Mathematic I

By Surachai @ Engineering, SWU (Version: December, 2011) 28

บทที � 3 Laplace Transforms

Laplace transform มปีระโยชน์มากในทางวศิวกรรมในการแก้ปญัหาของสมการอนุพนัธ์เชงิเส้น ขั -นตอนในการใช ้Laplace transform ประกอบดว้ย 3 ขั -นตอน ขั �นตอนที � 1: แปลงสมการ Ordinary differential equation (ODE) ใหอ้ยู่ในรปูของสมการพชีคณิต เรยีกว่า การลดรปูสมการ (พชีคณิตเป็นการศกึษาเกีEยวกบัโครงสรา้ง ความสมัพนัธ ์และจาํนวน พชีคณิตพื-นฐานจะเริEมมสีอนในระดบัประถมศกึษาและมธัยมศกึษา โดยศกึษาเกีEยวกบัการบวกลบคูณและหาร ยกกําลงั และการถอดราก พชีคณติยงัคงรวมไปถงึการศกึษาสญัลกัษณ์ ตวัแปร และเซต็) ขั �นตอนที � 2: จดัรปูสมการพชีคณติในขอ้ทีE 1 ใหอ้ยูใ่นรปูของการแปลงกลบัไดง้า่ย ขั �นตอนที � 3: แปลงกลบัจากในรูปเดมิซึEงคอืคําตอบของสมการ Ordinary differential equation (ODE) First shifting theorem (s-Shift) Laplace transforms คอืการเปลีEยนฟงัก์ชนัหนึEงไปเป็นอกีฟงัก์ชนัหนึEงโดยใชค้วามเกีEยวขอ้งกบัการ Integration ถ้า ( )f t เป็นฟงัก์ชนั Laplace transforms คอืการอนิทเิกรตของ ( )f t คูณกบั ste− จาก 0t = →∞ เรยีกว่าฟงักช์นั s หรอื ( )F s และเรยีกว่า ( )fL

0

)( )) ( (stf e f t dtF s

∞−== ∫L (3.1)

( )f t เรยีกว่า Inverse transform ของ ( )F s ซึEงนิยามว่า 1( )F−

L

1 )( ()f t F−= L (3.2)

Mathematic I

By Surachai @ Engineering, SWU (Version: December, 2011) 29

ตวัอย่าง 3.1 จาก ( ) 1f t = จงหาค่า ( )F s จาก

0

)( )) ( (stf e f t dtF s

∞−== ∫L

จะได ้

00

1 1( ) (1) (1)st stf e dt e

s s

∞∞− −= = = − =∫L L

ตวัอย่าง 3.2 จาก ( )atf e จงหาค่า ( )ateL จาก

( )

00

1 1( ) ( ) ( )at as a s tttf e dt e

a s s ae e

∞∞− − −= = = − =

− −∫L L

ตวัอย่าง 3.3 ฟงักช์นั hyperbolic จงหาค่า ( )fL จาก

( )1cosh

2

at atat e e−= + และ ( )1sinh

2

at atat e e−= −

จะได ้

( ) ( ) ( )( )

2 2

1 1 1 1cosh

2 2

at atat e es a s a

s

s a

− = + = + − +

= −

L L L

และ

( ) ( ) ( )( )

2 2

1 1 1 1sinh

2 2

at atat e es a s a

a

s a

− = − = − − +

= −

L L L

ในตารางทีE 3.1 แสดงรปูแบบของ Laplace transforms ทีEใชบ่้อย

Mathematic I

By Surachai @ Engineering, SWU (Version: December, 2011) 30

ตารางที � 3.1 ตาราง Laplace transforms

จาก ฟงักช์นั ( )s s a→ − ใน Laplace transform

{ }( ) ( )ate f t F s a− = −L (3.3) และจากการ Inverse ทั -งสองขา้ง

{ }1( ) ( )ate at sf F− −= −L (3.4) จากสมการทีE 3.3 และ 3.4 จะไดส้ตูรการแปลง Laplace ทีE 11 และ 12

ตวัอย่าง 3.4 จาก ( ){ } 2

3 137

2 401

sf t

s s

−=

+ +L จงหาค่า ( )f t

จาก

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 22 2

3 1 140 1 203 7

1 400 1 20 1 20

s sf t

s s s

− − − + − +

= = − + + + + + +

L L L

จาก ตารางทีE 3.1

{ }( )2 2

cosat s ae t

s aω

ω

−=

− +L และ { }

( )2 2sinate t

s a

ωω

ω=

− +L

Mathematic I

By Surachai @ Engineering, SWU (Version: December, 2011) 31

จะได ้

( ) ( )3cos 20 7sin 20tf t e t t−= − การแปลง Laplace โดยใช้ Derivatives การแปลงของอนุพนัธข์อง ( )f t อนัดบัทีEหนึEง

{ } { } ( )0f s f f′ = −L L (3.5)

และอนัดบัทีEสอง

{ } { } ( ) ( )2 0 0f s f sf f′′ ′= − −L L (3.6) ตวัอย่าง 3.5 จาก ( ) cosf t tω= และ ( ) sinf t tω= จาก

( ) cosf t tω= จะได ้ ( )0 1f = , ( )0 0f ′ = , ( ) 2 cosf t tω ω′′ = − ดงันั -น

{ } { }2 0f s f s′′ = − −L L และ

{ } { }2 2cos cos 0t s t sω ω ω− = − −L L

และ

{ } 2 2cos

st

sω

ω=

+L

จาก ( ) sinf t tω= จะได ้ ( )0 0f = , cosf tω ω′ = จะได ้

Mathematic I

By Surachai @ Engineering, SWU (Version: December, 2011) 32

{ } { } ( )0f s f f′ = −L L จะได ้

{ } { }cos sin 0t s tω ω ω= −L L

จาก { } 2 2cos

st

sω

ω=

+L

จะได ้

{ }2 2

sin 0s

s ts

ω ωω

= − + L

จะไดค้าํตอบ

{ }2 2

sin ts

ωω

ω = +

L

การใช้การแปลง Laplace ในการแก้สมการอนุพนัธ ์พจิารณาสมการอนุพนัธก์บัค่าเริEมตน้

( ) ( ) ( )0 1, 0 , 0y ay by r t y K y K′′ ′ ′+ + = = =

ขั -นตอนทีE 1: แทนค่าสมการโดยให ้ ( )Y y= L และ ( )R r= L จะได ้

( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 0s Y sy y a sY y bY R s′ − − + − + = จดัรปู

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0s as b Y s a y y R s′+ + = + + + ขั -นตอนทีE 2: หารดว้ย 2s as b+ + เรยีกว่า transfer function เรยีกว่า

Mathematic I

By Surachai @ Engineering, SWU (Version: December, 2011) 33

( ) 22

2

1 1

1 1

2 4

Q ss as b

s a b a

= =+ + + + −

ดงันั -น

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0Y s s a y y Q s R s Q s′= + + + ถา้ ( ) ( )0 0 0y y′= = จะได ้Y RQ= ขั -นตอนทีE 3: Inversion ค่า ( )1y Y−= L ตวัอย่าง 3.6 หาคาํตอบของสมการ , (0) 1, (0) 1y y t y y′′ ′− = = = จากขั -นตอนทีE 1: แทนค่าสมการโดยให ้ ( )Y y= L และแทนค่า ( )R s จากตารางทีE 3.1

( ) ( )2

2

10 0s Y sy y Y

s′− − + =

ขั -นตอนทีE 2: ( ) 2

1

1Q s

s=

−จะได ้

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 11

1 1

sY s s Q s Q s

s s s s

+= + + = +

+ +

จดัรปู

2 2

1 1 1

1 1Y

s s s

= + − − +

ขั -นตอนทีE 3: Inversion ค่า ( )1y Y−= L

( )1 1 1 1

2 2

1 1 1

1 1s sy Y

s

− − − − + − − −

=

=

L L L L

จะได ้

sinhty e t t= + −