Matematikai háttér Probability theory and statistics Time interval distributions Arrival processes

PPKE ITK

2008/09tanév

8.félév

(tavaszi)

Távközlő rendszerekTávközlő rendszerekforgalmi elemzéseforgalmi elemzése

TájékoztatásTájékoztatáshttp://digitushttp://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/.itk.ppke.hu/~gosztony/

5.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10. 22

Matematikai háttérMatematikai háttér

1.1. Probability theory and statisticsProbability theory and statistics

2.2. Time interval distributionsTime interval distributions

3.3. Arrival processesArrival processes

4.4. The Poisson processThe Poisson process

Az angol megnevezések megismerése is célkitűzésAz angol megnevezések megismerése is célkitűzés

Bevezetés 1.Bevezetés 1.


Bevezetés 2.Bevezetés 2.

A beérkezési folyamatokat A beérkezési folyamatokat sztochasztikus pont sztochasztikus pont folyamatokkalfolyamatokkal lehet leírni. lehet leírni.

A pont folyamat leírása alkalmas beérkezések A pont folyamat leírása alkalmas beérkezések megkülönböztetésére, de nem foglalkozik a megkülönböztetésére, de nem foglalkozik a beérkezett „valamik” (pl. foglaltsági igények) beérkezett „valamik” (pl. foglaltsági igények) jellemzőivel.jellemzőivel.

Forgalmi vizsgálatokhoz Forgalmi vizsgálatokhoz • az igényeket kiszolgáló erőforrások az igényeket kiszolgáló erőforrások műszaki műszaki

jellemzőit,jellemzőit, • az igények az igények időtartam eloszlásátidőtartam eloszlását és és • az igények az igények beérkezési folyamatátbeérkezési folyamatát kell kell

elsősorban ismerni. elsősorban ismerni.


Pont folyamatok 1.Pont folyamatok 1.

Time [min]

HívásokHívásokbeérkezésebeérkezése(példa)(példa)


Pontfolyamatok 2.Pontfolyamatok 2.

Egyszerű pontfolyamatokEgyszerű pontfolyamatok, egy időpontban csak , egy időpontban csak egyetlen érkezés (telefonhívások: finom időskála).egyetlen érkezés (telefonhívások: finom időskála).Az Az i-diki-dik hívás a hívás a TTii időpontban érkezik. időpontban érkezik.

A A [0,t[[0,t[ félig nyitott intervallumban félig nyitott intervallumban NNtt hívás érkezik.hívás érkezik.NNtt vv. Ha vv. Ha tt növekszik, növekszik, NNt t nem csökken.nem csökken.

Érkezések közötti idő (Érkezések közötti idő (interarrival timeinterarrival time))Érkezések közötti idő eloszlása (Érkezések közötti idő eloszlása (interarrival time interarrival time distribution)distribution)

( )( )


IntervalsIntervals of the set of real of the set of real numbers numbers are of the following are of the following ........ different types (where different types (where aa and and bb are real numbers, are real numbers, with with aa < < bb):):

• • • • • • • • • itself, the set itself, the set of all of all real numbersreal numbers

IntervallumokIntervallumok

International Standard ISO 31-11International Standard ISO 31-11defines defines the belowthe below notation for intervals, notation for intervals, which is the one commonly which is the one commonly taught in many European and South taught in many European and South American countries (e.g., Germany, American countries (e.g., Germany, France, Brazil) in France, Brazil) in secondary schoolsecondary school::

]]aa,,bb[ = { [ = { xx | | aa < < xx < < bb } } [[aa,,bb] = { ] = { xx | | aa ≤ ≤ xx ≤ ≤ bb } } [[aa,,bb[ = { [ = { xx | | aa ≤ ≤ xx < < bb } } ]]aa,,bb] = { ] = { xx | | aa < < xx ≤ ≤ bb } }

This notation is somewhat easier to This notation is somewhat easier to remember (inwards pointing bracket remember (inwards pointing bracket for inclusion, outwards-pointing bracket for inclusion, outwards-pointing bracket for exclusion).for exclusion).

http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(mathematics)http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(mathematics)



Darabszám megjelenítésDarabszám megjelenítésNumber representation: NNumber representation: Ntt

t = állandót = állandó

NNt t változóváltozódarabszámdarabszám

időidő



Időtartam megjelenítésIdőtartam megjelenítésInterval representation: TInterval representation: Tii

TTi i változóváltozó

n = állandón = állandó

darabszámdarabszám

időidő



A két megjelenítés kapcsolata:A két megjelenítés kapcsolata:

Vagyis Vagyis NNtt akkor és csak akkor kisebb akkor és csak akkor kisebb nn-nél, ha az igények beérkezése-nél, ha az igények beérkezéseközötti közötti n n darab idő-intervallum együttes hosszúsága, darab idő-intervallum együttes hosszúsága, TTnn , hosszabb vagy , hosszabb vagy egyenlő egyenlő t t ––vel. (vel. (XX11 = = TT11 – – TT00 ). A megfigyelés kezdeti időpontja: ). A megfigyelés kezdeti időpontja: TT00= 0= 0


Darabszám megjelenítés 1.Darabszám megjelenítés 1.

FelújításiFelújításifüggvényfüggvény

Feltételezés: Feltételezés: tt létezik és véges. létezik és véges.Intenzitásnak tekinthető.Intenzitásnak tekinthető.


Darabszám megjelenítés 2.Darabszám megjelenítés 2.

Egyszerű pontfolyamatokraEgyszerű pontfolyamatokra

ésés

Poisson Poisson folyamatrafolyamatraIDC = 1IDC = 1

!!

variancevariance

expectationexpectation


Időtartam megjelenítés 1. Időtartam megjelenítés 1.

4. A két egymást követő igény megjelenése közötti4. A két egymást követő igény megjelenése közöttiXXii időtartamokra:időtartamokra:

(Az eloszlás önmagával végzett (i-1)-szeri konvolúcója(Az eloszlás önmagával végzett (i-1)-szeri konvolúcójamegadja az i-dik igény megjelenéséig eltelő időtartammegadja az i-dik igény megjelenéséig eltelő időtartameloszlását. vv-k összegének eloszlása !)eloszlását. vv-k összegének eloszlása !)

Felújítási folyamatFelújítási folyamat (renewal process) olyan(renewal process) olyanpontfolyamat, amelyben a beérkezések közötti időpontfolyamat, amelyben a beérkezések közötti időintervallumok sztohasztikusan függetlenek és egyformaintervallumok sztohasztikusan függetlenek és egyformaeloszlásúak. Igy (Xeloszlásúak. Igy (X11 kivételével): kivételével):

(IID = Identically and Independently Distributed)(IID = Identically and Independently Distributed)


Időtartam megjelenítés 2. Időtartam megjelenítés 2.

5. Az egy véletlen kezdeti időponttól az első igény 5. Az egy véletlen kezdeti időponttól az első igény beérkezéséig eltelő idő külön kezelendő.beérkezéséig eltelő idő külön kezelendő.

1

2

2

m

IDI = 1 IDI = 1 a Poisson a Poisson folyamatra.folyamatra.

IDC könnyebben meghatározható mérésekből (digitális IDC könnyebben meghatározható mérésekből (digitális technológia !), mint IDI. Utóbbi érzékenyebb a mérési technológia !), mint IDI. Utóbbi érzékenyebb a mérési pontosság iránt.pontosság iránt.


Példák 1.Példák 1.

1. Mérések: azonos időközönként (passzív, scanning)1. Mérések: azonos időközönként (passzív, scanning) azonos darabszámra (aktív)azonos darabszámra (aktív)

2. Forgalom lebonyolító képesség vizsgálata2. Forgalom lebonyolító képesség vizsgálata• blokkolt vizsgáló hívások (időbeli átlag !)blokkolt vizsgáló hívások (időbeli átlag !)• N (pl. N=1000) hívásonként blokkolt hívások N (pl. N=1000) hívásonként blokkolt hívások (darabszám átlag !)(darabszám átlag !)

3. Hívás statisztikák3. Hívás statisztikák• előfizetői mérés: sikertelen hívások száma előfizetői mérés: sikertelen hívások száma (darabszám átlag !) (darabszám átlag !)• szolgáltató mérése: minden vonal foglalt szolgáltató mérése: minden vonal foglalt (időbeli átlag !) (időbeli átlag !)






Pontfolyamatok jellemzői 1.Pontfolyamatok jellemzői 1.

(Darabszám szemlélet)(Darabszám szemlélet)

1. Stationarity1. Stationarity

Gyakorlatban hasznos a fenti meghatározás.Gyakorlatban hasznos a fenti meghatározás.

Más meghatározások (klf erősség!):Más meghatározások (klf erősség!):• Minden XMinden Xii legyen IID legyen IID• Várható érték és szórásnégyzet időeltolásra invariánsVárható érték és szórásnégyzet időeltolásra invariáns• Statisztikai egyensúly (a folyamat idő szerinti Statisztikai egyensúly (a folyamat idő szerinti deriváltjai 0-val egyenlőek, Erlang vezette be)deriváltjai 0-val egyenlőek, Erlang vezette be)



2. Independence2. Independence

Ha ez minden Ha ez minden tt-re érvényes, akkor -re érvényes, akkor Markov folyamatMarkov folyamat..((Emlékezet nélküliségEmlékezet nélküliség !!))

Ha ez a tulajdonság csak bizonyos időpontokban Ha ez a tulajdonság csak bizonyos időpontokban érvényes, akkor ezek neve: érvényes, akkor ezek neve: equilibrium pointsequilibrium points, , vagy vagy regeneration pointsregeneration points. A folyamat emlékezete . A folyamat emlékezete véges, az utolsó ilyen pontig tart.véges, az utolsó ilyen pontig tart.



PéldákPéldák



3. Simple point proccess3. Simple point proccess

Időtartam szemlélet esetében nem lehet szakadás a Időtartam szemlélet esetében nem lehet szakadás a t=0 pontbant=0 pontban

PéldaPélda. Közlekedési balesetek időpontjai egyszerű pontfolyamatot . Közlekedési balesetek időpontjai egyszerű pontfolyamatot alkotnak. A sérült kocsik száma, vagy a balesetet szenvedett alkotnak. A sérült kocsik száma, vagy a balesetet szenvedett emberek száma nem-egyszerű folyamat többszörös eseményekkel.emberek száma nem-egyszerű folyamat többszörös eseményekkel.


Little tétele 1.Little tétele 1.

Görbék köztiGörbék köztitávolságok:távolságok:

rendszerbenrendszerbenlévők számalévők száma

BothBoth arrival and departure pro arrival and departure proccesses are considered asesses are considered as stochastic processesstochastic processes ... ...

==

==

==a k. beérkezés ésa k. beérkezés ésa k. távozás köztia k. távozás köztiidőtartamidőtartam

egy igény bent egy igény bent töltött idejetöltött ideje





Minden várakozási rendszerre érvényes!!Minden várakozási rendszerre érvényes!!



Példák:Példák:

Várakozási helyekreVárakozási helyekre::

Kiszolgáló eszközökreKiszolgáló eszközökre::

)T(W)T()T(L

Documents

Matematikai háttér Probability theory and statistics Time interval distributions Arrival processes