Matematyka_finansowa

1. PROCENT PROSTY I SK×ADANY 1

Matematyka FinansowaPiotr P÷uciennik

1 Procent prosty i sk÷adany

De�nicja 1.1 Odsetkami I nazywamy ró·znic ¾e pomi ¾edzy kwot ¾a kredytu kwot ¾a zwracan ¾a.

De�nicja 1.2 Oprocentowanie lub stopa procentowa i jest to wysokosc odsetek od kredytu, za ustalonyokres trwania tego kredytu, wyra·zona jako procent po·zyczonej kwoty.

De�nicja 1.3 Roczna stopa procentowa R jest to stopa okreslaj ¾aca procent kwoty kredytu, jak ¾a trzebazap÷acic z tytu÷u odsetek za jeden rok trwania tego kredytu.

De�nicja 1.4 Okres bazowy to okres po up÷ywie którego naliczane s ¾a odsetki.

Oznaczmy przez K kwot¾e koncow ¾a lokaty, a przez P kwot¾e pocz ¾atkow ¾a. Wówczas zachodz ¾anast¾epuj ¾ace wzory

a. Odsetki prosteI = Pi:

b. Koncowa kwota lokaty (kredytu) przy jednokrotnym naliczeniu odsetek

K = P + I = P (1 + i):

c. Stopa procentowa w okresie bazowymi odsetki wobec rocznej stopy procentowej

i = Rt

360lub i = R

t

365;

gdzie t jest równe d÷ugosci okresu bazowego wyra·zonego w dniach.

1.1 Kapitalizacja prosta

� Odsetki naliczane s ¾a od kwoty pocz ¾atkowej P;

� Odsetki za n-ty okres bazowy doliczane s ¾a na koniec tego okresu daj ¾ac kwot¾e K:

Koncowa kwota lokaty, przy n-krotnym naliczaniu odsetek

K = P (1 + ni):


1.2 Kapitalizacja z÷o·zona

� Odsetki za n-ty okres bazowy naliczane s ¾a od kwoty za okres poprzedzaj ¾acy.

� Odsetki za n-ty okres bazowy doliczane s ¾a na koniec tego okresu daj ¾ac kwot¾e K:

Koncowa kwota lokaty, przy n-krotnym naliczaniu odsetek

K = P (1 + i)n:

Zadanie 1.1 Oprocentowanie lokaty wynosi 8% w skali roku. Jaki kapita÷musia÷byc na niej ulo-kowany, jesli po 5 latach wartosc lokaty wynios÷a 5000PLN a ponadto a) kapitalizacja jest prosta b)z÷o·zona.

Zadanie 1.2 Ile wynosi roczna stopa kredytu, jesli dnia 1 stycznia po·zyczamy 1000PLN , a dnia 1kwietnia b ¾edziemy musieli zwrócic 1050PLN .

Zadanie 1.3 Jak ¾a kwot ¾e nale·zy zwrócic za 6 miesi ¾acy, je·zeli kwota lokaty wynosi 2000PLN , a rocznastopa procentowa wynosi 9% przy kapitalizacji miesi ¾ecznej.

Zadanie 1.4 Kwot ¾e 2000PLN wp÷acamy na konto o oprocentowaniu 6; 6% i kapitalizacji kwartalnej.Po roku ca÷¾a gotówk ¾e przelewamy na inne konto o oprocentowaniu 7; 2% i kapitalizacji pó÷rocznej.Koszt tej transakcji wynosi 3; 50PLN . Jak ¾a kwot ¾a b¾edziemy dysponowac po kolejnych 2 latach?

Zadanie 1.5 Po ilu latach kapita÷oprocentowany na 10% w skali roku zostanie podwojony jesli a)kapitalizacja jest prosta b)kapitalizacja jest z÷o·zona.

Je·zeli odsetki naliczane s ¾a od pocz ¾atkowej kwoty lokaty, to nazywamy je odsetkami prostymi,a kapitalizacj ¾e prost ¾a. Natomiast je·zeli odsetki naliczane s ¾a za poprzednie podokresy to odsetkinazywamy sk÷adanymi, a kapitalizacje z÷o·zon ¾a.

Zadanie 1.6 Jaka jest wartosc rocznej stopy procentowej, skoro wp÷acaj ¾ac na konto 2000PLN potrzech latach otrzymamy 3147PLN .

Zadanie 1.7 Pocz ¾atkowa kwota lokaty wynosi 1000PLN . Roczna stopa procentowa wynosi 7; 2%.Obliczyc wartosc lokaty po up÷ywie roku, je·zeli bank kapitalizuje odsetki co kwarta÷(co miesi ¾ac).

Zadanie 1.8 Kwot ¾e 1000PLN wp÷acamy na konto o oprocentowaniu 13; 2% i kapitalizacji miesi ¾ecznej.Po 6 miesi ¾acach ca÷¾a gotówk ¾e przelewamy na inne konto o oprocentowaniu 12% i kapitalizacji kwartal-nej Jak ¾a kwot ¾a b¾edziemy dysponowac po kolejnych 6 miesi ¾acach?

Zadanie 1.9 Po ilu latach na lokacie na któr ¾a wp÷acilismy 1000PLN otrzymamy 1500PLN , je·zeliroczna stopa procentowa wynosi 12%.

Zadanie 1.10 Ile stracimy w porównaniu z ulokowaniem pieniedzy w banku, inwestujac kwote 1000PLNi otrzymujac po trzech latach 1250PLN Zak÷adamy, ·ze roczna stopa procentowa w banku wynosi 12%i odsetki sa kapitalizowane co cztery miesiace?

Podr¾ecznik [2]: Zadania 1-7 Rozdzia÷4.

1.3 Kapitalizacja z góry

W przypadku kapitalizacji z góry wyznaczone b¾ed ¾a kolejne wartosc K kapita÷u P: Na pocz ¾atku pier-wszego okresu kapitalizacji do kwoty pocz ¾atkowej P; dopisane s ¾a odsetki Pd: Odsetki te traktowanejako nowa wp÷ata daj ¾a odsetki (Pd) d = Pd2: Odsetki Pd2 znowu traktowane s ¾a jako kolejna wp÷atadaj ¾aca odsetki (Pd) d: Proces ten powtarza si¾e w nieskonczonosc. Wobec tego po jednym okresiebazowym mamy


K = P + Pd+ Pd2 + Pd3 + :::

= P�1 + d+ d2 + d3 + :::

�= P

1

1� d = P (1� d)�1:

Po n okresach bazowych otrzymamy

K = P (1� d)�n:

Zadanie 1.11 Bank A dokonuje kapitalizacji z do÷u przy rocznej stopie procentowej 10%, natomiastBank B z góry przy rocznej stopie 9%. W którym banku bardziej op÷aca si ¾e ulokawac pieni ¾adze narok?

Zadanie 1.12 Wyznacz zale·znosc pomi ¾edzy stop ¾a procentow ¾a z do÷u i z góry.

1.4 Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej

Odsetki za n-ty okres kapitalizacji doliczany jest na koniec tego okresu daj ¾ac kwot¾e Kn:Za÷ó·zmy, ·ze przez pierwszych n1 okresów kapitalizacji stopa procentowa wynosi i1, podczas kole-

jnych n2 wynosi i2 itd. Wówczas wartosc kwoty K0 po n = n1 + n2 + ::: + nr okresach bazowychwynosi

� przy kapitalizacji prostejK = P (1 + n1i1 + n2i2 + :::+ nrir):

� przy kapitalizacji z÷o·zonej

K = P (1 + i1)n1(1 + i2)

n2 :::(1 + ir)nr :

Zadanie 1.13 Obliczyc przysz÷¾a wartosc dwuletniej obligacji podlegaj ¾acej kapitalizacji kwartalnej dlaktórej w ci ¾agu pierwszego roku roczna stopa procentowa jest równa 6%, a drugiego 5%. Wartoscemisyjna obligacji wynosi 100PLN .

Zadanie 1.14 Jaka jest przysz÷a wartosc 18-miesi ¾ecznej lokaty podlegaj ¾acej kapitalizacji miesi ¾ecznej,je·zeli w ci ¾agu pierwszych 6 miesi ¾ecy stopa procentowa wynios÷a 6% kolejnych 6 miesi ¾ecy 4; 8%, aostatnich szesciu 3; 6%?

1.5 Kapitalizacja ci ¾ag÷a

W przypadku kapitalizacji z÷o·zonej je·zeli roczna stopa procentowa wynosi R, a odsetki s ¾a kapitali-zowane m razy w ci ¾agu roku, to stopa procentowa za 1 okres bazowy wynosi Rm natomiast wartosclokaty podlegaj ¾acej kapitalizacji z÷o·zonej po t latach

K = P

�1 +

R

m

�tm:

W przypadku granicznym mamy do czynienia z kapitalizacj ¾a ci ¾ag÷¾a. Dla kapitalizacji z÷o·zonejmamy

K = limm!1

P

�1 +

R

m

�tm= lim

m!1P

�1 +

1mR

�mRRt

= P

"limm!1

�1 +

1mR

�mR

#Rt= PeRt:


Zadanie 1.15 Obliczyc przysz÷¾a wartosc dwuletniej obligacji podlegaj ¾acej kapitalizacji ci ¾ag÷ej dla którejw ci ¾agu pierwszego roku roczna stopa procentowa jest równa 6%, a drugiego 5%. Wartosc emisyjnaobligacji wynosi 100PLN .

Zadanie 1.16 Jaka jest przysz÷a wartosc rocznej lokaty podlegaj ¾acej kapitalizacji miesi ¾ecznej, je·zeliw ci ¾agu pierwszych 6 miesi ¾ecy stopa procentowa wynosi 6% a w ci ¾agu 6 kolejnych 5%?

Zadanie 1.17 Jaka b¾edzie aktualne saldo rachunku oszcz ¾ednosciowego na którym 3 lata temu ulokowano10000PLN je·zeli przez pierwsze 6 miesi ¾ecy roczna stopa procentowa wynosi÷a 6% przez nast ¾epne 18miesi ¾ecy 4; 5% a przez kolejny rok 4%. Rachunek podlega kapitalizacji miesi ¾ecznej?

Zadanie 1.18 Obliczyc przysz÷¾a wartosc kwoty 1000PLN ,po czterech latach, je·zeli podlega ona kapi-talizacji ci ¾ag÷ej, a roczna stopa procentowa wynosi 3%.

1.6 Dyskonto proste i sk÷adane

De�nicja 1.5 Proces obliczania warosci pocz ¾atkowej P kapita÷u na podstawie wartosci koncowej Knazywamy dyskontowaniem. W zale·znosci od rodzaju oprocentowania mówimy o dyskoncie prostym,lub sk÷adanym.

a. W przypadku procentu prostego otrzymujemy

P =K

1 + ni= K(1 + ni)�1:

b. W przypadku procentu sk÷adanego otrzymujemy

P =K

(1 + i)n = K(1 + i)

�n:

Zadanie 1.19 Jaka jest obecna wartosc kwoty 2000PLN , któr ¾a otrzymamy dok÷adnie za rok, jeslistopa dyskontowa jest równa 12%.

Zadanie 1.20 Co op÷aca nam si ¾e bardziej? Sprzedac dom klientowi A za 300000PLN , czy klientowiB za 330000PLN , ale kwot ¾e otrzymac dopiero po pó÷roku, bior ¾ac pod uwag ¾e ·ze pieni ¾adze potrzebujemyteraz, a roczna stopa kredytu wynosi 18%.

Zadanie 1.21 Na rachunku bankowym dysponuemy kwot ¾a 10000PLN , która jest wynikiem ulokowa-nia na nim 4 lata wczesniej kwoty 6355PLN . Jaka jest wysokosc stopy dyskontowej.

Zadanie 1.22 Za trzy lata skarb panstwa ma wykupic obligacje za kwote 3000PLN . Ile maksymal-nie mo·zemy zap÷acic za te obligacje, je·zeli roczna stopa procentowa w banku wynosi 6% i odsetki sakapitalizowane co kwarta÷?

Zadanie 1.23 Na rachunku bankowym dysponuemy kwot ¾a 5000PLN , która jest wynikiem z÷o·zeniana nim 3 lata wczesniej lokaty na 6% rocznie. Obliczyc jak ¾a kwot ¾e ulokowalismy przed trzema laty.

Zadanie 1.24 Która forma promocji na samochód o wartosci 50000PLN jest korzystniejsza, je·zeliroczna stopa procentowa wynosi 12%.

a. 70% wartosci p÷acimy teraz, a 30% za rok

b. rabat wysokosci 2500PLN .

Zadanie domowe

Zadanie 1.25 Jaka jest obecna wartosc kwoty 1000PLN , któr ¾a otrzymamy dok÷adnie za rok, jeslistopa dyskontowa jest równa 14%.


Zadanie 1.26 Na rachunku bankowym dysponuemy kwot ¾a 5000PLN , która jest wynikiem ulokowaniana nim 8 lat wczesniej kwoty 2822PLN . Jaka jest wysokosc stopy dyskontowej.

Zadanie 1.27 Która forma promocji na samochód o wartosci 25000PLN jest korzystniejsza, je·zeliroczna stopa procentowa wynosi 12%.

a. 50% wartosci p÷acimy teraz, a 50% za rok

b. rabat wysokosci 2000PLN .


1.7 Nominalna i efektywna stopa procentowa

Cz¾estotliwosc kapitalizowania odsetek powoduje, ·ze kapita÷zdeponowany w banku przyrasta szybciej,ni·z okresla to nominalna stopa procentowa. Dlatego konieczne jest wprowadzenie efektywnej stopyprocentowej

De�nicja 1.6 Efektywna stopa procentowa jest to stopa procentowa uwzgl ¾edniaj ¾aca cz ¾estosc nalicza-nia odsetek.

Oznaczmy przez Re efektywn ¾a stop¾e procentow ¾a.

a. Odsetki przez ca÷y czas trwania lokaty s ¾a równe

I = PRe:

Wobec tegoRe = [(1 + i)

m � 1] ;gdzie i oznacza oprocentowanie lokaty za jeden okres bazowy, a m oznacza liczb ¾e okresów wci ¾agu roku.

b. je·zeli odsetki bazowe s ¾a kapitalizowane nie cz¾esciej ni·z rok, to

Re =h(1 + i)1=m � 1

i;

gdzie m to liczba lat trwania inwestycji, a i to oprocentowanie za ca÷y okres inwestycji.

Zadanie 1.28 Obliczyc efektywn ¾a stop¾e procentow ¾a dla okresów miesi ¾ecznych, kwartalnych, pó÷rocz-nych i rocznych okresów kapitalizacji, je·zeli nominalna stopa procentowa wynosi 6%.

Zadanie 1.29 In�acja wynosi 10% rocznie. Jaka roczna nominaln ¾a stope procentowa powinien za-oferowac bank przy kwartalnej kapitalizacji odsetek, aby jego klienci nie tracili si÷y nabywczej swoichpieniedzy?

Zadanie 1.30 Kowalski dysponuje pewn ¾a kwot ¾a i chce j ¾a ulokowac na okres d÷u·zszy ni·z rok. Coop÷aca mu si ¾e bardziej: ulokowac j ¾a na rachunku oprocentowanym na 12; 5% w skali roku i kapitalizacjirocznej, czy 12% i kapitalizacji miesi ¾ecznej?

Zadanie 1.31 W co op÷aca si ¾e bardziej zaiwestowac pieni ¾adze: W obligacje skarbowe z roczn ¾a stop ¾aprocentow ¾a 13%, czy w banku z roczn ¾a stop ¾a procentow ¾a 12,5% i kapitalizacj ¾a miesi ¾eczn ¾a?

Zadanie domowe

Zadanie 1.32 Na lokacie bankow ¾a zdeponowalismy 1000PLN po dwóch latach otrzymalismy 1200PLN .Ile wynosi efektywna stopa procentowa

Zadanie 1.33 Jaka jest wysokosc nominalnej stopy procentowej, je·zeli wysokosc efektywnej wynosi6; 167%, a kapitalizacja jest miesi ¾eczna

Zadanie 1.34 W którym banku op÷aca si ¾e bardziej zaiwestowac pieni ¾adze: W banku A z roczn ¾a stop ¾aprocentow ¾a 6% i kapitalizacj ¾a kwartaln ¾a, czy w banku B z roczn ¾a stop ¾a procentow ¾a 6; 2% i kapitalizacj ¾amiesi ¾eczn ¾a?


2. STRUMIENIE PIENI ¾EDZY 6

1.8 Realna stopa procentowa

De�nicja 1.7 Realna stopa procentowa jest to efektywna stopa procentowa odniesiona do realnegospadku si÷y nabywczej pieni ¾adza, czyli in�acji. Inaczej: Realne tempo pomna·zania pieni ¾adza w czasie.

Realna stopa procentowa wyra·za si¾e nast¾epuj ¾acym wzorem

Rr =Re �Ri1 +Ri

:

Zadanie 1.35 Oblicz realn ¾a stop¾e procentow ¾a rachunku o nominalnej stopie procentowej 4% w skaliroku i kapitalizacji kwartalnej, je·zeli in�acja wynosi 1; 9%:

Zadanie 1.36 Nominalna stopa procentowa pewnej lokaty wynosi 6; 6%. Bank kapitalizuje odsetki comiesi ¾ac, natomiast roczna in�acja wynosi 2%. Oblicz realn ¾a stop¾e procentow ¾a.

Podr¾ecznik [3] zadania 13, 14, 18, 19, 26, 31, 32, 34, 35, 36. str 20-23

2 Strumienie pieni¾edzy

De�nicja 2.1 Strumieniem pieni ¾edzy nazywamy ci ¾ag wp÷ywów w ró·znych okresach czasowych.

Rozpatrzmy strumien pieni¾edzy A0; A1; :::; An.

a. Obecna wartosc A0 jest równa A0; natomiast Ai jest równa Ai=(1 + i)i

b. Wartosc obecna strumienia pieni¾edzy jest równa

P =nXk=0

Ak(1 + i)k

:

c. Wartosc K strumienia pieni¾edzy na koniec n-tego okresu jest równa

K =nXk=0

Ak(1 + i)n

(1 + i)k=

nXk=0

Ak(1 + i)n�k:

Zadanie 2.1 D÷u·znik musi zwrócic 1000PLN za kwarta÷, 2000PLN za dwa kwarta÷y i 1000PLN zatrzy kwarta÷y. Jaka jest obecna wartosc a jaka na koniec trzeciego okresu. Kwartalna stopa procentowawynosi 4%.

Zadanie 2.2 W ci ¾agu najbli·zszych czterech miesi ¾ecy zarobimy odpowiednio 1000PLN , 1200PLN ,1400PLN i 1000PLN . Jaka b¾edzie wartosc tego strumienia na koniec czwartego miesi ¾aca oraz nakoniec roku, je·zeli roczna stopa procentowa wynosi 12%, a ponadto wynagrodzenie otrzymujemy

a. z góry;

b. z do÷u.

Zadanie 2.3 Kredyt wysokosci 10000PLN sp÷acano w ratach pó÷rocznych. Po pierwszym pó÷roczusp÷acono 3000PLN , po trzecim nie sp÷acono nic, a po czwartym sp÷acono 4000PLN . Jaka jestwysokosc drugiej raty? Roczna stopa procentowa wynosi 10%.

Zadanie 2.4 Na lokat ¾e wp÷acono 1000PLN pod koniec pierwszego miesi ¾aca, 2000PLN pod koniecdrugiego i 1000PLN pod koniec czwartego. Jaka musia÷a byc wysokosc trzeciej raty,

a. je·zeli po czterech miesi ¾acach otrzymalismy 5080; 50PLN , a roczna stopa procentowa wynosi 12%.

b. je·zeli po roku otrzymalismy 5245; 29PLN , a roczna stopa procentowa wynosi 12%.


3. KOSZT I AMORTYZACJA KREDYTÓW 7

2.1 Strumien równych p÷atnosci

De�nicja 2.2 Strumien równych p÷atnosci to strumien pieni ¾edzy, w którym wszystkie wyp÷aty s ¾arówne.

a. Wartosc K strumienia równych p÷atnosci A na koniec n-tego okresu jest równa:

(1) przy p÷atnosciach z do÷u

Kd =nXk=1

A(1 + i)n�k = A1� (1 + i)n1� (1 + i) = A

1� (1 + i)n�i = A

(1 + i)n � 1i

;

(2) przy p÷atnosciach z góry

Kg =nXk=1

A(1+i)n�k+1 = A(1+i)1� (1 + i)n1� (1 + i) = A(1+i)

1� (1 + i)n�i = A(1+i)

(1 + i)n � 1i

;

b. Wartosc bie·z ¾aca strumienia równych p÷atnosci

(1) przy p÷atnosciach z do÷u

Pd = Kd1

(1 + i)n= A

(1 + i)n � 1i(1 + i)n

; (1)

(2) przy p÷atnosciach z góry

Pg = Kg1

(1 + i)n= A

(1 + i)n � 1i(1 + i)n�1

;

Zadanie 2.5 Ile rzeczywiscie kosztowa÷nas dom w chwili odbioru, jesli wp÷acalismy Deweloperowiprzez trzy lata comiesi ¾ecznie po 5000PLN , natomiast roczna stopa procentowa w banku wynosi÷a wtym czasie 6% i kapitalizacja by÷a miesi ¾eczna?

Zadanie 2.6 Dealer udost ¾epnia nam samochód po zap÷aceniu kwoty 1000PLN . Nast ¾epnie po up÷ywiemiesi ¾aca musimy zacz ¾ac p÷acic 24 raty wysokosci 1400 z÷. miesi ¾ecznie. Roczna stopa procentowawynosi 6%. Ile rzeczywiscie kosztuje nas samochód w chwili oddania go do naszej dyspozycji?

Zadanie 2.7 Jakim funduszem b¾edziemy dysponowac po dwóch latach, je·zeli na pocz ¾atku ka·zdegokwarta÷u wp÷acac b ¾edziemy na konto bankowe 3000PLN? Roczna stopa procentowa wynosi 4; 4% iodsetki s ¾a kapitalizowane co kwarta÷.

Zadanie 2.8 Jak ¾a kwot ¾e nale·zy wp÷acac na pocz ¾atku ka·zdego roku, aby po dziesi ¾eciu latach dys-ponowac kwot ¾a 20000PLN . Roczna stopa procentowa wynosi 5,5%.

Zadanie 2.9 Która oferta jest korzystniejsza?

a. sprzeda·z samochodu natychmiast za 80000PLN

b. sprzeda·z samochodu, gdy kupuj ¾acy 50000PLN zap÷aci natychmiast, a nast ¾epnie w trzech równychratach kwartalnych po 11000? Roczna stopa procentowa wynosi 12%.


3 Koszt i amortyzacja kredytów

De�nicja 3.1 Rata kapita÷owa to cz ¾esc raty kredytu, której sp÷ata pomniejsza zad÷u·zenie klienta wobecbanku o kwot ¾e tej raty.


3.1 Kredyt o sta÷ych ratach kapita÷owych

W przypadku kredytu o sta÷ych ratach kapita÷owych rat¾e kapita÷ow ¾a wyznaczamy ze wzoru

R =S0n:

Zadanie 3.1 Przedsi ¾ebiorca zaci ¾agn ¾a÷kredyt w wysokosci 12000PLN na okres 3 lat. Nominalnaroczna stopa procentowa wynosi 20%: Do wyboru ma 3 warianty sp÷aty tego kredytu

a. Kredyt sp÷acany na koniec ka·zdego roku (3 raty).Nale·zne odsetki b ¾ed ¾a p÷atne przy ka·zdej równejracie kapita÷owej.

b. Kredyt sp÷acany w równych ratach kapita÷owych p÷atnych na koncu ka·zdego pó÷rocza, a odsetkis ¾a p÷acone na koncu ka·zdego roku.

c. Kredyt sp÷acany w równych ratach kapita÷owych p÷atnych na koncu ka·zdego pó÷rocza. Nale·zneodsetki b ¾ed ¾a p÷atne przy ka·zdej równej racie kapita÷owej i naliczane od kwoty kredytu na pocz ¾atkuroku.

Sporz ¾adzic plan amortyzacji oraz zbadac efektywnosc powy·zszych wariantów kredytu.

3.2 Kredyt o sta÷ych ratach ÷¾acznych

W przypadku kredytu o sta÷ych ratach ÷¾acznych rat¾e ÷¾aczn ¾a wyznaczamy ze wzoru

A = S0i(1 + i)n

(1 + i)n � 1 :

Zadanie 3.2 (jak w 3:1) Przedsi ¾ebiorca zaci ¾agn ¾a÷kredyt w wysokosci 12000PLN na okres 3 lat.Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%: Do wyboru ma 2 formy sp÷aty tego kredytu

a. Kredyt sp÷acany na koniec ka·zdego roku (3 raty) w równych ratach ÷¾acznych.

b. Kredyt sp÷acany na koniec ka·zdego pó÷rocza w równych ratach ÷¾acznych.

Sporz ¾adzic plan amortyzacji oraz zbadac efektywnosc powy·zszych wariantów kredytu.

Zadanie 3.3 Wyznacz wysokosc raty kredytu mieszkaniowego wysokosci 300000PLN p÷atnego w rat-ach miesi ¾ecznych zaci ¾agni ¾etego na 20 lat, jesli roczna stopa procentowa tego kredytu wynosi 6%.

Zadanie 3.4 Kredyt wysokosci 6300PLN o oprocentowaniu 12; 6% p÷atny w sta÷ych ratach ÷¾acznychnale·zy sp÷acic w czterech równych ratach pó÷rocznych. Ile wynosi wysokosc raty? Sporz ¾adzic planamortyzacji tego kredytu.

Zadanie 3.5 Wysokosc kredytu p÷atnego w 4 sta÷ych rocznych ratach ÷¾acznych równych 2256; 09PLNwynosi 8000PLN: Wyznacz roczn ¾a stop¾e procentow ¾a.

Zadanie 3.6 Co op÷aca si ¾e bardziej: kupic telewizor o wartosci 3999PLN na raty (10 rat po 424PLN)czy wzi ¾ac na niego kredyt w banku p÷atny w równych ratach miesi ¾ecznych, na 10% rocznie.

Zadanie 3.7 Po jakim czasie Kowalski sp÷aci samochód o wartosci 50000PLN , jesli miesi ¾ecznie jestw stanie p÷acic 1000PLN , a roczna stopa procentowa wynosi 4; 4%

Zadanie 3.8 Kowalski zamierza kupic mieszkanie za rok. Obecnie dysponuje kwot ¾a 100000PLN .Cena mieszkania wynosi 250000PLN . Co op÷aca mu si ¾e bardziej

� ulokowac pieni ¾adze na rok przy stopie procentowej równej 6% i kapitalizacji miesi ¾ecznej, a potemwzi ¾ac kredyt na 8% rocznie.

� ulokowac pieni ¾adze w kasie mieszkaniowej na 4% rocznie a potem wzi ¾ac w niej kredyt 5; 4%rocznie.


Na sp÷at¾e kretytu jest w stanie przeznaczyc miesi¾ecznie 1500PLN .

Zadanie 3.9 Na samochód o wartosci 50000PLN obowi ¾azuj ¾a 2 alternatywne promocje

� rabat 3000PLN

� kredyt 0% p÷atny w 12 ratach miesi ¾ecznych.

Bior ¾ac pod uwag¾e, ·ze nie dysponujemy gotówk ¾a okreslic wybór której promocji jest bardziej op÷a-calny, jesli stopa kredytu wynosi 9; 6%.

3.3 Konwersja kredytu

De�nicja 3.2 Konwersj ¾a kredytu nazywamy zmian ¾e warunków sp÷aty kredytu. Konwersja mo·ze bycprzeprowadzona zarówno na wniosek kredytodawcy jak i kredytobiorcy. Jesli konwersja dotyczy stopyprocentowej wówczas zmiana tej stopy wi ¾a·ze si ¾e z op÷at ¾a karn ¾a.

Zadanie 3.10 (Jak w 3:1b) Przedsi ¾ebiorca zaci ¾agn ¾a÷kredyt w wysokosci 12000PLN na okres 3 lat.Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%: Kredyt jest sp÷acany w równych ratach kapita÷owychp÷atnych na koncu ka·zdego pó÷rocza, a odsetki s ¾a p÷acone na koncu ka·zdego roku. Po sp÷aceniu dwóchpierwszych rat kredytobiorca zwróci÷si ¾e z prosb ¾a o obni·zenie stopy procentowej do 18%. Kredytodawcawyrazi÷zgod ¾e na zmian ¾e stopy procentowej przy czym za·z ¾ada÷op÷aty karnej 400PLN . Op÷ata ta mabyc doliczona do salda kredytu na pocz ¾atku drugiego roku i sp÷acona w ostatniej racie. Sporz ¾adzic planamortyzacji i ocenic op÷acalnosc konwersji.

W przypadku kredytów p÷atnych w równych ratach ÷¾acznych, konwersja jest op÷acalna jesli spe÷-niony jest warunek.

(Si + x)i(1 + i)m

(1 + i)m � 1 < A;

gdzie A oznacza wysokosc raty przed konwersj ¾a, a Si saldo kredytu przed konwersj ¾a, natomiast i stop¾eprocentow ¾a za jeden okres bazowy po konwersji, x oznacza wysokosc prowizji.

Zadanie 3.11 (Jak w 3:2b) Przedsi ¾ebiorca zaci ¾agn ¾a÷kredyt w wysokosci 12000PLN na okres 3 lat.Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%: Kredyt jest sp÷acany na koniec ka·zdego pó÷rocza wrównych ratach ÷¾acznych. Po sp÷acie 3 pierwszych rat kredytobiorca zwróci÷si ¾e z prosb ¾a o obni·zeniestopy procentowej do 16%. Kredytodawca wyrazi÷zgod ¾e na obni·zenie stopy procentowej przy czym jakoop÷aty karnej zarz ¾ada÷400PLN . U÷o·zyc plan amortyzacji kredytu z konwersj ¾a. Ocenic op÷acalnoscoraz wyznaczyc op÷at ¾e karn ¾a, przy której konwersja jest op÷acalna.

3.4 Karencja kredytu

Karencja w sp÷acie kredytu pozwala na odroczenie sp÷acania kapita÷u kredytu, nale·zy w tym czasiesp÷acac tylko cz¾esc odsetkow ¾a raty kredytowej.

Zadanie 3.12 (Jak w 3:2a) Przedsi ¾ebiorca zaci ¾agn ¾a÷kredyt w wysokosci 12000PLN na okres 3 lat.Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20% a kredyt sp÷acany na koniec ka·zdego roku w równychratach ÷¾acznych. Dodatkowo podlega on 2 letniej karencji. Sporz ¾adzic plan amortyzacji tego kredytu.

Podr¾ecznik [3] zadania 6, 7, 9, 11, 17, 21, 22. str 48-50.

3.5 Prowizja

Prowizj¾e nalicza si¾e od rat kapita÷owych i dodaje do kwoty kredytu.

Zadanie 3.13 (Jak w 3:2a) Przedsi ¾ebiorca zaci ¾agn ¾a÷kredyt w wysokosci 12000PLN na okres 3 lat.Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%: Kredyt sp÷acany jest na koniec ka·zdego roku wrównych ratach ÷¾acznych. Kredyt jest obj ¾ety prowizj ¾a równ ¾a 2%: Sporz ¾adzic plan amortyzacji tegokredytu.

4. LEASING 10

3.6 Konsolidacja kredytu

De�nicja 3.3 Konsolidacja kredytu jest to po÷¾aczenie kredytów poprzez wyznaczenie ÷¾acznej wartoscizad÷u·zenia u tego samego kredytodawcy w momencie dokonania konsolidacji i sp÷acenie nowego kredytuna nowych wynegocjowanych warunkach.

Zadanie 3.14 Pewna �rma sp÷aca dwa kredyty zaci ¾agni ¾ete w tym samym banku. W rozwa·zanymmomencie �rma mia÷a do sp÷acenia 7 pó÷rocznych rat po 1000PLN przy rocznej stopie procentowej18% i 15 rat miesi ¾ecznych o wysokosci 1500PLN przy rocznej stopie procentowej 15%:Wyznaczyc 10nowych p÷atnosci kwartalnych przy rocznej stopie procentowej 16%:

Zadanie 3.15 Pewna �rma sp÷aca dwa kredyty zaci ¾agni ¾ete w tym samym banku. W rozwa·zanymmomencie �rma mia÷a do sp÷acenia 12 miesi ¾ecznych rat 500PLN przy rocznej stopie procentowej 12%i 6 rat kwartalnych o wysokosci 1500PLN przy rocznej stopie procentowej 11%:Wyznaczyc 10 nowychp÷atnosci kwartalnych przy rocznej stopie procentowej 11; 6%:

Podr¾ecznik [3] zadania 6, 7, 9, 11, 17, 21, 22. str 48-50.

4 Leasing

De�nicja 4.1 Leasing jest umow ¾a, w której jedna strona � leasingodawca przekazuje drugiej stronie� leasingobiorcy prawo do u·zytkowania okreslonego dobra na uzgodniony okres, w zamian za okreslonep÷atnosci.

W przypadku leasingu o sta÷ych ratach ÷¾acznych rat¾e ÷¾aczn ¾a wyznaczamy ze wzoru

A =

�W � Wk

(1 + i)n

�i(1 + i)n�1

(1 + i)n � 1 ;

gdzie W jest wartosci ¾a pocz ¾atkow ¾a przedmiotu leasingu, a Wk jest wartosci ¾a koncow ¾a przedmiotuleasingu.Ze wzgl¾edu na charakter zobowi ¾azan wyró·zniamy dwa rodzaje leasingu:

a. leasing operacyjny � zak÷ada, ·ze przedmiot leasingu b¾edzie u·zywany przez wielu u·zytkowników,czyli czas na który zawarta jest umowa leasingu jest istotnie krótszy od czasu normatywnegozu·zycia przedmiotu leasingu. Leasingobiorca ponosi tak·ze koszty utrzymania i konserwacjiprzedmiotu leasingu, które stanowi ¾a cz¾esc op÷at leasingowych

b. leasing �nansowy � czas trwania umowy jest zbli·zony do czasu normatywnego zu·zycia przed-miotu leasingu. Leasingobiorca ma jednoczesnie zagwarantowane prawo do zakupu przedmiotuleasingu w momencie wygasni¾ecia umowy.

Zadanie 4.1 Wartosc przedmiotu leasingu wynosi 20000PLN . Umowa zosta÷a zawarta na okres1 roku a roczna stopa procentowa wynios÷a 12%. Obliczyc wysokosc p÷atnej kwartalnie równej ratyleasingowej oraz dokonac rozliczenia umowy leasingowej jesli

a. Wartosc koncowa przedmiotu wynosi 4000PLN .

b. Nie ma opcji zakupu.

Zadanie 4.2 Wartosc przedmiotu leasingu wynosi 35000PLN . Umowa zosta÷a zawarta na okres4 lat. Dokonac rozliczenia umowy leasingowej, je·zeli wartosc koncowa przedmiotu leasingu wynosi5000PLN . Umowa leasingowa przewiduje, ·ze przedmiot leasingu b¾edzie sp÷acany w równych rocznychratach ÷¾acznych. Roczna stopa procentowa wynosi 10%.

Zadanie 4.3 Wartosc komputera przenosnego wynosi 4000PLN . Umowa zosta÷a zawarta na okres2 lat. Obliczyc wysokosc p÷atnej na koncu ka·zdego pó÷rocza równej raty kapita÷owej oraz dokonacrozliczenia umowy leasingowej (bez opcji zakupu), je·zeli roczna stopa procentowa w pierwszym rokuwynios÷a 10%, a w drugim 12%.

Podr¾ecznik [3] zadania 1-5 str. 59.

5. RENTY 11

5 Renty

De�nicja 5.1 Renta to ci ¾ag p÷atnosci dokonywanych w pewnym ustalonym okresie z ustalon ¾a cz ¾es-totliwosci ¾a. P÷atnosci te pochodz ¾a z wczesniej zgromadzonego kapita÷u rentowego.

Kapita÷rentowy mo·ze byc wp÷acany

a. jednorazowo

b. w formie sk÷adek przez wiele lat.

Kapita÷to zakualizowana wartosc netto wszystkich p÷atnosciRenty dzielimy na

a. pewne � wyp÷acane przez uzgodniony okres czasu niezale·znie od tego czy rentobiorca ·zyje, czynie

b. ·zyciowe � p÷atne nie d÷u·zej ni·z do chwili zgonu

5.1 Renty pewne

Wyró·zniamy renty pewne terminowe i wieczyste

Renta pewna terminowa

Wprowadzmy oznaczenia � = 11+i i d = 1� � = 1�

11+i =

i1+i : Wartosc obecna renty terminowej

pewnej:

� renta p÷atna z góry (kapita÷owa)

::a:n= 1 + � + �2 + :::+ �n�1 =

1� �n1� � =

1� �nd

;

� renta p÷atna z do÷u (zwyk÷a)

a:n= � + �2 + :::+ �n = �

1� �n1� � =

1

1 + i

1� �nd

=1

1 + i

1� �ni1+i

=1� �ni

:

Uwaga 5.1 Wzór na rent ¾e terminow ¾a z góry mo·ze zostac wykorzystany do wyznaczenia wartoscipocz ¾atkowej leasingu, a z do÷u kredytu.

Renta pewna wieczysta

Wartosc obecna renty wieczystej pewnej:


::a :1 = 1 + � + �2 + �3 + ::: =

1

1� � = A1

d;


a :1 = � + �2 + �3 + ::: = �1

1� � =1

1 + i

1

d=

1

1 + i

1i1+i

=1

i:

Uwaga 5.2 Zachodz ¾a nast ¾epuj ¾ace wzory

::a:n

= a:n(1 + i);

::a :1 = a :1(1 + i):

5. RENTY 12

Ponadto::a :1 = a :1 + 1:

Zadanie 5.1 Wyznacz wartosc aktualn ¾a renty wieczystej w wysokosci 15000PLN p÷atnej na koniecka·zdego roku, jesli roczna stopa procentowa równa jest 8%

Zadanie 5.2 Jak ¾a mo·zna otrzymac rent ¾e kapita÷ow ¾a wp÷acaj ¾ac 15 lat wczesniej kwot ¾e 150000PLNna 6% rocznie.

Zadanie 5.3 Pracownik przez 20 lat odk÷ada÷na fundusz emerytalny kwot ¾e 6000PLN na koniecka·zdego roku przy stopie R = 6%.

a. wyznacz wartosc od÷o·zonego funduszu

b. Wyznacz maksymaln ¾a rent ¾e wieczyst ¾a, jak ¾a mo·zna otrzymac z tego funduszu

Zadanie 5.4 Jakich wp÷at musia÷dokonywac pracownik przez 20 lat z do÷u, aby otrzymywac rent ¾ezwyk÷¾a przez 10 lat w wysokosci 20000PLN rocznie.

Zadanie 5.5 Przez ile lat mo·zna pobierac rent ¾e sta÷¾a z do÷u w wysokosci 20000PLN oddaj ¾ac kapita÷150000PLN na 6%.

Zadanie 5.6 Przez ile lat mo·zna pobierac rent ¾e w wysokosci 16000PLN rocznie z do÷u, je·zeli wk÷adyoszcz ¾ednosciowe przez 25 lat wynios÷y 6000PLN rocznie z góry, a R = 15%.

Zadanie 5.7 Przez ile lat mo·zna pobierac rent ¾e w wysokosci 20000PLN rocznie zamiast renty 14000PLNrocznie przez 20 lat. Roczna stopa procentowa wynosi 6%.

5.2 Tablice trwania ·zycia

Przyj¾ete oznaczenia:l0� wielkosc populacji ·zyj ¾acych w wieku 0.lx� liczba osób, które do·zy÷y wieku x.dx = lx � lx+1� liczba osób populacji zmar÷ych w przedziale hx; x+ 1ipx+n =

lx+nlx� prawdopodobienstwo, ·ze osoba maj ¾aca dzisiaj x lat prze·zyje przynajmniej x+ n.

qx+n = lx+nlx

� lx+n+1lx

= dx+nlx� prawdopodobienstwo, ·ze osoba maj ¾aca dzisiaj x lat prze·zyje

dok÷adnie x+ n.qx+n� prawdopodobienstwo smierci w najbli·zszym rokupx+n� prawdopodobienstwo prze·zycia najbli·zszego roku

Zadanie 5.8 Oblicz prawdopodobienstwo, ·ze 20 letni m ¾e·zczyzna prze·zyje jeszcze przynajmniej

a. 20lat

b. 30lat

c. 50lat

Zadanie 5.9 Oblicz prawdopodobienstwo, ·ze 70 letnia kobieta prze·zyje dok÷adnie

a. 5lat

b. 10lat

5. RENTY 13

5.3 Symbole komutacyjne

Wyró·zniamy nast¾epuj ¾ace symbole komutacyjneDx = �

xlx� zdyskontowana liczba osób ·zyj ¾acych, które osi ¾agn¾e÷y x lat

Nx =1Xk=0

Dx+k =1Xk=0

�xlx = Dx + Dx+1 + Dx+2 + Dx+3 + ::: = lx�x + lx+1�

x+1 + lx+2�x+2 +

lx+3�x+3 + :::

Cx = �x+1dx� zdyskontowana liczba osób zmar÷ych w wieku x lat

Mx =1Xk=0

Cx+k =1Xk=0

�x+1dx = Cx+Cx+1+Cx+2 = dx�x+1+dx+1�

x+2+dx+2�x+3+dx+4�

x+4+:::

5.4 Renty ·zyciowe

Renta ·zyciowa wieczysta


::a:x

=lxlx+

lx+1lx

1 + i+

lx+2lx

(1 + i)2+

lx+3lx

(1 + i)3+ :::

=lxlx+

lx+1lx

1 + i+

lx+2lx

(1 + i)2+

lx+3lx

(1 + i)3+ :::

=1

lx

�lx +

lx+11 + i

+lx+2(1 + i)2

+lx+3(1 + i)3

+ :::

�=

1

lx�x�lx�

x + lx+1�x+1 + lx+2�

x+2 + lx+3�x+3 + :::

�=

NxDx


a:x

=

lx+1lx

(1 + i)+

lx+2lx

(1 + i)2+

lx+3lx

(1 + i)3+

lx+4lx

(1 + i)4+ :::

=

lx+1lx

1 + i+

lx+2lx

(1 + i)2+

lx+3lx

(1 + i)3+

lx+4lx

(1 + i)4+ :::

=1

lx

�lx+11 + i

+lx+2(1 + i)2

+lx+3(1 + i)3

+lx+4(1 + i)4

+ :::

�=

1

lx�x�lx+1�

x+1 + lx+2�x+2 + lx+3�

x+3 + lx+4�x+4 + :::

�=

Nx+1Dx

� renta odroczona o m lat p÷atna z góry

mj::a:x= A

Nx+mDx

� renta odroczona o m lat p÷atna z do÷u

mja:x = ANx+m+1Dx

Renta ·zyciowa terminowa (n-letnia)

6. UBEZPIECZENIA ·ZYCIOWE 14

� renta p÷atna z góry

::ax::n=Nx �Nx+n

Dx:

� renta p÷atna z do÷u

ax::n=Nx+1 �Nx+n+1

Dx:

� renta odroczona o m lat p÷atna z góry

mj::ax::n=Nx+m �Nx+n+m

Dx:

� renta odroczona o m lat p÷atna z do÷u

mjax::n =Nx+m+1 �Nx+n+m+1

Dx:

Zadanie 5.10 Wyznacz wartosc aktualn ¾a renty a) wieczystej b) 30 letniej wysokosci 18000PLN jak ¾aotrzyma 50 letni m ¾e·zczyzna.

Zadanie 5.11 Wyznacz rent ¾e jak ¾a otrzyma 60-latek, jesli na funduszu zebra÷100000PLN zak÷adaj ¾ac,·ze renta b¾edzie p÷atna z góry i

a. b ¾edzie j ¾a otrzymywa÷do·zywotnio,

b. b ¾edzie j ¾a otrzymywa÷do 80 roku ·zycia.

Zadanie 5.12 40-latek zebra÷na funduszu 150000PLN . Wyznacz rent ¾e jak ¾a b¾edzie on otrzymywa÷pocz ¾awszy od 60 roku ·zycia, zak÷adaj ¾ac, ·ze renta jest p÷atna na pocz ¾atku ka·zdego roku i

a. b ¾edzie j ¾a otrzymywa÷do·zywotnio,

b. b ¾edzie j ¾a otrzymywa÷do 80 roku ·zycia.

Zadanie 5.13 Jak ¾a wieczyst ¾a rent ¾e otrzyma osoba 60 letnia, jesli na funduszu uzbiera÷a 200000PLNjesli

a. jest kobiet ¾a,

b. jest m ¾e·zczyzn ¾a.

6 Ubezpieczenia ·zyciowe

Rodzaje ubezpieczen ·zyciowych:

a. ubezpieczenie na ·zycie (na wypadek smierci), ubezpieczyciel wyp÷aca swiadczenie w roku smierciubezpieczonego

b. ubezpieczenie na do·zycie, ubezpieczyciel wyp÷aca swiadczenie w przypadku do·zycia przez ube-pieczonego wieku okreslonego w umowie ubezpieczeniowej

c. ubezpieczenie mieszane, wyp÷ata swiadczenia nast¾epuje gdy ubezpieczony do·zyje okreslonegowieku, lub gdy jego smierc nast ¾api przed tym terminem

d. ubezpieczenie renty, które mo·ze byc do·zywotnie lub czasowe

6. UBEZPIECZENIA ·ZYCIOWE 15

Sk÷adka brutto jest sum ¾a nast¾epuj ¾acych kwot:

a. sk÷adka netto � zaspokaja roszczenia ubezpieczonego

b. koszty obs÷ug ubezpieczenia

c. fundusz rezerwowy

d. fundusz na realizacj¾e ubocznych celów dzia÷alnosci ubepieczeniowej

Wartosc sk÷adki brutto cz¾esto ustala si¾e poprzez pomno·zenie sk÷adki netto przez 1,2

6.1 Jednorazowa sk÷adka netto

Jednorazowa sk÷adka netto przy jednostkowej sumie ubezpieczenia 1PLN p÷atna na koniec roku smierci.

Wieczyste ubezpieczenie na ·zycie

� Jednorazowa sk÷adka nettoAx =

Mx

Dx:

� Roczna sk÷adka nettoPx =

Ax�a:x

:

n-letnie ubezpieczenie na ·zycie

� Jednorazowa sk÷adka nettoA1x::n=Mx �Mx+n

Dx:

� Roczna sk÷adka netto

P 1x::n=A1x::n

�ax::n

:

n-letnie ubezpieczenie na do·zycie

� Jednorazowa sk÷adka nettoA 1

x::n=Dx+nDx

:

� Roczna sk÷adka netto

P 1

x::n

=A 1

x::n

�ax::n

:

n-letnie ubezpieczenie na ·zycie i do·zycie

� Jednorazowa sk÷adka netto

Ax::n= A1

x::n+A 1

x::n=Mx �Mx+n +Dx+n

Dx:

� Roczna sk÷adka nettoPx::n=Ax::n

1�ax::nlub P

x::n= P 1

x::n+ P 1

x::n:

Zadanie 6.1 Obliczyc jednorazow ¾a sk÷adk ¾e netto za ubezpieczenie mieszane wystawione dla 40-latkana okres 10 lat ze swiadczeniem p÷atnym w wysokosci 1000PLN

Zadanie 6.2 Obliczyc jednorazow ¾a sk÷adk ¾e netto za ubezpieczenie mieszane wystawione dla 40-latkazna okres 10 lat ze swiadczeniem p÷atnym w wysokosci 1000PLN

Zadanie 6.3 Obliczyc jednorazow ¾a sk÷adk ¾e netto za ubezpieczenie terminowe na ·zycie na okres 10 latwystawione 40-latkowi ze swiadczeniem 4000PLN

Zadanie 6.4 40-latka jest zainteresowana kupnem ubezpieczenia na do·zycie na okres 10 lat z sum ¾aubezpieczenia 4000PLN . Ile wynosi jednorazowa sk÷adka netto i roczna sk÷adka netto dla tego ubez-pieczenia.

7. WYCENA PAPIERÓW WARTOSCIOWYCH 16

7 Wycena papierów wartosciowych

7.1 Weksle

De�nicja 7.1 Wekslem nazywamy papier wartosciowy o scisle okreslonej przez prawo formie, wktórym wystawca albo sam przyrzeka zap÷at ¾e okreslonej kwoty pieni ¾e·znej (weksel w÷asny), albo te·zpoleca zap÷at ¾e osobie trzeciej (weksel trasowany).

� Weksel w÷asny zobowi ¾azuje wystawc¾e (lub wystawców) do zap÷acenia okreslonej sumy pieni¾edzy.

� Weksel trasowany zobowi ¾azuje inn ¾a osob¾e zwan ¾a transatem wskazan ¾a przez wystawc¾e zwanegotransantem do zap÷acenia okreslonej kwoty pi¾eni¾edzy.

trasant ! trasat ! remitent(wystawca weksla

wskazuj ¾acy d÷u·znika)

(d÷u·znik, który staje sie akceptantem,

po wyra·zeniu zgody na p÷acenie)

(po·zyczkodawca, osoba która

inkasuje kwot¾e od d÷u·znika)

Funkcje weksla:

� p÷atnicza � gdy jest wr¾eczony przy zakupie towarów, lub us÷ug.

� kredytowa � w transakcjach kupna-sprzeda·zy, nabywca otrzymuje krótkoterminowy kredyt.

� obiegowa � zwi ¾azana z mo·zliwosci ¾a nieograniczonego przenoszenia praw wekslowych z jednejosoby na drug ¾a za pomoc ¾a indosu (·zyra). Indos ma form¾e pisemnego oswiadczenia umieszczonegona odwrotnej stronie weksla (grzbiecie) lub na z÷¾aczonej z nim karcie dodatkowej (przed÷u·zku).Weksel zaopatrzony w indos mo·ze byc wr¾eczany jako zap÷ata w wielu transakcjach handlowych.

� gwarancyjna � polega na zabezpieczeniu zap÷aty weksla przez wszystkie osoby na nim podpisane.

� re�nansowa � istnieje mo·zliwosc z÷o·zenia weksla w banku do dyskonta, czyli wykupienia goprzez bank przed terminem p÷atnosci.

Kredyt dyskontowyZ regu÷y wewn¾etrzne regulaminy banków stanowi ¾a, ·ze bank dyskontuje weksle gdy termin ich

zap÷aty up÷ywa nie wczesniej, ni·z po 15 dniach od daty z÷o·zenia i nie pózniej ni·z 3 miesi ¾ace. Skupioneprzez banki weksle mog ¾a byc z÷o·zone do redyskonta w banku centralnym NBP. Bank komercyjnywyst¾epuje w roli sprzedajacego. Transakcja redyskonta przebiega tak jak dyskonta.

Aktualna wartosc weksla wyra·za si¾e wzorem

Wa =Wn �DH lub Wa =Wn �Dm;

gdzieWn oznacza wartosc nominaln ¾a weksla,DH jest dyskontem handlowym i wyra·za si¾e wzorem

DH =Wndt

365;

Dm jest dyskontem matematycznym i wyra·za si¾e wzorem

Dm =Wadt

365;

d jest ustalon ¾a przez bank roczn ¾a stop ¾a dyskontow ¾a,t jest czasem pozosta÷ym do terminu jego p÷atnosci wyra·zonym w dniach.

Zadanie 7.1 W dniu 22 wrzesnia przed÷o·zono do dyskonta weksel o nominalnej wartosci 15000PLN:Obowi ¾azuj ¾aca w tym dniu stopa dyskontowa wynios÷a 20% w skali roku, a termin p÷atnosci wekslaup÷ywa 4 grudnia tego roku. Obliczyc dyskonto matematyczne i handlowe oraz odpowiadaj ¾ace imwartosci aktualne.


Zadanie 7.2 W pewnym banku komercyjnym na 30 dni przed wykupem z÷o·zono do dyskonta wekselo wartosci 10000PLN przy rocznej stopie dyskontowej 13%. Po pietnastu dniach bank komercyjnyz÷o·zy÷weksel do redyskonta w NBP przy rocznej stopie procentowej 11%. Ile zarobi÷na tych operacjachbank komercyjny?

Wartosc nominalna weksla odnowionego wyra·za s¾e wzorem

W 0n =

1� d t365

1� d0 t0365Wn;

gdzie t0 oznacza liczb ¾e dni do odnowionego terminu p÷atnosci, a d0 stop¾e dyskontow ¾a odnowionegoweksla.

Zadanie 7.3 D÷u·znik powinien sp÷acic weksel o wartosci nominalnej 5000PLN w dniu 30 marca. Wdniu 1 marca zwróci÷sie do banku o odroczenie p÷atnosci do 30 kwietnia. Jaka jest nowa wartoscnominalna weksla, je·zeli stopa dyskontowa wynosi 15%?

Zadanie 7.4 Hazardzista ma do sp÷acenia 3 weksle:

a. weksel o nominalnej wartosci 10000PLN p÷atny za 35 dni i rocznej stopie dyskontowej 10%,

b. weksel o nominalnej wartosci 25000PLN p÷atny za 20 dni i rocznej stopie dyskontowej 14%,

c. weksel o nominalnej wartosci 5000PLN p÷atny za 40 dni. i rocznej stopie dyskontowej 12%

d. Okreslic wartosc nominaln ¾a weksla równowa·znego tym trzem wekslom przy rocznej stopie dyskon-towaj d = 12%.Termin p÷atnosci weksla równowa·znego wynosi 35 dni.

Przy dyskontowaniu weksli banki oprócz dyskonta pobieraj ¾a dodatkowe op÷aty

� op÷at¾e rycza÷tow ¾a R (wyra·zon ¾a kwotowo)

� op÷at¾e proporcjonaln ¾a p stanowi ¾ac ¾a okreslony procent obliczany od wartosci nominalnej wekslaskorygowan ¾a d÷ugosci ¾a okresu poprzedzaj ¾acego sp÷at¾e weksla.

Rzeczywisty koszt z÷ozenia weksla do dyskonta wynosi zatem

Kr = DH +R+Wnpt

365:

Zadanie 7.5 Dwa banki oferuj ¾a nast ¾epuj ¾ace warunki dyskontowania weksli. Pierwszy bank: d = 18%,p = 0:9%, R = 25PLN . Drugi bank d = 20%, p = 0:5%, R = 20PLN:W którym banku najkorzystniejzdyskontowac weksel o wartosci nominalnej 8000PLN p÷atny za 30 dni?

Podr¾ecznik zadania 1-9 str 139.

7.2 Bony skarbowe

De�nicja 7.2 Bony skarbowe s ¾a to papiery wartosciowe potwierdzaj ¾ace ich posiadaczom zobowi ¾azaniaskarbu panstwa z tytu÷u zaci ¾agni ¾etej po·zyczki.

Bony skarbowe emitowane s ¾a przez Ministerstwo Finansów i s ¾a dokumentami na okaziciela. Zewzgl¾edów bezpieczenstwa podlegaj ¾a rejestracji w Centralnym Rejestrze Bonów Skarbowych. Mog ¾abyc przedmiotami obrotu krajowymi osobami �zycznymi i prawnymi spó÷kami krajowymi nie posi-adaj ¾acymi osobowosci prawnej oraz zagranicznymi osobami prawnymi i �zycznymi. Obrotem bonówskarbowych zajmuje si¾e bank centralny. Istnieje rynek pierwotny i wtórny bonów skarbowych.Wynagrodzeniem nabywców bonów skarbowych jest ró·znica mi¾edzy wartosci ¾a nominaln ¾a bonu a

cen ¾a jego zakupu � dyskonto, które wyra·za si¾e wzorem


D =Wn � Cz;

gdzie Cz jest cen ¾a zakupu.Dyskonto wyra·za si¾e wzorem

D =Wndt

365;

Wobec powy·zszego roczn ¾a stop¾e dyskontow ¾a d wyra·zon ¾a w skali roku mo·zna zapisac wzorem

d =D

Wn

365

t;

gdzie t jest liczb ¾a dni od momentu zakupu bonu do dnia jego wykupu przez emitenta.Cena zakupu bonu skarbowego w zale·znosci od dnia jego wykupu przez emitenta

Cz =Wn

�1� d t

365

�;

Je·zeli przyjmiemy, ·ze Wn = 100Rentownosc wyra·za si¾e wzorem

R =D

Cz

365

t

Cena zakupu bonu skarbowego w oparciu o znana rentownosc:

Cz =Wn

1 +R t365

:

Je·zeli znana jest stopa dyskontowa, to mo·zna skorzystac ze wzoru wzoru na rentownosc

R =Wnd

Cz:

Zadanie 7.6 Bank zamierza zainwestowac w 26-tygodniowe bony skarbowe o wartosci nominalnej100000PLN . Jaka b¾edzie cena zakupu tych bonów i ile wyniesie rentownosc, jesli roczna stopa dyskon-towa wynios÷a 17%?

Zadanie 7.7 Inwestor ma do wyboru kupno bonu skarbowego 13-tygodniowego przy stopie dyskontowej15%, 26-tygodniowego przy stopie dyskontowej 13%. Która inwestycja jest dla niego korzystniejsza?

Zadanie 7.8 Inwestor naby÷na przetargu 39-tygodniowy bon skarbowy o nominale 10000PLN za9750PLN i odsprzeda÷go po 11 dniach przy rynkowej stopie 7% Przy jakiej stopie dyskontowejinwestor naby÷bon i za jak ¾a cene go odsprzeda÷.

Zadanie 7.9 Ile wynosi srednia stopa dyskontowa i srednia rentownosc przyj ¾etych ofert kupna 13-tygodniowych bonów skarbowych o wartosci 10000PLN, jesli ceny zakupu wynios÷y 9750PLN , 9785PLN ,9770PLN .

Zadanie 7.10 Jaka jest rentownosc 36 tygodniowego bonu o wartosci 5000PLN , je·zeli stopa dyskon-towa tych bonów wyniesie 10%.

Zadanie 7.11 Co op÷aca si ¾e bardziej: ulokowac pieni ¾adze w banku na rok przy rocznej stopie pro-centowej 6% i kapitalizacji miesi ¾ecznej, czy kupic 52-tygodniawe bony skarbowe o stopie dyskontowej5; 5%


7.3 Certy�katy depozytowe

Certy�katy depozytowe to rodzaj depozytu na okaziciela. Daje to mo·zliwosc obrotu nim na rynkuwtórnym. Mog ¾a byc emitowane jedynie przez najlepsze banki, co gwarantuje wysoki poziom bez-pieczenstwa. Z tego powodu ich rentownosc jest ni·zsza od lokat terminowych.Istniej ¾a dwa rodzaje certy�katów

� certy�katy ze sta÷ym kuponem � emitowane na okres 30 dni.

� certy�katy indeksowane � emitowane na okres 90 dni - stopa procentowa sta÷a okreslona napodstawie stawek dla walut obcych (LIBOR): dolara amerykanskiego, euro, frankaszwajcarskiegooraz funta brytyjskiego.

Cechy sta÷e certy�katu

� emitent� bank, który przyj ¾a÷depozyt i zaswiadczenie, ·ze sp÷aci go wraz z odsetkami w ustalonymterminie.

� wartosc nominalna � kapita÷zdeponowany u emitenta,

� okres trwania � data rozpocz¾ecia i zapadalnosci (wykupu)

� nominalna stopa procentowa nazywana tak·ze kuponem.

Wartosc certy�katu w dniu wykupu (zapadalnosci):

Wc =Wn

�1 + i

t

365

�;

gdzie r jest roczn ¾a stop ¾a procentow ¾a, natomiast odsetki s ¾a równe

I =Wnit

365:

Rentownosc certy�katu dana jest wzorem

R =Wc �Wn

Wn

365

t:

Zadanie 7.12 Inwestor naby÷w dniu emisji 90-dniowy certy�kat depozytowy o wartosci nominalnej10000PLN . Jego nominalna stopa procentowa wynosi 10%. Jak ¾a kwot ¾e otrzyma inwestor w dniuwykupu? Wyznacz rentownosc certy�katu

Zadanie 7.13 Certy�kat depozytowy o wartosci 10000PLN zosta÷sprzedany za 10150PLN po 40dniach. Oblicz rentownosc tej inwestycji.

Certy�kat mo·zna kupic na rynku wtórnym. Wówczas jego wartosc w dniu zakupu jest równa

C =Wn

1 + i t365

1 +R t0

365

;

gdzie t0 jest oznacza liczb ¾e dni od dnia zakupu certy�katu do dnia jego wykupu, natomiast R jestustalon ¾a stop ¾a rentownosci ¾a certy�katu.

Zadanie 7.14 Inwestor naby÷na rynku pierwotnym 90 dniowy certy�kat depozytowy z kuponem 6%za 100000PLN. Po miesi ¾acu sprzeda÷go na rynku wtórnym z kuponem 4%. Oblicz wartosc certy�katuw dniu sprzeda·zy oraz uzyskan ¾a przez inwestora rentowanosc.

8. METODY OCENY OP×ACALNOSCI INWESTYCJI 20

8 Metody oceny op÷acalnosci inwestycji

8.1 Metody statyczne

Metody statyczne oceny op÷acalnosci inwestycji zwane równie·z metodami niedyskontowymi nie uwzgl¾ed-niaj ¾a czasowej wartosci pieni ¾adza. Dlatego te·z metody te zalecane s ¾a we wst¾epnych fazach ocenyprojektów inwestycyjnych. Umo·zliwiaj ¾a one dyskwali�kacj¾e zamierzen inwestycyjnych przed bardziejszczegó÷owymi analizami.

a. Okres zwrotu nak÷adów inwestycyjnychOkres zwrotu nak÷adów inwestycyjnych jest czasem niezb¾ednym do tego, aby nak÷ady ponie-sione na inwestycje zosta÷y ca÷kowicie zrównane z nadwy·zkami �nansowymi osi ¾agni¾etymi dzi¾ekirealizacji danego projektu.W sytuacji gdy dochody osi ¾agni¾ete z realizacji danego projektu w kolejnych latach s ¾a równewówczas okres zwrotu nak÷adów inwestycyjnych dany jest wzorem

T =I

CF

gdzie I jest sum ¾a nak÷adów inwestycyjnych, natomiast CF jest roczn ¾a nadwy·zk ¾a �nansow ¾ab¾ed ¾ac ¾a rezultatem danego przedsi¾ewzi¾ecia. W przypadku gdy nadwy·zki �nansowe s ¾a ró·zne wposzczególnych latach wówczas szukamy najmniejszego T , takiego ·ze spe÷niona jest nierównosc

TXt=1

CFt � I � 0

b. Ksi¾egowa stopa zwrotuKsi¾egowa stopa zwrotu nazywana równie·z stop ¾a zwrotu z inwestycji stanowi miar¾e op÷acalnosciinwestycji rzeczowych. Jest ona stosunkiem przeci¾etnego zysku netto spodziewanego w okresierozpatrywanego projektu do wielkosci pocz ¾atkowych nak÷adów inwestycyjnych. Ksi¾egow ¾a stop¾ezwrotu mo·zna zatem wyznaczyc ze wzoru

ARR =ZnI;

gdzie Zn jest przeci¾etnym zyskiem netto osi ¾agni¾etym w trakcie funkcjonowania przedsi¾ewzi¾ecia,natomiast I jest wartosci ¾a pocz ¾atkow ¾a nak÷adów inwestycyjnych

c. Analiza progu rentownosciPod poj¾eciem progu rentownosci rozumiemy wielkosc produkcji, dla której przychody ze sprzeda·zys ¾a równe poniesionym kosztom. Oznaczmy przez c koszt sprzeda·zy wyrobu, przez Ks sum¾ekosztów sta÷ych produkcji, przez q liczb ¾e sprzedanych jednostek natomiast przez kz koszt zmien-ny. Próg rentownosci wyznacza si¾e z nast¾epuj ¾acego równania

cq = Ks + kzq:

Zatem ilosciowy próg rentownosci mo·zna wyznaczyc ze wzoru

q0 =Ks

c� kz:

Próg rentownosci mo·zna wyznaczyc tak·ze wartosciowo. Wówczas

cq0 =cKs

c� kz:

Podobnie jest w sytuacji produkcji wieloasortymentowej. Oznaczmy przez ci cen¾e sprzeda·zyi-tego wyrobu, przez kzi jednostkowe koszty zmienne i-tego wyrobu, przez qi wielkosc produkcji


i-tego wyrobu, Ks koszty sta÷e, q globaln ¾a produkcj¾e i wi udzia÷i-tego wyrobu w wielkosciglobalnej produkcji. Zachodzi wzór

TXi=1

ciqi = Ks +TXi=1

kzqi:

Inaczej mo·zna zapisacTXi=1

ciwiq = Ks +TXi=1

kzwiq:

Zatem

q0 =Ks

TXi=1

(ci � kz)wi

:

Innym zagadnieniem jest wyznaczenie ceny minimalnej w sytuacji z góry okreslonej wielkoscisprzeda·zy q.

cmin =kzq +Ks

q:

na podstawie tego samego wzoru mo·zna wyznaczyc graniczny poziom jednostkowych kosztówzmiennych

kmaxz =cq �Ks

q:

Margines bezpieczenstwa projektu inwestycyjnego z punku widzenia jednostkowej ceny sprzeda·zywyra·za si¾e wzorem

Mc =c� cmin

c:

Margines bezpieczenstwa projektu inwestycyjnego z punktu widzenia jednostkowych kosztówzmiennych dany jest wzorem

Mkz =kmaxz � kz

kz:

Zadanie 8.1 Pewna �rma zainwestowa÷a 10000PLN w urz ¾adzenia produkcyjne, których ·zywotnoscwynosi 5 lat. Przewiduje si ¾e, ·ze w ka·zdym roku eksploatacji urz ¾adzenie przyniesie nadwy·zk ¾e 2500PLN .Obliczyc okres zwrotu nak÷adów inwestycyjnych.

Zadanie 8.2 Przedsi ¾ebiorstwo zamierza podj ¾ac inwestycj ¾e, która wymaga poniesienia jednorazowychnak÷adów w wysokosci 5000PLN . Przewidywane nadwy·zki inwestycyjne w kolejnych latach wynosz ¾a.od-powiednio 1500PLN , 1700PLN , 2000PLN , 1500PLN , 1000PLN . Wyznaczyc okres zwrotu ponie-sionych nak÷adów.

Zadanie 8.3 Pewne przedsi ¾ebiorstwo zamierza podj ¾ac inwestycj ¾e umo·zliwiaj ¾ac ¾a zwi ¾ekszenie zysków.Rozpatruje 2 projekty inwestycyjne. Pierwszy wymaga poniesienia nak÷adów inwestycyjnych 9000PLN ,drugi 12000PLN . Nadwy·zki �nansowe zwi ¾azane z eksploatacj ¾a tych inwestycji przedstawione s ¾a wtabeli

t 1 2 3 4 5A 3000 3500 3000 2500 2000B 4000 5000 3500 3000 2000

Który z projektów nale·za÷o by przyj ¾ac do realizacji w pierwszej kolejnosci?

Zadanie 8.4 Stosuj ¾ac metod ¾e ksi ¾egowej stopy zwrotu dokonac wyboru lepszego sposród dwóch pro-jektów inwestycyjnych. W przypadku pierwszego projektu wielkosc pocz ¾atkowych wydatków inwest-ycyjnych wynosi 8000PLN , natomiast przeci ¾etne zyski s ¾a równe 500PLN . W przypadku drugiegowielkosc pocz ¾atkowych wydatków inwestycyjnych wynosi 5000PLN natomiast przeci ¾etne zyski s ¾a równe350PLN .


Zadanie 8.5 Pewna �rma produkuje artyku÷, który sprzedaje po cenie 25PLN za sztuk ¾e. Koszty sta÷ewynosz ¾a 1000PLN , natomiast zmienne 15PLN . Oblicz próg rentownosci.

Zadanie 8.6 Obliczyc progi rentownosci produkcji trzech wyrobów A, B, C, na podstawie danychzawartych w tabeli.

A B Cjednostkowa cena sprzeda·zy 20 25 30jednostkowe koszty zmienne 12 17 12udzia÷w sprzeda·zy 0; 2 0; 5 0; 3

Globalne koszty sta÷e wynosz ¾a 20000PLN .

Zadanie 8.7 Dokonac analizy granicznego poziomu ceny oraz wyznaczyc margines bezpieczenstwa jeslijednostkowe koszty zmienne wynosz ¾a 40PLN , a koszty sta÷e 80000PLN . Popyt na wyroby szacowanyjest na 20000PLN sztuk przy cenie 50PLN .

Zadanie 8.8 Dokonac analizy granicznego poziomu jednostkowych kosztów oraz wyznaczyc marginesbezpieczenstwa jesli popyt na wyroby szacowany jest na 50000 sztuk przy cenie 30PLN. Koszty sta÷ewynosz ¾a 100000PLN . Koszty zmienne szacowane s ¾a na 20PLN

8.2 Metody dynamiczne

Metody dynamiczne oceny op÷acalnosci inwestycji nazywane równie·z metodami dyskontowymi uwzgl¾ed-niaj ¾a fakt zmiany wartosci pieni ¾adza w czasie. Proces dyskontowania wartosci pieni ¾adza w czasiepozwala ocenic zamierzenia inwestycyjne poprzez sprowadzenie do porównywalnosci nak÷adów i efek-tów realizowanych w ró·znych momentach czasowych. Fakt ten pozwala na zwi¾eksenie prezcyzji ocenyop÷acalnosci inwestycji.

8.2.1 Metoda wartosci zaktuakizowanej netto

Aktualna wartosc przep÷ywów netto przyjmuje wzór

NPV =nXt=0

CFt(1 + r)t

�nXt=0

Nt(1 + r)t

:

gdzie Nt oznacza nak÷ady przewidywane na realizacj¾e inwestycji, natomiast CFt - spodziewane wp÷ywypieni¾e·zne. W sytuacji znanych przyp÷ywów netto NCFt (NCFt = CFt �Nt) powy·zszy wzór mo·znazapisac w postaci

NPV =

nXt=0

NCFt(1 + r)t

:

Zadanie 8.9 Firma rozwa·za dwa projekty inwestycyjne A i B. Przewidywane przep÷ywy pieni ¾e·znenetto tych projektów w kolejnych latach ich eksploatacji przedstawiaj ¾a si ¾e nast ¾epuj ¾aco

t 0 1 2 3 4projekt A �300 400 500 700 600projekt B �600 800 700 600 500

:

Pos÷uguj ¾ac si ¾e metod ¾a zaktualizowanej wartosci netto dokonac wyboru projektu przy za÷o·zeniu, ·ze stopadyskontowa zosta÷a przyj ¾eta na poziomie r = 10%.

Zadanie 8.10 Firma rozwa·za dwa projekty inwestycyjne A i B. Roczne nak÷ady na realizacj ¾e inwest-ycji wynosz ¾a 200PLN dla pierwszego i 300PLN dla drugiego projektu.Spodziewane nak÷ady pieni ¾e·znetych projektów w kolejnych latach ich eksploatacji przedstawiaj ¾a si ¾e nast ¾epuj ¾aco

t 0 1 2 3 4projekt A 100 400 300 200 300projekt B 200 300 400 400 300

:

Pos÷uguj ¾ac si ¾e metod ¾a zaktualizowanej wartosci netto dokonac wyboru projektu przy za÷o·zeniu, ·ze stopadyskontowa zosta÷a przyj ¾eta na poziomie r = 6%:


Sytuacja komplikuje si¾e, jesli nak÷ady inwestycyjne nie s ¾a zdeterminowane. Wówczas koniecznejest wyznaczenie wartosci oczekiwanej i odchylenia standardowego wp÷ywów pieni¾e·znych, by w konsek-wencji móc wyznaczyc wartosc oczekiwan ¾a i odchylenie standardowe wartosci zaktualizowanej netto.Wartosc oczekiwana wp÷ywów pieni¾e·znych w roku t dana jest wzorem

CF t =nXi=1

ptiCFti;

natomiast ich odchylenie standardowe

�CFt =

vuut nXi=1

pti�CFti � CF t

�2:

Srednia zakualizowana wartosc netto mo·ze zostac wyznaczona wed÷ug formu÷y

NPV =nXt=0

CF t(1 + r)t

�N0;

gdzie N0 jest jednorazowym nak÷adem inwestycyjnym. Odchylenie standardowe wartosci netto danejest wzorem

�NPV =

vuut nXt=0

��CFt(1 + r)t

�2:

Najwa·zniejsz ¾a wielkosci ¾a s÷u·z ¾ac ¾a do oceny inwestycji w warunkach ryzyka jest wspó÷czynnik zmien-nosci

VNPV =�NPV

NPV:

Zadanie 8.11 Wed÷ug czterech niezale·znych ekspertów projekt inwestycyjny mo·ze przyniesc w kole-jnych latach wp÷ywy

rok 1 2 3ekspert I 200 300 400ekspert II 300 400 500ekspert III 400 300 300ekspert IV 200 200 400

Inwestycja wymaga jednorazowych nak÷adów w wysokosci 100PLN. Zak÷adana stopa dyskontowa wynosi5%. Ocenic op÷acalnosc inwestycji za pomoc ¾a metody zaktualizowanej wartosci netto. Wyznaczycwspó÷czynnik zmiennosci

Zadanie 8.12 Wartosci oczekiwane i odchylenia standardowe wp÷ywów pieni ¾e·znych dwóch projektówinwestycyjnych dane s ¾a w poni·zszej tabeli

rok 1 2 3projekt A NPV 300 400 300

�NPV 100 100 150

projekt B NPV 400 350 400�NPV 200 150 200

Pierwsza inwestycja wymaga jednorazowych nak÷adów w wysokosci 100PLN, a druga w wysokosci200PLN. Na podstawie wartosci wspó÷czynnika zmiennosci okresl, który projekt jest bardziej op÷a-calny.


8.2.2 Metoda wewn¾etrznej stopy zwrotu

Metod¾e wewn¾etrznej stopy zwrotu stosuje si¾e wówczas, gdy zachodzi koniecznosc ustalenia wartoscistopy dyskontowej przy której suma zdyskontowanych wp÷ywów pieni¾e·znych jest równa symie zdyskon-towanych nak÷adów inwestycyjnych. Wobec tego wewn¾etrzna stopa zwrotu jest to taka wartosc stopydyskontowej przy której zaktualizowana wartosc netto jest równa 0. Mamy zatem zale·znosc

nXt=0

NCFt(1 + IRR)t

= 0:

Z postaci powy·zszego równania widac, ·ze znalezienie analitycznego wzoru na IRR mo·ze byc bardzoskomplikowane. Dlatego trzeba pos÷u·zyc si¾e wzorem przybli·zonym

IRR = r1 +PV (r2 � r1)PV + jNV j ;

gdzie r1 jest stop ¾a dyskontow ¾a dla której NPV > 0; r2 jest stop ¾a dyskontow ¾a dla której NPV < 0;PV jest wartosci ¾a NPV dla r1, natomiast NV jest wartosci ¾a NPV dla r2:Aby jakosc przybli·zenia by÷a dobra wa·zne jest aby wartosci r1; r2 by÷y sobie bliskie. Zwykle

przyjmuje si¾e, ·ze ich ró·znica nie powinna przekraczac 0; 1%.

Zadanie 8.13 Obliczyc wewn ¾etrzn ¾a stop¾e zwrotu inwestycji wymagaj ¾acej jednorazowych nak÷adóww wysokosci 1000PLN i dla której szacowane wp÷ywy pieni ¾e·zne w kolejnych pi ¾eciu latach wynosz ¾a200PLN , 300PLN , 200PLN , 400PLN , 300PLN .

Zadanie 8.14 Obliczyc wewn ¾etrzn ¾a stop¾e zwrotu inwestycji wymagaj ¾acej jednorazowych nak÷adóww wysokosci 2000PLN i dla której szacowane wp÷ywy pieni ¾e·zne w kolejnych pi ¾eciu latach wynosz ¾a300PLN , 400PLN , 500PLN , 600PLN , 300PLN .

8.2.3 Metoda zmody�kowanej wewn¾etrznej stopy zwrotu

Metoda ta uwzgl¾ednia mo·zliwosc reinwestowania wp÷ywów pieni¾e·znych. Za÷ózmy ·ze wp÷ywy pieni¾e·znepodlegaj ¾a reinwestowaniu wed÷ug stopy procentowej r: Wobec tego zmody�kowana wewn¾etrzna stopazwrotu to taka stopa, która spe÷nia równosc

nXt=0

Nt(1 + r)t

=

nXt=0

CFt(1 + r)n�t

(1 +MIRR)n:

Z powy·zszej zaje·znosci mo·zna wyznaczyc

MIRR =

"nXt=0

CFt(1 + r)n�t

# 1n

"nXt=0

Nt

(1+r)t

# 1n

� 1:

Uwaga 8.1 Godne uwagi s ¾a jedynie te projekty, dla których MIRR > r:

Zadanie 8.15 Ocen czy projekt inwestycjny nale·zy przyj ¾ac do realizacji, jesli na pocz ¾atku wymaga onponiesienia nak÷adów inwestycyjnych równych 1000PLN, a w pi ¾eciu kolejnych latach przyniesie wp÷ywyrówne odpowienio 200PLN , 300PLN , 500PLN , 400PLN , 300PLN . Wp÷ywy s ¾a reinwestowane zestop ¾a procentow ¾a 10%.

Zadanie 8.16 Który projekt inwestycyjny nale·za÷oby przyj ¾ac do realizacji w pierwszej kolejnosci opier-aj ¾ac si ¾e na zmody�kowanej stopie zwrotu, jesli stopa procentowa wynosi 10%. Wp÷ywy i nak÷ady

LITERATURA 25

przedstawia poni·zsza tabela

rok 0 1 2 3 4projekt A nak÷ady � 200 100 300 300

wp÷ywy 900 � � � �

projekt B nak÷ady � 200 100 300 400wp÷ywy 800 � � � �

Literatura

[1] Dobija M., Smaga E., Podstawy Matematyki �nansowej i ubezpieczeniowej, PWN 1995.

[2] Mat÷oka M., Matematyka z elementami zastosowan w ekonomii, wyd. WSB w Poznaniu 1998

[3] Mat÷oka M., Matematyka w �nansach i bankowosci, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej wPoznaniu, Poznan 2002.

[4] Mat÷oka M., Matematyka w ubezpieczeniach na ·zycie, wyd. WSB w Poznaniu 1997

[5] Smaga E., Arytmetyka Finansowa, PWN 1999.

Documents

Matematyka_finansowa