MATEMATYKA zadania domowe dla studentów Ekonomii, rok 2016/17

Zestaw opracowała dr inż. Alina Jóźwikowska

PRACA DOMOWA 1 2015/16EK CIĄGI LICZBOWE

Zad.1

Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym

a) 1

12

n

nan b)

2)!(

)!2(

n

nan c)

na

n

n

)1( .

zad.2 Wykazać ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym

a) n

an

n

)1( b) nnnan 22

Zad.3 Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym.

1) 342 nnan 2) nnan 2 3)nn

nan

4

22

3

4) 12

)1)(31(2

nn

nnan 5)

4

3

12

n

nan 6) nnan 22

7) nnnan 22 8) 133 nnan 9) 322 nnan

10) nnnn

an

2

1

22

11)

13

)4(

n

n

na 12) n

nn

na2

31)(

13) nn

n

na223

5

14)

2

1

425

4234

nn

nn

na 15) 1

n

na

n

n 16) n nn

n na 41 23 .

Zad.4 Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym

1)

n

nn

na

2

23

1

2)

n

nn

na

2

23

14

3)

26

23

11

n

nn

a

4) 2

3

41

n

nn

a

5)

3

2

n

nn

na 6)

n

nn

na

2

32

12

7)

52

2

22

1

3

n

nn

na 8)

3

32

31

n

nn

a

odp:

zad.1 a) malejący, b) rosnący c) niemonotoniczny

zad.2 na przykład a) 1)1(

1

n

n

; b) 220 2 nnn

zad.3 1) , 2) ; 3) ; 4) –3; 5) 16; 6) ; 7) 1; 8) 0; 9) ; 10) 3

2;11) nie istnieje; 12) ; 13) ;

14) 1/8; 15) 0; 16) 6.

zad.4 1) 0; 2) ; 3) 2e ; 4)

3 23

2

ee ; 5) 2e ; 6)

4e ; 7) 4e ; 8) e .

PRACA DOMOWA 2 2015/16EK CIĄGI LICZBOWE

Zad.1 Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym

1) , 2) n

nn

na

12

4

1

3

2

, 3) n

n

nn

na)1(

2

,

4) n

n nna sin2 , 5) n

n

n

na )1( 6) 3)1(

321

n

nan

,

7)

n

n

na

3

1

9

1

3

12

1

4

1

2

11

, 8)

)!3(

)!1()!2(

n

nnan , 9) ,

10) √ (√ √ ) .

Zad.2 ( z kalkulatorem)

Bank oferuje lokaty A, B, C.

Na lokacie A oprocentowanie roczne wynosi 2% a kapitalizacja co rok.

Na lokacie B oprocentowanie roczne wynosi 1,92% a kapitalizacja raz na pół roku.

Na lokacie C oprocentowanie roczne wynosi 1,84% a kapitalizacja co miesiąc.

Obliczyć roczne czynniki oprocentowujące dla poszczególnych lokat.

Która z lokat oferuje najkorzystniejsze warunki oszczędzanie w okresie 4-lat?

Odp:

Zad.1 Wsk. 1-5 zastosować tw. o trzech ciągach

przypomnieć wzory na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

1) 7; 2)

; 3) 1; 4) 1; 5)1 6) 0; 7) 4; 8) 0; 9) √ ; 10) 2.

Zad.2

A 1,02, B 1,01929, C 1,01856. Lokata A.

n nn

na 7432

2

2

2 1n

nn

na 2n

PRACA DOMOWA 3 2015/16EK

zad.1 zadanie powtórzeniowe ze szkoły średniej

Sporządzić wykresy funkcji, określić ich dziedziny i zbiory wartości.

a) 13)( 2 xxf , b) x

xxf

4

3)( , c) xxf 10log)( , d) )(log)(

4

1 xxf , e) 21)( xxxf .

Na podstawie wykresu funkcji umieć określić jej własności (różnowartościowość, ograniczoność, monotoniczność,

parzystość, nieparzystość).

zad.2 Podać wzór i dziedzinę funkcji złożonych hg oraz gh , jeżeli

a) xxh 10log)( , x

xxg 1)( ,

b) xxh )( , xxg sin)( ,

c) 2

1)(x

xh , xxg 3)( .

zad.3 Wyznaczyć wzór, dziedzinę i zbiór wartości funkcji odwrotnych do funkcji

a) 162)( xxf , b)

x

xf

3

21)( , c) )3(log1)( 2 xxf .

Naszkicować wykresy funkcji 1, ff w jednym układzie współrzędnych.

Zad.4 Obliczyć podane granice. Wyniki zilustrować graficznie. Wyciągnąć wnioski o asymptotach funkcji

xexf1

)(

a) x

xe

1

0lim

, b) x

xe

1

0lim

, c) x

xe

1

lim

, d) x

xe

1

lim

.

Zad.5 Wyznaczyć asymptoty funkcji

1

1log)( 10

x

xxf . Podać interpretację geometryczną obliczonych granic.

Zad.6 Obliczyć granice. Wyniki zilustrować graficznie.

a)x

x

x lnlim

0 b)

x

x

x

lnlim

0.

odpowiedzi

zad.2

a) x

xxhgxf

10

10

log

1log)]([)(

; ),1()1,0( fD ;

xxxghxt 1

10log)]([)( ),0()1,( tD

b) xxhgxf sin)]([)( ; RD f ; xxghxt sin)]([)( RDt

c) 2

1

3)]([)( xxhgxf ; }0{\RD f ; xx

xghxt9

1

3

1)]([)(

2 , RDt

zad.3 a) )16()( 2

211 xxf ),01 f

D , ),81 fW ;

b) )1(log)( 321 xxf

, )1,(1 fD RW f 1 ;

c) 32)( 11 xxf RDf

1 , ),3(1 fW

Zad.4 a)0, b) 0, c)1, d) 1 asymptota pozioma 1y , asymptota pionowa prawostronna 0x .

Zad.5 asymptota pozioma 0y , asymptota pionowa lewostronna 1x . asymptota pionowa prawostronna 1x

Zad.6 a) 0, b) .

PRACA DOMOWA4 2015/16EK CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Zad.1 Dla podanych funkcji złożonych wyznaczyć dziedzinę oraz wzory funkcji elementarnych, z których złożona jest

dana funkcja

a) 2

3

12)( x

x

xf b) xxf 4log2)( 32 c)

1

2arcsin)(

2

x

xxf

Zad.2 Dobrać wartości parametru a, tak aby funkcja była ciągła w swojej dziedzinie. Wykonać jej wykres.

3

2

1

34

)(xdlaax

xdlax

xf

Zad.3 Wyznaczyć, o ile jest to możliwe, wartość stałej a tak, aby funkcja była ciągła

1

11

1

)(

xdlaa

xdlax

arctgxf .

Zad.4 Dobrać wartości parametrów b, c, aby otrzymać funkcję ciągłą w R

11

111)(

2

3

xdlaxbxc

xxdlaxxf . Dla dobranych parametrów naszkicować wykres tej funkcji.

ZASTOSOWANIE WŁASNOŚCI DARBOUX

Zad.5 xx

xxf

2

1log)(

2. Korzystając z własności Darboux rozstrzygnąć, czy równanie 0)( xf ma

rozwiązanie należące do przedziału 5,3 .

Zad.6

Uzasadnić, że funkcja 2

21arccos)(

x

xxf w przedziale

2

1,0 przyjmuje wartość 2w .

Zad.7 a) Czy istnieje )1,0(x takie, że xx 42 ?

b) Czy istnieje

2

1,

4

1x takie, że xx 42 ?

Zad.8

Wykazać, że wielomian 133)( 23 xxxxw ma pierwiastek w przedziale )0,1( .

Wyznaczyć przedział o długości 41 , w którym znajduje się ten pierwiastek.

Zad.9

Wyznaczyć przedziały o długości co najwyżej ½ , w których znajdują się pierwiastki równań

a) 015 35 xx b) 034 234 xxx .

odpowiedzi

zad.1

a) 2

3

1)(

x

xxt

, xxg )( , xxh 2)( , tghf )1,0)1,( fD

b) xxt 4)( , xxg 2log)( , 32)( xxh tghf )16,0fD

c) 1

)(2

x

xxg , xxh arcsin)( , ghf RD f

Funkcję nazywamy wymierną, jeżeli można ją przedstawić w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Funkcje t z

przykładu a) oraz g z przykładu c) to funkcje wymierne.

Zad.2 2

5a

Zad.3 )(lim1

xfx

nie istnieje,(różne są granice jednostronne w punkcie 1), zatem nie da się wyznaczyć takiego a, by

funkcja była ciągła .

Zad.4 2,1 cb .

Zad.5 istnieje 5,30 x , takie, że 0)( 0 xf .

Zad.6 Dziedzina przedział 3,3

1,

3)0(

f ,

2)

2

1(

f ,

2,

32

.

Zad.7 a) tak, b) tak.

Zad.8

4

1,

2

1.

Zad.9 a)

2

1,1 b)

2

1,1 ;

4,

2

13 .

PRACA DOMOWA 5 OBLICZANIE POCHODNYCH 2015/16

Zad.1

Obliczyć iloraz różnicowy funkcji 2

1)(

xxf w punkcie 20 x , dla przyrostu argumentu

2

1x .

Podać interpretację geometryczną.

Obliczyć z definicji pochodną funkcji 2

1)(

xxf w punkcie 20 x . Podać interpretację geometryczną.

Zad.2 Obliczyć z definicji pochodną funkcji

a) 14 xxf w punkcie 20 x , b) 4xxf w punkcie Rx 0 ,

c) x

xf1

)( w punkcie 00 x , d) x

xf

1

1w punkcie 30 x .

Zad.3 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji

a) xxf cos)( w punkcie o odciętej 2

0

x ,

b) xxf ln)( w punkcie o odciętej 10 x ,

c) 3)( xxf w punkcie o odciętej 00 x ,

d) xxf arcsin)( w punkcie o odciętej 00 x .

Naszkicować wykres funkcji i tę styczną.

Zad.4 Obliczyć pierwszą pochodną funkcji stosując reguły różniczkowania

1) 28423)( 235 xxxxxf , 2)5 2)( xxxxf , 3)

3 2

1)(

xxxf ,

4) xxxf log)( , 5) xxxf cos)( 3 , 6) xxf x sin2)( ,

7) 32

1)(

3

x

xxf , 8)

x

xxf

ln , 9)

xxxfln

1ln)( .

Zad.5 Obliczyć pierwszą pochodną funkcji (funkcje złożone)

1. uuuf arcsin)( , 2.

w

wwf2

log)( 3 , 3.ttg

tf2

1)( ,

4. xxxf 3sin103)( , 5. 2

2

)(u

euf

u

, 6.x

xarctgxf

1

1)( ,

7. 22 sincos)( tttf , 8. xxxf ln3ln)(3 , 9. xexxf

1

2)( ,

10. xexxf 43)( , 11. 24)( xxxxf , 12.

xarctgxf

1)( .

Zad.6 Obliczyć przybliżoną wartość wyrażeń zastępując przyrost odpowiednio dobranej funkcji jej różniczką

zupełną

a) 99,0ln b) 03,0e c) 51,0arcsin .

ODPOWIEDZI

Zad.1 18

7

2

1

)2(2

3

ff

x

f,

4

1)2( f .

Zad.2 a) 3

2, b) 3

00 4)( xxf , c)

00

02

1)(

xxxf , d)

4

1)( xf .

Zad.3 a) xy 2

b) 1 xy , c) 0y , d) xy .

Zad.4

2) 5 35

2

2

3

xxxf , 3)

3 223

5

xxxf ,

4)x

xxf

10ln2

2log10ln)(

, 5) )sincos3(2 xxxxxf ,

6) xxxf x cossin2ln2 , 7) 2

23

32

294

x

xxxf ,

8) 2)(ln2

2ln

xx

xxf

, 9)

2

2

ln

1ln)(

xx

xxf

.

Zad.5

1. u

uuuf

12arcsin)( , 2.

ww

wwf

)2(

2

3ln

1)(

2

2

3.

t

ttf

3sin

cos2)(

,

4. )3cos10ln31(103)( 3sin xxxf x 5. 3

2 12)(

2

u

ueuf u

, 6.

212

1)(

xxf

,

7. )sinsincoscos(cos2)( 22 tttttttf , 8. x

xxf

1ln3)(

2 , 9. )12()(

1

xexf x , 10.

)43()( 24 xxexf x , 11. 24

)3(2)(

xx

xxxf

, 12.

21

1)(

xxf

.

Zad.6

a) 100

1 b)

100

103 c)

350

1

6

.

PRACA DOMOWA 6 EK 2015/16

Zad. 1 Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji

1. 2)(ln)( xxxf 2. xxxf 3ln)( 3. xxxf ln3ln)( 3

4.x

xxf

ln)( 5. 1)( x

x

exf 6. 24)( xxxxf

7. )1(

12

)( xxexf 8. xex

xf

11

)( 9.2)1(2)( xexf

Zad.2 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym przedziale

a) 2)(ln)( xxxf w przedziale ee ,2

b) xxxf ln3ln)( 3 w przedziale 21 ,ee

c) xexfx

11)( w przedziale

41,2 .

Uwaga. Pochodne funkcji obliczone w zadaniu 1.

Zad.3

Koszt wykonania prac w firmie jest funkcją liczby x zatrudnionych osób .100ln204,0)( 2 xxxk

Przy jakiej liczbie pracowników koszt wykonania prac jest najmniejszy i ile on wynosi ?

Zad.4

Miesięczna sprzedaż S ( w tys. sztuk) pewnego towaru wyraża się wzorem 25

100)(

2

t

ttS , gdzie t oznacza liczbę

miesięcy, która upłynęła od rozpoczęcia sprzedaży. Po ilu miesiącach sprzedaż osiągnie największą wartość? Ile

tys. sztuk wyniesie największa wartość sprzedaży?

Zad.5

Zysk z zależy od wielkości nakładów na reklamę według wzoru 3260)(

x

exxz

, gdzie x nakłady w tys. zł., z –

zysk w tys. zł. Ile należy przeznaczyć na reklamę by osiągnąć jak największy zysk?

Zad.1

1. x

xxxf

2

)4(lnln)(

, 01min f ,

2

4max

16

eef ,

Funkcja rosnąca w przedziałach, ),0( 4e , ),1( , funkcja malejąca w przedziale )1,( 4e .

2 )ln3(lnlnln3)( 232 xxxxxf

Funkcja malejąca w przedziale ),0( 3e , funkcja rosnąca w ),( 3 e , 33min

271

eef

.

3. x

xxf

)ln1(3)(

2 , 2)(max ef , 2)

1(min e

f

Funkcja rosnąca w przedziale ),( 1 ee , funkcja malejąca w przedziałach ),0( 1e , ),( e .

4xx

xxf

lnln2

1ln2)(

, ),1( fD , eef 2min ,

funkcja malejąca w przedziale ),1( e , rosnąca w przedziale ),( e .

5. 2

1

)1(

1)(

xexf x

x

),1()1,( fD

funkcja malejąca w przedziałach )1,( oraz ),1( brak ekstremów

6. 24

)3(2)(

xx

xxxf

4,0fD , )4,0(fD

Funkcja rosnąca w przedziale )3,0( , funkcja malejąca w przedziale 4,3 , 333max f .

7. 23

)1(

1

)1(

23)(

2

xx

xexf xx , 4

27

min )3

2( ef ,

Funkcja malejąca w przedziałach )1,( ,

3

2,1 , ),0( , funkcja rosnąca w przedziale

0,

3

2.

8. x

xe

xxf x

11)(

1

2

, ),0()0,( fD ,

ef

11min

Funkcja malejąca w przedziałach )1,( , ),0( ,funkcja rosnąca w przedziale )0,1( .

9. )1(4)(2)1(2 xexf x

Funkcja rosnąca w przedziale )1,( , funkcja malejąca w przedziale ),1( .

11max f .

Zad.2

a) 0)1()(min,2

fxfee

, eefxfee

)()(max,2

,

b) 2)()()(min 21

, 21

effxf

ee

e

, 2)()(max21 ,

efxfe

e

.

c) e

fxf 1

,2)1()(min

4

1

,

4

4

1

441

,2)()(max

efxf

.

Zad.3

Najniższe koszty przy zatrudnieniu 5 pracowników wynoszą 8,775ln20110

Zad.4

Po 5 miesiącach sprzedaż osiągnie największą wartość 10 tys.sztuk.

Zad.5

Największe zyski przy nakładach 6 tys. zł wyniosą 3,2922160

2

e

PRACA DOMOWA 7 BADANIE FUNKCJI 2015/16

Zad.1 Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wklęsłości oraz przedziały wypukłości funkcji

a) xexxf

1

)1()( , b) x

arctgxf1

)( .

Zad.2 Wyznaczyć tempo zmian wartości funkcji x

xxf

2ln)( .

Zad.3 Dla funkcji xexxf 34)( wyznaczyć

a) przedziały , w których funkcja rośnie i jest wypukła ( "" ),

b) przedziały, w których funkcja maleje i jest wklęsła ( "" ).

Zad.4 Zbadać przebieg zmienności funkcji, naszkicować jej wykres.

1. xxxf ln)( 2. x

xfln

1)( 3. xexxf 2)( 4.

2)1(2)( xexf .

odpowiedzi

Zad.1 a) 4

11

)(x

xexf x

; punkt przegięcia

e

2,1 ; funkcja wypukła w przedziale 1, ; wklęsła w

przedziałach 0,1 oraz ),0( .

b) 22 )1(

2)(

x

xxf

; brak punktów przegięcia, funkcja wklęsła w przedziale 0, ; wypukła w przedziale

),0( .

Zad.2 x

xxf

3ln

2ln)(

,

xx

xxf

4ln

ln26)(

;

w przedziale )1,0( funkcja rośnie coraz szybciej ; w przedziale ),1( 2e funkcja maleje coraz wolniej; w przedziale

),( 32 ee funkcja rośnie coraz szybciej; w przedziale ),( 3 e funkcja rośnie coraz wolniej.

Zad.3 33 )34()( xxexf x

, 23223 )2)(23(3)483(3)( xxxexxxexf xx

.

Funkcja maleje i jest wypukła w przedziałach )0,( oraz ),2( .

Funkcja rośnie i jest wklęsła w przedziale ),(34

32 .

Zad.4

1) xxxf ln)( ; ),0( fD , 0)1( f , 0)(lim0

xfx

,

)(lim xfx

,

x

xxf

2

2ln)(

,

xx

xxf

4

ln)(

eef

212min

, punkt przegięcia )0,1( ,

2) x

xfln

1)( , ),1()1,0( fD

0)(lim0

xfx

,

)(lim1

xfx

,

)(lim1

xfx

, 0)(lim

xfx

xxxf

2ln

1)(

,

xx

xxf

32 ln

ln2)(

, brak ekstremów; punkt przegięcia )

2

1,( 2 e ,

0.5 1 1.5 2

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

3) xexxf 2)( ; ),( fD

)(lim xfx

, 0)(lim

xfx

)2()( 2xxexf x , )24()( 2 xxexf x

00min f , 2max 42 ef

Punkty przegięcia dla argumentów 221 x , 222 x

4) 2)1(2)( xexf ; RD f

0)(lim

xfx

, 0)(lim

xfx

)1(4)(2)1(2 xexf x 11max f

)384(4)( 2)1(2 2

xxexf x

Punkty przegięcia

e

1,

2

1,

e

1,

2

3

1 2 3 4 5

-40

-20

20

40

-5 -4 -3 -2 -1

200

400

600

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PRACA DOMOWA 8 2015/16

Zad.1 Wykorzystać wzór Taylora z drugą pochodną i obliczyć przybliżone wartości

a) 2

3cos b) 4 e c)

2

1sin .

Oszacować dokładność tych przybliżeń. Podać interpretację geometryczną.

Zad.2 Zbadać przebieg zmienności funkcji, naszkicować jej wykres.

1. xex

xf

11

)( 2. xxxf ln2ln)(2 3.

xarctgxf

1)( 4. x

x

exf 4)( .

ODP:

zad.1

a) 22

3

2

2)cos(

!2

1

22sin

2coscos

xcxx gdzie c jest punktem leżącym w przedziale o końcach x,

2

.

2

22

3)cos(

!2

1

22

3

2sin

2cos

2

3cos

c gdzie c jest punktem leżącym w przedziale

2,

2

3 c

4

3

22

3

22

3

2sin

2cos

2

3cos

0025205,08

142,0

4

)3(1

2

1

22

3)cos(

!2

1 222

cR

4

3

2

3cos0025205,0

4

3

b) 4

1

4 ee

200 )0(!2

1)0( xexeee cx

gdzie c jest punktem leżącym w przedziale o końcach x, 0 .

2

004 04

1

!2

1)0

4

1(

ceeee gdzie c jest punktem leżącym w przedziale

4

1,0c

4

5)0

4

1(004 eee

32

3

3216

1

2

10

4

1

!2

1 42

ccc e

eeR

32

3

4

5

4

5 44 e

c) 2

1sin

2

6)sin(

!2

1

66cos

6sinsin

xcxx gdzie c jest punktem leżącym w przedziale o końcach x,

6

.

2

62

1)sin(

!2

1

62

1

6cos

6sin

2

1sin

c gdzie c jest punktem leżącym w przedziale

6,

2

1 c

62

1

2

3

2

1

62

1

6cos

6sin

2

1sin

000281,036

)3(1

2

1

62

1)sin(

!2

1 22

cR

62

1

2

3

2

1

2

1sin000281,0

62

1

2

3

2

1 .