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MATEMÁTICAS 4º DE ESO - OP. A

REPASO

TEMA 1: OPERACIONES CON POTENCIAS Y RADICALES

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.- Expresa bajo un radical

9.- Expresa bajo un radical

10.- Expresa bajo un radical

11.- S:

12.-

2

TEMA 2A: POLINOMIOS

1.- Descompón en producto de tres factores el polinomio

S: 5 (x-2) (x+3)

2.- Descompón en factores el polinomio sabiendo que x=3 es un cero

(raíz) del mismo.

S: (x-3) (x+2) (x-2) (x+4)

3.- Descompón en producto de 4 factores el binomio

S:

4.- Descompón en factores los siguientes polinomios:

a.- S: (5x+1) (-x-3)

b.- S:

c.- S:

5.- Halla el valor de r para que (-2) sea un cero del polinomio

S: r = 6

6.- ¿Es divisible entre S: Sí ya que P(-3) = 0

7.- Halla p para que sea exacta la división S: p = -15

8.- En el polinomio determina m para que al dividirlo por (x+2) de 16 de resto.

S: m = 10

9.- ¿Son exactas estas divisiones? Si lo son halla el cociente, y si no calcula el resto:

a.- S: Es exacta. Cociente:

b.- S: Es exacta. Cociente:

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TEMA 2B: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.- S:

4

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.- S:

18.- S: 0

19.- S:

20.- S: 1

21.- S: 1

22.- S: 1

23.-

5

24.-

25.-

26.-

TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS

Resolver las siguientes ecuaciones o sistemas:

1.- S: x=-3/2, x=3/2 2.- S: x=6, x=-5

3.- S: 4.- S

5.- Representa gráficamente el sistema anterior. S: x=2; y = 1

6.- . Representa gráficamente el sistema anterior. S: x = 5; y = 6

PROBLEMAS DE ECUACIONES

1.- Calcula un número que sumado con el doble de su raíz cuadrada nos dé 24. S: 16

2.- Las dos cifras de un número suman 11, y el producto del número por el que se obtiene al invertirsus cifras es 3.154. Halla el número buscado. S: 83 ó 38

3.- Tres segmentos miden 8, 22, 24 cm. Si a los tres les añadimos una misma longitud, el triánguloconstruido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud. S: l = 2 cm.

4.- Determina las dimensiones de un rectángulo cuya superficie es de 8 y la diagonal mide 2

metros. S: 4 e 2 cm.

5.- Dentro de 11 años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años.Calcula la edad de Pedro. S: 21 años.

6.- Un ciclista, en un recorrido de 150 km. llegaría 2 horas y media antes si lleva una media de 5 km.

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más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido. S: 10 horas

7.- Dos grifos vierten a la vez en un depósito, y tardan 2 horas en llenarlo. ¿Cuánto tiempo emplearácada grifo en llenar el depósito si se sabe que el segundo tarda 3 horas más que el primero?S: un grifo 3 horas y el otro 6 horas

8.- Halla tres números impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen 5.051.S: 39, 41, 43; o bien -39, -41, -43.

9.- Un triángulo rectángulo inscríbese en una circunferencia de radio 5 cm. Si sus catetos se diferen-cian en 2 cm, ¿cuáles son las dimensiones de este triángulo?S: 6, 8, 10 cm

TEMA 4: PROPORCIONALIDAD

1. Determina el importe del alquiler mensual de una vivienda por la que se pagaban 640 € si sabesque subió un 12 %Sol: 716'80 €

2.- Un empresario decide repartir unos beneficios de 4.800 € entre sus 3 empleados de forma directa-mente proporcional al tiempo que llevan trabajando en la empresa: 2, 6 e 12 anos. ¿Qué cantidadle corresponde a cada uno?Sol: 480 €, 1.440 € 2.880 €

3.- Leo prestó a Rafa 15.000 €, que se los devolverá en 16 meses con un interés simple del 0'3 % anual.Determina la cantidad total que recibirá Leo.Sol: 15.060 €

4.- En un concurso de poesía se van a repartir 3.300 € entre los tres participantes con mejor puntua-ción. El reparto será de manera inversamente proporcional al lugar que ocupan en la clasificación.Calcula la cantidad que recibirá cada uno de ellos.Sol: E 1º, 1800 €; el 2º, 900 € y el 3º 600 €

TEMA 5: SEMEJANZA

1.- En un triángulo rectángulo de 7 cm. de altura sobre la hipotenusa se cumple la relación

donde m y n son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Calcula m y n.S: m = 3'5 cm ; n = 14 cm

2.- ¿Cuál es el área de un hexágono regular semejante a otro de lado 2 cm y con una razón de semejan-

za de 3/2? S: 23'4

3.- Un frasco de colonia de forma cilíndrica mide 20 cm de altura e 3 cm de raio. Se queremos ampliaro seu tamaño en 10 veces, ¿cal será o volume do novo frasco de colonia?

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Sol: 565'2

4.- En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos que miden2 e 18 centímetros respectivamente.Calcula el área de un triángulo rectángulo semejante con razón de semejanza k = 3/2.

Sol: 135

5.- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 8 cm x 20 cm. El lado menor de otro rectángulo semejan-te a él, mide 6 cm. Halla:a) La razón de semejanza para pasar del primero al segundo. S: k = 3/4b) El lado mayor del segundo. S: 15 cm

c) Las áreas de ambos rectángulos. S:

6.- El perímetro de un hexágono regular mide 60 cm, y el lado de otro hexágono semejante es de 8cm. Calcula la razón entre las áreas.S: 16/25

TEMA 6: PROBLEMAS MÉTRICOS

1.- Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de 18 cm de diagonal.

Sol: Perímetro 50'92 cm; Área: 162

2.- Calcula el área total de un prisma pentagonal de 6 cm de lado, 3'8 de apotema y 18 de altura.

Sol: 654

3.- Calcula el área total de un cono de 24 cm de generatriz y 6 de radio de la base.

Sol: 565'49

4.- Determina la altura de un cilindro de 5852,79 de volumen y 23 dm de diámetro.

Sol: 14'09 dm

5.- Calcula el radio de una esfera de 0'18 de volumen.

Sol: 0'35 m

TEMA 7 - 8: FUNCIONES

1.- Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a.- Sol: R

b.- S:

c.- Sol;

e.- S: R - {2,-2}

8

d.- S: R - {0}

f.- Sol:

2.- a.- Debuxar a seguintes funcións lineaisa1.- f(x) = 5 - x; a2.- g(x) = -2; a3.- h(x) = x

b.- Achar o punto de intersección de f e hSol: (5/2, 5/2)

3.- Sea la función

a.- Hacer su gráficab.- Hallar su dominio, imagen y monotonía.S: Dom f: ; Im f: ; Crece en ; Decrece en

4.- Sea la función .

a.- Hacer su gráfica.b.- Hallar su dominio, imagen y monotonía.S: Dom f: ; Im f: ; Crece en ;

constante en (1, 3)

5.- De las siguientes parábolas hallar su eje, el vértice, los puntos de corte con los ejes y la curvatura..Posteriormente haz su dibujo.

a.- S: Eje : x=3; V(3,-25); Puntos de corte: (8,0),(-2,0),(0,-16); Convexa

b.- S: Eje: x=-1; V(-1,2); Puntos de corte: (0,3); Convexa

c.- S : Eje: x=-1; V(-1,0); Puntos de corte: (0, -1),(-1,0); Cóncava

6.- Se construye un túnel bajo el mar cuya trayectoria se ajusta bien a la función , siendo

x la longitud del túnel medida en kilómetros y f la profundidad del túnel, en hectómetros.a.- Representa la trayectoria del túnelb.- Indica la longitud del túnel. S: 8 kilómetrosc.- ¿Qué profundidad tiene a los 6 kilómetros? 150 m.d.- ¿A que distancia de la boca adquiere su máxima profundidad, y cuánto vale ésta?

S: 4 quilómetros; 200 me.- ¿A qué distancia de la boca adquiere una profundidad de 50 m? S: a 0'54 y 7'46 km.

7.- Sea la función .

Identifica de qué tipo es la función, haz su gráfica e indica sus características (dominio, imagen,monotonía y simetría).

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Sol: Es una hipérbola, Dom (f) = R - {0}, Im (f) = R - {0}, decrece en ; impar,

simétrica respecto al origen O.

TEMA 9: ESTADÍSTICA (los problemas se harán con el programa EXCEL)

1.- En las aulas de Bachillerato de un centro escolar hay 100 alumnos en la modalidad de Humanidadesy CC. SS., 54 en la de CC. NN y Tecnología, y 78 en la de Artes. Representa estos datos en undiagrama de barras y en un diagrama de sectores.

2.- Los siguientes datos indican el número de veces que practica deporte por semana un grupo de 25personas:

3, 4, 6, 3, 5, 2, 4, 3, 2, 1, 7, 4, 3, 2, 2, 0, 5, 3, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 0.Calcula:a.- El rango S: r = 7b.- La media, mediana y moda: 2'64; 2; 2c.- La desviación típica S: s = 1'830409d.- El coeficiente de variación. ¿Están los datos dispersos? S: CV = 69'33%. Sí

Realiza un diagrama de barras con los datos y traza el polígono de frecuencias correspondiente.

3.- Las faltas de puntualidad en la clase de 4º E, a lo largo de los 5 días lectivos de una semana,son las siguientes:

Nº de faltas 0 1 2 3 4 5

Nº de alumnos 2 3 6 7 4 3

Calcular la media y la desviación típica.S: media: 2'68; desviación típica: 1'4062Hacer una representación gráfica adecuada.

TEMA 10 PROBABILIDAD

1.- En una universidad en la que no hay más que estudiantes de Ingeniería, Ciencias y Letras,acaban la carrera el 5% de Ingeniería, el 10% de Ciencias y el 20% de Letras. Se sabe que el20% estudian Ingeniería, el 30% Ciencias y el 50% Letras. Tomando un alumno al azar, se pide:

a.- Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de Ingeniería. R: 0'01

b.- Nos dice que ha acabado la carrera. Probabilidad de que sea de Ingeniería. R: 1/14

2.- Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primeraprueba es 0'6. La probabilidad de que pase la segunda es 0'8, y la de que pase ambas es 0'5.

a.- Probabilidad de que al menos pase una prueba. R: 0'9

b.- Probabilidad de que no pase ninguna prueba. R: 0'1

c.- Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera.

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R: 0'75

3.- El 20% de los empleados de una empresa son Ingenieros y otro 20% son Economistas. El 75% delos ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que delos No Ingenieros y No Economistas sólo el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabili-dad de que un empleado Directivo elegido al azar sea Ingeniero? R: 15/37

4.- Un 10% de las personas que viven en cierta ciudad han padecido determinada enfermedad. Si seexaminan tres personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que alguna de ellas haya padecido estaenfermedad? R: 0'271

5.- Se tiran dos dados.

a.- Calcular la probabilidad de obtener dos números pares. R: 1/4

b.- Calcular la probabilidad de obtener un número par y un número impar. R: ½

6.- Un dominó consta de 28 fichas, de las cuales 7 son dobles. Escogidas 3 fichas al azar, calcular laprobabilidad de que alguna sea doble si

a.- se extraen las tres simultáneamente. R: 0'594

b.- se extraen de una en una con reemplazamiento. R: 0'578

7.- Una fábrica dispone de tres máquinas, A, B y C que fabrican arandelas. Se sabe que la máquinaA produce un 1% de arandelas defectuosas, la B un 3% y la C un 2%. La A produce el 25% deltotal de unidades, la B el 40% y la C el 35%. Al cabo de un día, se toma una arandela al azar dela producción total.

a.- Calcular la probabilidad de que sea defectuosa. R: 0'0215

b.- Si resultó defectuosa, calcular la probabilidad de que pertenezca a la máquina A. R: 5/43

8.- Un equipo de fútbol tiene dos guardametas. El habitualmente titular recibe un solo gol el 20% delos partidos, 2 goles el 10% y más de dos goles el 5%. El resto de los partidos consigue dejar sumeta a 0. El segundo es un poco más “manta” y recibe un solo gol el 35% de los partidos, 2 golesel 15% y más de dos goles el 10%. El resto de los partidos consigue mantener su meta imbatida.

Durente la semana, el entrenador ha tenido problemas en el vestuario y ha dudado entre alinearun portero u otro. El partido se ha jugado y el equipo ha encajado un gol. Calcula la probabilidadde que haya salido el portero reserva, sabiendo que el entrenador, al final, se jugó a cara o cruz elportero que debía sacar de titular. R: 0'636

Todos los problemas siguientes se hacen en clase. El alumno se preocupará de anotar las soluciones.

9.- La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0'6, la de que apruebe Lengua es 0'5y la de que apruebe las dos es 0'2.

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe por lo menos una materia?

b.- ¿Y la de que no apruebe ninguna?

c.- ¿Y la de que apruebe Matemáticas y no Lengua?

10.- Una caja A contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Otra caja B contiene 3 bolas blancas y 2 negras.Sacamos una bola de la caja A y la introducimos en la caja B. Si a continuación se extrae una bola

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de la caja B, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?

11.- En una ciudad el 40% de los habitantes tienen teléfono, el 70% tienen radio y el 30% ambas cosas.¿Cuál es la probabilidad de que un habitante seleccionado al azar no tenga ninguna de las doscosas?

12.- Se dispone de tres cajas con lámparas. La primera contiene 10 lámparas, de las cuales hay 4fundidas; en la segunda hay 6 lámparas, estando una fundida, y en la tercera caja hay tres lámparasfundidas de un total de 8. ¿Cual és la probabilidad de que al tomar una lámpara al azar de una cual-quiera de las cajas, esté fundida?

13.- En una ciudad el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene los ojos castaños y el15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar. Calcular:

a.- Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños?

b.- Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c.- ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

14.- En un curso de 2º de BAC hay 120 alumnos. 50 estudian Francés, 80 Química y 20 estudianFrancés y Química. Se elige en ese curso un estudiante al azar. ¿Qué probabilidad hay de que noestudie ninguna de las dos materias?

15.- Ante un examen, un alumno sólo estudió 15 de los 25 temas correspondientes a la materia delmismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de losdos para ser examinado del mismo. Halla la probabilidad de que el alumno pueda elegir en elexamen uno de los temas estudiados.

16.- En una casa hay tres llaveros A, B y C, el primero con 5 llaves, el segundo con 7 y el tercero con8, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero, yde él una llave para intentar abrir el trastero. Pídese:

a.- ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

b.- ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el 3º y la llave no abra?

c.- Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primerllavero A?

17.- En un cierto edificio se usan dos ascensores: el 1º lo usan el 45% de los inquilinos, y el resto usael 2º. El porcentaje de fallos del 1º es del 5%, mientras que el del 2º es del 8%. Si un cierto díaun inquilino queda "atrapado" en un ascensor, hallar la probabilidad de que sea en el 1º.

18.- Para la señalización de urgencia de un hospital se instalaron dos indicadores que funcionanindependientemente. La probabilidad de que el indicador A se accione durante la avería es de 0'99,mientras que para el indicador B la probabilidad es 0'95.

a.- Calcula la probabilidad de que durante una avería se accione un solo indicador.

b.- Calcula la probabilidad de que durante una avería no se accione ningún indicador.

19.- Una encuesta dice que el 35% de los habitantes de una ciudad leen el periódico A, el 28% leenB y un 10% leen ambos periódicos. Si se elige al azar un ciudadano, calcular la probabilidad de

a.- que lea ambos periódicos, sabiendo que lee A

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b.- que lea ambos periódicos, sabiendo que lee por lo menos uno

c.- que no lea B, sabiendo que lee A

d.- que lea A, sabiendo que no lee B

20.- En cierto hotel, el 40% de los huéspedes del año 2004 fueron hombres y el resto mujeres. Del totalde mujeres, el 65% fueron extranjeras y el resto, nativas. Si se elije al azar un huésped del hotel,¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y nativa?

21.- Un cazador tiene una escopeta de 5 tiros. La probabilidad de acertar a una perdiz es 0'2.

¿Cuál es la probabilidad de que dé a la perdiz en el tercer disparo? ¿Y en tres disparos?

22.- Un juego consiste en tirar un dado y gana quien saca un 6.

Si sabemos que un jugador ganó, ¿cuál es la probabilidad de que haga trampa?

Se sabe que el 40% de los jugadores son tramposos, y que un jugador tramposo siempre gana.

23.- Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma: cada uno lo lanza como máximo una vez.Si el primero en lanzar saca un 6, gana y se acaba la partida; si no, lanza el segundo, que gana siobtiene un 4 ó un 5, acabando la partida. Si tampoco gana éste, lanza el dado el tercero, que ganasi obtiene 3, 2 ó 1. Si no gana el tercero, la partida finaliza. Halla las probabilidades de ganar quetiene cada uno y la probabilidad de que la partida acabe sin ganador.

24.- Los números de teléfono de una ciudad son todos de 6 cifras (descontando el prefijo) que empiezanpor 1 ó por 2. Se elige un número de teléfono al azar. Se pide:

1º - Probabilidad de que el número elegido no contenga la cifra 5.

2º - Probabilidad de que el número elegido empiece por 1 y acabe en 2.

25.- Juanito quiere gastar una broma a los fumadores de su casa. En el paquete de su padre, que contiene5 cigarros, coloca petardos en 4 de ellos, y en el paquete de su abuela, que contiene 12, ponepetardos en 5. Al cabo de un momento se oye la explosión de uno de los petardos. ¿Qué probabili-dad hay de que el cigarro que explota sea de la abuela? ( Se supone que el consumo de tabaco esel mismo en ambos fumadores).

26.- En una competición de tiro con arco cada tirador dispone, como máximo, de tres intentos parahacer diana. En el momento en que lo consigue, deja de tirar y supera la prueba, y si no lo consigueen ninguno de los tres intentos, queda eliminado. Si la probabilidad de hacer blanco con cadaflecha, para un determinado tirador, es 0'8

a.- calcular la probabilidad de no quedar eliminado.

b.- Si sabemos que hizo diana, ¿cuál es la probabilidad de que lo consiguiese en el 2º intento?

27.- En una máquina se fabricaron 100 piezas, de las cuales 15 presentaron algún defecto.

a.- Calcular la proporción de piezas que no son defectuosas.

b.- Calcular la probabilidad de que si examinamos dos piezas, ambas resulten defectuosas.

c.- Si comprobamos dos piezas y la 1ª es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la segundano lo sea?