AnalizaImatijac/analiza.pdf · 2018. 1. 5. · Tu opozorimo na to, da v običajnem jeziku včasihuporabimobesedo"ali"izključevalno,tojeenoalidrugo,nepa oboje. Vlogikiinmatematikirazumemo"ali"boljširoko:

Analiza I(študijsko gradivo)

Matija Cencelj

2. maj 2007

Kazalo

1 Uvod 51.1 Izjave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Množice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Števila 152.1 Polje realnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Urejenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Naravna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Številska premica, intervali, okolice . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Gostost Q v R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Kompleksna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Številska zaporedja in vrste 413.1 Zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Podzaporedje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Stekališče . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Računske lastnosti limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6 Potence in koreni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Število e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.8 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.9 Vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.10 Računanje z vrstami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Topologija R 754.1 Odprte in zaprte množice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Cantorjeva množica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 Kompaktne množice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4 Povezane množice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Limita funkcije in zveznost 895.1 Realne funkcije ene realne spremenljivke . . . . . . . . . . . . 895.2 Limita funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.3 Zveznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4 Lastnosti zveznih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3

4 KAZALO

5.5 Zvezne funkcije na kompaktnih množicah . . . . . . . . . . . . 1025.6 Enakomerna zveznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.7 Izrek o vmesni vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.8 Primeri zveznih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6 Diferencialni račun 1116.1 Odvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Pravila za odvajanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 Odvod inverzne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.4 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.5 Višji odvodi in diferenciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.6 Lastnosti odvedljivih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.7 Izrek o povprečni vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.8 Ekstremi funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.9 L’Hospitalovi pravili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7 Funkcijske vrste 1357.1 Metrični prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.2 Enakomerna konvergenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.3 Enakomerna konvergenca in odvod . . . . . . . . . . . . . . . 1427.4 Funkcijske vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.5 Potenčne vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.6 Taylorjeva vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8 Nedoločeni integral 1618.1 Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.2 Uvedba nove spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.3 Integracija po delih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.4 Integracija racionalnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.4.1 Integracija osnovnih tipov . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.4.2 Delni ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.4.3 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.5 Integrali nekaterih iracionalnih funkcij . . . . . . . . . . . . . 1758.6 Integrali nekaterih kotnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9 Riemannov integral 1819.1 Definicija Riemannovega integrala . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.2 Integrabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.3 Lastnosti določenega integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.4 Osnovni izrek diferencialnega in integralskega računa . . . . . 1929.5 Izrek o povprečni vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949.6 Računanje določenega integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949.7 Numerična integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.8 Posplošeni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Poglavje 1

Uvod

1.1 Izjave

Matematika dokazuje svoje trditve po zakonih logike. Tu ne moremo kajdosti reči o logiki, omenimo le osnovne operacije med izjavami. Izjava namtu pomeni kakršnokoli trditev, za katero velja natanko ena od možnosti: daje pravilna, ali, da je nepravilna. Za vsak slučaj povejmo, da je zelo velikostavkov iz vsakdanjega življenja preveč dvoumnih, da bi jih lahko imeli zaizjave v našem smislu. Za primer si oglejmo naslednji stavek.

Modrost in vzgojo zaničuje bedak.

Tu imamo gotovo tri različne možnosti.

1. Stavek se nanaša na nekega konkretnega bedaka (kar pa bi bilo jasnošele iz morebitnega konteksta).

2. Sporočilo tega stavka je: "Kdor zaničuje modrost in vzgojo, je bedak."

3. Sporočilo tega stavka je: "Kdor je bedak, zaničuje modrost in vzgojo."

Druga in tretja možnost sta vsekakor po pomenu precej različni. Recimo,da poznamo Janeza, ki zaničuje tako modrost, kot tudi vzgojo, Jožeta, kizaničuje modrost, ne pa vzgoje, Petra, ki zaničuje vzgojo, ne pa modrostiin Pavla, ki ne zaničuje niti modrosti niti vzgoje. Druga možnost (ki jenedvoumna izjava) pove, da je Janez bedak, o ostalih pa ne reče nič, tretjamožnost (ki je tudi nedvoumna izjava) pa pove, da Jože, Peter in Pavel gotovoniso bedaki, o Janezu pa ne pove nič.

Izjave lahko zanikamo ali sestavljamo, osnovni načini takih dejavnosti (kijim rečemo tudi operacije z izjavami) so:

1. Negacija. Če je P neka izjava, je negacija te izjave, "ne P", izjava P̄ , kije pravilna natanko tedaj, ko izjave P ni pravilna. Če povemo to boljna široko: če je P pravilna, je P̄ nepravilna, če pa je P nepravilna, jeizjava P̄ pravilna.

5

6 POGLAVJE 1. UVOD

2. Konjunkcija. Naj bosta P in Q izjavi. Konjunkcija izjav P in Q je izjavaP ∧Q (rečemo "P in Q"), ki je pravilna natanko tedaj, ko sta pravilniobe izjavi P in Q.

3. Disjunkcija. Naj bosta P in Q izjavi. Disjunkcija izjav P in Q je izjavaP ∨Q (rečemo "P ali Q"), ki je pravilna natanko tedaj, ko je pravilnavsaj ena od izjav P , Q. Tu opozorimo na to, da v običajnem jezikuvčasih uporabimo besedo "ali"izključevalno, to je eno ali drugo, ne paoboje. V logiki in matematiki razumemo "ali"bolj široko: eno ali drugoali oboje.

4. Implikacija. Naj bosta P in Q izjavi. Implikacija P ⇒ Q (rečemo "izP sledi Q") je izjava, ki je nepravilna le v primeru, da je P pravilna,izjava Q pa nepravilna. Tudi tu opozorimo na eventualen dvom, kajreči o pravilnosti implikacije P ⇒ Q v primeru, ko P ni pravilna. Čeželimo implikacijo razumeti kako drugače, se da o tem gotovo velikogovoriti, v izjavnem računu pa o tem ne more biti nobenega dvoma:implikacijo – kot operacijo med izjavami – definiramo tako, da je tudiv omenjenem primeru pravilna.

5. Ekvivalenca. Naj bosta P in Q izjavi. Ekvivalenca P ⇔ Q (rečemo "Pvelja natanko tedaj, ko Q") je izjava, ki je pravilna natanko tedaj, kosta obe izjavi P in Q hkrati pravilni ali pa obe hkrati nepravilni.

Za vajo dokažimo naslednjo trditev, ki jo bomo marsikdaj uporabili pridokazovanju.

Trditev 1.1.1 Za poljubni izjavi P in Q velja

(P ⇒ Q) ⇐⇒ (Q̄ ⇒ P̄ ) .

Dokaz: Pravilnost zgornje ekvivalence bomo dokazali tako, da bomo poka-zali ujemanje pravilnosti izjav na levi oziroma desni strani ekvivalencepri vseh možnih (ne-)pravilnostih osnovnih izjav P in Q. Pravilnostizjave bomo označili z 1, nepravilnost pa z 0.

P Q P ⇒ Q Q̄ ⇒ P̄0 0 1 10 1 1 11 0 0 01 1 1 1

Res se pravilnost omenjenih izjav ujema, trditev je dokazana.

2

Vaja: Preverite, da so za poljubne izjave P , Q in R naslednje ekvivalencepravilne.

1.2. MNOŽICE 7

P ∧Q ⇐⇒ P̄ ∨ Q̄ (1.1)

P ∨Q ⇐⇒ P̄ ∧ Q̄ (1.2)

P ∧ (Q ∨R) ⇐⇒ (P ∧Q) ∨ (P ∧R) (1.3)

P ∨ (Q ∧R) ⇐⇒ (P ∨Q) ∧ (P ∨R) (1.4)

3

Te ekvivalence bomo v nadaljevanju večkrat uporabili v dokazih. (Takokot v šoli pri računanju tudi tu uporabimo oklepaje za oznako vrstnega redaoperacij, pri tem pa je dogovorjena taka prioriteta: kjer ni oklepajev, sonajprej opravljene konjunkcije, nato disjunkcije, nato implikacije in nazadnjeekvivalence.)

Vaje:

1. Kaj so negacije naslednjih izjav?

(a) Moja usta govore resnico.

(b) Janez zaničuje modrost in vzgojo.

(c) Nič ni novega pod soncem.

(d) Kdor koplje jamo, pade vanjo.

2. Kaj, če sploh kaj, pove izjava: "Kdor koplje jamo, pade vanjo."o:

(a) ljudjeh, ki padejo v jamo,

(b) ljudeh, ki ne padejo v jamo,

(c) ljudeh, ki kopljejo jamo,

(d) ljudeh, ki ne kopljejo jame?

3

Tu opozorimo na negacije, ki jih v slovenskem jeziku pogosto naredimoformalno dvakrat. Če na vprašanje: "Govorite kašen tuj jezik?"dobimo odgo-vor, "Ne govorim nobenega tujega jezika.", vemo, da to pomeni, da vprašanigovori kvečjemu svoj materni jezik, čeprav sta v stavku formalno dve negaciji.Tu gre za dve slovnični negaciji, ki pa tvorita le eno logično negacijo.

1.2 Množice

Recimo, da pojem množice dobro obvladamo. Ponovimo le nekatere stvari,na katere se bomo še sklicevali in se domenimo za simbole.

8 POGLAVJE 1. UVOD

Množica je določena s svojimi elementi (člani). To pomeni, da je množicaA dobro definirana, če za vsako reč x velja natanko ena od naslednjih dvehmožnosti

• x je element množice A, kar zapišemo s simboli takolex ∈ A ,

• x ni element množice A, kar zapišemo takox 6∈ A ,

in dve množici sta enaki, če vsebujeta iste elemente.

Definicija 1.2.1 Naj bosta A in B dani množici. Če za vsak x ∈ A veljax ∈ B, rečemo, da je množica A podmnožica množice B, kar zapišemo

A ⊂ B ali A ⊆ B(ali včasih B ⊃ A oz. B ⊇ A).

Simbol ⊆ je popolnoma nedvoumen, simbol ⊂ pa nekateri matematikiuporabljajo le za prave podmnožice (za njih je torej A ⊂ A napačna trditev).Za nas bosta oba simbola imela enak pomen.

Največkrat bomo množice definirali kot podmnožice tistih elementov x žeznanih množic, ki imajo neko lastnost L(x). Kot primer zapišimo množicopozitivnih realnih števil takole:

R+ = {x ∈ R; x > 0} .

Prazna množica ∅, to je množica brez elementov, je podmnožica vsakemnožice. Vsaka množica A je tudi sama svoja podmnožica (A ⊆ A). Množici∅ in A sta nepravi podmnožici množice A, vse druge njene podmnožice paimenujemo prave.

Če je A ⊆ B in B ⊆ A, potem sta ti dve množici enaki, A = B. Enakostdveh množic A in B zato lahko pokažemo tako, da pokažemo A ⊆ B inB ⊆ A.

Definicija 1.2.2 Naj bosta A in B dani množici. Množica, katere elementiso natanko vsi elementi množice A in vsi elementi množice B, se imenujeunija množic A in B in jo označimo z A ∪ B. S simboli to lahko zapišemotakole:

x ∈ A ∪B ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) .Množica, katere elementi so vsi elementi, ki so skupni množicama A in B,se imenuje presek množic A in B in se označi z A ∩ B. S simboli to lahkozapišemo takole:

x ∈ A ∩B ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) .

1.2. MNOŽICE 9

Množica, katere elementi so vsi tisti elementi množice A, ki niso elementimnožice B, se imenuje razlika množic A in B in jo označimo z A − B aliA \B.

A \B = {x ∈ A; x 6∈ B}

Za vajo dokažimo trditev.

Trditev 1.2.1 Naj bodo A, B in C poljubne množice. Tedaj velja enakostmnožic

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) .

Dokaz: Naj bo torej x ∈ A ∩ (B ∪ C). Po definicijah preseka in unije topomeni

(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∪ C) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) .Po logični ekvivalenci (1.3) iz razdelka o izjavah pa velja

(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) .Po definicijah preseka in unije pa je zadnja trditev ekvivalentna trditvi

x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C) .Pokazali smo torej

x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C) ,kar pa pomeni, da sta ti množici res enaki.

2

Vaja: Dokažite še naslednjo enakost množic

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) .3

Če množici nimata skupnih elementov, t. j. njun presek je prazen, re-čemo, da sta si tuji ali disjunktni. Za več množic rečemo, da so si paroma tuje,če je presek poljubnih dveh izmed njih prazen.

Včasih bomo izbrali kakšno množico U (za univerzum) in obravnavalinjene podmnožice. Če je A neka podmnožica množice U , imenujemo razlikomnožic U \ A tudi komplement množice A (v U), ki ga označimo s CA aliAC.

Definicija 1.2.3 Naj bosta A in B dani množici. Množici vseh urejenihparov (x, y), kjer je x ∈ A in y ∈ B, rečemo kartezijski produkt množic A inB in jo zaznamujemo s simbolom A×B.

Pozor: če je A 6= B, je A×B 6= B × A.Množica ima lahko končno ali neskončno mnogo elementov. V prvem

primeru rečemo, da je množica končna, v drugem pa, da je neskončna.

10 POGLAVJE 1. UVOD

1.3 Relacije

Navedimo še definicijo relacije. To nam sicer ni tuj pojem, že v osnovni šolismo spoznali nekatere matematične relacije, npr. "večji ali enak", "deljiv z","vzporeden", in podobno. Formalno pa relacijo lahko definiramo takole.

Definicija 1.3.1 Poljubni podmnožici R v A×A rečemo tudi relacija v mno-žici A. Če je (x, y) ∈ R, rečemo, da je element x v relaciji z elementom y,kar včasih označimo tudi z xRy.

Definicija 1.3.2 Relacija R v množici A je

• refleksivna, če velja xRx za vsak x ∈ A;• simetrična, če velja xRy ⇔ yRx;• tranzitivna, če velja xRy ∧ yRz ⇒ xRz;• ekvivalenčna, če je refleksivna, simetrična in tranzitivna.

Primeri:

1. V množici premic v ravnini naj bo relacija R vzporednost, tj. za premicip in q naj velja pRq natanko tedaj, ko sta p in q vzporedni premici. Oči-tno je R refleksivna, simetrična in tranzitivna, torej tudi ekvivalenčnarelacija.

2. Naj bo v množici premic v ravnini relacija P pravokotnost, tj. zapremici p in q naj velja xPy natanko tedaj, ko sta p in q pravokotnipremici. Relacija P ni refleksivna, je simetrična in ni tranzitivna.

3. Naj bo n neko naravno število. V množici Z celih števil naj bo relacija∼n dana tako: a ∼n b ⇔ a− b = kn, kjer je tudi k celo število. Očitnoje tudi ∼n ekvivalenčna relacija.

3

Ekvivalenčna relacija nam razdeli množico na paroma tuje podmnožice,ki jim rečemo ekvivalenčni razredi. Ekvivalenčni razred elementa x v množiciA glede na ekvivalenčno relacijo ∼ je

[x]∼ = [x] = {y ∈ A; x ∼ y} .Očitno je res vsak element x v nekem ekvivalenčnem razredu, hitro tudividimo, da so si različni ekvivalenčni razredi res paroma tuji:

z ∈ [x] ∩ [y] ⇒ x ∼ z ∧ z ∼ y ⇒ x ∼ y ⇒ [x] = [y] .Množico ekvivalenčnih razredov v množici A glede na ekvivalenčno relacijo∼ označimo z A/ ∼.

1.4. FUNKCIJE 11

1.4 Funkcije

Definicije 1.4.1 Preslikava (ali funkcija, ali transformacija) f iz množiceA v množico B je predpis, ki vsakemu elementu x ∈ A priredi natanko enelement množice y = f(x) ∈ B. Preslikave bomo pogosto pisali takole:

f : A −→ B ali A f−→ B,njihove učinke na elementih pa takole:

x 7−→ y.Množici A rečemo domena ali definicijsko območje funkcije f , množici B parečemo kodomena funkcije f . Elementom x ∈ A bomo rekli originali (zapreslikavo f), elementom f(x) ∈ B pa njihove slike pri preslikavi f . Tistipodmnožici množice B, ki vsebuje ravno vse slike elementov iz A, rečemozaloga vrednosti preslikave f .

Če je C ⊂ A, rečemo množicif(C) = {b ∈ B; ∃c ∈ C : b = f(c)}

slika (ali f -slika) množice C. Če je D ⊂ B, rečemo množicif−1(D) = {a ∈ A; f(a) ∈ D}

rečemo praslika (ali f -praslika) množice D.

Preslikavi, ki preslika poljubna dva različna elementa v različna elementa,rečemo injektivna preslikava ali injekcija. Preslikavi f : A → B, za ka-tero je zaloga vrednosti kar cela množica B, rečemo surjektivna preslikavaali surjekcija. Preslikavi, ki je injektivna in surjektivna, rečemo bijektivnapreslikava ali bijekcija.

Primeri:

• Najpreprostejša preslikava A → A je gotovo identiteta idA = 1A, kislika takole:

x 7−→ xza vsak x ∈ A.

• Naj bo A ⊆ B. Tedaj obstaja preslikava A → B, a 7→ a, ki ji rečemoinkluzija.

• Naj bo f : A → B neka funkcija in C ⊂ A. Tedaj rečemo preslikavig : C → B, g(x) = f(x) za vsak x ∈ C, restrikcija ali zožitev preslikavef na C in označimo z f |C .

• Naj bo v množici A dana ekvivalenčna relacija ∼. Tedaj obstaja sur-jektivna preslikava

A −→ A/ ∼ , x 7→ [x] .

12 POGLAVJE 1. UVOD

• Naj bo A množica vseh ljudi. Tedaj obstaja funkcija A → A, ki vsa-kemu človeku priredi njegovo mater.

3

Definicija 1.4.1 Poljubni funkciji

A× A −→ Arečemo tudi operacija na množici A.

Najpreprostejši primer take operacije je seštevanje naravnih števil, po-znamo pa tudi množenje naravnih (in drugih) števil. Včasih taki operacijirečemo tudi notranja operacija, da jo razlikujemo od drugačnih operacij. Vsismo se že srečali z množenjem vektorjev s skalarji, ta operacija pa ni notranja.

Nekatere preslikave lahko sestavljamo.

Definicija 1.4.2 Če imamo preslikavi f : A → B in g : B → C, rečemopreslikavi gf = g ◦ f : A → C, ki slika

x 7−→ g(f(x))za vsak x ∈ A, kompozitum preslikav f in g.

Pozor: tudi če je A = B = C, ni rečeno, da je fg = gf .

Primer: Imejmo preslikavi f : R → R, f(x) = x2, in g : R → R, g(x) =x+1. Tedaj je gf : R→ R, gf(x) = x2+1, in fg : R→ R, fg(x) = x2+2x+1.3

Definicija 1.4.3 Če za preslikavo f : A → B obstaja taka preslikava g :B → A, da velja

gf = idA in fg = idB,

rečemo, da je obrnljiva in da je preslikava g inverzna preslikava ali inverz kpreslikavi f in označimo z g = f−1.

Vaja: Dokažite, da je funkcija obrnljiva natanko tedaj, ko je bijektivna. Na-mig: upoštevajte, da je identiteta bijektivna in premislite, v katerem primeruje kompozitum surjektiven in v katerem injektiven.

3

Včasih bomo označili množico vseh funkcij iz množice A v množico B ssimbolom BA.

Če je A končna množica in obstaja neka bijekcija f : A → B, je tudi Bkončna in ima isto število elementov kot A. Zato tudi za neskončne množice

1.4. FUNKCIJE 13

včasih rečemo, da imajo enako mnogo elementov, če obstajajo med njimibijekcije. Nasploh pa bomo v takem primeru za (še posebej za neskončne)množice raje rekli, da so ekvipolentne ali da imajo isto moč. Posebno vlogoima množica N naravnih števil. Za vsako množico, ki ima isto moč kot Nrečemo, da je števno neskončna. Za neskončno množico, ki nima iste močikot N, pa rečemo, da je neštevna.

Imejmo neko množico množic A. Ponavadi bomo v takem primeru zaradilepšega raje rekli, da je A družina množic. Denimo, da obstaja neka množicaJ in neka bijekcija J → A, j 7→ Aj ∈ A. V takem primeru bomo rekli, daje J indeksna množica družine A in da je A indeksirana z množico J . Unijodružine A definiramo takole:

x ∈⋃A =

⋃j∈J

Aj ⇐⇒ ∃k ∈ J : x ∈ Ak .

Presek družine A pa definiramo tako:

x ∈⋂A =

⋂j∈J

Aj ⇐⇒ ∀k ∈ J : x ∈ Ak .

Trditev 1.4.1 Naj bo A = {Ai; i ∈ J} družina podmnožic neke množice M .Tedaj veljata naslednja De Morganova zakona.

⋃i∈J

ACi = (⋂i∈J

Ai)C ,

⋂i∈J

ACi = (⋃i∈J

Ai)C

Dokaz: Vaja! 2

14 POGLAVJE 1. UVOD

Poglavje 2

Števila

Že iz šole kolikor toliko poznamo realna števila. Množico realnih števil bomooznačevali s simbolom R. V tem poglavju bomo ponovili glavne lastnostimnožice R. Tiste lastnosti, ki to množico natanko določajo imenujemo aksi-ome množice R.

2.1 Polje realnih števil

Najprej naštejmo aksiome računskih operacij v R.

A1 V množici R imamo dve temeljni računski operaciji: seštevanje in mno-ženje.Za seštevanje velja:

A2 Asociativnost. Za poljubna realna števila a, b, c velja:

a + (b + c) = (a + b) + c

A3 Komutativnost. Za poljubni realni števili a in b velja:

a + b = b + a

A4 Obstaja nevtralni element 0, to je tak element, da velja za poljubnorealno število

a + 0 = a .

A5 Za poljubni element a ∈ R obstaja tak element x = −a ∈ R, da veljaa + (−a) = 0 .

Množici G skupaj z operacijo, za katero veljajo vse zgoraj naštete la-stnosti, rečemo Abelova grupa. Množica R je torej za seštevanje Abe-lova grupa, označimo jo z (R, +).Za množenje realnih števil (ki ga pišemo s piko, pogosto pa med sim-boli, ne pa med številkami, piko tudi spustimo) tudi veljata zakonaasociativnosti in komutativnosti, to je, za poljubna števila a, b, c ∈ Rvelja

15

16 POGLAVJE 2. ŠTEVILA

A6a(bc) = (ab)c

in

A7ab = ba .

A8 Tudi za množenje obstaja nevtralni element 1 (rečemo mu tudi enota),da velja za poljuben a ∈ R:

1.a = a .

A9 Za vsako realno število a, razen za 0, obstaja tudi inverz y = a−1 zamnoženje, rečemo mu tudi obratna vrednost, da velja

aa−1 = 1 .

A10 Operaciji + in · povezuje zakon distributivnosti: za poljubna realnaštevila a, b, c velja:

(a + b)c = ac + bc.

Vsaki množici z dvema operacijama, za katere veljajo vse zgoraj naštetelastnosti, rečemo komutativni obseg ali polje. Torej je (R, +, ·) polje.Oglejmo si nekaj pomembnih lastnosti polj:

Trditev 2.1.1 V polju lahko krajšamo, t. j.

iz a + c = b + c sledi a = b

in če je c 6= 0,

iz ac = bc sledi a = b.

Dokaz: V prvem primeru v enačbi prištejemo −c na obeh straneh inupoštevamo asociativnost seštevanja, v drugem primeru pa enačbopomnožimo s c−1 na obeh straneh in upoštevamo asociativnostmnoženja.

2

Pravila krajšanja nam omogočajo, da znamo enolično rešiti enačbi

a + x = b in cy = d,

kjer so a, b, c in d dani elementi obsega, c 6= 0, x in y pa sta neznaki.Številu b + (−a) rečemo razlika števil b in a in ga pišemo b− a; številudc−1 pa rečemo kvocient števil d in c in ga pišemo tudi d

c.

Oglejmo si nekaj posledic zgornje trditve. Med drugim smo dolžni opra-vičiti oznaki −a in a−1, če bi namreč inverzi ne bili natanko določeni,takih oznak pravzaprav ne bi smeli uporabiti.

2.2. UREJENOST 17

Trditev 2.1.2 V poljubnem polju velja:

1. inverza sta enolično določena: za poljuben a iz polja obstaja na-tanko določen −a in če je a 6= 0, obstaja tudi natanko en a−1;

2. za poljuben element a je a · 0 = 0;3. če ima polje več kot en sam element, potem je 0 6= 1;4. za poljuben element a v polju je −a = (−1) · a.

Dokaz: Za prvo ugotovitev naj bosta x in y inverza elementa a zaseštevanje, elementa u in v pa inverza elementa a za množenje(slednje ob predpostavki a 6= 0). Iz enakosti

a + x = a + y = 0 , au = av = 1

dobimo x = y in u = v s krajšanjem.Tudi drugo lastnost dobimo s krajšanjem

a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 = 0

za vsak element a iz polja.Za dokaz tretje trditve recimo, pokažimo, da nas predpostavka0 = 1 v polju z neničelnim elementom a pripelje do protislovja.Za a 6= 0 dobimo iz 0 = 1 enakost

a = a.1 = a.0 = 0 ,

to pa je v protislovju z a 6= 0. Torej mora v takem polju biti 0 6= 1.Za četrto lastnost ugotovimo enakosti

(−1) · a + a = (−1) · a + 1 · a = (−1 + 1) · a = 0 · a = 0 .

2

2.2 Urejenost

A11 Realna števila so urejena po velikosti: za poljubni realni števili a in bvelja natanko ena od naslednjih treh možnosti

a > b ali a < b ali a = b.

A12 Iz a < b in b < c sledi a < c.

Številom, ki so večja od 0, rečemo pozitivna števila, številom, ki somanjša od 0, pa rečemo negativna števila.

Urejenost realnih števil je usklajena z računskima operacijama. Zapoljubna realna števila a, b, c velja:

A13a > b ⇒ a + c > b + c


A14a > b, c > 0 ⇒ ac > bc .

Zgornji aksiom nam pove tudi to, da je produkt dveh pozitivnih številpozitivno število.

Trditev 2.2.1 Za realna števila a, b in c velja:

a > b, c < 0 ⇒ ac < bc .

Dokaz: Iz c < 0 dobimo s prištetjem −c na obeh straneh neenakost0 < −c .

Če neenakost a > b množimo z −c, dobimo−ac = a(−c) > b(−c) = −bc.

Potem, ko prištejemo na obeh straneh ac + bc, dobimo želenoneenačbo.

2

Med drugim nam zgornja trditev pove, da je produkt pozitivnega innegativnega števila negativno število. V dokazu pa smo tudi spoznali,da sta si nasprotni števili ‘nasprotno predznačeni’. Recimo to boljnatančno: če je število c pozitivno, je −c negativno in obratno, če je cnegativno število, je −c pozitivno. Naj bo c pozitivno število, tedaj izenakosti 1.c = c in zgornjih premislekov sledi, da je 1 pozitivno število.Zapišimo to ugotovitev bolj formalno.

Trditev 2.2.2 Za poljubno realno število a velja ekvivalenca

a > 0 ⇐⇒ −a < 0 .V R velja 0 < 1.

2

Trditev 2.2.3 Iz 0 < a < b sledi 0 < b−1 < a−1.

Dokaz: Ker velja aa−1 = 1, je poleg a tudi a−1 pozitivno število,podobno velja za b. Iz a < b sledi torej 1 < b/a in 1/b < 1/a.

2

Vaja: Dokažite, da sta si dve realni števili različni natanko tedaj, koje njuna razlika različna od 0.

3

Pokažimo še eno pomembno lastnost realnih števil:

Trditev 2.2.4 Med različnima realnima številoma obstaja vsaj še enorealno število.

2.3. SUPREMUM 19

Dokaz: Iz a > b sledi a + b > 2b in 2a > a + b. Zadnji dve neenačbimnožimo z 1

2, ki je pozitivno število, in dobimo:

a > b ⇒ a > a + b2

> b.

Zaradi te lastnosti rečemo, da je množica R povsod gosta.2

2.3 Supremum

Definicija 2.3.1 Naj bo A neka neprazna množica realnih števil. Čeobstaja tako realno število G, da velja

x ≤ G za vsak x ∈ A,

rečemo, da je število G zgornja meja množice A in da je množica Anavzgor omejena. Če obstaja tako realno število p, da velja

x ≥ p za vsak x ∈ A,

rečemo, da je število p spodnja meja za A in da je A navzdol omejena.Če ima neprazna množica realnih števil zgornjo in spodnjo mejo, re-čemo, da je omejena.

Če je G zgornja meja množice A, je seveda vsako večje število tudizgornja meja za A. Ali pa obstaja najmanjša zgornja meja za A? Vmnožici realnih števil je odgovor pozitiven.

A15 Vsaka neprazna navzgor omejena množica v R ima najmanjšo zgornjo mejo,ki ji pravimo tudi natančna zgornja meja ali supremum.

Za vsak slučaj povejmo definicijo supremuma še bolj eksplicitno. Število sje supremum množice A ⊂ R (to bomo pisali s = sup A), če je s zgornja mejamnožice A in če prav nobeno manjše število od s ni zgornja meja množice A.

Izrek 2.3.1 Vsaka neprazna navzdol omejena množica realnih števil imanajvečjo spodnjo mejo, ki ji rečemo tudi natančna spodnja meja ali infimum.

Dokaz: Naj bo N neprazna navzdol omejena podmnožica v R. Naj bo Mmnožica vseh spodnjih mej množice N . Ker je N navzdol omejena, Mni prazna. Prav gotovo pa je M omejena navzgor, saj je poljuben ele-ment iz N zgornja meja za M . Po zgornjem aksiomu ima M natančnozgornjo mejo s.

Pokažimo, da je tudi s spodnja meja za N . Denimo, da bi obstajal takx ∈ N , da je x < s. Tedaj bi noben r ∈ R z lastnostjo x < r ≤ s ne bil


spodnja meja za N , torej r 6∈ M , to pa je v protislovju s predpostavko,da je s supremum množice M . Torej s je spodnja meja za N .

Pokažimo še, da je s tudi največja spodnja meja za N . Denimo, da bitudi y > s bila spodnja meja za N . To bi pomenilo, da je y ∈ M , topa je spet v protislovju s predpostavko, da je s = sup M zgornja mejaza M . Torej je res sup M = inf N .

2

Primer: Naj bo množica A = {1/n; n ∈ N}. Kaj je v tem primeru sup A inkaj inf A? Precej očitno je, da je sup A = 1. Zaenkrat nam intuicija pove,da je inf A = 0, kmalu pa bomo znali to tudi povsem strogo dokazati.

3

Zaradi eksistence supremumov in infimumov rečemo, da je R poln obseg.

Primer: Naj bo A ⊂ R neka navzgor omejena množica in naj bo c ∈ R.Definirajmo

c + A = {c + a; a ∈ A} , cA = {ca; a ∈ A} .

Dokažimo, da velja sup(c+A) = c+sup A in, če je c > 0, velja tudi sup(cA) =c sup A.

Če je M zgornja meja za A, tj.

M ≥ a , ∀a ∈ A

je zaradi monotonosti seštevanja (aksiom A13) tudi

c + M ≥ c + a , ∀a ∈ A ,

torej je c + M zgornja meja za c + A. Odtod sledi, da je c + sup A zgornjameja za c + A, torej c + sup A ≥ sup(c + A). Pa recimo, da bi veljalo

sup(c + A) < c + sup A .

Tedaj je razlika c + sup A− sup(c + A) = ε > 0. Po definiciji sup A obstajaneki a ∈ A, za katerega velja

a > sup A− ε .

Tedaj zaradi monotonosti velja

sup(c + A) = c + sup A− ε < c + a ≤ c + sup A ,

to pa je v očitnem protislovju s tem, da je sup(c + A) zgornja meja za c + A.

Dokažimo še sup(cA) = c sup A. Če je M zgornja meja za A, je zaradimonotonosti množenja (aksiom A14) in c > 0 tudi cM zgornja meja za cA.

2.4. NARAVNA ŠTEVILA 21

Torej velja c sup A ≥ sup(cA). Pa recimo, da bi veljalo c sup A > sup(cA) inc sup A− sup(cA) = ε > 0. Tedaj obstaja tak a ∈ A, da velja

a > sup A− εc

.

Zaradi c > 0 odtod dobimo

ca > c sup A− ε = sup(cA) ,

kar pa je spet protislovje.

Kaj pa lahko rečemo o sup(cA), če je c < 0? 3

Vaje:

1. Določite supremum in infimum množice {n ∈ N; 3n < 7}.2. Naj bosta A in B neprazni navzgor omejeni množici realnih števil, za

kateri velja A ⊂ B. Dokažite, da velja sup A ≤ sup B.3. Naj bo a ∈ A zgornja meja množice A. Dokažite, da je a = sup A.4. Ali velja:

(a) če je a ≤ M za vsak a ∈ A 6= ∅, je sup A ≤ M ;(b) če je a < M za vsak a ∈ A 6= ∅, je sup A < M ;(c) če sta A in B taki neprazni omejeni množici v R, da velja a ≤ b

za poljubna a ∈ A in b ∈ B, velja sup A ≤ sup B;(d) če sta A in B taki neprazni omejeni množici v R, da velja a < b

za poljubna a ∈ A in b ∈ B, velja sup A < sup B;(e) za poljubni neprazni navzgor omejeni množici velja sup(A+B) =

sup A + sup B;

(f) če je sup A < sup B, obstaja neki element b ∈ B, ki je zgornjameja množice A;

(g) če je sup A ≤ sup B, obstaja neki element b ∈ B, ki je zgornjameja množice A.

2.4 Naravna števila

Oglejmo si še nekaj posebnih podmnožic v R. S seštevanjem enote dobimonaravna števila:

11 + 1 = 21 + 1 + 1 = 3· · ·

Množico naravnih števil bomo označili z N.


Zelo pomembna je naslednja lastnost naravnih števil.

Popolna indukcija. Če je M taka množica naravnih števil, da velja

1 ∈ M in n ∈ M ⇒ n + 1 ∈ M,

potem je M = N.

Primeri:

1. Dokažimo, da za vsako naravno število n velja neenakost 2n > n. Zan = 1 ta neenakost očitno velja. Iz 2n > n pa sledi

2n+1 = 2 · 2n > 2n = n + n ≥ n + 1

za poljubno število n.

2. Dokažimo, da za vsako realno število x > −1, x 6= 0, in za vsakonaravno število n, večje od 1, velja Bernoullijeva neenakost

(1 + x)n > 1 + nx .

Za n = 2 neenakost velja, saj je

(1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x .

Ugotoviti moramo še, da velja neenakost tudi za n = k + 1, če velja zan = k. Naj bo torej

(1 + x)k > 1 + kx .

Pomnožimo to neenačbo z 1 + x > 0. Dobimo

(1 + x)k+1 > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 >

> 1 + (k + 1)x .

S popolno indukcijo smo Bernoullijevo neenakost res dokazali.

3. Definirajmo si še nekaj simbolov. Za naravno število n naj bo

n! = 1 · 2 · 3 · · · (n− 1)n ,

posebej pa definiramo še 0! = 1. Za nenegativni celi števili n in k,n ≥ k, definiramo binomski simbol

(n

k

)=

n!

(n− k)!k! =(n− k + 1) · · · (n− 1)n

k!.

Dokažimo, da za vsako naravno število n in poljubni realni števili a inb velja

(a+b)n =

(n

0

)an+

(n

1

)an−1b+

(n

2

)an−2b2+· · ·+

(n

n

)bn =

k=n∑

k=0

(n

k

)an−kbk .


Tej trditvi se reče tudi binomski izrek. Brez težav ugotovimo, da tatrditev velja za n = 1 za poljubni števili a in b.

Preden se lotimo indukcijskega koraka, naredimo še naslednji pomožniračun za n ≥ k ≥ 0.(

n

k

)+

(n

k + 1

)=

(n− k + 1) · · · (n− 1)nk!

+(n− k)(n− k + 1) · · · (n− 1)n

(k + 1)!

=(n− k + 1) · · · (n− 1)n

k!

(1 +

n− kk + 1

)

=(n− k + 1) · · · (n− 1)n(n + 1)

(k + 1)!

=

(n + 1

k + 1

)

Predpostavimo, da velja trditev binomskega izreka za naravno številon in jo dokažimo še za n + 1.

(a + b)n+1 = (a + b)n(a + b)

=

[(n

0

)an +

(n

1

)an−1b + · · ·+

(n

n− 1)

abn−1 +(

n

n

)bn

](a + b)

=

(n

0

)an+1 +

[(n

0

)+

(n

1

)]anb + · · ·+

[(n

k

)+

(n

k + 1

)]an−kbk+1 +

+ · · ·+[(

n

n− 1)

+

(n

n

)]abn +

(n

n

)bn+1

=

(n + 1

0

)an+1 +

(n + 1

1

)anb + · · ·+

(n + 1

k + 1

)an−kbk+1 + · · ·+

+

(n + 1

n

)abn +

(n + 1

n + 1

)bn+1

3

Naslednjemu izreku rečemo tudi Arhimedov izrek.

Izrek 2.4.1 Za vsako realno število r obstaja tako naravno število n, da jer < n.

Dokaz: Recimo, da izrek ne velja. To pomeni, da je množica

M = {x ∈ R;∃n ∈ N : x < n}v R navzgor omejena. Ker velja N ⊂ M , množica M tudi ni prazna.Po aksiomu torej obstaja natančna zgornja meja sup M ∈ R. To papomeni, da je realno število sup M − 1/2 manjše od nekega elementaM (in je po definiciji M tudi samo v M) in velja

sup M − 1/2 < n ≤ sup M < sup M + 1/2 < n + 1 .


To pa je v protislovju s predpostavko, da je sup M natančna zgornjameja za M .

2

Posledica 2.4.1 Za poljubno pozitivno realno število ε obstaja tako naravnoštevilo n, da za vsako večje naravno število m velja

1

m< ε .

Dokaz: Naj bo ε > 0. Tedaj po Arhimedovem izreku obstaja tako naravnoštevilo n, da je 1/ε < n in zato za vsak tak m ∈ N, da je n < m veljatudi 1/ε < m odtod pa sledi ε > 1/m.

2

Primer: Naj bo množica A = {1/n; n ∈ N}. Ugotovili smo že, da je sup A =1, da je inf A = 0, pa še nismo znali dokazati. Pokažimo to zdaj, ko žepoznamo Arhimedov izrek. Ker so vsi elementi v A pozitivna števila, jeočitno inf A ≥ 0. Po zgornji posledici Arhimedovega izreka pa inf A ne morebiti pozitivno število, torej inf A = 0.

3

Vaja: Določite supremum in infimum množic A = {n/(3n − 4); n ∈ N},B = {n/(m + n); m,n ∈ N} in C = {m/n; m,n ∈ N,m + n < 10}.

Za računanje pa naravna števila niso tako pripravna, v splošnem jih nemoremo odštevati. Če pa vsem naravnim številom dodamo še vsa njihovanasprotna števila in število 0, dobimo cela števila. Množico celih števil bomooznačili z Z. Ta množica ni obseg, je pa kolobar. Kolobar se loči od obsegapo tem, da v njem ne zahtevamo obstoja inverzov za množenje.

Prej smo omenili, da je množica R povsod gosta, t.j. da med poljubnimarealnima številoma obstaja vsaj še eno. To pa ne velja ne za N ne za Z. Medcelima številoma a in a + 1 ni nobenega, ki bi bil v Z.

V Z sicer že lahko odštevamo, ne moremo pa še deliti. Če k Z dodamo ševse obrate neničelnih celih števil in vse produkte celih števil in recipročnihvrednosti, dobimo ulomke ali racionalna števila. Množico racionalnih številzaznamujemo s Q, ta množica je za seštevanje in množenje že obseg.

Za razliko od R pa Q ni poln obseg.

Primer: Naj bo množica

A = {r ∈ Q; r2 < 2}

množica vseh tistih ulomkov, katerih kvadrati so manjši od 2. Naj bosta xin y poljubni pozitivni realni števili. Če neenakost x > y pomnožimo enkrat


z x in drugič z y, dobimo x2 > xy > y2. Če pa zadnji dve neenakosti delimoz x oziroma y, dobimo spet x > y. Velja torej naslednja ekvivalenca.

x > y ⇐⇒ x2 > y2 (2.1)Z drugimi besedami: na množici pozitivnih realnih števil je kvadratna funk-cija strogo naraščajoča. Odtod sledi, da je množica A navzgor omejena, vsinjeni elementi morajo biti očitno manjši od 2. Seveda je A tudi neprazna,saj vsebuje vsaj število 1. Torej obstaja v R število s = sup A.

Pokažimo, da je s2 = 2. Vemo, da je 2 > s > 1. Za vsako naravno številon velja tudi (1/n)2 ≤ 1 < 2 in zato 1/n < s. Odtod, skupaj z (2.1) dobimoneenakosti

(s− 1

n

)2≤ 2 ≤

(s +

1

n

)2

s2 − 2 sn

+1

n2≤ 2 ≤ s2 + 2 s

n+

1

n2

s2 − 2sn

< 2 < s2 +3s

n.

Zadnjo neenakost smo dobili s pomočjo neenakosti 1/n2 < s/n. Odtod padobimo

s2 − 22s

<1

nin − 1

n<

s2 − 23s

.

Iz Posledice (2.4.1) sledi, da je

s2 − 22s

≤ 0 ≤ s2 − 23s

,

ker pa je s > 0, je to mogoče le, če je s2 = 2.

Zdaj pa pokažimo, da s ni racionalno število. To bo hkrati pokazalo, daza razliko od polja R za polje Q ne velja aksiom o eksistenci supremuma zavsako navzgor omejeno neprazno podmnožico.

Recimo, da je s = ab, kjer je a

bokrajšani ulomek.

a2

b2= 2 ⇒ a2 = 2b2

Torej je a sodo število a = 2c.

a2 = 4c2 = 2b2 ⇒ 2c2 = b2

Torej je tudi b sodo število. To pa je v nasprotju s predpostavko, da jeulomek a

bže okrajšan. Tako smo pokazali, da ni takega racionalnega števila,

katerega kvadrat je enak 2.

Odtod sledi, da obstajajo realna števila, ki niso racionalna. Rečemo jimiracionalna števila. Izkaže se, da je iracionalnih števil več kot racionalnih:medtem ko obstaja bijekcija iz N v Q, pa ne obstaja nobena bijekcija iz N vR.

3


2.5 Številska premica, intervali, okolice

Če narišemo premico, se odločimo za izhodišče (točko 0) in enoto (točko 1),imamo med točkami na premici in realnimi števili točno določeno bijektivnokorespondenco: za vsako realno število obstaja natanko ena točka na premiciin za vsako točko na premici natanko eno realno število. Pri tem za številia < b velja, da je točka, ki ustreza številu a, levo od točke, ki ustreza številub (če smo 1 postavili desno od 0, sicer pa velja ravno obratno).

V tej luči bomo pogosto na množico realnih števil R gledali tudi z geome-trijskimi očmi. V takem primeru bomo včasih govorili o prostoru R, namestorealno število pa bomo včasih rekli tudi točka v R.

q0

q1

q−3

4

q√2

Slika 2.1: Številska premica

Definicija 2.5.1 Poljubnemu realnemu številu x priredimo njegovo absolutno vrednost|x| ∈ R s predpisom

|x| ={

x če je x ≥ 0−x če je x < 0 .

Absolutna vrednost ima tudi geometrijski pomen: |x| je razdalja točke xdo točke 0 na številski premici; |b − a| pa razdalja med točkama a in b naštevilski premici.

Oglejmo si nekaj lastnosti absolutne vrednosti.

Trditev 2.5.1 Za poljubni realni števili a in b velja

1. trikotniška neenakost|a + b| ≤ |a|+ |b|

2.|a + b| ≥ |a| − |b|

3.|ab| = |a||b|

4. ∣∣∣ab

∣∣∣ = |a||b| , b 6= 0.

Dokaz: Iz definicije vidimo, da veljata za vsak a ∈ R neenakosti

a ≤ |a| in − a ≤ |a| .

2.5. ŠTEVILSKA PREMICA, INTERVALI, OKOLICE 27

V primeru, da je a + b ≥ 0, dobimo trikotniško neenakost kot vsototakih neenakosti (tj. kot zgoraj levo) za a in b:

|a + b| = a + b ≤ |a|+ |b| .V primeru, da je a + b < 0 pa iz podobne vsote neenakosti kot zgorajdesno:

|a + b| = −(a + b) ≤ |a|+ |b| .V trikotniški neenakosti enačaj velja, če sta števili istega znaka ali paje vsaj eno enako 0. Sicer velja neenačaj.

Za drugo neenakost si oglejmo naslednji račun.

|a| = |(a + b) + (−b)| ≤ |a + b|+ | − b| = |a + b|+ |b|Odtod pa sledi

|a + b| ≥ |a| − |b|Ostali trditvi preverimo za vse možne primere predznakov a in b.

2

Z indukcijo brez težav dokažemo, da nasploh velja za poljubna realnaštevila a1, a2, . . . , an velja

|a1 + a2 + . . . + an| ≤ |a1|+ |a2|+ . . . + |an||a1a2 . . . an| = |a1||a2| . . . |an|.

Naj bosta a in b poljubni taki realni števili, da velja a < b. Tedaj imenu-jemo množico

[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}zaprti interval od a do b, množico

(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}pa odprti interval od a do b. Množici

[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b} in (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}pa imenujemo polodprta intervala. V vseh štirih primerih rečemo številub zgornje, številu a pa spodnje krajišče intervala. Številu b − a pa rečemodolžina intervala. Včasih rečemo tudi množici {a} zaprti interval [a, a], takinterval ima seveda dolžino 0, odprti interval pa ima vedno pozitivno dolžino.

Ker smo vzeli za a in b realni števili, so zgornji štirje intervali končni aliomejeni intervali.

Obstajajo pa tudi neskončni ali neomejeni intervali. To so množice

[a,∞) = {x ∈ R; x ≥ a} (−∞, b] = {x ∈ R; x ≤ b}

(a,∞) = {x ∈ R; x > a} (−∞, b) = {x ∈ R; x < b}

(−∞,∞) = R ,


kjer sta a in b poljubni realni števili. Včasih se piše v teh intervalih name-sto ∞ tudi → in namesto −∞ tudi ←. Tudi intervalom oblike [a,∞) ali(−∞, b] bomo rekli zaprti intervali, intervalom oblike (a,∞) ali (−∞, b) paodprti intervali.

Vaja: Dokažite, da je vsaka množica I, za katero velja implikacija

(a < c < b) ∧ (a, b ∈ I) =⇒ c ∈ Ineki interval. 3

Definicija 2.5.2 Naj bo neko ε pozitivno realno število in a ∈ R. Tedajintervalu (a− ε, a + ε), v katerem so natanko tiste točke x, za katere velja

|a− x| < ε ,tj. tiste točke x, ki so od a oddaljene za manj kot ε, rečemo tudi ε-okolicatočke a.

Definicija 2.5.3 Naj bo x ∈ R, A ⊂ R in naj obstaja tak ε > 0, da velja(x− ε, x + ε) ⊂ A .

Tedaj rečemo, da je množica A okolica točke x.

Vsaka točka x odprtega intervala (a, b) ima pozitivno razdaljo do obehkrajišč tega intervala. Če definiramo

ε = min{|a− x|, |b− x|} ,interval (a, b) vsebuje ε-okolico točke x. To pomeni, da je vsak odprti intervalokolica vsake svoje točke. Očitno pa zaprti interval ni okolica svojih krajišč.

Pri tem velja opozoriti, da okolica tu ne pomeni, da je ta množica blizutočke, ampak, da jo nekako ‘na debelo obkoli’ z obeh strani. Očitno veljatudi naslednja lastnost: če je A okolica točke x, je tudi vsaka množica B, zakatero velja A ⊂ B, okolica točke x.

Protiprimer: Množica U = R \ {1/n; n ∈ N} ni okolica točke 0 v R, saj nevsebuje prav nobenega odprtega intervala okoli točke 0.

3

Dokažimo še naslednjo pomembno posledico polnosti polja R.

Izrek 2.5.1 (Lastnost vloženih intervalov) Za vsak n ∈ N naj bo In =[an, bn] zaprti interval in naj bodo ti intervali vloženi eden v drugega, tj. velja

I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · .Tedaj presek te družine intervalov ni prazen, tj.

⋂∞n=1 In 6= ∅.

2.5. ŠTEVILSKA PREMICA, INTERVALI, OKOLICE 29

Dokaz: Oglejmo si množico

A = {an; n ∈ N}

levih krajišč intervalov. Ker so intervali {In} vloženi eden v drugega,je b1 zgornja meja za vsak In in s tem tudi za A. Torej obstaja s =sup A ∈ R. Ker je s zgornja meja za A, velja an ≤ s.Zaradi vloženosti intervalov pa velja pa tudi am ≤ an ≤ bn ≤ bm zan > m. Torej je celo vsak bn zgornja meja za A in zato tudi s ≤ bn zavsak n ∈ N.Torej smo pokazali, da velja

an ≤ s ≤ bn ∀n ∈ N ,

to pa pomeni s ∈ ⋂∞n=1 In.2

Primeri:

1. Družina vloženih zaprtih intervalov

In = [−1/n, 1/n] , n ∈ N

zadošča vsem pogojem izreka, zato ima neprazen presek. Brez težavese prepričamo, da je presek te družine intervalov množica {0}.

2. Družina vloženih odprtih intervalov

In = (−1/n, 1/n) , n ∈ N

sicer ni taka, kot jo omenja izrek, a ima kljub temu neprazni presek –množico {0}.

3. Družina vloženih zaprtih intervalov

In = [n,∞)

ni taka, kot jo zahteva izrek in iz Arhimedovega izreka takoj sledi, daje presek te družine prazen.

3

Vaja: Poiščite neskončno množico vloženih odprtih intervalov, katerih presekje prazen. 3


2.6 Gostost Q v R

Naslednja trditev nam pove, da je v vsaki okolici vsakega realnega številatudi neko racionalno število. Zato rečemo, da je množica Q gosta v R.

Izrek 2.6.1 Vsak odprti interval vsebuje kako racionalno število.

Dokaz: Imejmo interval (a, b). Najprej privzemimo, da je 0 ≤ a < b. Najbo n tako naravno število, da velja

1

n< b− a . (2.2)

Ideja dokaza je v tem, da gremo iz točke 0 s koraki velikosti 1/n vpozitivni smeri. Zaradi zgornje lastnosti s takimi koraki ne moremopreskočiti intervala (a, b).

Naj bo m tako naravno število, da velja

m− 1 ≤ na < m .

Iz druge neenakosti takoj sledi, da je

a <m

n.

Oglejmo si še prvo neenakost m−1 ≤ na. Iz 2.2 sledi, da je a < b−1/nin tako dobimo

m ≤ na + 1 < n(b− 1/n) + 1 = nb ,

torejm

n< b

in smo pokazali, da je m/n ∈ (a, b).V primeru, da velja a < b ≤ 0, z zgornjim dokazom dobimo za številic = −b in d = −a racionalno število q, da je c < q < d. Tedaj zaracionalno število −q velja −q ∈ (a, b).Če pa velja a < 0 < b, pa je ima racionalno število 0 iskano lastnost.

2

Tudi iracionalna števila so gosta v R.

Trditev 2.6.1 Vsak odprti interval vsebuje kako iracionalno število.

Dokaz: Najprej pokažimo, da je vsota racionalnega in iracionalnega številairacionalno število. Pa denimo, da ne bi bilo tako, tj. da imamo racio-nalni števili p in q in iracionalno število z, da velja p + z = q. V temprimeru velja z = q + (−p), to pa ni mogoče, saj je Q polje in je zatotudi p + (−q) v Q.

2.7. DECIMALNI ZAPIS 31

Po izreku 2.6.1 obstaja racionalno število q, da velja

a−√

2 < q < b−√

2 .

Tedaj pa velja tudia < q +

√2 < b .

Po zgornjem premisleku je q +√

2 iracionalno število.

2

Primer: Množica točk

A = {(−1)n

n; n ∈ N}

ni okolica točke 0, saj so v vsaki ε-okolici, ε > 0, točke 0 tudi iracionalnaštevila, torej taka, ki niso elementi množice A. 3

2.7 Decimalni zapis

Realna števila je mogoče izraziti v decimalni obliki:

Naj bo x poljubno pozitivno realno število. Če je x celo število, smo znjim zadovoljni, saj je že v decimalni obliki . Če pa x ni celo število, obstajatako (nenegativno) celo število C, da velja

C < x < C + 1.

Zdaj si pogledamo števila oblike C + n10

za n ∈ {0, . . . , 9}. Če je x enakenemu izmed njih, recimo številu C + c1

10, je decimalni zapis za x kar C, c1.

Sicer pa obstaja tak c1 ∈ {0, . . . , 9}, da velja

C +c110

< x < C +c1 + 1

10,

ali drugače zapisano

C, c1 < x < C, c1 +1

10.

Zdaj si pogledamo števila oblike C, c1 + n100 za n ∈ {0, . . . , 9}. Če je x enakkateremu izmed teh števil, smo končali, sicer pa je eno izmed teh števil,označimo ga z C, c1 + c2100 tako, da velja

C, c1c2 < x < C, c1c2 +1

100.

Ta postopek nadaljujemo, včasih se ustavi, včasih pa ne. Na ta način prire-dimo številu x natanko določen končen ali pa neskončen decimalni zapis

x = C, c1c2c3 . . .


in dve različni števili imata različna decimalna zapisa. Tudi vsakemu deci-malnemu zapisu pripada natanko določeno realno število. Dvema različnimadecimalnima zapisoma pripadata različni realni števili, le zapisoma oblike

C, c1 . . . cn9999 . . . in C, c1 . . . (cn + n + 1)

pripada isto realno (pravzaprav celo racionalno) število. Izkaže se, da ulom-kom pripadajo ali končni decimalni zapisi ali pa neskončni in od nekje naprejperiodični decimalni zapisi. Iracionalna števila so pa ravno tista, ki imajoneskončne in neperiodične decimalne zapise.

Kaj pa, če je x negativno realno število? V tem primeru je −x pozitivno,njegov zapis dobimo po gornjem postopku in velja

x = −C, c1c2 . . . .

Primer: Določimo nekaj decimalk za iracionalno število√

2. Ker je 12 = 1in 22 = 4, je

1 <√

2 < 2 .

S poskušanjem ugotovimo, da je 1, 42 = 1, 96 in 1, 52 = 2, 25. Torej

1, 4 <√

2 < 1, 5 .

Ker je 1, 412 = 1, 9881 in 1, 422 = 2, 0164, je

1, 41 <√

2 < 1, 42

in tako naprej brez konca in kraja.3

2.8 Kompleksna števila

V realnih številih ne moremo rešiti nekaterih enačb, na primer:

x2 = −1 .

Podobno kot smo naravnim številom dodali negativna števila ali pa celim šte-vilom ulomke, lahko formalno dodamo množici R neki element i za katereganaj velja i2 = −1 in dopolnimo množico R∪{i} do polja, ki ga označimo s Cin mu rečemo polje kompleksnih števil. Izkaže se, da v tako dobljeni množicini rešljiva le zgornja enačba, ampak kar vse polinomske enačbe.

Da bo C polje, mora gotovo vsebovati vse produkte ai, kjer je a poljubnorealno število in tudi vse vsote a + bi, kjer sta a in b poljubni realni števili.Pokažimo, da je to že dovolj, t. j. da je

C = {a + bi; a, b ∈ R}

polje.

2.8. KOMPLEKSNA ŠTEVILA 33

Seštevamo kar takole:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .

Množimo pa tako:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac− bd) + (ad + bc)i .

Z drugimi besedami, s kompleksnimi števili računamo tako kot z binomi, leda upoštevamo, da je

i2 = −1 i3 = −i i4 = 1 .

Preverimo, da veljajo

• asociativnost: za poljubna kompleksna števila a+ bi, c+di, e+ fi velja

(a + bi) + ((c + di) + (e + fi)) = (a + c + e) + (b + d + f)i

= ((a + bi) + (c + di)) + (e + fi)

(a + bi)((c + di)(e + fi)) = (ace− adf − bcf − bde) + (acf + ade + bce− bdf)i

= ((a + bi)(c + di))(e + fi)

• komutativnost: za poljubni kompleksni števili a + bi, c + di velja

(a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi)

(a + bi)(c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i = (c + di)(a + bi)

• distributivnost: za poljubna kompleksna števila a + bi, c + di, e + fivelja

(a + bi)((c + di) + (e + fi)) = a(c + e)− b(d + f) + (a(d + f) + b(d + f))i

= (a + bi)(c + di) + (a + bi)(e + fi) .

Nevtralna elementa sta 0+0i in 1+0i. Elementu a+ bi je nasprotni elementkar −a − bi. Pokažimo, da ima vsako neničelno število a + bi tudi svojeobratno število:

(a + bi)(a− bi) = (a2 + b2) + 0i ,zato

(a + bi)−1 =a− bia2 + b2

.


Definicija 2.8.1 Za kompleksno število z = a + bi rečemo, da je a nje-gova realna komponenta, b pa njegova imaginarna komponenta. Za številoz = a − bi rečemo, da je konjugirano številu z. Številu 1 + 0i rečemo tudirealna enota, številu 1.i = i pa včasih rečemo imaginarna enota.

Tu moramo opozoriti na različni pomen pojma enote. Število 1 je enotaza množenje v C, hkrati številu 1 ustrezna točka na realni osi kompleksne rav-nine ponazarja enoto dolžine; podobno točka, ki ustreza številu i ponazarjaenoto dolžine, zato ima izraz imaginarna enota smisel, nikakor pa število i nienota za množenjev C.

Ker s kompleksnimi števili, katerih imaginarna komponenta je 0, raču-namo prav tako kot z realnimi števili, si lahko mislimo, da je množica realnihštevil kar množica kompleksnih števil z imaginarno komponento 0. Podobnorečemo, da so naravna števila podmnožica celih števil, ta podmnožica ulom-kov in ta spet podmnožica realnih števil.

Naštejmo nekaj očitnih lasnosti konjugacije elementa z = a + bi:

1. ¯̄z = z

2. z̄ = z ⇔ z ∈ R

3. z + z̄ = 2a ∈ R

4. z − z̄ = 2bi ∈ iR

5. zz̄ = a2 + b2 ≥ 0 in zz̄ = 0 ⇔ z = 0

6. Re(z) = a = z+z̄2

in Im(z) = b = z−z̄2i

7. za poljubna z1, z2 ∈ C velja z1 + z2 = z̄1 + z̄2

8. za poljubna z1, z2 ∈ C velja z1z2 = z̄1z̄2

9. za poljubna z1, z2 ∈ C, z2 6= 0, veljaz1z2

=z1z̄2z2z̄2

in(z1z2

) =z̄1z̄2

Trditev 2.8.1 Če ima polinomska enačba z realnimi koeficienti

a0 + a1x + · · ·+ anxn = 0

kompleksno rešitev z, je tudi njena konjugirana vrednost z̄ rešitev iste enačbe.


Dokaz: Če veljaa0 + a1z + · · ·+ anzn = 0 ,

velja ta enakost tudi, če obe strani konjugiramo. V tem primeru padobimo

a0 + a1z̄ + · · ·+ anz̄n = 0 ,to pa pomeni, da je tudi z̄ rešitev naše enačbe.

2

Kvadratni koren iz produkta konjugirano kompleksnih števil√

zz̄ =√

(a + bi)(a− bi) =√

a2 + b2

imenujemo absolutna vrednost kompleksnega števila z = a + bi (in sevedatudi z̄ = a − bi). Brez težav se prepričamo, da tudi za kompleksna številaz1, z2, . . . , zn veljajo naslednje relacije:

Trditev 2.8.2 za poljubna kompleksna števila z1, . . . , zn velja:

|z1 + z2 + . . . + zn| ≤ |z1|+ |z2|+ . . . + |zn||z1z2 . . . zn| = |z1||z2| . . . |zn|

in za poljubni kompleksni števili z1 in z2 6= 0 velja∣∣∣∣z1z2

∣∣∣∣ =|z1||z2| .

Dokaz: Najprej se prepričamo, da za z = a + bi velja

z + z̄ = 2a ≤ 2√

a2 + b2 = 2|z| ,

kar bomo uporabili v dokazu za vsoto za z = z1z̄2.

Dokažimo prvo neenakost za dve števili z1 in z2:

|z1 + z2| =√

(z1 + z2)(z1 + z2) =√

(z1 + z2)(z̄1 + z̄2)

=√

z1z̄1 + (z1z̄2 + z2z̄1) + z2z̄2

≤√|z1|2 + 2|z1||z2|+ |z2|2 =

√(|z1|+ |z2|)2

= |z1|+ |z2|

Da taka neenakost velja za poljubna števila z1,. . . , zn, lahko dokažemos popolno indukcijo za vajo.

Za produkt je dokaz še lažji:

|z1z2| =√

(z1z2)(z1z2) =√

(z1z̄1)(z2z̄2) = |z1||z2|

2


Definicija 2.8.2 Za množico M ⊂ C rečemo, da je omejena, če je množica

{|z|; z ∈ M}

omejena v R.

Podobno kot v R definiramo okolice tudi v C.

Definicija 2.8.3 Naj bo ε > 0 in a ∈ C. Tedaj množici

{z ∈ C; |a− z| < ε}

rečemo ε-okolica točke a. Za poljubno množico V ⊂ C, ki vsebuje vsaj enoε-okolico točke a, pa rečemo, da je okolica točke a.

Realna števila smo upodobili na številski premici. Ker pa je vsako kom-pleksno število določeno z dvema realnima številoma (z realno in imaginarnokomponento), nas ne preseneča dejstvo, da množica C ustreza ravno točkamv ravnini.

Slika 2.2: Kompleksna ravnina

Na ravnini izberemo neko premico, imenujmo jo kar R, saj bo predsta-vljala realno os, na njej izberemo izhodišče 0 in enoto 1; v točki 0 narišemopravokotnico na R, to bo naša imaginarna os. Na njej odmerimo enoto itako, da bo najkrajši premik od 1 do i v smeri nasprotni urnemu kazalcu.Tako kot vsakemu realnemu številu a ustreza natanko ena točka na realniosi, tudi vsakemu številu bi ustreza neka neka točka na imaginarni osi. Inkot vsaki točki na realni osi ustreza neko realno število, tudi vsaki točki naimaginarni osi ustreza neko število bi. In katera točka ustreza številu a + bi?To točko dobimo tako, da v točki a na realni osi potegnemo vzporednicoimaginarni osi in skozi točko bi potegnemo vzporednico realni osi. Kjer se tidve vzporednici sekata, tam je točka, ki ustreza številu a + bi. Z obratnimpostopkom vidimo, da tudi vsaki točki na ravnini ustreza natanko določenokompleksno število.


Ravnina z izbrano realno in imaginarno osjo in enotama na njih se imenujekompleksna ravnina. Sliki konjugiranih kompleksnih števil sta simetričniglede na realno os. Absolutna vrednost števila pa pomeni razdaljo njegoveslike od izhodišča, včasih jo označimo z r. Kot, ki ga s pozitivno smerjo realneosi oklepa usmerjena daljica od 0 do slike danega kompleksnega števila A seimenuje argument kompleksnega števila in ga včasih označimo z φ. S slikeneposredno razberemo, da je a = r cos φ in b = r sin φ; zato je

A = a + bi = r(cos φ + i sin φ) .

To je trigonometrijski zapis kompleksnega števila.

Množica vseh točk v kompleksni ravnini, katerih absolutna vrednost jemanjša od r je tedaj krog s središčem v 0 in polmerom r. ε-okolica točke 0 jetorej kar krog s središčem v 0 in polmerom ε. Množica M ⊂ C pa je omejenanatanko tedaj, ko je vsebovana v nekem krogu s središčem v 0.

Kako izgleda seštevanje dveh kompleksnih števil na komplekni ravnini?Seštevata se njuni koordinati.

Slika 2.3: Seštevanje kompleksnih števil

Odtod vidimo še tole pomembno dejstvo. Medtem ko je ε-okolica točkev R interval dolžine 2ε, je ε-okolica točke v C krog s polmerom ε okrog tetočke.

Poglejmo si zdaj, kako si predočimo množenje. Imejmo kompleksni številiA1 in A2, ki imata absolutno vrednost 1, tako da je

A1 = cos ϕ1 + i sin ϕ1 in A2 = cos ϕ2 + i sin ϕ2 .

Potem je

A1A2 = (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2)

+ i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2) .


Ker je po adicijskem izreku za kotne funkcije

cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 = cos(ϕ1 + ϕ2)

sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 = sin(ϕ1 + ϕ2) ,

dobimoA1A2 = cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2) .

Produkt dveh kompleksnih števil z enotske krožnice je tisto število na enotskikrožnici, katerega argument je vsota argumentov faktorjev.

Slika 2.4: Množenje kompleksnih števil

Poglejmo še splošni primer.

B1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) in B2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2)

Pri množenju dobimo torej

B1B2 = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)) .

Tako smo dognali, da se pri množenju kompleksnih števil absolutni vredno-sti množijo, argumenti pa seštevajo. Brez težav ugotovimo tudi to, da prideljenju absolutni vrednosti delimo, argumenta pa odštejemo. V posebnemprimeru, ko je A1 = A2, število na enotski krožnici, dobimo

A2 = cos 2ϕ + i sin 2ϕ .

S popolno indukcijo dokažimo, da velja celo

An = cos nϕ + i sin nϕ ,

zapišimo to kot izrek.

Izrek 2.8.1 (Moivrova formula)

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ .


Dokaz: Najprej velja ta formula za n = 2. Recimo, da velja za n, tedajdobimo

(cos ϕ + i sin ϕ)n+1 = (cos ϕ + i sin ϕ)n(cos ϕ + i sin ϕ) =

= (cos nϕ + i sin nϕ)(cos ϕ + i sin ϕ) =

= cos(n + 1)ϕ + i sin(n + 1)ϕ .

To pa je ravno Moivrova formula za n + 1 in dokaz je končan.

2

Pobliže si poglejmo še korenjenje kompleksnih števil. Za vsako komple-ksno število

A = r(cos ϕ + i sin ϕ)

je gotovo številoB0 =

n√

r(cosϕ

n+ i sin

ϕ

n)

njegov n-ti koren. Ni pa to edini n-ti koren, če je k poljubno celo število, jetudi število

Bk =n√

r(cosϕ + 2kπ

n+ i sin

ϕ + 2kπ

n)

n-ti koren števila A. Hitro lahko ugotovimo, da je ravno n različnih n-tihkorenov števila A, na primer števila Bk za k = 0, 1, . . . , n− 1. V kompleksniravnini ležijo števila B0, . . . , Bn−1 na krožnici s središčem 0 in polmerom n

√r

v taki legi, da tvorijo oglišča pravilnega n-kotnika.

Primer: Rešimo enačbox3 = 3− 3i .

Število z = 3− 3i zapišimo v polarnem zapisu

3− 3i =√

18(1√2− 1√

2i) =

√18(cos(−π/4) + i sin(−π/4) .

Ena rešitev je gotovo

x1 =6√

18(cos(−π/12) + i sin(−π/12)) ,

saj je njena absolutna vrednost ravno tretji koren števila |z|, argument paravno tretjina argumenta od z.

Denimo, da za število ² velja ²3 = 1 (takemu ² rečemo tudi tretji korenenote), tedaj tudi za x1² velja

(x1²)3 = x31²

3 = z.1 = z

in je zato tudi x1² rešitev naše enačbe. Zato moramo rešiti še enačbo

²3 = 1 .


To pa ne bo težko. Po prejšnjem premisleku imajo vsa taka števila absolutnovrednost 1 in so potence števila

ξ = cos2π

3+ i sin

2π

3,

to pa so ravno

ξ = cos2π

3+ i sin

2π

3, ξ2 = cos

4π

3+ i sin

4π

3, ξ3 = cos

6π

3+ i sin

6π

3= 1 .

Rešitve enačbe x3 = 3− 3i so torej števila

x1 = x1ξ3 =

6√

18(cos(−π/12) + i sin(−π/12))

x2 = x1ξ =6√

18(cos(7π/12) + i sin(7π/12))

x3 = x1ξ2 =

6√

18(cos(15π/12) + i sin(15π/12)),

ki res tvorijo oglišča enakostraničnega trikotnika, včrtanega krogu s središčemv 0 in polmerom 6

√18. 3

Vaja: S pomočjo de Moivrovega izreka in binomskega izreka (katerega do-kaz, ki smo ga navedli, velja tudi za kompleksna števila) dokažite naslednjienakosti.

cos nφ = cosn φ−(

n

2

)cosn−2 φ sin2 φ +

(n

4

)cosn−4 φ sin4 φ− · · ·

sin nφ =

(n

1

)cosn−1 φ sin φ−

(n

3

)cosn−3 φ sin3 φ +

(n

5

)cosn−5 φ sin5 φ− · · ·

Poglavje 3

Številska zaporedja in vrste

3.1 Zaporedja

Definicija 3.1.1 Funkciji a : N→ A rečemo tudi zaporedje v množici A.

Zožitev a|{n} : {n} → A zaporedja a na število n bomo rekli tudi n-tičlen zaporedja. To pomeni, da bomo za m 6= n razlikovali m-ti in n-ti členzaporedja, četudi imata oba isto sliko v A.

Ponavadi bomo zaporedja označevali z (an)N, z ak = a(k) pa k-ti člentega zaporedja. Zaradi enostavnosti bomo pisali z istim simbolom, tj. aktudi sliko k-tega člena zaporedja (an)N v množici A (npr. v zapisu ak ∈ A),a to ne bi smelo povzročiti nejasnosti.

Mi bomo obravnavali v tem poglavju v glavnem le zaporedja realnih števil,to je zaporedja v množici R, in zato tega ne bomo posebej omenjali.

Primeri:

1. Napišimo nekaj prvih členov zaporedja naravnih števil an = n:

1, 2, 3, 4, . . .

2. Napišimo še nekaj prvih členov zaporedja an = (−12)n:

−12,

1

4, −1

8,

1

16. . .

3. Zaporedje an = (−1)n se ponavlja:−1, 1,−1, 1, . . . , 1,−1, 1, . . .

4. Zaporedje an = 1n je pa kar preprosto

1, 1, 1, . . . , 1, . . . .

Takemu zaporedju rečemo konstantno zaporedje.

41

42 POGLAVJE 3. ŠTEVILSKA ZAPOREDJA IN VRSTE

5. Zaporedje je lahko dano tudi iterativno, tj. s pravilom, s katerim jedoločen naslednji člen zaporedja iz prejšnjih. Zelo znano je zaporedje,ki ge je italijanski matematik Fibonacci že leta 1202 vzel za modelproučevanja populacije zajcev:

a0 = 1 , a1 = 1 , an = an−1 + an−2 .

Za vsak slučaj zapišimo nekaj členov tega zaporedja:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . .

6. Zaporedje an = n! lahko iterativno zapišemo z a1 = 1 in an = nan−1.

3

Definicije 3.1.1 Zaporedju realnih števil, za katerega velja

an ≤ an+1,

za vsako naravno število n, rečemo naraščajoče zaporedje; če velja celo

an < an+1 ,

pa strogo naraščajoče zaporedje. Če pa je zaporedje (an) tako, da za vsakonaravno število n velja

an ≥ an+1,rečemo, da je zaporedje padajoče; če velja celo

an > an+1,

pa strogo padajoče zaporedje. Zaporedje, ki je ali naraščajoče ali padajoče,imenujemo monotono. Zaporedje, ki je strogo naraščajoče ali strogo padajoče,pa imenujemo strogo monotono.

Za število x rečemo, da je zgornja meja za zaporedje (an), če je x zgornjameja za množico {an} slik zaporedja. Ali, z drugimi besedami, če je

an ≤ x

za vsako naravno število n. Podobno velja za spodnje meje. Prav tako bomoza zaporedje rekli, da je omejeno (v kakšno smer), če je množica slik tegazaporedja omejena (v tisto smer). Seveda ni nujno, da bi bilo zaporedje vkaterokoli smer omejeno.

Primer: Zaporedje an = (−1)nn ni omejeno niti navzdol niti navzgor.

Vaje:

3.2. PODZAPOREDJE 43

1. Za zaporedja an = n, bn = 1/n, cn = (−1)n, d2n−1 = n, d2n = n,en = −1/n, fn = 1, gn = 2−n ugotovite, ali so (strogo) naraščajoča,(strogo) padajoča, navzgor ali navzdol omejena.

2. Zaporedje (an)n∈N je naraščajoče. Ali ima lahko zgornjo mejo? Alimora imeti zgornjo mejo? Ali ima lahko spodnjo mejo? Ali mora imetispodnjo mejo?

3. Če zaporedje ni navzgor omejeno, ali ima kakšen pozitivni člen? Alimora v tem primeru imeti celo neskončno pozitivnih členov?

3

Podobno kot smo rekli za meje, velja tudi za supremum in infimum za-poredja. Supremum zaporedja je kar supremum njegove zaloge vrednosti,infimum zaporedja pa infimum njegove zaloge vrednosti. Zaradi polnostirealnih števil velja naslednja trditev.

Trditev 3.1.1 Vsako navzgor omejeno zaporedje realnih števil ima svoj su-premum, vsako navzdol omejeno zaporedje realnih števil ima svoj infimum.

2

Primer: Poglejmo si zaporedje

an =1

n

To zaporedje je strogo padajoče, je omejeno, njegov supremum je 1, infimumpa 0, kot smo spoznali že v prejšnjem poglavju.

3

Iz gornjega primera vidimo, da je lahko natančna meja člen zaporedja alipa tudi ne.

3.2 Podzaporedje

Zapišimo si zaporedje an kot niz členov

a1, a2, a3, a4, . . . , an . . . .

Če izbrišemo nekaj (ali tudi nič) členov tega zaporedja nam ostane neko pod-zaporedje. To je intuitivno dovolj nazorna definicija, ni pa dovolj natančnaali formalno skladna z našo definicijo zaporedja. Zato bomo podzaporedjebolj formalno definirali.

Definicija 3.2.1 Imejmo zaporedji (an)n∈N in (bn)n∈N. Če obstaja tako strogonaraščajoče zaporedje naravnih števil (pn)n∈N, da velja bn = ap(n), rečemo, daje (bn)n∈N podzaporedje zaporedja (an)n∈N.


Primeri:

1. Konstantno zaporedje bn = 1 je podzaporedje zaporedja an = (−1)n,saj velja npr. bn = a2n (seveda dobimo isti sklep tudi npr. za bn = a4n).

2. Zaporedje bn = n2 je podzaporedje zaporedja an = n, saj velja bn = an2 .

3. Imejmo zaporedje (an) in naravno število k, tedaj je zaporedje

ak+1, ak+2, ak+3, . . . , ak+m, . . . ,

ki ga lahko zapišemo kot zaporedje (bn) s predpisom bn = an+k, podza-poredje zaporedja (an). Če je k = 1 takemu zaporedju (bn) rečemo tudipremik zaporedja (an), če pa je k > 1, pa mu rečemo k-kratni premikzaporedja (an).

Vaje:

1. Naj bo (cn) podzaporedje zaporedja (bn), to pa podzaporedje zaporedja(an). Dokažite, da je tudi (cn) podzaporedje zaporedja (an).

2. Naj bo zaporedje (an) navzgor omejeno. Ali je potem tudi vsako nje-govo podzaporedje navzgor omejeno?

3. Naj bo podzaporedje a5, a6, a7,. . . a5+n. . . zaporedja (an) navzgor ome-jeno. Ali je tedaj tudi zaporedje (an) navzgor omejeno?

4. Naj bo podzaporedje (a2n) zaporedja (an) navzgor omejeno. Ali jetedaj tudi zaporedje (an) navzgor omejeno?

5. Zaporedje (an) ni navzgor omejeno. Ali lahko vsebuje kako navzgoromejeno podzaporedje? Ali mora vsebovati kako navzgor omejeno pod-zaporedje?

3

3.3 Stekališče

Definicija 3.3.1 Realnemu številu x rečemo stekališče zaporedja (an), če jev vsaki epsilonski okolici števila x neskončno členov zaporedja (an), t. j. čeza vsako pozitivno realno število ε in vsako naravno število N obstaja takonaravno število M > N , da je

|aM − x| < ε.

Primeri:

3.4. LIMITA 45

1. Za zaporedje an = 1n je 0 edino stekališče zaporedja: za vsako še takomajhno število ε > 0 namreč obstaja ulomek 1

m, da je 1

m< ε, zato 0 je

stekališče, za poljubno realno število x 6= 0 pa najdemo dovolj majhnookolico, v kateri je kvečjemu en člen zaporedja in zato x ni stekališčetega zaporedja.

2. Za zaporedje an = (−1)n se hitro vidi, da ima natanko dve stekališči−1 in 1.

3. Zaporedje an = n pa nima nobenih stekališč.

3

Izrek 3.3.1 Vsako omejeno zaporedje realnih števil ima vsaj eno stekališče.

Dokaz: Naj bo an dano zaporedje. Ker je omejeno, obstajata taki realništevili A1 in B1, da velja

A1 ≤ an ≤ B1za vsako naravno število n. Interval [A1, B1] razpolovimo, vsaj en oddobljenih podintervalov mora vsebovati neskončno število členov zapo-redja. Izberimo takega in mu dajmo ime [A2, B2]. Postopek nadalju-jemo in dobimo tako zaporedje intervalov, da je vsak nadaljnji podin-terval prejšnjega in njegova dolžina je polovica dolžine prejšnjega. Poizreku (2.5.1) je njihov presek neprazen.

Denimo, da bi bili v preseku dve razliňi točki s1 in s2 in naj bo d =|s1 − s2|. Noben interval, katerega dolžina je manjša od d ne morevsebovati obeh točk. Ker so dolžine intervalov [Aj, Bj] poljubno kratke(njihov infimum je 0), od nekega j naprej noben ne more vsebovatiobeh točk s1 in s2. V preseku je torej le ena točka, imenujmo jo s.

Naj bo ε > 0. Ker vsi intervali [Aj, Bj] vsebujejo s, njihove dolžinepa se razpolavljajo, so od nekega j naprej vsi ti intervali krajši od ε inzato tudi vsi ti intervali vsebovani ε-okolici točke s in zato ta okolicavsebuje neskončno členov zaporedja (an). Ker to velja za vsak ε > 0,je s stekališče tega zaporedja.

2

3.4 Limita

Definicija 3.4.1 Limita zaporedja (an) je taka točka L, da so v vsaki njeniε-okolici vsi členi zaporedja razen končno mnogih.

Primeri: Na to definicijo lahko gledamo takole: L je limita zaporedja (an),če lahko na vsak izziv – predpisano toleranco ε – odgovorim z nekim indeksomn(ε) od katerega naprej so prav si členi v mejah predpisane tolerance enaki


L. Ilustrirajmo si to s popolnoma konkretnim primerom. Imejmo zaporedjean = 1/n. Če nam nekdo predpiše, da pri računanju zaokrožamo na tridecimalke natančno, lahko zagotovimo, da so vsi členi od a5000 naprej vokviru predpisane natančnosti kar enaki 0. Podobno velja za prav vsakopredpisano toleranco ε > 0. Zato je 0 limita zaporedja an = 1/n.

Brez težav ugotovimo, da ima tudi zaporedje (bn), za katerega veljab2n−1 = 0, b2n = 1/n, (ki ni monotono) limito 0. 3

Definiciji 3.4.1 Zaporedju, ki ima limito, rečemo konvergentno zaporedje.Zaporedju, ki nima limite, pa rečemo divergentno.

Za limito zaporedja (an) bomo uporabljali simbol

limn→∞

an .

Za zaporedje (an), ki ima limito l, rečemo tudi, da konvergira k l.

Drugače lahko formuliramo definicijo limite takole: A je limita zaporedja(an), če za vsako pozitivno število ε obstaja tako naravno število n(ε), davelja

m > n(ε) ⇒ |A− am| < ε .

Iz definicij je očitno, da je limita zaporedja tudi njegovo stekališče, obra-tno pa to ni res.

Izrek 3.4.1 Če ima zaporedje več kot eno stekališče, nima limite.

Dokaz: Po prejšnjem razmisleku, je limita lahko kvečjemu kakšno stekali-šče.

Recimo, da sta s1 in s2 stekališči danega zaporedja (an). Naj bo

ε =|s1 − s2|

3.

V tem primeru epsilonski okolici točk s1 in s2 nimata skupnih točkin tako nobena od teh okolic ne vsebuje vseh členov zaporedja razenkončno mnogih. Torej ne s1, ne s2 nista limiti zaporedja. Podobnoseveda velja za katerokoli drugo stekališče.

2

Primeri:

1. Najprej si poglejmo zaporedje z dvema stekališčema:

an = (−1)n + (− 1n

)n .

3.4. LIMITA 47

2. Poglejmo si še eno zaporedje z enim samim stekališčem, ki pa ni limita.

a2k =1

2k, a2k+1 = 2k + 1

3. Oglejmo si še eno konvergentno zaporedje.

an =k=n∑

k=1

1

2k= 1− 1

2n

3

Trditev 3.4.1 Naj bo s stekališče zaporedja (an). Tedaj obstaja v tem zapo-redju konvergentno podzaporedje (ap(n)), ki konvergira k s.

Dokaz: Ustrezno zaporedje indeksov definiramo takole: naj bo p(1) tistonajmanjše naravno število m, za katerega je am manj kot 1 oddaljenood s (ker je s stekališče zaporedja (an), tak m res obstaja); p(n) naj botisto najmanjše naravno število m, ki je strogo večje od p(n− 1), in zakaterega je am manj kot 1/n oddaljen od s.

Preverimo, da tako konstruirano zaporedje bn = ap(n) konvergira k s.Naj bo ε > 0. Tedaj za vsako naravno število k od nekega naravnegaštevila N naprej velja 1/k < ε, zato so tudi vsi bk (za k od istega Nnaprej) vsebovani v ε-okolici točke s.

Glede na zgornjo trditev lahko izrek (3.3.1) formuliramo tudi takole.

Posledica 3.4.1 (Bolzano-Weierstrass) Vsako omejeno zaporedje v R vse-buje konvergentno podzaporedje.

2

Trditev 3.4.2 Če zaporedje konvergira k l, konvergira k l tudi vsako njegovopodzaporedje. Če premik zaporedja konvergira k l, konvergira k l tudi celozaporedje.

Dokaz: Najprej dokažimo prvo trditev. Naj (an) konvergira k l in naj bo(ap(n)) podzaporedje zaporedja (an), torej je p(n) strogo naraščajočafunkcija p : N → N. Naj bo ε > 0. Ker je l limita zaporedja (an),obstaja tudi za ta ε tako naravno število nε, da so vsi členi z večjimindeksom ε-blizu l. Ker je p(m) ≥ m za vsak m ∈ N, so tudi vsi členiap(m) za m > nε v ε-okolici števila l.

Dokažimo še drugo trditev, celo v nekaj ostrejši obliki: če katerikolipremik zaporedja konvergira k l, konvergira tja tudi celo zaporedje. Najbo ak+1, ak+2, . . . k-kratni premik zaporedja a1, a2, . . .. Če za poljubniε > 0 najdemo nε, da velja

n > nε =⇒ |l − ak+n| < ε ,


bo veljalo|l − am| < ε

za vse m > k + nε.

2

Dokažimo si še nekaj koristnih lastnosti zaporedij, ki konvergirajo k 0.

Trditev 3.4.3 1. Zaporedje (an) konvergira k 0 natanko tedaj, ko zapo-redje (|an|) konvergira k 0.

2. Naj zaporedji (an) in (bn) konvergirata k 0 in naj za zaporedje (cn) velja

an ≤ cn ≤ bnza vsak n ∈ N. Tedaj tudi zaporedje (cn) konvergira k 0.

Dokaz: 1. naj (an) konvergira k 0. Torej za vsak ε > 0 obstaja takonaravno število nε, da velja

m > nε =⇒ |am| < ε.

Ker je ||an|| = |an|, to pomeni, da tudi zaporedje (|an|) konvergirak 0.Obratno naj (|an|) konvergira k 0. Po podobnem premisleku kotzgoraj iz definicije neposredno vidimo, da tudi (an) konvergira k0.

2. Za poljubni ε > 0 obstajata taki naravni števili na in nb, da velja

m > na ⇒ |am| < ε , m > nb ⇒ |bm| < ε .

To pa pomeni, da velja

m > max{na, nb} =⇒ |am|, |bm| < ε .

Iz an ≤ cn ≤ bn sledi |cn| ≤ max{|an|, |bn|}. Iz zgornje implikacijetorej dobimo tudi

m > max{na, nb} =⇒ |cm| < ε .

Ker smo zgornji postopek naredili za poljubni ε > 0, to pomeni,da zaporedje (cn) konvergira k 0.

2

Primeri:

1. Zaporedje an = 1/(2n) je podzaporedje zaporedja 1/n, za katerega smože pokazali, da konvergira k 0, torej po trditvi (3.4.2) tudi an konvergirak 0.

3.4. LIMITA 49

2. Zaporedju bn = (−1)n/n prirejeno zaporedje absolutnih vrednosti |(−1)n/n| =1/n konvergira k 0, torej po zgornji trditvi tudi bn konvergira k 0.

3. Za zaporedje cn = | sin n|/n velja0 ≤ cn ≤ 1/n ,

po zgornji trditvi (za an = 0 in bn = 1/n) torej tudi cn konvergira k 0.

4. Vsaj za 35. premik zaporedja dn = (3n− 100)−1 velja, da je zaporedjeen pozitivnih števil, za katere velja en < 1/n. Po zgornji trditvi torejsledi, da en konvergira k 0, iz trditve (3.4.2) pa potem sledi, da tudi dnkonvergira proti 0.

Poglejmo si nekaj kriterijev za konvergenco.

Definicija 3.4.2 Zaporedje realnih števil an se imenuje Cauchyjevo, če zavsako pozitivno število ε obstaja tako naravno število n(ε), da velja

m,n > n(ε) ⇒ |am − an| < ε .

Eminentni primer Cauchyjevega zaporedja je zaporedje decimalnih pri-bližkov danega realnega števila x. V tem primeru namreč vemo, da se n-tipribližek (tj. približek, ki ga dobimo, če ‘odrežemo’ vse decimalke v decimal-nem zapisu x od vključno n-te naprej) in tudi vsi nadaljnji približki gotovorazlikujejo od x za manj ali kvečjemu za 10n−1.

Izrek 3.4.2 V množici realnih števil je zaporedje konvergentno natanko te-daj, ko je Cauchyjevo.

Dokaz: Pokažimo najprej, da je vsako konvergentno zaporedje Cauchyjevo.Naj bo dano zaporedje (an) z limito A. Poljubno si izberimo nekipozitiven ε0. Za vsak pozitiven ε obstaja naravno število n(ε), da je

|A− am| < ε ,če je le m > n(ε). Zato obstaja tudi za ε0

2tako naravno število n( ε0

2),

da je|A− am| < ε0

2,

če je le m > n( ε02). Zaradi trikotniške neenakosti dobimo za poljubni

taki naravni števili m,n, za kateri je m,n > n( ε02), neenakost

|am − an| ≤ |am − A|+ |A− an| < ε02

+ε02

= ε0

in je tako zaporedje (an) res Cauchyjevo.

Zdaj pa vzemimo, da je zaporedje (an) Cauchyjevo in pokažimo, daje tudi konvergentno. Ker je zaporedje Cauchyjevo, imamo za vsakpozitiven ε tako naravno število n(ε), da je

|am − an| < ε


za poljubni naravni števili m,n > n(ε). To pomeni, da so v taki ep-silonski okolici točke an vsi členi zaporedja od an(ε) naprej. Zato jezaporedje (an) prav gotovo omejeno. Po izreku 3.3.1 ima torej vsaj enostekališče. Pokažimo, da ima Cauchyjevo zaporedje kvečjemu eno ste-kališče s: če bi bili dve stekališči, ki bi se razlikovali za |s1−s2|, bi vzelitretjino te razdalje za ε in dobili protislovje s Cauchyjevo lastnostjo

|s1 − am|, |s2 − an| < ε ⇒ |am − an| > ε .

Pokazati moramo še, da je to edino stekališče tudi limita. Vzemimo po-ljubno epsilonsko okolico U tega stekališča. Zaradi Cauchyjeve lastnostise vsi členi zaporedja od an( ε

2) naprej razlikujejo za manj kot ε2 . Vsaj

en tak člen am, m > n( ε2), je vε2-okolici stekališča in po konstrukciji so

vsi naslednji členi v U , saj

|s− an| ≤ |s− am|+ |am − an| ≤ ε2

+ε

2= ε .

To pa pomeni, da je s tudi limita zaporedja (an).

2

Poglejmo še nekaj posebnih primerov.

Izrek 3.4.3 Vsako monotono in omejeno zaporedje je konvergentno.

Dokaz: Naj bo (an) monotono naraščajoče in omejeno zaporedje. Naj boA = sup{an}. V dani epsilonski okolici točke A je vsaj ena točka an inseveda velja

am ≤ A .

Zaradi monotonosti in lastnosti zgornje meje pa velja celo

am ≤ ak ≤ A

za vse ak od am naprej. Ker to velja za vsako epsilonsko okolico, to žepomeni, da je A limita zaporedja (an).

2

Posledica 3.4.2 Konvergentno zaporedje je omejeno.

Dokaz: To smo že ugotovili za Cauchyjeva zaporedja. Očitno je pa tudineposredno: vsaka epsilonska okolica limite je omejena in izven nje jele končno členov zaporedja.

2

3.5. RAČUNSKE LASTNOSTI LIMITE 51

3.5 Računske lastnosti limite

Z računanjem lahko iz danih zaporedij naredimo nova. Pri tem velja naslednjiizrek.

Izrek 3.5.1 Če sta zaporedji (an) in (bn) konvergentni, veljajo relacije

1.lim

n→∞(an + bn) = lim

n→∞an + lim

n→∞bn

2.lim

n→∞(an − bn) = lim

n→∞an − lim

n→∞bn

3.lim

n→∞(anbn) = lim

n→∞an lim

n→∞bn .

4. Če so poleg tega vsi členi zaporedja (bn) različni od 0 in je limn→∞ bn 6=0, velja

limn→∞

anbn

=limn→∞ anlimn→∞ bn

.

Dokaz: Naj bo

A = limn→∞

an in B = limn→∞

bn .

Pokažimo najprej, da je limita vsote enaka vsoti limit. Torej moramopokazati, da za vsak pozitiven ε velja za vse dovolj velike n neenakost

|(A + B)− (an + bn)| < ε .Ker sta zaporedji (an) in (bn) konvergentni, velja za vse dovolj velike n

|A− an| < ε2

in |B − bn| < ε2

.

Za take n je potem

|(A + B)− (an + bn)| = |(A− an) + (B − bn)| ≤≤ |A− an|+ |B − bn| < ε .

Pokažimo zdaj, da je limita produkta enaka produktu limit. Pokazatimoramo torej, da je število

|AB − anbn|majhno kolikor hočemo, če je le n dovolj velik. Ker je za vse dovoljvelike n

|A− an| < ε in |B − bn| < εne glede na to, kako majhen je ε, je tudi

|AB − anbn| = |A(B − bn) + B(A− an) + (A− an)(bn −B)|≤ |A||B − bn|+ |B||A− an|+ |A− an||B − bn| << ε2 + (|A|+ |B|)ε


majhen kolikor hočemo, če le vzamemo dovolj velike n, t.j. take, kiustrezajo dovolj majhnemu ε. S tem smo pokazali, da je limita pro-dukta produkt limit, pa tudi formulo za razliko limit, saj je an − bn =an + (−1)bn.Pokažimo še, da je obratna vrednost limite enaka limiti obratnih vre-dnosti. Imejmo zaporedje bn od 0 različnih realnih števil in naj bo Blimita tega zaporedja. Za vsak pozitiven ε, zaenkrat pa predpostavimo,da je ε < |B|, torej velja

|B − bn| < εza vse n, večje od nekega nε. Za take n je tedaj

∣∣∣∣1

bn− 1

B

∣∣∣∣ =|B − bn||B||bn| <

ε

|B|(|B| − ε) .

V izrazu na desni je imenovalec poljubno blizu številu B2, števec pa jepoljubno majhen. To smo dobili s predpostavko, da je ε < |B|. Kajpa če je ε večji? Število nε, za katerega velja zgornji sklep ni dobro leza dani ε, ampak je dovolj dobro tudi za vse večje ε. Torej zaporedje( 1

bn) res konvergira k 1

B. Zato je tudi limita kvocienta enaka kvocientu

limit.

2

S temi čudovitimi algebraičnimi lastnostmi limite številskega zaporedjalahko izračunamo marsikakšno limito.

Primer: Izračunajmo limito zaporedja

an =n2 + 3n

2n2 − 1 .

Števec in imenovalec delimo z n2, pa dobimo

an =1 + 3

n

2− 1n2

.

Upoštevajmo prejšnji izrek in dobimo

limn→∞

an =limn→∞ 1 + 3nlimn→∞ 2− 1n2

=1 + 3 limn→∞ 1n2− limn→∞ 1n2

=1

2.

3

Za kasnejše sklicevanje si izrecimo še naslednji izrek o urejenosti limite.

Izrek 3.5.2 Imejmo konvergentna zaporedja (an), (bn) in (cn), za katera ve-lja

an ≤ bn ≤ cn

3.6. POTENCE IN KORENI 53

za vsak n ∈ N. Tedaj za limite teh zaporedij velja

limn→∞

an ≤ limn→∞

bn ≤ limn→∞

cn .

Dokaz: Najprej dokažimo, da ima poljubno konvergentno zaporedje nene-gativnih števil tudi nenegativno limito. Pa denimo, da ni tako, tj. daobstaja zaporedje števil dn ≥ 0, katerega limita D je negativna. Tedajje ε = −D > 0, v okolici Kε(D) ni nobenega nenegativnega števila,torej tudi nobenega člena zaporedja dn. To pa je v protislovju s pred-postavko, da je D limita zaporedja (dn).

Po predpostavki sta zaporedji αn = bn − an in βn = cn − bn zaporedjinenegativnih števil. Po izreku (3.5.1) sta ti zaporedji konvergentni.Po prvi točki tega dokaza sta tudi limita α zaporedja αn in limita βzaporedja βn nenegativni. Ker po že omenjenem izreku velja

0 ≤ α = limn→∞

bn − limn→∞

an , 0 ≤ β = limn→∞

cn − limn→∞

bn ,

dobimo takoj željeni rezultat.

Za vsak slučaj se še enkrat spomnimo, da pa limita ne ohranja relacije <ali >. Protiprimer je kar zaporedje pozitivnih števil (1/n), ki konvergira k 0.

3.6 Potence in koreni

Naj bo a poljubno realno število, n pa poljubno naravno število, večje od 1.Produkt n enakih faktorjev a

aa . . . a︸︷︷︸n

= an

se imenuje potenca. Številu a rečemo osnova, številu n pa stopnja ali eksponent.Za potence veljajo naslednji zakoni.

1.aman = am+n

2.(am)n = amn

3.ambm = (ab)m

4.am

bm=

(ab

)m

5.am

an= am−n


Pri tem sta a in b poljubni realni števili, le da v formuli 4 število b ne smebiti 0, v formuli 5 pa a ne sme biti 0; naravni števili m in n pa sta poljubni,razen v formuli 5, kjer mora biti m > n.

Če pa postavimo še

a1 = a , a0 = 1 , a−n =1

an,

pa velja tudi formula 5 za poljubni naravni števili m in n. Poleg tega veljajotudi za te izraze zakoni 1 - 5. Zato rečemo tudi pravkar definiranim izrazompotence.

Trditev 3.6.1 Za vsak n ∈ N je na intervalu [0,∞) definirana funkcijax 7→ xn strogo naraščajoča in preseže vsako realno število.

Dokaz: Iz 0 < x1 < x2 dobimo z množenjem te neenakosti enkrat z x1 indrugič z x2 neenakost

0 < x21 < x1x2 < x22 .

Iz predpostavke xn1 < xn2 podobno dobimo

xn+11 < xn1x2 < x

n+12 .

Da gre potenca preko vseh meja vidimo iz Bernoullijeve neenakosti

(1 + x)n > 1 + nx ,

saj gre desna stran raste z rastočim x preko vsakega danega realnegaštevila.

2

Iz izreka (3.5.1) dobimo naslednjo lastnost limite.

Posledica 3.6.1 Naj zaporedje (an) konvergira k a in naj bo m neko naravnoštevilo. Tedaj zaporedje (amn ) konvergira k am.

Dokaz: Vaja!

2

Recimo, da sta v identitetixn = c

števili n ∈ N in c ∈ R znani, realno število x pa neznano. Rešitev te enačbezapišemo v obliki

x = n√

c

in preberemo: x je n-ti koren števila c. Število c se imenuje radikand, številon pa korenski eksponent ali stopnja korena.

Kot smo že pokazali, ima enačba

xn = c

natanko n komplek

Documents

AnalizaImatijac/analiza.pdf · 2018. 1. 5. · Tu opozorimo na to, da v običajnem jeziku včasihuporabimobesedo"ali"izključevalno,tojeenoalidrugo,nepa oboje. Vlogikiinmatematikirazumemo"ali"boljširoko: