Matematisk spådom:

en inledning till spelteori

Kathryn HessDépartement de mathématiquesEcole Polytechnique Fédérale de Lausanne

Syftet med spelteori

Att analysera och förutspå deltagarnas beteende i alla slags konflikter

Tillämpningar Ekonomi Statsvetenskap Antropologi Etologi Biologi

Ett spel består av...

åtminstone två spelarespelare; en lista över varje spelares

tillåtna dragdrag; fastställande av en spelrundas

utgångutgång, som beror på spelarnas dragval;

utbetalning till varje spelare av en belöningbelöning, som beror på spelrundans utgång.

En oumbärlig

förutsättningAlla spelare anses vara fullständigt förståndiga:fullständigt förståndiga:

de analyserar läget helt logiskt, sökande efter bästa sättet att göra maximal sin belöning.

Spelteoretikerns mål

Att fastställa vilka utgånger är mest sannolika.

Dagens exempel IckekooperativaIckekooperativa spel med

precis två spelare: Rakel och Konrad. Rakel har m tillåtna drag. Konrad har n tillåtna drag.

r1,...,rm{ }

k1,...,kn{ }

Matriser

är en matris med m rader och n kolonner. Vi skriver även

A=

a11 a12 a13 L a1n

a21 a22 a23 L a2n

a31 a32 a33 L a3n

M M M O M

am1 am2 am3 L amn

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Aij =aij.

Belöningsmatriserna

Matriser med m rader och n kolonner

och därB R( ) B K( )

B R( )ij = Rakels belöning om hon väljer

sitt i:te drag och Konrad väljer

sitt j: te drag

B K( )ij = Konrads belöning om han väljer

sitt j: te drag och Rakel väljer

sitt i:te drag

KommentarDet kan hända att (eller ) är negativnegativ för vissa i och j. Detta betyder bara att Rakel (eller Konrad) förlorarförlorar enheter (kronor eller marknadsdelar eller poäng, osv) när hon väljer sitt i:te drag och Konrad väljer sitt j:te drag.

B R( )ij

B K( )ij

Fångarnas Dilemma: Inledning I

Konrad och Rakel är två förbrytare som tillsammans har förövt ett avskyvärt brott.Nu har de arresterats av polisen och sitter i var sitt fängelsehål.

Fångarnas Dilemma:

Inledning IIDär får de veta att om den ena erkänner allt, och den andra förnekar, då ska den första friges omedelbart, medan den andra får sitta nio år i fängelset.

Fångarnas Dilemma:

Inledning IIIOm båda två erkänner, ska bådadera sitta sex år i fängelset.Om ingen av dem erkänner, kommer polisen endast att kunna bevisa att de begick ett mindre brott. Då ska båda avtjäna bara ett års straff.

Fångarnas Dilemma:Rakels Belöningsmatris

Konrads Drag Förneka Erkänna

Förneka

RakelsDrag

Erkänna

−1 −9

0 −6

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Fångarnas Dilemma:Konrads

Belöningsmatris Konrads Drag

Förneka Erkänna

Förneka

RakelsDrag

Erkänna

−1 0

−9 −6

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Opera eller bio?:Inledning

Rakel och Konrad är sambor. Liksom varje lördag, måste de förhandla om vad de kommer att ägna kvällen åt.

Opera eller bio?:Spelarnas önskemål

Idag vill Rakel gå på bio för att se Bridget Jones Dagbok för tredje gången.

Konrad skulle hellre gå på Operan för att se den nya uppsättningen av Rigoletto.

Opera eller bio?:RakelsBelöningsmatris

Konrads DragOpera Bio

Opera

RakelsDrag

Bio

1 0

0 2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Opera eller bio?:KonradsBelöningsmatris

Konrads DragOpera Bio

Opera

RakelsDrag

Bio

2 0

0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Presidentvalet:Inledning

Både Konrad och Rakel vill bli USA:s president. Men...…för ett antal år sen begick Konrad ett hemskt brott.Rakel har hört talas om det och kan även bevisa att

Konrad är en vulgär brottsling. Och det vet Konrad.

Presidentvalet:

Kampanjstrategi I

Ska Rakel: starkt betona Konrads

brottsliga förflutnaeller inte säga ett knyst om det?

Presidentvalet: Kampanjstrategi II

Ska Konrad: erkänna gråtande och skenbart

ångerfull i en TV intervju med Oprah

eller vägra säga ett enda ord om

affäreneller förneka bestämt att historien

är sann?

Presidentvalet: Politisk analys

Konrads och Rakels politiska rådgivare har beräknat att följande belöningsamatris representerar nettobelopp nettobelopp rösterröster som Konrad skulle vinna, beroende på bådas dragval.

Presidentvalet:

Belöningsmatriser

Konrads Drag

Erkänna "No comment" Förneka

Betona

RakelsDrag

Tyst

Detta är Konrads belöningmatris, men det är klart att det räcker att växla + med - för att få Rakels belöningsmatris.

106 −107 −108

−106 −105 107

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Televisionchefernas Batalj: Inledning

Konrad och Rakel är cheferna på konkurrerande TV-kanaler.De måste bestämma vilka program ska sändas nästa måndag kl. 20.

Televisionchefernas

Batalj: Strategi ISka Rakel välja att sända

Emil i Lönnebergaeller en två timmars hyllning till

Abbaeller Sex in the City: the movie?

Televisionchefernas Batalj: Strategi IISka Konrad sända

Vita lögnereller en footbollsmatch:

AIK mot Djurgårdeneller Expedition

Robinson?

Televisionchefernas Batalj:

Marknadsanalys

Rakels och Konrads assistenter har arbetat hårt för att förespå tittarsiffrorna beroende på vilka program sänds.De har kommit fram till följande matris, där koefficienterna står för Rakels kanals tittarsiffror minus Konrads kanals tittarsiffror.

Televisionchefernas Batalj:Belöningsmatriser

Konrads Drag

RakelsDrag

−10 −5 −15

10 5 −20

20 0 −5

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Analysera ett spel

För att det ska vara sannolikt att Rakel och Konrad väljer drag ri och kj, måste båda tycka att sin belöning inteinte kan förbättras genom att välja ett annat drag, om den andra spelare inte förändrar sitt dragval.

Sannolikhet kräver Sannolikhet kräver stabilitetstabilitet.

Nashjämvikt

Ett par dragval (ri,kj) är en NashjämviktNashjämvikt om

för alla s, och

för alla t.

B R( )ij ≥B(R)sj

B K( )ij ≥B(K)it

Nashjämvikter i våra exempel Fångarnas dilemma Opera eller bio? Presidentvalet Televisionchefernas batalj

Sammanfattning och slutsatser

MatriserMatriser kan användas för att beskriva tydligt icke-kooperativa spel med två spelare.

Ett sätt att hitta sannolika utgånger är att räkna ut NashjämvikterNashjämvikter.

Ett spel kan ha en eller flera Nashjämvikter, eller inga Nashjämvikter alls.

Vi behöver alltså andra begrepp för att föra analyset vidare och djupare.

Hej då!Lycka till!

Televisionchefernas Batalj

R B( ) =

−10 −5 −15

10 5 −20

20 0 −5

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

R K( )=

10 5 15

−10 −5 20

−20 0 5

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Paret (Sex in the City, Expedition Robinson)är alltså den enda Nashjämvikten i detta spel.

Presidentvalet

B K( )=

106 −107 −108

−106 −105 107

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

B R( ) =

−106 107 108

106 105 −107

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Alltså finns det ingainga Nashjämvikter idetta spel.

Dess analys kräver andra begrepp.

Fångarnas dilemma

B(R) =

−1 −9

0 −6

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

B(K)=

−1 0

−9 −6

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Den enda Nashjämvikten är paret (Erkänna, Erkänna)!!

Opera eller bio?

B(R) =

1 0

0 2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

B(K)=

2 0

0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Det finns alltså två Nashjämvikter: paren (Opera, Opera) och (Bio, Bio)