1

Matematikai logika

Készítette: Dr. Ábrahám István

A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

2

Arisztotelész (ie. IV. század) egyik meghatározó műve a matematikai (vagy formális)logika alapjainak lerakása.

Alapfogalmak

Ítélet: egyszerű állítás, kijelentés, amelyhez egyértelműen tartozik egy logikaiérték. Ha az ítélet hamis akkor 0 a logikai érték, ha igaz, akkor 1.

A matematikai logikában eleve adottnak tekintjük a logikai értéket és azt keressük, hogyaz ítéletekből képzett következtetések igaz vagy hamis volta hogyan függ az ítéletek logikaiértékeitől.

Logikai művelet: ítéletekhez ítéletek hozzárendelése, a művelet logikai érté-kének megadásával.

Ha az adott logikai értékű ítéletekkel következtetéseket hajtunk végre (műveleteketvégzünk), akkor a matematikai logikában azt tárgyaljuk, hogy egy logikai kifejezés logikaiértéke (igaz vagy hamis volta) hogyan függ a művelet típusától és a benne szereplő íté-letek összes lehetséges logikai értékeitől.

Az ítéleteket az ábécé nagybetűivel szokás jelölni.

Például: A ítélet: Esik az eső. B ítélet: Fúj a szél.

Művelet A-val és B-vel: Esik az eső és fúj a szél.Vagy: Ha esik az eső, akkor fúj a szél.

Sokféle műveletet végezhetünk ítéletekkel. Ezek mind 3 alapműveletre vezethetők vissza.

3

Alapműveletek ítéletek között

Az ítéletek közötti művelet definiálása azt jelenti,hogy megadjuk az „eredmény” (követ-keztetés) lehetséges logikai értékeit a kiindulási (bemenő) ítéletek logikai értékeinek összes lehetséges változatában.

A.) Binér műveletek (Binér: két adott ítélethez rendelünk egy harmadikat.)

1. Diszjunkció (egyesítés)

Definíció:Az A és B ítéletek diszjunkcióján azt a harmadik (C-vel jelölt) ítéletet értjük,amely akkor és csak akkor hamis, ha A is és B is hamis, máskor igaz.

Jelölése: A B = C, illetve lehet így is: A + B = C.

0111BA

0101B

0011A

Más fogalmazás: C igaz (logikai értéke 1), ha vagy az A, vagy a B, vagy mindkettő igaz.A diszjunkciót szemléltethetjük táblázattal („igazságtábla”):

Az igazságtáblázatokkal a matematikai logikai összefüggéseketegyszerűen tudjuk bizonyítani.

2. Konjunkció („közös rész”)

Az A és B ítéletek konjunkciója az a(hozzájuk rendelt) C ítélet, amelyakkor és csak akkor igaz, ha A is és B is igaz.

Jelölése: A B = C, illetve: A B = C.

0001AB

0101B

0011AIgazságtáblázata:

4

B.) Unáris művelet

3. Negáció

Az A ítélet negációján azt az ítéletet értjük, amelynek logikai értéke ellentettje az Alogikai értékének.

Jelölés: Ā („á negált”). Tehát, ha A igaz,akkor Ā hamis, és ha A hamis, az Ā igaz.

Így az igazságtábla is csak két oszlopból áll:

10A

01A Nyilvánvaló: a negált negáltja maga az eredeti ítélet: .AA

Szoktunk beszélni két speciális (egy logikai értékű) ítéletről,a mindig igaz (1) és a mindig hamis (0) ítéletről.

Ekkor igaz a következő: .és 1001 (A biztosan igaz ítélet negáltja a biztosan hamisítélet és fordítva).

Példa: Igazságtáblázatok felhasználásával igazoljuk a következőt: .BABA Megoldás: elkészítjük a bal- és ajobboldal igazságértékeit az összeslehetséges ítélet érték kapcsolatra:

)AB(0110BA

1010B

1100A

1110AB

0001AB

0101B

0011A

Az A és B logikai értékeinek mindenlehetséges kapcsolatát számba vettük.

Tehát a felírt egyenlőségazonosság.

(Ez a De Morgan azonosságegyik alakja.)

5

Az alapműveletek azonosságai

Az alapazonosságok a halmazelméletben tárgyaltakkal teljesen analógok:

Tautológia: 1. A+A=A 2. A·A=A

Kommutatívitás: 3. A+B=B+A 4. A·B=B·A

Asszociatívitás: 5. A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C6. A·(B·C)=(A·B)·C=(A·B·C)=ABC

Disztributívitás: 7. A(B+C)=AB+AC8. A+B·C=(A+B)(A+C)

Negáltra vonatkozó azonosságok: 9. A+ Ā=1 10. A· Ā=0

Speciális ítéletekre vonatkozó azonosságok: 11. A+1=1 12. A·0=013. A+0=A 14. A·1=A

Ha a halmazok-nál ezeket meg-jegyeztük, akkor csak ismétlünk.

Példa: Bizonyítsuk a 8. azonosságot: A+B·C=(A+B)·(A+C).

Az igazságtábla:

01010101C

00110011B

00001111A3 ítélet esetén a 2 igazságérték 8-féleképpen társítható.

Ekkor a B·C sora: BC: 1 0 0 0 1 0 0 0

Majd a baloldal: A+BC: 1 1 1 1 1 0 0 0

Külön előállítjuk mind a baloldal, mind a jobboldalösszes lehetséges logikai értékeit.

A jobboldalon: A+B: 1 1 1 1 1 1 0 0 és A+C: 1 1 1 1 1 0 1 0

Tehát: (A+B)(A+C): 1 1 1 1 1 0 0 0

Minden esetben az egyenlőség bal- és jobboldalánmegegyeznek a logikai értékek, a szabály igaz.

6

,BABA .BABA illetve:

További műveleti azonosságok

1. Beolvasztási (abszorpciós) szabály: A+AB=A és a duálja: A·(A+B)=A.

2. De Morgan azonosság:

A dualitás elve ezeknél az azonosságoknál is érvényes!

Példa: Bizonyítsuk be, hogy minden A és B ítéletre igaz: BAABABBA Az igazolást igazságtáblázattal végezzük. Az egyes elemi lépések összevonhatók:

0111BA

0111ABABBA

0100AB

0001AB

0010BA

0101B

0011A

Látható, hogy az A és a B minden lehetséges igazságérték párjáraa bal- és jobboldalon ugyanazokat az igazságértékeket kaptuk.Ez azt jelenti, hogy a szabály általánosan igaz.

További műveletek

1. Implikáció

Az A és B ítéletek implikációján azt a C ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor hamis,ha A igaz és B hamis.

Jelölése: A B = C Igazságtáblázattal:

1101BA0101B0011A

7

Az implikáció nyelvi megfelelője a „ha A, akkor B” kapcsolat.

Az implikáció alapműveletekkel helyettesíthető: AB = Ā+B. Ugyanis: A: 1 1 0 0 B: 1 0 1 0 Ā: 0 0 1 1 Ā+B: 1 0 1 1

Ez pedig azonos AB-vel:

1101BA0101B0011A

2. Ekvivalencia

Az A és B ítéletek ekvivalenciáján azt a C ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor igaz,ha A és B logikai értékei azonosak.

Jelölése: AB=C. Igazságtáblázattal: A: 1 1 0 0 B: 1 0 1 0 AB: 1 0 0 1

Az ekvivalencia nyelvi megfelelője:„ha A, akkor és csak akkor B ”.

Más szavakkal: ha A-ból következik B, akkor B-ből is következik A.

Így az ekvivalencia helyettesíthető: AB=(AB)(BA) Az ekvivalencia alapműveletrevisszavezetését ismerjük.

Igazságtáblával: A: 1 1 0 0 B: 1 0 1 0 AB: 1 0 1 1 BA: 1 1 0 1(AB) (BA): 1 0 0 1

Az ekvivalencia alapműveletekre isvisszavezethető igazságtáblázattal:

BA1001ABBA0001AB1000BA

BA1001ABBA1011AB1101BA0101B0011A

8

A Boole algebra

A halmazelmélet és a matematikai logika áttanulmányozása után egyértelműenláthatók az analógiák.

George Boole (1815-1864) már hasonlókat a XIX. században felfedezett.

Boole algebráról akkor beszélünk, ha egy H alaphalmaz részhalmazainak halmazán értelmezünk 3 műveletet, van két kitüntetett elem, és a műveletek az említett 14 alap-azonosságnak tesznek eleget.

A Boole algebra elemei lehetnek egy halmaz összes részhalmazai, alkothatják ítéletek vagyesemények, vagy más objektumok.

A Boole algebrát a közös lényeg megragadása miatt lehet teljesen elvontan, absztraktmódon is tárgyalni.

A Boole algebrát alkalmazhatjuk elektromos áramkörökre is.

Ez vezetett el az elektronikus számítógép meghatározó elemének, a bináris összeadóegységnek a létrehozásához.

Konkrétumokat a bináris összeadó egységről a számítástudományi tárgyakban tanulhatunk.

A fejezet tárgyalását befejeztük.