MathSoft Mathcad 8 Professional - Velkommen til EDUhome.svend-es.dk/jove/filer til mat/danskmathcadmanual.pdfMathcad 8 Pro Vejledning og opgaver ENGBERG a/s – 48 25 17 77 1 INDHOLDSFORTEGNELSE

MathSoft

Mathcad 8 Professional vejledning og opgaver

09-07-99

M

Copyright ENGBERG a/s

Mathcad 8 Pro Vejledning og opgaver ENGBERG a/s – 48 25 17 77

1

INDHOLDSFORTEGNELSE

1 Lidt om Mathcad 8................................................. 3 2 Hjælp..................................................................... 6 3 Lighedstegn........................................................... 8 4 Indledende regninger ............................................ 9 5 Formatering......................................................... 14 6 Variable ............................................................... 18 7 Funktioner ........................................................... 20 8 Graftegning ......................................................... 23 9 Mere om grafer.................................................... 28 10 Løsning af ligninger............................................. 38 11 Uligheder............................................................. 42 12 Ligningssystemer ................................................ 43 13 Symbolske regninger .......................................... 45 14 Differentialregning ............................................... 48 15 Integralregning .................................................... 52 16 Sandsynlighedsregning....................................... 56 17 Vektorer............................................................... 59 18 Matricer ............................................................... 61 19 Komplekse tal...................................................... 64 20 Regression .......................................................... 66 21 Skrivning af tekst................................................. 70 22 Flytning af data.................................................... 73 23 Udskrivning ......................................................... 77 24 Opgaver .............................................................. 79 Stikordsregister ................................................. 140


2

FORORD Noterne dækker i det store og hele pensum på gymnasiets matematiske linje. Der er dog én væsentlig udeladelse, nemlig differentialligninger. Mathcad er ganske stærk til at løse differentialligninger, men det sker på numerisk form. Når man på A-niveau separerer en første ordens ligning, skal det derimod ske symbolsk og med hensyntagen til de relevante intervaller på både x-aksen og y-aksen. Af hensyn til både den høje opgave og det valgfrie forløb i 3.g er medtaget emnerne Matricer og Komplekse tal. Desuden er der i opgavesamlingen mange opgaver, der rækker ud over pensum. En del af disse opgaver er lagt eksperimen-telt an, og kan måske give eleverne idéer til den høje opgave og til det valgfrie forløb. Mathcads største værdi i undervisningen er sikkert netop dette: at gøre erfaringer ved matematiske eksperimenter; se f.eks. opgaverne om Taylorrækker. Vejledningen er ikke til lænestolen, men skal læses foran computeren med Mathcad åbnet. Samtlige eksempler, både i vejledningen og i opgavesamlingen, bør indtastes; ellers kommer metoderne ikke til at sidde i fingrene. Det anbefales at gemme Mathcad-dokumentet med jævne mellemrum. Torben Rosenquist Aabenraa Gymnasium og HF, juni 1999 Kommentarer og forslag til disse noter modtages gerne på e-mail [email protected]


3

1 LIDT OM MATHCAD 8

Skærmbilledet i MathCad minder meget om en tekstbehandler som f.eks. Word. Det består af skrivefeltet samt fem linjer • titellinjen med dokumentets navn • menulinjen • standardlinjen (værktøjslinje) • formateringslinjen (værktøjslinje) • matematiklinjen (værktøjslinje) • statuslinjen (nederst) Matematiklinjen Math, der er en såkaldt flydende værktøjslinje, ses her trukket over i venstre kant af vinduet. Du kan vise/skjule værktøjslinjerne ved at vælge menupunktet View/Toolbars1. Statuslinjen vises/skjules via menupunktet View/Status Bar. På figuren ovenfor ses også paletterne Graph og Arithmetic med en række knapper til forskellige formål. Når du klikker et sted i skrivefeltet, ses et rødt kryds; her vil dine indtastninger blive placeret.

1 Denne korte skrivemåde for en menu og en undermenu bruges overalt i det følgende.


4

Du kalder et nyt dokument frem ved at klikke på knappen New på standardlinjen

Du kan klippe og klistre ligninger og tekst v.h.a. knapperne

Cut (klip) Copy (kopiér) Paste (sæt ind)

Iøvrigt kan du genkende knapperne Open (åbn), Save (gem) og Print (udskriv). INDSTILLINGER Ved normal brug af Mathcad bør Math/Automatic Calculation være slået til.

Når man arbejder med meget beregningstunge opgaver, kan det undertiden være en fordel midlertidigt at slå den automatiske beregning fra. Det ses på statuslinjen om den automatiske beregning (AUTO) er valgt. SYSTEMKRAV Ifølge tekstfilen “MathSoft\Mathcad8 Professional\doc\Relnotes” kræves der • Pentium 90-based IBM or compatible computer. • CD-ROM drive. • Windows 95 or higher or Windows NT 4.0 or higher. • At least 16 megabytes of memory. 32 is recommended. • At least 80 megabytes of disk space for the typical (default) installation. At least 30

megabytes of disk space is required for a minimal installation. • VGA or higher graphics card and monitor required. Super VGA recommended. 256

color display required. Higher than 256 color display recommended. • Web Library, Web browsing, and Collaboratory features require a direct Internet

connection or Internet access through a service provider. Standard Web browsing in Mathcad and the on-line help requires components from Microsoft Internet Explorer 3.02 or higher (these components are installed automatically if they are needed).

• Excel component in Mathcad and MathConnex requires Excel for Windows 95 version 7.0 or higher. MATLAB component requires MATLAB Professional version 4.2c or higher or MATLAB Student version 5 or higher. Axum component requires Axum 5.0c (dated 5/18/97) or higher. The S-PLUS component requires S-PLUS 4.5 or higher.


5

• For improved appearance and full functionality of on-line Help, installation of Internet Explorer 4.0 or higher is recommended. See the next section for more details.

• A graphics card that supports OpenGL graphics will make complicated 3D graphs draw more quickly.

INDHOLD The Mathcad CD contains the following: • The installation program for Mathcad, MathConnex, and associated on-line Help and

Resource Center files. Run SETUP.EXE from the root folder (see Section 3 below). • Adobe Acrobat Reader 3.0 installation program (\DOC\AR302.EXE). • Mathcad User's Guide, Mathcad Reference Manual, and MathConnex User’s Guide

files in Adobe Acrobat format (requires Adobe Acrobat Reader 3.0 or Exchange 3.0, or higher). Look in the \DOC folder.

• Creating a User DLL in Adobe Acrobat format (requires Adobe Acrobat Reader 3.0 or Exchange 3.0, or higher). It describes how to create Mathcad functions using C or C++. Look in the \DOC\MATHCAD USERS GUIDE folder.

• Internet Explorer 5.0. IE 4.0 or higher is recommended for optimal appearance and functionality of the on-line Help. To install IE 5.0, run Ie5Setup.EXE in the \IE folder on the CD. In order to have improved on-line Help, the IE icon does not need to appear on your desktop, nor does IE need to be your default browser.

• Practical Statistics electronic book. To install it, run SETUP.EXE in the \PRACTICAL STATISTICS folder on the CD. (Note: In Mathcad 8 Professional Academic, this book is on the Math bonus CD.)

DANSK/NORSK DISTRIBUTØR ENGBERG a/s Nordre Jernbanevej 13C Postboks 194 3400 Hillerød telefon: 48 25 17 77 telefax: 48 24 08 47 e-mail: [email protected] internet: www.engberg.dk

2 HJÆLP


6

Mathcad er udstyret med så mange hjælpemuligheder, at man kan blive ganske forvirret. Lad os se lidt på de to hovedveje til hjælp. Klik på knappen Resourse Center på standardlinjen

En del opslag kræver, at PCén er koblet til Internettet; prøv f.eks. med Getting Started En introduktion til Mathcads muligheder. Advanced Topics Her kan den rutinerede bruger af Mathcad finde mange gode idéer. QuickSheets En virkelig god samling opskrifter på matematiske fremgangsmåder i Mathcad.


7

Reference Tables Indeholder tabeller over fysiske og kemiske konstanter samt matematiske formler. mathsoft.com Dette er et link til producenten MathSofts hjemmeside. Her kan man hente tilføjel-ser og rettelser til Mathcad 8 Professional (servicepacks og patches). Klik på knappen Help på standardlinjen

Contents En systemetisk samling af emner og underemner med korte forklaringer. Index Her kan man søge i en komplet liste over begreber og nøgleord i Mathcad.


8

3 LIGHEDSTEGN Mathcad anvender seks forskellige lighedstegn. Deres betydning vil blive forklaret på rette sted, men lad os alligevel give en samlet oversigt her. Klik på matematiklinjen (Math) på knappen med det besværlige navn Evaluation and Boolean Toolbar

Paletten Evaluation indeholder seks knapper med lighedstegn

sædvanligt lighedstegn på tastaturet

dynamisk lighedstegn; skriv kolon på tastaturet

globalt lighedstegn (tilde ∼ )2

symbolsk lighedstegn (Ctrl og punktum)

udvidet symbolsk lighedstegn (Ctrl og Shift og punktum)

fedt lighedstegn (Ctrl og +) Når du med markøren peger på en knap, dukker en lille gul kasse op. Dette er det såkaldte Tooltips, som fortæller hvad knappen hedder og eventuelt angiver en genvejstast. Men da de amerikanske tastaturer ikke ser helt ud som de danske, kan du ikke altid stole på genvejen. F.eks. viser Tooltips, at det fede lighedstegn har genvejen Ctrl og = . På dansk skal man faktisk vælge Ctrl og + .

2 Denne genvej virker på en ret specielt måde, idet symbolet ≡ ikke indsættes med det samme. Lad os f.eks. skrive ORIGIN≡1. Start med at skrive ORIGIN, tast så ∼ (tasten Alt Gr plus tasten med ∼ ) og skriv til slut 1.


9

4 INDLEDENDE REGNINGER Operatorer Mathcad anvender de sædvanlige regneoperatorer på tastaturet + - ∗ / ^ altså: addition, subtraktion, multiplikation, division og potensopløftning. Regnetegn I et udtryk som f.eks. 2a + 3b bør gangetegnet altid skrives: 2∗ a + 3∗ b. Resultatet vises som 2· a + 3· b. Vær forsigtig med at benytte tasten Space (mellemrum) ved indskrivningen af mate-matiske udtryk; ellers kan Mathcad opfatte det indtastede som en tekst. Som i alle engelsksprogede programmer benytter Mathcad punktum som decimal-separator; et komma giver koks! Som nævnt i kapitel 3 anvendes der i Mathcad seks forskellige slags lighedstegn; ved almindelige beregninger benyttes det sædvanlige = fra tastaturet. Vi starter med at udregne tallet 2 + 3· 4. Når du skriver 2+ omgives det indtastede af en rektangulær matematikboks

Det lille sorte rektangel er den såkaldte pladsholder, som dukker op hver gang du har indtastet en operator. De to blå linjer er redigeringslinjerne3.

Skriv 3

Skriv *

Skriv 4

Skriv =

Pladsholderen yderst til højre er reserveret til eventuelle enheder. Den forsvinder sammen med matematikboksen, når du taster Retur eller klikker et sted udenfor.

3 På engelsk benyttes betegnelserne math region, placeholder og editing lines. Sig til, hvis du kan finde bedre oversættelser til dansk.

eks.


10

Lad os dernæst beregne tallet (2 + 3)· 4

Skriv 2+

Skriv 3 og placér redigeringslinjerne om 2 + 3, f.eks. ved at taste Space (mellem-rum)

Skriv *

Skriv 4

Skriv =

Afslut ved at taste Retur eller ved at klikke med musen udenfor matematikboksen

Lad os til slut beregne tallene

23

4+ (venstre søjle) og

2 3

4

+ (højre søjle)

Læg nøje mærke til placeringen af redigeringslinjerne

eks.

eks.


11

Konstanter Grundtallet for den naturlige logaritme skrives v.h.a. bogstavet e på tastaturet. Det gode tal π benyttes så ofte, at du bør lære genvejen: Ctrl og Skift og p.

Sletning4 Du kan slette en enkelt ligning ved med musen at trække en stiplet ramme om ligningen, og klikke på knappen Cut (klip).

Du kan slette to eller flere ligninger ved at trække en stiplet ramme omkring ligningerne, og trykke på tasten Delete (slet).

Du kan alternativt holde tasten Ctrl (control) nede, mens du klikker på lignin-gerne én ad gangen; tast så Delete.

4 Man kan desværre ikke som i en sædvanlig tekstbehandler fortryde en sletning ved at klikke på knappen Undo eller ved at vælge Edit/Undo. I det hele taget er der mange situationer, hvor Undo er afkoblet. Det er lidt ærgerligt, men måske kommer det med i den næste version af Mathcad?


12

Redigering Man har ofte brug for at rette i det indskrevne. Nedenfor ses nogle få eksempler. Iøvrigt henvises der til on-line hjælpen; klik på knappen Help og vælg på fane-bladet “Contents” punktet “Equations/Equation editing”. I udtrykket nedenfor vil vi erstatte + med –

Placér redigeringslinjerne som vist, enten v.h.a. musen eller v.h.a. piletasterne

Tast Backspace (tilbage) for at fjerne +

Tast –

Tast Retur Vi har glemt parenteser omkring 6 + 3

Placér redigeringslinjerne således

Tast (

Flyt redigeringslinjerne

Tast )

Tast Retur

eks.

eks.


13

Vi fjerner parenteserne

Placér redigeringslinjerne

Fjern begge parenteser ved at taste Backspace. Bemærk, at Mathcad ikke tager hensyn til, at der faktisk er tale om en minusparentes!

Tast Retur Fejl Hvis du begår en matematisk ulovlighed, giver Mathcad en fejlmeddelelse

Ret fejlen og tast Retur. Det er som bekendt strengt forbudt at uddrage kvadratroden af et negativt tal. Forsøger du på en lommeregner, kommer der en fejlmelding. Men Mathcad giver5

Der er tale om et såkaldt komplekst tal og altså ikke noget reelt tal. Hvis du kun kender de reelle tal, er det stadig er grim fejl at uddrage kvadratroden af et nega-tivt tal.

5 Kvadratrodssymbolet er omtalt i kapitel 7.

eks.


14

5 FORMATERING Antal decimaler Mathcad regner internt med 16 cifre, men viser som standard resultatet med 3 decimaler

Ønsker du f.eks. resultatet med 6 decimaler, skal du dobbeltklikke på ligningen.

I dialogboksen skriver du 6 i feltet “Precision: Displayed precision”

Hvis du afkrydser i feltet “Set as default” (vælg som standard), bliver samtlige beregninger på arket vist med 6 decimaler. Eksponentiel notation Hvis et beregnet tal enten er “tilpas stort” eller “tilpas lille” (dvs. tæt på 0), skrives det i eksponentiel notation

1 999. 999= 1 1000. 1 103.=

1

1000.01= 1

1019.901 10 3.=

Du kan vælge normal notation ved at dobbeltklikke på ligningen og i dialogboksen (se figuren ovenfor) vælge en større værdi af “Tolerance: Exponential threshold”.


15

Flytning Du kan flytte en ligning ved at klikke på den. Når du så peger på matematikbok-sens ramme, forvandles markøren til en sort hånd

Nu kan du trække ligningen til det ønskede sted. Du kan på samme måde flytte en markeret gruppe ligninger. Endnu et fif til at placere ligninger i forhold til hinanden

Placér det røde kryds mellem de to ligninger og tast Retur én eller flere gange. Du kan på samme måde gøre afstanden mindre ved at placere krydset og taste Delete. Justering Du kan justere to eller flere udtryk enten vandret eller lodret v.h.a. knapperne

Align Across (vandret) Align Down (lodret)

Vi justerer følgende to ligninger vandret ved at markere ligningerne med stiplede linjer

Markeringen sker enten ved at trække med musen hen over ligningerne eller ved at holde tasten Ctrl nede og derpå klikke på ligningerne én ad gangen. Klik så på knappen Align Across

Vi kan på samme måde justerere lodret v.h.a. knappen Align Down


16

Valg af skriftstil6 Skriv udtrykket 2 7 9⋅ + − ⋅x y og klik på variablen x

Du kan på formateringslinjen se, at der er tale om en variabel (Variables), skrevet med standardskriften Times New Roman i størrelse 10

Vælg nu skriften Arial i størrelse 16 og skrevet med kursiv I (Italic)

Klik dernæst på et tal. På formateringslinjen aflæses, at der er tale om en konstant (Constant), igen skrevet med standardskriften Times New Roman i størrelse 10. Prøv at ændre til størrelse 20 og skrevet med fed B (Bold)

Faktisk er det noget pjank med alle disse “smarte” valg af skriftstil. Det kan dog være praktisk at ændre skriftstørrelsen, alt afhængig af øjnenes alder og af skærm-opløsningen. En ændring af skriftstilen er global, dvs. at samtlige variable og konstanter i doku-mentet bliver ændret. Det er dog muligt at foretage lokale ændringer. Skriv igen

og vælg menuen Format/Equation

6 Mathcad anvender betegnelsen skriftstil (Math styles) for det samlede valg af: skrifttype, skriftstørrelse, udseende (fed, kursiv, understreget) og farve i ligninger.


17

Lad os konstruere en skriftstil, der er specielt velegnet til vektorer og matricer (se kapitlerne 17 og 18). • Vælg i rullegardinet “Style Name: User 1” • Skriv “Vektor” i feltet “New Style Name”. • Klik på knappen Modify. • Vælg “Typografi: fed kursiv”. • Klik to gange på knappen OK. Nu står variablen x skrevet med fed kursiv, mens variablen y er uændret. Klik dernæst på variablen y , vælg menuen Format/Equation, vælg “Style Name: Vektor” og klik på knappen OK.


18

6 VARIABLE Sædvanlig variabel Betragt et udtryk med to variable a og b

a b

a b

a

bb

+−

+ +2

Vi vil beregne værdien af udtrykket for a = 7 og b = 4 . En variabel skrives v.h.a. det dynamiske lighedstegn := (kolon plus lighedstegn), men du kan nøjes med kolon. Skriv a:7 og b:4 og afslut hver gang med at taste Retur Skriv så udtrykket ovenfor og afslut med et sædvanligt lighedstegn samt Retur

Prøv at ændre på værdierne af a og b ; resultatet opdateres øjeblikkeligt. Områdevariabel Den såkaldte områdevariabel bruges, når en variabel skal gennemløbe en række værdier med lige stor afstand. Lad som eksempel beregne tallet x2 for x = 0,1 , 0,2 , 0,3 , ... , 1,9 , 2. Mathcad skal kun kende de to første og det sidste tal, altså startværdien 0,1 , skridtlængden 0,2 – 0,1 og slutværdien 2. Skriv x:0.1,0.2;2 og tast Retur

Nu skal vi beregne tabeller over tallene x og x2 . Skriv først x= , klik et andet sted i skrivefeltet og skriv her x^2= .


19

Bemærk, at ikke alle værdierne kan ses i tabellen. Det klares ved at klikke på tabel-len og derpå trække nedad i det nederste, midterste håndtag7. Man kan alternativt rulle ned gennem tabellen. Skridtlængden kan udelades, hvis den har standardværdien 1 ; skriv f.eks. x:3;12

7 Tabellen rykker desværre samtidig nedad!


20

7 FUNKTIONER Egne funktioner Vi vil bestemme funktionsværdien f ( )5 for tredjegradspolynomiet f x x x( ) = − −3 2 5 En funktionsforskrift skrives v.h.a. det dynamiske lighedstegn := mens en bereg-ning sker v.h.a. det sædvanlige lighedstegn = . Skriv f(x):x^3–2∗∗∗∗ x–5 og f(5)=

Bemærk, at beregningsudtrykket f(5)= skal placeres til højre for eller under funk-tionsforskriften. Og så et eksempel, hvor en kompliceret funktion tabellægges

Funktionsværdierne er formateret med 5 decimaler. Dobbeltklik på tabellen og skriv 5 i feltet “Precision: Displayed precision”. Indbyggede funktioner Lad os se på nogle af de grundlæggende funktioner. Husk altid at skrive paren-teser omkring variablen som i f.eks. sin( ) log( )x xog Først de trigonometriske funktioner, hvor der som standard anvendes radianmål. Skriv sin(2)=

Hvis du ønsker at regne i gradmål, skal du skrive vinklen som 2deg


21

Mathcad kan naturligvis også finde x når det f.eks. vides, at sin x = 0,7. Men hvad hedder den omvendte funktion til sinus på engelsk? Du kan undersøge sagen ved klikke på knappen Insert Function (indsæt funktion) på standardlinjen

Vælg “Function Category: Trigonometric” og rul ned gennem listen “Function Name”. Navnet asin ser lovende ud, og den korte forklaring i feltet nederst viser, at det er den ønskede funktion. Klik på knappen Insert.

Skriv så 0.7 i pladsholderen og tast lighedstegn

Resultatet angives i grader, hvis du skriver deg i den tomme pladsholder


22

Du kan også vælge en række standardfunktioner ved at klikke på knappen Arith-metic Toolbar på den matematiske værktøjslinje

På paletten Arithmetic findes knappen Square Root (kvadratrod)

Alternativ kunne vi beregne

Paletten rummer også tegnet for den n´te rod

Roduddragning og potensopløftning af negative tal giver ikke samme resultat

Forklaringen på dette sære resultat kræver kendskab til komplekse tal.

8 GRAFTEGNING


23

Vi vil tegne grafen for en funktion af én variabel i et sædvanligt koordinatsystem. Og vi vælger igen tredjegradspolynomiet f x x x( ) = − −3 2 5 Vi ønsker specielt at finde antallet af rødder (der er 1, 2 eller 3 rødder) og deres omtrentlige værdi. Skriv forskriften v.h.a. det dynamiske lighedstegn

og klik et sted til højre for eller under forskriften (det røde kryds). På den matematiske værktøjslinje klikker du på knappen Graph Toolbar

Når du på paletten Graph klikker på knappen X-Y Plot, tegnes der ved det røde kryds en figur med to pladsholdere ved det indre rektangel og tre håndtag ved det ydre rektangel


24

Skriv x i pladsholderen ved x-aksen og f(x) i pladsholderen ved y-aksen

Grafen tegnes, når du taster Retur (eller klikker udenfor figuren)

Grafen er som standard omgivet af et rektangel med aksetal, men det ville være bedre med et par sædvanlige koordinatakser. Dobbeltklik i diagrammet og vælg på fanebladet “X-Y Axes” indstillingen “Axes Style: Crossed”


25

Nu skal diagrammet gøres større. Klik på diagrammet og placér markøren på højre håndtag på det yderste rektangel. Markøren forvandles til en dobbeltpil, som du trækker mod højre. Placér eventuelt markøren (den sorte hånd) på det ydre rektangel og flyt diagram-met til et passende sted på arket.

Mathcad tegner som standard på intervallet − ≤ ≤10 10x . For at finde antallet af rødder i polynomiet, skal tegneintervallet indskrænkes; lad os vælge − ≤ ≤2 3x . Et tegneprogram kan kun tegne linjestykker. Men er linjestykkerne tilpas korte, bliver grafen smukt jævn. Vi skal oplyse Mathcad om, hvilke støttepunkter, der fastlægger linjestykkerne; lad os f.eks vælge –2,0 , –1,9 , –1,8 , –1,7 , ... , 2,8 , 2,9 , 3,0 Af disse mange tal skal Mathcad blot kende de to første og det sidste. Definér der-for områdevariablen x ved på arket at skrive x:–2,–1.9;3


26

Nu ses det tydeligt, at polynomiet har netop én rod (hvorfor?); og værdien er cirka 2,1.

Koordinater Det er muligt at aflæse koordinaterne til udvalgte punkter i et diagram. Klik med højre museknap på diagrammet, vælg Trace og afkryds i dialogboksen ved “Track Data Points”

Når du klikker i diagrammet, viser der sig to stiplede linjer, som skærer hinanden i et punkt på grafen. Hvis du trækker i én af linjerne med musen, flytter skærings-punktet sig langs grafen; og du kan aflæse punktets koordinater i dialogboksen. Du kan med fordel flytte skæringspunktet v.h.a. piletasterne. Synes du, at skæringspunktet bevæger sig i for store ryk, skal du blot formindske skridtlængden som f.eks.

Hvad sker der, hvis afkrydsningen ved “Track Data Points” fjernes?


27

Zoom Det er muligt at zoome ind på særligt interessante dele af grafen. Klik med højre museknap på diagrammet og vælg Zoom

Træk nu med musen en stiplet kasse omkring det ønskede område og klik på knap-pen Zoom. Gentag eventuelt proceduren.

Polynomiets rod er åbenbart en smule mindre end 2,1. Du kan gendanne diagrammets oprindelige størrelse ved at klikke på knappen Full View.


28

9 MERE OM GRAFER Flere grafer Vi vil i samme koordinatsystem tegne graferne for funktionerne f og g givet ved

f x x x

g x x x

( ) sin ,

( ) cos ,

= − ≤ ≤= − ≤ ≤

6 6

6 6

altså to funktioner med samme definitionsmængde. Skriv

På paletten Graph klikker du på knappen X-Y Plot. Skriv så x i den nederste pladsholder og f(x),g(x) i pladsholderen til venstre og tast Retur. Gør diagram-met større og tegn normale akser, helt som beskrevet i forrige kapitel.

Vi vil nu skabe lidt plads omkring de to grafer, bl.a. fordi sinusgrafen på uheldig måde er blevet afskåret øverst. I diagrammet ses fire pladsholdere med tallene –6, 6, –1 og 1; klik i pladsholderne og skriv i stedet tallene –6,5 , 6,5 , –1,2 og 1,2


29

Dobbeltklik på diagrammet og vælg fanebladet “Traces”, hvor udseendet af de to grafer kan ændres.

Grafen for f kaldes “trace 1”, mens “trace 2” er grafen for g . Vælg de viste ind-stillinger for trace 2. Prøv at eksperimentere med de forskellige indstillinger. Prøv at afkrydse ved “Hide Arguments”. Prøv at fjerne afkrydsningen ved “Hide Legend”.


30

Gaffelfunktion Vi vil tegne grafen for funktionen f givet ved forskriften

f xx x

x x( ) =

+ − ≤ ≤

− + < ≤

3 1 3 1

10 1 42

,

,

Vælg to forskellige navne for den uafhængige variable og skriv8 f.eks.

Klik så på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv x1,x2 og f1(x1),f2(x2) i de to pladsholdere

Vi kan også tegne en åben cirkel i punktet (1,9). Skriv på arket x3:1 og tilføj ,x3 og ,f2(x3) i de to pladsholdere ved akserne. Til slut skal punktet (trace 3) formateres mht. farve og symbol. Parameterfremstilling Når en cirkel ruller langs en ret linje, vil et fast punkt på cirklen gennemløbe en kurve, en såkaldt cykloide. Kurven beskrives v.h.a. en parameterfremstilling

x a t t

t Ry a t

= −∈

= −

( sin ),

( cos )1

Kurven er periodisk med perioden 2π , og vi vil tegne fem af disse perioder.

8 Det er her nødvendigt at vælge to forskellige funktionsnavne f1 og f2 ; men bemærk, at der faktisk kun er tale om én funktion f .


31

Vælg a = 1 og skriv

Klik dernæst på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv x(t) og y(t) i de to pladsholdere

Igen afskæres den øverste del af kurven, hvad du kan kontrollere ved at dobbelt-klikke på diagrammet og i dialogboksen vælge “Axes Style: None”. Lad os derfor skabe lidt “luft” omkring kurven.

Dertil skal du blot ændre tallene i de fire pladsholdere ved akserne; nogle forslag x-aksen: venstre pladsholder 0 ; skriv –2 højre pladsholder 31.416 y-aksen: nederste pladsholder 0 ; skriv –0.5 øverste pladsholder 2 ; skriv 2.5


32

Nu er det væsentlig lettere at overskue den smukke cykloide

Punktdiagram På et amerikansk gymnasium udvalgte man på tilfældig måde 10 elever fra en stor gruppe, der var til eksamen i både algebra og fysik. Tabellen viser det antal point, som eleverne fik i de to fag

algebra 75

fysik

80 93 65 87 71 98 68 84 77

82 78 86 72 91 80 95 72 89 74

Er der er en sammenhæng mellem præstationen i de to fag? Er det sådan, at jo bedre man er til algebra, jo bedre er man også til fysik? For at kunne overskue sagen, vil vi tegne datamaterialet som 10 punkter i et koordinatsystem med algebrapointene på x-aksen og fysikpointene på y-aksen. Vælg menuen Insert/Component/Input Table. Nu indsættes en tabel, der minder om et regneark

Giv tabellen et navn som f.eks. “data”. Skriv data i den tomme pladsholder, klik på tabellen og udvid ved at trække nedad i det midterste håndtag nederst. Nu skal du indskrive algebrapointene i venstre søjle og fysikpointene i højre søjle. Når du taster Retur, flyttes markeringen til næste celle, helt som i et regneark. Du kan slette en hel række ved at • klikke (med venstre museknap) på en celle i rækken • klikke med højre museknap på cellen • vælge menuen “Delete Cells” • vælge “Delete: Entire Row”


33

Mathcad nummererer som standard søjlerne 0, 1, 2, ... regnet fra venstre. Vi kalder de to søjler for “algebra” og “fysik” og skriver

Den trekantede eksponentsymbol skrives ved at klikke på knappen Matrix Column (søjlematrix) på paletten Matrix

Tegn nu diagrammet ved at klikke på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv algebra hhv. og fysik i de to pladsholdere ved akserne.

Det ligner jo et moderne maleri! Sagen er den, at de ti punkter er forbundet med linjestykker på kryds og tværs; vi skal blot fjerne linjestykkerne.


34

• Start med at gøre diagrammet større. • Dobbeltklik på diagrammet og vælg normale akser på fanebladet “X-Y Axes”. • Vælg på fanebladet “Traces” disse indstillinger for den røde graf

Der er en tydelig, voksende sammenhæng mellem resultaterne i algebra og fysik. Vi vender tilbage til dette eksempel i kapitel 20 om regression. Funktion af to variable Betragt en funktion f af to variable som f.eks. f x y x y( , ) = −2 2 Grafen for en sådan funktion er en flade i rummet, her en såkaldt saddel. Vi lader både x og y løbe fra –3 til 3 i skridt på 0,2. Det er lidt kompliceret, da der af én eller anden grund skal anvendes variable med indeks (indekset er det lille tal forneden). Lad os f.eks. skrive den indicerede variabel a0 5= − ; start med


35

Klik så på knappen Subscript (indeks) på paletten Arithmetic

Nu ses et symbol med en pladsholder til indekset9

Skriv 0 i pladsholderen, skriv :–5 og tast Retur

Skriv nu følgende, idet navnene m og n for indices samt størrelsen M er tilfældigt valgt

Det er let at se, at både x og y løber fra –3 til 3 i skridt på 0,2 x x0 303 0 2 0 3 3 0 2 30 3= − + ⋅ = − = − + ⋅ =, ,og

9 Selv om udenadslæring er meget umoderne (ja næsten ulovligt) i vore dage, kan det alligevel anbefales at lære genvejen [ for indeks.


36

Placér det røde kryds et passende sted på skrivefladen og klik på knappen Surface Plot på paletten Graph

Der tegnes nu et rumligt koordinatsystem med en pladsholder nederst; her skriver du M

Bemærk, at det er m-værdierne og n-værdierne, der afsættes på x-aksen og y-aksen. Men det er de faktiske funktionsværdier, der afsættes på z-aksen. Nu kommer det snedige: du kan dreje kurven ved med musen at trække forskellige steder inden for rammen; prøv at eksperimentere!


37

Nu forstår du måske, hvorfor grafen kaldes en saddel? Du kan formatere grafen og koordinatsystemet ved at dobbeltklikke i diagrammet. Prøv at vælge følgende indstillinger på fanebladet “Appearance”

Indstillingen “Line Options: No Lines” er også interessant. Du kan fjerne koordinatsystemet ved på fanebladet “General” at vælge “Axes Style: None”. Du kan fjerne rammen ved at klikke i diagrammet med højre museknap og derpå fjerne afkrydsningen ved “Border”. Iøvrigt er der så mange muligheder for formatering, at det er håbløst at gennemgå dem her; prøv dig frem! Du kan få vejledning ved at klikke på knappen Hjælp nederst til højre på fane-bladet. Du kan også finde et udvalg af flotte og komplicerede eksempler ved at klikke på knappen Resource Center på standardlinjen. Vælg her enten “Advanced Topics” og “Creating 3D Graphs” eller ”Quick Sheets” og “Graphing and Visualization”.


38

10 LØSNING AF LIGNINGER Vi så i kapitel 8, at tredjegradspolynomiet f x x x( ) = − −3 2 5 har netop ét nulpunkt, og værdien blev aflæst til cirka 2,1. Vi vil her beregne dette nulpunkt v.h.a. forskellige snedige metoder. 1. metode Når du på en lommeregner skal finde nulpunkter, skal du ofte selv levere et start-gæt; Mathcad virker på samme måde. Definér funktionen og skriv så x:2 og løsning:root(f(x),x) og løsning=

Dette stemmer nydeligt med det grafiske resultat. Og resultatet ser imponerende præcist ud, men kan vi stole på samtlige cifre? Vi kan undersøge sagen ved at beregne funktionsværdien af den fundne løsning. Skriv f(løsning)=

Funktionsværdien er næsten nul, men altså ikke helt. Det er muligt at komme tættere på nul, men det kræver lidt forklaring. Når Mathcad (og visse lommeregnere) finder nulpunkter, beregnes der en række værdier x x1 2, ,! som nærmer sig mere og mere til “den korrekte værdi”. Men regneprocessen skal jo stoppe på et tidspunkt, og i Mathcad sker det som standard første gang to x-værdier adskiller sig mindre end 0,001. Er dette f.eks. opfyldt for

x x8 7 0 001− < ,

leverer Mathcad altså tallet x8 som resultat.


39

Tallet 0,001 er den såkaldte tolerance, som du selv kan ændre. Hvis tolerancen f.eks. ønskes nedsat til 10 10− skriver du blot TOL:10^–10 på selve arket

Sammenlign med værdien ovenfor! Prøv at eksperimentere med forskellige værdier af tolerancen TOL. 2. metode Den ovenfor beskrevne metode kan benyttes med alle typer funktioner. Mathcad har imidlertid en meget snedig nulpunktsmetode, specielt beregnet på polynomier (med grad på højest 99). Det generelle polynomium af n´te grad har formen f x a x a x a x an

nn

n( ) = + + + +−−

11

1 0! Det givne tredjegradspolynomium har koefficienterne a a a3 1 01 2 5= = − = −, og idet vi kun medtager de koefficienter, der er forskellige fra nul. Skriv de tre koefficienter (indeks har genvejen [ ) samt polyroots(a)=

Polynomiet har altså den reelle rod 2,095 (samt to komplekse rødder, som du ikke skal bekymre dig om). Vi formaterer rødderne med det maksimale antal decimaler


40

Bemærk, at den reelle rod af én eller anden grund ikke har helt samme værdi som ved den første metode. Lad os kontrollere ved at beregne funktionsværdien. Træk markøren hen over tallet, så det bliver sort og klik på knappen Copy på standardlinjen. Skriv f( ) og kopiér tallet over i den tomme pladsholder ved at klikke på knappen Paste

Resultatet er altså ikke helt så godt som ved den første metode! Og desværre har tolerancen TOL ingen virkning ved en beregning med funktionen polyroots. 3. metode Denne metode er ganske imponerende, idet rødderne beregnes eksakt. Metoden virker dog ikke ved alle ligninger! Du får her brug for et par knapper på paletten Evaluation

Skriv ligningen f x( ) = 0 med det fede lighedstegn, vælg det udvidede symbolske

lighedstegn ν → , skriv solve,x i pladsholderen10 og tast Retur f x( ) x3 2 x. 5

f x( ) 0 solve x,

1

6

3540 12 1929.. 4

3540 12 1929.

1

12

3

540 12 1929.. 2

3540 12 1929.

1

2i. 3. 1

6

3

540 12 1929.. 4

3540 12 1929.

.

1

12

3

540 12 1929.. 2

3540 12 1929.

1

2i. 3. 1

6

3

540 12 1929.. 4

3540 12 1929.

.

10 solve er et såkaldt symbolsk nøgleord.


41

Ligningens ene reelle rod ses øverst på eksakt form; det er da flot! Du kan beregne tilnærmede værdier ved at klikke på resultatet og taste lighedstegn

altså helt samme resultat som ved metode 1. 4. metode Vi vil til slut se på den såkaldte løsningsblok Given/Find, en meget stærk metode, som ofte kan løse ligninger eksakt. Start med at skrive Given og skriv så ligningen med det fede lighedstegn. Skriv endelig Find(x)→→→→ med det symbolske lighedstegn → fra paletten Evaluation og tast Retur

Resultatet bliver ganske som ved metode 3, blot nu skrevet vandret (ovenfor ses kun en del af skærmbilledet). Lad os sammenligne de to symbolske metoder ved at løse den generelle anden-gradsligning; først metode 3

Og dernæst metode 4

Bortset fra et par overflødige parenteser genkender du sikkert udtrykket?


42

11 ULIGHEDER Uligheder kan (somme tider) løses v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med solve,x i pladsholderen

Altså x x x− < − ⇔ >1 3 3 1 Ulighedstegnene < og > findes på tastaturet, mens ≤ ≥og må hentes på paletten Evaluation. Mathcad har det ikke godt med alle uligheder

Idet gangetegnet skal læses som et logisk og , fås altså x x x x x2 3 10 0 5 2 5 2+ − < ⇔ − < ∧ < ⇔ − < < Og så et mere kringlet eksempel

Men her skal vi passe på, da kvadratroden jo kun er defineret for x ≥ 0. For kontrollens skyld bør en sådan ulighed altid ledsages af en grafisk illustration

Nu kan vi med god samvittighed angive løsningen

x x x≥ − ⇔ ≤ ≤ +12 1 0 4 2 3


43

12 LIGNINGSSYSTEMER Mathcad kan også løse n ligninger med n ubekendte; et eksempel

x y z

x y z

x y z

+ − =− + − =− + − =

0

2 3 9 0

5 3 2 0

Vi anvender løsningsblokken Given/Find

Ligningssystemet har derfor løsningen ( , , ) ( , , )x y z = 1 2 3 . Vi beregner koordinaterne til skæringspunkterne mellem parablen med ligningen y x= 2 og linjen med ligningen y x= +2 3

Idet koordinaterne aflæses lodret, er skæringspunkterne altså A B( , ) ( , )−11 3 9og . Følgende opgave går ud på at bestemme løsningsmængden til ligningssystemet

ax y

x ay

+ =+ =

2 2

8 4

for ethver værdi af parametren a R∈ .

eks.

eks.

eks.


44

Skriv

Denne løsning kræver tilsyneladende kun, at a ≠ −4 . Men en håndregning viser, at vi må kræve, at a a≠ − ∧ ≠4 4 . Og Mathcad oplyser intet om, hvad der sker, hvis betingelsen ikke er opfyldt. Læseren opfordres til at vise, at

{ }a L

a L x y y x

= − = ∅

= = = − +

4

4 2 1

:

: ( , )|

Mathcads løsning kan derfor ikke bruges for a = 4 . Igen ser vi det interessante: et matematikprogram kan kun bruges med fornuft, hvis man i forvejen kan noget matematik. Nu vi er blevet så meget klogere, kan vi jo passende se, hvad Mathcad stiller op i tilfældet a = –4

Det passer jo fint, da der faktisk ikke er nogen løsning. Men hvad med a = 4?

Mathcad giver løsningen på formen ( , )x x− +2 1 , altså det korrekte svar!


45

13 SYMBOLSKE REGNINGER Mathcad tilbyder en række muligheder for at arbejde med bogstavsudtryk; vi ser på nogle af de vigtigste. Udregning Skriv

Vælg det udvidede symbolske lighedstegn ν → på paletten Evaluation, skriv expand i pladsholderen og tast Retur

Vi kan også eftervise de såkaldte additionsformler fra trigonometrien

Faktorisering Mathcad kan (somme tider) faktorisere v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med factor i pladsholderen

Reduktion Mathcad kan (somme tider) reducere v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med simplify i pladsholderen

Som det ses, sætter Mathcad ofte overflødige parenteser.


46

Grænseværdi Paletten Calculus rummer tre grænseværdisymboler

Vælg det sædvanlige grænseværdisymbol på paletten Calculus

Udfyld de tre pladsholdere som vist, idet symbolet ∞ også kan hentes på paletten. Vælg så det symbolske lighedstegn → og tast Retur

Bemærk, at Mathcad på en uheldig måde blander de to skrivemåder

limx

x

x

x

xx

→∞

+−

=+−

→ → ∞2

2

2

2

7

4 9

1

4

7

4 9

1

4og for

På paletten Calculus findes også symboler for ensidige grænseværdier

Man kan også undersøge hvilke funktioner, der vinder kapløbet mod uendelig


47

Summer Du kender sumsymbolet sigma (det store græske S) fra et regneark som f.eks. Excel. Symbolet anvendes til at skrive en sum på en kort måde

nn

2

1

10002 2 21 2 1000

=∑ = + + +!

Vælg sumsymbolet på paletten Calculus

Udfyld de fire pladsholdere og tast lighedstegn

Prøv også med det symbolske lighedstegn

Pionererne bag udviklingen af integralregningen anvendte bl.a. formlen 1 2 1 2 12 2 2 1

6+ + + = + +! k k k k( )( ) Denne flotte formel kan vi let finde ved symbolske regninger

Bemærk dog, at vi ikke har bevist formlen!


48

14 DIFFERENTIALREGNING Differentialkvotient Lad os eftervise differentialkvotienten f x x f( ) ( )= ⇒ ′ =3 1 3 Start med at skrive det tal, hvor differentialkvotienten skal beregnes

Mathcad anvender Leibniz´ differentiationssymboler

df x

dxf x

d f x

dxf x

( )( ) ,

( )( ) .= ′ = ′′

2

2 osv

Symbolerne findes ved at klikke på knappen Derivative (den afledede) på paletten Calculus (differential- og integralregning)

Udfyld de tomme pladsholdere og tast lighedstegn

Det samlede resultat tager sig således ud

eks.


49

Lad os også beregne tallet ′′f ( )1 . Klik på knappen Nth Derivative (den n´te afledede) på paletten Calculus og udfyld pladsholderne

Den øverste pladsholder udfyldes automatisk, når 2-tallet skrives i nævneren. Tast til slut lighedstegn

Og så et par slemme differentialkvotienter

Den viste skrivemåde er nok en fordel, når funktionsforskriften er kompliceret. Afledet funktion Mathcad kan også bestemme en forskrift for den afledede funktion. Her skal du anvende det symbolske lighedstegn →→→→ fra paletten Evaluation og afslutte med at taste Retur

Nu har vi længe nok døjet med dette pilesymbol, der kan forlede svage sjæle til at tro, at der er tale om en grænseværdi. Lad os se, hvordan man kan skrive integralet på en mere korrekt form. Markér venstre side af udtrykket

eks.

eks.

eks.


50

Klik på knappen Copy, klik med musen et eller andet sted i skrivefeltet (det røde kryds) og klik på knappen Paste

Flyt så redigeringslinjerne

Skriv dernæst det fede lighedstegn fra paletten Evaluation

Markér højre side af det oprindelige udtryk og klik på knappen Copy

Klik på den tomme pladsholder og på knappen Paste

Resultatet er ikke nogen skønhedsåbenbaring, men skrivemåden er i orden. Og så et eksempel, som man næsten ikke orker at udregne i hånden

eks.


51

Disse to udtryk trænger i høj grad til en reduktion. Tilføj derfor det udvidede symbol-ske lighedstegn ν → med factor i pladsholderen

De fleste ville nok i en håndregning gange faktoren x ind i tælleren og samtidig fjerne de overflødige parenteser, men Mathcad sætter altså samtlige faktorer uden-for parentes. Lad os skrive resultatet lidt pænt

Det overlades til læseren at vise, at

Ikke alle funktioner er differentiable; f.eks. har numeriskfunktionen som bekendt et problem i x = 0

eks.


52

15 INTEGRALREGNING På paletten Calculus findes der symboler for både det bestemte og det ubestemte integral (bemærk trykfejlen!)

Det bestemte integral Klik på knappen Definite Integral (bestemt integral), udfyld de fire pladsholdere og tast lighedstegn

Og så et eksempel, der viser forskellen mellem det sædvanlige lighedstegn og det symbolske lighedstegn

Det er ikke altid, at den symbolske integration giver noget forståeligt (vi vender tilbage til dette eksempel)

eks.

eks.

eks.


53

Det bestemte integral eksisterer med sikkerhed, hvis integranden er kontinuert på et lukket og begrænset integrationsinterval. I modsat fald kan der opstå problemer. Lad os se på et eksempel, hvor integranden ikke er defineret på hele integrations-intervallet

En symbolsk regning bekræfter, at integralet er divergent

Stamfunktion Klik på knappen Indefinite Integral (ubestemt integral), skriv integranden og integrationsvariablen i de to pladsholdere, vælg det symbolske lighedstegn → og tast Retur

Vi skriver for en ordens skyld den korrekte udgave uden pil

Bemærk, at Mathcad ikke skriver den additive konstant i stamfunktionen; den må man selv huske! Det er lidt tarveligt, at Mathcad oftest udelader vigtige numerisktegn

Mathcads resultater skal altså (heldigvis!) fortolkes af en god matematiker.

eks.

eks.

eks.


54

Og så en mere kringlet stamfunktionsopgave

Udtrykket er for kompliceret, så vi prøver det udvidede symbolske lighedstegn med simplify i pladsholderen; det bliver kun en smule pænere

Med factor i pladsholderen bliver udtrykket rimeligt

Tilføjes endnu et udvidet symbolsk lighedstegn med factor fås

Det er svært at angive bestemte regler for regninger af den viste type; det er i høj grad et spørgsmål om at prøve sig frem. Lad os til slut skrive resultatet som

Som bekendt har enhver kontinuert funktion en stamfunktion. Men det er blot ikke altid muligt at finde en forskrift for stamfunktionen; nogle eksempler

sin( ) ,sin

x dxx

xdx

e

xdx

x2∫ ⌠

⌡⌠⌡

og

I disse besværlige tilfælde må man gribe til numeriske metoder og beregne en tabel over stamfunktionens værdier.

eks.

eks.


55

Lad os se, hvordan Mathcad klarer stamfunktionsopgaven

Det er jo ikke ret oplysende. Men prøv at finde noget om funktionen Si ved at klikke på knappen Help og skrive “si” i søgefeltet på fanebladet “Index”. Under opslaget “Si function” fremgår, at der er tale om det såkaldte sinusintegral

Si( )sin

xt

tdt

x

= ⌠⌡ 0

Idet

Si og Si′ = =( )sin

( )xx

x0 0

ses, at Si er den stamfunktion til sin /x x , hvis graf går gennem O(0,0). Vi kan nu let tabellægge stamfunktionen Si


56

16 SANDSYNLIGHEDSREGNING Mathcad kender et væld af sandsynlighedsfordelinger; vi vælger de to vigtigste: binomialfordelingen og normalfordelingen. Binomialfordelingen En stokastiske variabel X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsyn-lighedsparameter p . Frekvensfunktionen for X kan beregnes v.h.a. funktionen dbinom P X k k n p( ) ( , , )= = dbinom mens fordelingspunktionen beregnes v.h.a. funktionen pbinom P X k k n p( ) ( , , )≤ = pbinom Med antalsparameter 10 og sandsynlighedsparameter 0,3 fås

altså P X P X( ) , ( ) ,= = ≤ =6 3 68% 6 98 64%og Vi tegner et stolpediagram for fordelingen

Det ses, at den mest sandsynlige værdi er X = 3 .


57

Ved formateringen er valgt følgende indstillinger på fanebladet “Trace”

samt tallene –1 og 11 i pladsholderne ved førsteaksen. På fanebladet “X-Y Axis” fjernes indstillingen “X-Axis: Auto Grid” og i feltet “Number of Grids” skrives 12 (idet xmax – xmin = 11 – (–1) = 12). Normalfordelingen En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi µ og spredning σ . Værdierne af frekvensfunktionen beregnes v.h.a. funktionen dnorm f t t( ) ( , , )= dnorm µ σ Fordelingsfunktionen for X beregnes v.h.a. funktionen pnorm P X t t( ) ( , , )≤ = pnorm µ σ mens den omvendte funktion hedder qnorm P X t k t k( ) ( , , )≤ = ⇔ = qnorm µ σ Med middelværdien 5 og spredningen 1

2 fås

altså P X( ) ,≤ =6 97 72% og P X t t( ) , ,≤ = ⇔ =56 34% 5 080 Et eksempel: Levetiden for en bestemt type glødelampe antages at være normal-fordelt med middelværdi 750 timer og spredning 25 timer. Vi kan da beregne det forventede antal glødelamper med en levetid på mellem 700 timer og 775 timer i en tilfældigt udvalgt stikprøve på 300 glødelamper


58

Vi tegner også grafen for frekvensfunktionen

De to markeringslinjer tegnes ved at dobbeltklikke på diagrammet og på fanebladet “X-Y Axes” afkrydse ved “X-Axes: Show Markers”. Der dukker nu to nye plads-holdere op nederst i diagrammet; her skrives tallene 700 og 775. Tilfældige tal Man kan frembringe et tilfældigt tal i intervallet [ [0;a v.h.a. randomfunktionen rnd.

Med a = 6 fås, at

Et terningkast simuleres ved at nedrunde tallet v.h.a. funktionen floor og addere 1

Ved gentagne kast med en terning kan man skrive

Du kan kaste en “ny serie” ved at vælge Math/Calculate Worksheet.


59

17 VEKTORER En vektor skrives traditionelt enten a med fed kursiv eller med en pil

"a . I Mathcad

må vi give afkald på pilesymbolet, mens skrivemåden a er beskrevet i kapitel 5 om formatering. Her vil vi blot anvende symbolet a for en vektor; skriv

Klik så på knappen Matrix or Vector på paletten Matrix

Der dukker nu en dialogboks op

Vælg 3 rækker (rows) og 1 søjle (columns) og klik på Insert

Skriv så vektorens koordinater, idet markøren flyttes mellem pladsholderne v.h.a. enten tasten Tab (tabulator) eller piletasterne


60

De grundlæggende vektoroperatorer er sum (sædvanligt +)

differens (sædvanligt –)

multiplikation af tal og vektor (sædvanligt ∗ )

prikprodukt, skalarprodukt (sædvanligt ∗ )

krydsprodukt, vektorprodukt (Ctrl og 8)

længde (sædvanligt | ) Krydsproduktet og længden kan også findes på paletten Matrix. Nedenfor ses de almindeligste vektorberegninger

eller eksakt

Vinklen v mellem vektorerne a og b kan findes således

Mathcad kan også regne rent symbolsk med vektorer


61

18 MATRICER En matrix indskrives på samme måde som en vektor (se forrige kapitel); det er ikke så overraskende, da en vektor jo kan opfattes som en søjlematrix. Skriv

Her kunne vi også have anvendt skrivemåden A med fed kursiv (se kapitel 5 om formatering). Man kan addere og subtrahere to matricer

Man kan gange og dividere to matricer med hinanden (divisionen nedenfor kan også skrives som B/A)

Man kan opløfte en matrix til en hel potens; specielt vigtig er den inverse matrix A-1

Man kan gange og dividere en matrix med et tal

Man kan transponere en matrix v.h.a. knappen Matrix Transpose på paletten Matrix


62

Man kan beregne matricens determinant det(A)

Man kan opbygge en enhedsmatrix E

Man kan udlæse de enkelte elementer og de enkelte søjler i matricen

Matricens elementer kaldes i dansk matematisk tradition ai j hvor rækkenummeret i

og søjlenummeret j antager værdierne 1, 2, ... . Mathcad anvender derimod som standard værdierne 0, 1, ... , hvad der kan give anledning til nogen forvirring. Som vist ovenfor kan man dog vælge startindeks 1 ved at skrive ORIGIN ≡ 1 med det globale lighedstegn. Man kan finde antal rækker, antal søjler, det største element og det mindste element i en matrix

Man kan naturligvis formatere matricens tal med et dobbeltklik

Man behøver ikke at indskrive en matrix via paletten Matrix. Vælg alternativt Insert/Component/Input Table og indskriv tallene i tabellen


63

Det er også muligt at arbejde symbolsk med matricer

Skulle man have glemt, hvordan man multiplicerer to matricer, er der også råd for det


64

19 KOMPLEKSE TAL Den komplekse enhed i skrives som 1i uden gangetegn

Et tal som 3 + i skrives tilsvarende med et 1-tal

Passer man ikke på her, opfatter Mathcad fejlagtigt symbolet i som en variabel. Et tal som 7i skrives lettest uden gangetegn og med i til højre

Men det kan også skrives som et produkt

eller

Lad os kort gennemgå nogle grundlæggende regninger med komplekse tal. Skriv

Addition og subtraktion

Multiplikation og division

Modulus og argument (med hovedværdien mellem –π og π )

Man kan også regne symbolsk (eksakt)

Potensopløftning og kompleks konjugering (skriv anførselstegn “)


65

Realdel og imaginærdel hvor Re og Im skal staves med stort begyndelsesbogstav

Mathcad kender også de komplekse funktioner

Lad os løse den binome ligning z 3 5= − . Skriv ligningen med det fede lighedstegn, vælg det udvidede symbolske lighedstegn ν →, skriv solve,z i pladsholderen og tast Retur

Beregn også tilnærmede værdier ved at klikke på udtrykket og taste lighedstegn. Vi kan også løse en andengradsligning med negativ diskriminant

Til slut et eksempel på, hvordan man kan regne med modulus og argument


66

20 REGRESSION Vi tegnede i kapitel 9 et punktdiagram over eksamensresultater i algebra og fysik. Vi vil nu finde en eventuel lineær sammenhæng mellem resultaterne i de to fag.


67

De to søjler gives de korte navne X og Y . Hældningen af den bedste rette linje beregnes v.h.a. funktionen slope, mens afskæringen på y-aksen beregnes v.h.a. funktionen intercept. Den bedste rette linje har altså ligningen y x= ⋅ +0 661 29 13, , Korrelationskoefficienten corr( , )X Y er et mål for, hvor tæt punkterne ligger på den bedste rette linje. En værdi på corr( , )X Y = ±1 fortæller, at punkterne ligger perfekt på linjen. Med corr( , ) ,X Y = 0 872 er sammenhængen ikke perfekt, men en nøjere undersøgelse viser, at det er rimeligt at tale om en lineær sammenhæng mellem resultaterne i algebra og fysik. Vi skal nu have tegnet et diagram med den bedste rette linje samt de 10 punkter. Skriv derfor på arket

og klik på knappen X-Y Plot på paletten Graph. Skriv X,x i pladsholderen ved x-aksen og Y,f(x) i pladsholderen ved y-aksen.


68

Diagrammet har tydeligvis brug for en større omgang formatering, nemlig • Gør diagrammet større. • Vælg almindelige koordinatakser på fanebladet “X-Y Axes”. • Vælg indstillinger på fanebladet “Traces”, så de 10 punkter tegnes med røde krydser, mens linjen tegnes med en sammenhængende blå streg.

Et diagram er ikke komplet uden overskrift og aksetekster. • Skjul aksesymbolerne ved på fanebladet “Traces” at afkrydse i feltet “Hide Arguments”. • Skriv følgende på fanebladet “Labels”


69

Og så er vi ved vejs ende

Mathcad er meget stærk til regression og kurvefitning. Men fremgangsmåden er ofte meget kompliceret og kun forståelig for specialister og nørder. Ved regressioner af typen

y b a

y b x

x

a

= ⋅

= ⋅

eksponentiel udvikling

potensudvikling

er et regneark som f.eks. Excel langt lettere at bruge end Mathcad.


70

21 SKRIVNING AF TEKST Hvis du vil skrive en tekst, kan du vælge Insert/Text Region (genvej “ )

Du kan også blot skrive løs; når du første gang anvender tasten Space (mellem-rum) vil Mathcad automatisk opfatte det skrevne som en tekst. Skriv nu i tekstboksen

og klik til slut uden for tekstboksen

Mathcad skriver tekster næsten på samme måde som en tekstbehandler. Du kan f.eks. genkende indsætningspunktet (den røde, lodrette streg), der kan flyttes v.h.a. piletasterne. Du kan slette mod venstre med tasten Backspace (tilbage) og slette mod højre med tasten Delete (slet). Tasten Retur giver et hårdt linjeskift. Du kan formatere dele af en tekst ved at markere den ønskede del af teksten og derpå vælge skrifttype, skriftstørrelse o.l. på formateringslinjen. Du kan også blande formler og tekst. Start med at skrive teksten

Vælg Insert/Math Region og skriv brøken

Klik på en vilkårlig del af teksten og flyt v.h.a. piletasterne indsætningspunktet mod højre

Skriv nu resten af teksten

altså


71

Når man skal lave en matematikrapport eller lignende, har man ofte brug for specialsymboler som f.eks. ⇔ ∨og . Disse symboler skrives på en ret besværlig måde • Klik på knappen Resource Center på standardlinjen • Klik på knappen Quick Sheets • Vælg punktet “Extra Math Symbols” • Markér det ønskede symbol og klik på knappen Copy. Placer markøren i skrivefeltet og klik på knappen Paste. Nedenfor ses et eksempel på en opgavebesvarelse med en blanding af tekst, ligninger og grafik. Mathcad skriver som standard tekst med “Times New Roman 10” og ligninger med “Arial 10”. Hvis læseren er over de 50, er det nok en god service at vælge størrelse 11 eller 12 for både tekst, variable og tal (se kapitel 5). opgave To funktioner f og g er givet ved f x x x g x x( ) ( )= − + + = − +2 4 1 5og De to grafer afgrænser en punktmængde, som drejes 360o omkring x-aksen. Bestem rumfanget af det derved beskrevne omdrejningslegeme. løsning Jeg starter med at tegne de to grafer

x 1 0.9, 6..

f x( ) x2 4 x. 1 g x( ) x 5

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

10

10

f x( )

g x( )

x

fortsættes


72

Jeg beregner dernæst koordinaterne til grafernes skæringspunkter

Given

y x2 4 x. 1 y x 5

Find x y,( )1

4

4

1

De to skæringspunkter er derfor A(1,4) og B(4,1) , og det søgte rumfang kan nubestemmes ved integralet

V π1

4

xf x( )2 g x( )2 d. V153

5π. 96.13=

Omdrejningsrumfanget er altså

V153 π.

5


73

22 FLYTNING AF DATA Man kan importere og eksportere formler, tal, grafer og tekst mellem Mathcad, regneark (f.eks. Excel) og tekstbehandler (f.eks. Word). Fra en tabel i Mathcad til en matrix i Mathcad. Lav en tabel ved at vælge Insert/Component/Input Table (nedenfor til venstre). Markér de relevante tal ved at trække hen over dem. Klik så med højre museknap på det sorte område og vælg Copy11

Skriv nu A: og klik på knappen Paste

Hvis du som vist vil kopiere en hel søjle (B), skal du blot klikke med højre muse-knap på søjlens nummer, og derpå gentage den nævnte fremgangsmåde. Fra en matrix i Mathcad til Excel. Markér samtlige tal i matricen (matricen bliver sort) og klik på knappen Copy. Kald Excel frem, marker en celle og klik på knappen Sæt ind. Men pas på: et tal med decimalpunktum opfattes ofte af den danske Excel som en tekst. Du må derfor i Excel rette til decimalkomma.

11 Det er uheldigt, at hverken knappen Copy på standardlinjen eller menuen Edit/Copy kan bruges.

eks.

eks.


74

Fra Excel til en matrix i Mathcad. Markér cellerne i regnearket og klik på knappen Kopiér

12345

A B C D

5 154 153 13

Kald Mathcad frem, skriv f.eks. D: og klik på knappen Paste

Integration af en Exceltabel i Mathcad. Markér de seks celler i Exceltabellen ovenfor og klik på knappen Kopiér. Kald så Mathcad frem og klik på knappen Paste. Nu tager de seks tal sig således ud

Jamen hovsa, der er sket en fejl: tallene i højre søjle burde have været 15, 14 og 13. Og Exceldokumentet er slettet! Dobbeltklik på tabellen i Mathcad og foretag rettelserne i Excel

Klik så udenfor den grå, skraverede ramme

Af én eller anden grund kommer der nu rammer om tallene.

eks.

eks.


75

Tekst, ligninger og diagrammer fra Mathcad til Word. Træk stiplede rammer omkring den relevente del af dokumentet12 og klik på knap-pen Copy. Kald så tekstbehandleren frem og klik på knappen Sæt ind. Hvis hele Mathcaddokumentet skal kopieres, er det lettest at vælge Edit/Select All. Det indkopierede kan redigeres i Mathcad ved et dobbeltklik. Ligninger fra Word til Mathcad. Markér ligningen i Word og klik på knappen Kopiér. Kald så Mathcad frem og klik på knappen Paste. Det indkopierede kan redigeres i Word ved et dobbeltklik.

12 Hvis man kopierer et diagram på denne måde, vises desværre også de fire pladsholdere ved akserne!

eks.

eks.


76

23 UDSKRIVNING

Da Mathcad er et engelssproget program, udskrives der som standard i papirfor-matet Letter, hvad der kan få en dansk printer til at gå aldeles i baglås. Vælg derfor menuen File/Page Setup (sideopsætning) og “A4” i feltet “Paper Size”

Du kan eventuelt også ændre på de fire margener. Før du udskriver, er det en god idé at klikke på knappen Print Preview (vis udskrift) på standardlinjen

Nu kan du se, om sideskiftene er placeret fornuftigt. Der er to typer sideskift, helt som i en tekstbehandler. Et blødt sideskift vises som en vandret, stiplet linje; dets placering afhænger af printerindstillingen og af de valgte værdier for topmargenen og bundmargenen. Et hårdt sideskift vises som en vandret, fast linje. Du kan placere et hårdt sideskift ved det røde kryds ved at vælge menuen Insert/Page Break. Sideskiftet kan fjernes igen ved med musen at trække ned over den vandrette linje og derpå taste Delete (slet).


77

I en rapport eller et sæt hjemmeopgaver kan du med fordel skrive dit navn og andre vigtige oplysninger i sidehovedet. Sidehoved og sidefod kaldes frem via menuen Format/(Headers/Footers). Skriv f.eks. på fanebladet “Header”

Det aktuelle sidenummer med symbolet {n} skrives ved at klikke på knappen

Det samlede antal sider med symbolet {nn} skrives ved at klikke på knappen

Symbolerne adskilles f.eks. med en skråstreg (slash).


78

24 OPGAVER

INDLEDENDE REGNINGER Beregn tallene

67

3

6 7

3

3 4

7 8

3 4 5

7 8 9+

+ ++

+ ⋅+ ⋅

, , og

3 4 3 4 3 477

8

7 3

8 11+ + +−−, og

( )( )4 5 6 71

4

1

5

1

6

1

72 2 2 2

3 3 3 3+ + +

+

og

Prøv at beregne 2 + 3 ved at taste Space (mellemrum) undervejs 2Space+3= Hvad går der galt? Beregn 7 + 9 – 6 og ret derefter til 7 – 9 + 6 . Beregn 12 + (7 – 15) og fjern derefter parenteserne.

Beregn 3 7 5

9 12

− ++

og anbring derefter parenteser omkring 7 + 5 .

FORMATERING Beregn med 9 decimaler tallene

211

17

17

211

7

8+ og

Du vil opdage, at brøken 7/8 vises som 0,875. Det skyldes naturligvis, at resultatet er eksakt: efter 5-tallet kommer der uendelig mange nuller. Du kan dog vise resultatet med 9 decimaler ved at dobbeltklikke på ligningen og afkrydse i feltet “Precision: Show trailing zeros” (vis efterstillede nuller). Hvis du også afkrydser i feltet “Set as default” (vælg som standard), bliver samt-lige beregnede tal på arket vist med denne formatering. Beregn og formatér med det maksimale antal decimaler og i normal talnotation

4.1

4.2

4.3

5.1

5.2


79

4

700009 311og ,

Beregn og formatér med 5 decimaler og i eksponentiel talnotation

2

1502 1 469 5og , ,⋅

Skriv disse fem sjusket placerede ligninger

Justér dernæst ligningerne således

Skriv udtrykket a b c d+ ⋅ + ⋅ + ⋅2 3 4 . Klik på variablen b og lav under navnet “Børge” den individuelle skriftstil Arial, størrelse 22, fed, understreget, rød Formatér variablen d med skriftstilen “Børge”. VARIABLE Beregn for x = 18 og y = 7 tallet

3 9

5 6

2

3

x xy y

xy y

x+ +

+ +

Lav en tabel over tallene x 0 5, og med x-værdier fra 1 til 3 med skridt på 0,2. Tallene x 0 5, skal skrives med 6 decimaler. Lav en rentetabel med tallene n og ( )1+ r n hvor r = 0,06 og n = 1, 2, ... 15.

5.3

5.4

6.1

6.2

6.3


80

Mathcad benytter standardværdien 1 for skridtlængden. Du kan derfor nøjes med at skrive n:1;15 . Paletten Greek rummer en del græske bogstaver, der indgår i mange fysiske og kemiske formler

Et cylinderformet lod har massen m = 87,3 g , højden h = 5,17 cm og grundflade-radius r = 1,41 cm; vi beregner loddets rumfang og massefylde

Mathcad kan regne med fysiske og kemiske enheder. Tyngdekraften på massen 70,5 kg beregnes som bekendt således F mg= = ⋅ ≅70 5 9 82 692, ,kg m / s N2 hvor g er tyngdens acceleration. Definér variablerne M og g , idet der ikke skrives mellemrum mellem talværdi og enhed

Mathcad finder selv ud af, at F har enheden N (newton).

fortsættes Det er helt bevidst, at massen kaldes M og ikke m. Programmet har nemlig det fælles med mange elever, at det ikke kan skelne mellem den fysiske størrelse m (masse) og den fysiske enhed m (meter).

6.4

6.5


81

Bemærk, at Mathcad automatisk foretager et check af enhederne, så man ikke kommer til at lægge æbler og pærer sammen

Man kan få en liste over samtlige indbyggede enheder ved at klikke på knappen Insert Unit (indsæt enhed) på standardlinjen

Hvis en enhed ikke er indbygget i Mathcad, kan den defineres som en variabel. Lad os f.eks. finde frekvensen af det røde lys fra en He-Ne laser, idet vi definerer enheden nm (nanometer)

Lav beregningerne fra opgave 6.4 igen, blot denne gang med enheder. Bemærk, at underenheden gram skal skrives gm. Det skyldes, at Mathcad opfatter g som tyngdens acceleration på normalstedet ved Paris.


82

I Jordens middelafstand fra Solen på ca. 150 mio. km har solstrålingen en intensi-tet på 1353 W / m2 ; dette er den såkaldte solarkonstant.

Hvor stor en energi udstråler Solen i løbet af ét sekund?

Ifølge Einstein (1905) repræsenterer energien E en masse m , givet ved E m c= ⋅ 2 hvor c = ⋅3 00 108, m / s er lysets hastighed.

Hvor stor en solmasse omsættes hvert sekund til stråling? FUNKTIONER Hvad er der galt?

Betragt funktionen f givet ved forskriften f x e xx( ) sin( , , ) ,,= + +−0 1 0 8 11 4 5 Lav en tabel over tallene x og f x( ) for x = 0 0 2 4, , , ,! . Funktionsværdierne skal angives med 4 decimaler. En opgave om rekursive funktioner. • Mathcad har indbygget fakultetsfunktionen blandt sine standardfunktioner. Lav en tabel over fakultetstallene 0!, 1!, … , 10! ved at skrive n:0;10 og n!= .

Fakultetstallene er som bekendt defineret ved, at

0! 1

1 2 1 2

== ⋅ ⋅ ⋅ =n n n! , ,! !hvis

I en rekursiv definition beregnes en værdi på grundlag af én eller flere foregående værdier

0! 1

1 1 2

== ⋅ − =n n n n! ( )! , ,hvis !

fortsættes

6.6

7.1

7.2

7.3


83

Dette kan i Mathcad skrives v.h.a. funktionen if

og læses: for n = 0 er værdien 1; for alle andre tilladte værdier af n beregnes funktionsværdien som n ganget med den foregående funktionsværdi.

Lav en tabel over fakultetstallene 0!, 1!, … , 10! . • Fibonaccitallene13 F(n) defineres rekursivt ved funktionen

F n,

F n 1 F n 2( )

for

( ) ( ) for = 3, 4,=

=− + −

1 1 2n

n !

Beregn de første ti Fibonaccital i hånden.

Beregn v.h.a. Mathcad en tabel over de første tyve Fibonaccital. • En såkaldt talfølge a a1 2, ,! er defineret rekursivt ved a a an n

n1 17 2= = +−og

Lav er tabel over de første 15 tal i følgen. En opgave om talsystemer. De indgående tal skal være mindre end 231 . • I det binære talsystem benyttes de to cifre 0 og 1. Skriv

Da tallet er større end 1000, skrives det i eksponentiel notation. Dobbeltklik på tallet til højre og skriv f.eks. 15 i feltet “Tolerance: Exponential threshold”. Afkryds samtidig i feltet “Set as default”; nu vil samtlige beregnede tal på arket blive vist i normal notation

Dobbeltklik på tallet til højre og vælg “Binary” i boksen “Display Styles: Radix”

altså 3455 11010111111110 2( ) ( )=

13 Tallene er opkaldt efter den italienske matematiker Leonardo fra Pisa, også kaldet Fibonacci, som i 1202 udgav det meget indflydelsesrige skrift “Liber Abaci”. Her behandler han disse sære tal i forbindelse med et regnestykke om, hvor mange efterkommere der er efter to glade kaniner (en af hver!).

7.4


84

Skriv 110101111111b med et afsluttende b for binær og tast lighedstegn

• I det hexadecimale talsystem benyttes cifrene 0,1,2, ... , 9, A, B, C, D, E, F. Dobbeltklik på tallet og vælg “Hexadecimal” i boksen “Display Styles: Radix”

altså 3455 10 16( ) ( )= D7F

idet det afsluttende h står for hexadecimal. Hvis et hexadecimalt tal starter med et bogstav, vil Mathcad opfatte tallet som en variabel. Dette undgås ved at skrive et foranstillet nul. Skriv 0d7fh og tast lighedstegn

Her er der et lidt fjollet problem, idet Mathcad placerer et mellemrum, og dermed forvirrer sig selv. Fjern mellemrummet og formatér med et dobbeltklik

• Man kan naturligvis også gange to binære tal

Lav det samme regnestykke i hhv. decimalt og hexadecimalt format. Beregn vinklerne i en trekant med siderne 10, 15 og 20.

Beregn trekantens areal. GRAFTEGNING Tegn grafen for funktionen f givet ved f x xx( ) ,= ⋅ − ≤ ≤6 3 4 4 Dobbeltklik på diagrammet og afkryds på fanebladet “X-Y Axes” ved “Y-Axes: Log Scale”.

7.5

8.1


85

Tegn grafen for funktionen f givet ved f x x x( ) ,,= < ≤3 0 121 7 Vælg logaritmisk skala på begge akser. Det er muligt at ændre akseinddelingen i et diagram. Tegn grafen

Dobbeltklik på diagrammet og vælg følgende indstillinger

Intervallet fra –10 til 10 på x-aksen bliver nu inddelt i 10 lige store dele (Number of Grids), hver med længden 2 . Dette svarer til aksetallene –10, –8, ... , 8, 10.

8.2

8.3


86

Tegn på intervallet − ≤ ≤1 1x grafen for funktionen f givet ved f x x x( ) sin= ⋅ 1 Gør diagrammet større, og indlæg sædvanlige koordinatakser.

Bevis, at funktionen i et vilkårligt lille interval omkring 0 har uendelig mange nulpunkter (her kan Mathcad ikke hjælpe). Der er altså tale om en temmelig sær funktion.

Bestem grafisk en værdi for det største nulpunkt i definitionsintervallet.

Zoom ind på et område omkring O(0,0); du skal sikkert ændre skridtlængden. MERE OM GRAFER Tegn grafen for funktionen f hvor

f x

x x

x x

x x

( )

,

,

,

=

+ − < ≤

− + < ≤− < <

4 5 3 1

10 1 4

7 34 4 6

2

Tilføj eventuelt åbne cirkler i endepunkterne. Tegn grafen for funktionen f givet ved a b: := − =1 4og

f xx x

ax b x( )

,

,=

− + − ≤ ≤

+ < ≤

2 6 2 1

1 5

Eksperimentér dig frem til de værdier af a og b , der i x = 1 • gør grafen sammenhængende

• giver en jævn overgang uden knæk på grafen

Se også opgave 14.8.

8.4

9.1

9.2


87

Tegn i samme koordinatsystem graferne for de lineære funktioner f og g hvor f x x g x x( ) ( )= − = − +1

2 1 2 5og Graferne står faktisk vinkelret på hinanden (hvorfor?). Men det fremgår ikke af diagrammet, da enhederne på de to akser ikke har samme længde. Dobbeltklik på diagrammet og afkryds på fanebladet “X-Y Axes” i feltet “Axes Style: Equal Scales”. Fjern også afkrydsningen “Autoscale” på begge akser. Tegn i fire forskellige koordinatsystemer grafen for sinusfunktionen plus grafen for én af funktionerne

f x x x

g x x x

h x x

i x x

( ) sin( ) (sin( ))

( ) sin( ) ( )

( ) sin( ( ))

( ) (sin( ))

= ⋅

= ⋅

=

=

sign

sign

sign

sign

Prøv at finde ud af, hvordan funktionen sign virker. Funktionen sin3t svinger tre gange så hurtigt som funktionen sin t . Dette kan du få bekræftet ved at tegne diagrammet nedenfor. Leddet 3n giver blot anledning til en lodret forskydning af graferne, så de ikke klumper sammen i én dynge.

9.3

9.4

9.5


88

En opgave om Fourierteori. Den franske matematiker Fourier viste i 1822, at en periodisk funktion kan skrives som en sum af uendelig mange sinusled og cosinusled. Du skal her tegne graferne for

sin

sin sin

sin sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin sin sin

t

t t

t t t

t t t t

t t t t t

++ +

+ + ++ + + +

13

13

15

13

15

17

13

15

17

19

3

3 5

3 5 7

3 5 7 9

Definér en funktion af to variable

( )f n t i t nii

n

( , ) sin ( )= + ++=∑ 1

2 10

2 1 2

og tegn så i samme koordinatsystem graferne for f t f t f t f t f t( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , )0 1 2 3 4og Prøv at gætte på formen af den kurve, der ville fremkomme, hvis vi tog flere og flere led med. Kvaliteten af en Hi-Fi forstærker kan undersøges ved at sende et såkaldt firkant-signal fra en tonegenerator ind i forstærkeren. Du kan få et indtryk af et sådant inputsignal ved i et separat koordinatsystem at tegne grafen for funktionen f t( , )500 , idet forskydningsleddet 2n dog udelades.

Man iagttager så signalets udseende, når det har passeret gennem forstærkeren. Jo mindre firkanten er blevet forvrænget, jo bedre er forstærkeren. En dårlig forstær-ker kunne levere et output givet ved grafen for funktionen f t( , )25 . Tegn denne graf, igen uden leddet 2n. Under redigeringen kan det være en god idé midlertidigt at fjerne afkrydsningen ved “Math/Automatic Calculation”. Herved forhindres Mathcad i at genberegne tidskrævende opgaver. Dette er en fortsættelse af opgave 9.6. Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne

sin

sin sin

sin sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin sin sin

t

t t

t t t

t t t t

t t t t t

++ +

+ + ++ + + +

12

12

13

12

13

14

12

13

14

15

2

2 3

2 3 4

2 3 4 5

fortsættes

9.6

9.7


89

Det gøres lettest ved for n = 1, 2, 3, 4 og 5 at tegne graferne for funktionerne

( )f n t it nii

n

( , ) sin= +=∑ 1

1

2

Kan du gætte “grænsekurvens” udseende? Du kan få svaret ved i et separat koordinatsystem at tegne grafen for funktionen f t( , )500 , idet leddet 2n udelades.

En opgave om periodiske funktioner. En ensrettet vekselstrøm kan beskrives ved funktionen f hvor

f xx x

( )sin sin

=≥

hvis

ellers

0

0

I Mathcad kan f defineres v.h.a. funktionen if

Tegn grafen for f .

Andre eksempler kan findes i QuichSheets: Arithmetic and Algebra, Conditional Functions. Bemærk, at man helt eller delvist kan kopiere et QuichSheet over i Mathcad v.h.a. knapperne Copy og Paste; prøv! En opgave om periodiske funktioner. • Nedenfor ses grafen for en periodisk funktion g med perioden 4 , en såkaldt firkantfunktion

9.8

9.9


90

Forklaringen er denne: Vi starter med at definere funktionen f ved

f xx

( ) =≤

1 212

for

ellers

Vi definerer dernæst funktionen g ved

g xf x x

g x( )

( )

( )=

≤−

for

ellers

4

4

Det betyder f.eks., at

g g g f

g g g f

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

5 7 5 7 4 1 7 1 7 1

6 3 6 3 4 2 3 2 3 0 5

= − = = == − = = =

En funktion, der er defineret v.h.a. sig selv, kaldes rekursiv. Bemærk, at vi kun tegner grafen for g for x ≥ 0. • Prøv at gennemskue nedenstående eksempel og tegn grafen for g

• Tegn savtakkurven


91

En opgave om bølgelære. En tone med frekvensen f kan beskrives ved funktionen F t A f t( ) sin( )= ⋅ ⋅2π

hvor t er tiden og A er amplituden. Tonens styrke er proportional med A2 . To toner med forskellige frekvenser og samme styrke lyder samtidig G t f t f t( ) sin( ) sin( )= ⋅ + ⋅2 21 1π π Udtrykket kan omskrives til

( )G t A t t A t tf f f f( ) ( ) sin( ) ( ) cos= ⋅ ⋅ = ⋅+ −2 2 21 2 1 2

2 2π πhvor

Hvis f f1 2≅ vil øret opfatte lyden som en tone med frekvensen (∗ ) 1

2 1 2( )f f+ og med en lydstyrke, der svinger med frekvensen

(∗∗ ) f f1 2−

Fænomenet kaldes svævning, og benyttes af klaverstemmere og orgelbyggere til at finjustere stemningen. Nedenfor ses svævningen for tonerne med frekvenserne 10 Hz og 11 Hz

fortsættes

9.10


92

Undersøg om frekvensudtrykkene (∗ ) og (∗∗ ) ser ud til at passe.

Eksperimentér med andre frekvenser.

Prøv at vælge forskellige amplituder i de to toner (udelad graferne for de to funk-tioner g og h ). Det er noget af en sortekunst at tegne parameterkurver med lige store akseenheder. Det er nok lettest blot at udvide diagrammet pr. øjemål indtil det ser fornuftigt ud! • Tegn Archimedes´ spiral givet ved parameterfremstillingen

x t t

ty t t

=≥

=cos

,sin

0

• Tegn den trebladede rose

x t t

ty t t

= ⋅≤ <

= ⋅cos cos

,cos sin

30 2

3π

• Tegn asteroiden

x t

ty t

=≤ <

=

cos,

sin

3

30 2π

• Tegn de såkaldte Lissajoufigurer

x nt

y mt k

== +

sin

sin( )

hvor n og m er naturlige tal, mens faseforskellen k opfylder 0 ≤ ≤k π . Her er der rige muligheder for at eksperimentere. Punktdiagrammet i kapitel 9 er formateret med røde krydser. Formatér punkterne som røde, udfyldte punkter ved at dobbeltklikke i diagrammet og på fanebladet “Traces” vælge

9.11

9.12


93

Tegn grafen for funktionen f givet ved

( )

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( ) sin

( )

f x y x y

f x y x y

f x y e

f x y x y

x y

,

,

,

,

= +

= −

=

= +

− +

2 2

2 2

2 2

2 2

Af praktiske grunde bør der kun være én graf på hvert ark. Ved a) og b) kan du f.eks. lade x og y variere fra –3 til 3 med skridt på 0,2. Ved c) kan du f.eks. lade x og y variere fra –2 til 2 med skridt på 0,1. Ved d) kan du f.eks. lade x og y variere fra –10 til 10 i skridt på 0,4. En opgave om omdrejningsflader.

En funktion f er defineret på intervallet [ ]a b; . Når grafen drejes 360o omkring x-aksen, fås en såkaldt omdrejningsflade, som kan være meget flot. Vi skal først have inddelt definitionsintervallet i n lige store dele

x ab a

ni i ni = +

−⋅ =hvor 0 1, , ,!

Dernæst inddeles drejningsvinklen 2π i m lige store dele

vm

j j mj = ⋅ =2

0 1π

hvor , , ,!

Nu skal vi definere de rumlige koordinater

X x

Y f x v

Z f x v

i j i

i j i j

i j i j

,

,

,

( ) cos( )

( ) sin( )

=

= ⋅

= ⋅

Hvis grafen drejes 360o omkring y-aksen, skrives i stedet

X x v

Y x v

Z f x

i j i j

i j i j

i j i

,

,

,

cos( )

sin( )

( )

= ⋅= ⋅

=

9.13

9.14


94

eksempel 1 En funktion f er givet ved f x x x x( ) cos= ⋅ ≤ ≤hvor 0 2π

Grafen for f drejes 360o omkring x-aksen. Idet definitionsintervallet [ ]0 2; π ind-

deles i 50 lige store dele, mens drejningsvinklen 2π inddeles i 25 lige store dele, kan vi tegne den smukke omdrejningsflade således

Klik på knappen Surface Plot på paletten Graph. Skriv (X,Y,Z) i pladsholderen nederst og afslut med en passende formatering. eksempel 2 Når en del af grafen for den naturlige logaritmefunktion drejes 360o omkring y-aksen, fremkommer der en elegant rumlig flade, et såkaldt eksponentielt horn. En højttaler af denne form har ideelle lydegenskaber (men er desværre noget uprak-tisk i et privathjem).

Både definitionsintervallet [ ]110; og drejningsvinklen 2π inddeles i 25 lige store dele

Klik på knappen Surface Plot på paletten Graph. Skriv (X,Y,Z) i pladsholderen nederst og afslut med en passende formatering.


95

Et polært koordinatsystem består af et punkt O (polen) og en orienteret akse (polaraksen), der udgår fra O. Beliggenheden af et vilkårligt punkt P i planen kan nu fastlægges ved afstanden r = |OP| samt P´s retningsvinkel v målt ud fra polar-aksen. Sammenhængen mellem r og v beskriver en kurve.

• Rosekurverne er i polære koordinater givet ved r nv v n= ≤ < =cos( ) , ,hvor og0 2 2 3π ! Tegn den trebladede rose (se opgave 9.11)

Klik på knappen Polar Plot på paletten Graph og skriv v i den nederste pladsholder og r(v) i pladsholderen til venstre.

Fjern alt andet end kurven og de to pladsholdere.

Undersøg, hvordan antallet af blade afhænger af parametren n . • Tegn Archimedes´ spiral (se opgave 9.11) r v v= ≥hvor 0 • Tegn hjertekurven r v v= − ≤ <1 0 2cos hvor π Zoom ind på hjertekurvens spids. • Tegn Descartes´ blad

rv v

v v=

+3

3 3

cos sin

cos sin

Prøv at eksperimentere med v-intervallet. Næsten uanset hvad du vælger, får du brug for at zoome.

9.15


96

LØSNING AF LIGNINGER Når man finder nulpunkterne i et polynomium v.h.a. funktionen polyroots, skal man indskrive koefficienterne som indicerede variable. Og det er temmelig bøvlet for polynomier af høj grad. Der findes dog en snedig metode til at udlæse disse koefficienter. Skriv polynomiet og vælg det udvidede symbolske lighedstegn ν → på paletten Evaluation

Skriv coeffs,x i pladsholderen og tast Retur

Her ses polynomiets koefficienter skrevet i en talsøjle. Skriv nu

Markér så talsøjlen og klik på knappen Copy

Klik i den tomme pladsholder ved variablen a og klik på knappen Paste

Skriv endelig polyroots(a)=

som netop var det resultat, vi fandt i kapitel 10 med metode 2. Find v.h.a. funktionen polyroots samtlige reelle rødder i ligningen

10.1

10.2


97

x x x x7 6 36 5 9 2 0− − + − = Anvend den fikse fremgangsmåde fra opgave 10.1. Find med 9 decimaler samtlige reelle rødder i ligningen x x x3 22 4 3 0+ − − = Anvend alle fire metoder. Vis, at tredjegradspolynomiet f givet ved f x x x( ) = + −3 1 har den ene reelle rod

31108

12

3 31108

12

3+ − −

En ligning som cos x x= kan ikke løses eksakt, hverken af Mathcad eller af noget andet matematikprogram (prøv!).

Start med at argumentere for antallet af rødder ved i samme koordinatsystem at tegne kurverne med ligningerne y x= cos og y x= .

Bestem dernæst rødderne ved at finde nulpunkterne for funktionen f givet ved f x x x( ) cos= − Giv et grafisk argument for, at følgende ligning her netop én løsning ln x x= 1 Bestem denne løsning med 8 cifre.

10.3

10.4

10.5

10.6


98

I teorien for varmestrålingen fra et såkaldt sort legeme møder man ligningen e xx− + − =1

5 1 0 Vis, at ligningen har netop én positiv rod.

Bestem denne rod med 6 cifre. Funktionen f er givet ved forskriften

f x xx x

x( ) sin( )

cos( )

sin( )= −

⋅43 4

4

2

Funktionen har bl.a. et nulpunkt x0 1≅ ; bestem dette v.h.a. funktionen root. Du skal nu undersøge betydningen af tolerancen TOL; udfyld en tabel som

TOL ( )0x f x01

3

15

10

10

10

−

−

−

#

I forbindelse med modeemnet det gyldne snit møder man regningen

1

11 0

1 5

22

x

x

xx x x=

+⇔ − − = ⇔ =

±

Løs ligningen (den yderst til venstre) eksakt v.h.a. metoderne 3 og 4 i kapitel 10.

Beregn også tilnærmede værdier ved at klikke på resultatet og taste lighedstegn. ULIGHEDER Løs uligheden x x2 2 6 0− − ≤ .

Løs uligheden − + < −3 4 6 3x x .

10.7

10.8

10.9

11.1

11.2


99

LIGNINGSSYSTEMER Løs det lineære ligningssystem

128 45 33

11 19 14 02

2 3 8

4 6 16) )

x y

x y

x y

x y

+ =+ − =

− =− + = −

Løs mht. ( , )x y ligningssystemet

16 5 9 0

7 12 8 02

5 11 12

6 12 13

2

2

1 1

1 1) )

x y

x y

x y

x y

− − =

− + − =

− =

− − = −

− −

− −

Der er givet en parabel og en linje med ligningerne y x x y x= + + = − +2 1 2 2og

Tegn i samme koordinatsystem de to kurver, så man kan se skæringspunkterne.

Benyt Trace og Zoom til at finde tilnærmede værdier for koordinaterne til de to skæringspunkter.

Bestem både eksakt og tilnærmet koordinaterne til skæringspunkterne mellem de to kurver. Bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem cirklen med ligningen x y2 2 4+ = og linjen med ligningen y x= +1.

Tegn i samme koordinatsystem kurverne med ligningen

y x y x y x= − = − − = +4 4 12 2, og Man kan også løse et ligningssystem v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn

Ligningerne skal indskrives på vektorform (se kapitel 17).

Løs opgave 12.4 v.h.a. denne metode.

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5


100

En opgave om lineær programmering. Følgende eksempel er taget fra “Lineær programmering”, udgivet på forlaget FAG. Her findes mange gode eksempler, samt en gennemgang af den såkaldte simplexmetode, som Mathcad anvender. En lineær funktion f af to variable er givet ved forskriften f x y x y( , ) = + 3 Funktionens definitionsmængde er en polygon givet ved det åbne udsagn 30 10 2800 2 210 5 450 0 0x y x y x y x y+ ≤ ∧ + ≤ ∧ + ≤ ∧ ≥ ∧ ≥ Opgaven består nu i at bestemme funktionens størsteværdi, samt det punkt, hvor størsteværdien antages. Skriv funktionsudtrykket og to startgæt (som i praksis kan vælges frit)

hvor ORIGIN ≡ 1 tvinger Mathcad til at nummerere indices 1, 2, ... . Anvend så funktionen maximize

hvor ulighedstegnene hentes i paletten Evaluation. Skriv endelig punkt= og f(punkt1,punkt2)=

Dette viser, at funktionen antager sit maksimum 290 for ( , ) ( , )x y = 50 80 .

12.6


101

Dette er en fortsættelse af opgave 12.6. Bestem maksimum og maksimumspunkt for den lineære funktion f x y z x y z( , , ) = + +2 3 med definitionsmængden

3 4 6 2

2 2 11

3 2 5

0

0

0

x y z

x y z

x y z

x

y

z

− − ≤+ + ≤

+ − ≤≥≥≥

SYMBOLSKE REGNINGER Udregn v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn ν → med expand

1

2 4 7

3 2 3 4

5

4

3

) ( )

) ( )

) ( )

a b

x y

x y z

+

−

+ +

Faktorisér resultatet v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med factor. Klik på 3) og tilføj et udvidet symbolsk lighedstegn med collect,x i pladsholderen. Udregn v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med expand

cos( ) cos( )

sin( ) sin( )

tan( ) tan( )

cos , sin tan

cos , sin tan

x y x y

x y x y

x y x y

x x x

x x x

+ −+ −+ −

og

og

og

og

og

2 2 2

3 3 3

Forkort brøken v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med simplify

13 7 2

5 8 42

7 10

6 5

2

2

4 2

4 2) )x x

x x

x x

x x

− +− −

− +− +

12.7

13.1

13.2

13.3


102

Faktorisér udtrykket 5 40 745 33003 2x x x− − + Løs dernæst ligningen 5 40 745 3300 03 2x x x− − + = v.h.a. funktionen polyroots. Fibonaccitallene F F1 2, ,! (se opgave 7.3) er givet ved Binets formel

Fn

n n

=

+

−

−

1 5

2

1 5

2

5

Beregn en række af disse tal, idet du anvender det udvidede symbolske ligheds-tegn med simplify i pladsholderen. En opgave om talteori. Man kan opløse et naturligt tal i primfaktorer v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med factor i pladsholderen

Opløs følgende tal i primfaktorer 17, 123, 13579 og 104439456 Vi faktoriserer to tal

Tallene har faktorerne (divisorerne) 24: 2 2 2 3 2 3 2 3 2 32 3 2 3, , , , , ,⋅ ⋅ ⋅

84: 2 2 3 7 2 3 2 3 2 7 2 7 3 7 2 3 7 2 3 72 2 2 2, , , , , , , , , ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Ved inspektion findes den største fælles divisor 2 32 ⋅ .

fortsættes

13.4

13.5

13.6


103

Denne fremgangsmåde: at opskrive samtlige divisorer i tallene, er i praksis håbløs for store tal med mange primfaktorer. Den store græske matematiker Euklid fra Alexandria (ca. 360-275 f. Kr.) fandt dog en metode, som gør arbejdet overkom-meligt. Og det er sikkert denne såkaldte Euklids algoritme, som Mathcad benytter i funktionen gcd

Bemærk, at tallene skal indskrives på vektorform (se kapitel 17). Ved mindste fælles multiplum for to tal forstås det mindste naturlige tal, som de to tal begge går op i; mindste fælles multiplum for tallene 24 og 84 er 2 3 73 ⋅ ⋅ (overvej dette). Mathcad beregner tallet v.h.a. funktionen14 lcm

Faktorisér 42 og 96 og beregn største fælles divisor og mindste fælles multiplum.

Beregn produktet af tallene samt produktet af deres største fælles divisor og deres mindste fælles multiplum. En opgave om talteori. Lad der være givet to tal a Z b N∈ ∈og . Der findes da to entydigt bestemte, hele tal q og r med a q b r r b= ⋅ + ≤ <hvor 0 Tallet r er resten ved divisionen af a med b . Og divisionen går op når r = 0 . Divisionsresten kan bestemmes v.h.a. modulofunktionen mod

Da resten er 3, går 6 ikke op i 987654321.

Bestem samtlige de hele tal mellem 1 og 20, som går op i 987654321.

Bestem a N∈ , så 5 går op i 4 37 913 5 11⋅ + ⋅a . Reducér v.h.a. en symbolsk regning

17

2

6

5

13

8

17

32

23

4

7

12

34

48

67

7) )− + − + + −

14 gcd er en forkortelse af “greatest common divisor”, mens lcm står for “least common multiple”.

13.7

13.8


104

Reducér de slemme udtryk

( )

( )1 23 4 2 3 3 2

2 2 2 5 3)

( )

( )

)( ) ( ) ( )

( )

ab a b

a

ba a

a a a

a a a

n p q n

n

p q n

⋅ ⋅

⋅ ⋅

− ⋅

− ⋅

−

− − −

− − −

−

Bestem grænseværdierne

( )lim (ln ) lim sin og limx

x

xx

nn

ne x x

→∞

−

→ →∞⋅ ⋅ +1000

0

1 11,

Udregn og reducér mest muligt

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2 2

3 3 3

4 4 4

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

!

!

!

!

n

n

n

n

En opgave om talteori. Den såkaldte zetafunktion er for a > 1 defineret ved

zeta( )ana

n

==

∞

∑ 1

1

Det lykkedes 1700-tallets største matematiker Leonard Euler at beregne zeta( )a for en række lige værdier af a ; han måtte dog give op overfor ulige værdier. Eksperimentér med forskellige værdier af a . Når man anvender det sædvanlige sumsymbol, er indeks et helt tal og skridtlæng-den er lig med 1. På paletten Calculus findes der et sumsymbol med kun to pladsholdere. Summa-tionsområdet angives her af en områdevariabel, og kan derfor vælges ret frit

Beregn summen 4 3 4 9 9 12 2 2, , ,+ + +! .

Beregn summen sin( , ) sin( , ) sin( , )0 1 0 2 1 4+ + +! .

13.9

13.10

13.11

13.12

13.13


105

En opgave om produkter. Man kan udregne produkter som f.eks.

nn

2

1

102 2 21 2 10

=∏ = ⋅ ⋅ ⋅!

Det store græske pi står for produkt; betydningen fremgår af eksemplet. Klik på produktsymbolet på paletten Calculus og udfyld de fire pladsholdere

Vi beregner dels numerisk og dels symbolsk

Prøv at ændre antallet af faktorer. Dette er en fortsættelse af opgave 13.14. Den engelske matematiker John Wallis viste omkring 1650, at π kan skrives som et såkaldt uendeligt produkt

π2

2

1

2

3

4

3

4

5

6

5

6

7= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅!

Vis, at udtrykket kan opfattes som et produkt af faktorerne

f nn

n

n

nn N( ) =

−⋅

+∈

2

2 1

2

2 1hvor

Beregn symbolsk tallet

f nn

( )=

∞

∏1

Beregn numerisk tallet

f nn

( )=

∏ −1

10012 π

fortsættes

13.14

13.15


106

Der gælder ifølge Wallis, at

f n kn

k

( )=

∏ → → ∞1

12 π for

Du skal nu eftervise, at denne konvergens er meget langsom. Bestem det mindste tal k , der opfylder, at

f nn

k

( )=

−∏ − <1

12

510π

Din computer skal nok mindst være en Pentium 200 MHz eller tilsvarende; ellers varer regningen for længe. En opgave om Taylors formel. Lad f være en funktion, der er n gange differentiabel i et interval I , og lad x og x0 være vilkårlige tal i I . Der findes da mindst ét tal x1 i I , således at

f x f x

x xf x

x xf x

x x

nf x

x x

nf x

nn

nn

( ) ( )!

( )( )

!( )

( )

( )!( )

( )

!( )( ) ( )

= +−

′ +−

′′ +

+−

−+

−−−

00

00

2

0

01

10

01

1 2

1

!

Sidste led er det såkaldte restled. Hvis restleddet går mod nul for n gående mod uendelig, kan funktionen f skrives som en uendelig række, en såkaldt Taylor-række

f x f xx x

f xx x

f x( ) ( )!

( )( )

!( )= +

−′ +

−′′ +0

00

02

01 2!

Når Mathcad rækkeudvikler en given funktion, skal der oplyses funktionsudtrykket f x( ) at der er tale om en rækkeudvikling (a series) tallet x0 antal led i rækkeudviklingen Skriv funktionsudtrykket, vælg det udvidede symbolske lighedstegn, skriv v.h.a. det fede lighedstegn series,x=0,9 i pladsholderen og tast Retur

Der er tilsyneladende kun fire led i Taylorrækken; forklar!

fortsættes

13.16


107

Definér funktionerne F, G, H og I ved

F x x

G x x x

H x x x x

I x x x x x

( )

( )

( )

( )

=

= −

= − +

= − + −

16

3

16

3 1120

5

16

3 1120

5 15040

7

Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne sin , F og G .

Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne sin , H og I .

I begge tilfælde er tegneintervallet − ≤ ≤4 4x passende. Dette er en fortsættelse af opgave 13.16. Lav en Taylorrække for

f xx

x( ) , ,=+

=1

10 150 led

Argumentér v.h.a. en rækkeudvikling for den nyttige approksimationsformel

1 1 012+ ≅ + ≅x x xfor

Dette er en fortsættelse af opgave 13.16. Den store tyske matematiker Leibniz fandt omkring 1670, at

(∗ ) π4

11

3

1

5

1

7= − + − +!

Dette udtryk vakte stor forbavselse hos samtidens matematikere. Vi vil benytte Mathcad til at argumentere for (men ikke bevise!) Leibniz´ resultat.

Funktionen tan har på intervallet ] [− 12

12π π; en omvendt funktion Arctan, som i

Mathcad kaldes atan. Lav en Taylorudvikling af denne funktion ud fra 0 og med 15 led.

Argumentér for, at Arctan(x) kan skrives som en uendelig sum af led af formen

f x nx

nnn

n

( , ) ( ) , , ,= −+

=+

12 1

0 1 22 1

hvor !

Argumentér for, at Leibniz´ udtryk (∗ ) fremkommer af formlen

Arctan hvor( ) ( , )x f x n xn

= ==

∞

∑0

1

fortsættes

13.17

13.18


108

Beregn symbolsk tallet

f nn

( , )10=

∞

∑

Beregn numerisk tallet

f nn

( )10

10014,

=∑ − π

Der gælder ifølge Leibniz, at

f nn

k

( , )10

14

=∑ → → ∞π for k

Du skal nu eftervise, at denne konvergens er meget langsom. Bestem det mindste tal k , der opfylder, at

f nn

k

( , )1 100

14

5

=

−∑ − <π

Din computer skal nok mindst være en Pentium 200 MHz eller tilsvarende; ellers varer regningen for længe. Dette er en fortsættelse af opgave 13.16. Lav en Taylorudvikling af ln(x + 1) ud fra x = 0 og argumentér for, at

ln2 12

1

3

1

4= −

1+ − +!

Opstil en forskrift f n( ) for det enkelte led i summen ovenfor. Beregn summen af f n( ) érne v.h.a. sumsymbolet fra paletten Calculus. Dette er en fortsættelse af opgave 13.16. Lav en Taylorudvikling af e x ud fra x = 0 og argumentér for, at

e = + + +11

1

1

2! !!

Opstil en forskrift f n( ) for det enkelte led i summen ovenfor. Beregn summen af f n( ) érne v.h.a. sumsymbolet fra paletten Calculus.

13.19

13.20


109

• Funktionen f givet ved

f xx

x( )

sin=

er ikke defineret og dermed ikke kontinuert i x = 0 .

Tegn grafen for f på standardintervallet fra –10 til 10 , og undersøg hvordan dis-kontinuiteten viser sig?

Vis, at lim ( )

xf x

→=

01

Vi kan derfor på naturlig måde definere en kontinuert funktion f1 ved

f x

x

xx

x1

0

1 0( )

sin

=≠

=

for

for

Vi siger, at f har en hævelig diskontinuitet i x = 0 .

Tegn grafen for f1 v.h.a. den boolske notation

• Vis, at funktionen g givet ved

g xx x

x x( )

sin

cos=

−⋅3

har en hævelig diskontinuitet i x = 0.

Illustrér resultatet grafisk. • Undersøg på samme måde funktionen h givet ved h x x x( ) sin= ⋅ 1 Se også opgave 8.4.

13.21


110

Da Mathcads normale talområde er cirka ± 10307, kan tal blive så store, at en numerisk beregning kikser

En direkte symbolsk beregning svigter også, men vi kan dog narre den symbolske regnemaskine med et lille trick

Tallet beregnes med 20 cifre. Men er dette ikke nok, kan vi anvende det udvidede symbolske lighedstegn med float,antalcifre i pladsholderen

For meget små tal gælder noget tilsvarende

Beregn med 40 cifre tallene 1000!1

2000!og

DIFFERENTIALREGNING Bestem differentialkvotienten ′f ( )2 hvor

1 3 9

2 42 3

9 8 7

4

3 32

) ( ) ) ( ) ln( )

) ( ) cos ) ( )

f x x f x x x

f x x x f xx

x x

= = +

= ⋅ =+

+ +−

Beregn ′ ′ ′f f f f( ) , ( ) , ( ) ( )( ) ( )4 4 4 43 4og idet

f x x x( ) sin( )= ⋅7 3

13.22

14.1

14.2


111

Bestem den afledede funktion ′f når

1 3 9

2 42 3

9 8 7

4

3 32

) ( ) ) ( ) ln( )

) ( ) cos ) ( )

f x x f x x x

f x x x f xx

x x

= = +

= ⋅ =+

+ +−

Reducér mest muligt. Bestem med 10 cifre den mindste løsning til ligningen ′ =f x( ) 0 idet

f x x x x( ) cos= +2 Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne f og ′f hvor

f xx

x( )

sin( )=

Standardintervallet [ ]−10 10; er passende.

Hvis du er utilfreds med udseendet af grafen for f , kan du anvende den boolske notation

Undersøg, om ′f -grafen forløber som ventet.

Bestem med 10 cifre den x-værdi mellem 0 og 5, hvor de to grafer skærer hinanden. En funktion f er givet ved forskriften

f x x x( ) = − +2 7 10

Bestem en forskrift for den afledede funktion ′f .

Kontrollér udtrykket ved en håndregning.

Tegn i samme koordinatsystem graferne for f og ′f (vælg f.eks. 0 og 7 i plads-holderne ved x-aksen).

Ser graferne “rigtige” ud?

14.3

14.4

14.5

14.6


112

Skriv

Lav et (x,y)-diagram med x,t i pladsholderen ved x-aksen og f(x),p(t) i pladshol-deren ved y-aksen.

Prøv at ændre værdien af variablen x0 .

Hvad er det, der tegnes? En funktion f er kontinuert i x0 , hvis den er defineret i et interval omkring x0 og lim ( ) lim ( ) ( )

x x x xf x f x f x

→ →− += =

0 00

Hvis yderligere f er differentiabel i et interval til venstre for x0 og i et interval til højre for x0 med lim ( ) lim ( )

x x x xf x f x k

→ →− +′ = ′ =

0 0

så er f differentiabel i x0 med differentialkvotienten k . En funktion f er givet ved

f xx x

ax b x( )

, ,

,=

− + − ≤ ≤

+ < ≤

2 6 2 1

1 5

hvor a og b er reelle konstanter.

Beregn de værdier af a og b , der gør f differentiabel i tallet x = 1 .

Se også opgave 9.2.

14.7

14.8


113

En opgave om differenskvotienten og differentialkvotienten. Mathcad er rasende hurtig til at differentiere en funktion

Det går faktisk så let, at man helt glemmer, hvad sagen egentlig drejer sig om. Lad os derfor gå en omvej for at se på detaljerne. Lad funktionen f være defineret i et interval omkring tallet x0 . Vi beregner først differenskvotienten, som er hældningen af sekanten gennem grafpunkterne A x f x B x f x( , ( )) ( , ( ))0 0 og

f x f x

x x

( ) ( )−−

0

0

Vi ser så på grænseværdien af differenskvotienten for x gående mod x0 . Det betyder, at sekanten vipper omkring det faste punkt A. Hvis grænseværdien eksisterer, siges f at være differentiabel i x0 med differentialkvotienten ′f x( )0

f x f x

x xf x x x

( ) ( )( ) for

−−

→ ′ →0

00 0

Og ′f x( )0 er hældningen af sekantens grænsestilling, altså tangentens hældning. I Mathcad kan vi beregne således

Af én eller anden grund kan Mathcad ikke finde grænseværdien af et udtryk, hvor der indgår et indeks, så vi skifter variabelnavn

Efterprøv selv med andre funktioner.

14.9


114

INTEGRALREGNING Beregn både numerisk og symbolsk integralerne

1 21

1

3 7 4

3

02

0 3

1 5

2

3

8

0

2

3

) cos )

) )

,

,

x dxx

dx

x xe e

e edx

x x

x x

π

∫ ∫

∫ ∫

+

+−+

−

−

En funktion f er givet ved forskriften f x x x x( ) = − −1

33 1

32 2

Bestem eksakt arealet af den punktmængde, der afgrænses af grafen for funktionen og x-aksen. Grafen for funktionen f givet ved f x x x x( ) = − +4 34 3 afgrænser sammen med koordinatsystemets førsteakse en punktmængde, der har et areal.

Bestem den eksakte værdi af dette areal.

Den del af punktmængden, der er beliggende i 3. kvadrant, deles af linjen med ligningen x = k i to dele med lige store arealer.

Bestem k med 10 decimaler. Tegn grafen for funktionen f hvor f x x x( ) cos sin= +3 3 på standardintervallet fra –10 til 10.

Bestem med 10 decimaler arealet af punktmængden

{ }( , )| ( )x y a x b y f x≤ ≤ ∧ ≤ ≤0

hvor a er det største, negative og b det mindste, positive nulpunkt for f .

15.1

15.2

15.3

15.4


115

En funktionen f er givet ved forskriften

f x x( ) sin( )= 4

Bestem med 12 decimaler arealet af punktmængden

{ }( , )| ( ) ( )x y x a f x y f x0 ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ′

hvor a er det mindste, positive nulpunkt i ligningen f x f x( ) ( )= ′ . En punktmængde M afgrænses af graferne for de to funktionen f og g , hvor f x x g x x x( ) sin , ( ) sin ,= = − ≤ ≤1 0 π Bestem eksakt rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360o omkring x-aksen. Tegn grafen for funktionen f defineret ved

f xt

dt xx

( ) ,= >∫1

01

Beregn om muligt tallene

f f f

f f f

f f

f f e

f f

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 4 3 4

3 4

3 4 3

1

0 7

34

4

⋅ +−

⋅

−

og

og

og

og

og

Tegn grafen for funktionen f givet ved f x x x x( ) ,= − − + − ≤ ≤2 3 10 7 4 Vælg skridtlængden 0,01.

Dobbeltklik på diagrammet og vælg normale akser på fanebladet “X-Y Axes”.

fortsættes

15.5

15.6

15.7

15.8


116

Vælg også på fanebladet “Traces” følgende indstillinger

Skriv –8 og 5 i pladsholderne ved x-aksen.

Fjern på fanebladet “X-Y Axes” afkrydsningen ved “Auto Grid” og skriv 13 i feltet “Number of Grids”.

Beregn

f x dx( )−∫7

4

Løs mht. x ligningen

1

3 31

2

− +=

−

∫ tdt

x

Prøv at anvende flere af løsningsmetoderne fra kapitel 10.

Hvis en funktion f er differentiabel med kontinuert afledet på et interval [ ]a b; , er længden s af grafen givet ved

∫s f x dxa

b

= + ′1 2( )

Bestem længden af den del af parablen med ligningen y x x= − +2 7 10 , der svarer til 2 6≤ ≤x .

Bestem længden af en enkelt periode af sinusgrafen.

Prøv at beregne med både det sædvanlige lighedstegn = og det symbolske ligheds-tegn → .

15.9

15.10


117

En kurve har parameterfremstillingen

x x t

a t by y t

=≤ ≤

=

( ),

( )

Hvis koordinatfunktionerne er kontinuert differentiable, kan kurvelængden s bereg-nes som

s x t y t dta

b

= ′ + ′∫ ( ) ( )2 2

Længden af asteroiden (opgave 9.6) findes så let som at smutte mandler

• Beregn længden af 5 hele omdrejninger af Archimedes´ spiral (opgave 9.11).

• Beregn længden af den trebladede rose (opgave 9.11).

• Ellipsen med halvakserne a = 2 og b = 1 er givet ved parameterfremstillingen

x t

ty t

=≤ <

=2

0 2cos

,sin

π

Beregn omkredsen af ellipsen. Beregn

1 2

1

1

3 7 4

32

2

) cos )

) )

x dxx

dx

x xe e

e edx

x x

x x

∫ ∫

∫ ∫+

+−+

−

−

15.11

15.12


118

Vi viste i kapitel 15, at

x

xdx x x x k

215

2

2 32 6 2 3

+= − + + +⌠

⌡( )

Kontrollér dette v.h.a. integrationsprøven.

Vis, at

x

a bxdx

a abx b x

ba bx k

2 2 2 2

3

2 8 4 3

15+=

− ++ +

⌠⌡

( )

En opgave om partialbrøker. Når man vil integrere en polynomiumsbrøk ved håndkraft, skal man ofte først opløse brøken i en sum af simple brøken, såkaldte partialbrøker. Skriv funktionsudtrykket, vælg det udvidede symbolske lighedstegn fra paletten Evaluation, skriv convert,parfrac,x i pladsholderen og tast Retur

Bestem v.h.a. Mathcad stamfunktioner til funktionerne f og g givet ved

f xx

x x x

g xx x x

( )

( )( )

=+

+ + +

=−+

++

++

3 2

5 8 4

1

1

4

2

1

2

3 2

2

Opløs i en sum af partialbrøker

1

1

2 153

11

4 3

23

41

4

2 2

2 2

) )

)( )

)

x x

x

x xx

x x x

+ −−

− +

+ +

Tabellæg den stamfunktion til sin( )x 2 , hvis graf går gennem punktet A(1,3).

Tabellæg den stamfunktion til e xx ⋅ −1 , hvis graf går gennem punktet B(2,7).

Tabellerne beregnes for x-værdierne 4, 4,1, ... , 5 mens y-værdierne angives med 5 decimaler.

15.13

15.14

15.15


119

Tegn grafen for sinusintegralet Si på intervallet fra –30 til 30

Bestem grænseværdien

lim ( )x

x→∞

Si

Vis ved en håndregning, at Si er en ulige funktion Si Si for alle( ) ( )− = − ∈x x x R Argumentér for, at Si for( )x x x≅ ≅ 0 Kontrollér ved at beregne nogle funktionsværdier.

Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne sin og Si. En opgave om uegentlige integraler.

Lad funktionen f være kontinuert på intervallet [ [a;∞ .

Symbolet

f x dxa

( )∞

∫

er et såkaldt uegentligt integral, der er defineret ved

f x dx f x dxa

ba

b

( ) lim ( )∞

→∞∫ ∫=

hvis vel at mærke grænseværdien eksisterer!

Beregn

lim sin sina

x

a

xe x dx e x dx→∞

− −∞

∫ ∫0 0

og

og

lima

a

xdx

xdx

→∞

∞

+ +∫ ∫1

1

1

120

20

og

15.16

15.17


120

En opgave om Eulers konstant. Beregn, dels v.h.a. det sædvanlige lighedstegn, dels v.h.a. det symbolske ligheds-tegn og dels v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med float,20 i plads-holderen

e x dxx−∞

∫ ln0

Eulers konstant γ er defineret ved det flotte udtryk

γ = −

→∞ =

∑lim ln( )N

nn

N

N1

1

Beregn Eulers konstant, dels v.h.a. det symbolske lighedstegn og dels v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med float,20 i pladsholderen. Dette er en fortsættelse af opgave 13.12. Tegn på intervallet fra –1 til 10 grafen for funktionen f givet ved

f xx

e x( ) =−

2

1

Beregn grænseværdien af f x( ) for x gående mod uendelig.

Beregn

x

edxx

2

0 1−

∞

∫

En opgave om dobbeltintegraler. Tegn grafen for funktionen f givet ved f x y x y( , ) = +2 2 Rumfanget V af punktmængden

{ }( ) ( )x y z x y z f x y, , | ,− ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤1 1 1 1 0

kan bestemmes v.h.a. et såkaldt dobbeltintegral

V f x y dxdy f x y dx dy= =

−− −−∫∫ ∫∫( ) ( ), ,1

1

1

1

1

1

1

1

fortsættes

15.18

15.19

15.20


121

Vis ved en håndregning, at V = 8

3 Mathcad klarer sagen som en mis

Beregn rumfanget af punktmængden

{ }( )x y z x y z x y, , | 0 2 0 5 0 2≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ⋅

Dette er en fortsættelse af opgave 15.20. Betragt funktionen f hvor f x y x y( ), = 3 4 6 Vi vil bestemme rumfanget V af punktmængden

{ }( , , )| ( , )x y z x y z f x y2 2 4 0+ ≤ ∧ ≤ ≤

Da integrationsområdet i (x,y)-planen ikke er rektangulært, skal der lidt snedighed til.

( )x x, 4 2−

( )x x,− −4 2

Vis v.h.a. figuren ovenfor, at

V f x y dydxx

x

=− −

−

−∫∫ ( , )4

4

2

2

2

2

Beregn V både numerisk og symbolsk.

15.21


122

Dette er en fortsættelse af opgave 15.20. Kuglen med radius r har som bekendt rumfanget (∗ ) V r= 4

33π

Dette skal du nu eftervise på to helt forskellige måder. • Vis, at den øverste halvdel af cirklen med centrum i O(0,0) og radius r er graf for funktionen

f x r x r x r( ) ,= − − ≤ ≤2 2 Drej grafen 360o omkring x-aksen og vis formlen (∗ ). • Vis, at den øverste halvdel af kuglen med centrum i O(0,0,0) og radius r er graf for funktionen

g x y r x y x y r( , ) ,= − − + ≤2 2 2 2 2 2

Bestem kuglens rumfang (∗ ) v.h.a. et dobbeltintegral. SANDSYNLIGHEDSREGNING En stokastisk variabel X er binomialfordelt med antalsparameter 10 og sandsyn-lighedsparameter 0,3 . Lav en tabel over fordelingsfunktionens værdier (de kumulerede sandsynligheder). En stokastisk variabel X er binomialfordelt med antalsparameter 15 og sandsyn-lighedsparameter 0,4 . Bestem sandsynlighederne P X( )= 8 og P X( )≤ 8 , dels v.h.a. funktionerne dbinom og pbinom og dels v.h.a. de kendte udtryk

P X( )!

)!, ( , )= =

−⋅ ⋅ − −8

15

8!(15 80 4 1 0 48 15 8

P Xr r

r r

r

( )!

!( )!, ( , )≤ =

−⋅ ⋅ − −

=∑8

15

150 4 1 0 4 15

0

8

Binomialkoefficienterne kan også beregnes v.h.a. funktionen combin

combin( , )!

!( )!n k

n

k n k=

−

15.22

16.1

16.2


123

Det en grundlæggende egenskab ved normalfordelingen, at

e dxx−

−∞

∞

∫ =0 5 2

2, π

Kontrollér dette, dels ved en numerisk regning med = og dels ved en symbolsk regning med → . For en standardnormalfordelt stokastisk variabel X er f.eks.

P X e dxx( , ) ,,

≤ = −

−∞∫0 6 1

20 5

0 62

π

Beregn denne sandsynlighed, dels ved at integrere og dels v.h.a. funktionen pnorm. En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi 5 og spredning 1

2 . Tegn i samme koordinatsystem graferne for frekvensfunktionen og fordelings-funktionen for X ; tegneintervallet fra 3 til 7 er passende. Tabellæg standardnormalfordelingens fordelingsfunktion for x-værdierne x = 0,0 , 0,1 , ... , 2,0 Funktionsværdierne skal angives med 4 decimaler.

• Frembring 10 tilfældige tal i intervallet [ [0 6; .

Genberegn tallene ved at vælge menupunktet Math/Calculate Worksheet.

• Frembring 15 tilfældige tal i intervallet [ [0 5 9 5, ; , .

• Simulér 20 kast med en 12-kantet terning.

• Kan du gennemskue, hvad der sker her?

En opgave om gentagne terningkast.

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7


124

Vi simulerer 600 kast med en terning v.h.a. funktionen15 runif

Tabellen til venstre viser kun de første syv resultater.

Vi vil tegne et stolpediagram for fordelingen af øjentallene. Det gør vi på en lidt kunstig måde, idet vi grupperer resultaterne på intervallerne 0,5 < 1,5 < … < 6,5. Disse delepunkter er skrevet i vektoren a ovenfor (se kapitel 17). Funktionen hist optæller hyppigheden af øjentallene

Tegn så et (x,y)-diagram med a i nederste pladsholder og hyppighed i pladshol-deren til venstre. Formatér som stolpediagram (se kapitel 16).

fortsættes

15 r står for random (tilfældig), mens unif er den uniforme (rektangulære) fordeling.


125

Stolperne bør placeres ved øjentallene; skriv derfor a+0.5 i nederste pladsholder. Skriv til slut overskrift og aksetekster

Simulér nye måleserier ved at vælge menupunktet Math/Calculate Worksheet.

Prøv også at ændre antallet af kast. En opgave om simulering af møntkast. Dette er en fortsættelse af opgave 16.7. Simulér 1000 kast med en mønt og illustrér med et stolpediagram. En opgave om Poissonfordelingen. En stokastisk variabel X siges at være Poissonfordelt, hvis

P X k ek

kk

( )!

, , ,= = ⋅ =−λ λhvor 0 1 2 !

mens parametren λ er positiv. Vis, at der er tale om en sandsynlighedsfunktion

P kk

( , )λ ==

∞

∑ 10

hvor P k ek

k

( , )!

λλλ= ⋅−

Beregn middelværdien af X

µ λ= = ⋅=

∞

∑E X k P kk

( ) ( , )0

Beregn også variansen og spredningen af X

( )V X k P kk

( ) ( , )= − ⋅=

∞

∑ µ λ2

0

og σ ( ) ( )X V X=

16.8

16.9


126

En opgave om Cauchyfordelingen. Cauchyfordelingen er en kontinuert sandsynlighedsfordeling med frekvensfunktion

f x kx

x R( ) ,= ⋅+

∈1

1 2

Vis ved en symbolsk regning, at

k =1

π

Tegn grafen for frekvensfunktionen f .

Beregn P X( , , )− ≤ ≤2 3 1 9 hvor X er en Cauchyfordelt stokastisk variabel.

Cauchyfordelingens middelværdi µ er defineret ved

µ = ⋅−∞

∞

∫ x f x dx( )

Vis ved en symbolsk regning, at µ = 0 . Da Mathcad har det dårligt med dette integral, må du benytte definitionen på et uegentligt integral (se også opgave 15.17)

g x dx g x dxa

a

a

( ) lim ( )−∞

∞

→∞−

∫ ∫=

Vis ved en symbolsk regning, at Cauchyfordelingen ikke har nogen spredning σ , hvor

σ µ2 2= − ⋅−∞

∞

∫ ( ) ( )x f x dx

Find ved en symbolsk regning et udtryk for fordelingsfunktionen F

F x f t dtx

( ) ( )=−∞∫

Tegn grafen for F .

16.10


127

Den franske matematiker Montmort udgav i 1708 en meget anvendt lærebog i sandsynlighedsregning. Her behandler han bl.a. følgende spil: Spilleren kaster en terning indtil han første gang slår en sekser; så er spillet slut. Gevinsten beregnes således hvis sekseren slås i 1. kast, vinder han 1 kr. hvis sekseren slås i 2. kast, vinder han 2 kr. osv., osv. Hvad kan spilleren i det lange løb forvente at vinde pr. spil?

Vi bemærker først, at udfaldsrummet er ikke endeligt

{ }U = 6 66 666, , ,!

Der er derfor ikke nogen garanti for, at spillet nogensinde stopper!

Vis, at sandsynligheden for at spillet stopper efter det n´te slag er

( )P nn

( ) = ⋅−56

1 16

Vis, at der er tale om et sandsynlighedsfelt

P nn

( )=

∞

∑ =1

1

Lad X være gevinsten i et spil X n n( ) = Bestem middelværdien (forventningsværdien) af X

µ = = ⋅=

∞

∑E X X n P nn

( ) ( ) ( )1

Beregn også variansen og spredningen af X

( )V X X n P n X V Xn

( ) ( ) ( ) og ( ) ( )= − ⋅ ==

∞

∑ µ σ2

1

Kommentér spillet!

16.11


128

En opgave om statistik. Der er givet en række målinger x x xn1 2, , ,! af en størrelse x . Det aritmetiske gennemsnit x af målerækken er givet ved

xn

xii

n

==∑1

1

Standardafvigelsen s er et mål for, hvor tæt tallene xi ligger på x . Der findes to udtryk for standardafvigelsen

sn

x xii

n

11

1

2= −=∑ ( ) og s

nx xi

i

n

21

1 1

2=−

−=∑ ( )

I Mathcad beregnes tallene x s s, 1 2og v.h.a. funktionerne mean, stdev og Stdev16

Der findes yderligere to typer gennemsnit: det harmoniske gennemsnit xh og det geometriske gennemsnit xg , der for positive værdier er defineret ved

1 1 1 1 1

1 2x n x x xh n

= + + +

! og x x x xg n

n= ⋅ ⋅ ⋅1 2 !

Disse lidt eksotiske gennemsnit beregnes v.h.a. funktionerne hmean og gmean

Beregn de tre typer gennemsnit samt de to typer standardafvigelse for talsættet 51 , 47 , 53 , 57 , 49 , 52 , 53 , 56

16 Dette er en forkortelse af det engelske standarddeviation.

16.12


129

VEKTORER Bestem længden af vektorerne 2 3 4 5 1

314

15

16a b c d a b c d− + − + + +og

hvor

a b c d=

=

−

= −

=

−−

2

3

4

2

6

3

5

6, , og

Der er givet to vektorer

a b=

=

−−

6

2 2 1

2

ogt

t

Bestem eksakt t R∈ , så vektorerne udspænder et parallelogram med arealet 14. Bemærk, at Mathcad ikke kender begrebet “tværvektor”. Beregn vinklen mellem vektorerne

a b=

=−

4

5

3

1

7

6

og

Beregn arealet af den trekant, der udspændes af de to vektorer.

Bestem koordinaterne til projektionen af a bpå . Der er givet vektorerne

v a b c=−

=−

−

=−

−

=−

2

6

7

2

1

3

4

1

7

2

4

5

, , og

Skriv v som en linearkombination af a b c, og . Du skal her eksperimentere med vektorfunktionerne sort og reverse. Start med at indskrive en 7-dimensional vektor v , hvor tallene kommer hulter til bulter! Beregn så vektorerne reverse(v), sort(v), reverse(sort(v)) og sort(reverse(v))

17.1

17.2

17.3

17.4

17.5


130

I denne fysikopgave er det underforstået, at der arbejdes i SI-enheder. En partikel P bevæger sig langs en kurve. Den position til tidspunktet t er givet ved stedvektoren til P

r( ) ,tt t

tt=

−

≥

2 60

Tegn banekurven.

Partiklen er påvirket af kraften

F( )tt

t=

+

7

3

I tidsrummet a t b≤ ≤ udfører kraften arbejdet

A t t dta

b

= •∫ F v( ) ( )

hvor v r( ) ( )t t= ′ er partiklens hastighed.

Beregn kraftens arbejde i tidsrummet fra 0 til 9 .

Hvornår står kraften vinkelret på hastigheden? MATRICER Udregn matrixprodukterne E A A E⋅ ⋅og

A B B A⋅ ⋅og

A B C A B + A C⋅ + ⋅ ⋅( ) og

hvor

A B C E=−

=

=

−−

=

2 7

3 1

3 5

4 2

6 8

3 5

1 0

0 1, , og

Prøv at formulere nogle generelle sætninger.

17.6

18.1


131

Beregn produktet C A B= ⋅ af de to matricer

A B=

=−

−

1 2 1

3 2 1

1 3 2

1 1 1

2 0 3

1 1 2

og

Vis, at

det(C) = det(A)· det(B) og C B A− − −= ⋅1 1 1 Betragt de tre lineære ligninger i tre ubekendte fra kapitel 12

x y z

x y z

x y z

+ − =− + − =− + − =

0

2 3 9 0

5 3 2 0

Vis, at ligningssystemet kan skrives som matrixligningen A X B⋅ = hvor

A B X=−

−−

=

=

1 1 1

2 1 3

5 3 1

0

9

2

, og

x

y

z

Der gælder, at ligningssystemet har én løsning netop når det( )A ≠ 0 .

Vis, at det( )A ≠ 0 .

Beregn løsningen som X A B= ⋅−1 .

Find løsningen v.h.a. funktionen lsolve; skriv lsolve(A,B)= .

Løs ligningssystemet v.h.a. løsningsblokken Given/Find. Løs v.h.a. matricer ligningssystemet

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

3 2 4

4 5 2 6

2 3 1

Løs også ligningssystemet v.h.a. løsningsblokken Given/Find.

18.2

18.3

18.4


132

En opgave om egenvektorer og egenværdier. Lad der være givet en matrix A . Hvis der findes en egentlig vektor u og et tal λ , så A u u⋅ = λ kaldes en u en egenvektor for A med tilhørende egenværdi λ . Ved beregningen anvendes funktionerne eigenvecs og eigenvals.

Vi aflæser her de tre sæt egenvektorer/egenværdier for matricen A

Bemærk, at egenvektorerne er normeret

fortsættes

18.5


133

Vi kan også let kontrollere resultatet

Kontrollér på samme måde de to andre sæt egenvektorer/egenværdier.

Beregn egenvektorer og egenværdier for matricen

2 3

2 7−

KOMPLEKSE TAL Beregn tallene

( )( ) , , ( ) ( )4 2 9 74 2

9 74 2 9 73 2+ −

+−

+ − −i ii

ii iog

Find modulus og argument for tallet

1 2 3 3 7 5

2 4 5 4 6 7

) )

) )

+ − −

− + − −

i i

i i

Skriv på formen z = a + bi når

1 6 60

2 4 135

3 6 789 292 74

) arg( )

) arg( )

) , arg( ) ,

z z

z z

z z

= = − °= = − °= = °

og

og

og

Ved multiplikation og division af komplekse tal a og b gælder formlerne

a b a b a b a b

a

b

a

b

a

ba b

⋅ = ⋅ ⋅ = +

=

= −

og arg( ) arg( ) arg( )

og arg arg( ) arg( )

Efterprøv f.eks. med tallene a i b i= − = +4 3 5 7og .

19.1

19.2

19.3

19.4


134

Udregn potenserne

( ) ( )76

14

17 13

8 121 0 5678 0 8765− + −−i i i, ( , , )og

Løs den binome ligning 1 2 1 3 33 4 5) ) )z i z z i= − = = − + Løs den binome ligning z 3 8= − .

Beregn dernæst tallet ( )−813 og forklar det sære resultat fra kapitel 7.

Løs den komplekse andengradsligning

1 3 4

2 5 12

3 4 5 5 0

2

2

2

)

) ( )

) ( ) ( )

z i

z i z

z i z i

= +

= − −

+ + + + =

REGRESSION Tabellen viser sammenhængen mellem motoreffekten og tophastigheden for tolv tilfældigt udvalgte biler

P

v

/

/ ( )

kW

km / h

70 63 72 60 66 70 74 65 62 67 65 68

155 150 180 135 156 168 178 160 132 145 139 152

Lav en lineær regression med tilhørende (P,v)-diagram; kommentér resultatet. Tabellen viser sammenhængen mellem trykket og temperaturen af en indespærret gas

t

p

/

/

°C

mmHg

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

79 80 82 84 85 86 87 89 90 92

Vis, at trykket med god tilnærmelse vokser lineært med temperaturen.

Beregn den temperatur, hvor trykket er lig med nul.

Resultatet er meget følsomt for ændringer i måledata; prøv f.eks. at ændre den første trykmåling fra 79 mmHg til 80 mmHg.

19.5

19.6

19.7

19.8

20.1

20.2


135

En opgave om polynomiumsregression. Vi vil bestemme forskriften for det andengradspolynomium, der bedst beskriver følgende seks datapar ( , )x y . Ved beregningen benyttes funktionen regress.

De tre koefficienter i andengradspolynomiet aflæses nederst i søjlen17 p x x x( ) , , ,= − +1 084 0 448 5 2182 Det er muligt at tegne et diagram med både datapunkter og regressionsgraf uden at skulle indskrive forskriften; dertil anvendes funktionen interp

Punkterne (trace 1) er naturligvis formateret på passende måde.

17 2-tallet viser polynomiets grad, mens kun guderne kender betydningen af de øverste to tal.

20.3


136

En parabel går gennem punkterne A(1,5) , B(3,11) og C(9,–115).

Bestem ved regression en ligning for parablen; tegn parabel og punkter.

Løs også opgaven ved at opstille tre ligninger med tre ubekendte. En opgave om interpolation. En bil kører hen ad landevejen; v.h.a. en radarmåling bestemmes dens hastighed v i m/s til tidspunkterne t = 0, 1, ... 16 s.

Den tilbagelagte vej s er givet ved integralet af hastighedsfunktionen v t( )

s v t dt= ∫ ( )0

16

Hvis vi kendte funktionstypen, kunne vi bestemme en forskrift for v t( ) v.h.a. en passende regression. Denne metode er langt at foretrække.

fortsættes

20.4

20.5


137

I dette tilfælde kender vi ikke nogen matematisk model. Men vi kan alligevel lave en fornuftig beregning af v t( ) v.h.a. funktionerne cspline18 og interp

Vi tegner et diagram med datapunkterne ( , )T V samt grafen for den interpolerede hastighedsfunktion v(t)

Vi kan så beregne den tilbagelagte vej

Metoden giver glimrende resultater, hvis vel at mærke måleusikkerhederne er små. Her er det nok realistisk at sætte s = 371 m.

Tegn ( , )t a − grafen hvor a t v t( ) ( )= ′ Beregn den resulterende krafts arbejde (se opgave 17.6)

A F t v t dtres res= ⋅∫ ( ) ( )0

16

hvor F t m a tres ( ) ( )= ⋅ er den resulterende kraft på en bil med massen 950 kg.

fortsættes

18 Ved denne interpolation (cubic spline interpolation) tilpasses et tredjegradspolynomium på ethvert af delintervallerne på en sådan måde, at den anden afledede i delepunkterne bliver kontinuert.


138

Beregn til sammenligning den resulterende krafts arbejde v.h.a. arbejdssætningen A Eres k= ∆ Det forudsættes, at der overalt anvendes SI-enheder.

Formatér diagrammerne med teksterne overskrift: HASTIGHED AF BIL x-aksen: tidspunkt t/s y-aksen: hastighed v/(m/s) overskrift: ACCELERATION AF BIL x-aksen: tidspunkt t/s y-aksen: acceleration a/(m/s2) Dette er en fortsættelse af opgave 20.5. Ved interpolationen i opgave 20.5 tvinges grafen til at gå gennem samtlige måle-punkter. Men det er uheldigt, hvis der er store måleusikkerheder på data. Man kan så f.eks. vælge at tilpasse et polynomium til målingerne.

Lav en polynomiumsregression af 2., 3. ... grad og bestem i hvert tilfælde den tilbagelagte vej (se metoden i opgave 20.3).

Tegn ( , )t a − grafen og beregn den resulterende krafts arbejde, dels ved en integra-tion og dels v.h.a. arbejdssætningen.

20.6


139

STIKORDSREGISTER Stikordet anføres som hovedregel kun det første sted, det optræder. afledet funktion 47 akseinddeling, ændring af 82 akseinddelinger, ens 84 akser, sædvanlige 22 Align Across, knap 13 Align Down, knap 13 antal decimaler 12 arbejde, fysisk 127 Archimedes´ spiral 89 Arithmetic, palet 20 aritmetisk gennemsnit 125 asin, funktion 19 asteroiden 89 atan, funktion 104 auto 2 Automatic Calculation, menuen Math 2, 85 bestemt integral 50 Binets formel 99 binom ligning 63 binomialfordelingen 54 binomialkoefficient 119 binære tal 80 Calculate Worksheet, menuen Math 56 Calculus, palet 44 CD-ROM, indhold af 3 coeffs, symbolsk nøgleord 93 collect, symbolsk nøgleord 98 cols, funktion 60 combin, funktion 119 convert, symbolsk nøgleord 115 cspline, funktion 134 cykloiden 28 dbinom, funktion 54 Descartes´ blad 92 diagramtekst 65 differenskvotient 110 differentiabilitet 109 differentialkvotient 46 diskontinuitet, hævelig 106 divergent integral 51 dnorm, funktion 55 dobbeltintegral 117 dynamisk lighedstegn 16 efterstillede nuller 75 egenvektor 129 egenværdi 129 eigenvals, funktion 129 eigenvecs, funktion 129 eksakt værdi 38 eksponentiel notation 12

eksponentielt horn 91 ellipse 114 enheder 77 Equation, menuen Format 14 Eulers konstant 117 Evaluation, palet 6 expand, symbolsk nøgleord 43 exponential threshold 12 Factor, menuen Symbolics 52 factor, symbolsk nøgleord 43 faktorisering 43 fakultetstal 79 fedt lighedstegn 38 fedt lighedstegn, korrekt genvej 6 fejl 11 Fibonaccital 80, 99 Find 39 firkantkurve 86 flade i rummet 32 float, symbolsk nøgleord 107 floor, funktion 56 flytning af data 70 flytning af ligning 13 Fourierteori 85 funktion af to variable 32 funktioner, egne 18 funktioner, indbyggede 18 gaffelfunktion 28 gcd, funktion 100 gennemsnit 125 genvejstaster 6 geometrisk gennemsnit 125 Given/Find 39 globalt lighedstegn 60 globalt lighedstegn, genvej 6 gmean, funktion 125 gradmål 19 grafer, flere 26 graftegning 21 Graph, palet 21 Greek, palet 77 grænseværdi 44 græske bogstaver 77 harmonisk gennemsnit 125 Help, knap 5 hexadecimale tal 81 hist, funktion 121 hjertekurven 92 hmean, funktion 125 håndtag 17, 21 identity, funktion 60


140

if, funktion 80 Im, funktion 63 indeks 33 indiceret variabel 32 indsæt enhed 78 indsæt funktion 19 indsætningspunkt i tekst 67 inputtabel 30 Insert Function, knap 19 Insert Unit, knap 78 integralregning 50 integration af dokumenter 71 intercept, funktion 64 interp, funktion 132 interpolation 133 justering 13 komplekse tal 62 konstanter 9 kontinuitet 106, 109 konvergens 103, 105 koordinatakser 22 koordinater, aflæsning af 24 kurvelængde 113, 114 kvadratrod, funktion 20 lcm, funktion 100 Leibniz´ sum 104 lighedstegn, alle typer 6 lighedstegn, dynamisk 16 lighedstegn, fedt 6, 38 lighedstegn, globalt 60 lighedstegn, symbolsk 39 lighedstegn, sædvanligt 7 lighedstegn, udvidet symbolsk 38 ligninger, løsning af 36 ligningssystemer 41 lineær programmering 97 lineær regression 64 linjeskift, hårdt 67 Lissajoufigurer 89 logaritmisk skala 81 lsolve, funktion 128 løsningsblok 39 margen 73 markeringslinje i diagram 56 matematikboks 7 matematiklinjen 1, 6 matricer 59 Matrix, palet 31 max, funktion 60 maximize, funktion 97 mean, funktion 125 min, funktion 60 mindste fælles multiplum 100 mod, funktion 100 modulo 100

normalfordelingen 55 numerisk værdi 49, 51 omdrejningsflade 90 områdevariabel 16, 23 operatorer 7 ORIGIN 6, 60 Page Break, menuen Insert 73 Page Setup, menuen File 73 palet 1 papirformat 73 parameterfremstilling 28 partialbrøk 115 pbinom, funktion 54 periodisk funktion 86 pi 9 pladsholder 7, 26, 34 pnorm, funktion 55 Poissonfordelingen 122 polynomiumsregression 132 polyroots, funktion 37 polært koordinatsystem 92 primfaktor 99 Print Preview, knap 73 produkter, beregning af 102 produktsymbol 102 punktdiagram 30 qnorm, funktion 55 QuickSheets 4 radianmål 18 randomfunktionen 56 Re, funktion 63 redigering 10 redigeringslinjer 7 reduktion 43 regress, funktion 132 regression 64 rekursiv funktion 79, 87 rentetabel 77 Resourse Center, knap 4 reverse, funktion 126 rnd, funktion 56 root, funktion 36 rosekurverne 92 rows, funktion 60 runif, funktion 121 rækkeudvikling 103 sandsynlighedsregning 54 savtakkurve 87 series, symbolsk nøgleord 103 Si, funktion 53 sidehoved/sidefod 74 sidenummer 74 sideopsætning 73


141

sideskift 73 sign, funktion 84 simplexmetoden 97 simplify, symbolsk nøgleord 43 sin, funktion 18 sinusintegralet 53, 116 skridtlængde 16 skridtlængde, standardværdi af 17 skriftstil 14 sletning 9 slope, funktion 64 solve, symbolsk nøgleord 38 sort hånd 13 sort, funktion 126 specialsymboler 68 spredning 122 stamfunktion 51 standardafvigelse 125 stdev, funktion 125 stolpediagram 54 største fælles divisor 99 summer, beregning af 45 sumsymbol 45 sumsymbol, specielt 101 svævning 88 symbolsk lighedstegn 39 systemkrav 2 sædvanlig variabel 16 sædvanligt lighedstegn 7 søjlediagram 121 tabel 16 talfølge 80

talsystemer 80 Taylorrække 103 tekst 67 tekstboks 67 terningkast, simulering af 56 tilfældige tal 56 TOL 37 tolerance 37 tone, bølgelære 88 tooltips 6 trace 24 Traces, faneblad 27 transponeret matrix 59 trebladet rose 89 ubestemt integral 51 udregning, symbolsk 43 udskrivning 73 udvidet symbolsk lighedstegn 38 uegentligt integral 116 uligheder 40 variabel 16 varians 122 vekselstrøm 86 vektorer 57 vektoroperatorer 58 vis udskrift 73 Wallis´ produkt 102 zetafunktionen 101 zoom 25

Documents

MathSoft Mathcad 8 Professional - Velkommen til EDUhome.svend-es.dk/jove/filer til mat/danskmathcadmanual.pdfMathcad 8 Pro Vejledning og opgaver ENGBERG a/s – 48 25 17 77 1 INDHOLDSFORTEGNELSE