7 ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ 7 7.1 Означення і умови існування ...sites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/7.pdf · 7 ВИЗНАЧЕНИЙ

7 ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Н.М. Д’яченко 235


7.1 Означення і умови існування визначеного інтегралу

y=f(x)

Xa O

Y

b

D

Рис. 7.1. Рис. 7.2.

Нехай функція )(xfy = неперервна і невід’ємна на відрізку . Плоска фігура ],[ ba D , що обмежена на декартовій площині графі-

ком функції , віссю абсцис, відрізками прямих )(xfy = ax = , bx = називається криволінійною трапецією (див рис. 7.1).

Поки що будемо спиратися на інтуїтивне розуміння площі криволінійної трапеції.

Якщо [а,b] розбивається відрізки, довжина яких дуже мала, тобто d=mах 1k kx x −− , , d – діаметр розбиття, то площа сходи-нкової фігури (див. рис. 7.2) стає дуже близькою до площі криволі-нійної трапеції.

0d →

Далі буде доведено , що , . . 1 110lim ( )( )n

крив трап k k kkdS f x x− −=→

= −∑ x

а 1 110lim ( )( )n

k k kkdf x x x− −=→

−∑ ( )b

a

f x dx= ∫ .

Введемо поняття визначеного інтегралу. Нехай – задана на [а,b], )(xfрозглянемо розбиття відрізка [а,b] скінченною кількістю точок

0 1 2 1 1... ...k k n na x x x x x x x b− −= < < < < < < < < = , позначимо розбиття { }kR x= . Розглянемо точки 1[ , ] 1,k k kx x k n− = { }kPα ∈ , - проміжні точки. = α

kРозглянемо 1

( , , ) ( )n

kk

f R P f x=

σ = σ = α ∆∑ - інтегральна сума, тут

1k k kx x x −∆ = − , ( )1,1

max −=

−= kknk

xxd - діаметр розбиття.



Геометричний зміст інтеграль-

ної суми Рімана 11

( )( )n

k k kk

f x x−=

σ = ξ −∑ .

Значення ))(( 1−−ξ kkk xxf відповідає площі прямокутника, що є складовою сходинкової фігури, зображеної на рис. 7.3. Значення площі усієї сходинкової фігури дорівнює значенню інтегральної суми ( , , )f P Rσ = σ .

y=f(x)

X a O

Y

b x1 xk-1 xk xn-1ξkξ1 Рис. 7.3.

Означення 1 (на мові границь). Якщо для функції , що задана на відрізку , для будь-якого розбиття відрізка і для будь якого набору проміжних точок відрізків розбиття,

)(xf],[ ba R ],[ ba

P існує

скінченна границя I інтегральних сум 1

( , , ) ( )n

k kk

f R P f x=

σ = α ∆∑ при

діаметрі розбиття , що прагне до нуля, тобто d ),(lim0

RfId

σ=→

, яка не

залежить від вибору розбиття R і набору проміжних точок P , то така функція називається інтегрованою за Ріманом на відрізку , а значення границі –

],[ baвизначеним інтегралом Рімана, що позначаєть-

ся . ∫=b

a

dxxfI )(

Означення 2 (на мові ε −δ ). Якщо : 0 0 :I∃ ∈ ∀ε > ∃δ > ∀ { } { }k kR x P d I= ∀ = α < δ⇒ −δ < ε ,

то число називається границею інтегральних сум і позначається . Якщо таке число існує, то функція називається ін-

тегрованою за Ріманом на відрізку , а значення границі – ви-значеним інтегралом Рімана.

I

0limd

I→

= σ I )(xf

],[ ba I

Означення 3 (на мові послідовностей). Якщо розбивати відрізок на n частин, то утвориться розбиття , що відповідає кількості n точок розбиття. Таким чином утвориться послідовність розбиттів , а разом з нею і послідовність діаметрів і промі-жних точок { . Їм буде відповідати послідовність інтегральних сум

],[ ba nR

{ }nR { }nd}nP

( , , )n n n nf R Pσ = σ . Якщо для будь якої послідовності розбиттів { і для будь якого вибору проміжних точок

}nR{ }nP із того, що послідов-

ність діаметрів розбиття { прагне до нуля випливає, що послідов-}nd



ність інтегральних сум прагне до числа яке не залежить ні від , ні від {

I , { }nR }nP , тобто

{ } { } 0n n n nR P d∀ ∀ → ⇒σ → I , то функція називається інтегрованою за Ріманом на відрізку

, а значення – визначеним інтегралом Рімана. )(xf

],[ ba IПриклади. 1. ( )f x c const= = . Нехай { }kx - розбиття відрізка , {],[ ba }kα - проміжні точки

розбиття, то інтегральна сума має вигляд

1 1 1( ) . . ( )

n n n

k k k kk k k

f x x C x C x C a b= = =

σ = ∆ = ∆ = ∆ = −∑ ∑ ∑ .

Тоді

0lim ( ) ( )d

c a b f x const→δ = − ⇒ = інт. на , а ],[ ba ( )

b

a

Cdx C a b= −∫ .

2. Розглянемо функцію Діріхле . Дове-

демо, що вона не інтегрована на будь – якому відрізку від [ , .

1,( )

0, \x

D xx

∈⎧= ⎨ ∈⎩]a b

Нехай ` `

1{ }: [ , ]k k k kx x−α α ∈ ∩ , " "

1{ }: ( \ ) [ , ]k k k kx x−α α ∈ ∩ , тоді

' '

1( ) 0 0

n

k k kk

f x x=

σ = α ∆ = ⋅ =∑ ∑ 0

lim 0d→

′⇒ σ = ,

"

1 1" ( ) 0

0limd

b a→

′′⇒ σ = −n n

k k kk k

f x x b a= =

σ = α ⋅∆ = ∆ = − >∑ ∑

k k

.

Отже, границя інтегральних сум залежить від вибору проміжних то-чок, тому фцнуція Діріхле не інтегрована за Ріманом.

Твердження (необхідна умова інтегрування функції на відрі-зку). Якщо функція інтегрована на [ , обмежена на [ , . ]a b ⇒ ]a b

Доведення. Пп.: функція - інтегр.на , однак не об-межена. Розглянемо - розбиття . В розбитті оберемо відрі-зок , на якому вона необмежена,

)(xf [ , ]a b

}{ kx [ , ]a b

на :},...,1{0 nk ∈∃⇒0 01[ , ]x x− )(xf -необмежена.

Позначимо 0

1 ( )k kk k

f x≠

σ = α ∆∑ , тоді



0 0 0 0

0

110 [ , ] : ( )k k k k

k

MM x x f

x−

σ +∀ > ∃α ∈ α ≥

∆.

Таким чином, можна зробити наступну оцінку інтегральної суми

0 0 0 00

11

( , , ) ( ) ( ) ( ) ( )n

k k k k k k k kk k k

f R P f x f x f x f x= ≠

σ = α ∆ = α ∆ + α ⋅∆ = σ + α ⋅∆∑ ∑ ≥

0 0 0

0

11 1( )k k k

k

Mf x x

xσ +

≥ α ⋅∆ − σ ≥ ⋅∆ − σ =∆

M .

Отже, проміжні точки такі, що 0M∀ > ∃ P ( , , )f R P Mσ > , тобто

0lim ( , , ),

df R P

→∃ σ ⇒/

0

( )b

f x dx∃/ ∫ ( ( )f x −не інт. на [a,b]). ■

7.2 Верхня і нижня інтегральні суми Дарбу

Означення. Нехай – задана на [а,b], розбиття відріз-

ка [а,b]: )(xf

0 1 2 1 1{ ... ... }k k n nR a x x x x x x x b− −= = < < < < < < < < = . Введемо позначення:

1[ , ]inf ( )k k

k x xm f

−

= x ; 1[ , ]

sup ( )k k

kx x

M f x−

= .

Суми вигляду

1( , )

n

kk

S S f R m x=

= = ⋅∑ k∆ ; 1

( , )n

k kk

S S f R M x=

= = ⋅∆∑

називаються відповідно нижня і верхня інтегральні суми Дарбу. Оскільки 1[ , ]; ( )k h k kx x x m f x M−∀ ∈ ≤ ≤ , то для проміжних точок , { }kP = α 1[ , ] , 1,k k kx x k−α ∈ = n k виконується ( )k km f M≤ α ≤ , тому

здійснюється нерівність для інтегральних сум: S S≤ σ ≤ , (1)

де 1

( , , ) ( )n

k kk

f R P f x=

σ = σ = α ∆∑ .

Нехай неперервна на [a,b], тоді вона неперервна на ко-жному відрізку розбиття ⇒ за другою теоремою Вейєрштрасса

)(xf

'' '' '1

1{1, 2,..., } [ , ] : ( ) ( )

n

k k k k k kk

k n x x M f S f−=

∀ ∈ ∃α ∈ = α ⇒ = α ∆∑ kx ,



тобто існують проміжні точи "{ }kα , яким відповідає верхня сума Дар-бу. Аналогічно для нижньої суми.

Висновок: для неперервної функції на [a,b],верхня і нижня ін-тегр. сума Дарбу співпадають з однією із інтегральних сум Рімана.

Нехай - не є неперервна на [a,b]. За означенням точної межі

)(xf

1

'1[ , ]

inf ( ) 0 [ , ]k k

k k k kxx x

m f x x−

−= ⇒ ∀ε > ∃α ∈ : '( )k k km f mb aε

≤ α ≤ +−

.

km '( )kf α kmb aε

+−

Помножимо останню нерівність на kx∆ і просумуємо 1

n

k=∑ отримаємо

1

( )n

kk

S P S xb a=

ε′≤ σ ≤ + ⋅∆−∑ ( )S P S′⇒ ≤ σ ≤ + ε .

Тобто для фіксованого розбиття { }kR x= '0 { }: ( )kP S P S′ ′∀ε > ∃ = α ≤ σ ≤ + ε . S ( )P′σ S + ε

Висновок: 1) для фіксованого розбиття { }kR x= inf ( , , )

PS f R P= σ , sup ( , , )

PS f R P= σ ;

2) для фікс. розбиття { }kR x= значення суми Дарбу можна із будь-яким степенем точності наблизити деякою інт. сумою Рімана.

Геометричний зміст верхніх і нижніх сум Дарбу.

Рис. 7.4

Нижня інтегральна сума Дарбу – це площа сходинкової фігу-ри, що вписана в криволінійну трапецію, а верхня інтегральна сума – це площа сходинкової фігури ,що описана навколо неї (рис. 7.4).



Властивості інтегральних сум Дарбу Властивість 1.Для фіксованого розбиття { }kR x=

S ≤ σ ≤ S , inf ( , , )P

S f R P , = σ sup ( , , )P

S f R P= σ .

Властивість 2. Додавання до точок розбиття додаткових точок приводить до того ,що S не зменшується ,а S не збільшу-ється. Доведення. Без обмеження роздумів можна розглянути лише

одну додаткову точку розбиття. Нехай - розбиття, { }kR x=

'x - додаткова точка ⎫⇒⎬⎭

нове розбиття { } ' '{ } { }k kx x x=∪ .

Позначимо через той номер відрізка розбиття, в середину якого 0kпотрапила додаткова точка 'x , тобто

0 0

'1k kx x x− < < , тоді

0

0 0 0 0

0

11

1 1

( , ) ( )

( ) ( ) (

n

k k k k kk k k

k k k k k k kk k

S S f R m x m x x

m x x m x x m x x

−= <

− −>

′ ′ ′= = ⋅∆ = ⋅ − +

′ ′ ′′ ′+ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

∑ ∑∑ ),

0 01 10 0 0

0 010 0 0

0

0 0 0 0

10 0 0

[ , ] [ , ]

[ , ] [ , ]

1

1

( )

1

inf ( ) inf ( ) ,

inf ( ) inf ( ) ,

( )

( ) ( )

.

k k k

k k k

k k k

k kx x x x

k kx x x x

k k kk k

k k k k

m x x

n

k kk

m f x f x

m f x f x m

S m x x

m x x m x x

m x S

− −

−

−

′

′

−≠

−

= ⋅ −

=

′ = ≥ =

′′ = ≥ =

′ ≥ ⋅ − +

′ ′+ ⋅ − + ⋅ − =

= ⋅∆ =

∑

∑

m

x′0kx

0 0k km m′ =

0 1kx −

0km′′

XO

Y

Рис. 7.5.

Для верхньої суми аналогічно. ■ Властивість 3. Будь яка нижня інтегральна сума Дарбу не біль-

ше за верхню інтегральну суму, навіть для різних розбиттів: 1S S≤ 2

2

, для . (1) (2)1 2{ }, { }k iR x R x= =

Доведення. Введемо до розгляду розбиття 3 1R R R= ∪ і інте-гральні суми Дарбу, що йому відповідають 3S i S3 . Розбиття є подрібненням як розбиття , так і розбиття , тому згідно до влас-тивості 2, маємо

3R

1R 2R

1 3 3S S S S≤ ≤ ≤ 2 . ■



Наслідок 1. Множина { ( , )}PS S f P= - обмежена зверху, а множина { ( , )}PS S f P= обмежена знизу.

Дійсно, множина { ( , )}PS S f P= обмежена зверху будь-якою фіксованою верхньою сумою Дарбу згідно до властивості 3.

Наслідок 2. sup{ ( , )} ,inf{ ( , )} .

S f P I нижній інтеграл ДарбуS f P I верхній інтеграл Дарбу

∗∗

∃ = −∃ = −

Властивість 4. 1 2.S I I S∗∗≤ ≤ ≤

Доведення. Нерівності 1S I i I S∗∗ 2≤ ≤ випливають із нас-

лідку 2. Доведемо, що I I ∗∗ ≤ . Пп.: . За означенням точних меж I I ∗∗ >

1 1

2 2

sup{ ( , )} 0 : / 2 ,inf{ ( , )} 0 : / 2.

I S f P P I SI S f P P S I∗ ∗∗ ∗

= ⇒ ∀ε > ∃ − ε= ⇒ ∀ε > ∃ <

<+ ε

Звідси *

2 2* 1 102 2

I I S S S Sε ε⎛ ⎞< − < + − − = − + ε⎜ ⎟⎝ ⎠

.

В наслідок довільності ε отримаємо 21 0S S− ≥ . Це суперечить влас-тивості 3, згідно до якої 1S S2≤ . ■

7.3 Критерії Дарбу інтегрованості функцій за Ріманом Теорема (критерій Дарбу інтігровності функції). Для того,

щоб функція була інтеровною на[a,b] необхідно і достатньо, щоб

( )f x

0lim( ) 0d

S S→

− = .

Доведення. Необхідність. ( )f x -інт. на [a,b] : 0 0: ( , , )R P d f R P⇔∃Ι∈ ∀ε > ∃δ > ∀ ∀ <δ⇒ Ι−σ < ε .

Тоді . За властивістю 1 маємо Ι − ε < σ < Ι + εinf ( , , ) sup ( , , )

P Pf R P S S f R P IΙ − ε ≤ σ = ≤ σ ≤ = σ ≤ + ε .

Ι − ε S σ S Ι + ε



Тому 0

2 0 lim( )d

S S R S S→

− < ε ∀ε > ∀ ⇒ − = 0 .

Достатність.

0lim( ) 0d

S S→

− = 0 0 : ( , ) ( , )R d S f R S f R⇔∀ε > ∃δ > ∀ < δ⇒ − < ε .

За властивістю 4 ε< S S∗

∗≤ Ι ≤ Ι ≤ , Тому

0∀ε > Ι ∗ ∗∗ ∗− Ι < ε ⇒ Ι = Ι = Ι ∗Ι S ∗Ι S

S S− < ε , S S≤ Ι ≤ (із доведення), S S≤ σ ≤ ∀P (вл. 1),

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

S SΙ − δ < − < ε 0∀ε > P∀

S I σ S

Отже, ( )f x - інтер. на[a,b]. ■ Теорема (2 критерій Дарбу інтегрованої функції на [a,b])

( )f x − інтегрована на [a,b] ∗∗⇔ Ι = Ι .

Доведення достатності було присутнє в попередній теоремі. Довести необхідність пропонується самостійно .

Означення. Якщо sup ( )A

M f x= , inf ( )A

m f x= , то коливан-

ням функції на множині А називається величина ( )A f M mω = − . Через позначимо коливання функції на -ому відрізку

розбиття. kω k

Теорема (3 критерій Дарбу інтегрованої функції на [a,b])

( )f x − інтегрована на [a,b] 0 1

lim 0n

k kd kx

→=

⇔ ω ∆ =∑ .

Доведення. Оскільки

1 1( )

n n

k k k kk k

S S M m x x= =

− = − ∆ = ω ∆∑ ∑ k

і ( )f x інтер. на[a,b] 0

lim( ) 0d

S S→

⇔ − = , то

( )f x інтер. на [a,b] ⇔ 0 1

lim 0n

k kd kx

→=

ω ∆ =∑ . ■

7.4 Класи інтегрованих за Ріманом функцій

Теорема. −)(xf неперервна на [a,b] ⇒ інтегрована на [a,b]



Доведення. −f неперервна на [a,b] рівномірно непере-рвна на [a,b] (теорема Кантора).

⇒

10 0 : { }nk kR x =⇒∀ε > ∃δ > ∀ = 1,kd k

b aε

< δ⇒ ω < ∀ =−

n .

Тоді

01 1 1 1( ) lim 0

n n n n

k k k n k kdk k k kx x x b a w x

b a b a b a →= = = =

ε ε εω ∆ < ∆ = ∆ = − = ε⇒ ∆ =

− − −∑ ∑ ∑ ∑ ⇒

⇒ (за 3 критерієм Дарбу) функція інтегрована на [a,b]. ■ Означення. Будемо казати , що точка x покривається ін-

тегралом якщо ( , ),α β ( , )x∈ α β . Наприклад, точка x покривається своїм δ - околом:

0 0( ;x x x∈ −δ + δ) 0x 0 0x δ δx− +

Теорема ⊗ . Якщо множина точок розриву обмеженої фун-кції така, що всі точки цієї множини покриваються скінчен-ною кількістю інтервалів сумарної довжини

0∀ε >< ε , то така функція є

інтегрованою на відр. [a,b]. Доведення. Зафіксуємо 0ε > . Позначимо

[ , ]sup ( )

a bM f x= ,

. Покриємо усі точки множини [ , ]inf ( )a b

m f= x A точок розриву даної

функції скінченною кількістю інтегралів

11

{( , )} : ( )2( )

nn

k k k k kk M m==

εα β β −α <

−∑ 1( , )

n

kk=

∧ Α ⊂ α β∪

Множина 1

[ , ] \ ( , )n

k kk

a b=α β∪ представляє собою об’єднання скін-

ченої кількості відрізків, які назвемо залишковими відрізками. На ко-жному із них функція буде неперервною .⇒ до кожного з цих за-лишкових відрізків застосуємо Th Кантора. ⇒

{ }( ) ( )1, 0 :2( )

i ii i k i kk

i n R x db aε

⇒ ∀ = ∃δ > ∀ = < δ ⇒ ω < ∀−

k .

Нехай , тоді розіб’ємо кожен із залишкових відрізків на від-

різки з діаметром розбиття 1,

min ii n=δ = δ

d < δ , тоді коливання функції на кожному із відрізків розбиття залишкової множини буде таким, що

2( )i b aε

ω <−

.



Розглянемо 1( , )

n

k kk=

α β∪ . Без обмеження роздумів можна вважа-

ти, що це буде скінченне об’єднання інтервалів, що взаємно не пере-тинаються . Включимо в це об’єднання кінці всіх інтервалів ,тоді отримаємо скінчену кількість відрізків, що взаємно не перетинають-ся. Розіб’ємо кожен із них довільним чином на відрізки з діаметром

. d < δПредставимо вираз i i

ixω ∆∑ у вигляді суми

' "i i i i i i

ix x xω ∆ = ω ∆ + ω ∆∑ ∑ ∑ ,

де '

i ixω ∆ −∑ сума , що відповідає залишковим відрізкам, "

i ixω ∆ −∑ сума , що відповідає відрізкам покриття множини A . За побудовою

' ' ( )2( ) 2( ) 2( ) 2i i i ix x x b

b a b a b aε ε ε

ω ∆ < ∆ = ∆ < ⋅ − =− − −∑ ∑ ∑ a ε ,

" "

1( ) ( ) ( ) ( )

2( ) 2

n

i i i k kk

x M m x M m M mM m=

ε εω ∆ < − ∆ = − ⋅ β −α < − ⋅ =

−∑ ∑ ∑ ,

тому

0lim 0

2 2i i i id ix x

→

ε εω ∆ < + = ε⇒ ω ∆ =∑ ∑ .

Зауважимо, що рівність 0 1

lim 0n

k kd kx

→=

ω ∆ =∑ перевірено для випадку, коли в число

точок розбиття потрапили точки { } 1, n

k k k=α β . Довести самостійно , що у випадку,

коли ці точки не потрапляють в число точок розбиття, то рівність 0 1

lim 0n

k kd kx

→=

ω ∆ =∑

залишається вірною (за аналогіє з доведенням 6=). ■ Теорема. Якщо обмежена функція є кусково непере-

рвною на [a,b], то вона інтегрована на [a,b] . )(xf

Доведення . −)(xf має скінченну кількість точок розриву. Нехай їх N – штук. Кожну т. розриву покриємо інтервалом ( , )k kα β

довжини 2Nε

⇒



( , )2 2 2k k

k

NNε ε ε

⇒ α β < ⋅ = < ⇒∑

за теоремою ⊗ функція інтегрована. ■ Приклад. Функція, представлена

графічно на рис. 7.6 є кусково непере-рвною, тому за останньою теоремою – ін-тегрованою.

Зауваження. Якщо ( )f x інтегровна на [a,b], а ( )g x задана і обмежена на [a,b], а

( ) ( )f x i g x відрізняються лише в скінчен-ній кількості точок, тоді ( )g x -

Рис. 7.6.

інтегрована на [a,b] і ( ) ( )b b

a a

g x dx f x dx=∫ ∫ .

Доведення. Розглянемо множину тих точок, в яких функції відріз-няються: . 1{ } : ( ) ( )N

k k k kC f C g C= ≠Оскільки ( )f x - інтегрована на [a,b], то

0 0 :2f fR d S S ε

⇒∀ε > ∃δ > ∀ < δ⇒ − < , (1)

: 0 0 :2fI R d I ε

∃ ∈ ∀ε > ∃δ > ∀ < δ⇒ −σ < . (2)

Представимо вираз fS S f− сумою вигляду ( ) ' ( ) " ( )f f f

f f k k k k kk

S S x x x− = ω ∆ = ω ∆ + ω ∆∑ ∑ ∑ k

k

,

де сума " ( )fk xω ∆∑ включає відрізки, що мають спільні точки з мно-

жиною , а 1{ }Nk kC =

' ( )fk kxω ∆∑ - усі інші доданки інтегральної суми.

Оскільки кожна із цих сум невід’ємна, крім того, на тих відрізках розбиття, що відповідають ' ( )f

k kxω ∆∑ , функції не відрізняються, то-му в наслідок (1) маємо

' ( ) ' ( )

2g f

k k k kx x εω ∆ = ω ∆ <∑ ∑ .

На інших відрізках, тобто тих, що мають спільні точки з множиною , спочатку доб’ємося того, щоб 1{ }N

k kC =

"

4kxAε

∆ <∑ , (3)



де ([ , ]sup ( ) ( )

a b)g x f xΑ = + , після чого одержимо

" ( ) " ( ) ( ) "2 24 2

g g gk k k k k k

A A

x M m x A x AA

≤ ≤

⎛ ⎞.ε ε⎜ ⎟ω ∆ ≤ + ∆ ≤ ⋅ ∆ < ⋅ <

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

Отже, ( ) ' ( ) " ( )

2 2g g g

k k k k k kk

x x x ε εω ∆ = ω ∆ + ω ∆ < + = ε∑ ∑ ∑ .

Таким чином, за 3 критерієм Дарбу функція ( )g x - інтегрована. Тепер порівняємо інтегральну суму функції ( )g x із значенням

: I( ) ' "( ) ( )g

k k k kI g x g xΙ − σ = − ξ ∆ − ξ ∆ =∑ ∑ ' " " "

' " " "

(2)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )f

k k k k k k k k

k k k k k k k

I f x f x f x g x

f x f x f x g x=σ

= − ξ ∆ − ξ ∆ + ξ ∆ − ξ ∆ ≤

≤ Ι − ξ ∆ − ξ ∆ + ξ ∆ − ξ ∆ <

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

( )" "

(3)

( ) ( )2 2 2 2k k k k

A

f g x x≤

ε ε ε ε< + ξ + ξ ∆ < + Α ∆ < + Α⋅ < ε ⇒

Α∑ ∑ 4ε

( ) ( ) .b b

a a

g x dx f x dx⇒ = Ι =∫ ∫ ■

Теорема. Якщо обмежена функція є монотонною на [a,b] то вона інтегрована на [a,b].

Доведення. ( )M m f x const= ⇒ = − найпростіший випадок ін-тегрованої на [a,b] функції.

Нехай M≠ m і ( )f x − не спадає ( ), ( )M f b m f a⇒ = = , крім того, на кожному відрізку розбиття 1( ), ( )k k k kM f x m f x −= = . Розгля-

немо розбиття з діаметром ( ) ( )

df b f a

ε<

−, тоді

11

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ))n

k k k k k kk k

f b f a

S S M m x f x f x x−= ε

<−

− = − ∆ = − ∆ <∑ ∑

1 11

2 1 3 2 1

( ( ) ( )) [ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )] .

n

k kk

n n

f x f x f x f xf b f a f b f a

f x f x f x f x f x f x

−=

−

ε ε< − =

− −+ − + − + + − = ε

∑ 0− +



Отже, 0

lim( ) 0d

S S→

− = , тому за критерієм Дарбу інтегрованість доведе-

но. ■ Приклад функції, інтегрованої на [a,b], що має нескінченну

множину точок розриву.

Розглянемо функцію sin , 0( )0, 0

sign xf x xx

⎧ π⎛ ⎞ ≠⎪ ⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠⎪ =⎩

на [0,1].

1. Точки розриву функції:

sinxπ =0, 1 ,x n

n= ∈ .

Отримаємо зчисленну множину точок розриву 10, , nn

⎧ ⎫Α = ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

.

Доведемо , що Α - задовольняє умовам th ⊗ .

Оскільки 1lim 0n n

= , то

0 010 :

4n N n n

nε

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ <

0 0

11n + 0

1n 4

ε

0

11n −

13

12

1

0

1 {0} ;4 4n nn

∞

=

⎛ ⎞ ε ε⎧ ⎫ ⎛ ⎞⊂ −⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎠∪ . Кожну точку множиниОтже,

⎝

0 1

1

1 n

nn

−

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

покри-

ваємо інтервалом довжини 02( 1)nε

< ⇒−

⇒ загальна довжина 2ε

< .

2.Оскільки ].x [0,1∀ ∈ 1 ( ) 1f x− ≤ ≤ ⇒ функція обмежена . Отже, ф равна на [0,1] і має нес у.

.5 Множина лебегової і жорданової міри нуль. Критерій інтегро

Означення. Множина А має лебегову міру нуль, якщо усі її точки можна покрити не більш, ніж зчисленною кількістю інтервалів, з сумою довжин, меншою за

ункція інтег кінченну точок розрив 7вності Лебега

ε , тобто



: 0 0 {( , )}def

k k k IA ∈µ = ⇔ ∀ ε > ∃ α β : ( , ) ( )k k k kk Ik I

A∈∈

α β ⊃ ∧ β −α < ε∑∪ .

У випадку, коли {1,2,..., }I n= - скінченна індексна множина, то сума

довжин в дорівнює ( ) ( )n

k k k k інтервалі 1k I k∈ =

β −α = β −α < ε∑ ∑ , а у випадк ,

- зчис

.

Озн ма ову якусі її точки можна покрити скінченною кількістю інтервалів, з сумою довжин, меншою за

у

коли I = ленна індексна множина, то

1( ) lim ( )

N

k k k kk I k∈ =

β −α = β −α < ε∑ ∑ачення. Множина а А є жордан міру нуль, що

N→∞

ε , тобто

в , що будь-яка множина жорданової мі-ри нуль має лебегову міру нуль, тобто

111

0 0 {( , )} : ( , ) ( )n ndef

nk k k k k k k

kk

A A===

η = ⇔ ∀ ε > ∃ α β α β ⊃ ∧ β −α < ε∑∪ .

Із визначень ипливає

0 0A Aη = ⇒ µ = . Tеорему ⊗ можна перефурмулювати в термінах міри Жор-

дана. Теорема. Якщо обмежена на [a,b функція f(x) має на цьому

відрізк т -овна на [a,b].

] у множину очок розриву А жорданової міри нуль, то така фу

нкція інтегрПриклади. 1. Будь-яка скінченна множина має нульову міру

Жордана, а тому і Лебега. 1⎧ ⎫2. Множина 0, , nn

Α = ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

має нульову міру Жордана, а

тому і Лебега. 3. Доведемо, сленна має лебегову міру нуль.

множина перенумеруємо її елементи: 1{ }n nr ∞= . Покриєм

що будь-яка зчиОскільки є зчисленною, то

о кожну точку окремо інтервалом nr ( , )n nα β довжи-

ни 2n

ε< . Тоді

1 1

12lim ( ) lim

12 1

N N

k k nN Nk n→∞ →∞= =

ε

2

β −α < = ε ⋅ = ε−

∑ ∑ .

Мають 0Aη =місце логічні висловлювання:

0,.

AA A

⇒µ =µ = ⇒ η =/

ді. 0 0

Дамо пояснення останньому на прикла



4. Розглянемо множину Ця множина є зчисленною, тому

[0,1]∩ . ( )[0,1] 0µ =∩ . Доведемо, що множина не має жорда-

нової м

A

[0,1]∩ іри нуль.

Пп.: 1{( , )}nk k k0 0 =η = ∃ α β :

1

( , ) )n

k k k kk=

⇒∀ ε > (n

kA

=1α β ⊃ −α < ε∪ .

Довжина відрізка

∧ β∑ [0,1] дорівнює 1, тому

d c⊂ α β − ≠∪л раціональними, між будь-

якими двома дійсними числами л ить хоча б одне раціональне чис-ло, тобто

[ ,c d∃ . 1=

За лемою про наближення дійсних чисе

] [0,1] \ ( , ) : 0n

k kk

еж

( , )q c d q не покрита∃ ∈ ∩ ⇒ − інтервалами {( , )}k kα β . →/

е не будь-яка зчисленна має жорданову міру нуль, тобто А -скінченна A A

Будь-яка зчисленна і скінченна множини мають Лебегову мі-

ру нуль, ал ⇒ 0 0= ; η = ⇒ µ

А – зчисленна 0A⇒µ = , а з приводу 0Aη = (???) нічого не можна сказати.

Теоре ( а інтегровма крітерій Лебег н. функції). Для того, щоб функція ( )f x бу овна на [a,b] необхідно і достатньо, щоб

1ла інтегр

) ( )f x -обмежина; 2) А – множина точок розриву 0Aµ = .

RESUME. Кла нтегрованихси і за Ріманом на [a,b] функцій:

2) обмежені + монотона є

нною,

1) неперервні, ні,

3) обмежені, що мають множину точок розриву А, яка) А- скінчеб) А – зчисленною, в) іншого типу, коли 0Aµ = .

7.6 лу Рімана

.6.1 Група властивостей, пов’язаних з знаком рівності.

1=a

a

f x∫

Властивості інтегра

7

( ) 0dx = .



= f(x)- на [a,b] 1) вона інтегрована на орієнтова-

ному відрізку і 2)

2 Якщо інтегровна ⇒

[ , ]b a ( ) ( )b a

a b

f x d f x dx= − .

= ліні інтегралу:

x∫ ∫3 Властивість йності ( )f x і ( )g x – інтегровні на [a,b]

( ), ( )f x⇒∀α β∈ + і g xα β − інтегровн на [a,b], крім того

( ( ) ( )) ( ) ( )b a a

ba b

f x g x dx f x dx g x dxα +β = α +β∫ ∫ ; ∫4= ( )f x і ( )g x – інтегровні на [a,b] ⇒ ( ) ( )f x g x⋅ – інтегровні на [a,b]. 5= Якщо функція ( )f x інтегровна на [a,b то вона інтегровна на

буд ком я в [a,b]. ],

ь-я у відрізку, що міститьс6= Якщо ( )f x – інтегровні на [a,с] і на [c,b], де a < c < b, то вона ін-

тегровна на [a,b], крім того

( ( ) ( ) .b c b

a a c

)f x f x dx f x dx+∫ ∫ ∫ dx =

Доведення властивост :

1= 0 ( ) 0 lim 0 ( )an

k da

ей

01

k kk

x k f x f x dx→

∆ = ∀ ⇒ σ = α ∆ = ⇒ σ = =∑ ∫ .

За означенням відрізка [a,b] повинна виконуватися нерів-ність . означення орієнтованого відрізку: b a =

тя о> > > =

ому:

==2 ≤ a b

[ , ] { : }x b x a∈ ≥ ≥ . Розбит рієнтованого відрізка:

, 0 1 2 1 1... ...k k n nb x x x x x x x a− −= > > > > >інтегральна сума, що відповідає й

1 11

k k k k k kkn

− −=

11

1 1 2 1 0

( )( )

( )[ ] [ , ]

... ...

( ) ( ) .

k k kk

n n k ka b

b a

f x x x x

f x x інтегровна для a b з розбиттям

a x x x x x x x b

f x dx f x dx

−=

− −

σ = α − = ≥ α ≥ =

= − α − − ∑

= < < < < < < < < = ⇒

= −

∑

∑

∫ ∫

3=

1

n

n

1 1( ( ) ( )) ( ) ( )

n n

f g k k k k k k kk k k

f c g c x f c x g c xα +β= =

σ = α +β ∆ = α ∆ +β ∆∑ ∑ ∑ =

=

0d→0 0lim( ) lim limf g f g f gd d→ →

= ασ +βσ ⇒ ασ +βσ = α σ +β σ ⇒



a

b

⇒ ( ( ) ( )) ( ) ( )b a

a b

f x g x dx f x dx g x dxα +β = α +β∫ ∫ .

=

∫4 Доведення проведемо в два етапи.

b] функцію Дове-демо, ння

a b

Етап 1. Розглянемо інтегровану на [a, ( )h x . що 2 ( )h x - інтегрована. Для цього введемо позначе :

)[ , ]sup (H g x= ,

11[ , ][ , ]

sup ( ); inf ( )k kk k

k k x xx xH h x h h x

−−

= = , 1, [ ,k k k ]kx x−α β ∈ .

Має місце нерівність:

( )1

2 2( ) ( ) ( )k k kh h h

, [ , ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) 2 sup ( ) ( ) 2 ( ).k k k k

k k k

k k k k

k k k k kx x

h h hh h h h

H h h H h h H h−α β ∈

β ⋅ α + β ≤≤ α − β ⋅ α + β ≤

≤ ⋅ α − β ≤ ⋅ α − β = ⋅ω

Звідки Тоді

( ) 2

00

n

k k kk k

h x H

d= =

⋅∆ ≤ ⋅ ω

⇓ →

∑

Етап 2. Оскільки

α − β = α −

2( ) 2 ( ).k kh H hω ≤ ⋅ω 2

1 1

0 ( )n

k h x≤ ω ⋅∆∑

( )f x і ( )g x – інтегровні на [a,b], то ⎡ ⎤⎢ ⎥

2 2

(3 ) (3 )

( 1) ( 1)

(3 )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 інт інт інт інт

інт інт

інт етап інт етап

інт

f x g x f x g x f x g x

= =

=

⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

5= Функція інтегровна на [a,b] ⇒

0lim( ) 0 0 0 : }kS S R− = ⇒∀ε > ∃ δ > ∀ = {d

x d S S→

⇒ < δ⇒ − < ε .

Розглянемо: { }: ( )kx d R < δ і { } { } { , }k kx x c d′ = ∪ :

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ][ , ]

[ , ] [ , ]0

;( ) ... ...

( )

lim( ) 0 [ , ].

k k ka c c d d b

c dk k k c dc d

c d c dd

S S S S′ ′

S S M m x

M m x S S

S S f інтегровна на c d→

− ≤ < ε′ ′ ′ ′− = − ∆ + + + + < ε⇒

′ ′⇒ − ∆ < ε ⇒ − < ε ⇒

⇒ − = ⇒ −

∑ ∑ ∑

∑

6= Розглянемо

−

[ , ] [ , ]a b a bS S− :



( )f x - інтегровна на [a,c]

1 10 0 : { }nk kx =⇒∀ ε > ∃ δ > ∀ [ , ]1 [ , ] / 3a c a cd S S< δ ⇒ − < ε . (1)

Оскільки 1

1( ) ( )

3

n

k k k n n nk

M m x M m x−

=

ε[ , ] [ , ]a c a cS S− = − ∆ + − ∆ <∑ ,

то 1

(n

M m−

1)

3k k kk

x=

ε− ∆ < . (*) ∑

( )f x - інтегровна на [c,b] ⇒

[ , ]2 1 2 [ , ]0 0 : { }Nk k nx = + 3

c b c bd S S ε⇒∀ δ ⇒ − < ⇒ (2) ε > ∃ δ > ∀ <

[ , ] [ , ] 1 1 12( ) ( )

3

N

c b c b k k k n n nk n

S S M m x M m x+ + += +

ε− = − ∆ + − ∆ <∑ ⇒

2( )

3

N

k k kk n

M m x= +

ε− ∆ <∑ . (**)

1 2, , , sup ( ), inf ( ),6( )

Нехай M f x m fM m

⎧xδ = δ δ = =⎨ ⎬

−⎩ ⎭ тоді при ⎫ε d < δ

виконуються нерівності (*) і (**), а також 1

[ , ] [ , ] 1 1... ... ( )(n N

a b a b n nS S M m x x−

+ −′ ′− = + + − −∑ ∑1 2

3(*) (**)3 3

) 2 ( ) .3 3k k n

M m= = + ε

<ε ε< <

ε ε< + + δ − < ε

Тут 1 11 1

[ , ][ , ]sup ( ); inf ( )

n nn nx xx x

M f x m f x− +− +

′ ′= = . Отже, у випадку, коли точка с

точкою розбиття не є [ , ] [ , ]a b a bS S− < ε , де d < δ . У випадку, коли ця точка включається в чи із (1) і (2) отримаємо при d < δ :

сло точек розбиття, то

[ , ] , ] / 3 / 3a b bS S S S S− + − < ε + ε < ε . ■ [ , ] [ , ][ [ , ] [ , ]a c c ba a c c bS− =

7.6.2 Група властивостей, пов’язаних і ом нерівності.

⎭

2<

з знак

1< ( ) [ , ] ( ) 0( ) 0 [ , ]

bf x інтегровна на a b f x dxf x x a b

− ⎫⇒ ≥⎬≥ ∀ ∈ ∫ . a

( ) ( ) [ , ] ( ) ( )( ) ( ) [ , ]

b b

a a

f x g x інтегровні на a b f x dx g x dxf x g x x a b

∧ − ⎫⇒ ≤⎬≤ ∀ ∈ ⎭ ∫ ∫ .

3< ( ) [ , ] ( ) ( ) ( )( )

b

a

f x інтегровна на a b m b a f x dx M b am f x M

− ⎫⇒ − ≤ ≤ −⎬≤ ≤ ⎭ ∫ .



< h про середнє значення.

inf ] : ( ) ( )sup ( )

b

a ba

a b

f x іm f x dx b aM f x

⎫−

= ⇒ = β −⎪= ⎪⎭

∫

5< Th про середнє значення (неперервний випадо

f(х) – неперервна на [a,b] c a b f x dx f c b a⇒ ∃ ∈ = − .

реднім значення інтегровньої на [ ] фун-ння вели-

4 T

[ , ]

[ , ]

( ) [ , ]( ) [ ,

нтегровна на a bf x m M

⎪⎪ ∃β∈⎬

к)

[ , ] : ( ) ( )( )b

a∫

Означення. Се a,bкції f(х) називається значе

чини ( )

b

a

f x dxβ =

∫.

чми пр є.

b a−Геометри ний зміст теоре-о середн Якщ )x не-

від’ємнвід

йної

о (fа, неперервна на ],[ ba , тоді

знайдеться така точка c різка ],[ ba , що площа криволіні трапе-

ції дорівнює площі пря окутника із онами довжини )(cf і ab

з

мстор − (рис. 7.7).

6< ( ) ( ) ]( ) 0

bf x g x інтегров a b

y=f(x)

Xa O

Y

b с

f(с)

Рис. 7.7.

[ , ] [ , ]

[ ,[ , ] ( ) ( ) ( ) ,

inf ( ), sup ( )

b

a a aa b a b

ні наg x

⎫∧ − ⎪≥

b

x a b m g x dx f x dx M g x dxm f x M f x

∀ ∈ ⇒ ≤ ≤⎬= = ⎪

⎭

∫ ∫ ∫

агальнення Th про середнє значення:

: ( ) ( ) ( ) .inf ( ), sup ( )

b b

a aa b a b

f x g x інтегровні на a b

7< Уз

[ , ] [ , ]

( ) ( ) [ , ]( ) 0 [ , ] [ , ]g x x a b m M

⎪≥ ∀ ∈ ⇒ ∃β∈⎬ f x g x dx g x dx

m f x M f x

⎫∧ −= β

= = ⎪⎭

∫ ∫

8< Узагальнена теорема про середнє, неперервний випадок:

)b bf x неперервна на a b

dx− ⎫⎪ .

9< Друга теорема про середнє значення.

( ) [ , ]( ) [ , ] [ , ] : ( ) ( ) ( ) (( ) 0 [ , ] a a

g x інтегровна на a b c a b f x g x dx f c g xg x x a b

− ⇒ ∃ ∈ =⎬≥ ∀ ∈ ⎪⎭

∫ ∫



( ) ( ) .b

a a c

f x g x інтегровні на a bg x x a bg x на a b

g b f x dx

∧ − ⎫⎪≥ ∀ ∈ ⇒⎬⎪⎭

⋅ ∫

10<

( ) ( ) [ , ]( ) 0 [ , ]( ) [ , ]

[ , ] : ( ) ( ) ( ) ( )b c

c a b f x g x dx g a f x dx⇒ ∃ ∈ = ⋅ +∫ ∫ ( )f x – інтегр. на [a,b] ⇒ ( )f x – інтегр. на [a,b], того крім

( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx≤∫ ∫ .

Зауваження. ( )f x і овна на [a,b] – нтегр ≠> ( )f x – інтегро-

вна на [a,b] (навести приклад самостійно !). Доведення властивостей.

f x dx≥ ≥⎬ ∫

( ) 0 [ , ] ( ) 0 ( ) ( ) 0b b b

a a a

x g f x x a b x dx g x dx x dx

1< 1 0

( ) 0 0, lim( ) 0 [ , ]

nb

n nk d

a

f x

f x x a b= →

⎫⎪σ = α ∆ ⇒ σ ≥ σ =⎪≥ ∀ ∈ ⎭

∑ . ( ) 0

2< Застосуємо 1<:

( )x f( )ϕ = − ≥ ∀ ∈ ⇒ ϕ ≥ ⇒ − ≥∫ ∫ ∫ .

4< Застосуємо 3<:

( ) , ( )b b b b

a a a a

mdx f x dx Mdx m dx m b a≤ ≤ = −∫ ∫ ∫ ∫ . 3< Застосуємо 2<:

( )( ) ( ) (

b

f x dx M b a≤ ≤ −∫ ) ,

( ) 1) ,

2) ( ) ( ).

b

a

ba

a

f x dxm b a m M

b a

f x dx m Mнехай f x dx b ab a

− ⇔ ≤ ≤−

≤ β ≤⎧⎪β = ⇒ ⎨ = β −− ⎪⎩

∫

∫∫

5< Оскільки f(х) – неперервна за th другою Вейєрштрасса

Оскільки f(х) – неперервна f(х) – інтегр. на [a,b]. Застосуємо 4<:

ab

⇒

[ , ] [ , ] [ , ][ , ]inf ( ) min ( ) ; sup ( ) max ( ) ;a b a b a ba b

m f x f x M f x f x= = = =

⇒

( ) ( ), [ , ]b

f x dx b a де m M= β − β∈∫ . (*) a



За Th Коші неперервна на [a,b] фунзначення: оскільки [ , ] minm M f

кція, приймає усі свої проміжні ( ) ;max ( )x f x

[ , ] [ , ]a b a b

⎡ ⎤ , то β∈ = ⎢ ⎥⎣ ⎦[ , ] : ( )c a b f c∃ ∈ β = .

Підставимо в (*), отримаємо b

( ) ( )( )a

f x dx f c b= − .

6

[ , ]m f x M x a b m g x f x g x M g x x a bg x x a b≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈≥ ∀ ∈ .

Застосуємо 2<:

a a

m g x dx f x g x dx M g x dx≤ ≤ ∫ .

7<

∫<

a

}( ) [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) 0!

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a∫ ∫

1 6

( ) ( )( ) 0 ( ) 0

( )

b

ba

ba

a

f x g x dxg x g x dx m

g x dx

< <

=β

≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ≤∫

∫∫

. M

8<

[ , ] [ , ] [ , ][ , ][ , ], inf ( ) min ( ) ; sup ( ) max ( )

a b a b a ba bm M m f x f x M f x f xβ∈ = = = = ⇒

[ , ] : ( )ThКоші с a b f c⇒ ∃ ∈ β = . 9< Доведення другої теореми про середнє вивчити -

но ! самостій

10< Скористаємося інтегровністю f(x) на [a,b]:

1

1

| |

( ) ( ) ( )( ) ( ) ;f

f x f x f xf x f x

⎪′′ ′ ′′≥ −⎪

′ ′′− ⇒ ω ≥ ω[ , ]

| |

[ , ]

| |

1 1

sup

sup ( ) ( )

0 .

00

k k

k k

f fk k k

x xf

kx x

n nf fk k k k

k k

f x f x

x x

d

−

−

= =

⎫

ω = ⎬⎪

′ ′′ω = − ⎪⎭

≤ ω ⋅∆ = ω ⋅∆

⇓ →

∑ ∑

інтегрованість |f(х)| доведено. Перевіримо нерівність:

( )f x′ −



1 1( ) ( ) ( ) ( ) .f k k k k f

k k a a

b bn n

f x f x f x dx fσ = α ⋅∆ = α ⋅∆ = δ ⇒ ≤∑ ∑ x dx= =

∫ ∫

Для завершення доведення залишається в останній нерівності здійс-

7.7 Визначений інтеграл, як функція верхньої межі

озглянемо інтегровану на відрізку функцію

нити граничний перехід при 0d → .■

[ , ]a b ( )f x . Р

( ) [ , ] ( ) .

[ , ] ( ) ! ;

( ) ( ) . [ , ].

b

ax

ax

a

a x b f x інтегровна на a x f t dt

x a b f t dt значення х

х f t dt функція на a b

Φ

≤ ≤ ⇒ − ⇒ ∃

∀ ∈ ⎯⎯→ − ∀ ⇒

⇒Φ = −

∫

∫

∫

Властивості функції ( )xΦ . Властивість 1. ( )f x – інтегр. на [ , ]a b ⇒ ( )xΦ - неперервна на

[ , ]a b .

Властивість 2. ( )x – інтегр. на ( ) f [ , ]a b x′⇒ ∃Φ в будь-якій точці [ , ], ) ( ).x a b до того ж х f x(′∈ = Φ

Доведення. 1. Нехай [ , ] [ , ]x a b h x a b∈ ∧ + ∈ , тоді

a ax h x

a a

( ) ( ) ; ( ) ( ) ;

( ) ( ) .

x x h

x f t dt x h f t dt

x h x+

Φ = Φ + =

Φ + −Φ = −

∫ ∫

∫ ∫

За теоремою про середнє

+

,x hc∃ таке, що лежить між x i x h+ і

x h x hx

f t dt f c x h x f c h= ⋅ + − = ⋅∫

Тоді

x h+

, ,( ) ( ) ( ) ( ) .

( ) ( ) ,,0 0

0

( ) . .

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 0x hx hh h

h

f x непер в т хx c x h

x h x f c h f x

x→ →

→

−+

Φ + −Φ = ⋅ = = ⋅ =⇓≶ ≶

( ) . [ , ]x неперервна в т x a b⇒ Φ − ∈ . 2.



,,0 0 0

0

( )( ) ( )lim lim lim ( ) ( )

( ) ( )lim ( ) ( ).

x hx hh h h

h

f c hx h x f c f xh hx h x x f x

h

→ → →

→

⋅Φ + −Φ= = =

Φ + −Φ ′⇒ ∃ = Φ =

⇒■

Наслідок 1. Функція ( ) ( )x

a

x f t dtΦ = ∫ є однією з первісних не-

перервної на відрізку [ , функції]a b ( )f x . Наслідок 2. Неперервна на відрізку функція [ , ]a b ( )f x має

первісну. Теорема (основна теорема інтегрального числення, формула

Ньютона – Лейбніца). Якщо ( )f x – неперервна на , а [ , ]a b ( )F x - одна з її первісних, то має місце формула

( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa

f t dt F b F a F x= − =∫ .

Доведення. Нехай ( )f x – неперервна на , тоді згідно до наслідків

[ , ]a b( )xΦ - одна із первісних ( )f x на . Нехай [ , ]a b ( )F x – інша

первісна, тоді ( ) ( ) ;F x x= Φ +C С - ? ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( ) 0

( ) : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

||

a

a

F a a CF a C C F a F x x Fa f t dt

Розглянемо F b F b b F ab F b F a

= Φ + ⎫⎪⇒ = + ⇒ = ⇒ = Φ +⎬Φ = = ⎪⎭

= Φ + ⇒Φ = −

∫ a

( ) ( ) ( ).b

a

f t dt F b F a= −∫ ■

Для неперервної функції ( )f x на за теоремою про сере-днє, формулою Ньютона-Лейбніца і властивістю 1 функції

[ , ]a b( )xΦ ма-

ємо:

( ) ( ) ( ), .

|| ||( ) ( ) ( ) ( ).

b

a

f x dx f c b a де a c b

F b F a F c b a

= ⋅ − < <

′− = ⋅ −

∫

Остання формула є формулою Лагранжа в диференціальному числені. Таким чином встановлено зв’язок між теоремою про серед-



нє в інтегральному численні і формулою Лагранжа – в диференціаль-ному.

Tеорема (заміна змінної під знаком визначеного інтегралу). ( ) [ , ];

( ), ( ) , ( ) , ( ) ( ( )) ( ) .Im [ , ];( ) [ , ];

b

a

f x неперервна на a bx t a b f x dx f t t dta b

t неперервно диференційовна на

β

α

− ⎫⎪= ϕ ϕ α = ϕ β = ′⇒ = ϕ ϕ⎬ϕ = ⎪ϕ − α β ⎭

∫ ∫

Доведення: ( )f x – неперервна на [ , ]a b ⇒

1) ( ) ;

2) ( ) ( ) ( ) [ , ].

b

ax

a

f x dx

x f t dt одна з первісних f x на a b

∃

Φ = −

∫

∫

( ) : ( ) ( ) ( ).b

a

Застосовуємо формулу Н Л до f x f x dx b a− = Φ∫ −Φ

}

[ , ] [ , ]

( ) [ , ]( ) [ , ] ( ( )) ( ) [ , ]( ) [ , ]

fa b Y

t неперервно диференційовна наt неперервна на f t t неперервнa наf x неперервнa на a b

ϕα β ⎯⎯→ ⎯⎯→

ϕ − α β ⇒′⇒ ϕ − α β ′⇒ ϕ ⋅ϕ − α β ⇒−

( ( )) ( ) . :

( ( )) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ( )) ( ) [ , ].

до f t t dt можна застосувати формулу Н Л

f t t dt дe t первісна f t t на

β

αβ

α

′⇒ ϕ ϕ −

′ ′ϕ ϕ = Ψ β −Ψ α Ψ − ϕ ϕ α β

∫

∫

Зв’язок між первісними:

}( ) ( ) ( ( ( ))) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) .( ) ( ( )) ( )x f x t f t t t tt f t t

′ ′ ′Φ = ⇒ Φ ϕ = ϕ ⋅ϕ ⇒ Ψ = Φ ϕ +′ ′Ψ = ϕ ⋅ϕ C

Отже,

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

( ) ( ) ( ) .b

a

f t t dt C C

b a f x dx

β

α

′ϕ ϕ = ψ β −ψ α = Φ ϕ β + −Φ ϕ α − =

= Φ −Φ =

∫

∫. ■

Приклад.

12 2 2 2

1

sin ,1 1

1 1 1 sin cos cos ;cos ;

2 2

x tx

х dx х t t tdx t dt t−

=−

− = − = − = =π π= −

∫ .=



2 2 2

22 2

1 1 1 1cos cos (1 cos 2 ) sin 22 2 2 2 2 2

t t dt t dt t t

π π π

ππ π −− −

⎛ π π ⎞ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = + = + ⋅ = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ 2.

Теорема (формула інтегрування частинами, під знаком ви-значеного інтегралу). Якщо U(х) і V(х) – неперервно диференційовні на [a,b], тоді здійснюється формула:

b bb

aa a

U dV UV V dU= −∫ ∫

Доведення: U – диференційовна неперервна на [a,b],

, тому

⇒[ , ],V неперервна на a b dV V dx′ ′− =

b b

a a

U dV U V dx′∃ = ⋅∫ ∫ . Аналогі-

чно доводиться b b

a a

V dU V U dx′∃ = ⋅∫ ∫ . Крім того, обидві функції U V ′⋅ і

мають первісну, як неперервні. Нехай V U ′⋅ ( )x V dUϕ = ∫ . Оскільки

здійснюється формула UdV UV V dU= −∫ ∫ , то з урахуванням позна-чення маємо:

.UdV UV первіснаUV ′= − ϕ −∫ Застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца:

( )b b

b b b b

a a aaa a

U dV UV UV UV V dU= −ϕ = −ϕ = −∫ ∫ . ■

Приклад. 2 1 2

0

sin ; ( 1)sin cos ;sin sin ; cos ;n n

nn

U x dU n x xdxI xdx dV xdx V x

π

− −= = −= == = −∫ =

2

2 21 2 2 22

00 0

2 22

0 0

( cos ) sin ( 1)cos sin ( 1) (1 sin )sin

( 1) sin ( 1) sin ;

n n

n n

n n

I I

2nx x n x xdx n x xdx

n xdx n xdx

−

π ππ

− −

π π

−

= − ⋅ + − = − − =

= − − −

∫ ∫

∫ ∫

−



2

2

2

2

00

22

1 00

( 1) ( 1) ;( 1) ;1 ;

;2

sin cos 1;

n n

n n

n n

I n I n In I n I

nI In

I dx

I xdx x

−

−

−

π

π

π

= − − −⋅ = −

−= ⋅

π= =

= = −

∫

∫

n

=

2 2 2 0

2 1 1

2 1 2 1 2 3 2 5 1 (2 1)!!... ;2 2 2 2 2 4 2 (2 )!! 2

(2 )!! (2 )!! 1.(2 1)!! (2 1)!!

k k

k

k k k k kI I Ik k k k k

k kI Ik k

−

+

− − − − −= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

− −

= ⋅ = ⋅+ +

π

Отже, отримано формулу:

2

0

1,( 1)!!sin , ,,!! 2

nn n

n непарнеnxdx D D nn парнеn

π−⎧− ⎪π= ⋅ = ∈⎨ −⎪⎩

∫

Проінтегруємо нерівність 2 1 2 2 1sin sin sink k kx x x+ −≤ ≤

в межах від до 02π :

2 1 2 2 1k k kI I I+ −≤ ≤ ,

[ ][ ]

[ ][ ]

2 2

2 2

(2 )!! (2 1)!! (2 2)!! (2 )!!(2 1)!! (2 )!! 2 (2 1)!! (2 1)!!

(2 )!! (2 )!!.

2(2 1)!! (2 1) (2 1)!! 2n na b

k k k kk k k k

k k

k k k k

− π −≤ ⋅ ≤ ⋅

+ −

π⇒ ≤ ≤

− + − ⋅

−

Доведемо, що відстань між правою і лівою частинами останньої не-рівності є н.м.п.

[ ][ ]

[ ][ ]

02

.

2 2

2 2

. . .

(2 )!! (2 )!!1 1 1lim( ) lim lim 02 2 1 2(2 1)!! (2 1)!! (2 1)

nan

обм

n nn n n

н м пa

k kb a

k k kk k

π≤ ≤

⎛ ⎞− = ⋅ − = ⋅ =⎜ ⎟+⎝ ⎠− − k +.

Тому lim lim2h hn n

a b π= = . Враховуючи позначення, одержимо:



[ ][ ]

2

2

(2 )!! 1lim .(2 1) 2(2 1)!!n

kформула Валліса

kkπ

⋅ = −+−

7.8 Інтегрування парних і непарних функцій

[ ]

0

00 0

0

0

0

( ) [ , ( ) ... ....

0( ) ; ; ( ) ( )

0

( ) ( ) ( ) .

:

( ) ( ) 2 ( ) ,

( ) ( )

a a

a aa

a aa a

a

a a

a

f x інтегровна на a a f x dx

x aРозглянемо f x dx t x dx dt f t dt f x dx

t a

f x dx f x f x dx

Висновок

f x пaрна f x dx f x dx

f x непaрна f x dx

− −

−

−

−

− − ⇒ = +

−= = − = − = − = − ⇒

= − +

− ⇒ =

− ⇒

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

0.a

a−

=∫

∫

Documents

7 ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ 7 7.1 Означення і умови існування ...sites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/7.pdf · 7 ВИЗНАЧЕНИЙ