mathem-kstuca.ucoz.uamathem-kstuca.ucoz.ua/Liter/modul_n_integr_ua.pdf · 3 ВСТУП Мета викладання розділу “Невизначений та визначений

1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

Спеціальність: для технічних спеціальностей

Методичні вказівки до виконання завдань модуля “Невизначений і визначений інтеграл”

з курсу “Вища математика”

Харків ХДТУБА 2008

2

Методичні вказівки до виконання завдань модуля “Невизначений і визначений інтеграл” з курсу “Вища математика” для студентів технічних спеціальностей/Укладачі: Н.Ю. Іохвідович, І.В Подкопай. – Харків: ХДТУБА, 2008. - 38с.

Рецензент Л.І. Щелкунова Кафедра вищої математики

3

ВСТУП Мета викладання розділу “Невизначений та визначений інтеграли” –

навчити студентів володінню апаратом інтегрування для розв’язання геометричних та фізичних задач.

Основне завдання цього розділу – виробити у студентів уміння та навички обчислювати невизначені, визначені та невласні інтеграли та застосовувати це при розв’язанні прикладних задач фізики, механіки, геометрії та задач фахових спеціальностей.

Метою даного розділу є: - прищепити необхідні теоретичні знання та вміння застосовувати основні поняття, властивості і методи обчислення інтегралів; - сформувати первинні навички математичного дослідження прикладних задач; - виробити вміння самостійно розв’язувати задачі та використовувати літературу за даним розділом; - навчити застосовувати теоретичні знання на практиці; - навчити самостійно поглиблювати свої знання, розвивати логічне і алгоритмічне мислення.

Опанувавши розділ “Невизначений та визначений інтеграл”, студенти

повинні вміти обчислювати ці інтеграли при розв’язанні прикладних задач. Важливим елементом засвоєння понять та методів інтегрування є

самостійна робота студентів – важлива складова виконання індивідуальних завдань, поточних домашніх завдань та виконання модульної контрольної роботи.

Результативність самостійної роботи студентів забезпечується системою контролю, яка включає виконання кяонтрольної роботи з теми “Невизначений інтеграл”, виконання та захист індивідуального завдання з теми “Застосування визначеного інтеграла” і виконання модульної контрольної роботи з теми “Інтеграл”.

У результаті вивчення матеріалу цього модуля студенти повинні засвоїти основні поняття, формули та методи обчислення та застосування визначених інтегралів, вміти розв’язувати геометричні та фізичні задачі за допомогою визначених інтегралів.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА МОДУЛЯ

1 Визначення і властивості невизначеного інтеграла, методи обчислення. 2 Визначення і властивості визначеного інтеграла, методи обчислення, геометричні і фізичні застосування. 3 Невласні інтеграли І і ІІ роду.

4

І СТРУКТУРА МОДУЛЯ ТА ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ

ПРОГРАМА МОДУЛЯ I Невизначений інтеграл:

1 Первісна функція. 2 Невизначений інтеграл. 3 Існування невизначеного інтеграла. 4 Заміна змінних у невизначеному інтегралі. 5 Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі. 6 Інтегрування простіших раціональних дробів. 7 Інтегрування раціональних дробів. 8 Інтегрування тригонометричних виразів. 9 Інтегрування лінійних ірраціональностей.

ІІ Визначений інтеграл:

1 Інтегрування квадратичних ірраціональностей. 2 Визначений інтеграл. 3 Формула Ньютона-Лейбниця. 4 Існування визначеного інтеграла. 5 Заміна змінних у визначеному інтегралі. 6 Інтегрування частинами у визначеному інтегралі. 7 Площа фігури в декартовій системі координат.

ІІІ Застосування визначеного інтеграла:

1 Площа фігури в полярній декартовій та полярній системі координат. 2 Площа фігури при параметричному завданні функцій. 3 Об’єм тіла за площами паралельних перетинів. 4 Об’єм тіла обертання в декартовій системі координат та при параметричному завданні функцій. 5 Довжина дуги лінії в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції. 6 Площа поверхні обертання в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції. 7 Маса дуги лінії в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції. 8 Маса фігури в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції. 9 Статичні моменти фігури відносно осей координат. 10 Координати центра ваги фігури. 11 Статичні моменти дуги лінії відносно осей координат. 12 Координати центра ваги дуги лінії.

5

ІV Невластиві інтеграли І і ІІ роду: 1 Невластивий інтеграл I роду. 2 Ознаки збіжності для невластивого інтегралу. 3 Невластивий інтеграл II роду. 4 Ознаки збіжності для невластивих інтегралів II роду.

ЦІЛЬОВА НАСТАНОВА

Навчити студентів обчисленню невизначених, визначених та невластивих інтегралів та їх застосуванню в геометричних, фізичних, механічних задачах і прикладних задачах своєї спеціальності.

КОНТРОЛЬНІ ЗАХОДИ МОДУЛЯ

1 Контрольна робота “Невизначений інтеграл”. 2 Виконання і захист індивідуального завдання. 3 Модульна контрольна робота “Невизначений та визначений інтеграл”.

6

ІІ ПИТАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ТЕОРЕТИЧНИХ ЗНАНЬ

І Знати: визначення (в), властивості (вл). Вміти: записати формулу (ф), сформулювати теорему (т), довести

теорему (д). 1.1. Первісна функція (в, вл, ф). 1.2. Невизначений інтеграл (в, вл, ф). 1.3. Існування невизначеного інтеграла (т). 1.4. Заміна змінних у невизначеному інтегралі (ф). 1.5. Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі (ф). 1.6. Інтегрування простіших раціональних дробів (ф). 1.7. Інтегрування раціональних дробів (ф, т). 1.8. Інтегрування тригонометричних виразів (ф). 1.9. Інтегрування лінійних ірраціональностей (ф). 1.10. Інтегрування квадратичних ірраціональностей (ф). 1.11. Визначений інтеграл (в, вл, ф). 1.12. Формула Ньютона-Лейбниця (ф). 1.13. Існування визначеного інтеграла (т). 1.14. Заміна змінних у визначеному інтегралі (ф). 1.15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі (ф). 1.16. Площа фігури в декартовій системі координат (ф, д). 1.17. Площа фігури в полярній системі координат (ф, д). 1.18. Площа фігури при параметричному завданні функцій (ф). 1.19. Об’єм тіла за площами паралельних перетинів (ф). 1.20-1.21. Об’єм тіла обертання в декартовій системі координат та при

параметричному завданні функцій (ф). 1.22.-1.24. Довжина дуги лінії в декартовій, полярній системах координат та

при параметричному завданні функції (ф). 1.25.-1.27. Площа поверхні обертання в декартовій, полярній системах

координат та при параметричному завданні функції. 1.28.-1.30. Маса дуги лінії в декартовій, полярній системах координат та

при параметричному завданні функції. 1.31-1.33. Маса фігури в декартовій, полярній системах координат та при

параметричному завданні функції. 1.34. Статичні моменти фігури відносно осей координат (ф). 1.35. Координати центра ваги фігури (ф, д). 1.36. Статичні моменти дуги лінії відносно осей координат (ф, д). 1.37. Координати центра ваги дуги лінії (ф, д). 1.38. Невластивий інтеграл I роду (в, вл). 1.39. Ознаки збіжності для невластивого інтеграла (ф). 1.40. Невластивий інтеграл II роду (в, вл). 1.41. Ознаки збіжності для невластивих інтегралів II роду (ф).

7

II Вивести формули пунктів: 1.4, 1.5, 1.14, 1.15-1.37. Довести теореми пунктів: 1.12, 1.39, 1.41. ІІІ Показати практичні навички: 3.1. Обчислення невизначених, визначених та невластивих інтегралів. 3.2. Виконання заміни змінних у невизначених та визначених інтегралах. 3.3. Знаходження площ фігур, об’єм тіл, площ поверхонь обертання, мас

фігур та дуг ліній, статичних моментів фігур та дуг ліній, координат центра ваги фігур та дуг ліній за допомогою визначеного інтеграла.

3.4. Володіння методами обчислення невизначених та визначених інтегралів від раціональних, тригонометричних та ірраціональних функцій.

8

ІІІ ІНДИВІДУАЛЬНІ ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ Замість n – номер варіанта.

І Таблиця інтегрування.

1) nxdx , 2) dx

xxexx xn

3

2

, 3) dxx n )1( , 4) dxxnx nn 11 , 5)

n

n

xdxx

4

1

,

6) dxxxn cossin , 7) 21)(

xdxarctgx n

, 8) 21)(arcsin xx

dxn

, 9) xxdx

nln, 10)

dxnx

x .

ІІ Методи інтегрування: частинами і заміна змінних.

1) nxdxx sin , 2) dxex nx , 3) dx

xx

n 1

ln , 4) )1( 1n xxdx , 5)

2

2

xndxx , 6)

dxx

nx 3 .

ІІІ Інтегрування раціональних дробів та інтегралів виду

dxcbxax

BAx2

.

1) ))(1( nxnxxdx , 2)

)1(

)(2 xx

dxnx , 3)

442

2

2

nxxnx , 4)

12)1( 2 xxnxdx .

Тим, хто бажає краще підготуватися до складання даного модуля,

рекомендуємо після закінчення теми “Невизначений інтеграл” виконати завдання. ІV Знайти інтеграли:

Варіант 1

1.

.312

dxx

x 6.

.114

74x

xdx

2. .5cos 2 dxxx 7. .

43

2xx eedx

3.

.54

46

2

x

dxx 8. .

7sin3cos2

2 xxdx

4. .

101311

6

5

xdxx 9. .31 3 dxx

5. .cos

tg32 23

xdxx 10. .

cos33 2

tg

xdxx

9

Варіант 2

1. .sin dxee xx 6.

.3cos3sin4

2 dxxx

2.

.79

58

3

x

dxx 7.

.312

56

2

x

dxx

3. .

34

xx eedx 8.

.16ln11 2 xx

dx

4. .

ln164

2 xxdx 9. .4

2dxx

5. .345 dxee xx 10. .5

2dxx x

Варіант 3

1.

.713

310

4

x

dxx 6.

.105

138

3

x

dxx

2. .

5235 xx

dx 7. .

93

2xx eedx

3.

.tg dxeex

x

8. .543

2

6

dxx

xx

4. .

cos513sin4

2 xxdx 9. .

sincos 2

dxxx

5. .

ctg75sin3

42 xxdx 10.

.

3cos59

6sin172 x

xdx

Варіант 4

1.

.cos9

2sin42 x

xdx 6.

.710

34x

xdx

2. .5tg 32 dxxx 7.

.4cos164tg

722 x

dxx

3.

.111

34x

xdx 8. .125

2

3

dxx

xxx

4. .

4325

x

x dx 9. .

3sin2

cos x

xdx

5. .632 7 52 dxxx 10. .2

ln 7

dxxx

10

Варіант 5

1.

.37

58

3

x

dxx 6. .

143

2xxdx

2. .

5114

10

4

xdxx 7.

.513

44xxdx

3. .7sin3

52 x

dx 8. .73

3

24

dxxxx

4.

.94

35x

x dx 9. .7532 dxx x

5. 6 5ln23

4

xx

dx . 10. .25sin 43 dxxx

Варіант 6

1.

.sin3

cos52 x

xdx 6.

.25

46

2

x

dxx

2. .5sin

112 xdx 7.

.107

58

3

xdxx

3. .

3154

6

2

xdxx 8. .1

3 dxe x

4. .845 432 dxxx 9. .sin

2 2ctg

xdxx

5. .

3sin5103cos2

xxdx 10. .7cos 2 xdx

Варіант 7

1. .

1195

8

3

xdxx 6.

.

93

710

4

x

dxx

2. .4sin

32 xdx 7.

.164

710

4

xdxx

3.

.49

23x

x dx 8. .2ln 2

dxx

xx

4. .453 2 dxxx 9. .55 dx

x

x

5. .

43

32

dxe

exx

x

10. .lnsin dxx

x

11

Варіант 8

1. .3ctg 2dxxx 6.

.311

108

3

x

dxx

2. .

costg25

22 xxdx 7.

.98

32x

x

edxe

3. .

856

4

3

xdxx 8.

.31

2

dxx

x

4.

.cos21

sin3 2x

xdx 9. .3cos5 3sin2 xdxx

5.

.ln6

52 xx

dx 10. .

13

2

arctg

dxx

xx

Варіант 9

1.

.9

72x

x

e

dxe 6. .

1145

6

2

xdxx

2. .

10127

8

3

xdxx 7.

.

costg47

22 xxdx

3. .543

2 dxx

xx 8. .2cos

2tg35 23

xdxx

4.

.512

53x

x dx 9. .dxexex

5. .

4cos788sin5

2 xxdx 10.

.

362 xx

dx

Варіант 10

1. .

21137

6

2

xdxx 6.

.10sin

cos52 x

xdx

2. .

5cos235sin7

xxdx 7.

.5

3ln73 2

dxxx

3. .4 dx

xxxe x

8.

.8

32x

x

e

dxe

4. .

2sin432cos18

xxdx 9. .3 142 3

dxex x

5.

.11

56

2

x

dxx 10. .37tg5 xdx

12

Варіант 11

1.

.1513

54x

xdx 6. .

49475

xx

dx

2.

.12 dxx

xx 7. .

763

4xxdx

3.

.53

32

dxx

x 8. .75ctg3 xdx

4. .

ln2134

xxdx 9.

.9

53 2x

dx

5. .

475

3

2

xdxx 10.

.

51

116

2

x

dxx

Варіант 12

1.

.123

710

4

x

dxx 6. .

3108

10

4

xdxx

2.

.22

3 2

dxx

x 7.

.91

5

xx

dx

3.

.213

712

5

x

dxx 8. .5sin

32 xdx

4. .

45

x

x

edxe 9. .510 243

dxxx

5. .

2345

8

3

xdxx 10.

.5cos5tg23

922 xx

dx

Варіант 13

1.

.7ln

52 xx

dx 6. .

45

xxdx

2. .21 3 dxx 7. .

6sin346cos7

xxdx

3. .

7212

3

2

xdxx 8.

.

3123

dxxe xx

4.

.713

26

2

x

dxx 9. .2

3cos2 2 dxx

5. .

13tgcos11

22 xxdx 10.

.2sin

2sin232

3

dxx

x

13

Варіант 14

1.

.35

118

3

x

dxx 6. .5132 dxx

2. .

123ln 2 xxdx 7.

.

cos3

2sin2 x

xdx

3. .

254sin84cos3

2 xxdx 8.

.4cos1

8x

dx

4. .

123sin3cos7

xxdx 9. .2sincos5 xdxx

5.

.3sin9

3cos72 x

xdx 10. .13 dxx

x

Варіант 15

1.

.43 2x

dx 6.

.412

116

2

x

dxx

2.

.79

56

2

x

dxx 7. .

7ctgsin9

22 xxdx

3. .

5937

x

x dx 8.

.22

3

xdxx

4.

.3cos53

6sin72 x

xdx 9.

.

6sin2 2 dxx

5. .

7cos7tg83 2 xxdx 10.

.3 4

4

x

x

edxe

Варіант 16

1. .56ctg dxx 6.

.51

116

5

x

dxx

2.

.52

116

2

x

dxx 7. .

11932xdx

3. .

7123

2xxdx 8. .)cos(sin 2 dxxx

4.

.177

312

5

x

dxx 9. .73 23 2dxx x

5. .

5sin5ctg3 22 xxdx 10.

.7322524

dxx

exxx x

14

Варіант 17

1. .

24

2

4

dxxx 6.

.

179

74x

xdx

2.

.54

42x

xdx 7. .

7cos5sin3

2 xxdx

3. .

71511

8

7

xdxx 8. .83 7 dxx

4. .

43

2xx eedx 9.

.1

32x

xdx

5. .3sin

3ctg52 23

xdxx 10. .

222 dxee xx

Варіант 18

1. .cos 22 dxee xx 6. .312

56

2

x

dxx

2.

.79

310

4

x

dxx 7. .

23ln11 xxdx

3. .

34

xx eedx 8. .4

3dxx

4. .

ln95

2 xxdx 9. .ctgtg 2 dxxx

5. .873 dxee xx 10.

.1 4

2

x

x

edxe

Варіант 19

1.

.173

810

4

x

dxx 6.

.155

178

3

x

dxx

2. .

5785

x

x dx 7.

.25

82x

x

edxe

3. .3

tg 22

xx

edxe 8.

.316

72xdx

4. .

sin513cos7

2 xxdx 9.

.31

2

2

dxxxx

5. .

tg139cos23

2 xxdx 10.

.2arctg14 2 xx

dx

15

Варіант 20

1.

.3 22

dxxx 6. .432 5 42 dxxx

2. .

43 x

x

edxe 7.

.

176

54x

xdx

3. .

cos252sin3

2 dxx

x 8. .

74ctg4sin 22 xxdx

4.

.111

312

5

x

dxx 9. .

162

2

xdxx

5. .

49215

x

x dx 10.

.643 3

2

x

dxx

Варіант 21

1.

.37

56

5

x

dxx 6. .

493

2xxdx

2. .

5114

10

4

xdxx 7.

.513

148

3

xdxx

3. .3cos7

52 x

dx 8. .

273

8

27

dxxxx

4.

.4925

x

x dx 9. .

913arctg

2

3 2

dxx

x

5.

.ln58

47 5xx

dx 10. .2253 23

dxxxe xx

Варіант 22

1.

.sin3

cos72 x

xdx 6.

.25

46

5

x

dxx

2. .

13sin511

22 xxdx 7.

.107

58

3

xdxx

3. .

8514

6

2

xdxx 8. .1

33 dxe x

4. .2167 432 dxxx 9. .

sin3cossin

2 xxdxx

5. .

3cos9103sin5

xxdx 10.

.77

162

2

dxxx

16

Варіант 23

1. .

1195

12

5

xdxx 6.

.

913

710

9

x

dxx

2.

.16943 dx

x

x

7. .

1647

10

4

xdxx

3.

.234 x

x

e

dxe 8. .cos

sin5 3 x

xdx

4. .955 2 xdxx 9. .ln3

dxx

xx

5. .

49

98

x

x

edxex 10.

.5cos5sin4

2 dxxx

Варіант 24

1. .

tg2cos5

22 xxdx 6.

.167

52x

x

edxe

2. .

856

9

8

xdxx 7.

.

73

108

3

x

dxx

3.

.73 2 dx

xxx 8. .

3cos3sin 22 xxdx

4.

.sin31

cos5 4x

xdx 9. .cos

322 x

xdx

5.

.ln6

52 xx

dx 10.

.1arcsin 23 xx

dx

Варіант 25

1.

.

2sin32 2

13 dxx

x 6.

.512

534

2

x

x dx

2. .

435

5

4

xdxx 7.

.4cos78

8sin52 x

xdx

3. .

13124 2 xxdx 8.

.147

156

2

xdxx

4.

.9

174

2

x

x

e

dxe 9. .7cos

7tg35 28 7

xdxx

5. .

1037

16

7

xdxx 10. .3cos23 2 dxx

17

Варіант 26

1.

.2sin32

2cos3x

xdx 6.

.7

52x

x

e

dxe

2. .

21137

6

5

xdxx 7. .237 5 dxx

3. .

2sin472cos8

2 xxdx 8.

.91 2

3arctg

xdxe x

4.

.11

156

2

x

dxx 9.

.34

23

dxxx

5.

.5

8ln7 2

dxx

x 10. .1sin 2xdx

x

Варіант 27

1.

.1513

514

6

x

dxx 6. .223 dxxx

2. .

ln2314

xxdx 7. .13cos dxee xx

3. .

763

4xxdx 8. .

ln 5 xxdx

4.

.29

57 4x

dx 9. .ln2 2

dxe xx

5. .

86423

2

dxxx

xx 10.

.2arcsin41 32 xx

dx

Варіант 28

1. .

2345

18

8

xdxx 6. .

lnlnln xxxdx

2.

.218

1712

5

x

dxx 7. .

sin 32 ctgxxdx

3.

.12

dxx

x 8. .2cos2sin3 2 xdxx

4. .1 373 dxee xx 9. .

1362 xxdx

5. .

3132

63

25

dxxx

xx 10.

.4cos5

3sin dxxx

18

Варіант 29

1. .13522 dxx 6.

.

31

26

2

x

dxx

2. .

72112

5

4

xdxx 7. .

cosctg23

2

2

dxx

x

3.

.13

26

2

x

dxx 8. .2sin2sin xdxe x

4. .

5sin845cos7

xxdx 9.

.1

14

22

dxxx

x

5. .

1463

2 dxxx

x 10. .sin1cos2 xdxx

Варіант 30

1.

.cos9

2sin52 x

xdx 6.

.

56 54

3

xdxx

2.

.37sin

82 x

dx 7. .

128sin58cos7x

xdx

3. .2132 dxx 8.

.1

3222

2

dxxxx

4. .

193ln 2 xxdx 9.

.sincos

2cosxx

xdx

5.

.35

1114

6

x

dxx 10.

.41

2arctg2 dx

xxx

19

ІV ПІДСУМКОВІ ЗАВДАННЯ

ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ

Метою індивідуальних завдань є перевірка результативності самостійної роботи з даного модуля. Студент повинен самостійно розв’язувати індивідуальні завдання свого варіанта, який відповідає номеру у списку навчальної групи.

Розв’язання завдань із поясненнями подати у шкільному зошиті, на обкладинці якого необхідно написати назву дисципліни та модуля, прізвище, ім’я та по батькові студента, назву спеціальності, номер групи, номер варіанта. Умову завдання необхідно повністю переписати.

Нижче наведено зразок виконання індивідуального завдання “Застосування визначеного інтеграла”.

Задача 1 Знайти площу фігури, обмеженої кардіоїдою )cos1(2 r і

колом 4r .

Задача 2 Знайти довжину астроїди, що задана рівнянням 3

3

2cos ,4

2sin .4

tx

ty

Задача 3 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої лініями xy=2, x+2y-5=0.

Задача 4 Знайти масу дуги кривої xy ln від точки з абсцисою x= 3 до точки з абсцисою х= 8 , якщо густина матеріалу в кожній точці дорівнює

2

2

1 xx

.

Розв’язання задачі 1

Криві, що обмежують фігуру, задані в полярній системі координат.

Побудуємо ці криві. Рівняння )cos1(21 r визначає кардіоїду. Кут змінюється від 0 до 2 . Побудуємо криву по точках.

Рівняння 42 r визначає коло радіуса 4 з центром у початку координат.

r

0 0)0cos1(2

±2 0)

2cos1(2

± 4)cos1(2

20

Мал.1 З мал.1 ми бачимо, що площа, яку ми шукаємо, є різницею між площею

круга і площею, що обмежує кардіоїда.

2

1

)( 22

21

drrS .

2

0

2

0

22

0

22

21 )

22cos1cos21(228))cos1(416(

21))()((

21 dddrrS

= .10616)00223(216)2sin

41

2sin2(216

2

0

Відповідь: S=10 кв.од.

Роз’язання задачі 2

Рівняння 3

3

2cos ,4

2sin ,4

tx

ty

визначає астроїду, де параметр t – це кут.

Якщо t=0, то 3

3

2cos 0 2,2sin 0 0,

xy

тобто точка А(2;0) (мал.2).

Якщо t=2 , то 3

3

2cos 0,2

2sin 2,2

x

y

тобто точка В(0;2) (мал.2).

Таким чином, якщо t змінюється від 0 до 2 , точка описує чверть кола

(мал.2).

21

Мал.2

Сама ж крива є симетричною відносно двох координатних вісей, тому

довжина всієї астроїди дорівнює BA

4 . Оскільки крива задана параметрично, то

2

1

.)()( 22t

t

dttytxl

4sin

4cos

23

41)

4sin(

4cos6)( 22 tttttx

4cos

4sin

23

41

4cos

4sin6)( 22 ttttty

2sin

169

4sin

4cos

49)

4sin

4(cos

4sin

4cos

49)()( 222222222 ttttttttytx

Таким чином:

2

0

20 .12)11(6

2cos6

2sin

434 tdttl

Відповідь: 12l кв.од.


Побудуємо криволінійну трапецію обмежену лініями xy=2, x+2y-5=0. (мал.3.)

Мал.3

22

Знайдемо абсциси точок перетину ліній.

2 2

1 2

12

2,5 2 .

2 5 0,

5 2 2 2 5 2 0.12 ,

; 21 4.

xyx y

x y

y y y y

y yx x

Для визначення об’єма тіла обертання використаємо формулу

b

aнв dxxyxyV ))()(( 22 .

..4

9312

63)141(4)41(

12

43

)5(4

4)5(4

22

5

3

4

1

4

1

34

1

4

12

24

1

22

одкуб

xxdx

xdxxdx

xxV

Відповідь:

49

V куб.од.


Для визначення маси дуги використаємо формулу

2( ) 1 ( ) ,

1(ln ) .

b

a

m x y x dx

y xx

За умовою задачі 83 x ,

2

2

1)(

xxx

.

Тоді

8

3

8

3

2

2

8

322

2

1234911

111

xdxx

xdxxx

xm .

Відповідь: 1m од.маси.

23

V ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ Варіант 1 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою

sin 2 ,sin .

x a ty a t

2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями .2,0,3 xyxy

3 Знайти довжину дуги кардіоїди )cos1(2 r , яка лежить в середині круга 1r .

4 Знайти статичний момент відносно осі Ох однорідної фігури, що обмежена лініями 3,4 2 yxy , якщо густина матеріалу .1

Варіант 2 1 Знайти площу фігури, що обмежена лінією

2

3

3 ,3

x ty t t

; .33 t

2 Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями .0,

2,

4,cos yxxxy

3 Знайти довжину дуги кривої 2 ,03

r e .

4 Знайти масу стержня довжиною 100см, якщо лінійна густина ( смг )

змінюється по закону 215,020)( xxx , де х – відстань від одного з кінців стержня.

Варіант 3 1 Знайти площу фігури, обмеженої лініями

322 xxy і 13 xy . 2 Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох кривої

2

2

,

( 3)3

x tty t

; 30 t .

3 Знайти довжину дуги кривої 512 ,0

3r e

.

4 Знайти масу дуги кривої 83,ln xxy , якщо густина .)( 2xx

24

Варіант 4 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою .2sin2 r 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури,

обмеженої лініями 22 xxy і .2 xy

3 Знайти довжину дуги кривої .23

,sinln1 xxy

4 Знайти координати центра ваги однорідної фігури, що обмежена лініями ., 22 xyxy

Варіант 5 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою .sin2 r 2 Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох параболи

xy 22 від її вершини до точки з абсцисою 32

x .

3 Знайти довжину дуги кривої 3(2cos cos 2 ),3(2sin sin 2 ),

x t ty t t

20 t .

4 Знайти статичний момент відносно осі Ох однорідної кривої .43,)3( 3 xxy

Варіант 6 1 Знайти площу фігури, обмеженої лініями xyxy 4,)2( 2 і .0y 2 Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо полярної осі

кривої ).cos1(2 ar

3 Знайти довжину дуги кривої 2

3

( 1),

( 3 ),3

x a tay t t

.30 t

4 Знайти масу фігури, що обмежена лініями ,5,4 xyx

y якщо густина

матеріалу в кожній точці дорівнює квадрату абсциси цієї точки. Варіант 7 1 Знайти площу фігури, обмеженої лініями ,5 2xy і .1 xy 2 Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо полярної осі

кривої .2cos22 ar

3 Знайти довжину дуги кривої

6

4

,6

2 ,4

tx

ty

4 80 t .

4 Швидкість тіла (м/с), задається формулою tetv . Знайти шлях, який пройшло тіло за 3с. від початку руху.

25

Варіант 8 1 Знайти площу фігури, обмеженої лініями .1,

21,0,2 xxyey x

2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями 24 xxy і .xy


2

,1( ),3

x t

y t t

.3

10 t

4 Знайти ординату центра ваги дуги однорідної кривої cos

ar , 4

0 .

Варіант 9 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою .3cos r 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури,

обмеженої лініями 42 xy і .0x

3 Знайти довжину дуги кривої )ln( 22 xaay , .2

0 ax

4 Знайти статичний момент відносно осі Оу однорідної дуги лінії 2

2

,1( ),3

x t

y t t

.3

10 t

Варіант 10 1 Знайти площу фігури, обмеженої лініями ,2xy ,8xy 6x . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури,

обмеженої лініями 32 )4( xy і .0x

3 Знайти довжину дуги кривої (3cos cos3 ),(3sin sin 3 ),

x a t ty a t t

20

t .

4 Знайти абсцису центра ваги дуги однорідної кривої ,sin

ar .24

Варіант 11

1 Знайти площу фігури, обмеженої лініями

3

2

,3

4 ,2

tx

ty

і .0y

2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями 02 yx і .422 yx

3 Знайти довжину дуги лінії xxy )3(31

між точками перетину її з віссю

абсцис. 4 Знайти масу дуги кривої cos1r , якщо густина матеріалу .

2sin)( 2

26

Варіант 12 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою .2cos ar 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури,

обмеженої лініями ,tgxy ,ctgxy 6

x .


2

( 2)sin 2 cos ,(2 ) cos 2 sin ,

x t t t ty t t t t

30 t .

4 Яку роботу треба затратити, щоб розтягнути пружину на 6см, якщо сила в 2н розтягує її на 1см?

Варіант 13 1 Знайти площу фігури, обмеженої лініями xy 6 і .5

xy

2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури,

обмеженої кривою 2cos ,3sin .

x ty t

3 Знайти довжину спіралі 5r , яка знаходиться на полі, що обмежено колом 10r .

4 Яку роботу треба затратити, щоб розтягнути пружину на 5см, якщо сила в 1н розтягує її на 1см?

Варіант 14 1 Знайти площу фігури, обмеженої лініями xxy 22 і 03 y . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури,

обмеженої лініями ,4xy ,1y ,2y 0x .

3 Знайти довжину дуги кривої cos ,sin ,

t

t

x e ty e t

.10 t

4 Знайти статичні моменти відносно осей Ох і Оу дуги однорідного ( 1 ) кола cos2ar , що лежить вище полярної осі.

Варіант 15 1 Знайти площу фігури, що обмежена лінією 2cos4r . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури,

обмеженої лініями ,xey ,0y .1,0 xx 3 Знайти довжину дуги кривої ,1arcsin 2xxy .10 x 4 Знайти статичний момент відносно осі Оу дуги однорідної кривої

2

,ln(1 ),

x ty t

210 t .

27

Варіант 16 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою .2cos2 r 2 Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох дуги

кривої ,3

3xy 22 x .

3 Знайти довжину дуги кривої (cos 2 ln ),sin 2 ,

x a t tgty a t

.

48

t

4 Знайти масу дуги кривої ,arcsin xy ,121

x якщо густина матеріалу

22)(

xxx

.

Варіант 17 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою .sin21 r 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що

обмежена лінією 2

3

1,.

x ty t t

3 Знайти довжину дуги кривої 32 )4( xy , що відрізана прямою ).0(,0 xx 4 Швидкість руху (м/с) тіла задана рівнянням .312 2ttv Знайти шлях, що

пройшло тіло від початку руху до зупинення. Варіант 18 1 Знайти площу фігури, що обмежена лініями xy 92 і 2 xy . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що

обмежена лініями 3

2

,,

x ty t

1x , 1x .

3 Знайти довжину дуги кривої: 4

sin 4 ar , 20 .

4 Знайти масу стержня довжини a (см), якщо густина матеріалу

xaxx

2

)(3

)( смг .

Варіант 19 1 Знайти площу фігури, обмеженої першим звоєм спіралі Архімеда ar і

полярною віссю. 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що

обмежена лініями 24 xxy , xy .


xx eey , 20 x .

4 Знайти статичний момент відносно осі Ох однорідної фігури ( 1 ), що обмежена лініями 2xy , xy .

28

Варіант 20 1 Знайти площу фігури, що обмежена лініями cos2 r і cosr . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що

обмежена лініями xy 2 , 2xy .

3 Знайти довжину дуги кривої xy cosln , 6

0 x .

4 Знайти статичний момент відносно осі Ох однорідної фігури ( 1 ), що обмежена лініями 222 ayx , 0x , 0y .

Варіант 21 1 Знайти площу фігури, що обмежена лініями 2xy , 6 yx , 0y . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу криволінійної

трапеції, що обмежена лініями

2

,x ty t

і 4y .


sin 3 ar , 30 .

4 Знайти абсцису центра ваги однорідної фігури ( 1 ), що обмежена лініями 2xy , xy .

Варіант 22 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою )cos2(2 r . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що

обмежена лініями xy232 , 122 yx .

3 Знайти довжину дуги кривої )(41 22 xx eey , 30 x .

4 Швидкість точки (м/с) 31,0 tv . Знайти шлях, що пройшла точка за 10с від початку руху. Чому дорівнює середня швидкість за цей проміжок часу?

Варіант 23 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою 2sin2r . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що

обмежена лініями tgxy , 0y , 4

x , 4

x .

3 Знайти довжину дуги кривої x

x

eey

11

ln , 21 x .

4 Знайти статичний момент відносно осі Ох дуги однорідної ( 1 ) кривої

3

,,

x ty t

3

10 t .

29

Варіант 24 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою 3sin3r . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, що

обмежена лініями 23 4xy і 2y .

3 Знайти довжину дуги кривої 5( sin ),5(1 cos ),

x t ty t

t0 .

4 Знайти статичний момент відносно осі Ох дуги однорідної ( 1 ) кривої

xxy )3(31

, 30 x .

Варіант 25

1 Знайти площу фігури, що обмежена лініями 2

3

,

3

x tty

і 4x .

2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що обмежена лініями xy 2 , xy 4 , 1x .


2

er , 22

.

4 Знайти масу стержня довжиною 10l см, якщо лінійна густина матеріалу задається формулою xxx 105,11)( 2 (г/см).

Варіант 26 1 Знайти площу фігури, що обмежена лініями 422 xy і 0x . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох астроїди

3

3

cos ,sin .

x a ty a t

3 Знайти довжину дуги кардіоїди )cos1(2 r , яка знаходиться на полі, що обмежена колом 2r .

4 Знайти масу дуги кривої )1ln( 2xy , 310 x , якщо густина матеріалу

21)(

xxx

(г/см).

Варіант 27 1 Знайти площу фігури, що обмежена кардіоїдою )cos1( ar . 2 Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох кривої

xy 42 від її вершини до точки з абсцисою 2x .

3 Знайти довжину дуги кривої (cos sin ),(cos sin ),

t

t

x e t ty e t t

t0 .

4 Знайти абсцису центра ваги однорідної фігури ( 1 ), що обмежена лініями 1 yx , 0x , 0y .

30

Варіант 28 1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою aey , 0 . 2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що

обмежена лініями 14

2

xy і 0y .


cosln2 xy

, 210 x .

4 Знайти статичний момент відносно осі Оу дуги однорідної ( 1 ) кривої 31 ,

3,

x t

y t

10 t .

Варіант 29 1 Знайти площу фігури, що обмежена першою аркою циклоїди

6( sin ),6(1 cos )

x t ty t

і віссю абсцис.

2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, що обмежена лініями 042 xy і 0x .

3 Знайти довжину дуги кривої aer , 0 . 4 Знайти статичний момент відносно осі Ох дуги однорідної ( 1 ) кривої

2

xx eey

, 10 x .

Варіант 30

1 Знайти площу фігури, що обмежена кривою 12cos 5sin ,5cos 12sin ,

x t ty t t

20 t .

2 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, що обмежена лініями xy 92 і xy .

3 Знайти довжину дуги кривої )sin1(6 r , 02

.

4 Знайти масу однорідної фігури ( 1 ), що обмежена лінією )cos1( ar .

31

VІ ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ МОДУЛЬНОЇ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ “НЕВИЗНАЧЕНИЙ

ТА ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ”

Модульна контрольна робота складається з двох частин: варіант А і варіант Б.

А Тестова частина містить п’ять завдань, в кожному з яких треба вибрати правильну відповідь з чотирьох запропонованих.

Б Друга частина складається з трьох питань, одне з яких є теоретичним, а два інших потребують детального розв’язання.

Нижче наведено зразок виконання модульної контрольної роботи. Варіант 31. А 1 Для обчислення якого інтеграла можна застосувати підстановку

,ttgx де R(x) - раціональна функція? А xdxtgxR sin)( . Б tgxdxxR )(cos . В tgxdxxR )(sin . Г dxtgxR )( . 2 Чому дорівнює 1x

dx ?

А .2

)1( 2

Cx

Б Cx 1ln .

В Cx

1)1( 1

.

Г Cxx

11ln .

3 Чому дорівнює

24 xdx ?

А Cx

2arcsin .

Б Cx

2arcsin

21 .

В Cx

2arcsin2 .

Г Cx 242 .

32

4 За якою формулою обчислюється площа криволінійної трапеції при параметричному завданні функції?

А

dttxty )()( .

Б

dttxty ))()(( .

В

dttytx )()( 22 .

Г

dttytx )()( .

5 Яка формула для обчислення ординати центра ваги однорідної фігури,

що обмежена лініями )(),( 21 xyyxyy , ))()(( 12 xyxy , bxax , ?

А b

a

dxxyxyx ))()(( 12 .

Б b

a

dxxyxy ))()((21 2

12

2 .

В

b

a

b

a

dxxyxy

dxxyxy

))()((

))()((21

12

21

22

.

Г

b

a

b

a

dxxyxy

dxxyxyx

))()((

))()((21

12

12

.

Варіант 31. Б

1 В яких випадках застосовується підстановка ttgx в інтегралах

dtxxR )cos,(sin , де R – раціональна функція. Відповідь обґрунтувати.

2 Знайти площу фігури, обмеженої лінією ( sin ),(1 cos ),

x a t ty a t

t0 , і віссю Ох.

3 Знайти ординату центра ваги однорідної фігури, що обмежена лініями .1,2 yxy

33

Розв’язання варіанта 31. Б 1 Підстановка ttgx застосовується при обчисленні

2

2

1)(

1

)(t

dttR

tdtdx

arctgtxttgx

dxtgxR .

Ми одержали інтеграл від раціональної функції, який можно обчислити методами інтегрування раціональних дробів.

2 Для обчислення площі фігури, що обмежена лініями ( sin ),(1 cos ),

x a t ty a t

t0 і віссю Ох використаємо формулу

dttxtyS )()( ,

)cos1()( tatx ,

00

2

0

222 )2sin41

2sin2()

22cos1cos21()cos1( ttttadtttadttaS

23)00

23(

22 aa

(кв.од.).

3 1,2 yxy . Зробимо малюнок

Ордината центра ваги фігури сy визначається за формулою

1

1

1

1

22

))()((

))()((21

dxxyxy

dxxyxyy

нв

нв

c .

У нашому випадку 1вy , 2xyн , тоді

34

322)

3()1(

1

1

31

1

2

xxdxx ,

1

1

1

0

51

0

4222

54

511)

5()1(

212))(1(

21 xxdxxdxx ,

53

4534

cy .

34

VІІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ (самопідготовки)

Контрольні заходи даного модуля містять, крім розглянутого в

попередніх розділах, і контрольну роботу “Невизначений інтеграл”. Вона містить шість прикладів, три з яких розв’язуються за допомогою

простіших табличних інтегралів, четвертий – за допомогою табличних інтегралів вигляду dxuuf )( , п’ятий - за допомогою формул інтегрування частинами і шостий – за допомогою інтегрування раціональних, тригонометричних або ірраціональних функцій.

Для підготовки до цієї контрольної роботи пропонується розв’язати такі приклади:

1) dxxn m ; 2) axdx ; 3) dxekx ;

4) 22 axdx ; 5)

22 axdx ; 6) 22 ax

dx ;

7) 22 ax

dx ; 8) 22 ax

dx ; 9) dxa kx ;

10) kxdxsin ; 11) kxdxcos ; 12) tgkxdx ;

13) ctgkxdx ; 14) kxdx

2cos ; 15) kx

dx2sin

;

16) 41 x

xdx ; 17) 44x

xdx ; 18) 21 x

xdx ;

19) xdxx cossin 3 ; 20) 13

2

xdxx ; 21) 1x

x

edxe ;

22) xxdx2cos

2sin3 ; 23) xdxe x 2cos2sin ; 24) xdxx 4cos4sin 3 ;

25) 44xxdx ; 26) 3)75( x

dx ; 27) 4

3

5 xdxx ;

28) xdxx )58sin( 2 ; 29) dxxx 5 32 75 ; 30) xxdx3sin

3cos4 ;

31) xxdxcos32

sin ; 32) dxxx 2321 ; 33) 3

2

23 xdxx ;

34) x

x

edxe43

; 35) 3 4 3cos3sin

xxdx ; 36) 13cos2 tgxx

dx ;

37) arctgxxdx)1( 2 ; 38) 5sin2

cosxxdx ; 39) 43

2

xdxx ;

40) dxectge xx )( ; 41) dxx

xln3 ; 42)

dx

xx2

2

1)(arcsin ;

43) dxxx )1cos( 2 ; 44) 3 ln xxdx ; 45)

32 2xxdx ;

35

46) xdxx 3cos)2( ; 47) dxex x3)2( ; 48) arctgxdx ; 49) dxxx )2ln()2( ; 50) xdxx 3cos)1( ; 51) xdxx 5sin)2( ;

52) dx

xx

2cos12 ; 53) arctgxdxx ; 54)

dxxx3

)12ln( ;

55) xdxx ln)12( ; 56) dxx

xdx 2sin

; 57) xdxx ln)2( ;

58) dxx

x2

ln ; 59) dxx )1ln( 2 ; 60) xdxarcsin ;

61) xdxx ln ; 62) xdxx ln ; 63)

dxxx

x102

22

;

64) dx

xxx 24

; 65) )2)(( 2 xxxdx ; 66)

dxx

x1

12 ;

67) 21 xx

dx ; 68) xdx

sin23; 69) x

dx2sin51

;

70) dxxx

x3

1 ; 71) xdxtg 5 ; 72) dxx

x13

2 ;

73) ctgxtgxdx

4; 74) tgx

dx1

; 75) xtgxdx

22sin;

76) xxdx

)1( 3; 77) dxxx 3 ; 78) xx

dxcossin

;

79) dx

xxx41 ; 80) xtgx

dx2cos

; 81) 2

2

4 xdxx ;

82) xdxcos3

; 83) xdx

2sin31; 84)

dxx

x1

;

85) dx

xx

sin1sin ; 86) 1133 x

dx .

Модульна контрольна робота “Інтеграл” об’єднує всі теми і задачі цього

розділу, і для її написання слід розібрати задачі, що наведені в індивідуальних завданнях, а також повторити відповідний теоретичний матеріал.

Крім того, пропонуємо розглянути наступні задачі:

1 Знайти масу дуги однорідної кривої

2sinln2 xy

,

23

21

x .

2 Знайти координати центра ваги дуги однорідного кола cossin

x a ty a t

,яка

розташована в першій чверті. 3 Знайти ординату центра ваги однорідної кривої xy , 2

165

x .

4 Знайти статичний момент однорідного кола sin2ar ( 1 ) відносно полярної осі.

36

5 Знайти статичний момент відносно осі Оу дуги однорідної кривої (2cos cos 2 ),(2sin sin 2 ),

x a t ty a t t

20

t , ( 1 ).

6 Знайти абсцису центра ваги дуги однорідної кривої 23xy ,610 x ,

( 1 ).

7 Знайти масу дуги кривої )cos2ln( xy , 2

0 x , якщо густина матеріалу

xx 2cos)( . 8 Знайти ординату центра ваги однорідної фігури, що обмежена лініями

24 xy , 0y . 9 Знайти координати центра ваги однорідної фігури, що обмежена

лініями xy 2 , 1x .

10 Знайти масу фігури, що обмежена лініями 2

2xy , xy 2 , якщо густина

матеріалу xx 3)( (г/см). 11 Знайти статичний момент відносно осі Оу однорідної криволінійної

трапеції ( 1 ), що обмежена лініями xy sin , 0y , x0 . 12 Знайти статичний момент відносно осі Ох однорідної криволінійної

трапеції ( 1 ), що обмежена лініями 24 xy , 0y . 13 Обчислити масу однорідної фігури ( 1 ), що обмежена чвертю еліпса

cos ,sin .

x a ty b t

14 Знайти статичний момент однорідного півкруга ( 1 )

0

22

yxRy , відносно його діаметра.

37

ЛІТЕРАТУРА:

1 Овчинніков П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Вища математика. -К. Вища школа, 2002.

2 Методичні вказівки до практичнич занять за темою “Невизначений та

визначений інтеграл”, ХДТУБА. 3 Берман Г. Н. Сборник задач по математическому анализу.-М., 1998.

ЗМІСТ

Вступ...............................................................................................................3 І Структура модуля та його елементи.........................................................4 ІІ Питання для перевірки теоретичних знань.............................................6 ІІІ Індивідуальні домашні завдання.............................................................8 ІV Підсумкові завдання................................................................................19 V Варіанти індивідуальних завдань............................................................23 VІ Зразок виконання модульної контрольної роботи................................31 VІІ Завдання для самостійної роботи (самопідготовки)...........................34 Література......................................................................................................37

Documents

mathem-kstuca.ucoz.uamathem-kstuca.ucoz.ua/Liter/modul_n_integr_ua.pdf · 3 ВСТУП Мета викладання розділу “Невизначений та визначений