:– Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának

és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük

– Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból

– A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást

– A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó

– Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk


44

Mintazárthelyi

• A feladatlapon csak egy helyes választ lehet megadni

• A feladat szövegét figyelmesen olvassák el!• Csak a biztos megoldásokat írják be, ne

tippeljenek!• A részszámításokat minden esetben el kell

végezni, de külön lapon.• A megoldás sorrendje nem feltétlenül a

számsorrend.


45

Mintazárthelyi feladatlap


46

1. feladat

Megoldás:

a

aa

a

aa

a

a

a

a

a

a

11

1

1

1

11

Helyes válasz: B


47

2. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: D

2040025

10000

10

1010

25

4254

lglg


48

3. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: C


49

4. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: D

c

bcbcb

a

aaaa. 1 222 bbbbbb aaaaa.

cblogclogblogcblog. aaaa 3


50

5. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: C

01101

1101

01

0

2

2

xxxha,x/x

x

xxxha,x/x

x

xx

:ezért,xha,tőértelmezhexlg


51

6. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: C

4

1

2

1

2

130

2

1150

2

1

7522

175752

2

17575

sinsin

sincossincossin


52

7. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: C

f(x)

g(x)h(x)


53

8. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: B

5

1

20

34

20

141441

20

3

20

12

4

12

20

1

5

1

2

5

2

1

4

12

213

142

12

2

4

141214

TTT

TTT

TT

TTTTTT


54

9. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: A

h

km

h

km

h

km

hh

km

t

sv

h

hkmkm

v

sth

hkmkm

v

st

75368

30092

300

23013892

60

46

100

4692

60

46

60

46

100

46

100

46

2

22

1

11


55

10. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: B

1941

1961

2

19611

2

141

141

22

22

22

22

xx

xx

xxxx

xx

xx


56

11. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: D

qm

pnc

m

n

q

pc

nmqpc

darab

q

pc

q

pcV

össz

össz


57

12. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: A

)xsin(

2

xsin

2

xsin 1

2

x

sin


58

13. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: E

222

22

22

22

424

1624

0442164

0448

yx

yx

yx

yyxx

424 r);,(O


59

14. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: A

4312932

45

2

2193

2

59

2

7393

932

5

2

77225

yxyx

yx

yx:e

);(n);(F);(B);(A


60

15. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: B

x,x,:e

x,

x,

x

4806404

34

3Ennek

640:utánév2

80csökkenés%20Évente

:értékEredeti


61

További mintapéldák

• Az alábbi feladatok megoldását külön oldalon közöljük

• A példák önálló megoldását javasoljuk, a kidolgozott megoldást ellenőrzésre használják

• További feladatok megoldása segít a felkészülésben

• Ajánlott segédlet: Egységes érettségi feladatgyűjtemény – Matematika (Konsept-H Könyvkiadó, 2002)


62

Példák I.

1) Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az elsőt az indulók 70 %-a, a másodikat pedig az indulók 60 %-a oldotta meg. Minden induló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen?

2) Számológép használata nélkül állapítsa meg, melyik nagyobb a következő számok közül: vagy 249 221


63

Példák II.

3) Fejezze ki c-vel az alábbi kifejezéseket, ha . Tegye meg a szükséges kikötéseket is!

4) Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket:

blogc a

b

aloga

3bloga

)a(a

aaa 1

11

32

2

2

21

253

ss

ss

a

11

11

11

)ba(logc a


64

Példák III.

5) Végezze el az alábbi polinomos osztást. Mennyi lesz a művelet maradéka?

6) Egy háromszög egyik szöge a másik két szög számtani közepe. A két nagyobbik szög együttvéve akkora, mint a legkisebb szög háromszorosa. Mekkorák a háromszög szögei?

7) Melyik az az ötjegyű szám, amely után egy 1-est írva, háromszor akkora számot kapunk, mintha az elejére írnánk egy 1-est?

132145574 22346 xx:xxxxx


65

Példák IV.

8) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget:

9) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyen az alábbi f(x) függvény értelmezhető?

10) Három szám összege 114. Lehetnek egy mértani sorozat első három tagja, vagy egy számtani sorozat 1., 4. és 25. tagja is. Mely számokról van szó?

23

42

x

x

)xsin(

)x(tg)x(f

21


66

Példák V.

11) Vízszintes sík talajon álló 100 m magas felhőkarcolóból megmérjük egy egyenes útszakasz két végpontjának depressziószögét és az útszakasz látószögét. A mért értékek rendre 4,5º; 5,5 º és 75 º. Mekkora az útszakasz hossza?

12) Adja meg annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C(0;5) pont és érinti a egyenest. 1935 yx:g


67

Megoldások

1) Az egyik feladatot 60%, a másodikat 70% oldotta meg,ezért mindkét feladattal 30% foglalkozott. Tudjuk, hogy ez 9 főt jelent, így a teljes létszám30 tanuló. Ennyien indultak a versenyen.

2) Azonos átalakításokkal kapjuk:

Vagyis a ?? helyére = írható!99

24241249

2221249

??

??

""/??


68

Megoldások

3)

4)

cblogalog)ba(log aaa 1

cblogalogb

alog aaa 1

cblogblog aa 333

aa

aaaa

a

aaaaa

a

aaa

1

1

1

1

1

111

11

3322

3232

1212

112

12

11

111

1

11

1

11

11

11

11

a

a

a

aa

a

a

aaa

aa

a


69

Megoldások

4) (folytatás)

1

21

22

12411

3

21

22

324255

1

3

121

321

21

253

21

21

2

2

)(

)(x

)(

)(x:mert

x

x

xx

xx

ss

ss

,

,


70

Megoldások

5)

0

132

132

32

1452

396

145596

264

132132145574

2

2

23

23

345

2345

456

3422346

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxxxx

xxx

xxxxx:xxxxx


71

Megoldások

6)

7)

756045

1803

12180

3

5

3

43

4

3

5

18032

;;

;

;;

42857

2999997

3300000110

1000003110

x

x

xx

xx


72

Megoldások

8)

megoldás! nincs352

3104

03010403

104

352352

3104

03010403

1043

32422

3

42

x,x

xx

xxx

x

x,x,x

xx

xxx

xx

xx

x

x


73

Megoldások

9)

kxkxkkxk

)xsin(

)xsin(kx

)xsin(tértelmezet)x(tg

)xsin(

)x(tg)x(f

2222

6

52

62

2

1

212

021

21


74

Megoldások

10)

9872

1472

2

43

62

3

1

21144971I.

73

2121

1

3

1213

II.

1141

114I.

23

2

1

2

2

2

a

a

a

dq

ad

aa

qq

qqa

qa

qaqaaqa

qqa

qaqaa


75

Megoldások

11)

911422

753410435512742341043551274

752

34104355

10010055

55127454

10010054

222

2122

21

2

22

11

,t

cos,,,,t

costtttt

,,sin

tt

,sin

,,sin

tt

,sin


76

Megoldások

12)

0910

342510

34

1156003400

0340013409618496

025986344136

02598613634

25625250259114361

251025

9114361

5

3192510

19355

22

22

2

2

2

22

22

222

222

222

222

yyx:k

yyx:k

r

r

r

rD

ryy

ryyyy

ryyyy

yxryyx

yx:gryx:k


77

Tanácsok a matematika tanulásához

• Részvétel az előadásokon• Jegyzet készítése – ha nem ért valamit, akkor

is!• Óra után az anyag átnézése és megértése• Problémás részekről konzultálás évfolyam-

társsal, felsőbb évessel• A gyakorlaton aktív részvétel (kérdezés!)• A feladatok önálló megoldása az óra után• Mintapéldák megoldása (begyakorlás)• Zárthelyire készülés (csoportos feladat-

megoldás)

Documents

Matematika összefoglaló